Conceitos Fundamentais de Circuitos Elétricos Associação de Resistências

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Conceitos Fundamentais de Circuitos Elétricos Associação de Resistências Projeto FEUP 2016/2017 MIEEC: Prof. Doutor Manuel Firmino da Silva Torres Prof. Doutor Paulo José Lopes Machado Portugal Equipa 1 MIEEC09_4: Supervisor: Prof. Doutor Helder Filipe Duarte Leite Monitor: Pedro Miguel Leão Guedes Estudantes & Autores: Carla Reisinho up201606232@fe.up.pt Francisco Fernandes up201604114@fe.up.pt Luís Sousa luis.miguel.sousa@fe.up.pt Rui Barbosa up201605740@fe.up.pt Hugo Bronze up201603474@fe.up.pt

Resumo Neste trabalho, iremos verificar a lei da associação de resistências assim como algumas relações entre Intensidade, Resistência e Tensão relacionando essas. Palavras Chave Circuitos elétricos; Diferença de potencial; Corrente elétrica; Fonte de tensão; Lei de Ohm; Resistência. Conceitos Fundamentais de Circuitos Elétricos Associação de Resistências 2 /22

Agradecimentos A realização deste trabalho não teria sido possível sem a disponibilidade e o auxílio de alguns membros da comunidade FEUP. Agradecemos, em particular, ao Prof. Doutor Helder Leite e ao monitor Pedro Guedes, por todo o apoio, esclarecimento de dúvidas e modo atento com que nos orientaram. Também pretendemos agradecer a todos os palestrantes da Semana do Projeto FEUP, pela partilha de conhecimentos com que nos brindaram. Conceitos Fundamentais de Circuitos Elétricos Associação de Resistências 3 /22

Índice Resumo 2 Palavras Chave 2 Agradecimentos 3 Índice 4 Lista de figuras 5 Lista de Símbolos 6 1. Introdução 7 2. Teoria e Técnica 7 2.1 Diferença de Potencial ou Tensão 8 2.2 Intensidade da Corrente elétrica 8 2.3 Resistência 10 2.4 Lei de Ohm 11 2.5 Associação de resistências em paralelo e em série 12 2.6 Equações 13 3. Métodos e Materiais 13 3.1 Material utilizado: 13 3.2 Métodos 14 3.2.1 Experiência nº1 14 3.2.2 Experiência nº2 14 3.2.3 Experiência nº3 15 3.2.4 Experiência nº4 15 3.2.5 Experiência nº5 16 3.2.6 Experiência nº6 16 4. Resultados 17 4.1 Experiência 1 17 4.2 Experiência 2 18 4.3 Experiência 3 18 4.4 Experiência 4 19 4.5 Experiência 5 19 4.6 Experiência 6 19 5. Discussão 20 6. Conclusão 21 7. Referências bibliográficas 22 Conceitos Fundamentais de Circuitos Elétricos Associação de Resistências 4 /22

Lista de figuras Figura 1 (página 9) Analogia do reservatorio de agua: tensão (Sparkfun. 2013. Voltage, Current, Resistance, and Ohm's Law.) Figura 2 (página 9) Analogia do reservatorio de agua: intensidade da corrente elétrica igual (Sparkfun. 2013. Voltage, Current, Resistance, and Ohm's Law.) Figura 3 (página 10) Analogia do reservatorio de agua: intensidade da corrente elétrica maior e menor (Sparkfun. 2013. Voltage, Current, Resistance, and Ohm's Law.) Figura 4 (página 10) Analogia do reservatório de água: resistência (Sparkfun. 2013. Voltage, Current, Resistance, and Ohm's Law.) Figura 5 (página 11) Gráfico relação Intensidade/Tensão Figura 6 (página 12) Associação de resistências em série (Wikipédia. 2016. Resistência Elétrica.) Figura 7 (página 12) Associação de resistências em série (Wikipédia. 2016. Resistência Elétrica.) Figura 8 (página 14) Esquema do circuito da experiência 1 Figura 9 (página 14) Esquema do circuito da experiência 1 Figura 10 (página 14) Esquema do circuito da experiência 2 Figura 11 (página 15) Esquema do circuito da experiência 3 Figura 12 (página 15) Esquema do circuito da experiência 4 Figura 13 (página 16) Esquema do circuito da experiência 5 Figura 14 (página 16) Esquema do circuito da experiência 6 Conceitos Fundamentais de Circuitos Elétricos Associação de Resistências 5 /22

Lista de Símbolos U tensão; R resistência; I intensidade da corrente; f frequência; cl cadência luminosa; Φ fluxo luminoso; P Potência; ɳ eficiência energética (informação do produto); V volt; Ω ohm; lm lúmen; W watt; A ampére; Conceitos Fundamentais de Circuitos Elétricos Associação de Resistências 6 /22

1. Introdução A realização deste trabalho teve como intuito ganhar familiaridade com a utilização de componentes de um circuito elétrico e os aparelhos relacionados com a análise desses circuitos. Este estudo possibilitou nos obter uma melhor compreensão das leis que regem os comportamentos da corrente elétrica e da sua ação sobre os já referidos componentes. Utilizando uma abordagem experimental, ou seja, construindo pequenos circuitos elétricos, tentamos comprovar certas leis, tais como a lei de associação de resistências e a lei de Ohm. Para melhor exposição deste nosso trabalho, apresentamos nos capítulos seguintes uma contextualização teórica dos temas propostos e a metodologia utilizada para concretização do objetivo a que nos propusemos assim como a descrição e apresentação dos resultados das experiências efetuadas, bem como respetivas conclusões. 2. Teoria e Técnica Quando começamos a explorar o mundo da eletricidade e eletrónica, é fundamental começar por perceber os essenciais de Corrente, Tensão e Resistência elétrica. A eletricidade é o movimento ordenado de eletrões. Os eletrões carregam uma carga que pode ser usada para realizar trabalho. Telemóveis, Televisões e qualquer dispositivo elétrico utilizam o movimento dos eletrões para funcionar. Um circuito é visto como um ciclo fechado que permite às cargas circular. Os componentes que escolhemos incluir no circuito, utilizam a carga para realizar trabalho. Conceitos Fundamentais de Circuitos Elétricos Associação de Resistências 7 /22

2.1 Diferença de Potencial ou Tensão Corresponde à diferença de energia potencial elétrica, por unidade de carga, entre dois pontos. Pode se também definir como o trabalho realizado para movimentar uma carga elétrica entre os dois pontos. A unidade de medida é o Volt (V), denominada em homenagem ao físico italiano Alessandro Volta, e equipamento que permite medir esta grandeza elétrica designa se por Voltímetro. Pode ser representado como U ou T. Fidalgo, Nuno, Helder Leite. 2016. Conceitos Fundamentais de Circuitos, Associação de Resistências, Trabalho Laboratorial Guião Grupo A. 2.2 Intensidade da Corrente elétrica Corrente elétrica I : corresponde ao fluxo, mais ou menos ordenado, de portadores de carga elétrica livres. A corrente elétrica I mede, por definição, a quantidade de carga por unidade de tempo que atravessa uma determinada secção (transversal) de um fio elétrico. Fidalgo, Nuno, Helder Leite. 2016. Conceitos Fundamentais de Circuitos, Associação de Resistências, Trabalho Laboratorial Guião Grupo A. ΔQ I = Δt Assim, a corrente elétrica é tanto maior quanto maior for o número de cargas que atravessam a secção e a velocidade a que elas a atravessam. A unidade de medida é o Ampere (A) e equipamento que permite medir esta grandeza elétrica designa se por Amperímetro. 1 A = 6.241*10 18 eletrões por segundo a passar por um ponto do circuito Uma analogia muito usada para explicar a relação entre Tensão e Intensidade da Corrente é comparação com um reservatório de água. Na qual, a água pode ser representada pelas cargas de condução, o fluxo pela Intensidade da Corrente e a Tensão pela pressão à saída do reservatório. Conceitos Fundamentais de Circuitos Elétricos Associação de Resistências 8 /22

A pressão no final do cano pode ser associada à Tensão e a água no tanque representa as cargas de condução no sistema, quanto maior a carga, maior a pressão no final do cano (Tensão). Quando há um decréscimo na quantidade de água que percorre o tubo a pressão no fim do cano irá diminuir e consequentemente a quantidade de água que percorre o sistema. Ou seja, o fluxo de água no cano irá diminuir o que nos leva à Intensidade da Corrente. Podemos então pensar na quantidade de água que flui pelo cano como a intensidade da corrente. Para determinarmos o fluxo de água, devemos medir o volume do líquido que passa pelo cano num determinado intervalo de tempo. Em paralelo, no que toca a eletricidade, medimos a quantidade de carga que flui por uma zona do circuito, num intervalo de tempo definido. Este exemplo, demonstra que para o fluxo de água ( I ) ser igual em dois reservatórios que diferem na saída do tubo, uma mais estreita que a outra, é necessário que a quantidade de água (carga) no tanque com uma saída mais estreita seja maior, aumentando assim a pressão ( U ) no cano mais estreito. Esta limitação dada pela envergadura do cano introduz um novo conceito, o de resistência. Resumindo, quanto maior a pressão (Tensão), maior o fluxo (Intensidade) e vice versa. Conceitos Fundamentais de Circuitos Elétricos Associação de Resistências 9 /22

2.3 Resistência Continuando com a nossa analogia consideremos agora dois tanques com diferentes envergaduras. A resistência pode ser vista como a razão pela qual não conseguimos ter o mesmo fluxo de água (Intensidade), em canos com espessura diferente mas pressão (Tensão) igual. Isto é, o cano mais estreito apresenta uma maior resistência à passagem da água, mesmo sabendo que a pressão à saída do cano é igual em ambos. Dois circuitos com diferente resistência mas com a mesma Tensão, irão ter fluxos diferentes de passagem da corrente, ou seja, Intensidades diferentes. O circuito com maior resistência irá permitir que menos carga flua, ao contrário, do circuito com menor resistência que será mais propício à passagem de corrente. Percebendo já a maneira como estes três conceitos se relacionam, podemos agora introduzir a lei de Ohm. Conceitos Fundamentais de Circuitos Elétricos Associação de Resistências 10 /22

2.4 Lei de Ohm Os materiais oferecem resistências diferentes à passagem de corrente elétrica e cada um pode mesmo apresentar valores diferentes para a resistência tendo em conta a Tensão a que está sujeito (a uma temperatura constante). Chamamos de condutores óhmicos aos condutores que apresentam sempre a mesma resistência quando há variações de I e U, ou seja, aqueles em que I e U são diretamente proporcionais. Lei de Ohm A uma temperatura constante, existe uma razão constante entre a diferença de Potencial aplicada a um condutor e a Intensidade da corrente que o percorre. Assim, tem se todas as relações já referidas no decorrer da explicação dos três conceitos considerados fundamentais(intensidade da Corrente, Tensão e Resistência) e o enunciado da Lei de Ohm. U R = I Nota: é de salientar, que componentes eletrónicos como lâmpadas incandescentes com filamentos de tungsténio, apesar de terem filamentos compostos por um condutor óhmico, devido ao aumento da sua temperatura quando percorrido por uma corrente, a resistência varia. Conceitos Fundamentais de Circuitos Elétricos Associação de Resistências 11 /22

2.5 Associação de resistências em paralelo e em série Num sistema de duas resistências ligadas em série, a corrente é a mesma nas duas resistências. A diferença de potencial no sistema é a soma das diferenças de potencial em cada resistência... Villate, Jaime E. 2014. Eletricidade, Magnetismo e Circuitos. Tem se : U sistema = U 1 + U 2 = (I * R 1 ) + (I * R 2 ) = I * ( R 1 + R 2 ) R I U sistema = sistema * R sistema * I = I * ( R 1 + R 2) R sistema = R 1 + R 2 Num sistema de duas resistências ligadas em paralelo, a diferença de potencial é a mesma nas duas resistências. A corrente no sistema é a soma das correntes em cada resistência Villate, Jaime E. 2014. Eletricidade, Magnetismo e Circuitos. Tem se : R sistema = I 1 + I 2 = U + U = U R 1 R 2 * ( 1 + 1 ) R 1 R 2 I sistema = U R total U R = U = ( 1 + 1 1 ) = 1 + 1 total R 1 R 2 R total R 1 R 2 Conceitos Fundamentais de Circuitos Elétricos Associação de Resistências 12 /22

2.6 Equações Equação 1: U = R * I Lei de Ohm Equação 2: U total = U 1 + U 2 Equação 3: Equação 4: Equação 5: Equação 6: Equação 7: R total = R 1 + R 2 = 2 R 1 R total = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 f = 2 cl P = η Φ V P = 2 R Φ Equação 8: = R ɲ V 2 V = Φ * R ɲ 3. Métodos e Materiais 3.1 Material utilizado: Fontes de Tensão e corrente DC; Gerador de sinal sinusoidal; Lâmpadas; Voltímetro; Ohmímetro; Luxímetro; Placa de montagem (Breadboard); Fios condutores; Sistema de registo laboratorial; Osciloscópio; Conceitos Fundamentais de Circuitos Elétricos Associação de Resistências 13 /22

3.2 Métodos 3.2.1 Experiência nº1 b Ajustamos primeiramente a fonte para 5V e colocamos, na breadboard, a lâmpada em série com o sistema, e utilizando o multímetro na funcionalidade de voltímetro, registamos o valor da tensão nos terminais da lâmpada. Já utilizando o mesmo multímetro, porém usando na função de ohmímetro registamos a resistência da lâmpada, com o circuito desligado. Como não se encontrava à nossa disposição nenhum luxímetro, utilizamos uma aplicação de telemóvel e enrolamos uma folha de papel na forma de um cilindro para isolar a lâmpada o máximo possível da iluminação da sala. Assim, usando este processo, medimos e registamos o fluxo luminoso da lâmpada. 3.2.2 Experiência nº2 Nesta experiência começámos por colocar de parte a fonte de tensão utilizada anteriormente e ligar o circuito a duas fontes de tensão reguláveis uma para 2V e a outra para 3V. De seguida, utilizando um multímetro na função de voltímetro, medimos a tensão nos terminais de cada bateria e em seguida a tensão da série de baterias. Finalmente utilizamos novamente o telemóvel e a folha de papel para medir e registar o valor do fluxo luminoso da única lâmpada do circuito. Conceitos Fundamentais de Circuitos Elétricos Associação de Resistências 14 /22

3.2.3 Experiência nº3 Nesta experiência começámos por colocar duas lâmpadas em série, ligadas por uma fonte de 5V. Registamos, usando o multímetro na função de ohmímetro, a resistência de cada lâmpada individualmente e a resistência da série. Agora na função de voltímetro, utilizámos o multímetro para medir e registar a tensão nos terminais de cada lâmpada e nos terminais da série. Por fim, usando o telemóvel apontamos os lumens medidos pelo mesmo em cada lâmpada. 3.2.4 Experiência nº4 Demos início a esta experiência colocando 3 lâmpadas em paralelo com o sistema, e através do multímetro na função de ohmímetro anotamos os valores de resistência obtidos para cada lâmpada individualmente e para o coletivo das 3. Com o multímetro na funcionalidade de voltímetro registámos o valor da tensão do paralelo de lâmpadas. Logo após, usando o telemóvel como luxímetro apontamos os valores de luminosidade obtidos para cada lâmpada. Conceitos Fundamentais de Circuitos Elétricos Associação de Resistências 15 /22

3.2.5 Experiência nº5 Nesta experiência utilizamos a mesma fonte de tensão de 5V num circuito onde ligamos duas lâmpadas em paralelo em série com uma terceira lâmpada. De seguida medimos e registamos os valores da resistência de cada lâmpada individualmente e da associação de lâmpadas. Medimos também a tensão nos terminais do paralelo das duas lâmpadas e na terceira lâmpada, valores que registamos também na tabela de resultados. Finalmente utilizando o processo do telemóvel e da folha de papel medimos o fluxo luminoso de cada lâmpada. 3.2.6 Experiência nº6 Ao contrário das experiências anteriores, nesta experiência utilizamos uma fonte de tensão que produz uma corrente elétrica que pode ser observada num osciloscópio sob a forma de uma onda sinusoidal para alimentar o circuito constituído por uma lâmpada. Partimos de um sinal com frequência de 0 Hz que fomos aumentando até um valor de 1 Hz. Seguidamente partimos para a análise da cadência luminosa da lâmpada. Após a contagem registamos o valor na tabela de resultados e demos a experiência por terminada. Conceitos Fundamentais de Circuitos Elétricos Associação de Resistências 16 /22

4. Resultados Tabela 1 Resultados experimentais Experiência Nº Lâmpadas Tensão Resistência Resistência Tensão nos Tensão Fluxo luminoso da Lâmpadas Total terminais Total Fonte das lâmpadas 1 1 5,00 V 12,0 Ω 5,04 V 18 lm 2 (duas fontes de tensão) 1 2,00 V 5,00 V 19 lm 3,00 V 3 2 (série) 5,00 V 12,3 Ω 24,200 Ω 2,46 V 5,00 V 6 lm 11,1 Ω 2,56 V 6 lm 4 3 (paralelo) 5,00 V 10,1 Ω 7,100 Ω 4,96 V 19 lm 9,60 Ω (valor 19 lm teórico 3,33) 10,6 Ω 20 lm 5 2 (paralelo) 5,00 V 10,5 Ω 21,100 Ω 0,91 V 4 lm 14,0 Ω 3 lm 1 (série) 12,3 Ω 4,04 V 16 lm 4.1 Experiência 1 A partir da Lei de Ohm foi possível calcular a corrente absorvida pela lâmpada (equação 1): 5,04 I 1 = 12 = 0, 42 A Conceitos Fundamentais de Circuitos Elétricos Associação de Resistências 17 /22

4.2 Experiência 2 Nesta experiência foram usadas duas fontes de tensão reguláveis, uma para 2V e outra para 3V logo, a tensão total é igual à soma das tensões das duas fontes (equação 2): U total = 2 + 3 = 5V A corrente permanece igual relativamente à experiência 1: I 2 = 5 12 0, 42 A O mesmo acontece com o fluxo luminoso: Φ 1 = 18 Φ 2 = 19 Φ 1 Φ 2 4.3 Experiência 3 A resistência total de um circuito com duas lampadas em serie é igual à soma da resistência nos terminais de cada lâmpada (equação 3): R soma = 12, 3 + 11, 1 = 23, 4 Ω R total = 24, 2 Ω A intensidade da corrente elétrica é aproximadamente metade da medida na experiência 1: (Exp. 1: R total = R lâmpada I 1 = R U Exp. 3: R total =2 R lâmpada1 I 3 = U 2R então: Como U é igual nos terminais da U I 1 R I = U 3 2R I = 5 24.2 = 0, 21 A I 1 I 3 = 2 ) I 1 2 * I 3 0, 4 2 A fonte de tensão, em ambas as experiências Conceitos Fundamentais de Circuitos Elétricos Associação de Resistências 18 /22

Porém, o fluxo luminoso é idêntico para as duas lâmpadas e é aproximadamente metade do fluxo luminoso de uma só lâmpada em série: Φ 1 = Φ 2 = 6 lm 4.4 Experiência 4 Pela equação 4, o valor da resistência total poderia ser obtido através da igualdade: 1 R total = 1 10,1 + 1 9,6 + 1 1 10,6 R = 0, 37 total porém a resistência total medida foi de 7,100 Ω. Quanto ao fluxo luminoso, este é aproximadamente igual nas três lâmpadas: Φ 1 Φ 2 Φ 3 19 lm, 4.5 Experiência 5 Expressão matemática que caracteriza a relação de resistências é traduzida pela soma da resistência da lâmpada em série e da resistência do paralelo de lâmpadas: R total = R 1 + R 2 A diferença de fluxo luminoso observada deveu se ao facto de duas das lâmpadas se encontrarem ligadas em paralelo e da terceira se encontrar ligada em série. 4.6 Experiência 6 Durante a experiência foi possível observar que a lâmpada acendeu 15 vezes e apagou 15 vezes, o que se traduz numa cadência luminosa de 30, ao longo de 15 segundos. 30 15 15 * f = 2 f = 15 = 1 Conceitos Fundamentais de Circuitos Elétricos Associação de Resistências 19 /22

5. Discussão Na experiência 1 realizou se unicamente a medição do valor da tensão nos terminais do circuito que logicamente seria um valor próximo da Tensão da fonte. Ora, tendo sido utilizada uma fonte de 5V e a medição ter sido de 5,04V conclui se que este pequeno desvio deve se simplesmente à incerteza dos aparelhos de medição. Na experiência 2 mediu se o valor da tensão de cada uma das fontes e os resultados foram precisamente os valores pretendidos, pois as fontes eram reguláveis e os valores no mostrador do voltímetro eram iguais aos dos mostradores das fontes de tensão. Na experiência 3, estando as lâmpadas ligadas em série, o valor da resistência total do circuito deveria ser ditado pela equação 3, no entanto o pequeno desvio obtido deveu se a erros experimentais como o aquecimento do circuito, pois a resistência de um componente varia com a temperatura. Na experiência 4 o resultado obtido na medição da resistência das 3 lâmpadas foi de 7,10 Ω, no entanto, teoricamente, através da equação 4, deveria ter sido obtido um valor próximo de 3,33 Ω. Ora este desvio deve se a erros experimentais, como por exemplo a medição feita ser a da resistência total do circuito e não a das 3 lâmpadas isoladamente. Na experiência 5 o valor da resistência do circuito, visto que este é constituído por duas lâmpadas em paralelo em série com uma terceira, deveria ser ditado pela aplicação da equação 3, ora sendo a média das resistências um valor na casa dos 10 Ω, seria lógico que o valor da resistência do circuito rondasse os 20 Ω. Então o pequeno desvio deve se novamente aos mesmos erros experimentais já ocorridos e evidenciados na discussão das experiências anteriores. Na experiência 6 não houve espaço para grandes erros uma vez que a frequência de oscilação tomou um valor baixo que permitia poucos ciclos à lâmpada tornando a contagem dos mesmos bastante simples e eficaz. É de salientar que com o decorrer da experiência verificou se um aumento da temperatura dos componentes. Como o mesmo componente tem valores de resistência diferentes para temperaturas diferentes, quando comparados valores de resistência em diferentes experiências, será então normal que apareçam algumas imprecisões. Conceitos Fundamentais de Circuitos Elétricos Associação de Resistências 20 /22

Este facto pode ser comprovado por : R = R ef * [ 1 + α * ( T T ref)] R Resistência do condutor à temperatura T R ref Resistência do condutor a uma temperatura Tref α coeficiente de temperatura do condutor a Tref T Temperatura do condutor em Tref Tref Temperatura referência que é especificada em α (de geralmente 20 º C) 6. Conclusão Depois da realização das experiências e respetiva análise dos dados, conclusão que: chegamos à Um sistema composto por uma fonte de Tensão de 5V e uma lâmpada terá o mesmo comportamento que um sistema composto por duas fontes de Tensão, uma 2V e uma de 3V. Ou seja, quando temos duas fontes de Tensão em série, estas agem de maneira idêntica a uma fonte de Tensão com Diferença de Potencial igual à soma das duas fontes em série. Num circuito com uma lâmpada em série e duas em paralelo, a intensidade da corrente nos terminais das duas lâmpadas em paralelo é igual à intensidade nos terminais da lâmpada em série. A Tensão nos terminais de duas lâmpadas em paralelo é igual à Tensão em cada uma dessas lâmpadas. A Tensão total do circuito é dada pela soma das Tensões dos vários módulos em série. A Intensidade num circuito com duas lâmpadas em série é metade da Intensidade num circuito com uma lâmpada. por : A Resistência total de um sistema composto por várias lâmpadas em paralelo é dada 1 R total = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R n, n N Conceitos Fundamentais de Circuitos Elétricos Associação de Resistências 21 /22

7. Referências bibliográficas Fidalgo, Nuno, Helder Leite. 2016. Conceitos Fundamentais de Circuitos, Associação de Resistências, Trabalho Laboratorial Guião Grupo A. Porto: FEUP. Acedido a 27 de Setembro de 2016 Sparkfun. 2013. Voltage, Current, Resistance, and Ohm's Law. Acedido a 18 de Outubro de 2016. https://learn.sparkfun.com/tutorials/voltage current resistance and ohms law Wikipédia. 2016. Resistência Elétrica. Acedido a 18 de Outubro de 2016. https://pt.wikipedia.org/wiki/resist%c3%aancia_el%c3%a9trica Villate, Jaime E. 2014. Eletricidade, Magnetismo e Circuitos. Porto: FEUP. Acedido a 18 de Outubro de 2016. http://fisica.fe.up.pt/eic0014/eletricidade_20140107.pdf Maciel, Noémia, Jaime E. Villate, Carlos Azevedo, F. Maciel Barbosa. Eu e a Física 12 2ª parte Física 12 o ano. 1 a Edição. Porto: Porto Editora, 2015 Conceitos Fundamentais de Circuitos Elétricos Associação de Resistências 22 /22