Função Exponencial Equações Exponenciais 1 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda
Função Exponencial Equações Exponenciais d) R Q. Exercício 8. Quantas raízes reais possui a equação 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. a) x. b) 5 x 15. c) 9 x 7. d) x 1 16. ( ) 1 x e) 9. f) 7 x 7. g) 0, 5 x. h) 5 x 5. Exercício. a) x 1 00. b) 5 1 x 5. ( ) x c) 16 81. d) x+1 0, 5. Determine o valor de x nas equações abaixo. Determine o valor de x nas equações abaixo. Exercício. Uma determinada cultura de bactérias dobra sua população a cada hora quando exposta em um meio favorável. Em um determinado momento, essa cultura de bactérias composta de apenas indivíduos é colocada em um meio favorável. Depois de quanto tempo essa população será de.07 indivíduos? Exercício. Exercício 5. equação: Resolva a seguinte equação: x + x+1 + x+ 11. Determine os valores de x que satisfazem à x+1 x 1. Exercício 6. Determine a soma dos valores de x que satisfazem à equação: 5 x 5 x 5 0. Exercício 7. Resolvendo a equação exponencial x+1 + 8 7, encontramos um valor para x que pertence ao conjunto: a) N. b) Z N. c) Q Z. (a) 0. (b) 1. (c). (d). (e). x 7x+5 1? Exercícios de Fixação Exercício 9. Resolva as equações: a) x 8 x + 7 0. b) x 1 x. Exercício. Em um meio de cultura especial, a quantidade de bactérias, em bilhões, é dada pela função Q, definida para t 0, por Q(t) k 5 k t, sendo t o tempo, em minutos, e k uma constante. A quantidade de bactérias, cuja contagem inicia-se com o cálculo de Q(0), torna-se, no quarto minuto, igual a 5 Q(0). Quantos bilhões de bactérias estarão presentes nesse meio de cultura no oitavo minuto? Exercício 11. Devido à desintegração radioativa, uma massa m o de carbono 1 é reduzida a uma massa m em t anos. As duas massas estão relacionadas pela fórmula m m o 5.00 t. Nestas condições, em quantos anos 5g da substância serão reduzidos a 1, 5g? Exercício 1. Os técnicos de um laboratório observaram que uma população de certo tipo de bactérias cresce segundo a função B(t) 9 t, com t sendo medido em horas. Qual o tempo necessário para que ocorra uma reprodução de 6, bactérias? a) 1h. b) h. c) h. d) 6h. e) 16h. Exercício 1. Certa substância de um medicamento é eliminada pelo organismo de acordo com a função: D(t) D o ( 9 ) t, sendo D a quantidade de substância no organismo após t horas da ingestão e D o a dose inicial. Determine após quantas horas o organismo terá eliminado 19% da dose inicial. Exercício 1. Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de água de certo reservatório é dada por q(t) q o 0.,t, sendo q o a quantidade inicial de água no reservatório após t meses. A quantidade de meses que a água do reservatório se reduzirá a 5% do que era no início é de: http://matematica.obmep.org.br/ 1 matematica@obmep.org.br
a). b) 6. c) 8. d). e) 1. Exercício 15. A população P de um país no ano t pode ser estimada através da função P(t) m n t 011, para n 0. Sabendo-se que a população atual desse país é de 15, milhões de habitantes, e que sua taxa anual de crescimento é de %, então m n a) 1, 6. b) 1, 5 6. c) 1, 7. d) 1, 5 7. e) 1, 8. é igual a: em que t é o tempo, em hora, e p(t) é a população, em milhares de bactérias. Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 0 minutos, a população será: a) reduzida a um terço. b) reduzida à metade. c) reduzida a dois terços. d) duplicada. e) triplicada. Exercício 19. a). b) 5. c). d) 1. e). A soma das raízes reais positivas da equação: x 5 x + 0, vale: Exercícios de Aprofundamento e de Exames Exercício 16. O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R$1.800, 00, propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do tempo de serviço (t), em anos, é s(t) 1.800 (1, 0) t. De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional dessa empresa com anos de tempo de serviço será, em reais: a) 7.16, 00. b).819, 00. c).709, 6. d).708, 00. e) 1.909, 6. Exercício 0. Resolva a equação x + 6 x 9 x. Dê o conjunto verdade da equação exponen- Exercício 17. cial: 5 x + x +1 8 x 0. Exercício 18. O governo de uma cidade está preocupado com a possível epidemia de uma doença infectocontagiosa causada por bactéria. Para decidir que medidas tomar, deve calcular a velocidade de reprodução da bactéria. Em experiências laboratoriais de uma cultura bacteriana, inicialmente com 0 mil unidades, obteve-se a fórmula para a população: p(t) 0 t, Elaborado por Cleber Assis e Tiago Miranda Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contato@cursoarquimedes.com http://matematica.obmep.org.br/ matematica@obmep.org.br
Respostas e Soluções. d) 1. a) x 5. b) x. c) x. d) x. e) x. f) x 1. g) x 1. h) x 1 6.. a) b) x 1 00 x 1 x 1 x. 5 1 x 5 5 1 x 5 1 x x 1 x 1. x+1 0, 5 1 x+1 x+1 1 x+1 1 x + 1 1 8x + 1 8x x 8.. Se essa cultura dobra a cada hora, então temos: t.07 t 1.0 t t. Portanto, após horas haverá.07 indivíduos.. (Extraído da Vídeo Aula) 5. x + x+1 + x+ 11 x + x 1 + x 11 x (1 + + ) 11 x 16 x x. x+1 x 1 (x+1) (x ) 1 (x + 1) (x ) 1 x + 1 x 5 x 5. c) ( ) x 16 81 ( ) x ( ( ) x ( x x. ) ) 6. (Extraído da Vídeo Aula) Fazendo 5 x y e, consequentemente 5 x y, temos: 5 x 5 x 5 0 5 x 5 x 5 0 y y 5 0 y 1 1 y 5. Como x y, então y 0, ou seja, utilizaremos apenas x 5, segue que x 1 5 e x 5. Portanto a soma dos valores de x que satisfazem à referida equação é zero. http://matematica.obmep.org.br/ matematica@obmep.org.br
7. x+1 + 8 7 x 1 + x + 6 x + x x x. Portanto, x (Q Z). Resposta C. 8. (Extraído da Vídeo Aula) x 7x+5 1 x 7x + 5 0 x 7 ± 9 0 x 7 ± x 1 5 x 1. Portanto, a equação possui duas raízes reais. Resposta C. 9. a) Fazendo x y e, consequentemente, x y, temos: x 8 x + 7 0 y 8y + 7 0 y 1 1 y 7. Assim, temos x 1 ou x 7, segue que x 0 ou x. b) Fazendo x y e, consequentemente, x y, temos: x 1 x y 1y + 0 y 1 y 8. Assim, temos x ou x 8, segue que x ou x.. (Extraído da Vídeo Aula) Temos que Q(0) k 5 k 0 k. Se Q() 5 Q(0), então: 5 k k 5 k 5 5 k k k 1. Assim, no oitavo minuto, a quantidade de bactérias será Q(8) 1 1 58 1 65 1, 5 bilhões. 11. (Extraído da UFAL) 1, 5 5 t 5.00 5 5 t 5.00 t 5.00 t 5.00 t.800. Portanto, o tempo necessário será de.800 anos. 1. (Extraído UPE - 016) Temos: 6, 9 t 6, t 6 t 6 6t 6 6t t 1. Portanto, a reprodução de 6, bactérias ocorrerá após 1h. Resposta A. 1. (Extraído da Vídeo Aula) ( 81 9 0 D o D o ( ) 9 ( ) t 9 t t. Portanto, o organismo terá eliminado 19% da substância após horas. 1. (Extraído da Unifor-CE 016) ) t 5% q o q o 0,t 1 0,t 0,t 0, t t. Portanto, depois de meses a quantidade de água no reservatório se reduzirá a 5% do que era no início. Resposta D. 15. (Extraído da UFTM-MG) Como P(011) 15, 6, temos que m 15, 6. Se o crescimento anual é de %, então n 1, 0. Logo, m n D. 15, 7 1, 0 1, 5 7. Resposta 16. (Extraído do ENEM - 015) s() 1.800 (1, 0) R$1.909, 6. Resposta E. http://matematica.obmep.org.br/ matematica@obmep.org.br
17. (Extraído do ITA) 5 x + x +1 8 x 0 5 x + x 8 x 0 5 x 5 x 0 5 x 5 x 5 x 1 x 1 A única possibilidade para a igualdade encontrada é que o expoente seja nulo, ou seja, x 1 0, segue que x 1 1 e x 1. S { 1, 1}. 18. (Extraído do ENEM - 016) ( ) Após 0 minutos, ou seja, 1 um terço de hora, teremos p 0 1 0 80 mil unidades, que é o dobro da quantidade inicial. Resposta D. 19. (Extraído do ITA) Fazendo x y e, consequentemente, x y, temos a nova equação y 5y + 0, cujas raízes são y 1 1 e y. Assim, x 1, donde x 1 0, e x, donde x e x. Portanto, a soma das raízes reais positivas da equação é. Resposta C. ( ) x 0. Dividindo toda a equação por 9 x, temos + ( ) x ( ) x. Fazendo y, ficamos com y + y 0, cujas ( ) raízes são y 1, que não convém, e y 1. Assim, x 1, segue que x 0. Elaborado por Cleber Assis e Tiago Miranda Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contato@cursoarquimedes.com http://matematica.obmep.org.br/ 5 matematica@obmep.org.br