f(t) e st f (t)dt L{f (t)} = u = e st u = se st v = f(t) v = f (t) e st f (t)dt = e st se st f(t)dt = e st L{f (t)} = sf(s) f(0)

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "f(t) e st f (t)dt L{f (t)} = u = e st u = se st v = f(t) v = f (t) e st f (t)dt = e st se st f(t)dt = e st L{f (t)} = sf(s) f(0)"

Olívia Chaves
5 Há anos
Visualizações:

1 ÙÐ ½ ¹ Ê ÓÐÙÓ Ç³ ÓÑ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ð ØÓÒ ÓÒØ Ò ÍÑ ÔÖ Ò Ô ÙØ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ö ÓÐÙÓ ÈÖÓ Ð ¹ Ñ Î ÐÓÖ ÁÒ Ðº ÓÑÓ Ö Ú ØÓ Ù Ö ÔÐ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ñ ÙÑ ÕÙ Ó Ö Ò Ð Ö ÙÐØ Ñ ÙÑ ÕÙ Ó Ð Ö ÒÓ ÓÑ Ò Ó Ä ÔÐ ÕÙ ÔÓ Ö ÐÑ ÒØ Ö ÓÐÚ ÓÐÙÓ ØÖ Ò ÔÓÖØ ÚÓÐØ Ô Ö Ó ÓÑ Ò Ó Ó Ø ÑÔÓº Ø ÓÖ Ñ ÔÓ Ö ÔÐ Ô Ö Ö ÓÐÙÓ ÈÎÁ³ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÓÖ Ñ ÕÙ Ñ Ð Ò Ö ÓÑ Ó ÒØ ÓÒ Ø ÒØ º Ð Ñ Ó ÌÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÑ Ñ Ð ÓÖ Ñ Ò Ö Ú Ð Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÒÚÓÐÚ Ò Ó ÓÖ Ñ ÒØÓ ÓÒØ ÒÙÓ ÓÙ ÕÙ Ò Ó Ó Ø ÖÑÓ ÒÓ¹ ÓÑÓ Ò Ó Ó ÔÓÖ ÙÑ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ º Ö Ð Ö ÓÐÙÓ ÈÎÁ³ ÓÑ Ó Ù Ó ÌÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÐÙ ØÖ ÒÓ ÕÙ Ñ Ù Öº ½

2 ÔÖ Ñ Ö Ø Ô Ö ÓÐÙÓ ÓÒ Ø Ñ ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò ÕÙ Ó Ö Ò¹ Ð ÓÙ Ú ¹ Ú Ð Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ó ÓÔ Ö ÓÖ Ö Ò Ðº ÓÖÑ Ñ Ð ÒØ ÔÓ ¹ Ø Ñ Ñ Ú Ð Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ó ÓÔ Ö ÓÖ ÒØ Ö Ðº ÈÓÖ Ó ÌÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ø Ñ Ñ ÔÓ Ö ÙØ Ð Þ Ô Ö Ö ÓÐÙÓ ÕÙ ÒØ ÖÓ¹ Ö Ò ÕÙ Ó ÕÙ Ö Ò ÕÙ ÒÚÓÐÚ Ñ Ø Ñ Ñ ÒØ Ö Ð Ú Ö Ú Ñ Ð ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓº Ù Ö Ö ÔÖ ÒØ Ó ÓÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÔ Ö ÓÖ Ó Ø º ½ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ö Ú ÁÒØ Ö Ú Ð Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ú ÙÑ ÙÒÓ f(t) Ø ÑÓ ÕÙ L{f (t)} = e st f (t)dt Ê ÓÐÚ Ò Ó ÒØ Ö Ð ÔÓÖ Ô ÖØ ÔÓ ÑÓ Ò Ö u = e st u = se st v = f(t) v = f (t) ÑÓ Ó ÕÙ e st f (t)dt = e st f(t) = e st f(t) +s e st f(t)dt se st f(t)dt Ç ÖÚ ÕÙ ÒØ Ö Ð ÔÖ ÔÖ Ò Ó L{f(t)}º ÓÒ Ö Ò Ó Ó Ö Ø Ö Ó Ô Ö Ü Ø Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÑÓ ÕÙ Ó Ð Ñ Ø Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ø ÖÑÓ Ú Ð Ó ÒÓ Ò Ò ØÓ Ú Ö Þ ÖÓº Ñ L{f (t)} = sf(s) f() È Ö Ú Ð Ö Ö Ú Ñ ÓÖ ÓÖ Ñ ÔÓ ¹ ÔÐ Ö ÔÖ ÔÖ Ò Ó ÒØ Ö ÓÖ L{f (t)} = sl{f (t)} f () ÓÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ú ÔÖ Ñ Ö f(t) Ó Ó Ø ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ L{f (t)} = s(sf(s) f()) f () = s 2 F(s) sf() f () ÈÓ ¹ ÓÒØ ÒÙ Ö ÔÐ Ò Ó Ø ÓÒ ØÓ Ô Ö Ú Ð Ö Ö Ú ÕÙ ÐÕÙ Ö ÓÖ Ñ { d n f } L dt n = s n L{f(t)} s n f() s n 2df... dn f t= dt t= dt n ¾

3 ÆÓ Ó ÒØ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÒØ Ö Ð ÙÑ ÙÒÓ f(t) Ú Ð ÒØÖ t ÔÓÖ { L } f(t)dt = Ú Ð Ò Ó ÒØ Ö Ð ÔÓÖ Ô ÖØ Ø ÑÓ ÕÙ u = ( ) f(t)dt e st dt f(t)dt u = f(t) v = e st v = s e st ÑÓ Ó ÕÙ ÒØ Ö Ð ÔÓ Ö Ú Ð ÓÑÓ ( ) f(t)dt e st dt = [ ] f(t)dt(e st ) + s s e st f(t)dt ÓÒ Ö Ò Ó ÕÙ ÙÒÓ f(t) Ø Þ Ó Ö Ø Ö Ó Ô Ö Ü Ø Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ü Ö Ñ ÒØÓ Ñ ÒÓÖ ÕÙ ÜÔÓÒ Ò Ðµ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ø ÖÑÓ Ø Ò Þ ÖÓ ÓÒ ÓÖÑ t Ø Ò Ó Ò Ò ØÓº ÒØ Ö Ð ÒÓ ÙÒ Ó Ø ÖÑÓ ÔÖ ÔÖ Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ f(t)º Ñ { L } f(t)dt = s F(s) ½º½ Ê ÓÐÙÓ ÈÖÓ Ð Ñ Î ÐÓÖ ÁÒ Ð Ç ÑÔÖ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ñ Ö Ò Ö ØÓÖÒ ÜÔÖ Ð Ö Ó ÕÙ Ò ÕÙ ÕÙ Ö Ò ÔÓ Ñ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ñ ÕÙ Ð Ö º Ü ÑÔÐÓ ¼½ Ç Ø Ò ÓÐÙÓ Ó Ù ÒØ ÈÎÁ ÙØ Ð Þ Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ 5 dy dt +4y = 2 y() = y() = ÓÒ Ö Ò Ó Ð Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÔÓ ¹ Ú Ð Ö ÙÑ Ó Ø ÖÑÓ Ô Ö Ñ ÒØ Ò Ò Ó L{y(t)} = Y(s) Ø ÑÓ ÕÙ { dy } 5L +4L{y} = 2L{} dt 5(sY(s) y())+4(y(s)) = 2 s ÓÒ Ö Ò Ó ÓÒ Ó Ò Ð y() = ÔÓ ¹ ÓÐ Ö ÙÒÓ Y(s) ÓÑÓ (5s+4)Y(s) = 2 s +5 Y(s) = 2+5s (s(5s+4))

4 È Ö Ü Ö ØÓ Ó Ó Ø ÖÑÓ Ò ÓÖÑ (s+a) ÔÓ ¹ Ú Ö Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ Ó ÒÓÑ¹ Ò ÓÖ ÔÓÖ Y(s) = 2/5+s s(s+4/5) Ø Ø ÖÑÓ ÔÓ Ö ÜÔ Ò Ó Ñ Ö Ô Ö ÓÖÑ 2/5+s s(s+4/5) = A s + B s+4/5 = (s+4/5)a+sb s(s+4/5) ÓÒ Ó Ø Ñ ÕÙ 4/5A = 2/5 Ó ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ A = /2 A+B = ÑÓ Ó ÕÙ B = /2º Ñ 2/5+s s(s+4/5) = 2s + 2 (s+4/5) ÓÑÓ Ó Ø Ö ÙÒÓ y(t) ÔÐ ¹ ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö Ñ Y(s) ÓÑ Ó Ø ÑÓ ÕÙ y(t) = L {Y(s)} = { }+ { } 2 L s 2 L (s+4/5) y(t) = e 4t/5 Ü ÑÔÐÓ ¼¾ Ç Ø Ò ÓÐÙÓ Ó Ù ÒØ ÈÎÁ ÙØ Ð Þ Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ d 2 y dt dy 2 dt 2y = y() = dy = y () = dt t= ÓÒ Ö Ò Ó Ð Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÔÓ ¹ Ú Ð Ö Ø ÖÑÓ Ô Ö ¹ Ñ ÒØ ÑÓ Ó ÕÙ { d 2 y } { dy } L L 2L{y} = dt 2 dt (s 2 Y(s) sy() y ()) (sy(s) y()) 2Y(s) = Ë Ô Ö Ò Ó Ó Ø ÖÑÓ (s 2 s 2)Y(s)+( s)y() y () = Á ÓÐ Ò Ó ÙÒÓ Y(s) Y(s) = y ()+(s )y() s 2 s 2 ÓÒ Ö Ò Ó ÓÒ Ò ÓÒ Y(s) = s s 2 s 2

5 Ú Ð Ò Ó ÔÓÖ Ö Ô Ö s s 2 s 2 = A s 2 + B s+ = A(s+)+B(s 2) (s+)(s 2) ÓÒ Ó Ø Ñ ÕÙ A = /3 B = 2/3º Ñ Y(s) = s s 2 s 2 = 3(s 2) + 2 3(s+) Ú Ð Ò Ó ÒÚ Ö Ø ÙÒÓ Ó Ø Ñ¹ ÙÒÓ y(t) y(t) = L {Y(s)} = 3 e2t e t Ü ÑÔÐÓ ¼ Ç Ø Ò ÓÐÙÓ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ó Ù ÒØ ÈÎÁ ÙØ Ð Þ Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ d 2 y dt y = t y() = dy = y () = 2 dt t= Ú Ð Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ ÙÑ Ó Ø ÖÑÓ { d 2 y } { } L L y = L{t} dt 2 Á ÓÐ Ò Ó ÙÒÓ Y(s) = (s 2 Y(s) sy() y ()) Y(s) = s 2 (s 2 )Y(s) = sy()+y ()+ s 2 ÓÒ Ö Ò Ó ÓÒ Ò ÜÔÖ Ó ÔÓ Ö Ú Ð ÓÑÓ Y(s) = s++/s2 (s 2 ) = s (s 2 ) + (s 2 ) + s 2 (s 2 ) Ç Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ø ÖÑÓ ÔÓ Ñ Ö ÐÑ ÒØ ÒØ Ó ÓÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ ÙÒ cosh(t) sinh(t)º Ç ÐØ ÑÓ Ø ÖÑÓ ÔÓ Ö Ú Ð Ó ØÖ Ú ÜÔ Ò Ó Ñ Ö Ô Ö s 2 (s 2 ) = A s + B 2 s 2 = (s2 )A+Bs 2 s 2 (s 2 ) ÓÒ Ó Ø Ñ ÕÙ A = A B = ÑÓ Ó ÕÙ B = º Ñ Ñ Ø ÑÓ ÕÙ Y(s) = s 2 (s 2 ) = s + 2 s 2 s (s 2 ) + (s 2 ) + s 2 + (s 2 ) = s (s 2 ) +2 (s 2 ) + s 2

6 Ú Ð Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö ÙÑ Ó Ø ÖÑÓ L {Y(s)} = y(t) = cosh(t)+2sinh(t)+t = 3 2 et 2 e t +t Ü ÑÔÐÓ ¼ Ç Ø Ò ÓÐÙÓ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ó Ù ÒØ ÈÎÁ ÙØ Ð Þ Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ 2 d2 y dt 2 +3dy dt 2y = te 2t y() = dy = y () = 2 dt t= Ú Ð Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ ÙÑ Ó Ø ÖÑÓ { d 2 y } { dy } 2L +3L dt 2 dt { } 2L y = L{te 2t } = 2(s 2 Y(s) sy() y ())+3(sY(s) y()) 2Y(s) = ÓÒ Ö Ò Ó ÕÙ y() = ÕÙ y () = 2 2s 2 Y(s)+4+3sY(s) 2Y(s) = (s+2) 2 (s+2) 2 ÂÙÒØ Ò Ó Ó Ø ÖÑÓ (2s 2 +3s 2)Y(s)+4 = 2 (s ) s Y(s)+4 (s+2) 2 Ö Þ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó ¾ö Ö Ù Ó s = 2 s 2 = /2 ÑÓ Ó ÕÙ 2(s 2 +3s/2 2) = 2(s+2)(s /2) Á ÓÐ Ò Ó ÙÒÓ Y(s) Y(s) = 4 2(s+2)(s /2)(s+2) 2 2(s+2)(s /2) = 4 2(s /2)(s+2) 3 2(s+2)(s /2) ÒØ ÔÐ Ö ÓÑÔÓ Ó Ñ Ö Ô Ö ÔÓ ¹ ÙÒØ Ö Ó Ó Ø ÖÑÓ Y(s) = 4(s+2)2 2(s /2)(s+2) 3 = 4(s2 +4s+4) 2(s /2)(s+2) 3 = 4s2 6s 5 2(s /2)(s+2) 3 Ø Ø ÖÑÓ ÔÓ ÒØÓ Ö Ú Ð Ó ÓÑÓ Ö Ô Ö Y(s) = 4s2 6s 5 (s /2)(s+2) 3 = Ú Ð Ò Ó Ó ÅÅ A (2s ) + B (s+2) + C (s+2) 2 + D (s+2) 3 Y(s) = A(s+2)3 +B(2s )(s+2) 2 +C(2s )(s+2)+d(2s ) (2s )(s+2) 3

7 Þ Ò Ó ÜÔ Ò Ó ÙÒØ Ò Ó Ó Ø ÖÑÓ Ñ Ñ ÓÖ Ñ Y(s) = (A+2B)s 3 +(6A+7B+2C)s 2 +(2A+4B+3C+2D)s+(8A 4B 2C D) Á Ù Ð Ò Ó Ó Ø ÖÑÓ Ñ Ñ ÓÖ Ñ Ó Ø Ñ¹ ÕÙ A+2B = B = A/2 6A+7B +2C = 4 6A 7 2 A+2C = 4 C = 5 4 A 2 2A+4B +3C +2D = 6 2A 2A+3 ( 54 ) A 2 +2D = 6 A 5A 4 6+2D = 6 25A 4 +2D = D = 25 8 A 5 8A 4B 2C D = 5 8A+2A 2 ( 54 ) A A +5 = 5 8 A+ 5 2 A A = 24 25A 8 = 24 A = ÓÑ Ó ÔÓ ¹ Ø ÖÑ Ò Ö Ñ ÓÒ Ø ÒØ B = C = 2 25 D = 5 Ñ Ø ÑÓ ÕÙ 92 Y(s) = 25(2(s /2)) (s+2) 2 25(s+2) 2 5(s+2) 3 Ç ÕÙ Ø Ñ Ñ ÔÓ Ö ØÓ ÓÑÓ Y(s) = ( (s /2) + 96 (s+2) (s+2) 25 ) 2 (s+2) 3 ÓÖ ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö Ø ÖÑÓ ÔÓ Ö Ø ÖÑ Ò y(t) = ( 96e t/2 +96e 2t te 2t 25 ) 25 2 t2 e 2t

8 Ü ÑÔÐÓ ¼ Ç Ø Ò ÓÐÙÓ Ó Ù ÒØ ÈÎÁ ÙØ Ð Þ Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ a) dy dt +3y = e t y() = b) y (t)+5y (t)+4y(t) = y() = 2 y () = c) y (t)+y (t)+2y(t) = y() = y () = 3 d) y (t)+4y (t)+4y(t) = e 2t y() = y () = e)y (t)+y/2 = 7sin(2t) y() = ¾ ÓÒÚÓÐÙÓ Ú Ó Ð Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ¹ ÕÙ {f(t)+g(t)} = L{f(t)}+ {g(t)}º ÆÓ Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ó Ù ÙÒ f(t) g(t) ÒÓ ÒØ ÒØÓ ÒÓ ÓÓÖÖ Ñ Ñ Ö Ð Óº Ñ L{(f(t)g(t))} L{f(t)}L{g(t)} Ç ÔÖÓ ÙØÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ù ÙÒ Ò Ú Ö Ù Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÒÚÓÐÙÓ Ø Ù ÙÒ L{f(t)}L{g(t)} = L{(f g)(t)} ÓÒÚÓÐÙÓ ÒØÖ ÙÒ f(t) g(t) Ò ÓÑÓ h(t) = (f g)(t) = τ f(t τ)g(τ)dτ = f(τ)g(t τ)dτ Ì ÓÖ Ñ Ë Ù ÙÒ F(s) = L{f(t)} G(s) = L{g(t)} Ü Ø Ñ Ô Ö s > a ÒØÓ H(s) = F(s)G(s) = L{h(t)} ÓÒ h(t) = (f g)(t) = τ f(t τ)g(τ)

9 Ü ÑÔÐÓ ¼ Í Ò Ó ÔÖÓÔÖ ÓÒÚÓÐÙÓ ÒÓÒØÖ ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö Þ Ò Ó F(s) = H(s) = (s a) (s a)s G(s) = s Ø ÑÓ ÕÙ H(s) = F(s)G(s)º ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö F(s) G(s) Ó ÐÑ ÒØ Ó Ø L {F(s)} = e at L {G(s)} = Ò Ò Ó f(τ) = e aτ g(t τ) = ÓÒ Ö Ò Ó ÔÖÓÔÖ ÓÒÚÓÐÙÓ Ñ h(t) = (f g)(t) = e at = e aτ dτ = a eaτ t L {H(s)} = h(t) = a (eat ) = a (eat ) ¾º½ ÈÖÓÔÖ ÓÒÚÓÐÙÓ ÓÒÚÓÐÙÓ Ñ ÒØ Ñ ÑÙ Ø ÔÖÓÔÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ó ÒÓÖÑ Ðº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ¹ ÓÑÙØ Ø Ú f g = g f ¹ ØÖ ÙØ Ú f (g +g 2 ) = f g +f g 2 ¹ Ó Ø Ú (f g) h = f (g h) ÆÓ ÒØ ÒØÓ Ð ÙÑ ÔÖÓÔÖ ÒÓ Ó Ñ ÒØ º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ f f f = f(t τ) dτ = ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Þ Ò Ó f(t) = cos(t) f = cos(t) = f(t τ)dτ cos(t τ)dτ ÒØ Ö Ð ÔÓ Ö ÐÑ ÒØ Ö ÓÐÚ ØÖ Ú ÙÑ ÑÙ Ò Ú Ö Ú Ð t τ = u cos(t τ)dτ = sin(t τ) τ=t τ= = sin()+sin(t) = sin(t) Ü ÑÔÐÓ ¼ ÒÓÒØÖ ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö H(s) = a s 2 (s 2 +a 2 )

10 ÙÒÓ H(s) ÔÓ Ö Ö Ø ÓÑÓ H(s) = F(s)G(s) F(s) = s 2 G(s) = ÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö F(s) G(s) Ó ÓÒ a s 2 +a 2 L {F(s)} = f(t) = t L {G(s)} = g(t) = sin(at) È Ö Ú Ð Ö h(t) Ù ¹ ÔÖÓÔÖ ÓÒÚÓÐÙÓ h(t) = (f g)(t) = ÓÒ Ö Ò Ó ÕÙ (t τ)sin(aτ)dτ = tsin(aτ)dτ = t a cos(aτ) τ=t τ= tsin(aτ)dτ = t a (cos(at) ) ÒØ Ö Ð Ó ÙÒ Ó Ø ÖÑÓ ÔÓ Ö Ú Ð ÔÓÖ Ô ÖØ Ò Ò Ó ÑÓ Ó ÕÙ τ sin(aτ)dτ u = τ u = τ = v = sin(aτ) v = cos(aτ) a ÂÙÒØ Ò Ó Ó Ø ÖÑÓ τ sin(aτ)dτ = τ cos(aτ) τ=t cos(aτ) + dτ a τ= a ( ) tcos(at) = + sin(aτ) ( ) ( ) τ=t tcos(at) sin(at) = + a a 2 τ= a a 2 h(t) = tcos(at) a + t ( ) tcos(at) a + a ( ) sin(at) a 2 = t ( ) sin(at) a a 2 Ü ÑÔÐÓ ¼ ÒÓÒØÖ ÓÐÙÓ Ó ÈÎÁ d 2 y dt +4y = g(t) y() = 3 dy = 2 dt t= ÓÒ g(t) ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ ÐÕÙ Öº Ú Ð Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ ÕÙ Ó Ö Ò Ð Ø ÑÓ (s 2 Y(s) sy() y ())+4Y(s) = G(S) ÑÔÖ Ò Ó ÓÒ Ò ÓÐ Ò Ó Y(s) Y(s) = 3s +G(s) s 2 +4 s = 3 s s s 2 +4 G(s) ½¼

11 Ú Ð Ò Ó ÒÚ Ö ÙÑ Ó Ø ÖÑÓ y(t) = 3cos(2t) 2 sin(2t)+ 2 L { 2 s 2 +4 G(s) } È Ö Ú Ð Ö ÒÚ Ö Ó ÐØ ÑÓ Ø ÖÑÓ ÔÓ ¹ ÑÔÖ Ö Ó ÓÒ ØÓ ÓÒÚÓÐÙÓ y(t) = 3cos(2t) 2 sin(2t)+ 2 sin(2τ)g(t τ)dτ ÙÒ ÌÖ Ò Ö Ò ½ ÙÒ ØÖ Ò Ö Ò Ó ÙÒ ÙØ Ð Þ Ô Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö ÕÙ Ð Ö Ð Ó ÒØÖ ÒØÖ ÙÑ Ø Ñ ÓÙ ÓÑÓ ÙÑ Ø Ñ Ú Ö ÔÓÒ Ö ÕÙ Ò Ó Ó Ö Ð ÙÑ Ô ÖØÙÖ Óº Ö ÔÖ ÒØ Ó» ÒØÖ Ó Ø Ñ Ñ ÙÑ ÓÙ Ú Ö µ ÕÙ Ö Ò ¹ Ú Ô Ò Ö Ó Ñ Ù Ù ÐÑ ÒØ ÔÖ ÔÖ Ú Ö Ú Ð Ô Ò ÒØ ÓÐÙÓ ÕÙ Óµ ÒØÖ Ó Ó Ø ÖÑÓ ÒÓ¹ ÓÑÓ Ò Ó ÕÙ Óº ÓÒ Ö Ù ÒØ Ç Ð Ò Ö ÙÒ ÓÖ Ñ ÒÓ¹ ÓÑÓ Ò ÓÒ Ò Ó d 2 y dt 2 +ady dt +by = rt y() = K dy = y () = K dt t= ÓÒ a b Ó ÓÒ Ø ÒØ º Ø Ø ÔÓ ÕÙ Ó ÙÖ Ñ Ú Ö Ó Ø Ñ Ó ÓÒ r(t) Ö ÔÖ ÒØ ÙÑ ÒØÖ ÓÖ ÑÓØÖ Þµ ÔÐ Ó Ø Ñ ÙÒÓ y(t) Ö ÔÓ Ø µ Ó Ø º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ô Ö ÙÑ ÖÙ ØÓ ÊÄ L d2 Q dt 2 +RdQ dt + C Q = E(t) Ó Ø ÖÑÓ E(t) Ö ÔÖ ÒØ ÙÑ ÓÖ ÔÐ Ó Ø Ñ ÒØÖ µ ÓÐÙÓ Q(t) Ö ÔÖ ¹ ÒØ ÓÑÓ Ö Ð ØÖ µ Ú Ö ÔÓÒ Ö Ø ÒØÖ º Ú Ð Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ç Ø ÑÓ ÕÙ (s 2 Y(s) sy() y ())+a(sy(s) y())+by(s) = R(s) ÖÙÔ Ò Ó Ó Ø ÖÑÓ Ñ Ð ÒØ (s 2 +as+b)y(s) = (s+a)y()+y ()+R(s) ½ Ø Ó ÓÔ ÓÒ Ð ½½

12 Ç ÒÚ Ö Ó Ó Ø ÖÑÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ó Y(s) Ò Ó ÓÑÓ G(s) = s 2 +as+b ÓÒ Ó ÓÑÓ ÙÒÓ ØÖ Ò Ö Ò º Ø Ø ÖÑÓ ÒÓ Ø Ñ Ö Ð Ó Ò Ñ ÓÑ ÓÒ Ò Ò Ñ ÓÑ Ô ÖØ ÒÓ¹ ÓÑÓ Ò º ÓÑ Ó ÕÙ Ó ÔÓ Ö Ö Ø ÓÑÓ Y(s) = G(s)I(s)+G(s)R(s) I(s) = (s+a)y()+y () Ñ ÑÙ ØÓ Ó ÓÒ Ò Ó y() = y () = ÑÓ Ó ÕÙ I(s) = Y(s) = G(s)R(s) G(s) = Y(s) R(s) ÓÙ ÙÒÓ G(s) Ö ÔÖ ÒØ Ö Ð Ó ÒØÖ ØÖ Ò ÓÖÑ ÒØÖ Ò Ò Ó ÓÑÓ ÙÑ ÑÓ Ó Ò ÒØÖ ØÖ Ò Ö Ô Ö º Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö ÙÑ Ö ØÓÖ ÚÓÐÙÑ V ÓÒ Ð Ñ ÒØ ÙÑ Ú ÞÓF ÓÒØ Ò Ó ÙÑ ÓÒ ÒØÖ Ó C A, = C A, (t) ÙÑ Ö ÒØ A ÕÙ Ö ÙÑ Ø Ü kc A k < µº Ó Ñ ÑÓ Ø ÑÔÓ ÙÑ Ú ÞÓ F Ñ ØÙÖ Ö ÑÓÚ º Æ Ó Ö ØÓÖ ÓÒ ÒØÖ Ó A C A = C A (t)º Ú Ö Ó Ò ÓÒ ÒØÖ Ó A ÔÓÖ V dc A dt +F(C A C A, )+kc A = ÕÙ Ó ÔÓ Ö Ö Ö Ø ÓÑÓ V dc A dt +(F +k)c A = FC A, Ú Ò Ó ØÓ Ó Ó Ø ÖÑÓ ÔÓÖ F +k ( V ) dca F +k dt +C A = F F +k C A, ½¾

13 Ò Ò Ó ÕÙ Ó Ô Ö ÔÓÖ V F +k = τ F F +k = K p τ dc A dt +C A = K p C A, Ú Ð Ò Ó ÌºÄº ÙÒÓ τ (sc A (s) C A ())+C A (s) = K P C A, (s) ÓÒ Ö Ò Ó ÕÙ Ò ÐÑ ÒØ ÒÓ Ú Ö ÒØ ÒÓ Ö ØÓÖ C A () = ÕÙ Ó ÔÓ Ö Ö Ö Ø ÓÑÓ G(s) = C A(s) C A, (s) = K p τ s+ Ñ ÓÒ ÒØÖ Ó Ò µ ÔÓ Ö Ö Ð ÓÒ ÓÑ ÒØÖ ÓÒ Ò¹ ØÖ Ó Ò ÒØÖ µ ÓÑÓ C A (s) = G(s)C A, (s) º½ Ò Ó ÙÒÓ ÌÖ Ò Ö Ò Ç Ò Ó ÙÑ ºÌº Ò Ó ÓÑÓ Ö Ð Ó ÒØÖ ÒØÖ ÒÓ Ø Ó Ø ÓÒ Ö Ó Ô ÙÑ ÐÓÒ Ó Ô Ö Ó Ó Ø ÑÔÓµº Ñ Ó Ò Ó Ö ÔÖ ÒØ ÓÑÓ Ó ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ú Ö Ñ Ñ ÙÒÓ ÙÑ Ô ÖØÙÖ Ó Ò ÒØÖ º Ç Ò Ó ÐÙÐ Ó Ö Ø Ñ ÒØ Þ Ò Ó s = º Ü ÑÔÐÓ Ø ÖÑ Ò Ó Ò Ó Ô Ö ÙÒÓ ØÖ Ò Ö Ò Ó Ü ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖº ½

14 ÙÒÓ ØÖ Ò Ö Ò ÔÓÖ Þ Ò Ó s = G(s) = C A(s) C A, (s) = K p τ s+ G(s) = K p C A () = K p C A, () ÇÙ ÒÓ Ø Ó Ø ÓÒ Ö Ó Ö Ð Ó ÒØÖ ÙÑ Ô ÖØÙÖ Ó Ò ÒØÖ Ö ÔÓ Ø Ò K p º ÓÐÙÓ Ç ÕÙ Ö Ú Ú Ö Ó C A (t) Ñ ÓÒ ÓÖÑ t Ø ÑÓ ÕÙ C A (t) = C A, (t)k p ( e t/τ ) C A (t) = C A, K P Ë ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÒ ÒØÖ Ó A Ò ÒØÖ ÓÖ ÙÔÐ Ô ÙÑ Ø ÑÔÓ Ù Ò¹ Ø Ñ ÒØ Ö Ò ÓÒ ÒØÖ Ó A Ò Ö ÙÑ ÒØ Ö Ñ ÙÑ ØÓÖ 2K P º º¾ È ÐÓ ÖÓ Ì ÍÑ Ì G(s) ÕÙ ÐÕÙ Ö ÔÓ Ö Ö Ø ÓÑÓ G(S) = a(s) b(s) Ö Þ a(s) Ú ÐÓÖ ÓÒ G(s) = µ Ó Ñ Ó Þ ÖÓ Ì ÒÕÙ ÒØÓ ÕÙ Ö Þ b(s) Ú ÐÓÖ ÓÒ G(s) µ Ó Ñ Ó Ô ÐÓ Ìº ÈÓ ¹ Ø ÖÑ Ò Ö Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÒÑ Ó ÙÑ Ø Ñ ÓÑ ÒÓ Ò Ô ÖØ Ö Ñ Ò Ö Ó Ô ÐÓ Þ ÖÓ Ìº Ç Ô ÐÓ Ó Þ ÖÓ Ó ÔÖÓÔÖ Ì ÓÑÓ ÓÒ ÕÙ Ò ÕÙ ÕÙ Ö Ú Ñ ÙÑ Ø Ñ º Ñ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÑ Ó Ò Ó Ð Ö Ø Ö Þ Ñ ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÕÙ Ö Ò ÓÖÒ Ñ ÙÑ Ö Ó ÓÑÔÐ Ø Ó Ø Ñ º Ü ÑÔÐÓ Ø ÖÑ Ò Ó Ô ÐÓ Þ ÖÓ Ì Ø ÙÒÓ ÔÓ Ö Ö Ø ÓÑÓ G(s) = K p τs+ = a(s) b(s) G(s) = K p τs+ a(s) = K p b(s) = τs+ ÙÒÓ a(s) ÒÓ ÔÓ Ù Ò Ò ÙÑ Ö Þ ÔÓÖØ ÒØÓ Ì ÒÓ ÔÓ Ù Þ ÖÓ º ÙÒÓ b(s) ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ñ ÓÑ Ö Þ s = /τ Ò Ó Ø ÙÑ Ô ÐÓ Ìº ½

Documentos relacionados

y +p(x)y +q(x)y = g(x) y(x 0 ) = y 0 y (x 0 ) = y 0 y(α) = y 0 y(β) = y 1

y +p(x)y +q(x)y = g(x) y(x 0 ) = y 0 y (x 0 ) = y 0 y(α) = y 0 y(β) = y 1 ÙÐ ¼ ¹ Å ØÓ Ó ÆÙÑ Ö Ó Ô Ö ÈÖÓ Ð Ñ Î ÐÓÖ ÓÒØÓÖÒÓ Ð ØÓÒ ÓÒØ Ò ÕÙ Ö Ò ÓÖ Ñ Ñ ÓÖ ÕÙ ÙÑ ÔÓ Ñ Ö Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Ð ÈÎÁµ ÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ ÓÒØÓÖÒÓ ÈÎ µ Ô Ò Ò Ó ÓÖÑ ÓÑÓ ÓÒ ÓÒ Ó Ô º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö Ç y +p(x)y +q(x)y