Introdução as Leis de Conservação e Aplicações

Universidade Federal de Juiz de Fora Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática William Massayuki Sakaguchi Yamashita Introdução as Leis de Conservação e Aplicações Juiz de Fora 2014

William Massayuki Sakaguchi Yamashita Introdução as Leis de Conservação e Aplicações Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Departamento de Matemática da Universidade Federal de Juiz de Fora, como parte integrante dos requisitos necessários para obtenção do grau de Bacharel em Matemática. Orientadora: Dra. Lucy Tiemi Takahashi. Juiz de Fora 2014

Yamashita, William Massayuki Sakaguchi. Introdução as Leis de Conservação e Aplicações / William Yamashita. 2014. 49f. : il. Trabalho de Conclusão de Curso (Departamento de Matemática) Universidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, 2014. 1.Leis de Conservação. 2.Equações Diferenciais Parciais. 3.Ondas de Choque. 4.Ondas de Rarefação. I. Título.

AGRADECIMENTOS Ao finalizar este Trabalho de Conclusão de Curso indicando o final do percurso da Graduação, meta conseguida com muito esforço e trabalho, para o qual interviram pessoas que colaboraram para cumprir este objetivo. Quero agradecer a minha orientadora, Dra. Lucy T. Takahashi e o professor Dr. Grigori Chapiro pela paciência, tempo, apoio e dedicação para me orientar. Muito obrigado Professores. Aos professores Dr. Eduard Toon e Drª. Valéria Mattos da Rosa por aceitarem participar da banca examinadora. Agradeço ao Departamento de Matemática da Universidade Federal de Juiz de Fora, aos professores, pessoal administrativo e funcionários que contribuíram na minha formação. A meus pais, minha mãe Regina, que sempre acreditou e me apoiou nos meus objetivos, ao meu pai e ao meu avô, que mesmo não estando aqui, sei que me protegem. A todos meus amigos, que compartilharam comigo tempo de estudo, conversas e brincadeiras, tornando estes anos de estudos mais leves. É claro, não poderia esquecer aos meus amigos especiais: a Gisele pelos 5 anos de muito estudo, amizade e paciência, aos meus irmãos Wilker e Pedretti pelas diversões, festas e muito futebol, à Karen, Ceili e Marina pelas conversas, brincadeiras e abraços, ao Gladston pelas ajudas e brincadeiras e ao ICEberg F. C. time formado por amigos do ICE que me proporcionou muita experiência no futebol, além de diversão e amizades. Obrigado a todos os amigos que fiz nestes 5 anos em Juiz de Fora.

RESUMO Muitos fenômenos que ocorrem na Ótica, Eletricidade, Ondulatória, Magnetismo, Mecânica, Fluídos, Biologia, e etc., podem ser descritos através de uma equação diferencial parcial. Muitas destas equações diferenciais parciais são obtidas através de Leis de Conservação. Leis de conservação são essencialmente leis de balanceamento, expressando o fato de que alguma quantidade mensurável se mantém constante, ou seja, conservada. Assim, o objetivo deste trabalho é apresentar um estudo introdutório às Leis de Conservação. Começamos abordando os conceitos básicos e estudos dos casos lineares e não-lineares. Apresentamos os conceitos de dois importantes componentes no estudo de soluções de leis de conservação: as ondas de choque e as ondas de rarefação. Apresentamos também o conceito de problema de Riemann e solução fraca para as leis de conservação. Como aplicações desses conceitos, descrevemos os fenômenos que aparecem nas soluções das equações que modelam o fluxo de trânsito nas cidades e escoamento em meios porosos. Palavras chave: Leis de Conservação. Equações Diferenciais Parciais. Ondas de Choque. Ondas de Rarefação.

ABSTRACT Many phenomena occurring in Optics, Electricity, Undulating, Magnetism, Mechanics, Fluids, Biology, and others, they can be described by a partial differential equation. Many of these partial differential equations are obtained by Conservation Laws. Laws of conservation laws are essentially balanced, expressing the fact that some measurable quantity remains constant, in other words, it s conserved. The objective of this work is to present an introductory study of the Laws of Conservation. We begin by addressing the basics and studies of linear and nonlinear cases. We introduce the concepts of two important components in the study of solutions of conservation laws: the shock waves and rarefaction waves. We also present the concept of Riemann problem and weak solution to the conservation laws. As applications of these concepts, describe the phenomena that appear in the solutions of the equations that model the flow of traffic in cities and flow in porous media. Key-words: Conservation Laws. Partial Differential Equations. Shock waves. Rarefaction waves.

LISTA DE FIGURAS 2.1 Um fluido que atravessa um tubo com velocidade constante c em uma dimensão..................................... 17 2.2 Interseção das características.......................... 21 2.3 Construção das características.......................... 22 2.4 Condição inicial para o problema de Riemann................. 23 2.5 Solução do problema de Riemann no plano xt................. 24 3.1 (a) Curvas características. (b) Curva de choque................ 29 3.2 Curvas características para uma onda de contato............... 32 4.1 Curvas características para uma onda de rarefação.............. 37 5.1 Gráfico da função de fluxo com a modelagem acima.............. 40 5.2 Característica para o caso do tráfego com sinal fechado............ 41 5.3 Curva do choque para o caso 0 < u 0 < u 1 /2.................. 41 5.4 A região sem características quando o sinal passa da luz vermelha para a luz verde..................................... 42 5.5 A solução para o PVI 5.9............................ 44

SUMÁRIO 1 Introdução 10 2 Leis de Conservação 13 2.1 Exemplos.................................. 13 2.1.1 Equação de Burgers............................. 14 2.1.2 Equação da Continuidade: Caso Homogêneo............... 14 2.1.3 Equação da Continuidade: Caso Não-Homogêneo............ 15 2.2 Leis de Conservação Lineares....................... 16 2.2.1 O Problema Homogêneo.......................... 16 2.2.2 O Problema Não-homogêneo........................ 19 2.3 Leis de Conservação Não-Lineares..................... 20 2.4 Problema de Riemann........................... 23 2.5 Soluções Fracas............................... 24 3 Choques 27 3.1 Condição de Choque de Rankine-Hugoniot................ 27 3.2 Condição de Entropia............................ 29 3.3 Contato................................... 31 4 Rarefação 33 5 Aplicações de Leis de Conservação 38

5.1 Um Modelo de Fluxo de Trânsito..................... 38 5.1.1 Tráfego no sinal fechado.......................... 40 5.1.2 Tráfego no sinal aberto........................... 41 5.2 Escoamanto em um meio poroso...................... 45 6 Conclusão 47 Referências 48

10 1 Introdução Muitos fenômenos que ocorrem na Ótica, Eletricidade, Ondulatória, Magnetismo, Mecânica, Fluídos, Biologia, e etc., podem ser descritos através de uma equação diferencial parcial. Uma equação diferencial parcial (EDP) é uma equação matemática envolvendo derivadas parciais, ou seja, uma expressão da forma ( F x 1,..., x n, u, u ) 2 u m u,,..., = 0, (1.1) x i x i x j x i... x im onde x = (x 1,..., x n ) pertence a algum domínio Ω R n e u : Ω R é uma função com derivadas parciais até a ordem m. Uma solução para uma equação diferencial parcial é uma função que satisfaz a equação. Dizemos que uma equação diferencial parcial tem ordem m quando a derivada parcial de ordem mais alta tem ordem m. Uma das distinções mais fundamentais entre equações diferenciais parciais é aquela entre equações lineares e não lineares [2]. Definição 1.1. Dizemos que a EDP 1.1 é linear se F é linear em relação a u e a todas as suas derivadas parciais. Caso contrário, a EDP é não linear. Dependendo do tipo da não linearidade, as EDP s não lineares são classificadas da seguinte forma Equações semilineares: quando F é não linear somente com relação a u, mas é linear com relação a todas as suas derivadas parciais. Equações quasilineares: quando F é linear somente com relação às derivadas parciais da ordem da equação. Equações totalmente não-lineares: quando F é não-linear com relação às derivadas parciais da ordem da equação.

11 Exemplo 1.1. Alguns exemplos de Equações Diferenciais Parciais 1. Equação do calor: u t = a 2 u xx 2. Equação do calor: u t = a 2 (u xx + u yy ) 3. Equação da Onda: u tt = a 2 u xx 4. Equação da Onda: u tt = a 2 (u xx + u yy ) 5. Equação de Laplace: u xx + u yy = 0 6. Equação de Laplace: u xx + u yy + u zz = 0 Consideremos a EDP linear de 2ª ordem nas variáveis independentes x, y e na variável dependente u = (x, y) sobre um conjunto Ω R 2, da seguinte forma Au xx + Bu xy + Cu yy + Du x + Eu y + F u + G = 0, (1.2) onde os coeficientes são as funções A, B, C, D, E e F dependem das variáveis x, y e para todo (x, y) ω, temos que A 2 (x, y) + B 2 (x, y) + C 2 (x, y) 0 e G = G(x, y) é uma função real definida sobre Ω R 2. As EDP s lineares de 2ª ordem podem ser classificadas, dependendo de = B 2 4AC, como Hiperbólica ( > 0), Elíptica ( < 0) e Parabólica ( = 0), [15]. Muitas das equações diferenciais parciais que aparecem nas ciências naturais são obtidas através de Leis de Conservação. Leis de conservação são essencialmente leis de balanceamento, expressando o fato de que alguma quantidade mensurável ser balanceada (ou seja, conservada). Aqui, o termo substância pode indicar uma substância realmente material, ou até mesmo um conceito abstrato, tal como energia ou uma população de animais. Por exemplo, a primeira lei da termodinâmica é a lei de conservação da energia: a variação de energia interna de um sistema é igual ao calor total adicionado ao sistema mais o trabalho realizado sobre o sistema. Como um outro exemplo, considere um fluido escoando em alguma região do espaço, consistindo de substâncias sofrendo reações químicas: para cada substância química individual, a taxa de variação da quantidade total da substância na região é igual

12 à taxa com que a substância flui para dentro da região, menos a taxa com que ela flui para fora da região, mais a taxa com que ela é criada, ou consumida, pelas reações químicas. Como último exemplo, a taxa de variação de uma dada população de animais em uma região é igual à taxa de nascimentos, menos a taxa de mortes, mais a taxa de migração para dentro ou fora da região. Matematicamente, leis de conservação traduzem-se em equações integrais, de onde podem ser deduzidas equações diferenciais, na maior parte dos casos. Estas equações descrevem como o processo evolui com o tempo. Neste trabalho, nossa atenção está focada nos conceitos sobre Leis de Conservação. No Capítulo 2, daremos uma introdução sobre Leis de Conservação, com os conceitos básicos e estudos dos casos lineares e não-lineares. No Capítulo 3, estudaremos as soluções em forma Ondas de Choques. Apresentaremos condições para que esta solução exista e um caso particular de choque. No Capítulo 4, passaremos para soluções na forma de Rarefações. No Capítulo 5, faremos aplicações simples em fluxo de trânsito e escomento em meios porosos. No Capítulo 6, teremos nossas considerações finais.

13 2 Leis de Conservação Neste capítulo, serão apresentadas propriedades matemáticas para a aproximação da solução de equações na forma conservativa. A modelagem dinâmica de fenômenos físicos é frequentemente baseada em princípios físicos chamados Leis de Conservação, que podem ser escritas na forma u t + f(u) x = 0, (2.1) onde u = (u 1,..., u n ) R n representa as variáveis de estado, n > 1, (x, t) Q := R R +, f : R n R n. Uma dificuldade que estas equações apresentam é que nem sempre elas admitem soluções clássicas. As soluções deste tipo de equação são estudadas para o problema de Riemann, cuja solução é uma sequência de ondas. Introduziremos de forma gradativa os conceitos de ondas viajantes, de choque, de contato e de rarefação, presentes no estudo de fenômenos de ondas não-lineares. A seguir apresentaremos alguns exemplos importantes de Leis de Conservação. Depois falaremos de Leis de Conservação Lineares em geral e algumas técnicas que nos ajudem a resolvê-las. 2.1 Exemplos Como nosso primeiro exemplo apresentaremos a Equação de Burgers. A seguir, teremos uma equação de primeira ordem, chamada Equação de Continuidade, mostrando em primeiro lugar como ela é obtida da Lei de Conservação da Massa. Teremos dois casos para analisar, o caso homogêneo e o não-homogêneo.

14 2.1.1 Equação de Burgers Um exemplo de grande importância dentro das Leis de Conservação, é a Equação de Burgers, atualmente chamada de Equação de Burgers sem viscosidade. Ela é dada por u t + uu x = 0. (2.2) Esta equação foi introduzida originalmente por J. M. Burgers em seus estudos sobre turbulência em fluidos, aparecendo como um modelo básico em diversos outros fenômenos onde efeitos de adveccção não-lineares e difusão linear desempenham papel importante [14]. 2.1.2 Equação da Continuidade: Caso Homogêneo Em uma dimensão, essa equação pode ser obtida, por exemplo, com um problema de dinâmica de gás. Um fluido em um tubo, onde as propriedades do gás como densidade e velocidade são assumidas constantes através de cada seção do tubo. Seja x a distância ao longo do tubo e seja ρ(x, t) a densidade do gás no ponto x e tempo t. A taxa de transferência de massa de um fluido especificado ao longo de uma certa direção é chamada o fluxo de massa. A densidade do fluxo de massa ϕ é a taxa de transferência de massa por unidade de área. V é o campo de velocidades de escoamento do fluido, o fluxo de massa é dado por ϕ = ρv. (2.3) Estamos assumindo que o transporte da substância no espaço é totalmente devido ao movimento do fluido, isto é, à convecção. Note que a densidade ρ(x, t) de um fluido, assim como o seu campo de velocidades V (x, t), são funções da posição no espaço e do instante de tempo considerado, onde x = (x 1, x 2,..., x n ) R n (n 3 no modelo físico) e t R. A lei de conservação da massa pode ser expressa matematicamente em forma integral da seguinte forma. Seja Ω R n uma região do espaço fixada por onde o fluido atravessa; Ω é comumente chamado de um volume de controle. Aplicado a este volume de controle, o princípio físico fundamental de que a massa é conservada significa que

15 Taxa de transferência de Taxa de variação (i) massa através da fronteira = da massa dentro do (ii) do volume de controle volume de controle. O lado esquerdo (i) é dado pela integral do fluxo ϕ(x, t)ds = ρv ds. (2.4) Ω Ω Como o fluxo é para fora da região, o sinal é negativo. O lado direito (ii) é dado por d ρ(x, t)dv, pois a massa é m(t) = ρ(x, t)dv. dt Ω Ω Assim, obtemos a equação integral ρv ds + d dt ρ(x, t)dv = 0. (2.5) Ω Ω Esta é a nossa Lei de Conservação da Massa. Agora, utilizando o Teorema da Divergência, para obtermos a equação diferencial. ρv = div(ρv ) (2.6) Aplicando em (2.5) Ω Ω [ ρ t Ω + div(ρv )] = 0. (2.7) Como isto é válido para qualquer volume de controle Ω arbitrário, obtemos a Equação de Continuidade ρ t + div(ρv ) = 0. (2.8) Ela é equivalente à Lei de Conservação da Massa: elas expressam o mesmo fenômeno em formulações diferentes, uma integral e outra diferencial [2]. 2.1.3 Equação da Continuidade: Caso Não-Homogêneo Existe a possibilidade de que massa seja criada ou destruída através de alguma fonte interna ou externa (por exemplo, reações químicas, processos nucleares, etc.) [2]. Neste caso, o princípio físico de conservação da massa precisa ser reescrito como

16 (i) (ii) (iii) Taxa de transferência de Taxa de criação ou Taxa de variação massa através da fronteira + destruição de massa dentro = da massa dentro do do volume de controle do volume de controle volume de controle. Se F (x, t) é a taxa de criação ou destruição de massa (a taxa tem sinal negativo se ocorre destruição de massa). A lei de conservação de massa torna-se d ρ + ρv = F, (2.9) dt Ω Ω e a correspondente equação diferencial, através do Teorema da Divergência (2.6), é a Equação de Continuidade Não-Homogênea ρ t 2.2 Leis de Conservação Lineares 2.2.1 O Problema Homogêneo Ω + div(ρv ) = F. (2.10) Dada a Equação (2.10), se o campo de velocidades do fluido é um campo vetorial constante, digamos V (x) c, onde c R n, e não existe uma fonte de criação ou destruição de massa, isto é, F 0, a equação de continuidade torna-se ou, em notação mais compacta, ρ n t (x, t) + ρ c i (x, t) = 0, (2.11) x i=1 ρ t (x, t) + c ρ(x, t) = 0. (2.12) Esta equação é chamada a Equação do Transporte ou Equação da Advecção. Ela é uma equação linear de primeira ordem com coeficientes constantes. Exemplo 2.1. Caso Unidimensional. Imaginando um fluido restrito a movimento em apenas uma dimensão (um fluido contido dentro de um tubo ou cano muito longo Figura 2.1), a equação da continuidade torna-se u t (x, t) + cu x (x, t) = 0,

17 onde (x, t) R R e c é a velocidade escalar do fluido. Figura 2.1: Um fluido que atravessa um tubo com velocidade constante c em uma dimensão. Teorema 2.1. A solução geral da equação de transporte u t + cu x = 0, em R R (2.13) é u(x, t) = f(x ct), para alguma função f : R R de classe C 1. Prova. transporte. Logo, Seja u(x, t) = f(x ct), mostraremos que u é solução para a equação de u t = f (x ct).( c) e u x = f (x ct) u t = f (x ct).( c) = u x.( c) u t + cu x = 0. Reciprocamente, seja u(x, t) solução para a equação de transporte. Definimos uma função z : R R por z(s) = u(x 0 + cs, t 0 + s), (x 0, t 0 ) R R fixo. Então, z (s) = u u (c) + x t = cu x + u t = 0. Portanto, z na variável s é uma função constante. Definimos uma função diferenciável f : R R por f(x) = u(x, 0). f(x ct) = u(x ct, 0) = z( t) = z(0) = u(x, t). Este tipo de solução, é o que chamamos de Solução em Forma de uma Onda Viajante. Definição 2.2. A variável ξ = x ct é dita variável viajante, onde a velocidade de propagação é constante e será denotada por c. Uma solução de uma Equação Diferencial Parcial que pode ser escrita na forma u(ξ) é chamada Solução na forma de uma Onda Viajante. A forma da solução será a mesma para todo o tempo t, [13].

18 Ondas viajantes são ondas que se movem à uma velocidade constante. Soluções na forma de uma onda viajante são um tipo especial de soluções de EDPs, que aparecem em diversos problemas da matemática aplicada [3, 4, 8]. Definição 2.3. Problema de Cauchy ou Problema de Valor Inicial (PVI) consiste de um sistema de Equação Diferencial Parcial atrelado à uma Condição Inicial previamente fixada. Exemplo 2.2. O Problema de Cauchy para a Equação (2.13) é ut + cu x = 0 se x R, t R, u(x, 0) = u 0 (x) se x R. (2.14) A Equação do Sistema (2.14) é uma equação diferencial parcial escalar, linear com coeficientes constantes. Definição 2.4. Uma solução clássica do problema de Cauchy é uma função u : R R + Ω R n tal que (i) u é contínua para todos x e t > 0; (ii) u x e u t existem e são contínuas para todos x e t > 0; (iii) u satisfaça (2.14) para todos x e t > 0; (iv) u(x, 0) = u 0 (x) para todo x. (2.15) Corolário 2.5. Seja f : R R uma função de classe C 1. O problema de valor inicial ut + cu x = 0 se x R, t R, u(x, 0) = f(x) tem solução única u(x, t) = f(x ct). se x R (2.16) Observação 2.1. Pela demonstaração do Teorema 2.1, temos que z é constante em s. Em particular, fixando (x 0, t 0 ), u é constante ao longo da reta que passa por (x 0, t 0 ) e tem inclinação c. Isto é, r : (x 0, t 0 ) + s(c, 1), s R, estas são as retas x ct = constante. Portanto, se soubermos o valor de u em um ponto desta reta, saberemos o valor de u em todos os pontos da reta. Isto nos diz que a informação sobre o valor de u em um ponto da reta é transmitida para todos os pontos da reta; se o parâmetro t é interpretado como representando o tempo decorrido, então podemos dizer que a informação é transmitida com velocidade c. Esta reta é chamada uma reta característica do problema.

19 Exemplo 2.3. Caso n-dimensional. Agora para o caso n-dimensional, a equação de transporte com coeficientes constantes é n u t (x, t) + c i u xi (x, t) = 0, x R n, t R (2.17) ou, em notação mais compacta, i=1 u t (x, t) + c u(x, t) = 0, x R n, t R, (2.18) onde c = (c 1,..., c n ) R n é um vetor fixado. Uma solução para esta equação é uma função diferenciável u : R n R R. O tratamento da equação do transporte n-dimensional com coeficientes constantes é completamente análogo ao caso unidimensional. Teorema 2.6. A solução geral da Equação do Transporte (2.18) u t (x, t) + c u(x, t) = 0, x R n, t R, é u(x, t) = f(x ct), para alguma função f : R n R de classe C 1. Corolário 2.7. Seja f : R n R uma função de classe C 1. O problema de valor inicial tem solução única u(x, t) = f(x ct). ut (x, t) + c u(x, t) = 0 se x R n, t R, u(x, 0) = f(x) se x R n (2.19) 2.2.2 O Problema Não-homogêneo O problema de valor inicial não-homogêneo da Equação do Transporte ut (x, t) + c u(x, t) = f(x, t) se x R n, t R, u(x, 0) = g(x) se x R n (2.20) pode ser resolvido de modo análogo ao usado para resolver o caso homogêneo, [6]. Proposição 2.8. Sejam f : R n R e g : R n R funções de classe C 1. O Problema de Valor Inicial (2.20) ut (x, t) + c u(x, t) = f(x, t) se x R n, t R, u(x, 0) = g(x) se x R n

20 tem solução única u(x, t) = g(x ct) + t Prova. Seja u(x, t) como (2.21). Fazendo t = 0, temos que u(x, 0) = g(x) + 0 0 Agora, derivando (2.21) em relação a t, obtemos 0 f(x + (s t)c, s)ds. (2.21) f(x + sc, s)ds. u t (x, t) = c g(x ct) t c f(x + (s t)c, s)ds + f(x, t) 0 = c[ g(x ct) t f(x + (s t)c, s)ds] + f(x, t) 0 = c [g(x ct) + t f(x + (s t)c, s)ds] + f(x, t) 0 = c u(x, t) + f(x, t). Reciprocamente, seja u(x, t) uma solução para o PVI (2.20). Definimos uma função diferenciável v : R R n R tal que v(s) = u(x 0 + sc, t 0 + s). Derivando v(s), temos Logo, v (s) = c u(x 0 + sc, t 0 + s) + u t (x 0 + sc, t 0 + s) = f(x 0 + sc, t 0 + s). u(x 0, t 0 ) g(x 0 t 0 c) = u(x 0, t 0 ) u(x 0 t 0, 0) = v(0) v( t 0 ) = ( 0 t 0 v (s)ds) = 0 t 0 f(x 0 + sc, t 0 + s)ds fazendo uma mudança de variáveis ξ = t 0 + s, u(x 0, t 0 ) g(x 0 t 0 c) = t 0 0 f(x 0 + (s t 0 )c, s)ds. 2.3 Leis de Conservação Não-Lineares Nesta seção, estudaremos equações diferenciais parciais não-lineares. A grande diferença é que a função f é não-linear, o que dará origem as curvas características. Consideraremos por simplicidade f C 2 (R), f uma função convexa, Q := R R + [16]. Consideremos o problema de valor inicial, ut + f(u) x = 0 em Q, u(x, 0) = u 0 (x) sobre R. (2.22)

21 Proposição 2.9. As únicas funções suaves C 1 que satisfazem a equação u t + (f(u)) x = 0 do PVI (2.22) em Q são aquelas que são não-decrescentes em x para cada t > 0 fixo. Prova. Seja u C 1 (Q) solução de u t + (f(u)) x = 0 do PVI (2.22). Considere um ponto (x 0, t 0 ) Q e o PVI dx dt = f (u(x, t)) para t > 0, x(t 0 ) = x 0. (2.23) A única solução x(t) é uma curva característica da Equação de (2.22). Ao longo desta curva temos que d dt u(x(t), t) = u t + dx dt u x = u t + f (u)u x = 0. Então u é constante ao longo das características. Logo, dx dt (t) = f (u(x 0, t 0 )) para t > 0 também é constante. Note-se que características são linhas retas no plano xt. Como existem pontos (x 1, t 1 ), (x 2, t 1 ), onde x 2 > x 1, tal que Logo, dx 1 dt f (u 1 ) > f (u 2 ) = dx 2 dt u 1 := u(x 1, t 1 ) > u(x 2, t 1 ) =: u 2. para todo t > 0. Consequentemente, as características se interceptam em algum t 2 > t 1, contradizendo a suavidade de u. Figura 2.2: Interseção das características. Lembrando que u é constante ao longo de qualquer característica x(t); dx dt = f (u(x, t)) para t > 0.

22 Seja (x, t) Q um ponto dado. O conjunto u = u0 (y) x y = f (u)t y = x f (u)t. Então u = u(x, t) é implicitamente dado pela equação u = u 0 (x f (u)t), para (x, t) Q, ver a Figura 2.3 para uma explicação da construção. Figura 2.3: Construção das características. Se u 0 C 1 (R) com u 0 e u 0 limitados sobre R, usamos o Teorema da Função Implícita para resolver esta equação para u como uma função diferenciável de x e t (com t suficientemente pequeno). Em particular u = u 0 (x f (u)t), (x, t) Q, u t = u 0[ f (u)u t t f (u)] u t = f (u)u 0 1 + f (u)u 0t, u x = u 0[1 f (u)u x t] u x = u 0 1 + f (u)u 0t. (2.24) Desta expressão, pela Proposição 2.9, se f (u)u 0 0, então u t e u x permanecem delimitadas: as características divergem e nenhuma descontinuidade ocorre. Por outro lado, se f (u)u 0 < 0, então as derivadas explodem quando 1 + f (u)u 0 t 0.

23 2.4 Problema de Riemann O problema de Riemann para o sistema de Leis de Conservação, centrado na posição x = 0, é um caso particular do problema de Cauchy em que as condições iniciais são tomadas constantes por partes possuindo um salto na origem. Exemplo 2.4. Para o Sistema (2.14), o problema de Riemann é u t + cu x = 0, se x R, t R ul, se x < 0, u(x, 0) = u r, se x > 0, (2.25) onde u l e u r são valores constantes. No caso, u l é chamado de estado inicial à esquerda e u r de estado inicial à direita [16]. Figura 2.4: Condição inicial para o problema de Riemann. Note que a condição inicial tem uma descontinuidade em x = 0. O caso trivial acontece quando u l = u r. Da Proposição 2.9, no PVI (2.23), determinamos uma curva característica particular x = ct que separa as curvas características à esquerda, nas quais a solução tem valor u l, daquelas curvas à direita, nas quais a solução assume o valor u r. A solução do problema de Riemann (2.25) é simplesmente u(x, t) = u 0 (x ct) = ul, se x ct < 0, u r, se x ct > 0. (2.26) Esta solução pode ser representada no plano xt, como ilustra a Figura 2.5.

24 Figura 2.5: Solução do problema de Riemann no plano xt. Por qualquer ponto x 0 no eixo x passa uma reta característica. Como c é constante essas retas serão todas paralelas umas as outras. Para o problema de Riemann, a característica que passa por x = 0 é significante, pois é a única através da qual a solução muda. 2.5 Soluções Fracas Observemos que a Solução (2.26) não pode ser uma solução clássica de (2.25) em todo o plano xt, por não ser diferenciável ao longo da reta x = ct. Para função da forma de (2.26) que satisfaz a equação diferencial em parte do domínio chamamos de solução fraca de (2.25). Para função que satisfaz (2.25) em todo domínio chamamos de solução clássica. A seguir damos uma breve interpretação do significado de uma solução fraca [1]. Consideremos o seguinte PVI ut + f(u) x = 0, em Q = R R + u(x, 0) = u 0 (x) sobre R. (2.27) Definição 2.10. Definimos o conjunto das Funções Testes de (2.27), C 1 0, como C 1 0 := ϕ C 1 : (x, t) Q : ϕ(x, t) 0} [a, b] [0, T ] para algum a, b e T }. Logo, ϕ é continuamente diferenciável e pode se anular fora de algum retângulo no

25 plano xt. Definição 2.11. O Suporte da Função ϕ, supp(ϕ), em relação a Q é o fecho do conjunto dos pontos (x, t) Q tais que ϕ(x, t) 0. Dizemos que ϕ tem Suporte Compacto em Q se supp(ϕ) é um conjunto compacto. Consideremos a Equação (2.1) u t + f(u) x = 0. Multiplicando (2.1) por ϕ C 1 0 e integrando em relação à x de a e em relação à t de 0 a, obtemos 0 Como ϕ C 1 0 e tem suporte compacto, podemos escrever b T a 0 [u t + f(u) x ]ϕ(x, t)dxdt. (2.28) T b 0 u t ϕ(x, t)dtdx + [u t + f(u) x ]ϕ(x, t)dxdt = 0, a T b 0 a f(u) x ϕ(x, t)dxdt = 0. Integrando por partes as integrais na equação acima, obtemos 0 = + 0 = + b a T 0 b a T 0 [uϕ(x, t)] t=t T t=0 0 b [f(u)ϕ(x, t)] x=b x=a u(x, T )ϕ(x, T )dx f(u)ϕ(b, t)dt T 0 } uϕ t (x, t)dt dx a b a } f(u)ϕ x (x, t)dx dt. u(x, 0)ϕ(x, 0)dx f(u)ϕ(a, t)dt a T b 0 a b T 0 uϕ t (x, t)dtdx f(u)ϕ x (x, t)dxdt. (2.29) Como ϕ(x, T ) = ϕ(a, t) = ϕ(b, t) = 0, podemos escrever (2.28) e (2.29) como 0 [uϕ t + f(u)ϕ x ]dxdt + onde u 0 = u(x, 0) é a condição inicial e ϕ 0 é uma notação para ϕ(x, 0). u 0 ϕ 0 dx = 0, (2.30) Note que o suporte de ϕ está contido em [a, b] [0, T ] e ϕ é definida em Q, logo, ϕ(x, 0) não precisa ser zero. seguinte proposição. Assim, o que apresentamos acima é a demonstração da Proposição 2.12. Se u é uma solução clássica para o PVI (2.27), então u satisfaz (2.30)

26 para todo ϕ C 1 0. Invertendo os cálculos realizados acima, partindo de (2.30), até obtermos a Equação (2.28) e usando o fato de ϕ C0 1 ser arbitrária, mostramos que u deve satisfazer a EDP (2.1), demonstrando assim, o seguinte resultado. Proposição 2.13. Se u é continuamente diferenciável em relação a x e t e satisfaz a Equação (2.30) para todo ϕ C0, 1 então ϕ é uma solução clássica do PVI (2.27). Devemos estar cientes de que podem existir soluções na forma (2.30) que não são soluções clássicas para o PVI (2.27), por exemplo, funções que satisfazem a Equação (2.30) podem não ser diferenciáveis. Por essa razão fazemos a seguinte definição. Definição 2.14. Se u satisfaz a Equação (2.30) para todo ϕ C0, 1 u é dito ser uma Solução Fraca para o Problema de Valor Inicial (2.27).

27 3 Choques Neste capítulo, abordaremos um tipo de solução para EDP s, solução por Onda de Choque. Apresentaremos condições pra que tal solução ocorra, Condição de Entropia, e uma forma particular da solução chamada de soluções por Onda de Contatos. 3.1 Condição de Choque de Rankine-Hugoniot Sejam u uma densidade e f um fluxo de massa. determinada relação [16]. Seja a Equação (2.1) Além disso, seja f = f(u) uma u t + f(u) x = 0. Usando a forma integral da lei de conservação (2.5), temos que d b u(x, t)dx = f(a, t) f(b, t). (3.1) dt a Suponha que u é descontínua através de uma curva suave x(t). Nesse caso, a Equação (3.1) é escrita como d b u(x, t)dx = d dt dt a = = x(t) x(t) a x(t) a a u(x, t)dx + b x(t) + u t dx + dx dt u(x(t), t) + u t dx + b x(t) + u t dx + } u(x, t)dx b x(t) + u t dx dx dt u(x(t)+, t) dx dt (x(t) x(t) + ) = f(a, t) f(b, t)

28 Fazendo a x(t) e b x(t) +, temos dx dt (x(t)+ x(t) ) = f(x(t) +, t) f(x(t), t). (3.2) Logo, dx dt = f(x(t)+, t) f(x(t), t) x(t) + x(t) =: [f] [u]. (3.3) Definição 3.1. A Equação (3.3) é denominado Condição de Choque de Rankine-Hugoniot (Condição R-H). É uma consequência direta do princípio de conservação através do choque. Fisicamente, dx/dt é interpretado como velocidade da onda de choque. Definição 3.2. Uma solução contínua por partes u(x, t) de (2.22) com salto ao longo de uma curva x(t) satisfazendo a condição de salto de Rankine-Hugoniot é denominada uma Solução Onda de Choque da Lei de Conservação. Exemplo 3.1. Como exemplo de aplicação, podemos encontrar a solução do seguinte PVI u t + u 2 u x = 0, se x R, t R +, 2, se x 0, (3.4) u(x, 0) = u 0 (x) = 1, se x > 0. As características para o problema são dadas por x(t) = f (u 0 (x 0 ))t+x 0, onde f (u) = u 2, o que dá x(t) = 4t + x0, se x 0 0, t + x 0, se x 0 > 0. (3.5) Para esta equação, f(u) = u3 3 e x(0) = 0, e a condição R-H (3.3) é dx dt = f 1 r f l = 8 3 3 u r u l 1 2, dx dt =7 3 x(t) = 7 t. (3.6) 3 A solução do PVI é dada por u(x, t) = 2, se x < 7 3 t, 1, se x > 7 3 t. (3.7) As curvas características no plano xt ficam como

29 Figura 3.1: (a) Curvas características. (b) Curva de choque. 3.2 Condição de Entropia Soluções fracas para problemas de valor inicial podem não ser únicas, elas podem conter descontinuidades que são propagadas da descontinuidade da condição inicial ou obtidas da interseção das características. Como nosso objetivo é calcular numericamente as soluções das Leis de Conservação, precisamos escolher qual é a solução correta, no caso em que as soluções não são únicas. Essa escolha é feita utilizando a condição de entropia, ou seja, escolhemos a solução entrópica do problema como solução correta [10]. Uma maneira de escolher a solução fisicamente correta é decidir pela solução viscosa. Esta solução é definida como o limite quando ϵ 0 das funções u ϵ (x, t) onde u ϵ (x, t) é solução da EDP u ϵ t + f(u ϵ ) x = ϵu ϵ xx, (3.8) com condição inicial u ϵ (x, 0) = u ϵ 0(x) [16]. Uma das características mais importante da solução viscosa é o seguinte resultado. Proposição 3.3. Toda solução viscosa do Problema 3.8, é uma solução fraca. Prova. Consideramos a Equação Viscosa (3.8), multiplicando-a por uma função teste pertencente a C 2 0 (onde ϕ e ϕ x são nulas fora de algum retângulo fechado [a, b] [0, T ]) e realizando a integração como em (2.30) (mais duas integrações por partes no termo

30 viscoso), obtemos 0 [u ϵ ϕ t + f(u ϵ )ϕ x ]dxdt u ϵ 0ϕ 0 dx = ϵ 0 u ϵ ϕ xx dxdt. (3.9) Fazendo ϵ 0, então como por hipótese u ϵ u e f(u ϵ ) f(u), vemos que a solução viscosa u é uma solução fraca para a Equação (2.1) u t + f(u) x = 0. Definição 3.4. Condição de Entropia I (Lax): Uma descontinuidade propagando com velocidade s = dx dt dada pela condição R-H satisfaz a condição de entropia se f (u l ) > s > f (u r ), (3.10) onde u l e u r são os valores das solução s à esquerda e à direita da descontinuidade, respectivamente [12]. Note que f (u) é a velocidade característica. Observação 3.1. De uma maneira geral, para qualquer função de fluxo f(u) convexa, ou seja, f (u) 0 ou f (u) crescente, para todo u, qualquer salto de u l para u r com u l > u r que satisfaz a condição R-H, satisfaz a Condição de Entropia I, e qualquer salto de u l para u r com u l < u r que satisfaz a condição R-H, não satisfaz a Condição de Entropia I. Observação 3.2. A principal dificuldade das Leis de Conservação não é a existência de soluções, mas a unicidade delas. Definição 3.5. Condição de Entropia II (Oleinik): u(x, t) é a solução entrópica de (2.30) se toda a descontinuidade tem a seguinte propriedade f(u) f(u l ) u u l s f(u) f(u r) u u r (3.11) para todo u entre u l e u r, onde u l e u r são os valores da solução u à esquerda e à direita da descontinuidade, respectivamente [12]. Como no caso em que f(u) é convexa, no caso não convexo, a solução u é única, sendo uma solução viscosa se u satisfaz a condição de entropia definida pela Equação (3.11) sobre todos os saltos. Outra forma de a condição entropia baseia-se na propagação das características de um leque de rarefação, que será apresentado no próximo capítulo. Se u(x, t) é uma função crescente de x em alguma região, então as características espalham se f > 0. A taxa de propagação pode ser quantificada, e dá a seguinte condição, também devido à Oleinik.

31 Definição 3.6. Condição de Entropia III (Oleinik): u(x, t) é a solução entrópica se existe uma contante E > 0 tal que para todo a > 0, t > 0 e x R, u(x + a, t) u(x, t) a < E t. (3.12) Mais tarde, vamos mostrar a unicidade para o PVI (2.22) dentro da classe de soluções fracas que satisfazem a Condição de Entropia III (3.12). correspondente de solução de entropia fraca [16]. Chamamos a solução Para funções de fluxo convexo f, a Desigualdade (3.12) captura o comportamento ao longo de características, bem como a desigualdade de choque de Lax (3.10), u l > u r. Para soluções suaves devemos ter u 0 0 e o método de características dá já calculado em (2.24). então u x = u 0 1 + f (u)u 0t, Assim, se u 0 = 0, então u x = 0 ao longo da característica correspondente e se u 0 > 0 u x < u 0 1 + f (u)u 0t = 1 f t E t com E = 1. (3.13) inf f Se um choque ocorre em algum t > 0, então (3.12) implica (tendo a suficientemente pequeno) que a solução só pode saltar para baixo, dando u l > u r [16]. Ao lidar com soluções descontínuas, temos que ter cuidado com a aplicação de transformações. 3.3 Contato Como tipo particular de descontinuidade para o Problema de Riemann, temos a Descontinuidade de Contato. Este tipo de descontinuidade ocorre quando a velocidade f (u) é constante para todo u Q no PVI u t + f(u) x = 0, em Q, ul, se x < 0, u(x, 0) = u r, se x > 0. (3.14)

32 As curvas características são paralelas, pois f (u l ) = f (u r ), podemos ver isso na Figura 3.2. Figura 3.2: Curvas características para uma onda de contato. Definição 3.7. Soluções do Problema (3.14) são chamados Soluções por Ondas de Contato.

33 4 Rarefação Além da interseção das características, uma outra particularidade das equações nãolineares, é a possibilidade de existir regiões do plano xt onde essas curvas não estão definidas. Modificaremos o método das características nessas regiões de modo que possamos obter soluções do problema em todo o plano xt. Essa modificação gera o que chamamos de ondas de rarefação [16]. Seja < u l < u r < e considere o PVI u t + f(u) x = 0, em Q, ul, se x < 0, u(x, 0) = u r, se x > 0. (4.1) Primeiramente, damos um argumento intuitivo. Seja u = u(x, t) que denota a única solução entrópica de (4.1). Então, para cada k > 0, as funções de translações u k (x, t) = u(kx, kt) (4.2) são também soluções de (4.1) satisfazendo a Condição de Entropia III (3.12). Então, a unicidade dá u(x, t) = u k (x, t) = u(kx, kt) para todo k > 0 e para todo (x, t) Q. Portanto, u(x, 1 ) = u(kx, 1) para todo k > 0 e para todo x Q. k Consequentemente, u precisa ser da forma Formalmente, de u t + f(u) x = 0, isto dá para r a equação u(x, t) = r(η) com η = x t. (4.3) η dr dη + d dη f(r) = η + f (r)} dr dη = 0 em R (4.4)

34 e as condições de contorno r( ) = u l, r(+ ) = u r. (4.5) Definição 4.1. A solução do problema de valor contorno (4.4 e 4.5) é chamado de Solução por Onda de Rarefação. Queremos obter uma forma fraca apropriada para o problema do valor contorno (4.4) e (4.5). Esta forma fraca nos permite considerar a Equação (4.4) para uma classe maior de não-linearidades de f. O ponto de partida é a formulação fraca para (4.1). Encontremos u L (Q), u l u u r em quase todo Q, tal que 0 uφ t + f(u)φ x }dxdt + u l φ(x, 0)dx + u r φ(x, 0)dx = 0 (4.6) Q 0 para toda função teste admissível. Suponha que esse problema tem uma única solução de entropia fraca u, que satisfaz u C(Q\O) e u(x, 0) = u l para x < 0 e u(x, 0) = u r para x > 0. Novamente por um argumento de translação simples verifica-se que u k (x, t) := u(kx, kt) é também uma solução de entropia fraca para qualquer k > 0. Como antes, isso implica que o solução fraca deve ser da forma u(x, t) = r(η) com η = x t, onde r L (R) C(R). A condição inicial e a continuidade implicam que r satisfaz as Condições de Contorno (4.5). Na identidade da integral, nós agora escolhemos as funções teste. Isto é, φ(x, t) = φ 1 (η).φ 2 (t), onde φ 1 C0 (R) e φ 2 C0 (R + ). Para estas funções teste, temos uφ t + f(u)φ x }dxdt = 0. Q

35 Desde que e obtemos ou 0 0 R φ t = dφ 1 dη η 1 t φ dφ 2 2 + φ 1 dt φ x = dφ 1 dη 1 t φ 2, ( [ r(η) t dφ 2 dt φ 1 η dφ ] 1 dη φ 2 + f(r) dφ ) } 1 dη φ 2 dη dt = 0 t dφ ( ) 2 rφ 1 dη dt + dt R 0 φ 2 R (f(r) ηr) dφ } 1 dη dη dt = 0. As integrais internas (com respeito a η) não dependem de t. Por isso, podemos integrar o primeiro termo por partes. Isso leva à seguinte identidade integral para r (descartamos o índice 1 por conveniência) (f(r) ηr) dφ } dη rφ dη = 0 para todo φ C0 (R). (4.7) R Definição 4.2. (Formulação Fraca para uma Onda de Rarefação) Uma função r : R R é chamada de uma onda de rarefação correspondente as Condições de Contorno (4.5) se (i) r C 1 (R), (ii) Im(r) [u l, u r ] e r( ) = u l, r(+ ) = u r, (iii) r satisfaz a identidade (4.7). Pela razão de r C 1 (R), a Identidade (4.7) implica f(r) ηr C 1 (R) e então d f(r) ηr} + r = 0 sobre R (4.8) dη no sentido clássico. Para obter a segunda parte de (4.8), escrevemos a Identidade (4.7) e integramos por partes onde R(η) = η 0 r(s)ds. Logo, e usamos o seguinte Lema 4.3. R R rφdη = R R(η) dφ dη, η } dφ f(r) ηr + r(s)ds 0 dη dη = 0

36 Lema 4.3. Seja I R um intervalo e seja h L loc (I). Suponha h dξ dη = 0 para todo ξ C 0 (I). (4.9) Então h é constante em quase todo I. Então e I Prova. Sejam φ, φ 1 C 0 (I) tal que I φ 1 = 1. Seja Seja c := I hφ 1. Então ξ(η) = I I η 0 } φ 1 (x) φ(y)dy φ(x) dx. I dξ dη = φ 1(η) φ(y)dy φ(η) I h dξ } dη = h φ 1 φ φ = 0 I I } hφ 1 φ = hφ. cφ = I I hφ, o que implica que h = c em quase todo I. I para todo φ C 0 (I), Proposição 4.4. Seja f C 2 ((u l, u r )) C([u l, u r ]) que satisfaz f > 0. Então existe uma onda de rarefação r da forma u l, se η η l, r(η) = (f ) 1 (η), se η l < η < η r, u r, se η η r, onde η l := f r(u l ) e η r := f l (u r). I (4.10) Prova. As hipóteses sobre f implicam que f é C 1 e estritamente crescente (f > 0) em (u l, u r ). Consequentemente, o limite à direita de u l e o limite à esquerda de u r satisfazem lim f (u) = f r(u l ) e lim f (u) = f l (u r ) +. u u l u ur Seja A R que denota o intervalo de f, isto é A = a R : u (u l, u r ) tal que f (u) = a}.

37 Figura 4.1: Curvas características para uma onda de rarefação. Claramente, A = (f r(u l ), f l (u r)) = (η l, η r ). Agora, definimos r : (η l, η r ) R por f (r(η)) = η ou r(η) = (f ) 1 (η) para η (η l, η r ). Então Im(r) (u l, u r ) e lim r(η) = u l e lim r(η) = u r. η ηl η ηr Nós estendemos essa função de u l para η η l (se η l > ) e de u r para η η r (se η r < ) e obtemos (4.10). Para mostrar que (4.10) realmente é uma onda de rarefação, verificamos as condições da definição anterior (4.8). A partir da construção, nós imediatamente vemos que (i) e (ii) são satisfeitas. Para verificar (iii), nós mostraremos que r satisfaz (4.8). As condições de suavidade sobre f implicam r C 1 (η l, η r ) com r (η) = 1 f (r(η)), for η l < η < η r. Assim, (4.8) é satisfeita em (η l, η r ). Suponha que η l está satisfeito em (, η l ). Em η = η l, temos >. Obviamente (4.8) também (f(r) ηr) (η l ) = u l e (f(r) ηr) (η + l ) = lim f (r(η)) dr η η l dη η dr } dη r(η) = u l. Logo, f(r) ηr é diferenciável em η l e satisfaz (4.8). Analogamente, obtemos o resultado para η r.

38 5 Aplicações de Leis de Conservação Faremos algumas aplicações com os conceitos de Leis de Conservação [5, 10]. 5.1 Um Modelo de Fluxo de Trânsito Nesta seção, deduziremos a lei de conservação, a equação constitutiva para o modelo de fluxo de trânsito, estudaremos os exemplos de tráfego após a abertura e após o fechamento de um sinal (semáforo) [5]. A popularização do uso de automóveis e a falta de infra-estrutura das cidades para comportar o aumento de tráfego repentino, tornaram os problemas de congestionamentos cada vez mais agudos. Com o objetivo de amenizar as consequências desses problemas, a partir de meados do século passado estudos científicos procuram responder algumas perguntas tais como: Quanto tempo um sinal (semáforo) pode ficar fechado sem comprometer o fluxo de trânsito das vias urbanas? Como desenvolver um sistema progressivo de sinais de trânsito (as chamadas onda verde ) em grandes vias urbanas? Onde construir entradas e saídas das vias principais? As respostas a estas e a muitas outras perguntas relacionadas permitem entender e solucionar, parcial ou totalmente, os problemas gerados pelo complexo fenômeno do tráfego. Trataremos de problemas de tráfego mais simples como o fluxo de trânsito em uma rua de mão única com apenas uma faixa, sem entradas e sem saídas laterais. A formulação matemática desse problema ocorreu por volta da metade dos anos 50. Estudos mais detalhados desse problema podem ser encontrados em [9, 17]. Vamos considerar o trânsito em uma via de mão única com apenas uma faixa em um trecho que não tem entradas e saídas. Vamos representar por u(x, t) a densidade de carros

39 (número de carros por quilômetro) na posição x no tempo t. Esta função em princípio é uma função discreta pois carros são objetos discretos, contudo, vamos supor que u(x, t) é uma representação contínua da densidade de tráfego. A lei de conservação geral para a densidade de tráfego u(x, t) é dada por u t (x, t) + ϕ x (x, t) = f(x, t). (5.1) A função fonte f(x, t) neste caso representa a taxa de carros que entram ou saem do trecho da via analisado. Como, por hipótese, não existem entradas e saídas no trecho analisado, temos f(x, t) = 0. A função de fluxo ϕ(x, t) representa a taxa com que os carros passam na posição x no tempo t. Para um observador fixo ao longo da via, a taxa com que os carros passam por ele depende da densidade de tráfego u e da velocidade v. Se v é medido em km/hora temos que o fluxo ϕ é dado por ϕ = u(carros/km).v(km/hora) = uv carros/hora. A velocidade v depende de vários fatores tais como condições climáticas, densidade de tráfego, hora do dia, entre outros. Por simplicidade vamos supor que a velocidade v dos carros depende somente da densidade de tráfego, ou seja, quanto maior o número de carros menor a velocidade. Para deduzir nosso modelo, suponha que se a densidade de tráfego é nula (u = 0) ou quase nula, a velocidade máxima que cada carro pode atingir é v 1. Além disso, suponha que a densidade máxima u 1 de carros/km só é atingida quando o trânsito estiver totalmente parado, ou seja, v = 0. Dessa forma a velocidade v é uma função linear de u e é dada por v = v 1 v 1 u 1 u, 0 u u 1. (5.2) Segue que a função de fluxo ϕ = uv é dada pela expressão ( ) ϕ(u) = v 1 u u2. (5.3) u 1 Calculando ϕ x e substituindo na lei de conservação geral obtemos que a lei de conservação que modela a densidade de tráfego com aproximação linear da velocidade é dada por ( u t + v 1 1 2u ) u x = 0. (5.4) u 1

40 5.1.1 Tráfego no sinal fechado Vamos supor uma via como considerada no Modelo 5.4, com as seguintes condições: (i) os carros que já estão parados estão alinhados com densidade máxima u 1 carros/km. (ii) os carros que chegam têm densidade uniforme u 0 carros/km. Como u 1 é máxima temos 0 < u 0 < u 1. Figura 5.1: Gráfico da função de fluxo com a modelagem acima. A lei de conservação para este problema é a lei definida pela Equação 5.4, e o PVI é ( u t + v 1 1 2u ) u x = 0, x R, t R +, u 1 u0, se x < 0, (5.5) u(x, 0) = u 1, se x > 0. ( Calculando ϕ = v 1 1 2u ) u 1 em u 0 e u 1, temos que ϕ (u 0 ) = v 1 ( 1 2u 0 Logo, as características são dadas por ( v 1 1 2u ) 0 t + x 0, se x 0 < 0, x(t) = u 1 v 1 t + x 0, se x 0 > 0. u 1 ) e ϕ (u 1 ) = v 1. (5.6) Observe que a característica pode ter inclinação positiva ou negativa dependendo de v 1 (1 2u/u 1 ) ser positivo ou negativo. Se u 0 < u 1 /2, a inclinação é positiva e se u 0 > u 1 /2, a inclinação é negativa. Os diagramas das características são mostrados na Figura 5.2. Como as características se cruzam na origem, o curva de choque é obtido pela Condição

41 Figura 5.2: Característica para o caso do tráfego com sinal fechado. R-H (3.3) dx s dt = ϕ(u r) ϕ(u l ) u r u l = v 1 v 1 u 1 (u 1 + u 0 ) = v 1 u 0 u 1. (5.7) u Integrando em relação a t, temos que a curva de choque é a reta x s (t) = v 0 1 u 1 t. A interpretação física para o caminho de choque obtido é que a velocidade com que a última u fila de carros parados se propaga para trás é v 0 1 u 1 km/hora. A solução para pontos (x, t) u com x < v 0 u 1 u 1 t e para pontos (x, t) com x > v 0 1 u 1 t são obtidas pelo método das características. Portanto, a solução é u(x, t) = u0, se u x < v 0 1 u 1 t, u 1, se u x > v 0 1 u 1 t. (5.8) O choque para o caso 0 < u 0 < u 1 /2 é mostrado na Figura 5.3. Figura 5.3: Curva do choque para o caso 0 < u 0 < u 1 /2. 5.1.2 Tráfego no sinal aberto Usaremos as ideias do problema acima, agora quando o sinal (semáforo) passa de fechado para aberto (na mudança da luz vermelha para a luz verde).

42 Suponha que num sinal fechado os carros estão alinhados de tal forma que a densidade máxima de u 1 carros/km tenha sido atingida e que não existe tráfego à frente do sinal, ou seja, a densidade de carros é zero nesta região. Suponha ainda que o sinal está localizado na posição x = 0 e que abre no tempo t = 0. Usaremos o Modelo 5.4 para resolver o PVI. Consideremos v = v 1 (1 u/u 1 ), onde v 1 é a velocidade máxima permitida na via, e obtemos a função de fluxo ϕ = v 1 (u u 2 /u 1 ). Temos o seguinte PVI que descreve o tráfego após a abertura do sinal u t + v 1 ( 1 2u u(x, 0) = u 1 Segue que as características são dadas por ) u x = 0, x R, t R +, u1, se x 0, 0, se x > 0. (5.9) x(t) = v1 t + x 0, se x 0 0, v 1 t + x 0, se x 0 > 0. (5.10) Observe que como o tempo começa a ser contado a partir da abertura do sinal, temos x(0) = 0. Assim as características que atingem a origem são as retas x(t) = v 1 t e x(t) = v 1 t, como mostra a Figura 5.4, a região entre as duas retas não tem características. Figura 5.4: A região sem características quando o sinal passa da luz vermelha para a luz verde. Antes de construirmos a onda de rarefação vamos analisar a solução na região onde temos características. Se x > 0 só existem retas características se x v 1 t e nesta região a densidade é zero pois u(x, t) = 0. Isto significa dizer que nenhum carro atingiu esta região. De fato, se um carro é o primeiro da fila, quando o sinal abre ele leva um tempo

43 t = x/v 1 para atingir o ponto x, portanto, não existe carro no ponto x para t < x/v 1. A reta x(t) = v 1 t pode ser interpretada como sendo a onda que propaga, para a região de densidade nula, a informação é que o sinal abriu. Vamos agora analisar a solução na região x < 0, as retas características só existem para x v 1 t, nesta região a densidade de carros é máxima pois u(x, t) = u 1. Isto significa que após a abertura do sinal existe um intervalo de tempo em que o carro permanece parado. De fato, se um carro está parado na posição x, quando o sinal abre, ele leva um tempo t = x/v 1 para andar. A reta x(t) = v 1 t pode ser interpretada como sendo a onda que propaga, para a região de densidade máxima, a informação é que o sinal abriu. Mostraremos que a solução será na forma de onda de rarefação (Proposição 4.4), ou seja, da forma u l, se η η l, r(η) = (f ) 1 (η), se η l < η < η r, u r, se η η r. Como vimos na Seção 4 (Equação 4.3), seja u(x, t) = r(η), onde η = x t. Logo u t (x, t) = 1 t ηr (η) e u x (x, t) = 1 t r (η). Substituindo na 1ª Equação de (5.9), obtemos ( 1 t ηr (η) + v 1 1 2r(η) ) 1 u 1 t r (η) = 0 r (η) = 0 ou η + v 1 2v 1r(η) = 0 u 1 r (η) = 0 ou r(η) = (v 1 η) u 1 2v 1 (i) r (η) = 0 ou (ii) r(η) = 1 ) 2 u 1 (1 ηv1. Mostraremos que (i) não pode ocorrer. (5.11) De fato, seja r (η) = 0. Isso implica que r(η) = K, K constante. Pelo método das características, temos que r(η) = u 1, se η η l e r(η) = 0, se η η r. Se r(η) = K em

44 η l < η < η r, temos que a solução do problema é dado por u 1, se η η l, r(η) = K, se η l < η < η r, 0, se η η r. Ou seja, r(η) é uma função contínua por partes. Como r(η) deve satisfazer a condição R-H, se considerarmos a condição R-H ao longo da reta η = η l temos s 1 = v 1 [(k 2 /u 1 ) u 1 ]/[u 1 K] e se considerarmos a condição R-H ao longo da reta η = η r temos s 2 = K/u 1, o que significa que a função r(η) dada em (i) não satisfaz a condição R-H. Logo, r(η) não é constante. Assim, r(η) = u(x, t), se v 1 t < x < v 1 t, e obtemos a solução do problema u 1, se x v 1 t, ( 1 u(x, t) = 2 u 1 1 x ), se v 1 t < x < v 1 t, v 1 t 0, se x v 1 t. (5.12) A solução é representada na Figura 5.5. Figura 5.5: A solução para o PVI 5.9. Se consideramos um carro que em t = 0 está na posição x = x 0, o diagrama das características no plano xt pode ser interpretado como segue: O carro permanece parado até que onda de propagação da informação de sinal aberto chegue a ele. Isto leva um tempo t = x 0 /u 1. Após esse tempo o carro anda na região em leque, onde sua velocidade cresce continuamente até atingir a velocidade máxima v 1, pois u(x, t) = 0 quando a velocidade é máxima.