Determinação da Latitude e da Declinação 13 10 11 J. Melendez, baseado/r. Boczko IAG-USP
Latitude j e PN Longitude l Greenwich j l j < 0 PS
Movimento noturno aparente olhando ao Sul 20 horas 22 horas 24 horas Determinação Polo Sul da latitude Sul Leste Oeste Movimento noturno aparente de uma estrela circumpolar norte Polo Norte Norte Oeste Leste
Altura do PN = latitude (boreal) PN Z j L N S W Nadir
Coordenadas Horárias e Equatoriais PN Z E p M N a d H S g W
Tipos de Meridianos NZS Meridiano zenital Z PN-Z-PS Meridiano Superior Z PS E E N Horizonte S N Horizonte S W W Meridiano nadiral NÑS Ñ Nadir PN Ñ Nadir Meridiano Inferior PN-Ñ-PS
Latitude local e Declinação da estrela através de passagens meridianas (Método geométrico)
Latitude e declinação no HN h p = (h s + h i ) / 2 CS d Latitude j h p p PN Equador p PN h s Se a culminação superior se der ao sul do zênite: h s = 180 0 - h CS Z h p PN p = (h s - h i ) / 2 d = 90 0 - p CI N h i N h s h CS S Oeste Leste
Latitude e declinação no HS d h p = (h s + h i ) / 2 Latitude j = - h p PN Equador r PS r = (h s - h i ) / 2 d = - (90 0 - r) CS r PS CI S h i h p h s N Se a culminação superior se der ao norte do zênite: h s = 180 0 - h CS h CS Z h s PS S Leste Oeste
Restrições à determinação da Latitude e da Declinação através de passagens No Verão, quando a noite é curta, o processo não funciona pois não se pode ver as 2 culminações meridianas num mesmo dia. meridianas CI P CS
Obtenção do polo visível através de culminações
Polo visível PN Z Culminação superior Culminação superior Z PS Culminação inferior Culminação inferior N Horizonte S N Horizonte S Pólo Norte Pólo Sul Oeste Norte Leste Leste Sul Oeste
Obtenção do polo norte com Culminações PN Z CS a d M CI N Horizonte S
Obtenção do polo sul com Culminações CS Z PS M N Horizonte CI S a d
Latitude local e Declinação da estrela através de passagens meridianas (Método algébrico)
Culminações ou passagens meridianas
Culminação ou passagem meridiana PN Z Na passagem meridiana superior: H 0. L M Horizonte S Na passagem meridiana inferior: H 180 o. W PS
Passagens meridianas no HN PN Z Na passagem meridiana superior: H 0. Na passagem meridiana inferior: H 180 o. L M N Horizonte S W Observador no Hemisfério Norte PS
Passagens meridianas no HS Na passagem meridiana superior: H 0. Z PS M L Na passagem meridiana inferior: H 180 o. N Horizonte S W PN Observador no Hemisfério Sul
Convenção de sinais na passagem meridiana Z: positivo ao norte do zênite Z Z: negativo ao sul do zênite Z > 0 Z < 0 N Horizonte S Z E N Horizonte S W Nadir
Culminação inferior j + z i + d = 180 o PN Z Culminações no HN Culminação superior -z s = j d z i = 180 o - d - j z s = d - j N d j Z i -Z s d j Horizonte S
Latitude e declinação no HN z s = d - j z i = 180 o - d - j Obtenção da latitude local Somando membro a membro z i + z s = 180 o - 2j j = +90 o (z i + z s ) / 2 Obtenção da declinação do astro Subtraindo membro a membro z i - z s = 180 o - 2d d = +90 o (z i - z s ) / 2
Culminação superior Culminações no HS z s = (-j) (-d) z s = d - j Z PS Culminação inferior (-j) + (-z i ) + (-d) = 180 o -j -d +Z s -Z i -j z i = -180 o - d - j N Horizonte -d S
Latitude e declinação no HS z s = d - j z i = -180 o - d - j Obtenção da latitude local Somando membro a membro z i + z s = -180 o - 2j j = -90 o (z i + z s ) / 2 Obtenção da declinação do astro Subtraindo membro a membro z i - z s = -180 o - 2d d = -90 o (z i - z s ) / 2
Latitude e declinação Hemisfério Norte j = +90 o (z i + z s ) / 2 d = +90 o (z i - z s ) / 2 Hemisfério Sul j = -90 o (z i + z s ) / 2 d = -90 o (z i - z s ) / 2 Fórmulas gerais j = 90 o (z i + z s ) / 2 d = 90 o (z i - z s ) / 2 + : observador no HN - : observador no HS + : astro no HN - : astro no HS
Latitude e declinação Exercício: Um observador vê uma estrela X girando em torno de um ponto no sentido horário. Na culminação superior X está a 20 o ao norte do zênite; na passagem inferior, X se encontra a 70 o ao sul do zênite. Determine [a] o hemisfério do observador, [b] a latitude geográfica do local, [c] a declinação da estrela X. z s = +20 o z i = -70 o j = 90 o (z i + z s ) / 2 + : observador no HN - : observador no HS d = 90 o (z i - z s ) / 2 + : astro no HN - : astro no HS Leste Pólo Sul Sul Oeste j = - 90 o (z i + z s ) / 2 j = - 90 o ([-70] + [+20]) / 2 j = - 90 o (- 50) / 2 d = - 90 o (z i - z s ) / 2 d = - 90 o ([-70] - [+20]) / 2 d = - 90 o (- 90) / 2 Sentido horário j = - 90 o + 25 d = - 90 o + 45 Hemisfério Sul j = - 65 o d = - 45 o
Determinação do centro e do raio de uma circunferência
Determinação do centro O e do raio R de uma circunferência Mediatriz B Mediatriz M O N C A R = OA = OB = OC
Equação de uma circunferência de centro (x c,y c ) e raio R y (x - x c ) 2 + (y - y c ) 2 = R 2 R y C C O x C x
Circunferência dada por 3 pontos y y 2 y 3 r y C C y 1 O x 1 x 2 x C x 3 x
Como obter o x c e y c do centro da circunferência (x - x c ) 2 + (y - y c ) 2 = R 2 (x1 - x c ) 2 + (y 1 - y c ) 2 = R 2 (x 2 - x c ) 2 + (y 2 - y c ) 2 = R 2 (x 3 - x c ) 2 + (y 3 - y c ) 2 = R 2 D (x 3 - x 2 ) (y 1 - y 2 ) - (x 1 - x 2 ) (y 3 - y 2 ) Igualar: (x 1 - x c ) 2 + (y 1 - y c ) 2 = (x 2 - x c ) 2 + (y 2 - y c ) 2 k (x 2 1 - x 2 2 + y 2 1 - y 22 ) / 2 y c = [k - (x 1 - x 2 ) x c ] / (y 1 - y 2 ) x c = [k - (y 1 - y 2 ) y c ] / (x 1 - x 2 ) (x 3 - x c ) 2 + (y 3 - y c ) 2 = (x 2 - x c ) 2 + (y 2 - y c ) 2 q (x 3 2 - x 2 2 + y 3 2 - y 22 ) / 2 Igualar: [k - (x 1 - x 2 ) x c ] / (y 1 - y 2 ) = [q - (x 3 - x 2 ) x c ] / (y 3 - y 2 ) [k - (y 1 - y 2 ) y c ] / (x 1 - x 2 ) = [q - (y 3 - y 2 ) y c ] / (x 3 - x 2 ) y c = [q - (x 3 - x 2 ) x c ] / (y 3 - y 2 ) x c = [q - (y 3 - y 2 ) y c ] / (x 3 - x 2 ) x c = [ q (y 1 - y 2 ) - k (y 3 - y 2 ) ] / D y c = [ k (x 3 - x 2 ) - q (x 1 - x 2 ) ] / D
Obter o centro e o raio da circunferência (x - x c ) 2 + (y - y c ) 2 = R 2 (x 1 - x c ) 2 + (y 1 - y c ) 2 = R 2 (x 2 - x c ) 2 + (y 2 - y c ) 2 = R 2 (x 3 - x c ) 2 + (y 3 - y c ) 2 = R 2 Sejam: k = (x 2 1 - x 2 2 + y 2 1 - y 22 ) / 2 q = (x 2 3 - x 2 2 + y 2 3 - y 22 ) / 2 D = (x 3 - x 2 ) (y 1 - y 2 ) - (x 1 - x 2 ) (y 3 - y 2 ) x c = [ q (y 1 - y 2 ) - k (y 3 - y 2 ) ] / D y c = [ k (x 3 - x 2 ) - q (x 1 - x 2 ) ] / D R 2 = (x 1 - x c ) 2 + (y 1 - y c ) 2
Meridiano Local, Latitude local e Declinação da estrela através de 3 observações
Meridiano, Latitude e Declinação no HS Mira h 2 PS r h 1 h p h 3 a p S a3 a 2 Leste a 1 Oeste
Meridiano, Declinação e Do céu para o papel Escala C (cm) Latitude Do papel para o céu G C a i x i G (graus) r C G x p a p G C h i y i PN y 2 y p P y 3 C G y p h p j = - h p d r Equador y 1 x 1 x 2 x p x3 C G r r d = - (90 - r) PS
Posição do Ponto Cardeal h 2 PS r Norte Mira Movimento noturno aparente olhando ao Sul h 1 h p h 3 20 horas 22 horas 24 horas Pólo Sul a p S a3 Leste Sul Oeste a 2 Hemisfério sul a 1 Leste a N Oeste N a N = a p +180 0
Restrições à determinação da Latitude e da Declinação através de 3 medidas A estrela não pode estar muito afastada do polo P O local não pode estar muito afastado do equador
Outro método de determinação da latitude
Z 90- j PS Ângulo entre o equador e o horizonte 90- j E Nascer j j N 90- j j S 90- j W 90- j Ocaso Ângulo entre o equador e o plano do horizonte: 90 o - j
Obtendo a latitude local observando perto do nascer ou do ocaso 90 0 - j Horizonte
Tempo sideral
Z Tempo sideral PN Horizonte TS M S Tempo sideral é o ângulo horário do ponto g W g TS = H g PS
Determinação da Ascensão Reta
Ascensão reta com passagem Z meridiana PN TS = H g TS = a + H Horizonte a d H M S Na passagem meridiana superior: H = 0. W g Logo: a = TS PMS PS
Círculo Meridiano Prof. Rama Círculo meridiano de Valinhos
Fim