Medidas de Tendência Central Introdução A maioria dos dados apresenta uma tendência de se concentrarem em torno de um ponto central. As medidas de tendência central são valores que, de certa forma, e de maneira condensada, trazem consigo informações contidas nos dados estatísticos. Elas funcionam como uma espécie de medidas-resumo, pois nos passam a ideia do comportamento geral das observações estudadas. Podemos dizer ainda que elas são como valores de referência, em torno dos quais, os outros se distribuem. Nesse contexto, salienta-se a necessidade de abordar a diferença entre dois termos bastante utilizados no estudo de medidas de tendência central, os parâmetros e as estatísticas. Parâmetros: Os dados recebem este esta nomenclatura quando estão associados aos dados populacionais. Estatísticas: Estes dados recebem essa nomenclatura Quando são calculados a partir de amostras. Dados obtidos através de uma pesquisa realizada em todo o mundo se tratam de parâmetros. Entretanto, se realizarmos a pesquisa apenas no Brasil, tem-se dados estatísticos, pois, o Brasil representa uma amostra de todo o mundo. Tipos de Medidas de tendência Central Existem vários tipos de medidas utilizadas como medidas de tendência central. Todavia, abordaremos as mais utilizadas: Média; Moda e; Mediana. 71
MÉDIA Média Aritmética, ou simplesmente média, é uma medida que funciona como o ponto de equilíbrio de um conjunto de dados, é representada pela letra grega, quando seu cálculo é feito a partir de todos os valores de uma população. Se usarmos dados amostrais para obtê-la, a mesma é referida como (ler-se Xis barra ). 1º Caso: Para dados isolados ou não tabelados A média é a soma de todos os valores analisados, dividida pela quantidade de valores analisados. Ex: Suponha que suas notas em uma seleção para um curso de aperfeiçoamento foram 5,6; 4,8; 8,0; 8,6; 6,8; 9,4. Então, se todas têm o mesmo peso, sua média será: Observe que para calcular a média nós somamos todos os valores e dividimos pela quantidade desses valores. 2º Caso: Para dados organizados em uma tabela de frequências. Pontuação( ) Frequência( ) 4 6 24 6 8 48 8 5 40 9 5 45 10 3 30 Total 27 187 72
Neste caso, a média é dada da seguinte forma: Observe que para calcular a média, nós multiplicamos a pontuação pela sua respectiva frequência. Para o Cálculo da média, somam-se essas multiplicações e divide pelo somatório das frequências. 3º Caso: Para dados agrupados em intervalos de classe. Na tabela abaixo, pode-se observar três intervalos de classe. Cada intervalo possui uma frequência e um ponto médio. O ponto médio é obtido através da soma do limite superior com o limite inferior, dividida por dois. Para classe 1 tem-se: Onde 4 e 6 correspondem, respectivamente, ao limite inferior e superior da primeira classe. Pontuação (Médias) Frequência( ) Ponto Médio( ) 4 Ⱶ 6 6 5 30 6 Ⱶ 8 8 7 56 8 Ⱶ 10 13 9 117 Somatórios 27 ---- 203 Nesta situação, a média é dada como: 73
Observação: A média é afetada por valores extremos. O que isso quer dizer? Para calcular a média, é necessário somarmos todos os dados da série, ou seja, essa medida leva em conta todas as observações. Por isso, quando temos uma situação em que aparecem alguns valores, ou muito baixo, ou muito alto, se comparados com os demais elementos da série, a média é influenciada por eles. MEDIANA Mediana ( ) é definida como o valor que ocupa a posição central em um conjunto de dados ordenados. A mediana não é influenciada por valores extremos, visto que ela é uma medida essencialmente vinculada à posição que ocupa no conjunto ordenado. Para encontrar a mediana em um conjunto qualquer de dados estatísticos, precisamos conhecer a posição que ela ocupa em relação aos elementos ordenados desse conjunto. Para tal, devemos considerar duas situações para as quais adotaremos distintos procedimentos. 1ª Situação: Dados agrupados ou tabelados Inicialmente, precisamos construir o rol, ou seja, os valores do conjunto de forma ordenada. Esta ordenação pode ser em ordem crescente ou decrescente. Em seguida, devemos calcular o elemento mediano ( ). O é a posição que a mediana ocupa no conjunto ordenado. Para obtermos a mediana, precisamos primeiramente analisar o número de elementos do conjunto ( ), identificando se este número é par ou ímpar. A seguir veremos como proceder em cada situação. Se for ímpar: Quando é ímpar haverá apenas um valor central no conjunto ordenado, cuja posição é calculada pela fórmula: 74
A mediana que representamos por será exatamente o valor que está nessa posição, considerando-se os valores ordenados. Ex: Para o seguinte conjunto de dados 4; 5;7;1;5, encontrar a mediana. Primeiramente precisamos construir o rol, ou seja, ordenar os valores. Desse modo, tem-se: 1; 4; 5; 5;7 Como vimos, para encontrarmos o elemento mediano utiliza-se a seguinte fórmula: utilizando a fórmula, obtém-se:. Para este conjunto, o valor de n é igual a cinco, logo,. Com isso nós encontramos que a mediana ocupa a terceira posição desse conjunto, logo, a media é igual a 5. 1; 4; 5; 5;7 Fique ATENTO!!! O elemento mediano ( ) nos informa apenas a posição da mediana na série ordenada. Ele não é o valor dessa medida. Assim, somente após calculá-lo, podemos localizar tal posição no conjunto de dados ordenados. Se for par: Nesse caso, haverá dois valores centrais, os quais se encontram nas posições: A mediana em tais situações é definida como a média aritmética desses dois valores centrais. Ex: Para o conjunto dado, encontrar a mediana. Primeiramente constrói-se o rol: 9; 1; 4; 6; 12; 2 1; 2; 4; 6; 9; 12 Neste caso,. Logo, usaremos as duas fórmulas ( ) para encontrar o elemento mediano., no conjunto, tem-se os seguintes elementos : 1; 2; 4; 6; 9; 12 75
A média desses valores nos dará a mediana. Desse modo tem-se: Logo, a mediana desse conjunto é igual a 5. MODA Por definição, a moda de um conjunto de dados é o valor que aparece mais vezes, ou seja, é aquele que apresenta a maior frequência. Pode ocorrer de dois ou mais valores apresentarem a mesma frequência, nestes casos, teremos distribuições bimodais (duas modas), trimodais ou multimodais. Também é possível acontecer que todos os elementos tenham apresentado exatamente o mesmo número de ocorrências. Isso significa que não há moda, pois nenhum dado se destacou. Dessa forma, o conjunto é, então, chamado amodal. Dentre as três medidas de tendência central, a moda é a única que pode ser usada quando as variáveis são qualitativas nominais. Ex.: Se distribuíssemos os alunos de engenharia por sexo e obtivéssemos que 70% são meninos, poderíamos dizer que a moda é o sexo masculino, pois essa categoria apresentou a maior frequência. Para obtermos a moda ( repetições dos valores. ) faremos uma simples inspeção em relação às No caso das tabelas, observaremos as frequências absolutas simples ( ). Procuramos, então, qual(is) o(s) valor(es) que apresenta(m) o maior número de ocorrências (repetições). Este(s) valor(es) é (são) denominado(s) moda. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS SALSA, I. da S.; Moreira, J. A.; Pereira, M.G.. Matemática e Realidade. Medidas de tendência central: média, mediana e moda. Natal, RN: EDUFRN Editora da UFRN, 2005. Disponível em: <http://xa.yimg.com/kq/groups/22932771/2143145043/name/4426477- Matematica-e-Realidade-Aula-08-551.pdf>. Acesso em: 28 de abr. de 2012. world_globe.jpeg - Altura: 380 pixels. Largura 380 pixels. Resolução 300 dpi. 52KB. Formato JPEG. Disponível em: <http://apenasmais- 1.blogspot.com.br/2011/07/os-12-paises-recordistas.html> Acesso em: 30 abr. 2012. 76
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