MODELAGEM MATEMÁTICA DO CRESCIMENTO E ABSORÇÃO DE ÁGUA DO SOLO POR SISTEMAS RADICIAIS DE ESPÉCIES ARBÓREAS

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1 I UNIJUI - UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL DeFEM DEPTO DE FÍSICA, ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA DeTEC DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA MESTRADO EM MODELAGEM MATEMÁTICA MODELAGEM MATEMÁTICA DO CRESCIMENTO E ABSORÇÃO DE ÁGUA DO SOLO POR SISTEMAS RADICIAIS DE ESPÉCIES ARBÓREAS MINÉIA CAPPELLARI FAGUNDES Ijuí-RS, 27 de fevereiro de 2006.

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3 II UNIJUI - UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL DeFEM DEPTO DE FÍSICA, ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA DeTEC DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA MESTRADO EM MODELAGEM MATEMÁTICA MODELAGEM MATEMÁTICA DO CRESCIMENTO E ABSORÇÃO DE ÁGUA DO SOLO POR SISTEMAS RADICIAIS DE ESPÉCIES ARBÓREAS Elaborada por Minéia Cappellari Fagundes Dissertação apresentada ao Departamento de Física, Estatística e Matemática da Universidade Regional do Noroeste do estado do rio Grande do Sul UNIJUÍ, RS, como parte integrante dos pré-requisitos para a obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática. Orientador: Profº. Dr. Pedro Augusto Pereira Borges (DEFEM) Co-orientador: Profº. Dr. Geraldo Ceni Coelho (DBQ) Ijuí-RS, 27 de fevereiro de 2006.

4 III UNIJUI - UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL DeFEM DEPTO DE FÍSICA, ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA DeTEC DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA MESTRADO EM MODELAGEM MATEMÁTICA MODELAGEM MATEMÁTICA DO CRESCIMENTO E ABSORÇÃO DE ÁGUA DO SOLO POR SISTEMAS RADICIAIS DE ESPÉCIES ARBÓREAS Elaborada por MINÉIA CAPPELLARI FAGUNDES Como requisito para a obtenção do grau de Mestre em Modelagem Matemática COMISSÃO EXAMINADORA Profº. Dr. Pedro Augusto Pereira Borges DEFEM (Orientador) Profº. Dr. Geraldo Ceni Coelho DBQ (Co-Orientador) Profº. Dr. Artur Gustavo Muller DEAg Profª. Drª. Diomar Cristina Mistro UFSM Ijuí-RS, 27 de fevereiro de 2006.

5 IV AGRADECIMENTOS À Deus, por me proteger e iluminar meu caminho nesta trajetória e pelas oportunidades vividas até o momento. Em especial, ao meu esposo José Antônio, pelo amor, pela compreensão e pelo incentivo oferecido durante este período de muitas ausências. Por partilhar comigo os momentos de alegrias e tristezas durante essa trajetória. Aos meus pais que sempre foram exemplo de força e amor verdadeiro em minha vida, sempre presentes em todas as horas, fazendo tudo que esteve ao seu alcance, as vezes até além, sem medir esforços para me ver feliz e satisfeita. Obrigada por tudo e por acreditarem em mim, pois vocês são a razão da minha existência. Aos meus irmãos Rogério, Viviane, Marcelo, pelo incentivo, força e carinho durante toda essa trajetória. Ao Professor orientador Dr. Pedro A. P. Borges pela orientação e pela compreensão durante o desenvolvimento desta pesquisa. Obrigada pelo exemplo profissional, levarei comigo ao longo de minha formação pessoal e profissional. Ao Professor co-orientador Dr. Geraldo C. Coelho, pelas sugestões apresentadas e ajuda na realização de experimentos. Aos professores do Curso, pelos conhecimentos transmitidos. A todos os colegas de curso, em especial a Mônica e Ângela pela disponibilidade demonstrada e os momentos de alegria e tristeza compartilhados. Ao bolsista de Iniciação Científica Radael pelo auxílio na parte experimental.

6 V Aos professores do DeFEM Departamento de Física, Estatística e Matemática, pela amizade demonstrada e ensinamentos ao longo de minha vida acadêmica. Às funcionárias do DeFEM Departamento de Física, Estatística e Matemática, em especial a Geni pelo zelo e pela atenção dedicada às nossas solicitações. Ao DEAg Departamento de Agronomia e ao DBQ Departamento de Biologia e Química pelo convívio durante o curso e ajuda na hora da realização dos experimentos. Ao Professor Dr. Artur G. Müller pela ajuda na realização de experimentos. A todas as pessoas que de uma forma ou outra me ajudaram e apoiaram para que eu conseguisse chegar até aqui. À CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal em Nível Superior) pela bolsa de estudos que possibilitou custear este curso.

7 VI RESUMO O estudo das variações do teor de umidade do solo juntamente com absorção da água pelas plantas é de grande interesse para pesquisas em sistemas agro-florestais e agrícolas, pois o movimento de nutrientes depende basicamente do movimento da água no solo. A equação de Richards é uma EDP não linear, que relaciona o teor de umidade do solo com o potencial total, apresentando um termo fonte do tipo sorvedouro. Esse termo fonte representa a intensidade de absorção de água dos ápices de uma planta. Neste trabalho foram desenvolvidos dois modelos matemáticos, um envolvendo o movimento da água no solo considerando a presença de raízes e outro contemplando o crescimento das raízes da espécie louro-pardo (Cordia trichotoma); o primeiro é descrito pela equação de Richards em coordenadas cilíndricas com condições de fronteira de 2ª espécie, e o segundo por uma EDP que varia a densidade de ápices no tempo e no espaço. O número de ápices foi obtido experimentalmente para determinados intervalos de tempo ( 0 45)dias.Os parâmetros da curva característica do solo foram obtidos por ajuste dos dados experimentais em função da equação de van Genuchtem. Foram realizadas simulações que mostraram o aumento da densidade de ápices para diversos tempos, e simulações do movimento da água no solo considerando a absorção de água pelas raízes. As equações foram resolvidas numericamente pelo método das Diferenças Finitas Centrais (CDS Central Difference Scheme), pelo esquema temporal explícito.o modelo proposto apresenta resultados coerentes com os dados experimentais do somatório do número de ápices. As simulações realizadas mostraram a versatilidade do modelo para descrever diferentes tipos de sistemas radiculares, constituindo-se em um poderoso instrumento auxiliar para a análise do movimento da água no solo e crescimento das raízes.

8 VII ABSTRACT The study of the soil moisture changes and water uptake by the plants is a theme of great concern to research on agriculture and native forests, considering that the kinetics of the nutrients depends essentially to the water dynamics in the soil. The Richards equation is a non-linear partial differential equation, which correlates the soil moisture content with the total potential, presenting a source term of a sink type. This source term express the intensity of water uptake by the root apex of the plant. In the present work two mathematical models were developed, one evolving the water movement in the soil including the existence of plant roots and another considering the growth of the louropardo (Cordia trichotoma) roots. The first is described by the Richards equation with cylindrical coordinates and with boundary conditions of 2 nd species, and the second model is described by one non-linear partial differential equation, which represents the variation the root apex density in time and space. The number of root apex was obtained experimentally for a time interval of 45 days. The parameters of the characteristic curve of the soil were obtained by data regression adjust of experimental data as a function of the van Genuchtem equation. Simulations to put in evidence the increase of the root apex density as a function of time was carried out, together with simulations of the water movement in the soil taking in consideration the water root uptake. The equations were resolved by the Central Difference Scheme method, through the explicit temporal outline. The proposed model presents coherence with the experimental data of the total root apex. The simulations displayed the versatility of the model to describe different types of root systems, becoming a powerful tool to analyze the soil water movement and root growth.

9 VIII SUMÁRIO AGRADECIMENTOS... IV RESUMO... VI ABSTRACT... VII LISTA DE SÍMBOLOS... X LISTA DE LETRAS GREGAS... XII LISTA DE TABELAS... XIII LISTA DE FIGURAS... XIII 1. INTRODUÇÃO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA O solo Textura do solo Estrutura do solo Densidade do solo Porosidade do solo Compactação do solo Teor de umidade do solo Energia Potencial da água no solo Movimento da água no solo Condutividade hidráulica Curva característica da água no solo Infiltração e redistribuição da água no solo Evapotranspiração Modelos de crescimento de raiz Proposição do problema DESCRIÇÃO DOS EQUIPAMENTOS E EXPERIMENTOS Densidade do solo Monitoramento do crescimento do sistema radicial... 19

10 IX Imagens do sistema radicial da espécie arbórea Louro pardo (Cordia trichotoma) Curva característica Procedimentos Funil de placa porosa Procedimentos Câmara de pressão de Richards MODELO MATEMÁTICO Modelo para o movimento da água no solo Caso solo saturado Caso solo não saturado Cálculo dos potenciais Cálculo do volume de água absorvida pela raiz Modelo para o termo fonte g( z, t ) da equação ( 4.19 ) SOLUÇÃO NUMÉRICA Solução numérica para o movimento da água no solo Solução numérica para a fonte da equação ( 4.19 ) ANÁLISE DOS RESULTADOS Curva característica da água no solo Crescimento das raízes Gráficos sobre o crescimento do sistema radicial Simulações numéricas da densidade de ápices Simulações com variações em Rr e R z Simulações numéricas do movimento da água com absorção de água pelas raízes CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXOS... 70

11 X LISTA DE SÍMBOLOS a, m, n parâmetros de ajuste da curva característica 3 A 0 matriz densidade de ápices ( nam ) 3 d densidade global do solo ( g / m ) g dr dt dz intervalo espacial em r intervalo temporal intervalo espacial em z g ( z, t) termo de absorção de água pelas raízes ( m m h ) 3 g ( z, t ) termo de geração de massa de raiz ( nahm ) a 2 g gravidade ( m / s ) h profundidade ( m ) H profundidade do cilindro ( m ) ( Θ) k condutividade hidráulica para solo não saturado ( m s Pa ) k condutividade hidráulica para solo saturado ( m s Pa ) k fr constante de proporcionalidade ( m na h ) K 2 fator de crescimento de raiz ( h ) C m s massa de solo seco ( g ) m u massa de solo úmido ( g ) N, P, S posições na malha em z na número de ápices 1 q fluxo ( ms ) 3 1 q fluxo de água na direção x ( m s ) y 2 1 q fluxo de irrigação ( m h ) ir R raio do cilindro ( m ) Rr e 2 1 R constante de difusão dos ápices ( m h ) z r raio ( m ) S f teor de umidade volumétrico adimensional retirado de cada célula

12 XI t i tempo de irrigação ( h ) t f tempo final ( h ) t variável temporal ( h ) u 3 3 teor de umidade dimensional a base de massa ( m m ) V wf 3 volume de água retirada do solo ( m ) V s 3 volume de solo seco ( m ) V 3 volume de uma amostra ( m ) W, E posições na malha em r z profundidade ( m )

13 XII LISTA DE LETRAS GREGAS θ 3 3 teor de umidade volumétrico dimensional do solo ( m m ). θ r 3 3 teor de umidade volumétrico dimensional residual do solo ( m m ). θ s 3 3 teor de umidade volumétrico dimensional saturado do solo ( m m ). θ f 3 3 magnitude do teor de umidade volumétrico dimensional retirado ( m m ) Δ ψ 1 gradiente do potencial hidraulico ( mm ) ψ potencial total ( Pa ) ψ g potencial gravitacional ( Pa ) ψ p potencial de pressão ( Pa ) ψ m potencial matricial ( Pa ) ψ o potencial osmótico( Pa ) Θ α teor de umidade adimensional do solo porosidade total 3 ρ densidade de ápices ( na / m ) 3 ρ 0 densidade de ápices inicial ( na / m )

14 XIII LISTA DE TABELAS CAPÍTULO 6 Tabela Valores do parâmetro K C, erro quadrático e coeficiente de determinação para as situações A, B e C ANEXO III Tabela 1 Dados experimentais da curva característica LISTA DE FIGURAS CAPÍTULO 3 Figura Fotografia dos cilindros com as plantas da espécie Louro pardo (Cordia trichotoma), no estágio inicial do experimento (Casa de Vegetação- Campus UNIJUÍ) Figura Fotografia dos cilindros com as plantas da espécie Louro pardo (Cordia trichotoma), na terceira semana do experimento (Casa de Vegetação- Campus UNIJUÍ) Figura Sistema radicial planificado da espécie Louro pardo (Cordia trichotoma), com t = 0 dias...21 Figura Sistema radicial planificado da espécie Louro pardo (Cordia trichotoma), com t = 45 dias...22 Figura 35-. Funil de Placa Porosa com a Coluna d água Figura 36-. Câmara de Pressão de Richards CAPÍTULO 4 Figura Volume de solo, onde a solução está fluindo Figura Esquema dos anéis no volume de controle... 37

15 XIV CAPÍTULO 5 Figura 5.1 Malha do domínio de integração para diferenças finitas Figura 5.2 Fluxograma do programa sobre variações do teor de umidade considerando a absorção de água pelas raízes Figura Fluxograma do programa para descrever o crescimento do sistema radicial CAPÍTULO 6 Figura 61-. Curva característica da água no solo Figura Densidade de ápices ( ρ ) do sistema radicial da espécie Louro pardo (Cordia trichotoma) para t = 0 dias Figura Densidade de ápices ( ρ ) do sistema radicial da espécie Louro pardo (Cordia trichotoma) para t = 45 dias Figura Linhas de contorno da densidade de ápices ( ρ ), do sistema radicial da espécie Louro pardo (Cordia trichotoma), para t = 0 dias Figura Linhas de contorno da densidade de ápices ( ρ ), do sistema radicial da espécie Louro pardo (Cordia trichotoma), para t = 45 dias Figura Comparação entre a densidade de ápices em um intervalo de tempo (0 45dias) entre dados calculados (cal) e experimentais (exp) Figura 67-. Melhor K C, considerando todos os dados experimentais Figura 68-. Simulação da densidade de ápices ( ρ ) do sistema radicial da espécie Louro pardo(cordia trichotoma), para t = 300 dias Figura 69-. Simulação da densidade de ápices ( ρ ) do sistema radicial da espécie Louro pardo(cordia trichotoma), para t = 600 dias Figura 610-Simulação. da densidade de ápices ( ρ ) do sistema radicial da espécie Louro pardo(cordia trichotoma), para t = 900 dias Figura Simulação das linhas de contorno da densidade de ápices ( ρ ) com R > R r z

16 XV Figura Simulação das linhas de contorno da densidade de ápices ( ρ ) com R < R r z Figura Simulação do movimento da água no solo, t = 12h. Com absorção de água pela raiz considerando os dados empíricos da primeira planta sacrificada ( t = 0dias) Figura Linhas de contorno da distribuição da água no solo para t = 12h. Com absorção de água pela raiz considerando os dados empíricos da primeira planta sacrificada ( t = 0dias) Figura Simulação do teor de umidade para t = 12h. Com absorção de água pela raiz considerando os dados empíricos da primeira planta sacrificada ( t = 0dias) Figura Simulação do movimento da água no solo, t = 12h. Com absorção de água pela raiz considerando os dados empíricos da sexta planta sacrificada ( t = 45dias) Figura Linhas de contorno da distribuição da água no solo para t = 12h. Com absorção de água pela raiz considerando os dados empíricos da sexta planta sacrificada ( t = 45dias) Figura Simulação do teor de umidade para t = 12h. Com absorção de água pela raiz considerando os dados empíricos da primeira planta sacrificada ( t = 45dias) ANEXO I Figura 1 Sistema radicial planificado da espécie Louro pardo (Cordia trichotoma), com t = 7 dias Figura 2 Sistema radicial planificado da espécie Louro pardo (Cordia trichotoma), com t = 14 dias Figura 3 Sistema radicial planificado da espécie Louro pardo (Cordia trichotoma), com t = 21 dias Figura 4 Sistema radicial planificado da espécie Louro pardo (Cordia trichotoma), com t = 35 dias... 72

17 1 1. INTRODUÇÃO O estudo sobre o solo é complexo, pois envolve uma série de variáveis, sendo estas propriedades caracterizadas em físicas tais, estrutura, compactação, textura, teor de umidade, densidade e condutividade hidráulica, e química, como a natureza dos minerais e a disponibilidade de nutrientes e suas transformações no solo. Neste contexto a água é um elemento importante em quase todos os mecanismos de movimento de nutrientes, e o conhecimento detalhado do movimento da água durante o desenvolvimento de uma cultura fornece elementos importantes para aperfeiçoar a produtividade. O sistema água/solo/planta engloba uma série de processos de transferência de nutrientes que viabilizam o crescimento e reprodução das espécies vegetais. O estudo desses processos de movimento dos nutrientes em plantas, e o conhecimento da dinâmica da água no solo são de amplo interesse em pesquisas de monitoramento de florestas, sistemas agro-florestais e agrícolas. O presente trabalho é parte do Projeto de Pesquisa, Movimento de Nutrientes na Planta, da Linha de Pesquisa Modelagem Matemática dos Processos de Transporte, do Mestrado em Modelagem Matemática da UNIJUI. A transferência de nutrientes no solo depende do movimento da água no mesmo, o qual envolve os processos de infiltração, redistribuição e evaporação da água. Sendo assim, esses processos são descritos através da equação diferencial parcial não linear que rege o movimento da água no solo, conhecida como equação de Richards. Este estudo tem por objetivo geral desenvolver um modelo matemático, usando a equação citada, porém considerando a presença de um termo fonte do tipo sorvedouro (raiz da planta), visando que o modelo descreva o fluxo de água entre solo e planta (raiz). A dissertação é composta por sete capítulos e três anexos, onde: No Capítulo 1 é apresentada uma introdução, enfatizando a importância dos mecanismos que envolvem o sistema água/solo/planta nas atividades de cultivo e naturais. É exposto o objetivo geral da pesquisa. No Capítulo 2 é feita uma revisão bibliográfica, onde são apresentados os conceitos básicos utilizados e os objetivos específicos a serem abordados no trabalho. No Capítulo 3 está feita a descrição dos equipamentos e dos procedimentos utilizados nos experimentos realizados.

18 2 No Capítulo 4 são apresentados os modelos matemáticos, um para as variações do teor de umidade considerando a absorção de água pelas raízes e outro para descrever o crescimento do sistema radicial. Também é feita a dedução da equação de Richards (EDP que rege o movimento da água no solo). No Capítulo 5 é apresentado o método numérico Diferenças Finitas utilizado para a resolução das Equações Diferencias Parciais, e os fluxogramas dos programas computacionais implementados para descrever o crescimento da densidade de ápices e o movimento da água no solo considerando a presença das raízes. No Capítulo 6 são apresentadas as análises dos resultados obtidos, empiricamente e através de soluções numéricas. No Capítulo 7 são apresentadas as conclusões referentes ao trabalho realizado. No Anexo I são apresentadas as imagens obtidas por scanner do sistema radicial das plantas sacrificadas nos experimentos realizados. No Anexo II são apresentadas as matrizes referentes ao número de ápices dos sistemas radiciais estudados. No Anexo III é apresentada a tabela dos dados obtidos empiricamente para a obtenção da curva característica do solo.

19 3 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA O solo é um reservatório natural de água para as plantas e todas as práticas da agricultura que visam promover condições ideais para o crescimento das culturas. Por ser um reservatório aberto para a atmosfera e para horizontes ou camadas mais profundas do perfil de solo, muitos pesquisadores têm procurado quantificar a capacidade de armazenamento desse reservatório (retenção de água), como também os fluxos que ocorrem na superfície, e na profundidade do solo (Jury & Gardner, 1991). A compreensão dos processos dinâmicos da água no solo faz parte do componente terrestres do ciclo hidrológico e são muito úteis em vários ramos da ciência e da engenharia, em assuntos relacionados com a irrigação, drenagem, erosão, biologia da fauna e flora do solo, poluição do solo e outros. Esses processos incluem, a infiltração, redistribuição, e a evapotranspiração. Na Engenharia Civil, a redistribuição da água é importante, porque, em barragens de terra, por exemplo, a determinação da quantidade de água que percola dos maciços e fundações é fundamental para a estabilidade da obra, enquanto, em lagoas de rejeitos, essa percolação pode contribuir para a contaminação do lençol freático (Souza Pinto, 2000). Para a agricultura, o interesse no estudo do solo situa-se na composição (elementos químicos e microorganismos), nas propriedades físicas (textura, compactação e densidade), no teor de umidade (quantidade de água armazenada) e nas transformações do solo devido à ação do manejo ou da água, responsável pelo movimento de nutrientes para as plantas. O conhecimento detalhado da dinâmica da água durante o desenvolvimento de uma cultura fornece elementos essenciais ao estabelecimento ou aprimoramento de práticas de manejo agrícola, reflorestamentos, irrigação, adubação visando a otimização da produtividade. Estudos da dinâmica da água em condições de campo e laboratório, dando ênfase a fluxos de água na zona radicial da cultura, são encontrados em trabalhos de Fitter and Stickland, (1992); Vasconcelos et al., (2003); Cruz et al., (2005); Coelho (1999) e outros. Para o conhecimento da dinâmica da água no solo, é de fundamental importância o conhecimento da umidade do solo e dos potenciais da água do solo. A umidade é apenas um índice que quantifica a água que o solo possui, enquanto que os potenciais da

20 4 água dizem respeito aos diferentes tipos de energia potencial que atuam no sistema e podem dar indicação de como a água se encontra no solo, se parada ou em movimento (Libardi, 1995) O solo Segundo Reichardt (1990), o solo é um sistema complexo constituído de materiais sólidos, líquidos e gasosos. As partículas sólidas formam um arranjo poroso tal que os espaços vazios são chamados poros, e têm a capacidade de armazenar líquidos e gases. A parte sólida (matriz do solo) é principalmente mineral e se constitui de partículas, classificadas de acordo com o tamanho médio dos grãos em areia, limo ou argila. A parte líquida do solo constitui-se essencialmente de água, contendo minerais dissolvidos e materiais orgânicos solúveis. Ela ocupa parte dos espaços vazios entre as partículas sólidas. Esta água é absorvida pelas raízes das plantas ou é drenada para camadas de solo mais profundas e, por isso, precisa ser periodicamente reposta pela chuva ou pela irrigação, para garantir uma produção vegetal adequada. Daí a importância agrícola do conhecimento deste reservatório de água para as plantas e dos princípios que governam seu funcionamento. A parte gasosa ocupa os espaços vazios entre as partículas sólidas não ocupados pela água. Esta é uma parte importante do sistema do solo, pois muitas plantas necessitam de certa aeração do sistema radicial. A capacidade de armazenamento de água no solo (retenção de água no solo) é influenciada pelas propriedades físicas do solo, a textura do solo, a estrutura, a compactação, a densidade, a porosidade, a condutividade hidráulica, teor de umidade e outras Textura do solo A textura do solo refere-se à distribuição das partículas em termos de tamanho. Sendo essas partículas grosseiras, médias e finas correspondem a areia, limo e argila, respectivamente, determinam combinações usadas para classificar o solo segundo sua

21 5 textura. A textura do solo influencia muito no que se refere à água, pois interferem a retenção e o movimento da água. Segundo Reichardt (2004), a textura do solo é um fator que afeta a retenção de água no solo, pois ela determina a área de contato com entre as partículas sólidas e a água e determina as proporções de poros de diferentes tamanhos. De acordo com Centurion et al., (1997) há maior retenção de água para solos com textura mais fina, confirmando a importância da fração de argila. Assim, solos argilosos retêm mais água que os demais principalmente a altas tensões, ou seja, próximo ao ponto de murcha permanente que representa a água que as plantas podem extrair do solo (a capacidade de água disponível no solo) Estrutura do solo O termo estrutura é usado para descrever o solo no que se refere ao arranjo das partículas sólidas, que dão origem à formação dos agregados (partículas grandes). A estrutura define também a geometria dos espaços porosos. A estrutura do solo próxima da superfície é afetada pelo preparo do mesmo, e mais profundamente ele tem características de acordo com o tipo de solo (Reichardt, 2004). O solo pode ser dito bem estruturado ou mal estruturado. Considera-se como boa a estrutura com bastante agregados de forma granular que esboroa com relativa facilidade quando úmida. O solo bem estruturado tem melhor permeabilidade da água, tem melhores condições de areação e penetração de raízes (Reichardt,1990). O solo mal estruturado é massivo, pesado para ser trabalhado, com problemas de penetração de água e de raízes. A estrutura do solo, ao contrário da textura, pode ser modificada, ela pode ser melhorada com práticas agrícolas adequadas (rotação de culturas, incorporação de matéria orgânica, etc). A estrutura do solo influencia no crescimento das plantas de várias formas, sendo os efeitos sobre o alongamento radicial os mais claros e determinantes sobre a habilidade das raízes em extrair água e nutrientes em quantidades adequadas (Muller et al., 2001).

22 Densidade do solo A densidade do solo, que é chamada de densidade aparente ou densidade global do solo, é definida como a massa do solo seco por unidade de volume. Relaciona-se com a compactação de cada horizonte e permite inferir as dificuldades para a emergência, enraizamento e circulação da água e ar. A densidade do solo é um índice do grau de compactação de um solo (Reichardt, 2004). A densidade do solo é uma propriedade física que reflete o arranjo das partículas, que por sua vez define as características do sistema poroso. Desta forma, todas as manifestações que influenciarem a disposição das partículas do solo, refletirão diretamente nos valores da densidade do solo. De acordo com Libardi (1999), quanto mais argiloso o solo, menor sua densidade. A densidade global do solo (d g ) é dada pela razão da massa de uma amostra de solo e o volume que ela ocupa: d g m = V s s ( 2.1 ) onde m s é a massa de solo seco ( g ) 3 V s é o volume de solo seco ( m ) Porosidade do solo As partes líquidas e gasosas definem o volume de espaços vazios no solo (poros). A porosidade total α é definida pela relação entre o volume ocupado pelos poros e o volume total do solo. A porosidade é dividida em macro e microporos, os macroporos são os responsáveis pela percolação de água nos horizontes e entre os horizontes. Os microporos são os responsáveis pela água capilar que é uma parcela da água disponível para as plantas. O conhecimento da distribuição do tamanho dos poros é importante para a drenagem do solo e a disponibilidade de água para as plantas, pois os poros armazenam a água perto das raízes, como um reservatório (Gardner, 1983).

23 7 A porosidade é uma propriedade física do solo, muito alterada pelo cultivo e as culturas, afetando o espaço poroso. Quanto maior a porosidade, maior a capacidade do solo em armazenar água, daí os solos de textura fina ter maior capacidade de retenção e disponibilidade de água às plantas do que os de textura grosseira. A porosidade do solo varia de 0< α < 1, em função da textura e estrutura do mesmo. A porosidade do solo está inversamente relacionada com a densidade: quanto maior a densidade do solo, menor a sua porosidade α (Libardi, 1999) Compactação do solo A compactação do solo é ligada à estrutura. Como o solo é um meio poroso, por compreensão a mesma massa de material sólido pode ocupar um volume menor. Isso afeta sua estrutura, o arranjo dos poros, o volume dos poros e a retenção de água (Reichardt,1990). Segundo Silva e Rosolem (2001), a compactação do solo é como um impedimento mecânico para a penetração de raízes, pois ao crescer, a raiz exerce uma pressão contra as partículas do solo, afastando-as para permitir o seu alongamento, que ocorre quando a pressão radicial é maior que a impedância mecânica. O solo compactado possui características como: a baixa infiltração de água, raízes deformadas, estrutura degradada e alta resistência do solo. Pequenas estiagens podem resultar em deficiência de água nas plantas. A compactação do solo afeta a disponibilidade hídrica e pode atuar na capacidade de água disponível no solo. As formas mais comuns de quantificar a compactação são através da densidade global do solo e através da porosidade total. Em geral, com a diminuição da porosidade e aumento da densidade do solo, ocorre a diminuição da capacidade da água disponível no solo Teor de umidade do solo O solo é um material que possui três fases, sólida, líquida e gasosa. Onde as fases líquida e gasosa são complementares, isto é, a máxima presença de uma implica na ausência da outra. Sempre a porção do espaço poroso, não ocupada pela fase líquida será complementada pela fase gasosa.

24 8 A fase líquida (água) pode estar presente nos poros do solo completa ou parcialmente, e o solo é chamado de saturado ou não saturado. Quando o espaço poroso está totalmente cheio de água, o solo é dito solo saturado (Libardi, 1999). Um solo não saturado é aquele cujo espaço poroso é parcialmente cheio com água e parcialmente cheio com ar. De modo geral, os solos se encontram não saturados de água, mesmo assim armazenam considerável quantidade, parte da qual deve ser utilizada pelas plantas. A umidade do solo é o índice mais básico para quantificar a água em uma amostra de solo. Tradicionalmente, a umidade do solo tem sido expressa de duas maneiras: à base de massa ( u ), ou à base de volume ( θ ) (Libardi, 1999; Reichardt, 2004). A umidade do solo à base de massa é obtida pela equação mu m u = m s s ( 2.2 ) onde m s massa de solo seco ( g ) m u massa de solo úmido ( g ) e à base de volume pela equação onde mu m θ = V s m s massa de solo seco ( g ) m u massa de solo úmido ( g ) ( 2.3 ) Para cálculos que envolvem água no solo, θ é mais importante que u, porém em laboratório é mais simples calcular u. De ( 2.3 ) e ( 2.4 ) podemos escrever: m θ = u s V ( 2.4 )

25 9 Como ms V, é a densidade do solo, para obter o valor da umidade volumétricaθ, a partir de u, basta multiplicar o valor de u pela densidade do solo d g. θ = u d g ( 2.5 ) Existem vários métodos de determinação do conteúdo de água no solo podendo ser classificados em métodos diretos e indiretos. Os métodos diretos consistem na medida direta do conteúdo de água de uma amostra, basicamente por evaporação, dividindo-se em: método gravimétrico com secagem em estufa e método gravimétrico com secagem em forno microondas. Os métodos indiretos se baseiam na medida de propriedades físicas ou físico-químicas do solo que sejam proporcionais ao conteúdo de água no solo. Os diferentes métodos para a determinação do conteúdo de água do solo, todos apresentam algumas vantagens e desvantagens. A opção por um determinado método varia de acordo com a finalidade, os objetivos e as disponibilidades existentes (Klar,1991) No método gravimétrico com secagem em estufa, que é o mais básico e considerado padrão, remove-se a amostra desejada e determinam-se as massas úmida e seca com o auxilio de uma balança e estufa. Tem como desvantagem ser demorado e destrutivo. Para se obter a umidade a base de volume por esse método é necessário conhecer a densidade do solo (Libardi,1999). O método gravimétrico com secagem em microondas é rápido, mas tem a desvantagem de ser destrutivo e de difícil padronização, exigindo calibrações do tempo de secagem para cada solo em particular. Os métodos indiretos exigem o conhecimento de uma curva de calibração, e têm a vantagem de não serem destrutivos. O teor de umidade do solo possui valores extremos θ r e θ s. Sendo θ r a umidade residual, onde a presença de água é praticamente nula, e θ s a umidade de saturação do solo. A fixação dos valores extremos de umidade apresenta a vantagem de não se obterem valores incoerentes com o comportamento físico observável (que ocorre na natureza); por exemplo: valores negativos para a umidade residual e valores maiores que a unidade para a umidade de saturação (Jong van Lier & Doutorado Neto, 1993).

26 Energia Potencial da água no solo De acordo com Reichardt (2004), depois da umidade, a característica mais importante é o estado de energia da água no solo. A água do solo, da planta, da atmosfera etc., assim como qualquer corpo da natureza pode ser caracterizada por um estado de energia. No solo e na planta, a velocidade da água é relativamente lenta e, por isso, sua energia cinética (energia produzida por um corpo em movimento), na maioria dos casos é desprezível. A energia da água pode ser potencial, isto é relacionada com a posição do corpo em função de campos de força, sendo essa energia de primordial importância para a caracterização do estado de energia da água no ponto considerado. Os campos de força são os potenciais: gravitacional ( ψ g ), pressão ( p ) ( ψ os ) e outros. ψ, matricial ( ψ ) m, osmótico A soma dos potenciais recebe o nome de Potencial Total da Água. Ela é também chamada de potencial da água e é representada por ( ψ ), onde cada potencial é uma componente da equação: ψ = ψ g + ψ p + ψm + ψos +... ( 2.6 ) O potencial gravitacional ( ψ g ) é resultado da ação da força de gravidade. Adota-se um plano como referência (a superfície do solo), onde neste a energia é nula, é positiva acima e negativa abaixo. A energia potencial gravitacional é dada por: ψ = d g z ( 2.7 ) g onde d densidade da água g a força da gravidade z a altura

27 O potencial de pressão ( ψ p ) é a pressão a que a água está submetida e é, na verdade, energia por volume. Da hidrostática sabemos que a pressão em um ponto situado a uma profundidade h é dada por: 11 ψ = d g h ( 2.8 ) p g onde dg densidade do solo g a força da gravidade h a profundidade O potencial matricial ( ψ m ) é o componente da energia total que está relacionado às interações da água com as partículas sólidas do solo, isto é matriz do solo. Essa interação se refere a fenômenos de capilaridade e adsorção. O potencial matricial da água do solo foi freqüentemente denominado potencial capilar, tensão da água no solo, sucção ou pressão negativa (Reichardt, 2004). Em um solo saturado a adsorção é nula e nesse caso o componente matricial é nulo ( 0) ψ =. Quando o solo vai se tornando não saturado o potencial matricial fica m cada vez mais negativo. ψ m está em função da umidade do solo. Em geral o potencial matricial é determinado experimentalmente, através da curva característica da água no solo ou curva de retenção. O potencial osmótico ( ψ os ) é o componente relacionado à presença de membranas semipermeáveis. Segundo Libardi (1999), considerando-se dois pontos num perfil de solo de tal maneira que em cada um deles se meça o potencial total da água, sob condições isotérmicas: a água se encontra em equilíbrio quando seu potencial for igual nos dois pontos; e a tendência da solução é de sempre se mover do ponto, onde o seu potencial é maior para o ponto onde ele é menor Movimento da água no solo O estudo do movimento da água no solo é de amplo interesse para várias atividades, como já foi visto anteriormente. Para descrever como a água se movimenta,

28 12 usaremos uma equação que quantifica o processo. Existem duas importantes equações que quantificam o movimento da água no solo sob condição isotérmica: a equação de Darcy para solos saturados, e a equação de Darcy-Buckingham para solos não saturados (Libardi,1999; Reichardt, 1990). Segundo Reichardt (1990), a água move-se quando ocorrem diferenças de potencial total entre os pontos de um sistema, sendo o movimento no sentido do decréscimo do potencial. No ano de 1856 o engenheiro hidráulico Henry Darcy propôs a famosa equação de Darcy, também conhecida como Lei de Darcy, sendo esta a primeira equação que possibilitou a quantificação do movimento da água em meios porosos saturados. Porém, essa equação só é válida quando se trabalha em condições de saturação, sob condições isotérmicas, para fluxo laminar e para situações em que as interações solo-água não resultem em variações no fluído e na condutividade hidráulica, sendo essa última uma constante que representa a propriedade do meio em transmitir água (Libardi, 1999). A Ley de Darcy foi desenvolvida para quantificar o movimento da água quando esta satura o meio poroso, mas nem sempre o meio poroso é saturado, e é de interesse no estudo também o meio não saturado. De acordo com Libardi (1999), o primeiro trabalho de que se tem notícia que apresenta uma equação nessas condições de solo não saturado, é o de Buckingham em 1907, que generalizou a equação de Darcy e verificou que ela também pode ser aplicada para o fluxo de solo não saturado. Em 1960 em um Congresso Internacional de Ciência no solo, Richards e Swartzendrube sugeriram que a Ley de Darcy passasse a se chamar equação de Darcy-Buckingham, dando o merecido crédito a Buckingham pela sua grande contribuição para a equação. A equação de Darcy-Buckingham é uma equação para condições de regime estacionário, ou seja, as características do fluxo não variam com o tempo. Porém na maioria das situações reais, elas são do tipo transiente, e para isso temos que usar a equação da continuidade ou equação de conservação de massa, que representa matematicamente a lei de conservação da massa.. Em 1931, utilizando o princípio da Conservação de massa e a equação de Darcy- Buckingham, Richards apresentou a equação diferencial que rege o movimento da água em solos relacionando a variação do teor de umidade com os potenciais matricial, gravitacional, osmótico e de pressão para solos saturados e não saturados. Essa equação diferencial é denominada Equação de Richards (Borges et al., 2005).

29 Condutividade Hidráulica A condutividade hidráulica é um coeficiente que expressa a facilidade com que um fluído (água) pode se deslocar no solo, e que depende das propriedades do solo e do fluído. As propriedades mais importantes que têm reflexo na geometria porosa do solo são: a distribuição do tamanho e forma das partículas, a tortuosidade do sistema, a superfície específica, a umidade, a porosidade, entre outras. Quanto ao fluído, a sua viscosidade ( η ) é a propriedade mais importante, pois afeta a condutividade hidráulica de maneira inversa: quanto maior ( η ), menor a condutividade (Jury & Gardner, 1991; Libardi, 1999). A condutividade hidráulica é uma das mais importantes propriedades do solo para estudos que envolvem a infiltração da água, o movimento da água dentro do perfil, bem como para as raízes das plantas e para a drenagem interna. O solo agrícola revela umidade inferior à saturação e, pela existência de uma função crescente entre condutividade e umidade, o valor da condutividade hidráulica sob a condição saturada é sempre superior ao das condições não saturadas, para o mesmo solo. A condutividade hidráulica é função do teor de umidade do solo, sendo máxima em condições de saturação. À medida que a umidade diminui, a condutividade hidráulica decresce, normalmente de forma exponencial (Libardi, 1999). A condutividade hidráulica do solo é, entre as propriedades físicas do solo, a de mais alta variabilidade. A variabilidade maior ocorre nas camadas mais superficiais, e como as camadas superficiais são de maior interesse em estudos de balanço hídrico e da relação solo-planta, determinações da k ( Θ ) versus Θ devem ser sempre analisadas, considerando essa grande variabilidade (Jong van Lier & Libardi, 1999). A partir da equação de Richards, muitos pesquisadores têm desenvolvido métodos de campo e de laboratório para a determinação da condutividade hidráulica do solo não saturado. Os métodos de laboratório podem utilizar amostras de solo com estrutura deformada ou indeformada. Nos métodos de campo, as amostras são retiradas do próprio campo e a perturbação do solo deve ser mínima possível. O método do perfil instantâneo é um método para obtenção de medidas de umidade diretas do campo, abrangendo uma faixa maior de umidade. Porém, apresenta desvantagens, podendo-se destacar o consumo elevado de tempo e a mão-de-obra, tornando-se um dos grandes problemas para solos que apresentam camadas adensadas

30 14 ou compactadas, onde o processo de drenagem é muito lento (Jong van Lier & Libardi, 1999). Os métodos de campo requerem alto investimento de tempo e mão-de-obra, por isso, avanços em estudos para a determinação da função k ( Θ ) foram feitos baseados em dados obtidos a partir da curva de retenção de água no solo. De acordo com Pereira (2001), os valores da condutividade hidráulica obtidos no campo apresentaram a mesma tendência encontrada nos testes de laboratório, ou seja, de redução da condutividade hidráulica com a profundidade estudada. Estes resultados são coerentes quando se analisa os valores de porosidade total e macroporosidade do solo. Esse fator é o principal agente que permite aos solos arenosos apresentarem maiores valores de condutividade hidráulica, em condições de saturação, que os de textura mais fina. Mualem (1976) e van Genuchten (1980) desenvolveram a equação para determinar a condutividade hidráulica para solos não saturados, por meio de parâmetros da curva de retenção de água no solo Curva característica da água no solo A curva característica da água no solo ou curva de retenção, é uma propriedade físico-hídrica do solo que relaciona o conteúdo volumétrico de água ( θ ) e o potencial matricial ( ψ m ). Ela é típica para cada solo, pois varia com pequenas variações de textura, compactação, estrutura, etc. A curva de retenção da água no solo é de grande importância para, entre outros estudos, aqueles que envolvem interações solo-planta, aeração, irrigação, drenagem. A curva característica é geralmente determinada em laboratório e de preferência em amostras não deformadas. Experimentalmente existem maneiras diretas principais para determinar a curva de retenção de água nos solos em laboratório, elas utilizam uma placa porosa (cujos poros devem ser mantidos sempre cheios de água para que ela se torne permeável somente à água): a câmara de pressão de Richards e funil de placa porosa. A retenção de água no solo basicamente é explicada por dois processos: a capilaridade e a adsorção. A capilaridade é ligada à afinidade entre as partículas sólidas do solo e a água, havendo a necessidade de interfaces água-ar que são chamadas

31 15 meniscos, e que apresentam uma curvatura que é tanto maior quanto menor o poro. Essa curvatura determina o estado de energia da água. A capilaridade atua na retenção de água dos solos na faixa úmida quando os poros se encontram razoavelmente cheios. A adsorção ocorre quando há seca, os poros vão se esvaziando e filmes de água recobrem as partículas sólidas (Reichardt, 1990) Infiltração e redistribuição de água no solo Infiltração é o nome que se dá à entrada de água no solo pela superfície através da chuva, irrigação ou inundação, a infiltração ocorre de cima para baixo (Reichardt, 1990). Findado o processo de infiltração, o movimento de água dentro do perfil de solo não cessa imediatamente e pode persistir por muito tempo. Esse movimento pósinfiltração é chamado drenagem interna ou redistribuição e se caracteriza em aumentar a umidade de camadas mais profundas pela água contida nas camadas superficiais umedecidas (Jury & Gardner, 1991, Loyola & Prevedello, 2003). Quando o fornecimento de água ocorre por irrigação mesmo assim a infiltração (redistribuição) ocorre em todas as direções, pois a água sempre procura regiões onde o potencial é menor. O processo de infiltração ocorre porque a água da chuva ou irrigação tem potencial total (ψ ) praticamente nulo e a água no solo tem potencial negativo e quanto mais seco o solo mais negativo. Quando um solo se encontra não saturado, o potencial total no início da infiltração é grande e com o passar do tempo tende a se igualar ao que é pequeno ao início do processo, logo o processo de infiltração decai com o tempo (desacelera). O processo de redistribuição é importante para a determinação da quantidade de água retida em função do tempo e da profundidade, o que pode afetar a economia da água das plantas. A taxa e a duração do fluxo descendente durante a redistribuição determinam o volume efetivo de água armazenada. Finalmente o processo de redistribuição é importante devido ao fato de se poder determinar a quantidade de água que flui através da zona radicial e que pode perder-se por percolação, havendo a possibilidade de lixiviar solutos. ψ g

32 Evapotranspiração A evapotranspiração é a transferência de água na forma de vapor do sistema solo-planta para o ar, portanto ela é o fenômeno combinado de evaporação da água do solo e de transpiração dos vegetais. A evaporação é uma perda na qual a água sai do solo sem participar das atividades biológicas da cultura. A transpiração vegetal participa das atividades biológicas da planta. Devido à diferença de potencial total entre a água do solo e a água da raiz, caule e folhas, esta se move geralmente do solo para as raízes e desta para a parte aérea da planta. A distribuição e atividade radicial têm grande importância na absorção de água pelas plantas, afetando a transpiração. As duas taxas de evaporação e transpiração são importantes, pois, elas representam a perda total de água para a atmosfera, que é a evapotranspiração (Reichardt, 1990). A perda de água para a atmosfera através das plantas é uma conseqüência inevitável da necessidade de um caminho físico para a troca gasosa de gás carbônico. Desde o plantio uma cultura vai progressivamente crescendo e ocupando a área disponível, e o conhecimento da evapotranspiração (ET) é fundamental para projetos de irrigação, pois ela representa a quantidade de água que deve ser reposta ao solo para manter o crescimento da espécie (Ferreira, 2004). Quando uma cultura depende de irrigação, a quantidade de água a ser aplicada em cada irrigação deve ser aproximadamente aquela necessária para elevar a umidade do solo à capacidade de campo na profundidade efetiva de enraizamento da cultura. O intervalo de tempo entre as irrigações e a quantidade de água a ser aplicada em cada irrigação para uma cultura depende, entre outros, da capacidade de retenção de água do solo e da profundidade de enraizamento das plantas Modelos de crescimento de raiz A absorção de água é freqüentemente limitada pela profundidade e eficiência dos sistemas radiciais. A maior dificuldade em descrever e estimar a distribuição de água reside na extração de água pelo sistema radicial (Coelho,1999). Segundo Cruz et al. (2005), a falta ou excesso de água no solo são fatores limitantes ao crescimento vegetal e podem diminuir a produtividade. Estudos que levem

33 17 a um melhor entendimento de como a água se comporta na zona radicial de uma cultura agrícola são de importância indiscutível ao adequado manejo agrícola. A influência da raiz no solo, pode torná-lo mais ou menos favorável para o crescimento da raiz. A raiz causa mudanças no solo, por exemplo em sua densidade, pois ela cresce e ocupa os espaços que estavam ocupados por poros ou partículas, pois evidentemente o tamanho das raízes são maiores que os poros da terra. A quantidade de raízes é medida em termos de área de superfície da raiz, comprimento da raiz, ou volume da raiz (Barber, 1974 ). O conhecimento do desenvolvimento das raízes das plantas, sua posição, extensão e atividade de absorção de água em diversos estágios de crescimento é muito importante para o entendimento da produção vegetal. Dois tipos de modelos de crescimento de raízes se destacam, os arquitetônicos e os modelos contínuos. Os modelos arquitetônicos levam em conta a forma, o comprimento e a distribuição do sistema radicial (Rose, 1983; Pages et al., 1989; Narda & Curry, 1981; Porter et al., 1986; Grant, 1993; Shibusawa, 1992; Diggle, 1988; Reddy & Pachepsky, 2001). Os modelos contínuos levam em conta somente o crescimento do sistema radicial, sem considerar a arquitetura (Page & Gerwitz, 1974; Hayhoe, 1981; Brugge & Thornley, 1985; Chopart & Vauclin, 1990; Jones et al, 1990; Marani et al., 1992; Subbaiah & Rao, 1993; Neto & Teruel, 1997; Doussan et al, 1998) Proposição do problema A presente dissertação é uma pesquisa sobre o movimento da água no solo para um caso bidimensional com a presença de uma planta da espécie Louro Pardo (Cordia trichotoma). O problema proposto é a estimação do fluxo de água do solo que a planta absorve pelas raízes em um determinado intervalo de tempo, no interior de um cilindro de solo, submetido à irrigação na superfície. Dessa forma, o problema foi dividido em: Determinação de um modelo matemático para descrever as variações do teor de umidade do solo considerando a absorção de água pelas raízes. Determinação de um modelo matemático para descrever o crescimento do sistema radicial.

34 18 3. DESCRIÇÃO DOS EQUIPAMENTOS E EXPERIMENTOS A parte experimental da pesquisa foi realizada na casa de vegetação do campus da UNIJUÍ, e nos laboratórios de Botânica, Ictiopatologia e Física do Solo da UNIJUÍ. Foram realizados três experimentos: densidade do solo, monitoramento do crescimento do sistema radicial e a curva de retenção da água. O solo utilizado para a realização dos experimentos é predominante na região noroeste do estado do Rio Grande do Sul e foi coletado no IRDeR (Instituto Regional de Desenvolvimento Rural). São latossolos formados a partir da intemperização do basalto. Predomina o Latossolo Vermelho Distroférrico típico, unidade de mapeamento Santo Ângelo, que se caracterizam pela coloração vermelha escura, perfil profundo e pela boa drenagem natural. Texturalmente classificam-se como solos argilosos com predominância de argilas 1:1 e sesquióxidos de ferro e alumínio (Seibt Filho, 2001). Após a coleta do solo, ele foi homogeneizado. A coleta abrangeu uma camada que se estendia da superfície até uma profundidade de aproximadamente de 30 cm. O solo foi seco ao natural e depois peneirado com uma peneira com malha de 2 mm. A espécie de planta utilizada para os experimentos é o louro-pardo (Cordia trichotoma) é uma espécie florestal nativa no Rio Grande do Sul. O nome vulgar varia de acordo com a região, sendo a espécie também conhecida por amora-do-mato-alto (PR), canela-batata (RJ, SP), capoeira (BA), folha-larga (SE), ipê -louro (SP), ipê-detabaco (PR), jurutê (SP), louro-batata (RJ, SP), louro-negro (SC), louro-preto (RS), louro-verdadeiro, louro-da-serra (PR,RS), louro-do-mato (RJ), malvão (DF), paucachorro (SP) e peterevy no Paraguai. A área de ocorrência do louro-pardo, Cordia trichotoma, inclui a Argentina (nordeste), Paraguai (leste) e Brasil, nos estados da Bahia (sul), Ceará (serras), Paraíba, Espírito Santo (norte), Goiás (sul), Minas Gerais (centro e sul), Mato Grosso do Sul, Mato Grosso (sul), Pernambuco (Serra de Garanhuns e Serra Negra), Piauí (sudeste), Paraná, Rio de Janeiro, Rio Grande do Sul (noroeste), Santa Catarina, Sergipe, São Paulo e no Distrito Federal.

35 Densidade do solo Objetivo: Medir a densidade do solo. Equipamentos utilizados: anel volumétrico, balança analítica e estufa. Procedimentos: 1. Separar 3 amostras de solo, com 200g cada uma. 2. Colocar as amostras na estufa a 105º C por 72h. 3. Medir a massa de solo seco m s. 4. Medir o volume do solo seco V s. 5. Calcular a densidade global do solo (d g ), que é a razão entre a (m s ) e o (V s ), de acordo com a equação ( 2.1 ). 6. Repetir os procedimentos 1 a 5, cinco vezes. O valor da média calculada será a densidade global do solo Monitoramento do crescimento do sistema radicial Objetivo: Obter imagens do sistema radicial durante intervalos de tempo ( t 0 dias, t 7 dias, t 14 dias, t 21 dias, t 35 dias, t 45 dias) = = = = = =. Equipamentos utilizados: 10 vasos cilíndricos de 30 cm de diâmetro e 35 cm de altura, casa de vegetação, porções de solo peneirado, mudas da espécie Louro Pardo (Cordia Trichotoma). Procedimentos: 1. Colocar g de solo peneirado, em cada vaso cilíndrico. 2. Plantar as mudas de Louro Pardo (Cordia Trichotoura) no centro do vaso cilíndrico. Aguardar duas semanas para a fixação da planta. 3. Fazer o monitoramento das plantas. A cada semana executar os seguintes passos: a. Sacrificar uma planta para fazer medições nas raízes determinando número de ápices. b. Fazer uma imagem do sistema radicial por scanner. 4. Repetir o procedimento 3 para 6 plantas.

36 20 Figura Fotografia dos cilindros com as plantas da espécie Louro pardo (Cordia trichotoma), no estágio inicial do experimento (Casa de Vegetação- Campus UNIJUÍ). Figura Fotografia dos cilindros com as plantas da espécie Louro pardo (Cordia trichotoma), na terceira semana do experimento (Casa de Vegetação-Campus UNIJUÍ).

37 Imagens do sistema radicial da espécie árborea Louro pardo (Cordia trichotoma) As Figuras ( 33. ) e (. ) 34 apresentam respectivamente as imagens do sistema radicial das plantas sacrificadas, em t = 0 dias (considerado a primeira planta sacrificada) e t = 45dias. O quadriculado corresponde a uma escala de 001mx001m.,, Figura 3.3 Sistema radicial planificado, da epécie Louro pardo (Cordia trichotoma), com t = 0 dias.

38 22 Figura 3.4 Sistema radicial planificado da espécie Louro pardo (Cordia trichotoma), com t = 45 dias. De acordo com as Figuras ( 33. ) e (. ) 34, pode-se constatar que não há uma correspondência seqüencial entre o estágio inicial ( 0 dias) e o final (45 dias) das raízes das plantas. Ou seja, como as amostras não têm a mesma arquitetura e tamanho iniciais, as imagens para os dias 7, 14, 21, 35 e 45 (Anexo I) não apresentam uma sequência regular de crescimento. Essa constatação, juntamente com a evidente perda de microraízes durante a extração, além da planificação do sistema tridimensional, inviabiliza análises da evolução espacial das raízes em função do tempo, porém o método dá uma idéia da distribuição espacial (mesmo com problemas de precisão) e uma informação global com relativa precisão sobre o somatório de ápices presentes no sistema. A contagem do número de ápices foi efetuado da seguinte maneira: 1. Cada imagem foi quadriculada com malha 001mx001m,,, como mostram as Figuras ( 33. ) e (. ) 34. Cada quadrado corresponde à seção radial de um anel de solo de raio r i, Δ r = 0, 01m e profundidade Δ z = 0, 01m. Esse anel será chamado de volume de controle. 2. Para cada volume de controle foi contado o número de ápices.

39 A 0 = A 45 = Os elementos da matriz A 0 correspondem ao número de ápices em cada volume de controle em t t = 45dias. = 0 dias, e a matriz A 45 corresponde aos dados experimentais para As imagens e as matrizes com o número de ápices do sistema radicial obtidas para os tempos t = 7dias, t = 14dias, t = 21dias, t = 35dias, estão apresentadas nos Anexos I e II respectivamente Curva característica Objetivo: Obter os dados para o potencial matricial e teor de umidade adimensional. Equipamentos: três anéis volumétricos, porções de 140g de solo, balança analítica.

40 24 A determinação da curva característica foi realizada em laboratório, ela está relacionada a características intrínsecas do solo, que expressa a umidade em função do potencial matricial da água no solo (Libardi, 1995 ). Para a realização do experimento foram usados para produzir diferentes pressões nas amostras de solo: 1- Funil de placa porosa. 2- Câmara de Pressão de Richards O funil de placa porosa é um sistema formado por um funil de plástico contendo uma placa porosa, que pode suportar uma pressão de ± 250 cmh 2 O. Ele é conhecido por Funil de Haines, conforme a Figura ( 35. ) : Figura Funil de Placa Porosa com a Coluna d água.

41 25 Para que possa ser utilizado para a medida do potencial matricial, a haste do funil é prolongada por meio de um tubo flexível, através do qual pode-se saturar ou dessaturar a placa porosa. Para saturar a placa porosa mantém-se o nível da água constante na coluna d água em z = 0; para dessaturar a placa porosa o nível da água na coluna d água ficar constante em alguma das demais alturas, ou seja, de z = 10cmH 2 O a 200 cmh 2 O. A Câmara de pressão de Richards é uma câmara para suportar alta pressão (± cmh 2 O), com uma placa de cerâmica porosa no seu interior, conforme a Figura ( 36. ): Figura 36:. Câmara de Pressão de Richards A face inferior é coberta por um diafragma de borracha, selado em sua borda. Entre a placa e o diafragma, existe uma tela de náilon para permitir o fluxo de solução, sem danificar o tubo de saída da solução quando aplicado a pressão desejada Procedimentos Funil de placa porosa 1. Separar 3 amostras de solo com 140g e colocá-las nos anéis volumétricos. 2. Encher a coluna d água até a marca de z = 0cm, conforme indicado na figura ( 35. ).

42 26 3. Colocar as amostras em uma bacia de água para saturar o solo, deixando por aproximadamente 1 hora. 4. Colocar as amostras no funil de placa porosa, aguardar por 1 hora, após abrir o primeiro grampo (em z = 10cmH 2 O), deixar por 24 horas. 5. Retirar as amostras e medir a massa de cada amostra 6. Repetir os procedimentos 4 e 5 para os grampos da coluna d água que correspondem às tensões 20cmH 2 O, 40 cmh 2 O, 60 cmh 2 O, 100 cmh 2 O, 150 cmh 2 O, 200 cmh 2 O Procedimentos Câmara de pressão de Richards 1. Utilizar as mesmas amostras de solo com 140g nos anéis volumétricos, do equipamento Funil de placa porosa. 2. Colocar as amostras em uma bacia de água para saturar o solo, deixando por aproximadamente 1 hora. 3. Colocar as amostras de solo na câmara de pressão de Richards. 4. Ligar o compressor, deixar estabilizar por aproximadamente 15 minutos, ajustar a pressão pra a tensão de 330 cmh 2 O (observando no relógio do aparelho), deixar por 24 horas. 5. Retirar as amostras e medir a massa de cada amostra. 6. Repetir os procedimentos 2, 3, 4 e 5 para as tensões 500 cmh 2 O, 1000 cmh 2 O, cmh 2 O, cmh 2 O, cmh 2 O.

43 27 4. MODELO MATEMÁTICO 4.1. Modelo para o movimento da água no solo O modelo matemático que descreve o movimento da água no solo, em condições isotrópicas foi obtido a partir da equação de conservação de massa e da equação de Darcy-Buckingham, conhecida como equação de Richards. A equação de Darcy também conhecida como Lei de Darcy, foi a primeira equação que quantificou o movimento de água em solo saturado q = k ψ 0 ( 4.1 ) onde q 1 fluxo, ou seja, volume de água por unidade de área ( ms ). k 0 1 condutividade hidráulica do meio saturado ( ms ) ψ 1 gradiente de potencial hidráulico ( mm ) A equação ( 4.1 ) foi generalizada para meios porosos saturados e não saturados e passou a se chamar equação de Darcy-Buckingham q= k Θ ψ ( ) ( 4.2 ) onde q 1 fluxo, ou seja, volume de água por unidade de área ( ms ). 1 k ( Θ ) condutividade hidráulica em função da umidade ( ms ) 1 ψ gradiente de potencial hidráulico total ( mm ) A equação ( 4.2 ) descreve somente o regime estacionário. Para contemplar o regime transiente, usa-se a equação da continuidade ou de conservação de massa. Supondo um paralelepípedo com um volume de solo, onde um vetor de densidade de fluxo q passe por este paralelepípedo:

44 28 Figura Volume de solo, onde a solução está fluindo. Na direção y, o fluxo elementar do vetor densidade de fluxo que entra e que sai do volume de solo é dado pelas equações abaixo, respectivamente: dψ = q dxdz ( 4.3 ) entray y ψ q = + y y d saiy qy dxdz ( 4.4 ) O fluxo total na direção y, é dψ dψ dψ = + ( 4.5 ) y entray saiy Substituindo as equações( 4.3 ) e ( 4.4 ) na equação( 4.5 ), obtém-se dψ ou dψ y y q y = dxdydz ( 4.6 ) y q y = dv ( 4.7 ) y Como dψ y é a taxa de acumulação ou perda de água, podemos escrever que

45 dψ y = ( dvsol,y ) t 29 ( 4.8 ) Logo, ( dvsol,y ) t = y qy dv O sinal negativo é pelo fato que ( dvsol,y ) t e qy ( 4.9 ) y terem variações opostas. são: Analogamente para as direções y e z, as taxas de acumulação ou perda de água ( dvsol,x ) t ( dvsol,z ) t = x = z qx dv qz dv ( 4.10 ) ( 4.11 ) A taxa total de perda ou acumulação de água será dada pela soma das equações( 4.9 ), ( 4.10 ) e ( 4.11 ): ( dvsol,z ) q q x y q z = + + dv t x y z ( 4.12 ) Como dvsol = Θ dv q q q z t x y z Θ = x + y + ou Θ = q t ( 4.13 ) ( 4.14 )

46 30 que é equação da continuidade. Substituindo a equação ( 4.2 ) na ( 4.13 ) obtém-se a equação de Richards: Θ = k ( Θ) ψ t ( 4.15 ) Desdobrando ( 4.15 ), em componentes cartesianos, obtém-se: Θ = + + x Θ + y Θ + z Θ t x y z x y z i j k k ( ) i k ( ) j k ( ) k ( 4.16 ) e consequentemente obtém-se a Equação de Richards em coordenadas cartesianas ortogonais Θ kx( ) ψ ky( ) ψ kz( ) ψ = Θ + Θ + Θ t x x y y z z. ( 4.17 ) A equação de Richards pode ser escrita de outras formas. Neste trabalho, será usada em coordenadas cilíndricas relacionando o teor de umidade com o potencial total, e com um termo fonte (sorvedouro): Θ 1 ψ 1 ψ ψ = kr Θ + k k 2 φ Θ + z Θ g z t t r r r r φ φ z z ( ) ( ) ( ) (, ) ( 4.18 ) onde Θ é o teor de umidade volumétrico adimensional do solo k ( Θ ) é a condutividade hidráulica ( ms Pa ) ψ é o potencial hidráulico total ( Pa ). φ é o ângulo polar ( rad ). t é o tempo ( s ). r e z são as variáveis espaciais ( m ).

47 31 Para um problema de eixo simétrico as variações do potencial em relação a φ são nulas e a equação ( 4.18 ) torna-se: Θ 1 ψ ψ = kr Θ + kz Θ g z t t r r r z z ( ) ( ) (, ) para 0 < r < R, 0 < z < H e t > 0 ( 4.19 ) A equação ( 4.19 ) é o modelo matemático para o movimento de água no solo com as seguintes condições iniciais e de fronteira: ( rz,,0) 0 Θ =Θ 0 < r < R, 0 z H < < ( 4.20 ) Θ '' (,0,) r t = qir z Θ (,0,) r t = 0 z Θ ( Rzt,, ) = 0 r Θ (, rht,) = 0 z 0 < r < R, 0 t ti 0 < r < R, t ti < < ( 4.21 ) > ( 4.22 ) 0 < z < H, t > 0 ( 4.23 ) 0 < r < R, t > 0 ( 4.24 ) onde (, ) 3 1 g z t é a absorção de água pela raiz ( ms ) H é a profundidade do tubo ( m ) R é o raio do tubo ( m ) t é o tempo ( s ) t i é o tempo de irrigação ( s ) 3 3 Θ 0 é o teor de umidade volumétrico inicial ( mm ) 1 q é o fluxo de irrigação por unidade de área ( ms ) '' ir O potencial total de água no solo é a soma de todos os potenciais (gravitacional, pressão, matricial, osmótico), porém dependendo das condições hídricas do solo (saturado ou não saturado), esses potenciais podem assumir valores nulos, permitindo escrever a Equação de Richards de formas específicas para cada condição.

48 Caso solo saturado No caso de solo saturado a condutividade hidráulica é igual à condutividade hidráulica saturada. k torna-se: ( Θ ) = k0 Se Θ ( rzt,, + 1) 1 não significa que ( rzt) Θ Θ,, 1. Então 0. t Para solo saturado o potencial total é a soma do ψ e o p ψ g, e a equação ( 4.19 ) ( ψ p ψ g) ( ψ p ψ g) Θ = k 0 r + g z t t r r r z z (, ) ( 4.25 ) ψ g Mas = 0 r, ψ g = z e ( 1) z = 0, logo a equação ( 4.25 ) torna-se: 2 Θ 1 ψ p ψ p = k0 r + g z t 2 t r r r z (, ) ( 4.26 ) Caso solo não saturado O caso de solo não saturado o teor de umidade adimensional varia de 0<Θ< 1. Para solo não saturado o potencial total é a soma do ψ m e o ψ g, e a equação ( 4.19 ) torna-se: ( ) ( ) Θ 1 ψm + ψ g ψm + ψ g = k( Θ ) r + k( Θ) g z t t r r r z z (, ) ( 4.27 ) ψ g Mas = 0 r e ψ g = z, logo a equação ( 4.27 ) torna-se:

49 33 ( ) Θ 1 ψ ψ Θ = k( ) r k( ) g z t t r r Θ r + Θ + z z z m m k (, ) ( 4.28 ) Cálculo dos potenciais Os potenciais que envolvem o modelo proposto são os potenciais de pressão ψ e matricial( ψ ). ( p ) m O potencial de pressão é uma função da coluna de água que atua sobre um determinado ponto do solo e é calculado pela equação ( 2.9 ). O potencial matricial é obtido experimentalmente através do ajuste da curva característica do solo. Um modelo empírico bastante versátil foi proposto por van Genuchten (1980): ( θ θ ) s r θ = θr + n 1+ aψ m m ( 4.29 ) onde 3 3 θ s é o teor de umidade volumétrico saturado ( mm ) 3 3 θ r é o teor de umidade volumétrico residual ( mm ) amn,, são parâmetros do ajuste de curvas. O teor de umidade adimensional Θ é expresso por: θ θr Θ= θ θ s r ( 4.30 ) E substituindo ( 4.29 ) em( 4.30 ), Θ também pode ser expresso por 1 Θ= n 1+ aψ m m ( 4.31 ) Logo, o potencial matricial é expresso por:

50 34 ψ m 1 a n 1 m = Θ 1 ( 4.32 ) Mualem (1976) e van Genuchten (1980) desenvolveram a equação para determinar a condutividade hidráulica para solo não saturados, por meio de parâmetros da curva de retenção de água no solo: m 2 k k l 1 m ( Θ ) = 0Θ 1 ( 1 Θ ), ( 4.33 ) onde k 0 é a condutividade hidráulica do solo saturado, m é o parâmetro da curva característica, e l é um parâmetro considerado por Mualen (1976) igual a Cálculo do volume de água absorvida pela raiz O termo fonte relativo à absorção de água proporcional à quantidade de ápices é: (, ) = (, ) ( 4.34 ) g z t k dt A i j fr 0 onde g( z, t ) é o teor de umidade adimensional retirado de cada célula k fr é uma constante de proporcionalidade ( m na h ) dt intervalo de tempo ( h ) A 0 é a matriz densidade de ápices ( na m 3 ) O número g( z, t ) é proporcional à fração de água retirada das células em cada intervalo de tempo. É uma grandeza adimensional. Se A ( i, j) 0 então (, ) 0 = portanto, g( z, t) não tem teor de umidade residual associado. Assim g z t = 0 e f (, ) = ( 4.35 ) g z t θ θ s

51 35 onde 3 3 θ f é a magnitude do teor de umidade retirado ( mm ) 3 3 θ s é o teor de umidade de saturação ( mm ) Da equação ( 4.35 ) tem-se = θ (, ) ( 4.36 ) θ f s g z t da definição do teor de umidade encontrada na equação( 4.30 ) o volume de água retirado do solo é V wf = θ V ( 4.37 ) f s 4.2. Modelo para o termo fonte g( z, t ) da equação ( 4.19 ). A equação ( 4.19) possui um termo fonte do tipo sorvedouro, que quantifica a absorção de água do solo pela raiz da planta. Neste trabalho, esse termo será considerado proporcional ao número de ápices da raiz por unidade de volume (ρ, densidade de ápices, na m 3, onde na é o número de ápices). O número de ápices por volume de controle foi estimado experimentalmente através da imagem da raiz obtida por scanner, a qual fica na forma plana, de acordo com o Capítulo 3 (p.22-23) Como cada ápice situado uma quadricula da malha plana estar ocupando qualquer posição dentro do volume de controle. A densidade de ápices que é dada por: na ρ = VC ( 4.38 ) onde ρ é a densidade de ápices ( na m 3 ) na é o número de ápices 3 VC é o volume de um volume de controle ( m )

52 36 O crescimento do sistema radicial foi simulado considerando uma dispersão difusiva, descrita pela conhecida equação diferencial parcial da difusão. Nessa equação relacionou-se a densidade de ápices em função do tempo e do espaço ρ 1 ga R ρ r R ρ = + z + t r r r z z K ( z, t) C para 0 < r < R, 0 < z < H et > 0 ( 4.39 ) Com as seguintes condições iniciais e de fronteira ρ(, rz,0) ρ (,0,) r t = 0 z ρ ( Rzt,, ) = 0 r ρ (, rht,) = 0 z = ρ, 0 < r < R, 0 z H 0 < < ( 4.40 ), 0 < r < R, t > 0 ( 4.41 ), 0 < z < H, t > 0 ( 4.42 ), 0 < r < R, t > 0 ( 4.43 ) onde ρ é a densidade de ápices( na m 3 ) ρ 0 é a densidade de ápices inicial ( na m 3 ) R r e 2 1 R z são constantes de difusão dos ápices ( mh ) ga ( z, t) é o termo de geração de massa de raiz ( na h m 3 ) K C é o fator de crescimento da raiz ( h 1 ) H é a profundidade do tubo ( m ) R é o raio do tubo ( m ) r e z são variáveis espaciais ( m ) t é a variável temporal ( h ) A densidade dos ápices foi calculada para cada volume de controle, que para um problema de eixo simétrico em coordenadas cilíndricas é um anel.

53 37 Figura Esquema dos anéis no volume de controle O volume de um volume de controle é obtido fazendo a diferença entre os volumes de dois cilindros de raio r i e ri 1, sendo r 1 < r 2, no intervalo 0 < r < R. VC πr z r z = Δ Δ ( 4.44 ) 2 2 i π i 1 ou 2 2 ( i i 1) π ( i i 1)( i i 1) VC π r r z r r r r z = Δ = + Δ ( 4.45 ) para i= 1,2,3,..., n, onde n é o número de VC e r 0 = 0, r 1 =Δ r, r 2 = 2 Δ r,..., r n = nδ r. Então, ri =Δ i r e r ( i ) r = Δ ( 4.46 ) i 1 1 E levando ( 4.46 ) em ( 4.45 ) obtém-se 2 = π ( 2 1) Δ Δ ( 4.47 ) VC i r z

54 38 5. SOLUÇÃO NUMÉRICA O método numérico utilizado para a resolução numérica das equações diferenciais parciais( 4.26 ), ( 4.28 ) e ( 4.39 ) foi de Diferenças Finitas. Neste capítulo são apresentadas as condições de contorno do problema, discretização das equações citadas e fluxogramas dos programas computacionais elaborados Solução numérica para o movimento da água no solo A simulação da irrigação considera um fluxo de água q '' ir em toda a região da superfície ( 0 < r < R), sendo ela uma condição de fronteira de Newmann, as condições de fronteira de r = R, z = H são de isolamento e em r = 0 é um eixo simétrico (onde há a presença da raiz), de acordo com a figura abaixo: Na Figura ( 5.1) são mostradas as condições de fronteira usadas para a solução do problema, onde Figura 5.1 Malha do domínio de integração para diferenças finitas. 1 2 Irrigação, condição de fronteira de Newmann. Fronteira lateral do cilindro (isolamento).

55 Fundo do cilindro (isolamento). Eixo central (simetria sem presença de raiz). Eixo central (simetria com presença de raiz). Para a discretização das equações ( 4.26 ) e ( 4.28 ) foi usado o método das Diferenças Finitas Centrais (CDS Central Difference Scheme), com o esquema temporal explícito, por se tratar de um problema onde predomina a difusão, devido a reduzida velocidade com que a água se desloca no solo. 0 Foi adotado W,E para as posições em r; N,S,P para as posições em z, e ( ) para tempos anteriores e atuais, respectivamente, além da discretização pela fórmula de Taylor (Maliska, 1985 e Smith, 1985) para as primeiras e segundas derivadas, obtém-se: 1 e( ) Para a parte temporal: Θ Θ Θ = t Δt 1 0 P P ( 5.1 ) Para a parte espacial: ψ ψ ψ = r 2Δr ψ ψ ψ = z 2Δz 0 0 E W 0 0 N S ψ r ψ z ψ 2ψ + ψ Δr ψ 2ψ + ψ Δz E P W = N P S = 2 2 ( 5.2 ) Substituindo as equações ( 5.1 ) e ( 5.2 ) na equação( 4.26 ), que rege o movimento da água em solo saturado, a mesma toma a forma discretizada por diferenças finitas centrais: P P ψ ψ ψ 2ψ + ψ ψ 2ψ + ψ k r g z t Δt r 2Δr Δr Δz Θ Θ 1 = E W E P W N P S (, ) ( 5.3 )

56 Θ P = k0δ tψ E ψw ψ 2 + P ψ N 2 + 2rΔr Δr Δr 2rΔr Δr Δz Δz ψs + θ 2 P g( z, t) Δt Δz ( 5.4 ) Denotando: AE = k0δ t + 2 2rΔr Δr AW = k0δt 2 Δr 2rΔr AP = k0δt 2 2 Δr Δz 0 k0δt AN 2 z 0 k0δt AS 2 z ( 5.5 ) ( 5.6 ) ( 5.7 ) = ( 5.8 ) Δ = ( 5.9 ) Δ A equação ( 5.4 ) torna-se: Θ = A ψ + A ψ + Aψ + A ψ + Aψ +Θ g( z, t) Δ t ( 5.10 ) P E E W W P P N N S S P Substituindo as equações ( 5.1 ) e ( 5.2 ) na equação( 4.28 ), que rege o movimento da água em solo não saturado, a mesma toma a forma discretizada por diferenças finitas centrais: ΘP Θ 1 P ke kw E W E 2 P W r k ψ ψ P kpr ψ ψ + ψ = Δt r 2Δr 2Δr Δr kn ks ΨN ΨS ψ N 2ψ P + ψ S kn ks + + kp g z t 2 + 2Δz 2Δz Δz 2Δz (, ) ( 5.11 ) 1 0 ke kw kp kp 0 ke kw kp kp Θ P =Δt ψ E ψ W Δr 4Δr 2rΔr Δr 4Δr 4Δr 2rΔr Δr 0 2kP 2kP 0 kn ks kp 0 kn ks kp + ψ P ψ N ψs Δr Δz 4Δz 4Δz Δz 4Δz 4Δz Δz kn ks θp g( z, t) Δt 2Δz ( 5.12 )

57 41 Denotando: A A A A A 0 E 0 W 0 P 0 N 0 S k k k k =Δt + + 4Δr 4Δr 2rΔr Δr E W P P k k k k =Δt + + 4Δr 4Δr 2rΔr Δr 2k 2k =Δt Δr Δz E W P P P P 2 2 k k k =Δt + 4Δz 4Δz Δz N S P k k k =Δt + + 4Δz 4Δz Δz N S P ( 5.13 ) ( 5.14 ) ( 5.15 ) ( 5.16 ) ( 5.17 ) A equação ( 5.12 ) torna-se: kn ks 0 Θ P = AEψ E + AWψW + APψ P + ANψ N + ASψS + +ΘP g( z, t) Δt 2Δz ( 5.18 ) Foi desenvolvido um programa computacional para implementar a solução do problema bidimensional de distribuição da água no cilindro de solo considerando a presença de raízes. O programa computacional é composto por seis blocos, os procedimentos são ilustrados pelo fluxograma da Figura ( 5.2 ).

58 42 Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 Bloco 4 N S Bloco 5 S N Bloco 6 Figura 5.2 Fluxograma do programa sobre as variações do teor de umidade considerando a absorção de água pelas raízes.

59 43 Bloco 1 Condição do solo - Entrada de dados referentes a algumas condições em que o solo se encontra, tais como: teor de umidade inicial, teor de umidade do solo residual, teor de umidade do solo saturado, condutividade hidráulica para solo saturado, raio do cilindro, altura do cilindro e parâmetros de ajuste da curva característica. Bloco 2 Cálculo da malha - Neste bloco é feito o cálculo da malha, onde a mesma pode ser refinada de acordo com a precisão desejada. Bloco 3 Condição inicial - Entrada da matriz com o número de ápices, de acordo com os dados experimentais. Bloco 4 Cálculo de ρ ( r,z,t) - O cálculo de ρ ( r,z,t) (densidade de ápices) é feito através de volumes de controle, onde o mesmo será o termo fonte do tipo sorvedouro para o cálculo de Θ. Bloco 5 Cálculo de Θ - Neste bloco é feito o cálculo de Θ. Considera-se o tempo durante a irrigação em z = 0 com fluxo ir q, e após isolamento nesta superfície. Calcula-se o Θ f ( ψ ) = através da equação de van Genuchtem ( 4.29 ). É feita a solução numérica da equação de Richards considerando o termo fonte através da equação ( 4.26 ) para solo saturado, e a equação ( 4.28 ) para solo não saturado. Esses procedimentos ocorrem a cada iteração temporal. Bloco 6 Saída de dados - São apresentados gráficos referentes às simulações.

60 Solução numérica para a fonte da equação ( 4.19 ) As condições de fronteira que envolve a solução numérica para a fonte são de isolamento em z = 0, r = R e z = H, e em r = 0 é um eixo simétrico. Para a discretização da equação foi usado o método das Diferenças Finitas Centrais (CDS Central Difference Scheme), com o esquema temporal explicito por se tratar de um problema difusivo. 0 Foi adotado W,E para as posições em r; N,S,P para as posições em z, e ( ) para tempos anteriores e atuais, respectivamente, além da discretização pela fórmula de Taylor (Maliska, 1985 e Smith, 1985) para as primeiras e segundas derivadas, obtém-se: 1 e( ) Para a parte temporal: 1 0 ρ ρp ρ = P t Δt ( 5.19 ) Para a parte espacial: 0 0 ρ ρe ρ = W r 2Δr ρ ρe 2ρP + ρw = 2 2 r Δr ρ ρn 2ρP + ρs = 2 2 z Δz ( 5.20 ) Substituindo as equações ( 5.19 ) e ( 5.20 ) na equação( 4.39 ), que descreve o crescimento da densidade de ápices, a mesma toma a forma discretizada por diferenças finitas centrais: ρ ', P ρp 1 E W E 2 P W N 2 g P S R ρ ρ r r ρ ρ + ρ R ρ ρ + ρ = z 2 + Δt r 2Δr Δr Δz KC ( z t) ( 5.21 )

61 ΔtRr 2ΔtRz 0 ΔtRz ρp = RrΔ tρe + ρ 2 + W ρ 2 + P 1 + ρ 2 2 N + 2 2r r r r 2r r Δ Δ Δ Δ Δr Δz Δz ( z t) 0 ΔtR g', z + ρs t 2 + Δ Δz K C ( 5.22 ) Denotando: 1 1 A = R Δ t + 2rΔr Δr 0 E r AW = RrΔt 2 Δr 2rΔr A A A 0 P 0 N 0 S 2Rr 2Rz = 1 Δ t Δr Δz R Δt z ( 5.23 ) ( 5.24 ) ( 5.25 ) z = Δ 2 ( 5.26 ) R Δt z z = Δ 2 ( 5.27 ) A equação ( 5.22 ) torna-se: g ( z t) = A + A + A + A + A + Δ t ( 5.28 ) ', ρp EρE WρW PρP NρN SρS K C Foi desenvolvido um programa computacional para implementar a solução numérica do modelo que descreve o crescimento do sistema radicial. O programa computacional é composto por seis blocos, os procedimentos são ilustrados pelo fluxograma da Figura( 5.3 ).

62 46 Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 Bloco 4 Bloco 5 S N Bloco 6 Figura 5.3 Fluxograma do programa para descrever o crescimento do sistema radicial. Bloco 1 - Definição da malha - Entrada de dados referentes à altura do solo, raio do cilindro, número de células da malha, tempo, variação temporal e espacial, constantes de difusão dos ápices. Bloco 2 - Condição Inicial - Entrada de dados experimentais número de ápices distribuídos em uma malha de.

63 47 Bloco 3 - Cálculo da densidade de ápices ρ ( rzt,, ) - O cálculo da densidade de ápices é feito através da equação ( 4.38 ), para uma malha 001mx001m.,, Bloco 4 - Ajuste da densidade para uma malha qualquer - Com os dados do bloco 3, que estão com a malha 1cm 1cm, é feito a mudança desses dados para uma malha que pode variar de 15 < L < 45 e 30 < M < 90, onde L é o número de pontos em r, e M é o número de pontos em z. Bloco 5 - Cálculo de ρ ( rzt,, ) - O cálculo de ( rzt,, ) ρ é feito através da solução numérica da equação( 4.39 ), onde a cada iteração temporal é calculado os coeficientes ( 5.23 ) até ( 5.27 ) e feita a atualização das condições de fronteira. Bloco 6 - Saída de dados - São apresentados gráficos referentes aos dados experimentais e calculados.

64 48 6. ANÁLISE DOS RESULTADOS Neste capítulo são apresentados os resultados dos experimentos sobre o crescimento das raízes e as simulações realizadas por modelos matemáticos que descrevem o movimento da água no solo com a presença de raízes de uma planta Curva característica da água no solo Na Figura ( 61. ) são apresentados os dados experimentais e o ajuste da curva característica. O ajuste de curvas foi obtido através de um programa computacional próprio, com o qual foi determinado os parâmetros a, m, n para a equação de van Genuchten ( 429. ). O algoritmo para determinação dos parâmetros citados está descrito em Menegais (2004, p.22-23). De acordo com o gráfico observa-se que os dados experimentais possuem a mesma tendência da curva obtida através do ajuste, tendo um coeficiente de determinação R 2 = 0, 9705 o qual indica uma correlação altamente significativa. A curva característica é apresentada em gráfico, que relaciona o logaritmo do módulo do potencial matricial em cm H 2 O com o teor de umidade do solo adimensional. Figura 61-. Curva característica da água no solo

65 49 Os parâmetros encontrados para a equação de van Genuchten ( 4.29 ) foram m = 0,656, n = 2,909 e a = 0,933, os quais são usados nos cálculos que envolvem teor de umidade neste trabalho Crescimento das raízes Para avaliar o crescimento das raízes, obtivemos seis imagens através de scanner do sistema radicial de uma planta da espécie louro-pardo (Cordia trichotoma) para diferentes tempos t = 0, t = 7, t = 14, t = 21, t = 35, t = 45dias, usando a hipótese que uma raiz seria seqüência da outra, ou seja, a seqüência de imagens demonstraria o crescimento das raízes durante o período experimental Gráficos sobre o crescimento do sistema radicial. De acordo com as condições do experimento descritas no Capítulo 3, a concentração de ápices ocorreu de acordo com o esperado, pois a planta foi alocada aproximadamente em 0 r =, ou seja, no centro do cilindro. As Figuras ( 62. ) e ( 64. ) mostram a condição inicial da densidade de ápices, os quais são dados experimentais da primeira planta sacrificada. Observa-se a maior concentração de ápices na direção r de r = 0 até r = 0,05m, e na direção z de z = 0 até z = 0,15m que pertence à parte central do cilindro. São salientes na Figura ( 62. ) os picos de densidade de ápices. Isto ocorre, pois nestes pontos a concentração do número de ápices é bem maior que nos pontos vizinhos. É importante ressaltar que pela definição da densidade de ápices (número de ápices / volume de solo), ocorre uma distorção no valor da densidade, já que o volume do solo (anel de solo) cresce proporcionalmente ao quadrado do raio, ou seja, para duas células vizinhas horizontalmente com o mesmo número de ápices identificado na seção plana r por z do experimento, o valor da densidade será maior para a célula que estiver mais próxima do centro do vaso.

66 50 Figura 62-. Densidade de ápices ( ρ ) do sistema radicial da espécie Louro pardo(cordia trichotoma), para t = 0 dias. As Figuras ( 63. ) e (. ) 65 mostram o resultado da aplicação do modelo para o aumento da densidade de ápices para o período de 45 dias. O modelo propõe um crescimento difusivo, com fonte geradora de novos ápices. O processo de difusão sem fonte deveria espalhar a grandeza ρ nas direções r e z, diminuindo os pontos de alta concentração para aumentar a concentração em outros pontos, conservando a massa total. Porém isto não ocorre com as raízes, pois com o aumento da densidade de ápices a massa total vai consequentemente aumentar, e a introdução da fonte geradora de novos ápices nos pontos onde existem ápices proporciona esse aumento de massa total além da conservação dos ρ nestes pontos. Devido a isto pode-se observar nas figuras que ao longo de r e z ocorre aumento da densidade de ápices, em relação à condição inicial apresentada na Figura ( 62. ).