Raquel Quadros Velloso. Simulação Numérica de Problemas de Acoplamento Fluidomecânico em Meios Porosos Utilizando o Método dos Elementos Discretos

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1 Raquel Quadros Velloso Simulação Numérica de Problemas de Acoplamento Fluidomecânico em Meios Porosos Utilizando o Método dos Elementos Discretos Tese de Doutorado Tese apresentada ao Programa de Pós graduação em Engenharia Civil da PUC Rio como requisito parcial para obtenção do título de Doutor em Engenharia Civil Orientador: Prof. Eurípedes do Amaral Vargas Jr. Rio de Janeiro Maio de 2010

2 Raquel Quadros Velloso Simulação Numérica de Problemas de Acoplamento Fluidomecânico em Meios Porosos Utilizando o Método dos Elementos Discretos Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós graduação em Engenharia Civil da PUC Rio. Aprovada pela Comissção Examinadora abaixo assinada. Prof. Eurípedes do Amaral Vargas Jr. Orientador Departamento de Engenharia Civil PUC Rio Dr. Antônio Cláudio Soares CENPES/Petrobras Dr. Armando Prestes Departamento de Engenharia Civil/PUC Rio Dr. Luis Carlos Baralho Bianco Chevron Energy Technology Company Prof. Márcio da Silveira Carvalho Departamento de Engenharia Mecânica/PUC Rio Prof. José Eugenio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico PUC Rio Rio de Janeiro, 28 de Maio de 2010

3 Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador. Raquel Quadros Velloso Velloso, Raquel Q. Ficha Catalográfica Simulação Numérica de Problemas de Acoplamento Fluidomecânico em Meios Porosos Utilizando o Método dos Elementos Discretos / Raquel Quadros Velloso; orientador: Eurípedes do Amaral Vargas Jr f: il. (color.) ; 30 cm 1. Tese (doutorado) - Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, 2010 Inclui bibliografia. 1. Engenharia Civil Teses. 2. Método dos Elementos Discretos. 3. Método de Lattice-Boltzmann. 4. Dano Mecânico de Formação. 5. Produção de Sólidos. I. Vargas Jr., Eurípedes do Amaral. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. III. Título. CDD: 624

4 Agradecimentos Agradeço ao Vargas pela orientação, apoio e incentivo sem os quais eu não teria concluído este trabalho. Agradeço à minha mãe que sempre faz tudo ficar mais fácil e ao meu pai por ter financiado meus estudos por tanto tempo. Agradeço à Flavia, ao João, ao Eduardo, à Tatiana, ao Fábio, à Vanessa, ao Maurício, ao Bê, ao Bruno e à Tessa que compreenderam e suportaram minha preocupação e meu mau humor durante este longo período. E à tia Elisa que eu sei que mesmo de longe está sempre torcendo e rezando por mim. Agradeço ao Antônio Claudio Soares que sempre incentivou meu trabalho desde antes do mestrado, ao Silvestre pelas conversas e por sempre ter (e emprestar) todos os livros que alguém precise, e ao Luis Arnaldo pelas discussões sobre o DEM. Agradeço à Rita e à Fátima do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio por terem sempre ajudado e resolvido, com simpatia e bom humor, meus problemas burocráticos na PUC-Rio. Agradeço ao CNPq pelo suporte financeiro.

5 Resumo Velloso, Raquel Q.; Vargas Jr., Eurípedes do Amaral. Simulação Numérica de Problemas de Acoplamento Fluidomecânico em Meios Porosos Utilizando o Método dos Elementos Discretos. Rio de Janeiro, p. Tese de Doutorado Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Esta pesquisa é motivada, principalmente, por problemas da geomecânica do petróleo como produção de sólidos em poços produtores e dano mecânico de formação. Produção de sólidos é o fenômeno onde partículas sólidas são produzidas juntamente com os fluidos de um reservatório de formação geralmente pouco ou não consolidada, podendo também ocorrer em formações mais resistentes. Dano de formação é o termo usado para identificar a redução da permeabilidade por diversos processos que ocorrem nas formações geológicas, e que reduzem a produtividade e injetividade de poços de sistemas de produção de óleo e gás. Neste trabalho desenvolveu-se uma ferramenta numérica com acoplamento fluidomecânico (mono e bifásico) para ser utilizada em análises destes problemas na microescala (poro e grão). Utilizou-se o método dos elementos discretos(dem) para a simulação do movimento e interação das partículas sólidas e o método de lattice- Boltzmann (LBM) para a simulação do fluxo nos poros do meio geológico. A principal diferença desta ferramenta numérica em relação a trabalhos anterioresqueacoplamodemcomolbm(dem-lbm)estánaimplementação da formulação do LBM incompressível sugerida por(he e Luo, 1997) permitindo a aplicação de gradientes de pressão sensivelmente maiores do que na formulação convencional, o que é importante para as simulações de produção de sólidos. A ferramenta desenvolvida pode ser vista como um laboratório virtual para testar/verificar leis constitutivas, e que aliada a dados experimentais poderá melhorar o entendimento de mecanismos básicos envolvidos nosprocessosdedanomecânicodeformaçãoedeproduçãodesólidos.oprograma computacional implementado foi verificado através de comparações com soluções analíticas ou resultados publicados na literatura. Simulações relacionadas às aplicações de interesse foram realizadas. Palavras chave Método dos Elementos Discretos; Método de Lattice-Boltzmann; Dano Mecânico de Formação; Produção de Sólidos.

6 Abstract Velloso, Raquel Q.; Vargas Jr., Eurípedes do Amaral (Advisor). Numerical Analysis of Fluid Mechanical Coupling in Porous Media Using the Discrete Element Method. Rio de Janeiro, p. DSc Thesis Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. The present research was mainly motivated by petroleum geomechanics problems such as solids production and formation damage. Solids production is related to phenomena whereby solid particles are produced together with fluids from reservoir rocks having little or no consolidation although it is reported that those phenomena have already happened to more resistant materials. Formation damage is the term used in order to identify permeability reduction occurring for various processes and which reduce productivity and injectivity of wells in oil and gas production systems. In the present work, a numerical tool considering fluidmechanical coupling (one and two phase flow) was developed for analyses in the microscale (pores and grains). The DEM (Discrete Element Method) was used for the simulation of motion and interaction of solid particles and the lattice Boltzmann method (LBM) for the simulation of flow inside pores of the geological media. The main difference between the developed tool and the ones developed in previous works that couple DEM with LBM is the introduction of incompressible LBM as suggested by (He e Luo, 1997), one that allows the application of pressure gradients considerably larger than the conventional formulation which is important for the simulation of solids production. The developed tool can be viewed as a virtual laboratory for testing and verification of constitutive laws which together with experimental data may improve the understanding of basic phenomena involved in formation damage and solids production. The numerical implementation was verified through comparisons with analytical solutions and other results from the literature. Simulations related to practical applications were carried out and discussed. Keywords Discrete Element Method; Lattice-Boltzmann Method; Formation Damage; Solid Production.

7 Sumário 1 Introdução Motivação e Objetivo Organização 14 2 Metodologia Introdução Método dos Elementos Discretos Método de Lattice-Boltzmann Acoplamento Fluidomecânico 38 3 Implementação 41 4 Resultados Introdução Verificações Relação Tensão - Deformação - Permeabilidade Produção de Sólidos Força Capilar 72 5 Conclusões 79 Referências Bibliográficas 82 A Velocidades e Coeficientes das Redes D2Q9 e D3Q19 91 B Condição de Contorno de Pressão Prescrita 93

8 Lista de Figuras 2.1 Ciclo de cálculo do DEM Representação gráfica do modelo de contato entre partículas. À esquerda na direção normal e à direita na direção cisalhante Notação usada para descrever os contatos Rede D2Q9 - duas dimensões, nove velocidades Domínio Periódico Condição de Contorno Periódico Componentes da pressão nas proximidades da interface Etapa de criação da tensão interfacial no RKLBM. As cores azul e vermelha representam as duas fases e o cinza uma combinação das duas Etapa de redistribuição das cores no RKLBM Molhabilidade dos sólidos no RKLBM Exemplo de campo de fração de sólidos Esquema de acoplamento fluidomecânico Perfil de velocidade - LBM convencional - P = 16.7Pa Perfil de velocidade - LBM incompressível - P = 16.7Pa Perfil de velocidade - LBM incompressível - P = 167Pa Geometria e condições de contorno do exemplo bidimensional para a verificação da determinação da força de arraste Comparação entre os resultados obtidos com o LBM incompressível e os resultados apresentados por Richou et al. (2004) Comparação entre a solução anaĺıtica e a solução numérica para a força de arraste numa esfera Condição de regime permanente para R = 0.36mm. O gráfico à direita mostra o perfil de pressão na reta que passa pelo centro da bolha y = 0.8mm LBM bifásico - Verificação da lei de Laplace Condição inicial para a simulação de ângulos de contatos estáticos Diferentes ângulos de contato simulados com o LBM bifásico Fluxobifásicoemumtubo3D.Àesquerdaoesquemadasimulação. À direita a curva de permeabilidade relativa. As linhas representam a solução anaĺıtica e os pontos os resultados do LBM Metodologia para a obtenção das relações σ ǫ k utilizando o DEM e o LBM Amostra sintética Curvas tensão-deformação do arenito Rio Bonito (Barroso, 2002) e da amostra sintética (DEM) - Ensaios CTC Curvas tensão-deformação da amostra sintética (DEM) para a simulação de deformação uniaxial Estrutura porosa (em azul) utilizada nas simulações de fluxo Porosidade nas seções tranversais ao fluxo em cada uma das direções. 58

9 4.18 Curvas tensão-deformação da amostra sintética para o ensaio CTC e os valores de permeabilidade calculados nas simulações. Os marcadores indicam os estágios onde foram realizadas as simulações de fluxo Curvas tensão-deformação para a simulação de deformação uniaxial e a variação da permeabilidade. Os marcadores indicam os estágios onde foram realizadas as simulações de fluxo Curvas de permeabilidade relativa para a amostra sintética para 2 estágios de tensão diferentes Distribuição dos fluidos na estrutura porosa para diversas saturações, para o estado de tensão ET Distribuição dos fluidos na estrutura porosa para diversas saturações, para o estado de tensão ET Comportamento tensão-deformação, simulado com o DEM, do material granular usado nas simulações de produção de sólidos Região de simulação Geometria e condição de contorno para as simulações de produção de sólidos Curvas de produção de sólidos (σ c em MPa, P/L em MPa/m) Posição das partículas. t = Posição das partículas. t = 0.062s Posição das partículas. t = 0.124s Posição das partículas. t = 0.186s Posição das partículas. t = 0.248s Cimentação entre partículas no tempo t = 0.248s. Os pontos azuis mostram as cimentações entre grãos que permaneceram intactas Campo de velocidades (em m/s). t = 0.248s Campo de pressões (em Pa). t = 0.248s Geometria de duas placas paralelas e o menisco entre elas Condição inicial para as simulações de força capilar entre placas paralelas. Os sólidos estão representados em cinza, o fluido molhante em vermelho e o fluido não molhante azul Condição de equiĺıbrio para as simulações de força capilar entre placas paralelas. Os sólidos estão representados em cinza, o fluido molhante em vermelho e o fluido não molhante em azul Geometria da simulação de um menisco entre duas partículas circulares Corte no menisco e as força atuantes. A força resultante do primeiro termo da soma é nula Configurações dos meniscos na condição de regime permanente Variação da força capilar com o ângulo de molhado. A linha se refere à eq. (4.18) e os pontos aos valores obtidos numericamente Variação da força capilar com o deslocamento da partícula. A linha vermelha representa a força calculada através da eq. (4.18) e a linha azul o resultado da simulação com RKLBM. 78 A.1 Direção das velocidades discretas da rede D2Q9 91 A.2 Direção das velocidades discretas da rede D3Q19 92

10 B.1 Rede D2Q9 94

11 Lista de Tabelas 4.1 Parâmetros da simulação de fluxo entre duas placas paralelas Parâmetros da simulação da força transferida para uma partícula sólida Parâmetros da simulação da lei de Laplace Dados para a contrução da amostra sintética Parâmetros micromecânicos do material sintético Parâmetros para as simulações de fluxo Valores de permeabilidade absoluta (em darcy) Parâmetros micromecânicos do material Parâmetros geomecânicos macroscópicos do material Parâmetros de fluxo das simulações Dados para a simulação das placas paralelas Força capilar entre duas placas paralelas. 74

12 1 Introdução 1.1 Motivação e Objetivo Esta pesquisa é motivada, principalmente, pelos problemas de produção de sólidos em poços produtores de petróleo e de dano mecânico de formação. Produção de sólidos é o fenômeno onde partículas sólidas são produzidas juntamente com os fluidos de um reservatório de formação geralmente pouco ou não consolidada, podendo também ocorrer em formações mais resistentes. Há um grande número de problemas que surgem com a produção de sólidos excessiva tais como a instabilidade do poço, dano nos equipamentos de subsuperfície e de superfície, subsidência da superfície, e ainda o problema ambiental da disposição dos sólidos produzidos. Em alguns casos, a produção de sólidos pode levar à perda do poço causando grandes danos econômicos e ambientais (Bianco, 1999, Wang et al, 2004). Os diferentes processos envolvidos na produção de sólidos estão associados à deformação e ruptura da rocha, à interação rocha-fluido, e ao transporte de fluidos e sólidos. A produção de sólidos pode ser descrita por dois mecanismos (Vardoulakis et al., 1996): 1. Instabilidades mecânicas e ruptura localizada da rocha na vizinhança do poço devido a concentrações de tensão; 2. Instabilidades hidromecânicas devido a erosão, que se manifestam na desagregação e transporte das partículas, causadas pela ação das forças de percolação. Estes dois mecanismos são acoplados, pois a concentração de tensões leva à ruptura localizada que aumenta a quantidade de partículas desagregadas da matriz rochosa que são transportadas pelo fluxo de fluido. Por outro lado, o carreamento das partículas aumenta a porosidade da rocha causando o reajuste das forças intergranulares levando ao aumento da zona rompida da rocha. Os modelos que tratam da previsão da taxa de produção de sólidos e do volume produzido são geralmente modelos baseados na

13 Capítulo 1. Introdução 13 mecânica do contínuo com acoplamento fluidomecânico que incorporam o fenômeno de erosão (Vardoulakis et al., 1996, Papamichos, 2001, Wang, 2003, Detournay et al., 2006). Para a solução deste problema é necessário o estabelecimento de uma relação constitutiva para a perda de massa sólida da matriz rochosa. Diversas relações constitutivas para a erosão têm sido propostas para o estudo de produção de sólidos na tentativa de reproduzir ensaios de laboratório. Estas relações são inspiradas nas teorias de filtração de finos através de uma matriz sólida grosseira. Além da lei constitutiva da erosão (que relaciona o processo de erosão ao fluxo nos poros) são necessárias também relações que descrevam a influência dos processos mecânicos (deformação e ruptura) na erosão, da erosão nos processos mecânicos, e da erosão no fluxo. Todos estes mecanismos que acoplam os processos mecânico, de fluxo, e de erosão são mecanismos na escala microscópica, pois a desagregação de uma partícula da matriz rochosa e seu transporte através dos poros é melhor descrito no nível da partícula e do poro. Um melhor entendimento destes mecanismos fundamentais pode auxiliar no aprimoramento destas relações constitutivas necessárias para a simulação de previsão da produção de sólidos. Um outro problema da geomecânica do petróleo que também está relacionado a mecanismos que ocorrem na escala do poro é o dano de formação. Dano de formação é o termo usado para identificar a redução da permeabilidade por diversos processos que ocorrem nas formações geológicas, e que reduzem a produtividade e injetividade de poços de sistemas de produção de óleo e gás. Estes processos estão relacionados à incompatibilidade fluido-fluido e rochafluido, e invasão e migração de finos, entre outros (Civan, 2007). Um processo relevante, pouco abordado na literatura, que também causa a diminuição da permeabilidade é o chamado dano mecânico da formação (Soares, 2007). Duas condições podem induzir a danos mecânicos nas formações rochosas. A primeira ocorre na perfuração do poço que altera o estado de tensões no seu entorno. Esta mudança do estado de tensões causa uma deformação na rocha que pode induzir a uma perda significativa da permeabilidade. A outra condição ocorre durante a produção, que provoca uma queda de poropressão, aumentando a tensão efetiva o que consequentemente produz deformações na rocha reduzindo a sua permeabilidade. O conhecimento destas relações tensãodeformação-permeabilidade de uma rocha produtora de petróleo pode ser uma informação importante para a adoção de uma política de explotação adequada a fim de se obter um maior fator de recuperação final de hidrocarbonetos de um campo (Soares, 2007). O objetivo desta tese é desenvolver uma ferramenta numérica com acoplamento fluidomecânico (mono e bifásico) para problemas na escala do poro e

14 Capítulo 1. Introdução 14 da partícula sólida. Esta ferramenta pode ser vista como um laboratório virtual para testar/verificar leis constitutivas, e que aliada a dados experimentais poderá melhorar o entendimento de mecanismos básicos envolvidos nos processos de dano mecânico de formação e de produção de sólidos. 1.2 Organização Este documento está organizado da seguinte maneira. O Capítulo 2 descreve os métodos utilizados no sistema fluidomecânico acoplado. São apresentados o método do Elemento Discreto, utilizado na simulação dos processos mecânicos, o método de lattice-boltzmann para a simulação do fluxo mono e bifásico no nível do poro, e o esquema de acoplamento entre estes dois métodos. No Capítulo 3 são apresentadas as principais características da implementação da ferramenta numérica, enquanto que no Capítulo 4 são apresentados os resultados das simulações realizadas. Foram realizadas simulações de verificação dos métodos e da implementação e simulações relacionadas aos problemas de dano de formação e produção de sólidos. E finalmente no Capítulo 5 são discutidos os resultados obtidos e apresenta-se as conclusões e as sugestões para futuros desenvolvimentos e aplicações da ferramenta numérica desenvolvida.

15 2 Metodologia 2.1 Introdução A modelagem numérica na escala da partícula e do poro pode ser uma ferramenta útil no estudo dos mecanismos fundamentais de fenômenos como o dano de formação e a produção de sólidos. Esta modelagem pode ser feita através do acoplamento de um método que trate do movimento das partículas e a interação entre elas, com um método que considere o fluxo de fluidos nos poros deste sistema de partículas. Para a simulação do movimento e interação das partículas o método dos elementos discretos (Discrete Element Method - DEM) (Cundall e Strack, 1979) é amplamente empregado para estudo de solos e rochas. O acoplamento do fluxo com um modelo discreto de partículas pode ser feito de diversas formas. A maneira mais simplificada utiliza um modelo de fluxo baseado na lei de Darcy para um meio poroso contínuo superposto a um modelo de partículas discretas. Algumas implementações deste acoplamento foram utilizadas para o estudo de produção de areia ou de fraturamento hidráulico (O Connor et al, 1997, Dorfmann et al., 1997, Preece et al., 1999, Bruno et al., 2001, Li et al, 2006). Uma outra abordagem resolve as equações de Navier-Stokes através de uma técnica de média local desenvolvida por Anderson e Jackson (Anderson e Jackson, 1967). Neste método as variáveis de fluxo são resolvidas numa célula que contém várias partículas sólidas e as interações fluido-partículas são consideradas através de relações semi-empíricas. Este método tem sido aplicado em estudos de fluidização (Xu e Yu, 1997, Di Renzo e Di Maio, 2007). A principal característica destas duas abordagens é que o movimento das partículas e o fluxo nos poros são tratados em escalas diferentes. Enquanto que a parte mecânica é considerada no nível da partícula de forma discreta, o fluxo é tratado numa escala macroscópica considerando um meio poroso contínuo. Desta forma os detalhes do fluxo nos poros e sua influência no movimento das partículas são desconsiderados.

16 Capítulo 2. Metodologia 16 O fluxo nos poros pode ser simulado numa rede de poros (Blunt e King, 1991). Uma rede de poros é uma representação simplificada do meio poroso constituída de poros conectados por condutos. As maiores dificuldades relacionadas a rede de poros são a criação da geometria da rede de poros (poros-condutos) a partir da geometria real do meio poroso, e a determinação dos parâmetros de condutância necessários para a simulação de fluxo na rede de poros. Li (Li, 2002) estudou a variação da permeabilidade absoluta com o estado de tensões usando um modelo de partículas acoplado a uma rede de poros. A simulação do fluxo nos poros com sua real geometria exige a solução das equações de Navier-Stokes neste domínio. Hu (Hu, 1996) e Maury (Maury, 1999) apresentaram simulações de acoplamento de movimento de partículas e fluxo de fluido utilizando o método dos elementos finitos, para problemas a duas dimensões, com fração de sólidos baixa, e sem interação entre partículas. Esta abordagem parece ser pouco eficiente visto que é necessário que a malha seja refeita ao longo da simulação devido o movimento das partículas. A técnica da fronteira imersa (Fogelson e Peskin, 1988, Hofler, 2000) e o método do domínio fictício (Glowinski et al., 1999) não apresentam esta desvantagem e parecem ser métodos eficientes para o estudo de acoplamento de fluxo monofásico com o movimento de partículas sólidas. Um método alternativo para a solução das equações de Navier-Stokes é o método de lattice-boltzmann (McNamara e Zanetti, 1988, Qian et al, 1992). Este método tem sido utilizado em simulações de fluxo em geometrias complexas e tem se mostrado mais eficiente computacionalmente, nestas condições, do que os métodos tradicionais (Bernsdorf et al., 1999, Geller et al., 2006). Nourgaliev et al. (Nourgaliev et al., 2003) sugerem que o método de lattice- Boltzmann (Lattice-Boltzmann Method - LBM) pertence à classe dos resolvedores ( solvers ) pseudocompressíveis das equações de Navier-Stokes para fluxo incompressível e, como tal, o LBM possui as vantagens (simplicidade do algorítimo e a ausência da solução da equação de Poisson) e as desvantagens (intervalo de tempo pequeno e compressibilidade artificial) características da classe. Segundo Nourgaliev et al. (Nourgaliev et al., 2003), o LBM seria computacionalmente comparável ao método de compressibilidade artificial para fluxos em geometrias complexas com número de Reynolds alto e moderado, e superior em fluxos com número de Reynolds baixo, como fluxo em meios porosos. Uma vantagem do LBM é sua capacidade de simular fluido bifásico em geometrias complexas, e ele tem sido muito utilizado em simulações de fluxo mono e bifásico em meios porosos como solos e rochas. Sua

17 Capítulo 2. Metodologia 17 principal aplicação nesta área tem sido a determinação de permeabilidades absoluta e relativa de rochas (Gunstensen e Rothman, 1993, Ferreol e Rothman, 1995, Martys e Chen, 1996, Olson e Rothman, 1997, Hazlett et al., 1998, Keehm, 2003, Kutay et al., 2006, Ramstad et al, 2009). A determinação de relações saturação x pressão capilar tembém tem sido estudada com este método (Pan, 2004, Schaap et al., 2006, Porter et al., 2009). Ladd (Ladd, 1994) propôs a aplicação do LBM na análise de partículas suspensas em fluido acoplando o LBM ao movimento de partículas sólidas que não interagem entre si. Cook e Noble (Cook e Noble, 2004) acoplaram o LBM ao método dos elementos discretos para estudo de erosão de leito a duas dimensões. Boutt et al. (Boutt et al., 2007) aplicaram o sistema acoplado LBDEM à modelagem do problema de fraturamento hidráulico natural. Dadas as características dos problemas de interesse neste trabalho (fluxo mono e bifásico no meio poroso - geometria complexa - e acoplamento de movimentos das partículas com o fluxo), a literatura parece indicar que o LBM é, atualmente, o método mais adequado para se atingir os objetivos pretendidos. Um problema associado ao LBM convencional na solução das equações de Navier-Stokes para fluidos incompressíveis é o efeito de compressibilidade (He e Luo, 1997). Este efeito se torna relevante principalmente quando se utiliza a condição de diferencial de pressão imposta nos contornos, que é a condição de contorno adequada a estudos de produção de sólidos, por exemplo. Neste trabalho será utilizada a formulação proposta por He e Luo (He e Luo, 1997), acoplada ao DEM, que reduz o efeito de compressibilidade no LBM, o que permite a aplicação de diferenciais de pressão maiores do que o LBM convencional. Um aspecto que parece ser relevante no processo de produção de sólidos e que tem sido pouco abordado na simulação na microescala é a força capilar entre grãos. Gili e Alonso (Gili e Alonso, 2002) criaram um modelo acoplado utilizando o DEM e uma rede de poros onde a força capilar é calculada a partir da geometria estabelecida do menisco entre duas esferas. Ibañez (Ibañez, 2008) utilizou uma abordagem semelhante para estudos relacionados a solos residuais. Estes dois trabalhos tratam de domínios bidimensionais e têm sua aplicação voltada a estudos de solos não saturados. Grof et al. (Grof et al., 2009) usaram uma solução aproximada para a força capilar entre duas esferas numa simulação acoplada utilizando o DEM e a solução das equações de Navier-Stokes no regime permanente pelo método dos volumes finitos num domínio tridimensional. Neste capítulo são apresentados os métodos utilizados do desenvolvi-

18 Capítulo 2. Metodologia 18 mento do sistema fluidomecânico acoplado. Inicialmente será descrito o método dos elementos discretos que trata da movimentação e interação das partículas sólidas, em seguida será apresentado o método de lattice-boltzmann que resolve o fluxo mono e bifásico que ocorre nos poros do meio geológico, e finalmente será apresentado o esquema de acoplamento entre estes dois métodos. 2.2 Método dos Elementos Discretos O movimento e a interação entre partículas sólidas são modelados, neste trabalho, utilizando o método dos elementos discretos (Discrete Element Method - DEM). O DEM foi introduzido por Cundall (Cundall, 1971) para a análise de problemas de mecânica das rochas e depois aplicado a materiais granulares por Cundall e Strack (Cundall e Strack, 1979). No DEM, a interação entre as partículas sólidas (discos em 2D e esferas em3d)étratadacomoumprocessodinâmico.asforçasdoscontatosedeslocamentos de um conjunto de partículas são determinados pelo acompanhamento dos movimentos de partículas individuais. Os movimentos são resultados da propagação, através de um sistema de partículas, dos distúrbios causados por um movimento ou força impostos às paredes ou partículas. Este é um processo dinâmico onde a velocidade de propagação do distúrbio depende das propriedades físicas do sistema discreto. Admite-se que este comportamento dinâmico pode ser solucionado desde que se escolha um intervalo de tempo tão pequeno deformaqueodistúrbioemumapartículanãosepropaguealémdaspartículas vizinhas imediatas. Desta forma, em qualquer tempo as forças resultantes em cada partícula podem ser determinadas exclusivamente a partir da interação desta partícula com as partículas que fazem contato com ela. Como a velocidade de propagação do distúrbio é função das propriedades físicas do sistema discreto, o intervalo de tempo deve ser escolhido para satisfazer esta condição. O uso de um esquema numérico explícito, no lugar de um implícito, torna possível a simulação do comportamento não-linear de um grande número de partículas sem a exigência de memória excessiva ou a necessidade de um procedimento iterativo. Os cálculos do DEM alternam a aplicação da lei de Newton às partículas e a lei força-deslocamento nos contatos (fig. (2.1)).

19 Capítulo 2. Metodologia 19 Figura 2.1: Ciclo de cálculo do DEM A segunda lei de Newton do movimento é usada para descrever o movimento de uma partícula individual. A equação que governa o movimento translacional de uma partícula é: m dv dt = F a + nc j=1 F c,j +mg (2.1) onde m e v são, respectivamente, a massa e a velocidade da partícula, e nc é o número de contatos da partícula. As forças envolvidas são a força aplicada F a (que pode ser, por exemplo, a força de fluxo), a força gravitacional mg, e as forças nos contatos entre esta partícula e as que fazem contato com ela, F c,j. A equação que governa o movimento rotacional da partícula é: I dω dt = T a + nc j=1 T c,j (2.2) onde ω e I são, respectivamente, a velocidade angular e o momento de inércia da partícula, T c,j é o torque gerado pelas forças de contato entre esta partícula e as que fazem contato com ela, e T a é o torque aplicado na partícula. As equações do movimento (2.1) e (2.2) são integradas usando um procedimento de diferenças finitas centrais. A velocidade translacional, v, e a velocidade angular, ω, são calculadas no centro do intervalo de tempo, enquanto que acelerações, deslocamento, força e momento são calculadas nos seus extremos. Desta forma calcula-se as velocidades no tempo (t + t/2): ( ) F v (t+ t/2) = v (t t/2) t + m +g t (2.3)

20 Capítulo 2. Metodologia 20 ω (t+ t/2) = ω (t t/2) + Tt t (2.4) I sendo F e T a força e torque resultantes (devidos às forças aplicadas e às forças dos contatos). E com as velocidades obtém-se a posição do centróide e a rotação da partícula: x (t+ t) = x t +v (t+ t/2) t (2.5) θ (t+ t) = θ t +ω (t+ t/2) t (2.6) Sistemas dinâmicos naturais contém algum grau de amortecimento das vibrações que ocorrem, caso contrário o sistema ia oscilar indefinidamente quando submetido a carregamentos. Vários tipos de amortecimentos são propostos para a solução de problemas pelo DEM. Detalhes sobre estes tipos de amortecimentos utilizados no DEM são apresentados e discutidos por Figueiredo (Figueiredo, 1991) e no manual do software comercial PFC2D (Itasca, 2002). Para os problemas quasi-estáticos, como os abordados neste trabalho, o amortecimento local não-viscoso é indicado (Itasca, 2002). No amortecimento local um termo de amortecimento é adicionado às equações de movimento (eqs. (2.1) e (2.2)) de forma que as velocidades passam a ser dadas por: ( F v (t+ t/2) = v (t t/2) t + m +g+ F d m ( T ω (t+ t/2) = ω (t t/2) t + I + T d I t t ) t (2.7) ) t (2.8) onde as forças de amortecimento, F d e T d, são expressas como: F d = α F sign(v) (2.9) T d = α T sign(ω) (2.10) onde α é o coeficiente de amortecimento local. O comportamento geral de um material é simulado no DEM através de modelos constitutivos (lei força-deslocamento) simples associados a cada contato. Com o modelo constitutivo é calculada a força de contato entre duas partículas e entre uma partícula e uma parede. A figura (2.2) mostra uma

21 Capítulo 2. Metodologia 21 representação gráfica de um modelo constitutivo de rigidez linear elástico com escorregamento. Figura 2.2: Representação gráfica do modelo de contato entre partículas. À esquerda na direção normal e à direita na direção cisalhante. O vetor da força de contato F c pode ser decomposto nas componentes normal e cisalhante: F c = F N c +F S c (2.11) A força normal é dada por: F N c = K N U N n (2.12) onde K N é a rigidez normal do contato, n é o vetor normal ao plano de contato e U N é a sobreposição entre as duas entidades (fig.(2.3)): U N = { R 1 +R 2 d se contato entre partículas 1 e 2 R 1 d se contato entre partícula e parede (2.13) A força cisalhante é calculada de forma incremental. Quando um contato é formado, a força cisalhante de contato é nula, e subsequentes deslocamentos cisalhantes resultam em incrementos desta força: F S c = k S v S c t (2.14) sendo v S c a velocidade relativa cisalhante no contato e k S é a rigidez cisalhante do contato.

22 Capítulo 2. Metodologia 22 Figura 2.3: Notação usada para descrever os contatos O modelo de cimentação entre partículas adotado neste trabalho é definido por três parâmetros: a resistência à compressão, σ cc, a resistência à tração, σ ct, e a resistência ao cisalhamento, τ c. Se as forças normal de compressão, tração ou de cisalhamento excederem as forças resistentes dadas por: F C r = σ cc (R 1 +R 2 ) 2 Fr T = σ ct (R 1 +R 2 ) 2 (2.15) Fr S = τ c (R 1 +R 2 ) 2 a cimentação no contato é rompida tornando-se inativa. Quando a ruptura é por compressão ocorre também a quebra dos grãos. Este processo de quebra de grãos tem sido modelado de diversas maneiras no DEM. Holt et al. (Holt et al., 2008) usaram o conceito de superpartículas onde um grão pode ser formado por diversos elementos discretos e a resistência da cimentação entre contatos destes elementos é maior do que entre as superpartículas. Esta é uma abordagem interessante, principalmente por permitir a criação de grãos sólidos de formas diversas, entretanto o seu custo computacional é muito grande devido o grande número de partículas necessárias para a formação de um grão. A quebra de grãos foi simulada por Ibañez (Ibañez, 2008) utilizando uma abordagem inspirada no ensaio brasileiro. Quando a resistência à tração da partícula é alcançada, devido as forças de compressão geradas pelas partículas vizinhas, esta se quebra em duas de forma que a massa seja conservada. De maneiras mais simplificadas Marketos e Bolton (Marketos e Bolton, 2007) e Wang et al. (Wang et al., 2008) também implementaram a quebra de grãos. A abordagem utilizada neste trabalho se assemelha a descrita por Wang et al. (Wang et al., 2008), na qual quando a resitência à compressão de um contato é alcançada a cimentação é rompida e os raios das partículas que formavam este contato são diminuidos por uma fração (1% do raio da partícula). Esta diminuição de raio representa a fração da partícula que é esmigalhada pelo

23 Capítulo 2. Metodologia 23 processo de quebra. O modelo de escorregamento é definido pelo coeficiente de atrito no contato, µ, e somente é ativo se a cimentação no contato estiver inativa. Neste caso não é permitida a força de tração no contato, então: se U N < 0 então F N c = F S c = 0 (2.16) O modelo de escorregamento limita a força cisalhante a um valor máximo: F S max = µ F N c (2.17) E se F S c > F S max o escorregamento pode ocorrer, fazendo: F S c = F S c F S max F S c (2.18) As equações de movimento são integradas usando um esquema de diferenças finitas centrais. A solução destas equações só é estável se o intervalo de tempo não exceder um intervalo de tempo crítico. Uma forma simplificada de encontrar este intervalo de tempo crítico é considerar um sistema massa-mola unidimensional descrito por uma massa m e uma mola de rigidez k. O movimento desta massa é governado pela equação kx = mx. O intervalo crítico correspondente ao esquema de diferenças finitas de segunda ordem para esta equação é dada por (Bathe e Wilson, 1976): (m ) t crit = 2 k (2.19) Entretanto, como nas simulações realizadas com o DEM estão presentes várias partículas, calcula-se o t crit para cada partícula e adota-se o menor valor entre eles. E para considerar a interação entre as várias partículas, o que torna o sistema mais rígido, aplica-se um fator, geralmente t frac = 0.1 (Figueiredo, 1991), para se chegar ao intervalo de tempo utilizado nas simulações: t = t frac t min crit (2.20)

24 Capítulo 2. Metodologia Método de Lattice-Boltzmann Histórico O método de lattice-boltzmann (LBM) tem sua origem no modelo de lattice-gas (Frisch et al., 1986). O lattice-gas é construído como um modelo molecular dinâmico fictício simplificado onde o espaço, o tempo e velocidades das partículas são discretos. O modelo de lattice-gas consiste em uma rede regular com partículas residindo nos nós. Um conjunto de variáveis Booleanas n i (x,t) (i = 1,...,b) que descrevem a ocupação da partícula é definido para a rede, onde b é o número de direções de velocidade da partícula em cada nó. A partir de uma configuração inicial, a evolução das partículas à cada intervalo de tempo envolve duas etapas: a propagação, onde cada partícula se move para o nó mais próximo na direção de sua velocidade; e a colisão, que ocorre quando duas partículas chegam no mesmo nó e mudam sua velocidade de acordo com regras simples de colisão que conservam massa e quantidade de movimento. Apesar de simples este modelo é capaz de reproduzir o comportamento macroscópico do fluxo (Rothman e Zaleski, 2004). Entretanto, os modelos de lattice-gas apresentam algumas desvantagens, tais como ruído estatístico, e alguns comportamentos físicos indesejáveis (Qian et al, 1992). Para resolver as dificuldades dos modelos de lattice-gas surgiram os métodos de lattice-boltzmann. O primeiro foi proposto por McNamara e Zanetti(McNamara e Zanetti, 1988) que usaram a população média de partículas no lugar das variáveis Booleanas (n i passa a ser uma variável real entre 0 e 1 no lugar de 0 ou 1). Este procedimento eliminou o ruído estatístico. Uma simplificação importante no LBM foi proposta por Higuera e Jiménez (Higuera e Jimenez, 1989) que linearizaram o operador de colisão assumindo que a distribuição é próxima ao estado de equilíbrio local. Em 1990, Qian (Qian, 1990) sugeriu uma versão mais simples do operador de colisão que utiliza um único tempo de relaxação. O LBM proposto por Qian (1990) se tornou o mais utilizado pela sua simplicidade e eficiência (Succi, 2001, Chen e Doolen, 1998) Fluxo Monofásico O fluxo macroscópico é resultado da interação de várias partículas (moléculas) no nível microscópico. Considerando, no tempo t, um pequeno volume dx na vizinhança da posição x pode-se definir as variáveis macroscópicas

25 Capítulo 2. Metodologia 25 do fluxo (velocidade de fluxo, u e densidade do fluido, ρ) em x e t de acordo com (Chen, 1993): ρ(x, t)dx = mn(x, t) (2.21) u(x,t) = 1 n(x,t) v i (2.22) n(x, t) onde m é a massa da partícula (adotando aqui a mesma massa para todas as partículas), n(x,t) é o número de partículas ( ) no volume dx no tempo t, e v i é a velocidade da partícula. Das eq. (2.21) e (2.22) percebese que as variáveis macroscópicas do fluxo podem ser expressas como médias no volume dx. Logo, conhecendo-se a dinâmica destas partículas, que pode ser descrita pelas equações clássicas de Newton, poderia-se conhecer o fluxo no nível macroscópico. Entretanto este cálculo é impraticável por causa do número tão grande de partículas interagindo. Porém as quantidades físicas observáveis tais como velocidade e densidade são resultado de uma média estatística da dinâmica de um grande número de partículas (Succi, 2001). Desta forma, ao invés de seguir o movimento de cada uma destas partículas pode-se agrupá-las de acordo com suas posições e velocidades. As possíveis velocidades de uma partícula formam um espaço de velocidade, e uma velocidade particular define um ponto neste espaço. O produto direto dos espaços de posição e velocidade é chamado de espaço fase. Pode-se dividir o espaço fase em pequenos volumes dxdv. Uma partícula num volume centrado em(x,v)temsuaposiçãonavizinhançadexesuavelocidadenavizinhançade v.apartirdistodefine-secomof(x,v,t)dxdv onúmeroprováveldepartículas na posição x, no tempo t, com a velocidade v. A quantidade f(x,v,t) é conhecida como função de distribuição. As variáveis macroscópicas do fluido são relacionadas a f(x,v,t) por: i=1 ρ(x,t) = m f(x, v, t)dv (2.23) u(x,t) = vf(x,v,t)dv f(x,v,t)dv (2.24) onde tomou-se o limite dxdv 0. Com as eqs. (2.23) e (2.24) as variáveis macroscópicas do fluido podem ser calculadas se f(x,v,t) é conhecido. Como o número total de partículas deve ser conservado, as partículas que originalmente ocupam o volume dxdv centrado em (x,v) vão ocupar um volume dx dv centrado em (x,v ) no tempo t+ t. Então tem-se:

26 Capítulo 2. Metodologia 26 f(x,v,t+ t)dx dv = f(x,v,t)dxdv (2.25) Considerando que as partículas não interagem e que a dimensão do volume não varia (dxdv = dx dv ), a eq.(2.25) fica reduzida a: f(x,v,t+ t) = f(x,v,t) (2.26) onde: x = x+v t (2.27) v = v+ F t (2.28) m sendo F uma força externa. Por causa de colisões que ocorrem, algumas partículas originalmente no volume dxdv podem ser excluídas antes de alcançar o novo volume, e algumas partículas originalmente fora podem ser incluídas neste volume. Então a eq. (2.26) deve ser modificada por um termo adicional, δ c (variação da função distribuição por unidade de tempo), que considera as variações em f devido as colisões: f(x,v,t+ t) = f(x,v,t)+δ c (x,v,t) t (2.29) Fazendo t 0, a eq. (2.29) pode ser escrita como a seguinte equação diferencial: ( t +v x + F ) m v f(x,v,t) = δ c (x,v,t) (2.30) A eq. (2.30) é a forma geral da equação de Boltzmann. Da solução da equação de Boltzmann pode-se obter as quantidades macroscópicas do fluido a partir das eq. (2.23) e (2.24). O termo de colisão da eq. (2.30), δ c, deve ser consistente com as leis básicas de conservação (massa e quantidade de movimento) e depende da dinâmica detalhada das partículas. No geral, a forma de δ c é complexa e leva a equação de Boltzmann a uma forma integro-diferencial nãolinear (Salinas, 1997). A forma mais simples (mas ainda assim complexa) de δ c foi dada por Boltzmann para um gás diluto onde partículas sofrem somente colisões elásticas de curto alcance. Portanto, a solução direta da equação de Boltzmann não é um meio eficiente de analisar o fluxo de fluidos. Um problema é que o termo de colisão

27 Capítulo 2. Metodologia 27 tem que ser definido explicitamente para determinar inteiramente a equação de Boltzmann. Um outro problema é que a função de distribuição é uma função de x e v, enquanto que as variáveis macroscópicas são funções somente de x. Após resolver a equação para f(x,v,t) ainda é necessária a integração em v para se obter as variáveis macroscópicas pelas eq. (2.23) e (2.24). Considerando que grande parte dos detalhes das interações entre as partículas não influencia significantemente os valores das variáveis macroscópicas, expressões mais simples para o termo de colisão foram propostas. O operador de colisão deve ser tal que as condições de conservação de massa e quantidade de movimento sejam satisfeitas. O modelo de colisão mais conhecido e muito adotado é o modelo de aproximação BGK sendo expresso por (Bhatnagar et al., 1953, Wolf-Gladrow, 2000): δ c = 1 τ (feq (x,v,t) f(x,v,t)) (2.31) onde τ é o tempo de colisão e f eq é a função de distribuição de equilíbrio. A aproximação BGK expressa o fato de que as colisões tendem a relaxar a função distribuição para um valor de equilíbrio (Bhatnagar et al., 1953). Esta função de distribuição de equilíbrio é a de Maxwell-Boltzmann, visto que a equação de Boltzmann (2.30) no estado de equilíbrio, que corresponde ao limite t, deve recuperar a distribuição de Maxwell-Boltzmann (Salinas, 1997). Simplificando o termo de colisão através da adoção da aproximação BGK, a parte de velocidade do espaço fase pode ser considerada a principal causa da ineficiência na solução da equação de Boltzmann. Para reduzir a sua dimensão, considera-se um sistema artificial no qual as partículas podem residir somente nos nós de uma rede (discretização do espaço) e seus movimentos se dão de um nó para outro em intervalos de tempo definidos (discretização do tempo). A direção da velocidade é determinada pela direção das ligações que conectam um nó a outro (fig.(2.4)) e a magnitude da velocidade é dada pela distância entre cada par de nós da rede dividida pelo intervalo de tempo (discretização da velocidade). Consequentemente, a dimensão do espaço fase associado a uma rede ( lattice ) é significantemente menor do que no espaço fase contínuo. Uma vez que o espaço fase discreto é definido, pode-se construir a equação de lattice-boltzmann para a evolução de f(x,v,t). Como em uma rede só há um número discreto de valores de velocidades pode-se substituir v por um conjunto de valores possíveis de v α (α = 1,...,b; onde b é o número total de valores de velocidades) e escrever a função distribuição discreta como f α (x,t). Nem todas as configurações de rede são capazes de reproduzir o fluxo

28 Capítulo 2. Metodologia 28 macroscópico. A rede deve apresentar simetria suficiente para isto. A rede mais utilizada em duas dimensões é denominada D2Q9 (2 dimensões, 9 velocidades, sendo uma das velocidades nula) (fig. (2.4)), e para três dimensões são muito utilizadas as redes D3Q15 e D3Q19 (Wolf-Gladrow, 2000). Figura 2.4: Rede D2Q9 - duas dimensões, nove velocidades Os diversos métodos de lattice-boltzmann (que utilizam a discretizacão de velocidades) se diferenciam pelo tipo de modelo de colisão que adotam. O LBM que utiliza a aproximação de BGK, também conhecido como LBGK, é um dos mais utilizados pela sua simplicidade e eficiência (Succi, 2001). A equação de lattice-boltzmann, similar à eq. (2.29), utilizando a aproximação de BGK é dada por: f α (x+v α t,t+ t) = f α (x,t) t τ (f α(x,t) f eq α (x,t)) (2.32) sendo f eq α a função de distribuição discreta de equilíbrio. A função de distribuição discreta de equilíbrio deve ser função das variáveis macroscópicas, u e ρ, locais. Para as redes D2Q9 e D3Q19 ela é definida como (Qian et al, 1992, Wolf-Gladrow, 2000): f eq α (x,t) = w α ρ [ 1+3 (v α u) c (v α u) 2 c ] u 2 c 2 (2.33) onde v α são as velocidades da rede e w α são coeficientes que dependem da rede, e estão presentados no apêndice A, e c = x, sendo x o espaçamento t da rede e t o intervalo de tempo. Impondo condições iniciais e de contorno, a equação de lattice-boltzmann é resolvida e as variáveis macroscópicas do fluxo de fluido podem ser obtidas

29 Capítulo 2. Metodologia 29 com as seguintes expressões: ρ(x,t) = m u(x,t) = m ρ(x, t) b f α (x,t) (2.34) α=1 b v α f α (x,t) (2.35) α=1 Diferente da equação original de Boltzmann, a equação de lattice- Boltzmann envolve somente coordenadas espaciais, e o somatório em relacão a velocidade é feito de forma trivial. Para se determinar o comportamento macroscópico do LBM utilizase o procedimento de Chapman-Enskog (ou procedimento multi-escala) (Wolf-Gladrow, 2000). Com este procedimento obtém-se as equações de conservação de massa e de quantidade de movimento: u = 0 (2.36) u t +u u = P +ν 2 u (2.37) onde P = p/ρ, sendo p a pressão e ν a viscosidade cinemática do fluido. As equações acima são as equações de Navier-Stokes para fluido incompressível, entretanto duas condições são consideradas para se chegar a estas equações pelo procedimento multi-escala. A primeira diz que as variações de densidade devem ser pequenas, ρ/ρ 1, e a outra que o número de Mach também deve ser baixo, Ma 1. O número de Mach é definido por: Ma = u max c s (2.38) onde u max é a velocidade de fluxo máxima e c s a pseudo-velocidade do som no fluido (Nourgaliev et al., 2003), que para as redes D2Q9 e D13Q19 é dada por(qian et al, 1992, Wolf-Gladrow, 2000): c s = c 2 3 (2.39) A pressão é expressa por (Qian et al, 1992, Wolf-Gladrow, 2000):

30 Capítulo 2. Metodologia 30 p = ρc 2 s (2.40) que é a equação de estado de um gás ideal, e que é também adequada para líquido se as flutuações de densidade são pequenas, de forma que p = c 2 s ρ (Ladd e Verberg, 2001). A viscosidade cinemática é definida como (Qian et al, 1992, Wolf-Gladrow, 2000): ν = c2 3 t(τ 0.5) (2.41) onde τ = τ t é o tempo de colisão adimensional. Através da equ. (2.41) determina-se o tempo de colisão adimensional em função da viscosidade do fluido. etapas: A solução da equação de lattice-boltzmann é geralmente obtida em duas Colisão: Propagação: f α(x,t) = f α (x,t) 1 τ (f α(x,t) f eq α (x,t)) (2.42) f α (x+v α t,t+ t) = f α(x,t) (2.43) onde f α é a função distribuição pós-colisão. A etapa de colisão redistribui as partículas no nó devido o efeito de colisão, e a etapa de propagação propaga as partículas para os nós vizinhos. A solução do esquema é estável para τ > 0.5 (Wolf-Gladrow, 2000, Nourgaliev et al., 2003). Esta condição também garante uma viscosidade positiva (eq. (2.41)). Umaspectoimportantenoestudodofluxonomeioporosoéotratamento da condição de contorno nos sólidos do meio poroso. Na simulação do fluxo, a presença do sólido em repouso é representada pela condição de contorno de nãoescorregamento ( no-slip condition ) que especifica que o fluido não penetra o contorno e tem velocidade nula junto ao sólido. No LBM esta condição é obtida com a condição bounce-back que determina que as partículas de fluido que encontram uma superfície sólida são refletidas na direção da qual vieram (Verberg et al, 2000). A etapa de propagação para o tratamento dos sólidos é modificada da seguinte forma: Propagação: { f f α (x+v α t,t+ t) = α(x,t) se x é fluido (2.44) f α(x+v α t,t) se x é sólido

31 Capítulo 2. Metodologia 31 onde α é definido de forma que v α = v α. A condição do tipo bounceback considera que a parede sólida está localizada em x + 0.5v t. Para considerar a parede sólida num ponto qualquer entre x e x + v t Bouzidi et al. (Bouzidi et al, 2001) sugerem esquemas de interpolação. As condições de contorno, relevantes para os objetivos deste trabalho, são as do tipo periódico, pressão prescrita e velocidade prescrita. O método para a imposição das condições de contorno de pressão e velocidade adotado neste trabalho é o sugerido por Zou e He (Zou e He, 1997). O apêndice B apresenta as equações referentes à condição de contorno de pressão prescrita. A condição de contorno periódico simula a situação apresentada na figura (2.5), ou seja, é simulada uma região de um domínio que se repete na direção da condição de contorno periódico. No LBM esta condição de contorno é implementada fazendo com que, na etapa de propagação, as partículas de fluido que saem por um lado entrem pelo lado oposto, como mostrado na figura (2.6). Figura 2.5: Domínio Periódico Figura 2.6: Condição de Contorno Periódico

32 Capítulo 2. Metodologia LBM incompressível Para simular corretamente a equação de Navier-Stokes incompressível com o LBM, deve-se garantir que o número de Mach e a variação de densidade sejam pequenos. Entretanto, a única maneira de impor um gradiente de pressão para gerar o fluxo no LBM é mantendo um gradiente de densidade no sistema, porque a pressão não é uma variável independente (no LBM), sendo dada pela equação de estado de gás ideal (eq. (2.40)). Desta forma, a hipótese de densidade constante não é mais válida e a magnitude da variação de densidade pode ser significativa. Isto, inevitavelmente, trará erros nas simulações das equações de Navier-Stokes incompressível pelo LBM. He e Luo (He e Luo, 1997) propuseram um LBM para a equação de Navier- Stokes incompressível (identificado neste trabalho como LBM incompressível) cuja idéia básica é eliminar explicitamente o efeito de compressibilidade, desprezando os termos de ordem elevadas de Ma na função distribuição de equilíbrio (eq.(2.33)). Serão apresentadas neste trabalho as equações do LBM incompressível. Detalhes sobre a dedução e validade do método são descritas por He e Luo (He e Luo, 1997). A equação de evolução do LBM incompressível é dada por: p α (x+v α t,t+ t) = p α (x,t) 1 τ (p α(x,t) p eq α (x,t)) (2.45) sendo que a função distribuição de pressão foi definida como: p α c 2 sf α (2.46) e a função distribuição de pressão no equilibrio é: { [ ]} p eq α (x,t) = w α p+p 0 3 (v α u) + 9 (v α u) 2 3 u 2 c 2 2 c 4 2 c 2 (2.47) onde p 0 = c 2 sρ 0 e ρ 0 é a densidade de referência. As variáveis macroscópicas são dadas por: p(x,t) = p 0 u(x,t) = b p α (x,t) (2.48) α=1 b v α p α (x,t) (2.49) α=1

33 Capítulo 2. Metodologia 33 Através do procedimento de Chapman-Enskog, as equações deduzidas a partir do LBM incompressível são (He e Luo, 1997): 1 c 2 s P t + u = 0 (2.50) u t +u u = P +ν 2 u (2.51) onde P = p/ρ 0. Deve-se observar que as equações acima são as mesmas usadas no método de pseudo-compressibilidade para a solução das equações de Navier-Stokes (Nourgaliev et al., 2003, He e Luo, 1997). Duas condições devem ser satisfeitas para um fluido ser considerado incompressível (Landau e Lifshitz, 1959, He e Luo, 1997). A primeira é que a velocidade de fluxo deve ser pequena em relação à velocidade do som no fluido, ou seja o número de Mach deve ser baixo: Ma 1 (2.52) Na prática, usualmente, a condição Ma < 0.15 é mantida no LBM. Esta condição é suficiente somente para o regime permanente. Para o fluxo transiente outra condição deve ser satisfeita. Considerando T e L como o tempo e o comprimento característicos do problema, o tempo L/c s que um sinal sonoro leva para percorrer a distância L deve ser pequeno comparada com o tempo T que o fluxo varia consideravelmente, de forma que a propagação de interações (por ondas de pressão ou flutuações de densidade) no fluido possa ser considerada instantânea. Esta condição pode ser espressa como: T L c s (2.53) Logo, para satisfazer esta condição a variação temporal da pressão não deve ser muito rápida. No LBM incompressível a variação de pressão (ou variação de densidade) no espaço fica limitada pela condição de número de Mach pequenos somente, e não mais pela condição ρ/ρ 1 que precisa ser satisfeita no LBM convencional.

34 Capítulo 2. Metodologia Fluxo Bifásico Existem algumas formulações para o LBM multifásico, entre elas as mais utilizadas em meios porosos são a proposta por Gunstensen e Rothman (Gunstensen e Rothman, 1991) e a proposta por Shan e Chen (Shan e Chen, 1993). O primeiro método é baseado no modelo de lattice gas de Rothman e Keller (Rothman e Keller, 1988) e será identificado neste trabalho como RKLBM. No RKLBM são atribuídas cores às funções de distribuição para distinguir entre as diferentes fases e é incluída uma perturbação na função de distribuição que cria a tensão interfacial, separando as duas fases. No método proposto por Shan e Chen (SCLBM) é introduzida uma força de interação não-local entre as diferentes fases de nós vizinhos. No SCLBM, apesar da quantidade de movimento se conservar globalmente, não há conservação de quantidade de movimento local em cada nó da rede por causa da inclusão destas forças de interação. Neste trabalho será utilizado o RKLBM como descrito por Rothman e Zaleski (Rothman e Zaleski, 2004) com as modificações sugeridas por Latva-Kokko e Rothman (Latva-Kokko e Rothman, 2005). No RKLBM em cada nó da rede é possível existir dois tipos de partículas de fluido: as vermelhas e as azuis. Assim define-se r α (x,t) como função distribuição de partículas vermelhas e b α (x,t) como função distribuição de partículas azuis, de forma que f α (x,t) = r α (x,t)+b α (x,t). A idéia principal do método é separar a evolução da função distribuição em quatro etapas: (i) Colisão Semelhante ao fluxo monofásico a etapa de colisão é dada por: f α(x,t) = f α (x,t) 1 τ (f α(x,t) f eq α (x,t)) (2.54) (ii) Criação da tensão interfacial A etapa de criação da tensão interfacial é baseada na definição mecânica da tensão interfacial (Rowlinson e Widom, 1982): γ = [p N p T (z)]dz (2.55) sendo p N a componente da pressão normal à interface e p T a componente tangencial próxima à interface, que inclui a tensão interfacial o que a torna

35 Capítulo 2. Metodologia 35 diferente da componente normal (fig. (2.7)). Figura 2.7: Componentes da pressão nas proximidades da interface. Inicialmente é calculado o gradiente de cor local (fig. (2.8)), que é um vetor normal à interface entre as duas fases: g(x,t) = b i=1 v i c b [r j (x+v i t,t) b j (x+v i t,t)] (2.56) j=1 Conhecido o gradiente de cor local, modifica-se as distribuições no nó com a seguinte equação (fig. (2.8)): [ f α(x,t) = f (vα g) 2 α(x,t)+36w α A g 1 ] c 2 g 2 2 (2.57) A equação acima é válida para a rede D3Q19 e A é o parâmetro que regula a magnitude da tensão interfacial. Este termo de perturbação é escolhido de forma que se remova massa da população que se move paralelamente à interface e adicione massa à população que se move na direção normal à interface (de forma que a massa e a quantidade de movimento no nó se conserve), criando desta forma a tensão interfacial. A partir da definição mecânica da tensão interfacial (eq. (2.55)) e do tipo de rede utilizada, determina-se o parâmetro A que regula a tensão interfacial (Rothman e Zaleski, 2004). Para a rede D3Q19 o parâmetro A é dado por: t 3 A = γ (2.58) 172ρτ x 3

36 Capítulo 2. Metodologia 36 Figura 2.8: Etapa de criação da tensão interfacial no RKLBM. As cores azul e vermelha representam as duas fases e o cinza uma combinação das duas. (iii) Redistribuição das cores Para minimizar a difusão de uma cor na outra, as cores são redistribuídas para que ocorra a separação das fases. Nesta etapa adotou-se o método proposto por Latva-Kokko e Rothman (Latva-Kokko e Rothman, 2005): r α(x,t) = b α(x,t) = onde ρ r (x,t), ρ b (x,t) e α são definidos por: ρ r (x,t) ρ r (x,t)+ρ b (x,t) f α(x,t)+ α (2.59) ρ b (x,t) ρ r (x,t)+ρ b (x,t) f α(x,t) α (2.60) ρ r (x,t) = ρ b (x,t) = b r α (x,t) (2.61) α=1 b b α (x,t) (2.62) α=1 ρ r (x,t)ρ b (x,t) α = β (ρ r (x,t)+ρ b (x,t)) 2f0eq α cosϕ α (2.63) sendo β o parâmetro que fornece a tendência das duas fases se separarem, ϕ α é o ângulo entre o gradiente de cor g e a direção da velocidade v α, e f0 eq α é dada pela eq. (2.33) considerando a velocidade de fluxo u nula. Estas equações fazem com que, no nó, as partículas vermelhas se agrupem na direção dos nós vizinhos cuja concentração de partículas vermelhas seja maior, e o mesmo ocorra com as partículas azuis, conservando as massas totais de cada cor no

37 Capítulo 2. Metodologia 37 nó e a massa total em cada direção (fig. (2.9)). Figura 2.9: Etapa de redistribuição das cores no RKLBM. (iiii) Propagação E finalmente, é feita a etapa de propagação das funções de distribuição para os nós vizinhos: r α (x+v α t,t+ t) = r α(x,t) (2.64) b α (x+v α t,t+ t) = b α(x,t) (2.65) Molhabilidade A molhabilidade do fluido no sólido é controlada por um único parâmetro p que mede a fração de partículas vermelhas nos nós sólidos. No ínicio da simulação é atribuída uma cor (ou seja valores de ρ r e ρ b que são mantidos constantes durante a simulação) nos sólidos com o objetivo de se calcular o gradiente de cor local nos nós vizinhos aos sólidos. Se o fluido vermelho é completamente molhante p = 1, se é parcialmente molhante 1 < p < 0, e se os dois fluidos têm a mesma molhabilidade p = 0 (fig. (2.10)). Latva-Kokko e Rothman (Latva-Kokko e Rothman, 2005) demonstram que p = cosθ, sendo θ o ângulo de contato.

38 Capítulo 2. Metodologia 38 Figura 2.10: Molhabilidade dos sólidos no RKLBM. 2.4 Acoplamento Fluidomecânico O acoplamento do fluxo calculado pelo LBM com o movimento de partículas sólidas foi proposto inicialmente por Ladd (Ladd, 1994) com o objetivo de estudar partículas em suspensão. No trabalho desenvolvido por Ladd o contato entre partículas não é modelado, assim como no trabalho de Aidun e Lu (Aidun e Lu, 1995) que sugeriram uma abordagem alternativa ao método de Ladd. Cook e Noble (Cook e Noble, 2004) implementaram um sistema bidimensional acoplando o DEM ao LBM utilizando, para tratar o acoplamento fluidomecânico, o esquema de fronteiras móveis imersas ( immersed moving boundary scheme ) proposto por Noble e Torczynsky (Noble e Torczynsky, 1998). O acoplamento do fluxo de fluido com o movimento das partículas sólidas envolve duas etapas, no que se refere ao fluxo: 1. Definição da condição de contorno imposta ao fluido pelas partículas sólidas em movimento; 2. Cálculo da força de arraste de fluxo nas partículas sólidas. Em relação ao movimento das partículas, o efeito do fluxo é incorporado através da força e torque aplicados nas partículas que aparecem nas equações de movimento (eqs. (2.1) e (2.2)), respectivamente. Para simular as interações hidrodinâmicas entre as partículas sólidas e o fluxo de fluido a equação de lattice-boltzmann deve ser modificada para incorporar a condição de contorno do sólido em movimento. A condição de contorno na superfície sólida é a condição de não-escorregamento ( no-slip ), ou seja, o sólido é impermeável e o fluido adjacente à superfície sólida se move na mesma velocidade do sólido. Neste trabalho será usado o esquema proposto por Noble e Torczynsky (Noble e Torczynsky, 1998), que modifica a equação de lattice-boltzmann para forçar a condição de não-escorregamento nos nós da rede cobertos pelas partículas, juntamente com o LBM incompressível. A equação de lattice-boltzmann incompressível (eq. (2.45)) se torna:

39 Capítulo 2. Metodologia 39 p α (x+v α t,t+ t) = p α (x,t) 1 τ (1 B)(p α(x,t) p eq α (x,t))+bω s α (2.66) sendo B uma função-peso dada por: B(x,t) = ε(x,t)(τ 0.5) 1 ε(x,t)+(τ 0.5) (2.67) onde ε é a fração de sólido, definida pela fração do volume da célula ocupada pela partícula sólida (fig. (2.11)). Observa-se que para as células onde não há sólidos (B = 0) a eq. (2.66) repõe a eq. (2.45) Figura 2.11: Exemplo de campo de fração de sólidos Naeq.(2.66),Ω s α éotermoadicionaldecolisãoquemodificaasfunçõesde distribuição de pressão para tratar dos obstáculos sólidos. Este termo adicional é baseado no conceito de bounce-back da parte de não-equilíbrio da função de distribuição e é dado por (Noble e Torczynsky, 1998): Ω s α(x,t) = p α (x,t) p α (x,t)+p eq α(p,v p ) p eq α(x, t) (2.68) onde v p é a velocidade da partícula na posição x, no tempo t, e α representa a direção contrária à direção α. A força que é transferida para um sólido pode ser calculada a partir da variação da quantidade de movimento que ocorre por causa da colisão das partículas do fluido com o sólido, sendo dada então por: q = x3 c 2 s b (BΩ s α)v α (2.69) α=1 Logo, a força de fluxo exercida numa partícula é dada por:

40 Capítulo 2. Metodologia 40 np F f = n=1 q n t = x3 c 2 s t np n=1 b B n Ω s αv α (2.70) α=1 sendo np o número de nós cobertos pela partícula. O torque em relação ao centro de massa da partícula, x p, é dado por: T f = x3 c 2 s t np n=1 [ ] b B n Ω s αv α (x n x p ) α=1 (2.71)

41 3 Implementação O programa onde foram realizadas as implementaçãoes relativas a este trabalho foi, inicialmente, desenvolvido por Vargas (Vargas, 1982). O programa original, em linguagem FORTRAN, implementava o método dos elementos discretos para blocos bidimensionais poligonais deformáveis com fluxo monofásico pelas fraturas. Figueiredo (Figueiredo, 1991) implementou controles de amortecimento, Simões (Simões, 1994) implementou outras equações para o fluxo e propagação de ondas eláticas no fluido das fraturas. Campos (Campos et al. 2000) reestruturou o programa, denominando-o DemApp (Discrete Element Method Application), utilizando os conceitos de programação orientada a objetos (POO) e a linguagem C++. A POO é conveniente quando se considera a necessidade de manutenção e extensão do programa. Campos (Campos et al. 2000) implementou as partículas sólidas circulares rígidas bidimensionais (discos rígidos). A partir do programa desenvolvido por Campos et al. (Campos et al. 2000) foram feitas as implementações relacionadas a este trabalho, que são as seguintes: 1. Partículas sólidas circulares rígidas tridimensionais (esferas rígidas); 2. Modelo constitutivo de cimentação nos contatos e quebra de grãos; 3. Algoritmo de criação do domínio particulado; 4. Algoritmo de controle das tensões nos elementos do tipo parede. O método de lattice Boltzmann foi implementado no DemApp de duas maneiras. Quando a velocidade da partícula influencia o fluxo e o fluxo influencia o processo mecânico (por exemplo, em problemas de produção de sólidos) é utilizado o esquema de fronteiras móveis imersas como detalhado na seção (2.4) para o tratamento dos sólidos. Se não há a necessidade deste acoplamento direto (como, por exemplo, nas simulações para obtenção da permeabilidade do meio), é utilizada para o tratamento dos sólidos a condição do tipo bounce-back convencional. Isto foi feito desta forma porque quando não há o acoplamento direto não há a necessidade da representação dos nós

42 Capítulo 3. Implementação 42 sólidos. Cada nó fluido guarda apontadores para os seus nós vizinhos e quando este vizinho é sólido, o apontador é nulo. Como a fração de sólidos no domínio é geralmente alta (porosidade da ordem de 20% a 30%) este procedimento reduz consideravelmente o armazenamento e o tempo de cálculo, em relação a primeira alternativa. Para os problemas bidimensionais foi utilizada a rede D2Q9 e para os tridimensionas a rede D3Q19, e foram implementadas as condições de contorno periódica, de pressão imposta e de velocidade imposta. O acoplamento fluidomecânico (fig. (3.1)) é feito através da troca de informações entre os módulos de fluxo e o módulo mecânico. O módulo mecânico recebe do módulo de fluxo a posição e velocidades das partículas sólidas e envia a força de arraste em cada partícula sólida. Como o intervalo de tempo do módulo mecânico é menor do que o do fluxo, a cada passo de tempo do módulo de fluxo são realizados t f / t m passos de tempo do módulo mecânico. Figura 3.1: Esquema de acoplamento fluidomecânico

43 4 Resultados 4.1 Introdução Neste capítulo são apresentados os resultados das simulações realizadas com o programa desenvolvido. Inicialmente são apresentadas as simulações de verificação das implementações onde os resultados obtidos são comparados com soluções conhecidas. Para verificar a formulação do LBM incompressível simulou-se o fluxo entre duas placas paralelas gerado por diferença de pressão nos contornos. Para as simulações de produção de sólidos é importante que a força de fluxo transferida para as partículas sólidas seja corretamente calculada, logo, realizou-se simulações bi e tridimensionais de fluxo por uma partícula sólida que foram comparadas com resultados previamente publicados na literatura e com uma solução analítica, respectivamente. Quando se trata de fluxo bifásico duas propriedades são importantes: a tensão superficial e a molhabilidade da fase sólida. Logo, foram realizadas simulações para verificar se o LBM bifásico reproduz a lei de Laplace, que relaciona a diferença de pressão entre os dois fluidos e a tensão superficial, e se a molhabilidade é corretamente reproduzida. E finalmente foi verificado o cálculo das permeabilidades absoluta e relativa, através da simulação de fluxo mono e bifásico em uma geometria simples. Após as verificações foram feitas simulações para avaliar a ferramenta numérica nos estudos de dano mecânico de formação e produção de sólidos. O principal objetivo destas análises é estabelecer diretrizes para futuros melhoramentos na metodologia proposta. Em relação ao problema de dano mecânico foram realizadas simulações de fluxo mono e bifásico em uma amostra sintética constituída de esferas e submetida a vários estados deformação a fim de se analisar a relação tensão-deformação-permeabilidade desta amostra. Para os estudos de produção de sólidos realizou-se simulações bidimensionais acopladas em um domínio de partículas submetido a diferentes tensões confinantes e gradientes de pressão. As últimas simulações são relacionadas à verificação do LBM bifásico para o cálculo da força capilar entre duas partículas circulares.

44 Capítulo 4. Resultados Verificações Fluxo entre duas placas paralelas A fim de verificar a vantagem da formulação incompressível de He e Luo (He e Luo, 1997) em relação à formulação convencional na simulação de fluxo gerado por um gradiente de pressão simulou-se o fluxo bidimensional permanente laminar entre duas placas paralelas e comparou-se os resultados das simulações com a solução analítica para a velocidade: u x = P y(h y) (4.1) 2Lρν A tabela(4.1) apresenta os dados utilizados nas simulações. Nos sólidos(placas paralelas) foi utilizado o esquema de bounce-back como descrito na eq.(2.44). Tabela 4.1: Parâmetros da simulação de fluxo entre duas placas paralelas. H L ν ρ P x t [m] [m] [m 2 /s] [kg/m 3 ] [Pa] [m] [s] 1.6e-4 1.0e-3 2.0e e-5 2.0e-5 As figuras (4.1) e (4.2) mostram os perfis de velocidade entre as placas paralelas. Observa-se que o efeito da compressibilidade (variação da velocidade de fluxo ao longo do comprimento L) fica evidente na simulação feita com o LBM convencional, o que não ocorre na simulação realizada com a formulação incompressível. A figura(4.3) apresenta o resultado da simulação realizada com a formulação incompressível com um diferencial de pressão 10 vezes maior do que o exemplo anterior, e observa-se que mesmo para este gradiente não ocorre o efeito da compressibilidade. Para P = 167P a a formulação convencional fica instável e não produz resultados.

45 Capítulo 4. Resultados distância [mm] analítico x = 0 x = L/2 x = L velocidade [m/s] Figura 4.1: Perfil de velocidade - LBM convencional - P = 16.7Pa distância [mm] analítico x = 0 x = L/2 x = L velocidade [m/s] Figura 4.2: Perfil de velocidade - LBM incompressível - P = 16.7Pa

46 Capítulo 4. Resultados distância [mm] analítico x = 0 x = L/2 x = L velocidade [m/s] Figura 4.3: Perfil de velocidade - LBM incompressível - P = 167Pa Força transferida para a partícula sólida Duas simulações demonstram a capacidade da formulação incompressível do LBM em calcular corretamente a força de fluxo transferida para uma partícula sólida. O exemplo bidimensional simula uma partícula parada, enquanto que o tridimensional simula uma partícula em movimento. A primeira simulação consiste em um disco fixo entre duas placas planas paralelas com fluxo monofásico causado por um perfil parabólico de velocidade imposto nos contornos, como mostrado na figura 4.4. Esta verificação é relevante pois é representativa da força transmitida à partícula numa situação de alta concentração de sólidos (quando a parede está próxima à partícula). A tabela (4.2) apresenta os parâmetros utilizados nestas simulações. Tabela 4.2: Parâmetros da simulação da força transferida para uma partícula sólida. Re a L ν ρ x t [ ] [m] [m] [m 2 /s] [kg/m 3 ] [m] [s] x 20a 2.0e e-5 1.0e-4

47 Capítulo 4. Resultados 47 Figura 4.4: Geometria e condições de contorno do exemplo bidimensional para a verificação da determinação da força de arraste Os resultados obtidos com o LBM foram comparados com os resultados apresentados por Richou et al. (Richou et al., 2004), que simularam a mesma configuração utilizando o método de diferenças finitas. A figura (4.5) apresenta os resultados de Richou et al. (Richou et al., 2004) e os obtidos com o LBM incompressível. Observa-se que há uma boa concordância entre eles, entretanto para a/b altos, os valores calculados com o LBM são menores do que os de Richou et al. (2004). Isto se deve à discretização do LBM que permaneceu a mesma em todas as simulações, logo para a/b = 0.8 a distância entre o disco e as paredes é de somente dois nós. Pode-se concluir, então, que os resultados com o LBM incompressível são muito satisfatórios Richou el al. (2004) LBM incompressível F x ρνu max a b Figura 4.5: Comparação entre os resultados obtidos com o LBM incompressível e os resultados apresentados por Richou et al. (2004) Para avaliar o movimento de uma partícula sólida da rede e o cálculo da força de arraste, simulou-se uma esfera sólida em um fluido inicialmente parado. Na esfera é imposta uma velocidade constante. Na direção do movimento da esfera a condição de contorno é periódica e nos outros contornos é

48 Capítulo 4. Resultados 48 de velocidade nula imposta. Para o caso de uma esfera se movendo com uma velocidade constante num fluido, considerando baixos números de Reynolds, a lei de Stokes fornece a força de arraste, F d : F d = 6πρνr( u p ) (4.2) Os dados da simulação, em valores adimensionais, são: u p = 0.005; r = 5 x; ν = 1/6; ρ = 1.0; x = 1.0; t = 1.0. Para estes valores o número de Reynolds é 0.15, e a força de arraste é A dimensão da rede é 80x80x80 nós. A evolução da força de arraste na esfera é apresentada na figura (??), onde observa-se uma concordância satisfatória com o valor analítico, sendo o erro do valor calculado aproximadamente 3.5%, no regime estacionário. força de arraste adimensional LBM analítica tempo adimensional Figura 4.6: Comparação entre a solução analítica e a solução numérica para a força de arraste numa esfera Lei de Laplace Nesta seção são apresentadas simulações que mostram que o LBM bifásico é capaz de representar corretamente a lei de Laplace que relaciona o raio de curvatura de uma superfície com a diferença de pressão através desta superfície (Dullien, 1992). Estas simulações foram realizadas num domínio 3D com 41x41x2 nós, e os parâmetros utilizados estão apresentados na tabela (4.3). Foram adotadas condições de contorno periódico em todas as direções. Segundo a eq. (2.58), para estes valores, a tensão interfacial é γ = 1mN/m. A figura (4.7) mostra a condição de regime permanente para R = 0.36mm, enquanto que a figura (4.8) mostra os resultados das simulações e observa-se

49 Capítulo 4. Resultados 49 que há uma concordância satisfatória entre os resultados numéricos e a lei de Laplace, que para a configuração da simulação, é dada por: p = γ R (4.3) sendo γ a tensão interfacial e R o raio da bolha. Tabela 4.3: Parâmetros da simulação da lei de Laplace. A ν ρ x t [ ] [m 2 /s] [kg/m 3 ] [m] [s] 1.45e e e-5 4.0e pressão [Pa] x [mm] Figura 4.7: Condição de regime permanente para R = 0.36mm. O gráfico à direita mostra o perfil de pressão na reta que passa pelo centro da bolha y = 0.8mm. 6 5 Lei de Laplace LBM P [Pa] /R [1/mm] Figura 4.8: LBM bifásico - Verificação da lei de Laplace

50 Capítulo 4. Resultados Molhabilidade Como apresentado na seção (2.3.4), no RKLBM bifásico a tendência de um fluido molhar preferencialmente o sólido é controlado pelo parâmetro p. Foram realizadas simulações para verificar a relação p = cosθ, sendo θ o ângulo de contato. O domínio 3D utilizado tem 60x30x1 nós, e os parâmetros da simulação são os mesmos do exemplo anterior (tabela (4.3)). No topo e na base estão paredes sólidas cuja molhabilidade aos fluidos é controlada pelo parâmetro p. Foram adotadas condições de contorno periódico em todas as direções. A condição inicial é de uma gota do fluido molhante na forma de um semi-círculo no centro da parede inferior (fig. (4.9)). A figura (4.10) mostra os resultados obtidos. Figura 4.9: Condição inicial para a simulação de ângulos de contatos estáticos. p = 0.00 p = 0.25 p = 0.50 p = 1.00 Figura 4.10: Diferentes ângulos de contato simulados com o LBM bifásico Permeabilidade Relativa O cálculo da permeabilidade relativa foi verificado através de um problema simples cuja geometria é um tubo circular com raio R = 0.10mm

51 Capítulo 4. Resultados 51 e comprimento L = 0.08mm. O fluido não-molhante (nm) está na região 0 r < D e o fluido molhante (M) na região D r R como mostra a figura (4.11). O fluxo é gerado por uma aceleração g x = 50m/s 2, as densidades e viscosidades dos dois fluidos são iguais e com os valores ρ = 1000kg/m 3 e ν = m 2 /s. A tensão interfacial é γ = 1mN/m. O domínio tem 8x22x22 nós, x = m e t = s. A solução analítica para a distribuição da velocidade de fluxo num tubo circular, no regime permanente, é dada por: u x (r) = X ( R 2 r 2) (4.4) 4ρν sendo X = ρg x. A permeabilidade absoluta do meio é obtida quando ocorre o fluxo de um único fluido, por exemplo o fluido molhante. Para esta condição a vazão num tubo circular é dada por: Q M (1.0) = X 8ρν πr4 (4.5) e a permeabilidade absoluta é definida por: k = Q M(1.0)ρν AX (4.6) onde A é a área da seção transversal ao fluxo. Considerando dois fluidos como na figura (4.11), a vazão de cada fluido é calculada por: Q M = Q nm = 2π R 0 D 2π D 0 0 u x (r)rdrdθ (4.7) u x (r)rdrdθ (4.8) Como os dois fluidos, nos casos considerados neste trabalho, têm a mesma viscosidade, as permeabilidades relativas são dadas por: k rm (S M ) = Q M(S M ) Q M (1.0) k rnm (S M ) = Q nm(s M ) Q M (1.0) (4.9) (4.10) sendo a saturação de fluido molhante definida, nesta geometria, por:

52 Capítulo 4. Resultados 52 S M = 1.0 D2 R 2 (4.11) No LBM as vazões de cada fluido são calculadas, no regime permanente, pelas seguintes expressões: Q M = 1 nx Q nm = 1 nx nx ny nz x=1 y=1 z=1 nx ny nz x=1 y=1 z=1 ρ r (x,y,z) ρ r (x,y,z)+ρ b (x,y,z) u x(x,y,z) x 2 (4.12) ρ b (x,y,z) ρ r (x,y,z)+ρ b (x,y,z) u x(x,y,z) x 2 (4.13) A permeabilidade absoluta calculada com os resultados do LBM é k = m 2 = 1237D, enquanto que o valor analítico é k = 1250D. A figura (4.11) mostra a concordância satisfatória entre a solução analítica e os resultados da simulação de LBM bifásico para as permeabilidades relativas. 1 permeabilidade relativa saturação molhante Figura 4.11: Fluxo bifásico em um tubo 3D. À esquerda o esquema da simulação. À direita a curva de permeabilidade relativa. As linhas representam a solução analítica e os pontos os resultados do LBM. 4.3 Relação Tensão - Deformação - Permeabilidade A metodologia para se obter a relação tensão - deformação - permeabilidade utilizando o DEM aliado ao LBM é composta por três etapas (fig. (4.12)). Inicialmente é construída a amostra sintética formada por grãos esféricos. Dadas as dimensões e porosidade da amostra e os diâmetros mínimo e máximo dos grãos, são geradas, aleatoriamente, partículas esféricas que atendam estas especificações. Com esta amostra é feita a calibração dos parâmetros micromecânicos, de forma que a amostra sintética tenha o comportamento geomecânico macroscópico desejado. Para alguns pontos (σ, ǫ) dos ensaios geo-

53 Capítulo 4. Resultados 53 mecânicos são realizadas simulações de fluxo mono e bifásico, de forma que se obtenha os valores de permeabilidade correspondentes a estes pontos, construindo desta forma a relação tensão- deformação- permeabilidade. Observa-se que nesta aplicação as simulações com o DEM e o LBM são realizadas separadamente. Neste caso, adota-se a condição de bounce-back convencional (eq. 2.44) para tratar os sólidos. Figura 4.12: Metodologia para a obtenção das relações σ ǫ k utilizando o DEM e o LBM A amostra sintética (fig. (4.13)) foi construída com base no arenito Rio Bonito estudado por Barroso (Barroso, 2002). Entretanto, o algoritmo de geração de partículas gera uma granulometria com distribuição uniforme, enquanto que o arenito Rio Bonito tem uma granulometria próxima a uma distribuição normal. Assim, definiu-se um intervalo de diâmetro de partículas menordoqueadoarenito,paraevitarumgrandenúmerodepartículasgrandes e pequenas. Desta forma, a granulometria do material sintético é mais uniforme do que a do arenito Rio Bonito. A tabela (4.4) apresenta os dados utilizados para a construção da amostra sintética.

54 Capítulo 4. Resultados 54 Figura 4.13: Amostra sintética Tabela 4.4: Dados para a contrução da amostra sintética D min D max φ L x L y L z [mm] [mm] [ ] [mm] [mm] [mm] Os parâmetros micromecânicos foram calibrados para que a amostra sintética reproduzisse o comportamento geomecânico do arenito Rio Bonito nos ensaios de compressão triaxial convencional (CTC) apresentados por Barroso (Barroso, 2002). A tabela (4.5) apresenta os valores dos parâmetros micromecânicos e a figura (4.14) mostra as curvas tensão - deformação do arenito Rio Bonito e da amostra sintética. As curvas tensão - deformação simuladas numericamente reproduziram de forma satisfatória as curvas obtidas em laboratório. Observa-se nas curvas da amostra sintética as principais características de materiais geológicos como o trecho inicial elástico, onde não ocorreu a ruptura de cimentação, seguido do surgimento das fissuras, onde se iniciam as rupturas da cimentação, até que seja alcançada a resistência do material e, após o pico onde ocorre uma tendência à resitência residual. Entretanto o DEM não reproduz a variação da rigidez com a tensão confinante. Isto parece ser efeito do modelo elástico linear de contato (eqs. (2.12) e (2.14)), e a adoção de um modelo não-linear deve ser capaz de reproduzir esta característica.

55 Capítulo 4. Resultados 55 Tabela 4.5: Parâmetros micromecânicos do material sintético ρ g µ K N k S σ cc σ ct τ c [kg/m 3 ] [ ] [N/m] [N/m] [Pa] [Pa] [Pa] e7 1.69e e6 12.0e e Laboratório DEM σ d [MPa] σ c = 10 MPa σ d [MPa] σ c = 10 MPa 20 σ c = 5 MPa 20 σ c = 5 MPa 10 σ c = 2 MPa 10 σ c = 2 MPa ε v [%] 1 ε v [%] ε [%] ax ε [%] ax Figura 4.14: Curvas tensão-deformação do arenito Rio Bonito (Barroso, 2002) e da amostra sintética (DEM) - Ensaios CTC Uma trajetória de tensões que é importante nos estudos de reservatórios é a deformação uniaxial (ou condição oedométrica), onde impõe-se uma deformação vertical constante e as deformações laterais são restringidas. Com os parâmetros da tabela (4.5), foi realizada uma simulação de deformação uniaxial. A figura (4.15) mostra a curva tensão - deformação obtida nesta simulação. Observa-se que a curva apresenta o comportamento esperado para esta trajetória de tensões e que o mecanismo de quebra de grãos implementado no DEM parece simular satisfatoriamente o processo geomecânico de colapso de poros.

56 Capítulo 4. Resultados Deformaçao uniaxial σ d σ [MPa] σ lat ε ax [%] Figura 4.15: Curvas tensão-deformação da amostra sintética (DEM) para a simulação de deformação uniaxial Para a simulação de fluxo foi utilizada uma subamostra, visto que as simulações com o LBM são demoradas. A figura (4.16) mostra a estrutura porosa do domínio onde foram realizadas as simulações de fluxo. Este domínio é um cubo, com 3.2mm de aresta, localizado no centro da amostra. A tabela (4.6) mostra os parâmetros utilizados nas simulações de fluxo monofásico. As condições de contorno das simulações são condição periódica na direção do fluxo e paredes sólidas nas outras direções. Como nas simulações apresentadas na seção (4.2.5), o fluxo é gerado pela aplicação de uma aceleração g. Tabela 4.6: Parâmetros para as simulações de fluxo x t ν ρ g x [m] [s] [m 2 /s] [kg/m 3 ] [m/s 2 ] 4.0e-5 4.0e e

57 Capítulo 4. Resultados 57 Figura 4.16: Estrutura porosa (em azul) utilizada nas simulações de fluxo. A tabela (4.7) apresenta os valores das permeabilidades absolutas para (σ c = 10MPa,σ d = 0MPa), considerada a condição inicial. Observa-se que a permeabilidade média (média das permeabilidades nas três direções) é muito superior ao valor médio obtido experimentalmente por Barroso(Barroso, 2002) para o arenito Rio Bonito. Entretanto é importante observar que o valor calculado pelo LBM se encontra no intervalo esperado para uma areia limpa, sendo este intervalo entre 1D e 1000D (Bear, 1972, Freeze e Cherry, 1979). Supõe-se que os principais fatores que podem estar relacionados à diferença entre o valor obtido experimentalmente para o arenito Rio Bonito e o calculado para a amostra sintética são os seguintes: 1. Diferença granulométrica: A amostra sintética tem uma granulometria menos sortida do que o arenito Rio Bonito e obedece uma distribuição uniforme enquanto que a do arenito Rio Bonito obedece uma distribuição normal. 2. Falta da representação da cimentação na estrutura porosa: A cimentação entre grãos é simulada no comportamento mecânico através de um modelo de contato, mas ela não é representada fisicamente na simulação de fluxo. A sua representação física modifica a geometria dos poros. 3. Forma dos grãos: Os grãos, que podem apresentar diferentes graus de esfericidade, são representados sempre por partículas esféricas.

58 Capítulo 4. Resultados 58 Todos estes fatores estão relacionados à tortuosidade e à superfície específica do meio, que quanto maior forem, menor será a permeabilidade absoluta do meio. Observa-se na tabela (4.7) que na direção z a permeabilidade é ligeiramente maior que nas outras duas direções, mesmo a amostra estando submetida a uma tensão hidrostática. Observando a variação da porosidade nas seções transversais ao fluxo (fig. (4.17)), nota-se que na direção z esta variação é menor, o que pode estar relacionado com uma menor tortuosidade do meio, levando a uma permeabilidade maior. Esta anitropopia inicial está relacionada ao processo de criação da amostra sintética. Tabela 4.7: Valores de permeabilidade absoluta (em darcy) Rio Bonito LBM valor médio k x k y k z porosidade porosidade porosidade seções x seções y seções z Figura 4.17: Porosidade nas seções tranversais ao fluxo em cada uma das direções. Além das simulações de fluxo realizadas para a condição inicial, realizouse simulações, também nas três direções, em mais quatro estágios da curva tensão-deformação do ensaio CTC (σ c = 10MPa). A figura (4.18) mostra

59 Capítulo 4. Resultados 59 a variação da permeabilidade em cada direção junto com a curva tensãodeformação, considerando a variação da permeabilidade definida por: k = k0 i k ǫax i ki 0 (4.14) Observa-se que as variações das direções x e y são semelhantes, como esperado, visto que o material e o carregamento são isotrópicos no plano xy. Na direção z a variação de permeabilidade é mais significativa após a ruptura da amostra, provavelmente por causa da abertura no plano de ruptura. A figura (4.19) mostra a variação de permeabilidade em estágios do ensaio de deformação uniaxial. A variação entre o estágio inicial e o correspondente à ǫ ax = 1.42% é de 16% σ d [MPa] σ c = 10 MPa k x 0.8 k y 20 ε v [%] 0.4 k z 10 k [%] ε [%] ax Figura 4.18: Curvas tensão-deformação da amostra sintética para o ensaio CTC e os valores de permeabilidade calculados nas simulações. Os marcadores indicam os estágios onde foram realizadas as simulações de fluxo.

60 Capítulo 4. Resultados Deformaçao uniaxial σ d 31 σ [MPa] 60 k 29 k [D] 40 σ lat ε ax [%] Figura 4.19: Curvas tensão-deformação para a simulação de deformação uniaxial e a variação da permeabilidade. Os marcadores indicam os estágios onde foram realizadas as simulações de fluxo. Para o estudo das permeabilidades relativas foram feitas simulações para dois estados de tensão: 1. ET0: condição hidrostática σ x = σ y = σ z = 10MPa; 2. ET2: estado de tensão σ x = σ y = 35.7MPa,σ z = 124.6MPa, correspondente à ǫ ax = 1.42%, no ensaio de deformação uniaxial. As condições de contorno e os parâmetros são os mesmos das simulações do fluxo monofásico (tabela (4.6)). Os parâmetros relacionados ao fluxo bifásico são: A = 1.0e 4, e p = 1.0. Cada simulação é iniciada com todos os nós da rede com as mesmas saturações de fluido molhante e não molhante, e por causa da tensão interfacial e da molhabilidade dos sólidos os fluidos se separam e a simulação prossegue até que seja alcançado o regime permanente, onde são calculadas as vazões de cada fluido pelas eqs. (4.12) e (4.13). Com estes valores obtem-se as permeabilidades relativas com as eqs. (4.9) e (4.10). Como nas simulações de fluxo monofásico, o fluxo é gerado pela aplicação de uma aceleração g x. Todas as simulações de fluxo bifásico são na direção x. A figura(4.20) apresenta as curvas de permeabilidade relativa calculadas. Observa-se que o efeito da deformação unixial nas curvas de permeabilidade relativa é semelhante ao efeito observado por Botset (Botset, 1940) quando comparou a permeabilidade relativa de uma areia não consolidada com uma areia consolidada. Entretanto, observa-se também que as saturações residuais são bem menores do que as esperadas para materiais geológicos. Isto se deve, provavelmente, aos mesmos fatores que influenciam no valor da permea-

61 61 Capı tulo 4. Resultados bilidade absoluta, visto que nas simualc o es bidimensionais realizadas (onde a tortuosidade era menor), as saturac o es residuais eram nulas. 1 permeabilidade relativa ET0 k rm ET0 k rnm ET1 krm ET1 krnm saturação molhante PUC-Rio - Certificação Digital Nº /CA Figura 4.20: Curvas de permeabilidade relativa para a amostra sinte tica para 2 esta gios de tensa o diferentes. Sw = 5% Sw = 20% Sw = 40% Sw = 60% Sw = 80% Sw = 95% Figura 4.21: Distribuic a o dos fluidos na estrutura porosa para diversas saturac o es, para o estado de tensa o ET0

62 62 PUC-Rio - Certificação Digital Nº /CA Capı tulo 4. Resultados Sw = 5% Sw = 20% Sw = 40% Sw = 60% Sw = 80% Sw = 95% Figura 4.22: Distribuic a o dos fluidos na estrutura porosa para diversas saturac o es, para o estado de tensa o ET1 4.4 Produc a o de So lidos Para avaliar o me todo em sua capacidade de reproduzir os processos de deformac a o, ruptura e erosa o de meios granulares foram realizadas simulac o es bidimensionais de produc a o de so lidos. Inicialmente foram realizadas simulac o es de ensaios geomeca nicos de compressa o biaxial para caracterizar o comportamento tensa o x deformac a o x ruptura do material granular. Os para metros micromeca nicos esta o apresentado na tabela (4.8), e as curvas tensa o x deformac a o dos ensaios biaxiais esta o apresentados na figura (4.23). Observa-se que o material apresenta comportamento geomeca nico compatı vel com materiais geolo gicos de comportamento du ctil, para as tenso es confinantes utilizadas nestas simulac o es. A tabela (4.9) apresenta os para metros geomeca nicos macrosco picos deste material. Os para metros ela sticos foram obtidos considerando o estado plano de deformac a o.

63 Capítulo 4. Resultados 63 Tabela 4.8: Parâmetros micromecânicos do material D min D max µ K N k S σ ct τ c [mm] [mm] [ ] [N/m] [N/m] [Pa] [Pa] e10 2.6e10 4.0e6 40.0e σ c = 10 σ d [MPa] σ c = 5 σ c = 2 ε v [%] σ = 2 σ c c = 5 σ c = ε [%] a Figura 4.23: Comportamento tensão-deformação, simulado com o DEM, do material granular usado nas simulações de produção de sólidos Tabela 4.9: Parâmetros geomecânicos macroscópicos do material c φ q u E coef.poisson [MPa] [graus] [MPa] [GPa] [ ] Após a caracterização do material foram realizadas as simulações de produção de sólidos. A configuração das simulações foi baseada nos ensaios realizados por Bianco (Bianco, 1999). A região simulada corresponde ao extremo de um canal de perfuração (fig. (4.24)). O meio granular é inicialmente submetido a uma tensão confinante igual nas duas direções, e depois de estabilizada esta condição é feito o furo na parede esquerda ao mesmo tempo

64 Capítulo 4. Resultados 64 que é imposto um diferencial de pressão entre as três outras paredes e o furo (figura (4.25)). Estas condições (tensão confinante e diferencial de pressão) são mantidas constantes durante toda a simulação. As paredes à esquerda, onde se localiza o furo, são mantidas fixas e impermeáveis. Para permitir conectividade no fluxo de fluido neste esquema bidimensional, utilizou-se a mesma abordagem adotada por Boutt et al. (Boutt et al., 2007) que consiste em adotar o raio hidráulico das partículas sólidas como uma porcentagem do raio mecânico. Neste trabalho adotou-se que o raio hidráulico é 80% do raio mecânico. A tabela (4.10) apresenta os dados da simulação de fluxo onde foi utilizado um domínio de 396 x 377 nós. Tabela 4.10: Parâmetros de fluxo das simulações x t ν ρ f [m] [s] [m 2 /s] [kg/m 3 ] 4.0e e e Figura 4.24: Região de simulação

65 Capítulo 4. Resultados 65 Figura 4.25: Geometria e condição de contorno para as simulações de produção de sólidos Foram realizadas simulações com tensões de confinamento, σ c, de 1MPa e 2MPa e com gradientes de pressão, P/L, de 0.25MPa/m e 1.00MPa/m. A figura (4.26) apresenta as curvas de produção de sólidos obtidas das simulações e as figuras (4.27) a (4.31) as posições das partículas em determinados tempos. A cimentação entre partículas que permaneceu intacta está apresentada na figura (4.32). A figura (4.33) mostra os campos de velocidade no final das simulações e a figura (4.34) o campo de pressões correspondente. Observa-se que todas as condições analisadas levaram a uma situação de arco estável. As duas simulações realizadas com σ c = 1MPa levaram a uma condição de arco estável muito semelhante. Isto ocorreu porque, para esta tensão confinante, foi mantida uma região próxima ao furo com a cimentação intacta (fig. (4.32)) e o aumento do gradiente não provocou ruptura de cimentação além do provocado pelo furo. Esta região intacta pode estar relacionada à menor tensão desviadora que ocorre na parede do furo, em comparação com o caso de tensão confinante maior. Nas simulações realizadas com σ c = 2MPa, para o gradiente maior ( P/L = 1.00MPa/m) a região erodida é maior. A força de arraste gerada pelo gradiente menor ( P/L = 0.25MPa/m) não foi capaz de vencer a força de atrito (resistência residual) que manteve os grumos da região inferior do furo estáveis, mesmo que nesta região a cimentação esteja rompida. Observa-se também que as taxas de produção para a condição σ c = 2MPa são menores do que as para condição

66 Capítulo 4. Resultados 66 σ c = 1MPa, provavelmente por causa da força de atrito que na condição de σ c = 2MPa é maior. Os resultados obtidos mostram que para que haja a produção de sólidos a cimentação deve ser rompida por processos mecânicos, pois a força de fluxo não é suficiente para romper a cimentação entre grãos, o que é consistente com os modelos constitutivos macroscópicos que relacionam a taxa de erosão com a deformação plástica. Observa-se que baixos gradientes de pressão podem não ser suficientes para mobilizar grumos que estejam estáveis somente pela força de atrito, desta forma parece que o gradiente de pressão influencia tanto a taxa de produção como o total de material produzido. Um aspecto que deve ser mencionado é que a condição bidimensional adotada não permite que partículas não cimentadas no interior da amostra sejam produzidas, o que deve ter grande influência no enfraquecimento da amostra, o que não foi observado nas simulações realizadas. É importante observar que estas simulações têm como objetivo principal avaliar a ferramenta desenvolvida na representação dos processos de produção de sólidos. Outras simulações considerando domínios tridimensionais, outros materiais e outras condições de contorno são importantes para se obter conclusões sobre os processos de produçõo de sólidos mais consistentes produçao de sólidos [kg] σ c = 2, P/L = 1.00 σ c = 1, P/L = 1.00 σ c = 1, P/L = 0.25 σ c = 2, P/L = tempo [s] Figura 4.26: Curvas de produção de sólidos (σ c em MPa, P/L em MPa/m)

67 Capítulo 4. Resultados 67 σ c = 1MPa, P/L = 0.25MPa/m σ c = 1MPa, P/L = 1.0MPa/m σ c = 2MPa, P/L = 0.25MPa/m σ c = 2MPa, P/L = 1.0MPa/m Figura 4.27: Posição das partículas. t = 0 σ c = 1MPa, P/L = 0.25MPa/m σ c = 1MPa, P/L = 1.0MPa/m σ c = 2MPa, P/L = 0.25MPa/m σ c = 2MPa, P/L = 1.0MPa/m Figura 4.28: Posição das partículas. t = 0.062s

68 Capítulo 4. Resultados 68 σ c = 1MPa, P/L = 0.25MPa/m σ c = 1MPa, P/L = 1.0MPa/m σ c = 2MPa, P/L = 0.25MPa/m σ c = 2MPa, P/L = 1.0MPa/m Figura 4.29: Posição das partículas. t = 0.124s σ c = 1MPa, P/L = 0.25MPa/m σ c = 1MPa, P/L = 1.0MPa/m σ c = 2MPa, P/L = 0.25MPa/m σ c = 2MPa, P/L = 1.0MPa/m Figura 4.30: Posição das partículas. t = 0.186s

69 Capítulo 4. Resultados 69 σ c = 1MPa, P/L = 0.25MPa/m σ c = 1MPa, P/L = 1.0MPa/m σ c = 2MPa, P/L = 0.25MPa/m σ c = 2MPa, P/L = 1.0MPa/m Figura 4.31: Posição das partículas. t = 0.248s

70 Capítulo 4. Resultados 70 σ c = 1MPa, P/L = 0.25MPa/m σ c = 1MPa, P/L = 1.0MPa/m σ c = 2MPa, P/L = 0.25MPa/m σ c = 2MPa, P/L = 1.0MPa/m Figura 4.32: Cimentação entre partículas no tempo t = 0.248s. Os pontos azuis mostram as cimentações entre grãos que permaneceram intactas

71 Capítulo 4. Resultados σ c = 1MPa, P/L = 0.25MPa/m σ c = 1MPa, P/L = 1.0MPa/m σ c = 2MPa, P/L = 0.25MPa/m σ c = 2MPa, P/L = 1.0MPa/m Figura 4.33: Campo de velocidades (em m/s). t = 0.248s σ c = 1MPa, P/L = 0.25MPa/m σ c = 1MPa, P/L = 1.0MPa/m σ c = 2MPa, P/L = 0.25MPa/m σ c = 2MPa, P/L = 1.0MPa/m Figura 4.34: Campo de pressões (em Pa). t = 0.248s