EQUILÍBRIO DE NASH E COMPETIÇÃO DE STACKELBERG NA SAZONALIZAÇÃO NO MERCADO DE ENERGIA BRASILEIRO

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1 EQUILÍBRIO DE NASH E COMPETIÇÃO DE STACKELBERG NA SAZONALIZAÇÃO NO MERCADO DE ENERGIA BRASILEIRO AMANDA CECILIA SANTANA DUSSE - amandusse@gmail.com UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS - UFMG ADRIANO CHAVES LISBOA - adriano.lisboa@enacom.com.br ENACOM - HANDCRAFTED TECHNOLOGIES ALICE COUTO CALASENSE RODRIGUES - aliceccr@gmail.com HANDCRAFTED TECHNOLOGIES - ENACOM FELLIPE FERNANDES GOULART DOS SANTOS - fellipe.santos@gmail.com COMPANHIA ENERGÉTICA DE MINAS GERAIS - CEMIG RODNEY REZENDE SALDANHA - rodney@cpdee.ufmg.br UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS - UFMG Resumo: ESSE ARTIGO APRESENTA UMA FORMULAÇÃO BASEADA EM TEORIA DOS JOGOS PARA O PROBLEMA DE SAZONALIZAÇÃO DO SETOR DE ENERGIA ELÉTRICO BRASILEIRO. A SAZONALIZAÇÃO É REALIZADA POR AGENTES DE GERAÇÃO HIDRELÉTRICA E CONSISTE DEFINIR ALOCAÇÕES MENSAIS DO MONTANTE DE ENERGIA CONTRATADO, SENDO UMA FORMA DE DIVIDIR O RISCO HIDROLÓGICO ENTRE TODOS OS AGENTES. PARA A FORMULAÇÃO EM TEORIA DOS JOGOS, FORAM CONSIDERADOS DOIS AGENTES COM FUNÇÕES OBJETIVO SIMÉTRICAS, DEPENDENTES DO PREÇO DA ENERGIA, DA GERAÇÃO HIDRELÉTRICA E DA ESTRATÉGIA DO OUTRO JOGADOR. O PRIMEIRO JOGADOR É O AGENTE OTIMIZADOR E OS OUTROS AGENTES COMPÕEM O SEGUNDO JOGADOR. O PROBLEMA É RESOLVIDO COM DOIS TIPOS DISTINTOS DE INTERAÇÕES: EQUILÍBRIO DE NASH E COMPETIÇÃO DE STACKELBERG. PARA O CÁLCULO DO EQUILÍBRIO DE NASH FOI UTILIZADA UMA ESTRATÉGIA COEVOLUCIONÁRIA E PARA A COMPETIÇÃO DE STACKELBERG, O ALGORITMO ELIPSOIDAL. OS RESULTADOS INDICAM QUE AMBAS AS ESTRATÉGIAS CONVERGIRAM PARA O MESMO PERFIL, E QUE NÃO É VANTAJOSO ALOCAR MUITA ENERGIA NOS MESES EM QUE A GERAÇÃO É BAIXA OU NOS MESES QUE O PREÇO DA ENERGIA É ALTO. Palavras-chaves: SAZONALIZAÇÃO MRE; EQUILÍBRIO DE NASH; COMPETIÇÃO DE STACKELBERG; TEORIA DE JOGOS Área: 6 - PESQUISA OPERACIONAL Sub-Área: TEORIA DA DECISÃO E TEORIA DOS JOGOS

2 NASH EQUILIBRIUM AND STACKELBERG COMPETITION IN THE SEASONAL ENERGY TRADING OF BRAZILIAN ENERGY MARKET Abstract: THE SEASONAL ENERGY TRADING IS AN IMPORTANT PROCESS IN BRAZILIAN ENERGY MARKET. IT IS THROUGH IT THAT GENERATION AGENTS CAN PROTECT THEMSELVES AGAINST THE EXPOSURE RISK OF THE SHORT-TERM MARKET OR USE A MORE AUDACIOUS STRATEGY IN ORDER TO MMAXIMIZE THEIR INCOME, ALTHOUGH IT MAKES THEM MORE EXPOSED TO RISKS. IN THIS SENSE, THIS PAPER PRESENTS A FORMULATION BASED IN GAME THEORY TO REPRESENT THE PROBLEM OF SEASONAL ENERGY TRADING. IN ORDER TO FORMULATE THE PROBLEM IN GAME THEORY, TWO PLAYERS WERE CONSIDERED WITH SYMMETRIC OBJECTIVE FUNCTIONS, WHICH DEPEND OF ENERGY PRICE, HYDROELECTRIC GENERATION AND THE OTHER PLAYER S STRATEGY. THE FIRST PLAYER IS THE OPTIMIZER AGENT AND THE OTHERS AGENTS OF THE PARTICIPATING MARKET COMPOSE THE SECOND PLAYER. THE PROBLEM IS SOLVED WITH TWO DISTINCT INTERACTIONS: NASH EQUILIBRIUM AND STACKELBERG COMPETITION. A COEVOLUTIONARY STRATEGY WAS USED TO FIND A NASH EQUILIBRIUM AND THE ELLIPSOIDAL ALGORITHM WAS USED TO SOLVE THE STACKELBERG COMPETITION OPTIMIZATION PROBLEM. THE EXPERIMENTS SHOW THAT BOTH STRATEGIES CONVERGE TO THE SAME VALUE, AND THAT IT IS NOT PROFITABLE ALLOCATING MUCH ENERGY IN THE MONTHS WHERE THE EXPECTED GENERATION OR ENERGY PRICE ARE LOW. Keyword: SEASONAL ENERGY TRADING; NASH EQUILIBRIUM; STACKELBERG COMPETITION; GAME THEORY 2

3 1. Introdução O decreto n o 2655, de 2 de julho de 1998 (Brasil, 1998) reformulou alguns aspectos do setor elétrico brasileiro, baseado no Projeto de Reestruturação do Setor (Projeto RESEB), coordenado pelo Ministério de Minas e Energia (MME). Foi decretado que os segmentos de produção e comercialização têm liberdade para competir com preços definidos pelo mercado, criado o Mercado Atacadista de Energia, atualmente rebatizado de Câmara de Comercialização da Energia Elétrica (CCEE) e também criado o mecanismo de realocação de energia (MRE), que tem como objetivo o compartilhamento do risco hidrológico entre os agentes de geração hidrelétrica. A CCEE atua como operadora do mercado de energia, sendo uma das suas principais atividades, no âmbito operacional, a contabilização das operações de compra e venda da energia, apurando mensalmente as diferenças entre os montantes contratados e os montantes efetivamente gerados ou consumidos pelos agentes de mercado. Além disso, a CCEE também é responsável pelo cálculo e divulgação do preço spot do mercado de energia brasileiro: o preço de liquidação das diferenças (PLD). Em 2004, com base no decreto n o 5163, de 30 de julho de 2004 (Brasil, 2004), a comercialização de energia no Brasil foi separada em dois ambientes: um ambiente regulado com tarifas e flexibilidades contratuais definidas pelo governo e um ambiente de livre negociação, onde os preços e flexibilidades contratuais são definidas entre as partes envolvidas na negociação. Um dos processos que pode influenciar na formação desses preços é a sazonalização, processo que consiste em definir alocações mensais do montante de energia contratado. Cada agente atua no estabelecimento da sazonalização, com o objetivo de maximizar sua receita e/ou minimizar o risco de exposição ao mercado de curto prazo (MCP). O processo de sazonalização de energia é feito no final de cada ano e interfere na receita do ano seguinte de todos agentes de comercialização, geração e consumo (CCEE, 2008, 2012). Esse processo pode ser dividido em três etapas: i. sazonalização dos contratos de compra e venda de energia; ii. sazonalização da energia assegurada das usinas para fins de verificação de lastro; iii. sazonalização da energia assegurada das usinas para fins de ajuste do MRE, que é a etapa estudada neste artigo. Assim, para um melhor entendimento, o termo sazonalização aplicado neste artigo, sempre irá se referir a essa etapa. Devido às regras de mercado, a sazonalização dos outros agentes também interferem na receita de um agente, que é o foco de estudo deste artigo. Com as novas regras de mercado implementadas a partir de 2013 (ANEEL, 2013), esse efeito ficou mais evidente, onde a 3

4 sazonalização feita por algum agente pode ter um impacto significativo na sazonalização final do MRE e do lastro. Como a informação de sazonalização dos outros agentes é estratégica e não está disponível, uma das maneiras de representar essa estratégia é considerar uma premissa previamente definida. Contudo, a estratégia dos outros agentes pode ser melhor tratada por métodos de análise formais. Uma abordagem intuitiva e formal para considerar a estratégia dos outros agentes é tentar prevê-la, tipicamente utilizando dados históricos. Nesse sentido, em mercados de energia, onde o preço é definido pelos agentes, essa previsão já foi feita com modelos de regressão (Nogales et al., 2002), modelos auto-regressivos (Fosso et al., 1999), modelos autoregressivos de médias móveis (ARIMA) (Contreras and Conejo, 2003), e redes neurais [Voronin, 2013]. Uma abordagem com modelagem mais formal de um sistema multiagente considera o tipo de interação entre os agentes de forma a tentar entender melhor os princípios fundamentais, ao invés de apenas prever. Essa abordagem induz naturalmente a teoria de jogos, onde se tem vários problemas de otimização concorrentes, cada agente com seu objetivo, e a interação entre os agentes definirá a solução obtida. Existem diversos trabalhos que aplicaram teoria de jogos em mercados de energia elétrica. Por exemplo, Ferrero et al., 1998 aplicam teoria de jogos para precificação de energia elétrica em mercados desregulados. Já Bossy et al., 2005 consideram um jogo onde cada agente quer vender energia com maior preço e o mercado quer satisfazer sua demanda com o menor custo. Yang et al., 2012 propuseram um modelo de mercado de eletricidade onde é possível calcular todos os equilíbrios de Nash, que é a principal interação considerada entre os agentes em teoria de jogos. Krause et al., 2006 apresentam uma comparação entre uso de equilíbrio de Nash e modelagem multiagente (i.e. simulação baseada em comportamentos dos agentes) para prever preços da energia elétrica, mostrando uma aplicação interessante de teoria de jogos com inteligência computacional. Para o mercado de energia brasileiro, Barroso, 2000, em sua dissertação de mestrado, estuda como ficaria o mercado de energia de curto prazo com despacho descentralizado utilizando equilíbrio de Nash-Cournot. Já em sua tese de doutorado, Barroso, 2006 propõe uma formulação linear inteira mista para definir estratégias ótimas de agentes geradores em mercados de curto prazo de energia, culminando com extensão com a determinação de equilíbrio de Nash. 4

5 No presente trabalho serão estudados o equilíbrio de Nash e a competição de Stackelberg para um jogo que modela a receita dos agentes dadas as respectivas sazonalizações segundo as regras do mercado de energia elétrica brasileiro. 2. Colocação do problema Este trabalho deverá estudar a interação entre os agentes participantes do MRE no processo de sazonalização. Assim, o problema fundamental discutido neste artigo consiste em como deve-se considerar a estratégia dos outros agentes para definir a própria sazonalização de energia. Matematicamente, o problema pode ser modelado como um jogo sendo o conjunto factível dado por onde e são os montantes de energia alocada em cada período de tempo (i.e. estratégias dos agentes ou, ainda melhor, suas sazonalizações) para os respectivos agentes 1 e 2, n é o número de períodos de tempo (n = 12 para o problema, pois a sazonalização é mensal), e são os limites anuais de energia a serem alocados para os respectivos agentes 1 e 2, e são os limites mínimo e máximo para cada período de tempo do agente 1, e são os limites mínimo e máximo para cada período de tempo do agente 2. Por convenção, o agente 1 é o agente gerador otimizador, e os outros agentes compõem o agente 2. As funções objetivo são simétricas, i.e., onde a função objetivo representa a receita para um agente de geração. Essa receita pode ser advinda da venda de contratos nos ambientes livre e regulado e também sofre o impacto da exposição (positiva ou negativa) de curto prazo desse gerador. Já as restrições são assimétricas em geral. No problema real, toda a energia X a, a = 1, 2, deve ser sazonalizada. Contudo, para o modelo matemático considerado neste artigo, o problema foi relaxado, transformando a restrição de igualdade em desigualdade, para avaliar a resposta do modelo no problema de sazonalização. O ideal é que o modelo indique a alocação de toda energia 5

6 durante o ano. XXII SIMPÓSIO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Para melhor avaliar o jogo presente no processo de sazonalização, neste trabalho iremos considerar que os agentes geradores não possuem nenhum contrato e a sua receita será advinda apenas da exposição de curto prazo. Essa função apresenta características não lineares e pode ser descrita por: onde c é um vetor com os valores de PLD em cada período de tempo, h é um vetor com o montante de energia gerada pelos participantes do MRE em cada período de tempo, e X representa as cotas de garantia física e a garantia física da UHE Itaipu, que devem seguir o perfil de sazonalização de todos os agentes. Os problemas de otimização concorrentes (1) e (2) possuem, de forma geral, diversas soluções. Para chegar em soluções com mais significado, o tipo de interação entre os agentes tem que ser definido. Neste trabalho serão estudados o Equilíbrio de Nash e a Competição de Stackelberg. 3. Equilíbrio de Nash O equilíbrio de Nash (Nash, 1950, 1951) acontece em um jogo quando ambos os agentes conhecem a estratégia do outro e nenhum deles consegue melhorar a própria estratégia. Matematicamente ele é dado por Curiosamente ele pode não existir mesmo para conjuntos factíveis não vazios, i.e. para. Equilíbrio de Nash é seguramente a forma mais conhecida, estudada e usada em jogos, chegando até mesmo a se confundir com a própria teoria de jogos Estratégia coevolucionária Uma estratégia para calcular o equilíbrio de Nash é a coevolucionária (Razi et al., 2007). Esta estratégia é baseada nos algoritmos de otimização evolucionária, que utilizam uma população de indivíduos para percorrer a região factível em várias iterações com o intuito de achar o ótimo global. Através de processos como cruzamento, mutação, avaliação e 6

7 seleção, uma nova população é obtida com indivíduos no sentido de melhorar a avaliação da função objetivo. Para encontrar o equilíbrio de Nash, cada jogador precisa de otimizar sua própria estratégia, baseando-se nas estratégias que os outros jogadores adotaram. Isso cria várias funções objetivo que devem ser otimizadas simultâneamente. Os algoritmos coevolucionários, ao contrário dos evolucionários, consideram diversas populações, sendo cada uma relacionada ao problema de um jogador e, portanto, cada população só otimiza uma parte da solução. O algoritmo coevolucionário começa com a população sendo inicializada aleatoriamente. Então, as técnicas evolucionárias são utilizadas para que cada jogador otimize sua função objetivo. Nessa fase, as estratégias de todos os outros jogadores são fixadas, para que apenas uma seja otimizada. Se esse processo não levar à melhora do resultado de pelo menos um dos jogadores, pode-se concluir que o equilíbrio de Nash provavelmente foi encontrado. Caso contrário, a estratégia seguinte é criada sobrepondo a melhor estratégia de cada jogador, de acordo com sua respectiva população. Esse processo continua até que as estratégias convergirem, o que significa que a solução de Nash provavelmente foi encontrada. 4. Competição de Stackelberg A competição de Stackelberg [von Stalckelberg, 2011; Simaan e Junior, 1973a,b] acontece quando ambos os agentes conhecem a estratégia do outro, um deles tenta otimizar em cima da estratégia do outro, mas o outro não otimiza em cima da estratégia do primeiro e considera que ela será ótima. Matematicamente é dado por onde o agente 1 é o agente que dá o primeiro passo nesse caso. Além disso, essa estratégia não implica que o agente 1 ganhará menos: de fato, ele apenas torna o problema menos restrito que o equilíbrio de Nash e poderá até mesmo ganhar mais. Essa interação ocorreria, por exemplo, se outros agentes pedissem que um agente específico enviasse a estratégia dele para eles então otimizar a deles em grupo e segundo algum objetivo. Essa forma de interação pode ser considerada sequencial (Selten, 1975) de 2 passos: o primeiro agente escolhe sua estratégia e então o agente 2, terminando o jogo. Contudo, como envolve apenas um passo de cada agente e os agentes conhecem todas as 7

8 informações do jogo (informação perfeita), o jogo pode ser considerado também puramente estratégico (simultâneo), como exposto na fórmula acima Estratégia elipsoidal O problema de otimização de Stackelberg possui dois níveis, onde para avaliar a função objetivo do primeiro jogador é necessário resolver um problema de otimização. Utilizou-se o método elipsoidal (Vieira et al., 2010) para calcular a competição de Stackelberg em ambos os níveis. O método elipsoidal é um método de plano de corte e sua ideia fundamental é cercar uma solução do problema com um elipsóide. O gradiente de funções objetivo e de restrição definem os planos de corte, que separam regiões que garantidamente não eliminam todas as soluções. Esse processo é repetido de maneira iterativa, de modo que em cada passo uma parte do espaço de busca é eliminado. O problema de otimização do segundo jogador é resolvido com gradientes analíticos. Já o do primeiro jogador é resolvido com gradiente numérico, a partir da definição teórica de gradiente, mas utilizando um passo pequeno em relação ao limites das variáveis. 5. Resultados Foram feitos dois experimentos: o primeiro considerando o equilíbrio de Nash e o segundo considerando a competição de Stackelberg. Para a criação dos cenários de PLD e geração hidrelétrica do MRE foi utilizado o deck de dados da CCEE de maio de 2015 relativos a 2016 e 2018 para o submercado sudeste/centro-oeste. Esse deck de dados fornece a simulação de operação do Sistema Interligado Nacional (SIN) para cenários de afluências, gerando assim cenários de PLDs e de geração hidráulica do MRE. Os valores do PLD e da geração podem ser vistos nas Figuras 1 e 2, nas quais também estão destacados os percentis de 15% e 85%. 8

9 FIGURA 1 Custo por unidade de energia (esquerda) e geração hidrelétrica (direita) para Fonte: (maio/2015). FIGURA 2 Custo por unidade de energia (esquerda) e geração hidrelétrica (direita) para Fonte: (maio/2015). Foi considerada uma energia total assegurada de MW e uma cota de garantia física que segue as sazonalizações fornecidas pelos agentes de MW (UHE Itaipu e demais usinas contabilizadas conforme a lei /14) e, portanto, a energia dividida entre os agentes é de MW. Desse montante, 2.000MW foram para o agente 1 e o restante para os outros agentes representados pelo agente 2. Conforme as regras de mercado, o limite máximo para a sazonalização mensal de energia é a potência assegurada da usina e o limite mínimo é zero. Para simplificar, foram utilizados os limites de alocação mensais de 0 a 150% da garantia física total dos agentes Equilíbrio de Nash A estratégia coevolucionária foi aplicada para resolver o equilíbrio de Nash para o problema da sazonalização de energia com 12 períodos. Na Figura 3 está representado o erro relativo ao longo das iterações em escala logarítmica. Este erro relativo foi calculado como sendo o módulo normalizado da diferença entre o valor da função determinado na iteração e o valor da função ao final de todas iterações, considerado como sendo o valor ótimo do equilíbrio de Nash. 9

10 FIGURA 3 Erro relativo para o equilíbrio de Nash. Pode-se perceber que as duas funções convergem, uma vez que o erro tende a zero ao final das iterações. A Figura 4 mostra a distribuição da garantia física obtida pelo equilíbrio de Nash ao longo dos meses de Percebe-se que o perfil da estratégia de um jogador é basicamente igual à do outro em todos os meses: um resultado que já era esperado pois o objetivo é simétrico e com restrições assimétricas porém proporcionais. O fato da alocação ser maior nos primeiros cinco meses e razoavelmente constante nos outros, com exceção do último, com um pequeno vale nos meses 6 e 7, está relacionado aos valores do PLD, geração hidrelétrica e à estratégia do outro jogador. Tanto o PLD e quanto a geração hidrelétrica possuem valores maiores nos primeiros meses, e o PLD é basicamente constante até o final do ano, quando decai significativamente. A geração hidrelétrica tem uma diminuição no meio do ano (referente ao período de seca no sudeste brasileiro), que gera o vale na distribuição. O PLD e a geração influenciam da mesma maneira, mas como a variação do PLD é proporcionalmente maior que a da geração, nota-se mais claramente a influência do primeiro. O valor para o qual as funções convergem não estão representados nos gráficos, mas indicam uma receita de R$ 3.508,09 milhões para o agente otimizador (f 1 ) e R$ ,77 milhões para os demais agentes (f 2 ). A grande diferença entre os valores das funções é decorrente do montante de energia que cada jogador tem disponível para alocação. 10

11 FIGURA 4 Distribuição mensal da garantia física para o equilíbrio de Nash para A Figura 5 mostra a distribuição da garantia física obtida pelo equilíbrio de Nash ao longo dos meses de Os perfis de sazonalização mudaram bastante em relação a 2016, seguindo os novos perfis de PLD e geração hidrelétrica. Novamente pode-se perceber que o perfil da garantia física segue uma relação proporcional ao produto entre o PLD e a geração hidrelétrica. Para 2018, a receita esperada para o agente otimizador é de R$ 834,62 milhões. FIGURA 5 Distribuição mensal da garantia física para o equilíbrio de Nash para Competição de Stackelberg A competição de Stackelberg foi resolvida como um problema de otimização de dois níveis, sendo o algoritmo elipsoidal aplicado em ambos os níveis e foi resolvida para o cenário de

12 A Figura 6 mostra o erro relativo da função do jogador 1 ao longo das iterações. O valor da receita converge assintoticamente a algo em torno de R$ 3.508,03 milhões. FIGURA 6 Convergência para a competição de Stackelberg para A Figura 7 mostra a distribuição da garantia física da energia a cada mês. Nesse caso, a estratégia dos dois jogadores não está tão intimamente ligada quanto no equilíbrio de Nash, mas ambos seguem a mesma tendência de aumentar ou diminuir de um mês para o outro. FIGURA 7 Distribuição mensal da garantia física para a competição de Stackelberg para Análise dos Resultados A receita obtida ficou muito próxima nos dois tipos de interações, sendo R$ 3.508,09 milhões para o equilíbrio de Nash e R$ 3.508,03 milhões para a competição de Stackelberg. A alocação de energia ao longo dos meses foi bastante similar nas duas estratégias. A estratégia de otimização coevolucionária é superior à otimização em dois níveis, obtendo resultados computacionalmente mais rápidos para uma mesma acurácia. Na formulação do problema, não foi fixado que a energia deveria ser totalmente alocada na sazonalização, mas os resultados obtidos comprovam que de fato essa é a melhor estratégia, tendo em vista que a diferença entre a energia total alocada e a energia total 12

13 disponível foi da ordem de pagamentos recebida pelos dois jogadores é XXII SIMPÓSIO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MWh, tanto para Nash quanto para Stackelberg. A soma dos mas como foi verificado que, a = 1, 2, a soma pode ser reescrita como que é um valor constante. Logo, trata-se de um jogo de soma constante. Como um jogo de soma constante pode ser reduzido a um jogo de soma zero subtraindo-se metade dessa constante de cada jogador, esse jogo se comporta como um jogo de soma zero. Portanto, esse jogo tem a característica que o ganho de um jogador representa necessariamente perda para o outro jogador. 6. Conclusões Ao comparar as duas estratégias estudadas nesse artigo, equilíbrio de Nash e competição de Stackelberg, nota-se que ambas convergem para o mesmo resultado. A diferença dos resultados é de 0,002%, um resultado que não é significativo quando comparado ao montante geral e pode ter sido causado por erros numéricos. Os resultados também corroboraram a ideia que a melhor estratégia é alocar toda a energia na sazonalização, mesmo se o problema não considera essa restrição de igualdade. Já uma análise da formulação indica que o jogo da sazonalização é de soma zero. Por fim, percebe-se que a sazonalização está íntima e diretamente relacionada à geração hídrica e ao PLD, sendo que não é vantajoso alocar muita energia nos meses em que a geração é baixa ou nos meses em que o PLD é baixo. Referências ANEEL. Estabelece prazos e condições para sazonalização e modulação de garantia física de usinas de geração de energia elétrica, bem como para sazonalização da energia vinculada referente à usina hidrelétrica (uhe) itaipu. Resolução Normativa 584, Barroso, L. A. N. Esquemas competitivos em sistemas hidrotérmicos: comportamento estratégico de agentes geradores em ambiente de mercado. Master's thesis, Universidade Federal do Rio de Janeiro,

14 Barroso, L. A. N. Estratégias de ofertas ótimas sob incerteza e cálculo de equilíbrios de Nash de agentes geradores em mercados de curto prazo de energia elétrica: uma abordagem por programação linear inteira. PhD thesis, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Bossy, M., Maïzi, N., Olsder, G. J., Pourtallier, O., and Tanré, E. Using game theory for the electricity market. Technical report, INRIA, Brasil (1998). Decreto no Brasil (2004). Decreto no CCEE. Revisão da sazonalização de energia assegurada, CCEE. Contratação de energia e potência: Sazonalização e revisão da sazonalização de garantia física, Contreras, J., E. R. N. F. and Conejo, A. ARIMA models to predict next-day electricity prices. IEEE Transactions on Power Systems, 18(3): , Ferrero, R. W., Rivera, J. F., and Shahidehpour, S. M. Application of games with incomplete information for pricing electricity in deregulated power pools. IEEE Transactions on Power Systems, 13(1): , Fosso, O. B., Gjelsvik, A., Haugstad, A., Mo, B., and Wangensteen, I. Generation scheduling in a deregulated system: the Norwegian case. IEEE Transactions on Power Systems, 14(1):75--80, Krause, T., Beck, E. V., Cherkaoui, R., Germond, A., Andersson, G., and Ernst, D. A comparison of Nash equilibria analysis and agent-based modelling for power markets. Electrical Power and Energy Systems, 28: , Nash, J. Non-cooperative games. PhD thesis, Princeton University, Nash, J. Non-cooperative games. Annals of Mathematicas, 54: ,1951. Nogales, F. J., Contreras, J., Conejo, A. J., and Espínola, R. Forecasting next-day electricity prices by time series models. IEEE Transactions on Power Systems, 17: , Razi, K., Shahri S. H., Kian A. R. Finding Nash Equilibrium Point of Nonlinear Non-cooperative Games using Coevolutionary Strategies. Seventh International Conference on Intelligent Systems Design and Applications, 875:880, Vieira, D. A. G, Lisboa, A. C., Saldanha, R. R. An enhanced ellipsoid method for electromagnetic devices optimization and design. IEEE Transactions on Magnetics, 46: , Voronin, S. Price spike forecasting in a competitive day-ahead energy market. PhD thesis, Lappeenranta University of Technology, Yang, Y., Zhang, Y., Li, F., and Chen, H. Computing all Nash equilibria of multiplayer games in electricity markets by solving polynomial equations. IEEE Transactions on Power Systems, 27(1):81--91,