Algoritmos e Estruturas de Dados I Aula 06 Custos de um algoritmo

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1 Algoritmos e Estruturas de Dados I Aula 06 Custos de um algoritmo Prof. Jesús P. Mena-Chalco 1Q

2 lista NULL Node *Busca(int x, Node *lista) { while (lista!=null && lista->data!=x) lista = lista->next; return lista; } O programa funciona? Como provaria formalmente que o programa está correto? 2

3 0 n-1... A = - O programa funciona? Disciplina Análise de algoritmos - Como medir/mensurar a eficiência (em termos de tempo e espaço) do programa? 3

4

5 Estudo de algoritmos O projeto de algoritmos é influenciado pelo estudo de seus comportamentos. Os algoritmos podem ser estudados considerando, entre outros, dois aspectos: Tempo de execução. Espaço ocupado (quantidade de memória). 5

6 Fonte: 6

7 Comparando algoritmos? 7

8 Programa 8

9 Comparando algoritmos? F1 F2 Número de linhas 5 4 Número de variáveis 5 4 Número de atribuições 4 3 Número de comparações entre elementos 0 0 9

10 10

11 Concrete mathematics Donald ("Don") Ervin Knuth Desafio 01: 0.3 pontos 11

12 Exercício 1 Busca de um elemento 12

13 Busca de um elemento em um vetor buscachave Número de linhas Número de variáveis Número de atribuições Número de comparações entre elementos 13

14 Busca de um elemento em um vetor buscachave Número de linhas 5? Número de variáveis 4? Número de atribuições Número de comparações entre elementos 3+n? (n+1)? 1? n? 2(n)+1? Depende do que? Dos inteiros registrados em A 14

15 Busca de um elemento em um vetor 15

16 Busca de um elemento em um vetor 16

17 Busca de um elemento em um vetor buscachave buscachave2 buscachaverec 5? 5? 5? Número de linhas Número de variáveis 4? Número de atribuições Número de comparações entre elementos 3+n? n+1? 1? n? 2(n)+1? 4? 3+n? 3? 2+n? n+1? 0? 2? 2(n)?? 17

18 O número de comparações, no algoritmos, depende dos inteiros registrados no vetor. No melhor caso: o elemento está na primeira posição No pior caso: o elemento está na última posição ou não está no vetor. 18

19 O número de comparações, no algoritmos, depende dos inteiros registrados no vetor. No melhor caso: o elemento está na primeira posição No pior caso: o elemento está na última posição ou não está no vetor. No caso médio? 19

20 Tamanho da entrada de dados A medida do custo de execução de um algoritmo depende principalmente do tamanho de entrada dos dados. É comum considerar o tempo de execução de um programa como uma função do tamanho de entrada. 20

21 Exemplo: Busca de um elemento Seja f uma função de complexidade tal que f(n) é o número de elementos consultados. Melhor caso: Quando o elemento procurado é o primeiro consultado Pior caso: Quando o elemento procurado é o último consultado ou Não está presente no vetor Caso médio: 21

22 Exemplo: Busca de um elemento (caso médio) Consideremos que toda pesquisa recupera um elemento. Para recuperar o i-ésimo elemento são necessárias i comparações. 22

23 Exemplo: Busca de um elemento (caso médio) Consideremos que toda pesquisa recupera um elemento. Para recuperar o i-ésimo elemento são necessárias i comparações. Seja a probabilidade de que o i-ésimo elemento seja procurado: 23

24 Exemplo: Busca de um elemento (caso médio) Consideremos que toda pesquisa recupera um elemento. Para recuperar o i-ésimo elemento são necessárias i comparações. Seja a probabilidade de que o i-ésimo elemento seja procurado: Se cada elemento tiver a mesma probabilidade de ser escolhido que todos os outros, então Uma busca examina aproximadamente metade dos elementos 24

25 Melhor caso, pior caso e caso médio Melhor caso: Menor tempo de execução sobre todas as entradas de tamanho n. Pior caso: Maior tempo de execução sobre todas as entradas de tamanho n. Caso médio (caso esperado): Média dos tempos de execução de todas as entradas de tamanho n. Aqui supoe-se uma distribuição de probabilidades sobre o conjunto de entradas de tamanho n. 25

26 Exercício 2 Busca de um elemento em um vetor crescente 26

27 Busca de um elemento em um vetor crescente 0 Vetor crescente Custo para buscar um elemento em um vetor crescente: Melhor caso: 1 Pior caso: log(n)? 27

28 Chave =

29 Chave = Inf = 0 Sup = 15 29

30 Chave = Inf = 0 Sup = Inf = 8 Sup = 15 30

31 Chave = Inf = 0 Sup = Inf = 8 Sup = Inf = 8 Sup = 10 31

32 Chave = Inf = 0 Sup = Inf = 8 Sup = Inf = 8 Sup = Inf = 10 Sup = 10 32

33 Chave = Inf = 0 Sup = Inf = 8 Sup = Inf = 8 Sup = Inf = 10 Sup = 10 Inf = 10 Sup = 9 33

34 Busca de um elemento em um vetor crescente buscabinariarec Número de linhas? Número de variáveis? Número de atribuições? Número de comparações entre elementos 3 lg(n)? Quadro 34

35 0 Vetor sem ordem Melhor caso: 1 Pior caso: n 35

36 0 Vetor crescente Melhor caso: 1 Pior caso: log(n) Aqui devemos lembrar do custo por ordenar um vetor 36

37 n versus log(n) 37

38 Exercício 3 MaxMin 38

39 Maior e Menor elementos Consideremos diferentes versões para o maior e o menor elemento de um vetor de n inteiros, para n>=1. A

40 Maior e Menor elementos (versão 1) Identifique a função de complexidade f(n) para o vetor A de n elementos: - Melhor caso: - Pior caso: - Caso médio: Considere apenas comparações onde elementos do vetor estejam presentes. 40

41 Maior e Menor elementos (versão 1) Identifique a função de complexidade f(n) para o vetor A de n elementos: - Melhor caso: - Pior caso: - Caso médio: 41

42 Maior e Menor elementos (versão 2) Identifique a função de complexidade f(n) para o vetor A de n elementos: - Melhor caso: - Pior caso: - Caso médio: 42

43 Maior e Menor elementos (versão 2) Identifique a função de complexidade f(n) para o vetor A de n elementos: - Melhor caso: Quando os elementos estão em ordem crescente. - Pior caso: - Caso médio: 43

44 Maior e Menor elementos (versão 2) Identifique a função de complexidade f(n) para o vetor A de n elementos: - Melhor caso: - Pior caso: - Caso médio: Quando os elementos estão em ordem crescente. Quando os elementos estão em ordem decrescente. OU apenas quando o maior elemento está na primeira posição 44

45 Maior e Menor elementos (versão 2) Identifique a função de complexidade f(n) para o vetor A de n elementos: - Melhor caso: - Pior caso: - Caso médio: Quando os elementos estão em ordem crescente. Quando os elementos estão em ordem decrescente. Quando metade das vezes max>=a[i] 45

46 Maior e Menor elementos (versão 3) A

47 Maior e Menor elementos (versão 3) Min = 3 Max =

48 Maior e Menor elementos (versão 3) A Min = 3 Max = 7 2 > Min = 3 Max = 60 48

49 Maior e Menor elementos (versão 3) Min = 3 Max = 7 2 > < Min = -1 Max = Min = 3 Max =

50 Maior e Menor elementos (versão 3) Min = 3 Max = 7 2 > < Min = -1 Max = Min = 3 Max = 60 6 Min = -2 Max = 90 50

51 Maior e Menor elementos (versão 3) Min = 3 Max = 7 2 > < Min = 3 Max = 60 Min = -1 Max = Comparações = Min = -2 Max = 90 51

52 Versão 3 Identifique a função de complexidade f(n) para o vetor A de n elementos: - Melhor caso - Pior caso - Caso médio 52

53 Versão 3 1 comparação Identifique a função de complexidade f(n) para o vetor A de n elementos: - Melhor caso - Pior caso - Caso médio (n-2)/2comparações 3(n-2)/2 comparações 53

54 Maior e Menor elementos 54

55 Funções de complexidade Não existe algoritmo que identifique o maior e o menor elemento de um vetor de n elementos com uma função menor a: Introdução baseada nas aulas do Prof. Antonio A. F. Loureiro (UFMG) 55

56 Algumas considerações 56

57 Medida de custo por meio de um modelo matemático Usa um modelo matemático baseado em um computador idealizado. Deve ser especificado o conjunto de operações e seus custos de execuções. É mais usual ignorar o custo de algumas das operações e considerar apenas as mais significantes. Em algoritmos de ordenação: Consideramos o conjunto de comparações entre os elementos do conjunto a ser ordenado e ignoramos as operações aritméticas, de atribuição e manipulação de índices, caso existam. 57

58 Função de complexidade Para medir o custo de execução de um algoritmo, é comum definir uma função de custo ou função de complexidade f. Função de complexidade de tempo: mede o tempo necessário para executar um algoritmo para um problema de tamanho n. Função de complexidade de espaço: mede a memória necessária para executar um algoritmo para um problema de tamanho n. Utilizaremos f para denotar uma função de complexidade de tempo daqui para frente. Na realidade, f não representa tempo diretamente, mas o número de vezes que determinada operação (considerada relevante) é realizada. 58

59 Comportamento assintótico de funções 59

60 Comportamento assintótico de funções A análise de algoritmos é realizada para valores grandes de n. Estudamos o comportamento assintótico das funções de custo. O comportamento assintótico de f(n) representa o limite do comportamento de custo, quando n cresce. 60

61 Dominação assintótica Definição: Uma função f(n) domina assintoticamente uma outra função g(n) se existem duas constantes positivas c e tais que, para, temos: 61

62 Notação assintótica de funções Existem 3 notações assintóticas de funções: Notação Notação Notação 62

63 Notação g(n) é um limite assintótico firme de f(n) 63

64 Notação f(n) é da ordem no máximo g(n) O é usada para expressar o tempo de execução de um algoritmo no pior caso, está se definindo também o limite (superior) do tempo de execução desse algoritmo para todas as entradas. 64

65 Notação Operações entre conjuntos de funções 65

66 Notação Omega: Define um limite inferior para a função, por um fator constante. g(n) é um limite assintoticamente inferior 66

67 Teorema 67

68 Atividade em aula 68

69 Atividade 01: Hierarquias de funções Do ponto de vista assintótico, estabeleça uma hierarquia entre as seguintes funções. Indique em palavras a ordem de crescimento. 69

70 Atividade 01: Hierarquias de funções Ordem de crescimento Cúbico Maior hierarquia Quadrático Quadrático Logaritmico Menor hierarquia 70

71 (*) Fonte: 71

72 log(n), n, n*log(n) n*log(n) n log(n) 72

73 log(n), n, n*log(n), n² n² 73

74 log(n), n, n*log(n), n², n3 n³ 74

75 n², n , n³ n³ n n² 75

76 76

77 77

78 78

79 79

80 Atividade 02: Ordem de crescimento Indique a ordem de crescimento (em função de N) dos tempos de execução de cada uma das seguintes funções 80

81 Atividade 02: Ordem de crescimento Linear G1(N) = 2N-1 Linear G2(N) = 2N-1 Linearithmic G3(N) = N(lg(N)+1) 81