MODELAGEM MATEMÁTICA DA EVAPORAÇÃO ATRAVÉS DE DADOS EXPERIMENTAIS DO TEOR DE ÁGUA DO SOLO

MODELAGEM MATEMÁTICA DA EVAPORAÇÃO ATRAVÉS DE DADOS EXPERIMENTAIS DO TEOR DE ÁGUA DO SOLO GT 04 Modelagem Matemática Marcia Fritsch Gonçalves UNIJUÍ marcia_fgo@hotmail.com Dr. Pedro Augusto Pereira Borges UNIJUÍ pborges@unijui.edu.br Resumo: A conservação da água do solo é um problema que aumenta sua importância nos dias atuais devido aos desequilíbrios no clima e a necessidade de irrigar plantações. Sua conservação no solo requer o conhecimento dos processos envolvidos na evaporação e na dinâmica da água no solo. A evaporação é um fenômeno associado à perda de vapor de água do solo para a superfície, os principais fatores que determinam sua intensidade são: textura, teor de água e temperatura do solo, intensidade da radiação solar, temperatura do ar e intensidade dos ventos superficiais. Este trabalho tem como objetivo produzir dados experimentais sobre as variações do teor de água em uma coluna de solo submetida a diferentes processos de evaporação, para alimentar um modelo matemático de cálculo da evaporação na fase potencial, considerando apenas as variações do teor de água do solo. Palavras-chave: Teor de Água, Evaporação; Problemas Inversos. Introdução A água é um dos principais elementos no processo de nutrição das plantas e o desenvolvimento de técnicas para sua conservação no solo, requer o conhecimento dos processos envolvidos na evaporação e na dinâmica da água no solo. A evaporação tem sido pesquisada (REICHARDT, 1990) sob diversos aspectos, principalmente relacionada com a evapotranspiração e a influência das condições meteorológicas. A evaporação tem influência de vários fatores, dentre eles os mais importantes são a textura, o teor de umidade e a temperatura do solo, a intensidade da radiação, a temperatura do ar e a intensidade dos ventos superficiais. A determinação das condições de superfície são complexas, imprecisas e trabalhosas (controle de umidade do ar, velocidade do vento e radiação). Por isso é necessário pesquisar técnicas que avaliem a evaporação em função da quantidade efetiva de água retirada do solo, tendo como dado empírico as condições de solo. As transferências de água do solo para a atmosfera ocorrem através de dois fenômenos: a transpiração (trocas de água resultante do metabolismo das plantas) e a evaporação (água na forma de vapor trocada na superfície do solo). Os dois processos de transferência são conhecidos na literatura como evapotranspiração. A evaporação da água é de grande importância quantitativa, pois pode responder por cerca de 50% da evapotranspiração,

durante o ciclo de uma cultura agrícola. Por isso, a pesquisa sobre os fatores que determinam à evaporação é importante, e tem como objetivo minimizar esta, possibilitando a conservação de maior quantidade de água no solo (BERLATO & MOLINA, 1981). Na literatura, é consenso descrever a evaporação da água do solo sob condições atmosféricas constantes, com três fases distintas: 1ª) Evaporação Potencial é caracterizada pela disponibilidade total de água no solo, o que leva a admitir a existência de uma evaporação constante em relação ao tempo, ou seja, taxa de variação da evaporação nula em relação ao tempo; 2ª) Evaporação Real é caracterizada pela redução do teor de umidade do solo próximo à superfície, o que faz com que a taxa de variação da evaporação diminua; 3ª) Evaporação praticamente nula é caracterizada pelo baixo teor de água no solo. As dificuldades de simulação das condições de superfície motivam a criação de métodos alternativos para o cálculo da evaporação. Este trabalho tem como objetivo produzir dados experimentais sobre as variações do teor de água em uma coluna de solo submetida a diferentes processos de evaporação, para calcular a evaporação total e transiente e usar a técnica de resolução do problema inverso. Posteriormente será feita a comparação no desempenho dos modelos para solos com diferentes composições (areia, argila e silte) e com diferentes condições de superfície. 1 - Materiais e métodos experimentais A pesquisa é composta por duas fases: a experimental e a teórica. A fase experimental consiste na preparação e execução dos experimentos de monitoramento do teor de água no solo para obtenção de dados experimentais próprios sobre a evaporação. Já, a fase teórica, consiste na elaboração de modelos matemáticos com diferentes hipóteses de taxa de evaporação; desenvolvimento de programas computacionais para resolução do problema direto e inverso para a dinâmica da água no solo e do cálculo da evaporação, respectivamente, validação dos modelos e análise desses resultados. 1.1 - Materiais e procedimentos experimentais Foram utilizados quatro tipos de solos, com diferenças significativas na proporção de argila e areia. Depois de homogeneizados, os solos foram acondicionados em cilindros metálicos de raio = 0,20m e altura = 0,3m, com fundo vazado e protegido apenas por uma malha de tecido. O teor de água do solo das amostras foi monitorado através de transdutores térmicos (Borges e Souza, 2007) em diferentes profundidades (como ilustram a Fig. 1), no

intervalo de tempo de três dias. Foi considerado que as variações do teor de água nas direções r e ϕ são nulas, resultando em uma interpretação unidimensional do movimento da água. Os transdutores foram posicionados conforme um espiral, para que a interferência de um sobre o outro fosse mínima. Figura 1 Esquema de coleta de dados; (a) Esquema geral; (b) Posição dos transdutores (vista superior) e (c) Posição dos transdutores (vista lateral) 1.2 - Modelagem matemática da evaporação Os dados obtidos experimentalmente foram utilizados para calcular a evaporação instantânea e total, através da aplicação de modelos matemáticos, considerando as seguintes hipóteses: Primeira, o fluxo de evaporação é constante; Segunda, os dados de teor de água na superfície são ajustados linear e exponencialmente. Ambas as hipóteses são condições de fronteira de superfície para o problema da dinâmica da água em uma coluna de solo não saturado, modelado através da equação de Richards, em uma dimensão (problema direto). Na primeira hipótese a evaporação é estimada resolvendo o problema inverso, minimizando a diferença entre os teores de água experimentais e simulados, em diversos pontos da coluna de solo. Na segunda hipótese o teor de água da camada superficial é ajustado (problema inverso) de acordo com os dados experimentais e usado como condição de fronteira do problema direto. Devido a não linearidade da equação de Richards, a solução foi implementada numericamente pelo Método das Diferenças Finitas, usando o esquema explícito de avanços temporais, desenvolvido com programa próprio. Considerando a forma das amostras e as condições experimentais descritas no item 1.1 foi desenvolvido um modelo matemático para o cálculo da evaporação na forma de uma equação diferencial parcial, com condições de fronteiras considerando duas possibilidades:

primeira e segunda espécie. A equação de Richards, cuja dedução pode ser encontrada em Libardi (1995), é conhecida e usada amplamente para descrever a dinâmica da água em solos, cuja massa específica e textura são homogêneas em todos os pontos. Para problemas onde se assume que as derivadas do potencial matricial não variam significativamente nas direções X e Z, pode-se escrever a Equação de Richards na forma unidimensional; Θ Ψm K ( Θ) = K( Θ) + 0 < z < H e t > (1) t z z z onde Θ é o teor de água adimensional Ψ m é o potencial matricial (cm H 2 0) K é a condutividade hidráulica (cm/s) z é a altura de solo, (cm) H é a altura da coluna de solo (cm) e t é o tempo (dias) A Equação (1) utiliza o potencial matricial e o teor de água do solo como variáveis. Para resolvê-la é necessário conhecer a relação entre estas variáveis, com parâmetros específicos do solo pesquisado, para que o problema tenha apenas uma variável de estado, uma variável espacial e uma temporal. A equação de Van Genuchten (1980) (Eq; 2) relaciona o potencial matricial e o teor de água. Os parâmetros a, m e n desta equação são determinados por ajuste de curvas não-linear, com dados experimentais obtidos especificamente para cada solo, os quais também são usados na equação de Muhalem, para o cálculo da condutividade hidráulica, de acordo com Van Genuchten (1980). ψ m 1 a n 1 m = Θ 1 (2) Onde a, m e n são parâmetros reais. Se o teor de água é conhecido em z = 0 a condição de contorno na superfície é de primeira espécie e variável em função do tempo: Θ(0,t)=f(t) para t > 0 (3)

onde f(t) é uma função do tempo obtida a partir dos dados experimentais (adimensional). Se o fluxo de água é conhecido em z = 0, como é o caso da evaporação, a condição de contorno na superfície é de segunda espécie. Para os dados experimentais disponíveis a evaporação é constante. q " (0,t ) = E para t > 0. (4) onde E é a evaporação (cm/dia). 1.1.2-Cálculo da evaporação Segundo Reichardt (1968) na primeira fase a evaporação é constante. Nesse caso, a taxa de variação de E em relação ao tempo e ao teor de água médio são nulas. E E = t θ m = 0 e θm t = k. (5) A hipótese de E constante, significa que há água disponível nas primeiras camadas de solo para ser evaporada, independentemente do potencial das condições atmosféricas. Com isso, admite-se que as camadas mais profundas de solo disponibilizem água para abastecer as camadas superficiais. Neste trabalho, foram desenvolvidas duas hipóteses para calcular a evaporação: 1ª Hipótese: Fluxo de água evaporada constante em relação ao tempo. O fluxo de água que sai do solo na forma de vapor de água, por unidade de área e tempo é definido como a evaporação, na forma da equação V E = E (6) A t onde E é o fluxo de água evaporada (cm/dia), V E é o volume de água evaporada (cm 3 ) A é a área de solo (cm 2 ) e t é o intervalo de tempo (dia).

A implantação da condição de fronteira em z = 0 tem que considerar a saída (evaporação) e a entrada de água (movimento ascendente da água no solo), na primeira célula, pois o teor de água nesta célula não é calculado pela Equação 1. Para implantar numericamente a condição de fronteira em z = 0, para cada instante de tempo foi feito um balanço de massa nas primeiras células da coluna de solo: a variação do volume de água da célula da superfície é a diferença entre os volumes que entram e saem desta célula. Vw = Ve VE (7) onde V w é a variação do volume de água na célula (cm 3 ) V e é o volume de água que entra na célula da superfície (cm 3 ) V E é o volume de água evaporada (cm 3 ). O volume de água que entra na célula da superfície, proveniente da célula imediatamente abaixo foi calculado com base na Lei de Darcy (LIBARDY, 1995): o fluxo de vapor de água é proporcional ao gradiente do potencial matricial entre as duas primeiras células. Ψ t Ψ t q = K( θ )A 2 1 (8) z onde q é o fluxo de água que atravessa uma seção de solo (cm 3 /dia) t ψ j é o potencial matricial na célula j e instante t (cmh 2 0) A é a área da seção de solo (cm 2 ) e K é a condutividade hidráulica (cm/dia) z é o comprimento de cada célula (cm). Todos os elementos do lado direito da equação (8) são conhecidos, portanto o fluxo de água pode ser calculado para cada iteração temporal e se multiplicado pelo intervalo de tempo, resulta no volume de água que entra na célula da superfície.

V e = q t (9) O volume de água evaporada é obtido resolvendo a equação (6) para V E. VE = EA t (10) Levando as equações (9) e (10) na equação (7) e denotando V w =V o V f obtém-se o volume de água final na célula da superfície. V f t t Ψ V K( )A 2 Ψ = 1 o + θ t EA t (11) z Usando esta hipótese, o volume de água presente na célula da superfície foi calculado com a Eq. (11) a cada iteração temporal, com o valor de E estimados de modo minimizar a soma do quadrado das diferenças (Eq.12) entre os teores de água experimentais e os calculados. d n i i 2 = ( Θ exp Θest ) (12) i= 1 onde d é a soma dos erros da estimativa da evaporação (adimensional) Θ exp é o teor de água experimental (adimensional) e Θ est é o teor de água estimado (adimensional). O teor de água na célula da superfície foi calculado por V f θ (0,t ) = (13) Vs onde V s é o volume de solo da célula (cm 3 ). 2ª Hipótese: O teor de água da primeira célula é ajustado de acordo com os dados experimentais. A hipótese 2 tem como base simplesmente os dados experimentais da camada superficial de solo. Duas alternativas foram consideradas: a) Ajuste linear: analisando a distribuição dos dados do teor de água na primeira camada de solo em Reichardt (1998), foi observado que para uma parcela significativa do tempo monitorado, tais dados apresentam tendência linear. Essa observação tem

sentido, pois o teor de água médio o qual é influenciado diretamente pelo teor de água da superfície tem taxa de variação negativa e constante, de acordo com a Eq. (13). Assim, o teor de água da primeira célula foi calculado ajustando os dados experimentais de acordo com a equação θ ( t ) = at + b (14) onde a e b são parâmetros de ajuste e θ(t) é o teor de água da primeira célula para cada instante de tempo(cm 3 / cm 3 ). b) Ajuste exponencial: considerando a distribuição dos dados do teor de água na primeira camada de solo em Reichardt (1998), foi observado que no final do intervalo aparentemente linear, a taxa de variação do teor de água tende a zero, podendo caracterizar a passagem para a segunda fase de evaporação, com uma tendência assintótica para o teor de umidade residual. θ ( t ) = ( θ )e ct 1 θ r + θr (15) onde c é um parâmetro de ajuste, θ 1 é o teor de água da primeira célula no instante t = 0 dia (cm 3 / cm 3 ) θ r é o teor de água residual (cm 3 / cm 3 ). 2-Análise dos resultados Os modelos foram testados em dados existentes na literatura em REICHARDT, 1968, obtendo-se uma primeira avaliação, já que se dispunha de poucas informações sobre os solos testados. A Figura 2 apresenta uma simulação da evaporação em função do tempo e do espaço. As pequenas variações em t = 0 s são devido às condições iniciais do teor de água na coluna de solo, que não são regulares. As Figura 3 a 5 apresentam simulações e dados experimentais referentes ao solo Ibitiruna, obtidas em REICHARDT, 1968. A Na Figura 3 foi utilizada a hipótese 1, com evaporação constante, senso que o modelo descreve eficientemente as variações do teor de água. É importante observar o comportamento não linear da curva da primeira camada de solo e o gradual acompanhamento das curvas referentes às outras

profundidades. Esta não linearidade mostra que mesmo com a hipótese de evaporação constante, a taxa de variação do teor de água não é constante, pois as camadas inferiores abastecem a primeira camada de acordo com a sua disponibilidade de água e a condutividade hidráulica é variável, pois depende é função do valor do teor de água. 1 0.5 0 Teor de água (ad) 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 exp z=0 exp z=4 exp z=8 exp z=16 cal z=0 cal z=4 cal z=8 cal z=16 10 8 6 4 2 0 10 20 30 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 12 tempo (h) Figura 2 - Hipótese 1. Evap. potencial Figura 3 - Hipótese 1. Evap. potencial Evap. Medida = 0,8 cm/dia Evaporação calculada= 0,758 cm/dia. Nas Figuras 4 e 5 pode-se observar que ambas as alternativas linear e exponencial descrevem razoavelmente bem a distribuição da água no solo. Porém, a distribuição linear tende a zero nos últimos instantes monitorados, enquanto que a exponencial descreve melhor a passagem para a segunda fase de evaporação, quanto o teor de água na superfície varia com pequenas taxas. Figura 4 - Hipótese 2 Linear. Figura 5 - Hipótese 2 Exponencial. Evaporação medida= 0,8 cm/dia. Evaporação medida= 0.8 cm/dia. Evaporação calculada= 0,7467cm/dia Evaporação calculada= 0.779 cm/dia. 3-Conclusão

A aplicação dos modelos para dados da literatura mostrou que: 1 o ) Tanto os modelos de ajuste dos teores de água da primeira camada (2 a. hipótese) como os modelos de fluxo de água na superfície (2 a. hipótese) com fluxo constante e fluxo variável) expressam razoavelmente a tendência dos dados. Porém, a primeira hipótese apresenta mais distorções do que a segunda. 2 o ) A hipótese 2 não implica em evaporação constante para todos os instantes de tempo. Porém, após as primeiras horas, E/ t tem pequenas variações, sugerindo um comportamento E próximo de uma reta constante, o que concorda parcialmente com a tese das etapas de evaporação. Ou seja, existe um período de tempo significativo em que a evaporação tem tendência constante. 3 o ) Ambas as alternativas linear e exponencial descrevem razoavelmente bem a distribuição da água no solo. Porém, a distribuição linear faz com que o teor de água tenda a zero nos últimos instantes simulados, enquanto que a exponencial descreve melhor a passagem para a segunda fase de evaporação, quanto o teor de água na superfície varia com pequenas taxas. Dessa forma, a alternativa exponencial é vantajosa em relação à linear, porque pode ser usada em dados que ultrapassem a primeira fase de evaporação. Mesmo quando o teor de água da primeira camada apresentar taxas variáveis, a exponencial poderá dar conta dessa variação. O mesmo não ocorre com a alternativa linear. O trabalho experimental para aquisição de dados próprios sobre evaporação esta em andamento, ampliando assim o número de testes dos modelos, acrescentando variação do tipo e cobertura dos solos. Referências BORGES, P.A.P. e PAROLIN, R. de S. Construção e análise de um sensor térmico para medir o teor de água do solo. In: In: XXX International Congress of Mechanical Engineering, Novembro, 2007. Brasilia. CD-ROM., Brasília, 2007. BERLATO, M.A.; MOLINA, L.C.B. Evaporação e evapotranspiração. Porto Alegre: IPAGRO,1981. 95p.IPAGRO. Boletim Técnico, 7. KLAR, Antonio E. A água no sistema solo-planta-atmosfera. São Paulo:Nobel S.A.,408p., 1982. LIBARDI, P.L. Dinâmica da água no solo. Piracicaba: P.L. Libardi, 497p. cap.7:movimento da água no solo, 1995. REICHARDT, Klaus. A água em sistemas agrícolas. São Paulo: Manole LTDA, 188p. 1990.

REICHARDT, K. Estudo do processo de evaporação da água solo. Piracicaba: ESALQ, (Tese de Livre Docência). Escola Superior de Agricultura Luis de Queiroz, Universidade de São Paulo, 95p. 1968. VIONE, Marcio T. Modelagem matemática da evaporação da água do solo. Dissertação de Mestrado. Mestrado em Modelagem Matemática. UNIJUI: Ijuí, 2007