Acústica Curso de Terapêutica da Fala Escola Superior de Saúde de Faro 1 o Semestre, 1 o Ano Ano lectivo de 2005-2006

Acústica Curso de Terapêutica da Fala Escola Superior de Saúde de Faro 1 o Semestre, 1 o Ano Ano lectivo de 2005-2006 Rui Guerra Departamento de Física Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade do Algarve rguerra@ualg.pt http://w3.ualg.pt/ rguerra/acustica0506.htm 15 de Fevereiro de 2006

2 Nota prévia O ensino tradicional da Terapêutica da Fala não costuma englobar uma cadeira especíca de acústica. A opção mais comum é ensinar os conceitos fundamentais de acústica à medida que vão sendo necessários. Quando comecei a leccionar esta cadeira em 2003/2004 também estava um pouco imbuído desta perspectiva e interrogava-me se conseguiria encher um semestre com matéria relevante para os futuros terapeutas da fala. A experiência destes três anos mostrou-me que um semestre a estudar acústica é realmente uma mais valia para os alunos deste curso. Há uma série de conceitos fundamentais para a Terapêutica da Fala que só podem ser bem compreendidos com uma base razoável de acústica. E essa base não se pode proporcionar com meia dúzia de aulas. O programa da cadeira é a própria demonstração disso mesmo. O objectivo do programa é proporcionar a compreensão de temas que um terapeuta da fala deve indubitavelmente dominar e que sem uma base física de acústica não o consegue fazer: 1. A noção de frequência e período 2. O que é o som? 3. As curvas de audibilidade e o seu signicado 4. A escala dos decibéis e dos fones 5. Como se produz a voz? 6. O que são as formantes? Porque é que existem formantes? 7. Como funciona o ouvido? A esta lista devia ainda acrescentar o tema dos espectros, isto é, como é que um som complexo se decompõe em ondas sinusoidais simples. Mas não houve tempo. A tabela de matérias que aparece três páginas a seguir parece extensa e alguns temas parecerão desnecessários numa visão pragmática do que deve ser um terapeuta da fala. Eventualmente alguns temas poderão ser omitidos, mas estou convicto de que a maior parte é necessária para poder ensinar com profundidade mínima os temas expostos na lista acima. Explico a seguir, em mais detalhe, o que é necessário para compreender cada um dos pontos eneunciados. A noção de frequência e período Este ponto é elementar e não merece grandes comentários (secs. 3.2 e 3.3).

3 O que é o som? É importante perceber que o som é um caso particular dos fenómenos ondulatórios (sec 3.1). Por isso se dá ênfase numa descrição mais geral, introduzindo os conceitos de ondas transversais e longitudinais. É também através do conceito de onda longitudinal que se percebe como é que as moléculas do meio transmitem o som (sec. 3.6.2). O som propaga-se e interfere, propriedades que são descritas a um nível básico (secs 3.5, 3.7 e 3.8). Finalmente é importante os alunos terem a noção de que o som se propaga com velocidades diferentes em diferentes meios (sec. 4.3). As curvas de audibilidade e o seu signicado e também A escala dos decidéis e fones Para perceber estes conceitos há que perceber bem a escala dos decibéis. Isso só se consegue dedicando algum tempo ao assunto, porque o facto de a escala não ser linear faz muita confusão aos alunos. Atrevo-me a dizer que sem este treino os futuros terapeutas teriam sempre uma noção deciente do conceito de decibel. Mesmo depois de muito insistir na natureza logarítmica da escala dos decibéis, é comum descobrir alunos que continuam a achar que a intensidade correspondente a 20 db é o dobro da intensidade correspondente a 10 db! É por isso que se insiste nos logaritmos (sec. 2.8) e se fazem duas aplicações com o objectivo fundamental de treinar o conceito: a intensidade relativa de dois sons em db (sec. 4.5.4) e a variação da intensidade com a distância à fonte, também em dbs (sec. 4.9). Este último ponto é também útil por si. Permite, por exemplo, ajudar a avaliar como é que a posição de um aluno na sala de aula pode fazer variar a sua percepção auditiva. Também as curvas de audibilidade (sec 4.6) são muito importantes e tão difíceis de compreender pelos alunos! É preciso insistir muito para que eles as compreendam! É preciso tempo. É preciso explicar as curvas de audibilidade em contextos diferentes. É minha experiência que os alunos não entendem o conceito das curvas de audibilidade antes de duas ou três aulas a insistir no assunto. Por certo não as entenderão num compacto de acústica, com a gura a ser mostrada num acetato de 3 minutos. Como se produz a voz? e também O que são as formantes? Porque é que existem formantes? Para perceber como se produz a voz é preciso perceber duas coisas: i) como se faz e o que origina a vibração das cordas vocais e ii) como se faz a ltragem pelas cavidades ressonantes. Para perceber a vibração das cordas é necessário explicar a vibração de cordas em geral e o que é a frequência fundamental de vibração de uma corda e as suas harmónicas (secs 5.1-5.3). Para perceber como se faz a a ltragem pelas cavidades oral e nasal é preciso perceber primeiro que estas funcionam como colunas de ar fechadas numa extremidade (sec 5.4). Eis porque sem o capítulo 5, "Ondas Estacionárias", em que estes conceitos são explicados, não se pode perceber basicamente nada sobre a produção da voz. E, repito, não será certamente numa cadeira mais avançada que haverá tempo para discutir isto com rigor. Devo ainda dizer que para explicar

4 de forma simples as colunas de ar é necessário explicar o conteúdo aparentemente descabido da secção 4.4.3. Percebendo isto é fácil perceber o que são as formantes. São os primeiros modos de vibração das cavidades ressonantes e que por isso mesmo constituem as suas ressonâncias. É um modelo simples, associar a cavidade oral a uma coluna de ar aberta numa extremidade com 17 cm de comprimento, mas permite compreender conceptualmente o que são as formantes e porque têm uma distribuição de frequências que em geral é "baixa-média-alta". Fora deste contexto não há forma de dar uma explicação convincente para a origem das formantes. Existem "porque sim"e nada mais. Parece-me inequívoco que saber a explicação física para a existência de formantes é uma mais valia para os futuros terapeutas da fala. Com o quadro de competências adquirido é, por exemplo, muito fácil perceber porque é que a voz das crianças é em geral mais aguda, ou porque é que a voz das mulheres é em geral mais aguda do que a dos homens. Toda esta explicação é dada no capítulo 6. Como funciona o ouvido? Finalmente o capítulo 7 é dedicado à física do ouvido, não à anatomia do ouvido, que já é tratada noutra cadeira, mas à forma como o ouvido funciona. As ideias mais importantes que gostaria de transmitir aos alunos relacionam-se com as funções dos ouvidos externo, médio e interno. Relativamente ao ouvido externo, explica-se porque é que o ouvido é mais sensível cerca dos 4000 Hz. Mais uma vez, isto só se percebe recorrendo ao facto de que o canal auditivo é uma coluna de ar com cerca de 25 mm, aberta numa extremidade e que portanto o primeiro modo de vibração ocorre perto dos 4000 Hz. Explica-se ainda a função de funil do canal auditivo, um efeito que amplica a intensidade do som entre 2 a 6 db. Porque é que o ouvido não se reduz apenas ao ouvido interno? Em vez do tímpano poderímaos ter directamente a janela oval! A resposta para esta questão só pode ser entendida por quem perceba que a impedância acústica da perilinfa (que é basicamente a da água) é muito maior que a do ar e que esta escolha anatómica implicaria uma perda de 30 db de intensidade sonora devido à reexão do som quando passa do ar para a água. É por isso que a membrana timpânica deve estar no ar e isolada da água. O ouvido médio faz o acoplamento entre o ar e a água. Assim, para ensinar estes factos com algum detalhe deve dedicar-se algum tempo a explicar os conceitos de impedância acústica (sec 3.9.2), no que também pareceria à primeira vista um excesso de zelo de físico. É o prodigioso mecanismo do ouvido médio que permite compensar a perda devido ao desajuste de impedâncias entre o ouvido interno e o ar. Isso é feito através da razão entre as áreas do tímpano e da janela oval (é preciso explicar o conceito de pressão, que está na secção 4.3) e do efeito de alavanca produzido pelo ossículos do martelo e da bigorna. As descrições anatómicas do ouvido são geralmente omissas a este respeito.

E se mencionarem algo vago e nebuloso relativamente ao mecanismo de compensação do ouvido médio, soarão a algo inintelígivel para quem não tenha as necessárias bases de acústica! Finalmente o ouvido interno. Os principais objectivos são: a) explicar o mecanismo de transdução das ondas mecânicas em impulsos nervosos e b) explicar a teoria da localização, que pretende explicar como se faz a identicação das frequências pelo cérebro. Acaba neste ponto a matéria da cadeira. Como disse, seria ainda importante falar de espectros. Fica para a próxima. Espero ter convencido o leitor/aluno da importância de estudar acústica, que se poderia resumir assim: ter consciência dos termos e conceitos que estarão subjacentes no seu trabalho futuro, de forma a evitar tornar-se mero técnico, manipulando conceitos sem realmente os compreender. Rui Guerra, Gambelas, 19 de Fevereiro de 2006 5

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Conteúdo 1 Introdução: o que é o som? 11 2 Noções básicas de Matemática 15 2.1 Notação cientíca 15 2.1.1 Regras. 16 2.1.2 Prexos 16 2.2 Álgebra Básica...... 16 2.3 Manipulação de parêntesis 17 2.4 Fracções. 17 2.5 Potências 18 2.6 Funções....... 18 2.7 Representação gráca 20 2.8 Logaritmos................. 21 2.9 Regras de três simples (proporcionalidade) 22 2.10 Ângulos................ 23 2.10.1 Medida de graus em radianos 23 2.11 Senos e co-senos.................. 24 2.11.1 Identidades Trigonométricas importantes.... 26 2.12 A importância das funções trigonométricas na acústica...... 27 3 Movimento Ondulatório 31 3.1 O que é uma onda?........ 31 3.2 Ondas periódicas e não periódicas 35 3.3 Comprimento de onda 37 3.4 Período e Frequência... 37 3.5 Velocidade de propagação 38 3.6 Tipos de ondas............. 40 3.6.1 Exemplos de ondas transversas. 42 3.6.2 Exemplos de ondas longitudinais 42 3.6.3 E o som?. 42 3.7 Ondas Progressivas.......... 43 3.8 Sobreposição e Interferência de ondas 46 3.9 Reexão e Transmissão de ondas.................. 49 7

8 CONTEÚDO 3.9.1 Descrição geral............. 49 3.9.2 Quanticação da reexão e transmissão 53 3.10 Ondas Sinusoidais............... 56 3.10.1 Número de onda e frequência angular 57 3.10.2 Fase.............................. 58 4 O som 59 4.1 Introdução.................. 59 4.2 Ondas audíveis, infrasónicas e ultrasónicas 59 4.3 Velocidade das ondas sonoras 60 4.4 O som como onda periódica................... 65 4.4.1 som como movimento oscilatório das partículas do ar 66 4.4.2 O som como oscilação da densidade do ar......... 67 4.4.3 Desfazamanto entre a onda de deslocamento e a onda de densidade.. 68 4.5 A intensidade do som 70 4.5.1 Denição....... 70 4.5.2 Limiar de audibilidade........ 71 4.5.3 Nível de intensidade sonora (decibel) 71 4.5.4 Intensidade relativa de dois sons.............. 73 4.5.5 Variações na diferença mínima de intensidade detectável 74 4.5.6 A curva do limiar de audibilidade 76 4.5.7 Uma nota: escala logarítmica 77 4.6 As curvas de audibilidade.... 79 4.7 Unidade do nível de audibilidade 80 4.8 Unidade de audibilidade. 81 4.9 A lei do inverso quadrado 82 4.10 Caracterização dos sons 84 4.10.1 Intensidade 84 4.10.2 Altura 84 4.10.3 Timbre............................. 85 5 Ondas Estacionárias 87 5.1 O que são ondas estacionárias?...... 87 5.2 Outra forma de ver as ondas estacionárias......... 89 5.3 Ondas estacionárias em cordas xas nas duas extremidades 90 5.4 Ondas estacionárias em colunas de ar...... 92 5.4.1 Colunas fechadas numa das extremidades 93 5.4.2 Colunas abertas nas duas extremidades 96 5.5 Resumo dos modos.......................... 98

CONTEÚDO 9 6 As ressonâncias e a voz 99 6.1 O que é a ressonância? 99 6.2 Caixas de ressonância..... 101 6.3 Como é que se produz a voz?.................... 103 7 O ouvido 109 7.1 Descrição geral. 109 7.2 O ouvido externo...... 110 7.2.1 pavilhão auricular 110 7.2.2 canal auditivo 110 7.2.3 O tímpano...................... 111 7.2.4 A amplicação da intensidade pelo ouvido externo 112 7.3 O ouvido médio............................ 115 7.3.1 efeito da razão entre as áreas do tímpano e da janela oval 116 7.3.2 O efeito de alavanca entre martelo e bigorna 119 7.3.3 Músculos, tendões e protecção do ouvido 121 7.3.4 A trompa do Eustáquio 122 7.4 O ouvido interno... 123 7.4.1 Descrição geral....... 123 7.4.2 Estrutura interna da cóclea 124 7.4.3 O orgão de Corti....................... 126 7.4.4 Como se faz a identicação dos sons? A teoria da localização128

10 CONTEÚDO

Capítulo 1 Introdução: o que é o som? O som é uma onda e para se propagar precisa de um suporte material. No caso mais habitual o suporte é o ar, mas também pode ser qualquer outro gás, líquido ou sólido. À medida que a onda se propaga as partículas do meio vibram de forma a produzir variações de pressão e densidade segundo a direcção de propagação. Estas alterações resultam numa série de regiões de altas e baixas pressões chamadas de condensações e rarefacções respectivamente. A vibração do ar é o som. Essa vibração tem de ter uma fonte, uma origem. É a fonte sonora. É a fonte sonora que força o ar a vibrar. Pode ser um altifalante ou a laringe, através da passagem do ar pelas cordas vocais. No caso do altifalante é a membrana que vibra e força as moléculas do ar a entrar também em vibração. No caso da voz, é a passagem do ar pelas cordas vocais, localizadas na laringe, que origina a sua vibração e a transmissão dessa vibração ao ar. 11

12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO: O QUE É O SOM? Figura 1.1: A vibração do ar traduz-se em zonas de condensação e rarefacção das partículas. Figura 1.2: A vibração da membrana do altifalante força a vibração das partículas do ar. Depois de originado na fonte e propagado pelo meio material, o som é recebido por um elemento receptor. Esse elemento receptor tem a capacidade de transformar as ondas sonoras em algum outro tipo de sinal que possamos processar. É portanto um elemento transdutor. No caso do ouvido, as vibrações do ar são convertidas em vibrações mecânicas e, em última análise, em impulsos eléctricos que são processados pelo nosso cérebro. O programa da cadeira de Acústica é precisamente estudar mais detalhadamente o percurso emissão, transmissão e recepção de ondas sonoras, tentando compreender qualitativa e quantitativamente os principais processos físicos envolvidos no fenómeno do som.

13 Figura 1.3: A vibração das cordas vocais transmite-se ao ar e origina o som. Figura 1.4: Que grandes elementos transdutores!

14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO: O QUE É O SOM?

Capítulo 2 Noções básicas de Matemática 2.1 Notação cientíca Para escrever números muito grandes ou muito pequenos é mais cómodo usar a notação cientíca, que consiste em escrever um número na forma x = a 10 n. (2.1) n é o expoente de 10. Temos 10 0 = 1 10 1 = 10 10 2 = 100 10 3 = 1000... (2.2) Vemos portanto que 10 n quer dizer 1 seguido de n zeros. Para números menores que 1 usam-se os expoentes negativos: 10 1 = 1 10 1 = 0.1 10 2 = 1 10 2 = 0.01 10 3 = 1 = 0.001... (2.3) 103 Vemos portanto que 10 é 0. seguido de n n casas decimais, sendo a última um 1 e todas as outras 0. Exemplo 7, 5 10 2 = 7, 5 100 = 750 15

16 CAPÍTULO 2. NOÇÕES BÁSICAS DE MATEMÁTICA 2.1.1 Regras 1. 2. 2.1.2 Prexos 1. Kilo=K=10 3 ; mili=m=10 3 ; 2. Mega=M=10 6 ; micro=µ = 10 6 ; 3. Giga=k=10 9 ; nano=n=10 9 ; 4. Tera=T=10 12 ; pico=p=10 12 ; 2.2 Álgebra Básica 10 n 10 m = 10 n+m (2.4) 10 n 10 = (2.5) m 10n m Oito vezes o meu número de laranjas é 32 quer dizer 8x = 32. Quanto é x? Podemos dividir os dois termos da equação por 8: 8x 8 = 32 8 x = 4. O meu número de laranjas mais 3 é 7 quer dizer x + 3 = 7. Quanto é x? Podemos adicionar 3 aos dois termos, e ca x + 3 3 = 7 3 x = 4. O meu número de laranjas a dividir por 2 é 2 quer dizer x 2 = 2. Quanto é x? Podemos multiplicar por 2 os dois termos, e ca x 2 2 = 2 2 x = 4.

2.3. MANIPULAÇÃO DE PARÊNTESIS 17 Em geral, a b x + c = d a b x = d c (2.6) x = b (d c). a 2.3 Manipulação de parêntesis 1. Propriedade distributiva: 2. Expansão de um quadrado: a(b + c) = ab + ac. (2.7) (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = (a + b)a + (a + b)b = a 2 + ba + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2. (2.8) 3. Uma factorização importante 2.4 Fracções 1. Multiplicação de fracções 2. Divisão de fracções a 2 b 2 = (a + b)(a b). (2.9) a b c d a b c d = ac bd. (2.10) = a b d c = ad bc. (2.11) 3. Para somar (ou subtrair) fracções há que reescrevê-las de forma a terem o mesmo denominador: a b ± c d = ad bd ± cb bd ad ± bc =. (2.12) bd

18 CAPÍTULO 2. NOÇÕES BÁSICAS DE MATEMÁTICA 2.5 Potências A notação cientíca é um caso particular da aplicação de potências. Como há pouco, As regras são 1. Multiplicação x 0 = 1 x 1 = x x 2 = x x x 3 = x x x (2.13) x 1 = 1/x 1 x 2 = 1/x 2 x n = 1/x n x n x m = x (2.14) n+m 2. Divisão x n x = (2.15) m xn m 3. Exponenciação (x n ) m = x (2.16) nm 4. Radicais x 1/n = n x. (2.17) O que é n x? É um número y tal que y n = x: n x = y y n = x. (2.18) A raiz mais comum é a quadrada: 2 x = y y 2 = x. (2.19) 2.6 Funções O que é uma função? É uma operação que transforma elementos de um dado conjunto A em elementos de outro conjunto B, sendo que a cada elemento de A corresponde apenas

2.6. FUNÇÕES 19 um elemento de B (mas o mesmo elemento de B pode ser a imagem de vários elementos de A). Por exemplo, se deixarmos cair um corpo do cimo de uma torre e pudermos medir a distância que ele vai percorrendo e o tempo em que percorre essa distância, então temos os conjuntos A=tempo de queda e B=distância percorrida. Se representarmos os elementos de A por t e os elementos de B por x, então a função que faz a correspondência entre os elementos de A e B é x = f(t) = 4.9t 2. (2.20) A ilustração deste exempo está na gura 2.1. Figura 2.1: A função queda livre transforma os tempos em distâncias Outro exemplo: o preço a pagar por uma dada quantidade de laranjas. Temos A=quantidade de laranjas (m, em kg) e B=preço a pagar (p, em euros). Então, se o preço por kg for 2 euros, temos p = f(m) = 2m. (2.21) Agora imaginemos que temos de pagar 50 cêntimos pelo saco que contém as laranjas, independentemente da quantidade de laranjas a comprar. Então a função preço passa a ser p = f(m) = 2m + 0.5. (2.22) As funções podem ser descritas por expressões analíticas simples, como as dos exemplos anteriores, mas também podem ter expressões muito mais complicadas. Podem ainda ser expressas por tabelas, sem que haja alguma fórmula que se lhe adapte.

20 CAPÍTULO 2. NOÇÕES BÁSICAS DE MATEMÁTICA 2.7 Representação gráca Quando queremos representar uma função y = f(x) recorremos a um gráco. No eixo horizontal colocamos os valores de x e no eixo vertical colocamos os valores de y. Vejamos os grácos das funções dos exemplos anteriores nas guras 2.2 e 2.3: Figura 2.2: O gráco da função x = 4, 9t 2 Figura 2.3: O gráco da função p = 0, 5 + 2m Vejamos ainda outro exemplo: a posição de um carro que viaja à velocidade v=60 km/h. Temos então que a distância percorrida (d, em km) é uma função do tempo de viagem (t, em h). A correspondência é simplesmente d = 60t, (2.23)

2.8. LOGARITMOS 21 e o gráco é também uma linha recta (gura 2.4). Figura 2.4: O gráco da função d = 60t O seguinte gráco (gura 2.5) refere-se também à distância percorrida por um carro. Como interpretar este gráco? Figura 2.5: Que função é esta? O que aconteceu ao carro? 2.8 Logaritmos O logaritmo de um número na base a dene-se assim: Se x = a y então y = log a x. (2.24) Por outras palavras, o logaritmo de x na base a é o número y a que é preciso elevar a para se ter a y = x.

22 CAPÍTULO 2. NOÇÕES BÁSICAS DE MATEMÁTICA Por agora os logaritmos que nos interessam são os de base 10. Por isso, em vez de escrever log 10 escrevemos simplesmente log. Temos x = 10 y y = log x. (2.25) Por exemplo, 1000 = 10 quer dizer que 3 log 1000 = 3. Propriedades do logaritmos 1. Valores notáveis log 1 = 0 (2.26) (porque 10 0 = 1). log 10 = 1 (2.27) (porque 10 1 = 10) 2. log do produto log(ab) = log a + log b (2.28) 3. log da divisão log a b = log a log b (2.29) 4. log do expoente log(a n ) = n log a (2.30) O gráco da função logaritmo (ver a gura 2.6) mostra que o seu crescimento é lento: y = log x varia pouco relativamente a x. Na verdade, enquanto x toma os valores 1, 10, 100, 1000, 10000,..., y toma os valores 0,1,2,3,4,... Ex.: calcular log(5, 6 10 7 ) 2.9 Regras de três simples (proporcionalidade) Se1,8kg delaranjascusta3euros, quanto custa0,6kg? Umaformarápida denão nos enganarmos é fazer uma regra de três simples, exprimindo a proporcionalidade entre a quantidade de laranjas e o seu preço 1, 8 kg 3euros 0, 6 kg xeuros (2.31) Temos então que x = = 1euro. (2.32) 0, 6 3euros 1, 8

2.10. ÂNGULOS 23 Figura 2.6: O gráco da função log x (nota: log 1 = 0 e log 0 não está denido. A escala é muito grande e parece que o primeiro ponto é 0. Não é. O primeiro ponto é x = 1.) 2.10 Ângulos Uma volta completa são 360 o graus Um jogador de futebol disse um dia que a sua vida tinha levado uma volta de 360 o... A partir dos 360 o os ângulos voltam a repetir-se. Por exemplo: 400 = 360 + 40 40 3601 = 10 360 + 1 1 2.10.1 Medida de graus em radianos Os ângulos podem também exprimir-se em radianos. Como se indica na gura 2.7, o ângulo em radianos vale θ = s r, (2.33) em que s é o comprimento do arco subtendido pelo ângulo e r é o raio da circunferência. Como já sabemos que o perímetro da circunferência vale 2πr, então a volta completa em radianos (360 o ) vale θ(360 ) = 2πr r = 2π. (2.34)

24 CAPÍTULO 2. NOÇÕES BÁSICAS DE MATEMÁTICA Figura 2.7: Denição de radiano Para determinar qualquer outro ângulo podemos usar uma regra de 3 simples. Por exemplo, quanto é 45 o em radianos? 360 2π rad 45 θ rad e 45 2π θ = = π 360 4. (2.35) Outra forma de fazer as conversões é simplemente usar os factores de conversão: de graus para radianos: multiplicar por π/180 de radianos para graus: multiplicar por 180/pi Quanto é um radiano em graus? 2.11 Senos e co-senos A denição de seno e co-seno faz-se através da gura 2.8. É importante notar que o triângulo é recto, isto é, um dos seus ângulos internos é 90 o. As três coisas básicas que se devem saber sobre triângulos rectângulos: 1. Um dos seus ângulos intermos é 90 o. 2. Teorema de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2. 3. A soma dos seus três ângulos internos é 180 o (válido para qualquer triângulo).

2.11. SENOS E CO-SENOS 25 Figura 2.8: Denições de seno e co-seno Temos que cateto oposto sin θ = hipotenusa = b (2.36) a e cateto adjacente cos θ = = hipotenusa c (2.37) a Através do teorema de Pitágoras podemos demostrar uma igualdade muito importante: sin 2 θ + cos 2 θ = 1. (2.38) Com efeito, temos, sin 2 θ + cos 2 θ = b2 a + c2 2 a = b2 + c 2 2 a 2 = a2 a 2 = 1. O círculo trigonométrico (gura 2.9) também nos ajuda a compreender estas funções. O círculo trigonométrico tem raio=1 e por isso a hipotenusa dos triângulos que vamos desenhar nesse círculo é 1. Assim temos que sin θ = b/1 = b e cos θ = c/1 = c O valor de cos θ lê-se no eixo dos xx. Em θ = 0 o segmento que dene θ coincide com o raio. Portanto cos θ = 1 em θ = 0. À medida que o ângulo vai aumentando o segmento que dene θ diminui de comprimento. Em θ = 90 é mesmo zero. Portanto cos 90 = 0. Quando passamos ao segondo quadrante (90 < θ < 180 ) passamos a ter valores de cos θ negativos. Em θ = 180 o comprimento do segmento é igual ao raio=1, mas tem valor negativo. ortanto cos 180 = 1. Se zermos então o gráco da função cos θ (em que a cada valor de θ, na horizontal, se faz corresponder o seu valor de cos θ, na vertical), obtemos a gura 2.10.

26 CAPÍTULO 2. NOÇÕES BÁSICAS DE MATEMÁTICA Figura 2.9: O círculo trigonométrico Podemos fazer a mesma representação para o seno. Desta vez obtemos a gura 2.11 Podemos representar as duas funções no mesmo gráco, tal como está na gura 2.12. 2.11.1 Identidades Trigonométricas importantes Seguem-se algumas identidades que podem ser úteis no trabalho com as funções seno e co-seno: 1. sin 2 θ + cos 2 θ = 1 2. sin 2θ = 2 sin θ cos θ 3. cos 2θ = cos 2 θ sin 2 θ 4. sin 2 θ = 1 (1 cos θ) 2 2 5. cos 2 θ = 1 (1 + cos θ) 2 2 6. 1 cos θ = 2 sin 2 θ 2 7. sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b 8. cos(a ± b) = cos a cos b sin a sin b 9. sin a ± sin b = 2 sin[ 1(a ± b)] cos[ 1 (a b)] 2 2 10. cos a + cos b = 2 cos[ 1(a + b)] cos[ 1 (a b)] 2 2

2.12. A IMPORTÂNCIA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NA ACÚSTICA 27 Figura 2.10: A função co-seno Figura 2.11: A função seno 11. cos a cos b = 2 sin[ 1(a + b)] sin[ 1 (b a)] 2 2 2.12 A importância das funções trigonométricas na acústica Muitos movimentos periódicos são descritos por uma função seno ou co-seno. Por exemplo, as oscilações numa corda podem ser sinusoidais (ver gura 2.13) Se num dado instante de tempo (fotograa) zermos a correspondência entre x (coordenada horizontal dos pontos da corda, com origem no rapaz da direita, p. ex.) e y (altura dos pontos da corda medida a partir da posição de repouso), então obtemos o gráco de um seno ou co-seno (gura 2.13).

28 CAPÍTULO 2. NOÇÕES BÁSICAS DE MATEMÁTICA Figura 2.12: As funções seno e co-seno Figura 2.13: A função seno numa corda Também podemos pensar no movimento de uma massa ligada a uma mola (gura 2.14). Se agora zermos a correspondência entre t (tempo decorrido) e y (altura da massa relativamente à posição de equilíbrio), então também vamos obter o gráco do co-seno. Finalmente, e o mais importante para nós, o som é descrito através de funções trigonométricas. Como já vimos, o som corresponde à propagação de zonas de compressão e rarefacção do ar. Se zermos um gráco em que x é a distância da fonte (no caso da gura um altifalante) e y a densidade das moléculas de ar, então obteremos o gráco de um seno ou de um co-seno. Isto está ilustrado na gura 2.15.

2.12. A IMPORTÂNCIA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NA ACÚSTICA 29 Figura 2.14: A função seno numa mola Figura 2.15: A função seno no som

30 CAPÍTULO 2. NOÇÕES BÁSICAS DE MATEMÁTICA

Capítulo 3 Movimento Ondulatório 3.1 O que é uma onda? Embora todos tenhamos a experiência do que é uma onda, como podemos formalizar este conceito? Figura 3.1: Katsushika Hokusai, The Great Wave Of Kanagawa (1823-29) Pensemos em vários exemplos: Ondas no mar Uma onda numa corda Uma onda de espectadores num estádio de futebol Uma onda num tanque... 31

32 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO ONDULATÓRIO Figura 3.2: Uma onda numa corda Figura 3.3: Uma onda humana Em todos estes casos temos um meio que sustenta a onda. Esse meio está inicialmente em repouso, mas depois há uma perturbação de alguma das suas propriedades que se vai propagar. Então, de uma forma geral, podemos considerar que uma onda é o movimento de uma perturbação. Uma outra característica comum ao fenómeno das ondas é que embora a perturbação se propague, as partículas constituintes do meio não se deslocam (ou pelo menos em média não se deslocam). Isto é muito claro no exemplo da onda humana. Mas se pusermos uma rolha no tanque, vemos que a onda não transporta a rolha. Da mesma forma, as moléculas de água da superfície também não são transportadas pela onda. Um outro exemplo é o de um boato: imagine-se um boato tão perigoso que só é propagado de boca a boca. O boato vai de Faro ao Porto, mas os seus propagadores não saíram do sítio, ou pelo menos andaram muito menos (até à casa do vizinho). Em resumo, uma onda é a propagação de uma perturbação, mas não do meio que a sustenta. Uma boa denição encontra-se na wikipedia [www.wikipedia.com]: A wave is a disturbance that propagates, carrying energy. A mechanical wave exists in a medium (which on deformation is capable of producing elastic restoring forces) through which they travel and can transfer energy from one place to

3.1. O QUE É UMA ONDA? 33 Figura 3.4: A superfície da água num tanque, depois de lá cair uma pedra Figura 3.5: Num boato a informação prpopaga-se mas os boateiros não! another without any of the particles of the medium being displaced permanently; there is no associated mass transport. Instead, any particular point oscillates around a xed position. However, electromagnetic radiation, and probably gravitational radiation are not mechanical waves, and can travel through a vacuum, without a medium. Vejamos esta denição mais em detalhe: 1. A wave is a disturbance that propagates, carrying energy Uma onda é uma perturbação que se propaga, transportando energia. Isto é o que já vimos. Aparece no entanto o conceito novo de energia. Realmente, é preciso energia para perturbar um dado meio. Por exemplo, quando uma pedra cai num lago, a energia cinética da pedra é transferida em parte

34 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO ONDULATÓRIO para as moléculas da água que sofreram o impacto. Essa energia é depois transferida para as moléculas vizinhas, o que as faz oscilar. A propagação da oscilação é pois propagação de energia. 2. A mechanical wave exists in a medium (which on deformation is capable of producing elastic restoring forces) through which they travel... Também já vimos isto. Uma onda mecânica necessita de um meio para se propagar. O parêntesis do texto em inglês acrescenta outro conceito novo, o de força restauradora. Pensemos de novo em ondas num lago. Imaginemos uma molécula de água que está a oscilar e que num dado instante está na posição mais baixa da oscilação. Se não houvesse uma força a puxála para cima, ela continuaria a mover-se para baixo indenidamente. Na verdade, quando o meio (a água) se deforma (através das cristas e vales das ondas) gera-se uma força restauradora proporcional à deformação e que a contraria. Assim, quanto mais para baixo vai uma molécula, maior é a força que a puxa para cima, até que num dado ponto o deslocamento para baixo pára por acção da força restauradora. O mesmo é válido para o movimento para cima que se inicia a seguir (neste caso a força restauradora aponta para baixo). A origem das forças restauradoras está nas interacções intermoleculares do meio que tendem a manter as suas moléculas coesas. No caso da água essas interacções são sobretudo feitas através das pontes de hidrogénio. 3....and can transfer energy from one place to another without any of the particles of the medium being displaced permanently; there is no associated mass transport. Esta é a outra característica que também já vimos, a onda desloca-se mas as partículas do meio não. Portanto a energia propaga-se e há transporte de energia, mas as partículas não se propagam, o que quer dizer que não há transporte de massa. 4. Instead, any particular point oscillates around a xed position. O movimento das partículas é simplesmente oscilatório em torno de um dado ponto. Pode ser para cima e para baixo, ou para a frente e para trás, ou uma mistura das duas, mas em média a posição da partícula é xa. 5. However, electromagnetic radiation, and probably gravitational radiation are not mechanical waves, and can travel through a vacuum, without a medium. É importante notar que as ondas mecânicas necessitam de um meio para se propagar, mas que nem todas as ondas são mecânicas. O som é uma onda mecânica, e todos os exemplos de que falámos pertencem à classe das ondas mecânicas. No entanto a radiação electromagnética (a luz, o infravermelho, o UV, os raios X, as microondas, as ondas de rádio...) não

3.2. ONDAS PERIÓDICAS E NÃO PERIÓDICAS 35 são ondas mecânicas e propagam-se no vácuo. Se assim não fosse a luz não nos chegaria do Sol! Outro tipo de ondas não mecânicas são as ondas gravitacionais, previstas por Einstein a partir da teoria da relatividade geral. Para nalizar, aqui está a denição de onda do Dicionário de Língua Portuguesa da Porto Editora: onda (fís.) perturbação, contínua ou transitória, que se propaga com transporte de energia através de um meio, quer em virtude das propriedades elásticas e de inércia do meio, quer em virtude das propriedades eléctricas ou magnéticas do espaço; uma grandeza variável no tempo, que também é função da posição. A característica de uma onda é transferir energia de uma região para outra sem deslocamento denitivo das partículas do meio. As partículas oscilam apenas em torno da sua posição de equilíbrio. O progresso de uma onda é descrito pela passagem da forma de onda através do meio com uma certa velocidade, a velocidade de fase da onda. A energia é transferida à velocidade de grupo das ondas que formam a forma de onda. 3.2 Ondas periódicas e não periódicas Uma onda pode ou não ser periódica, isto é, pode ou não exibir um padrão repetitivo no tempo. Do ponto de vista do movimento das partículas constituintes do meio há sempre uma oscilação em torno de uma posição média. Essa oscilação pode ser periódica, ou seja, repetir-se exactamente da mesma forma passado um dado intervalo de tempo, e depois repetir-se, e depois...; ou então pode darse uma oscilação (sempre em torno de uma posição mádia xa), mas de forma imprevisível. Por exemplo, se uma pedra cair num lago, produz-se um padrão de ondas periódicas. Mas imaginemos agora que a origem da perturbação da água é o despejar irregular de um saco de areia. Neste caso a energia é transferida para a água de uma forma também irregular. A oscilação das moléculas de água também vai ser irregular, umas vezes mais intensa, outras vezes menos, e o padrão das ondas também será irregular. Não se vislumbrará nenhum padrão repetitivo. A oscilação das moléculas de água conduz neste caso a uma onda não periódica. Consideremos a gura 3.6. Podemos pensar que se trata de uma perturbação do nível médio da altura da água num dado instante. Podemos ainda pensar que se trata de um conjunto de cristas e fossos originada pelo despejar do tal saco de areia no lago. Estamos apenas a ver algumas das cristas e fossos. Outras aparecerão, mas com aspecto diferente e de forma irregular no tempo. No eixo das ordenadas temos a variação ada altura relativamente à altura média. É importante ter em conta os seguintes factos: trata-se de uma fotograa o gráco mostra os valores tirados num dado instante t;

36 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO ONDULATÓRIO as bossas e os fossos vão mover-se nos instantes posteriores. A onda da gura 3.6 é não periódica, pois não se detecta nenhum padrão regular. Figura 3.6: Uma onda não periódica A onda da gura 3.7 é periódica. A escala das abcissas marca as distância ao longo da qual se zeram as medições da altura de uma onda de água relativamente ao nível de repouso. Esse nível está marcado na escala das ordenadas. O nível 0 é o nível de repouso. Uma onda para ser periódica não precisa de ser um seno. Podemos observar isso no exemplo da gura 3.8:

3.3. COMPRIMENTO DE ONDA 37 Figura 3.7: Uma onda periódica - gráco para t=constante (fotograa) 3.3 Comprimento de onda Claro que todas as medições são feitas no mesmo instante de tempo. O gráco da gura 3.7 é como se fosse uma fotograa da onda. Nesse instante de tempo vericamos que os máximos são atingidos em x=0, 120 e 240 m. O padrão repetese portanto a cada 120 metros. Dizemos então que o comprimento de onda é 120 m: λ = 120 m. (3.1) O comprimento de onda é a distância entre pontos que estão na mesma fase do ciclo da onda; por exemplo, entre dois máximos ou entre dois mínimos? E como medir o período através dos zeros? É a distância entre dois zeros consecutivos? Ou entre o primeiro e o terceiro zero? 3.4 Período e Frequência Os outros dois conceitos básicos importantes são os de Período e Frequência. Para compreendê-los vamos ver a gura 3.9. Desta vez o gráco tem em abcissas valores de tempo. Isto quer dizer que os valores de y são as alturas medidas relativamente ao nível de equilíbrio da água no mesmo ponto x. Então, enquanto o gráco 3.7 é feito com t=constante, ou seja, uma fotograa, este é feito com x=constante, ou seja, é feito no mesmo ponto do espaço.

38 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO ONDULATÓRIO Figura 3.8: Uma onda periódica que não é um seno- gráco para t=constante (fotograa) Tal como no gráco anterior, vemos que o padrão é repetitivo, desta vez no tempo (vimos antes que também é repetitivo no espaço). O ponto de observação vê passar uma onda nos instantes t=0, 37 e 74 s, o que quer dizer que o período desta onda é 37 s: T = 37 s. (3.2) Então com que frequência é que passa um pico da onda neste ponto? Se passa um pico a cada 37 s, então podemos dizer que em cada segundo passam 1/37=0.027 picos, ou seja, 0.027 picos por segundo. Calculámos a frequência como sendo o inverso do período. Podemos ainda escrever 0.027 picos/s. Na verdade não vale a pena estar a dizer picos, dizemos simplesmente que a frequência desta onda é de 0.027/s=0.027 s : 1 f = 1 T = 0.027 s 1 = 0.027 Hz. (3.3) Na última igualdade usou-se a unidade de frequência, que é o Hertz (Hz). Uma onda com 1 Hertz de frequência repete-se no período de 1 segundo. 3.5 Velocidade de propagação Consideremos de novo uma onda, que pode ser ou não periódica. Inicialmente, para ser mais fácil de visualizar, consideremos apenas uma bossa ou pulso de

3.5. VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO 39 Figura 3.9: Uma onda periódica - gráco para x=constante (o memso ponto) uma dada onda. O gráco da gura 3.10 é uma fotograa: num dado instante t = t 1 medem-se as alturas da água ao longo de vários pontos de um canal com 300 metros. E se agora tirarmos outra fotograa num instante posterior t = t 2 > t 1? Essa fotograa está sobreposta à inicial no gráco da gura 3.10. Na segunda fotograa pode ver-se que o pico desloca-se para a esquerda ou para a direita. A velocidade com que a onda se desloca é portanto dada por v onda espaço percorrido pelo pico = tempo gasto neste percurso = (3.4) posição do pico em t 2 posição do pico em t 1 t 2 t 1 No caso ilustrado na gura temos portanto v onda = x 2 x 1 200 100 = = 25 ms t 2 t 1 (3.5) 1 5 1 Esta é a velocidade de propagação da onda. Podemos fazer o mesmo raciocínio a partir de um gráco com uma onda sinusoidal. Basta identicarmos um máximo particular e segui-lo, como zemos com o pulso da onda anterior. A velocidade de propagação da onda dene-se exactamente da mesma forma. Valores típicos

40 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO ONDULATÓRIO Figura 3.10: A onda move-se com uma dada velocidade. No gráco estão sobrepostas as fotograas para t = 1 s e t = 5 s No Sistema Internacional (SI) de unidades a veloidade exprime-se em m/s ou ms, pois 1 distância [m] v = [m/s]. (3.6) tempo[s] Sendo assim, velocidade do som no ar a 20 o C: 344 m/s; velocidade do som nos sólidos > 344 m/s; velocidade da luz no vácuo: 3 10 m/s; 8 carro a 72 km/h: 20 m/s. 3.6 Tipos de ondas As ondas dividem-se em duas classes fundamentais: ondas transversais; ondas longitudinais.

3.6. TIPOS DE ONDAS 41 Já vimos que a propagação de uma onda corresponde à propagação de uma perturbação no meio. As partículas do meio movem-se portanto de alguma forma devido à passagem da onda. É o tipo de movimento das partículas que distigue o tipo da onda. Se as partículas se movem perpendicularmente à direcção de propagação da onda, então temos uma onda transversal. Figura 3.11: Uma onda transversa: as partículas movem-se perpendicularmente à direcção de propagação da onda Um exemplo de onda transversa através de uma corda: Figura 3.12: Uma onda transversa numa corda. Se as partículas se movem paralelamente à direcção de propagação da onda, então temos uma onda logitudinalal.

42 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO ONDULATÓRIO 3.6.1 Exemplos de ondas transversas Como já vimos, as ondas provocadas numa corda são um bom exemplo de ondas transversas. A direcção de propagação é a direcção da corda, mas os segmentos de corda que propagam a onda sofrem um movimento perpendicular à corda. As gura 3.12 ilustra bem este ponto. O movimento dos espectadores numa ola também é um exemplo de onda transversa. A onda propaga-se ao nível das cadeiras, mas os espectadores levantam-se das cadeiras, o que é portanto um movimento perpendicular à direcção da ola. As ondas sísmicas do tipo S são transversas: a terra move-se perpendicularmente à direção de propagação da onda sísmica (ver a gura 3.13). Figura 3.13: Numa onda sísmica do tipo S a terra move-se perpendicularmente à direcção de propagação da onda 3.6.2 Exemplos de ondas longitudinais Como já vimos, um exemplo claro de onda longitudinal é o da oscilação de uma mola. Uma mola oscila através de zonas alternadas de compressão e descompressão. Estes movimentos de compressão e descompressão são feitos na mesma direcção em que a mola propaga a oscilação. A gura 3.14 ilustra claramente este ponto. As ondas sísmicas do tipo P são longitudinais: a terra move-se na direcção de propagação do sismo (gura 3.15). 3.6.3 E o som? O som é uma onda longitudinal. Como vimos, as ondas de som são uma série de regiões de altas e baixas pressões (altas e baixas densidades) e o movimento das partículas, oscilando entre essas zonas, é feito na direcção de propagação da onda (gura 3.16).

3.7. ONDAS PROGRESSIVAS 43 Figura 3.14: Uma onda longitudinal: as partículas movem-se na direcção de propagação da onda Figura 3.15: Numa onda sísmica do tipo P a terra move-se na direcção de propagação da onda 3.7 Ondas Progressivas Até agora vimos grácos de ondas de dois tipos: fotograas, o que quer dizer que se faz o gráco da onda y = y(x) (em que y é a alteração ao n vel de referência, por exemplo, o nível da água num tanque) em t =constante; no mesmo ponto, o que quer dizer que se faz o gráco da onda y = y(t) no memso ponto x =constante; Como já foi referido, as ondas propagam-se, e por isso podemos pensar na evolução da onda ao longo do tempo através da sucessão de grácos-fotograa em instantes sucessivos.

44 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO ONDULATÓRIO Figura 3.16: O som é uma onda longitudinal Podemos então pensar que talvez haja uma função que dê o valor da onda para quaisquer valores de x e t. Essa função seria da forma y = f(x, t). (3.7) Substituindo os valores de x e t pretendidos na função obteríamos o valor da onda (nível da água, por exemplo) para essa posição e tempo escolhidos. Um resultado muito importante é o seguinte: se a onda viaja para a direita (esquerda) com velocidade (-)v e a sua forma não se altera, então a dependência de y em x e t só pode ser da forma y = f(x, t) = f(x vt). (3.8) Isto quer dizer que a função f não pode envolver x ou t separados, mas apenas através da combinação x vt. Por exemplo, y = f(x, t) = 1 (3.9) x 2 t 2 + 2 NÃO pode ser uma onda progressiva, mas 1 y = f(x, t) = (3.10) (x vt) 2 + 2 pode. Vamos tentar compreender porque é que a onda progressiva tem esta forma. Suponhamos que y = f(x vt) é uma onda progressiva que tem um máximo em y = f(5), ou seja, tem um máximo sempre que u x vt = 5. A função f está ilustrada na gura 3.17. Suponhamos ainda que se propaga com uma velocidade v = 1 m/s. Então,

3.7. ONDAS PROGRESSIVAS 45 Figura 3.17: A função f(u = x vt) tem um máximo em u = 5 m. Em t = 0 s f é máxima em x 1 0 = 5 x = 5 m; Em t = 1 s f é máxima em x 1 1 = 5 x = 6 m; Em t = 2 s f é máxima em x 1 2 = 5 x = 7 m; Em t = 3 s f é máxima em x 1 3 = 5 x = 8 m;... Isto quer dizer que se tirarmos fotograas da onda nos instantes t =0, 1, 2, 3, 4,... (s) vemos que o seu máximo está inicialmente em x = 5 m, depois passa passa a posição x = 6 m, depois para a posição x = 7 m, depois... Com efeito, A fotograa em t = 0 s mostra o máximo em x = 5 m; a fotograa em t = 1 s mostra o máximo em x = 6 m; a fotograa em t = 2 s mostra o máximo em x = 7 m; a fotograa em t = 3 s mostra o máximo em x = 8 m;...

46 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO ONDULATÓRIO Figura 3.18: A onda f(x t) desloca-se para a direita vom velocidade de 1 m/s. A evolução da onda está ilustrada na gura 3.18: Em qualquer instante t o máximo é dada por x vt = 5 x = 5 + vt posição do máximo = 5 + vt = 5 + t. (3.11) Portanto, à medida que t aumenta (que é como quem diz, à medida que o tempo passa) a posição x do máximo vai também aumentando. Isto quer dizer que a posição do máximo se vai deslocando para a direita, ao longo do eixo dos xx. Exemplos f(x 5t) é uma onda progressiva que se desloca para a direita, com velocidade de 5 m/s. f(x + 9t) é uma onda progressiva que se desloca para a esquerda, com velocidade de 9 m/s. 3.8 Sobreposição e Interferência de ondas A maior parte dos fenómenos ondulatórios que encontramos na natureza não pode ser descrito apenas em termos de uma onda sinusoidal (com a forma de um seno ou co-seno) ou de um pulso (como o da gura 3.6). Na verdade, a maior parte dos fenómenos ondulatórios só se pode compreender em termos de uma combinação de uma série de ondas progressivas. Isto quer dizer que um

3.8. SOBREPOSIÇÃO E INTERFERÊNCIA DE ONDAS 47 movimento ondulatório complicado é a soma de muitos movimentos ondulatórios mais simples. É isto o fundamento do princípio de sobreposição: Se duas ou mais ondas progressivas se propagam através de um dado meio, a função de onda resultante em cada ponto é a soma algébrica das funções de onda das ondas individuais. Nem todas as ondas obedecem ao princípio da sobreposição. As que obedecem chamam-se ondas lineares e as que não obedecem chamam-se ondas não-lineares. Uma as consequências do princípio de sobreposição é que duas ondas progressivas podem passar uma pela outra sem se alterar. Imaginemos uma onda que vem da esquerda e outra que vem da direita. Para simplicar a visualização, imaginemos que são duas bossas que se deslocam. Enquanto as duas bossas estão muito distantes vemo-las claramente diferenciadas, aproximando-se uma da outra. Quando as bossas se encontram as suas amplitudes somam-se e se ambas forem positivas a bossa resultante tem uma altura igual à soma das alturas individuais. Depois as bossas separam-se de novo, cada uma viajando na sua direcção e de novo as vemos claramente diferenciadas. O efeito da sobreposição de ondas pode ver-se claramente numa tina de ondas. Numa tina de ondas duas esferas batem periodicamente na água, produzindo ondas que podemos observar. No caso da gura 3.19 vemos claramente a sobreposição das ondas produzidas por cada esfera. Figura 3.19: Sobreposição numa tina de ondas. Vemosaindaopadrãoqueseproduzentreasesferasporcausadasobreposição. É o padrão de interferência. Podemos também observar a sobreposição das ondas produzidas pela queda de gotas num tanque, como se vê na gura 3.20 :

48 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO ONDULATÓRIO Figura 3.20: A sobreposição das ondas provocadas pela queda de gotas num tanque. Vejamos agora em mais detalhe a evolução de duas ondas progressivas, desde que se dirigem uma para a outra até que se voltam a afastar. O processo está descrito nas guras 3.21 e 3.22. Estas duas últimas guras permitem-nos compreender as noções de interferência construtiva e de interferência destrutiva. No caso da gura 3.21 as amplitudes das duas ondas somam-se e a resultante é maior que cada amplitude individual. Trata-se de interferência construtiva. Figura 3.21: A sobreposição de duas ondas progressivas numa corda, com interferência construtiva. No caso da gura 3.22 as amplitudes das duas ondas subtraem-se (a soma algébrica de uma amplitude positiva e uma amplitude negativa) e a resultante é menor que cada amplitude individual. Trata-se de interferência destrutiva.

3.9. REFLEXÃO E TRANSMISSÃO DE ONDAS 49 Figura 3.22: A sobreposição de duas ondas progressivas numa corda, com interferência destrutiva. 3.9 Reexão e Transmissão de ondas 3.9.1 Descrição geral O que é que acontece quando uma onada (onda incidente) que se propaga num meio (por exemplo, água) chega a outro meio (por exemplo, ar)? De uma forma geral dão-se dois processos, ilustrados na gura 3.23: Reexão: parte da energia da onda é reenviada para o meio de origem (no caso do exemplo, a água) na forma de uma onda reectida. Transmissão: a parte restante da energia atravessa para o outro meio (no caso do exemplo, o ar) na forma de uma onda transmitida. Tanto a onda reectida como transmitida têm menor amplitude do que a onda incidente. Em ambos os casos pode ou não dar-se uma inversão da onda. Para entender melhor o que isto quer dizer comecemos por observar a gura 3.24.

50 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO ONDULATÓRIO Figura 3.23: Ondas incidente, reectida e transmitida. Nesta gura uma onda propaga-se numa corda à qual está xa. Quando a onda se aproxima do ponto de xação dá-se a reexão: a onda volta para trás. Podemos ver na gura que, além de voltar para trás, a onda também é invertida: a bossa transforma-se numa depressão após a reexão. Este fenómeno dá-se com uma onda numa corda, mas também se dá de uma forma geral com outras ondas. No caso da corda precisamos de aprender uma lei básica da física para compreender o seu comportamento: é a lei da acção-reacção, ou 3 a lei de Newton. Lei da acção-reacção: se um corpo 1 exerce uma força num outro corpo 2, este reage exercendo uma força igual e de sentido oposto no corpo 1. É por isso que nos dói dar um murro na parede: porque ela exerce uma força igual e de sentido contrário na nossa mão! Assim, vemos que quando a onda chega à parede a corda exerce uma força para cima (a corda tenta ccontinuar o seu movimento, o que implicaria puxar para cima as partículas da parede). Então, pela lei da acção-reacção, a parede exerce uma força igual e para baixo na corda. Assim as partículas da corda são puxadas para baixo e a onda reectida passa a propaga-se como uma depressão e não como uma bossa. Mas nem sempre a onda é reectida om inversão. Para ilustrar este ponto vejamos agora a gura 3.25.

3.9. REFLEXÃO E TRANSMISSÃO DE ONDAS 51 Figura 3.24: Reexão com inversão. Nesta gura a orda está xa a um poste através de uma argola muito leve, o que quer dizer que a extremidade da corda se pode mover. Assim, quando a onda chega ao poste a argola move-se para cima. A certa altura a argola já não pode subir mais porque a corda começa a car tensa. Então a argola omeça a descer, originando uma onda reetida que não é invertida. No caso da reexão só há um meio e uma fronteira (corda e parede ou poste). Mas, omo indicado na gura 3.23, o caso geral inclui dois meios de propagação. Podemos também ilustrar este ponto com cordas, imaginando que uma ligação entre duas ordas de propriedades físicas diferentes (diâmetros diferentes, por exemplo). O primeiro caso possível está ilustrado na gura 3.26. Uma onda numa corda leve incide na junção com uma corda pesada. Vai resultar uma onda reectida e uma onda transmitida. A onda transmitida propaga-se na corda mais pesada no sentido inicial. Como a corda mais pesada vai apresenta maior inércia, é de esperar que a onda transmitida tenha muito menor amplitude do que a incidente. Além disso a onda transmitida não é invertida relativamente à onda incidente. A onda reectida propaga-se de novo na corda mais leve. Como a amplitude do movimento da junção é muito pequena comparativamente à amplitude da onda, dá-se um processo muito pareceido com o da gura 3.24 e a onda reectida é invertida. Também se espera que a amplitude da onda reetida seja maior do que a da transmitida.