ANÁLISE DE INCERTEZAS EM VIBRAÇÕES LATERAIS E DE TORÇÃO ACOPLADAS EM COLUNAS DE PERFURAÇÃO. Joseir Gandra Percy

ANÁLISE DE INCERTEZAS EM VIBRAÇÕES LATERAIS E DE TORÇÃO ACOPLADAS EM COLUNAS DE PERFURAÇÃO Joseir Gandra Percy Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica. Orientador: Thiago Gamboa Ritto Rio de Janeiro Maio de 2014

ANÁLISE DE INCERTEZAS EM VIBRAÇÕES LATERAIS E DE TORÇÃO ACOPLADAS EM COLUNAS DE PERFURAÇÃO Joseir Gandra Percy DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA. Examinada por: Prof. Thiago Gamboa Ritto, D.Sc. Prof. Daniel Alves Castello, D.Sc. Prof. Rubens Sampaio Filho, Ph.D. Prof. João Carlos Ribeiro Plácido, D.Sc. RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL MAIO DE 2014

Percy, Joseir Gandra Análise de Incertezas em Vibrações Laterais e de Torção Acopladas em Colunas de Perfuração/Joseir Gandra Percy. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2014. XVIII, 95 p.: il.; 29, 7cm. Orientador: Thiago Gamboa Ritto Dissertação (mestrado) UFRJ/COPPE/Programa de Engenharia Mecânica, 2014. Referências Bibliográficas: p. 80 85. 1. Coluna de Perfuração. 2. Vibração. 3. Análise Dinâmica. 4. Incertezas. 5. Análise Estocástica. I. Ritto, Thiago Gamboa. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Mecânica. III. Título. iii

Ao meu coração, Luciene; Aos meus pulmões, Raphael; As minhas pernas, Samuel; Ao meu colo, Miguel; A minha fortaleza, Deus. iv

Agradecimentos Gostaria de agradecer a Luciene e meus garotos: Raphael, Samuel e Miguel, pelos momentos de suporte e compreensão durante os três anos do curso de mestrado, mesmo que ainda não tenham entendido os diversos dias sem nossas brincadeiras. Agradeço a toda equipe do PCP do CENPES, pela contribuição profissional e intelectual nos mais diversos momentos de necessidade. Em especial ao Jorel, pela ajuda infinita e pelos conhecimentos divididos. Agradeço a minha mãe. Sem ela e meu pai, isto não teria acontecido. Agradeço também a todos os meus irmãos, que sempre me motivaram a progredir nos estudos. Aos companheiros de aula que contribuíram com minha formação acadêmica e profissional. Em especial: Diana, Diego, Matheus, Thiago e Fábio. Agradeço de coração!!! v

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.) ANÁLISE DE INCERTEZAS EM VIBRAÇÕES LATERAIS E DE TORÇÃO ACOPLADAS EM COLUNAS DE PERFURAÇÃO Joseir Gandra Percy Maio/2014 Orientador: Thiago Gamboa Ritto Programa: Engenharia Mecânica Neste trabalho, estudam-se as vibrações em colunas de perfuração em seu comportamento dinâmico acoplando as vibrações laterais com as de torção. A construção do modelo matemático é baseado na teoria de viga de Euler-Bernoulli e com a aplicação de elementos finitos para solução numérica do sistema de equações diferenciais. Um modelo de coluna para poço vertical profundo é implementada. A influência do estado de tensões axiais da coluna é considerado na influência sobre a rigidez de flexão da coluna. São realizadas análises modais para caracterizar a dinâmica da estrutura. A influência de um estabilizador na coluna é analisada. Devido a natureza dos cenários de construção de poços de petróleo, a incerteza nas variáveis de perfuração e da rocha são intrínsecos ao desenvolvimento do tema. Assim, análises estocásticas nas principais variáveis serão abordadas tanto na análise modal como na análise dinâmica da coluna. Com este estudo, espera-se identificar as variáveis e os parâmetros em que a incerteza possa influenciar com maior impacto no comportamento dinâmico e na mitigação da ocorrência de vibrações na coluna. vi

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.) UNCERTAINTIES ANALYSES IN COUPLED LATERAL AND TORSIONAL VIBRATIONS IN DRILL-STRING Joseir Gandra Percy May/2014 Advisor: Thiago Gamboa Ritto Department: Mechanical Engineering Throughout this work, we study the vibrations in drill-strings and their dynamic behavior engaging the lateral and torsional vibrations. The construction of the mathematical model is based on the theory of Euler-Bernoulli beam and application of finite element method for numerical solution of differential equations. A vertical drill-string for deep well is analyzed. The influence of the axial initial prestressed state due self-weight and weight on bit is count in the bending stiffness of the column. Modal analyzes are performed to characterize the dynamic structure. Influence of stabilizer position is performed. Due to the nature of the scenarios construction of oil wells, uncertainties in the variables drilling and rock are intrinsic to the development of the theme. Thus, stochastic analyzes in the main variables will be addressed both in modal analysis and dynamic analysis for the column. This study is expected to identify the variables and parameters in which variation may influence higher value on the dynamic behavior and mitigate the occurrence of vibrations in the column. vii

Sumário Lista de Figuras Lista de Tabelas Lista de Símbolos Lista de Abreviaturas x xiii xiv xviii 1 Introdução 1 1.1 Motivação................................. 1 1.2 Objetivo.................................. 3 1.3 Organização................................ 4 1.4 Poços de Petróleo............................. 5 1.5 Coluna de Perfuração........................... 6 1.6 Sistemas Rotativos............................ 9 1.7 Parâmetros operacionais de perfuração................. 9 1.8 Vibrações nas colunas de perfuração................... 11 2 Revisão Bibliográfica 16 3 Modelo Matemático 25 3.1 Modelagem da viga............................ 27 3.2 Discretização por elementos finitos................... 29 3.2.1 Matrizes elementares....................... 31 3.2.2 Influência do peso próprio.................... 32 3.2.3 Condições de contorno...................... 33 3.3 Análise Modal............................... 34 3.4 Análise Estocástica............................ 35 3.5 Análise Dinâmica............................. 37 3.5.1 Matriz de amortecimento..................... 38 3.5.2 Torque na broca......................... 40 3.5.3 Desbalanceamento de massa................... 41 viii

3.5.4 Interação da coluna com a parede do poço........... 41 3.6 Análise das Vibrações........................... 42 3.6.1 Análise das vibrações laterais.................. 43 3.6.2 Análise das vibrações de torção................. 44 4 Resultados Obtidos 45 4.1 Análise Modal Determinística...................... 45 4.1.1 Coluna uniforme......................... 45 4.1.2 Coluna com tubos de perfuração e BHA............ 46 4.1.3 Variando o comprimento dos tubos de perfuração....... 46 4.1.4 Coluna com estabilizador..................... 49 4.1.5 Flambagem da coluna de perfuração.............. 51 4.2 Análise Modal Estocástica........................ 53 4.2.1 Incerteza na espessura do tubo do BHA............ 53 4.2.2 Incerteza do diâmetro externo dos tubos de perfuração.... 55 4.2.3 Incerteza da rigidez da formação no estabilizador....... 60 4.3 Análise Dinâmica Determinística.................... 65 4.3.1 Caso 1: Sem desbalanceamento de massa............ 65 4.3.2 Caso 2: Com desbalanceamento da massa........... 66 4.4 Análise Dinâmica Paramétrica...................... 67 4.4.1 Variando comprimento do BHA................. 68 4.4.2 Variando comprimento dos tubos de perfuração........ 69 4.4.3 Variando posição do estabilizador................ 72 4.5 Análise Dinâmica Estocástica...................... 74 5 Considerações Finais 76 5.1 Conclusões................................. 76 5.2 Sugestões para trabalhos futuros..................... 78 Referências Bibliográficas 80 A Verificação do modelo matemático 86 A.1 Frequências Naturais da coluna..................... 86 A.2 Frequências naturais sob ação de força concentrada.......... 89 A.3 Frequências naturais sob ação da força distribuída........... 89 B Dados utilizados nas simulações 92 C Funções de interpolação 94 ix

Lista de Figuras 1.1 Esquema geral de uma sonda de perfuração. Adaptado (LEINE, 2000). 2 1.2 Poço telescópico e diâmetros usuais.................... 6 1.3 Brocas tricônicas de insertos e dente de aço (SMITH BITS, 2012)... 7 1.4 Brocas de PDC (SMITH BITS, 2012).................. 7 1.5 Tubo de comando liso (NOV, 2010).................... 8 1.6 Tubo de comando espiral (NOV, 2010).................. 8 1.7 Tubo de perfuração pesado (NOV, 2010)................. 9 1.8 Tubo de perfuração (NOV, 2010)..................... 9 1.9 Mesa rotativa e haste quadrada Kelly.................. 10 1.10 Ilustração do motor de topo (Top Drive) (TESCO, 2012)........ 10 1.11 Tipos de vibração da coluna. Adaptado (FRANCA, 2004)....... 12 1.12 Zonas ótimas de duas configurações de BHA similares......... 15 2.1 Torque versus rotação da broca (BRETT, 1991)............. 19 2.2 Flutuação do torque com e sem o sistema implementado....... 20 2.3 Torque versus rotação da broca (PAVONE e DESPLANS, 1994).... 21 2.4 Trajetória do centro geométrico do comando.............. 22 2.5 Curva atrito contínua e descontínua................... 23 3.1 Teoria de viga aplicada a coluna..................... 27 3.2 Relações para equação de torção..................... 29 3.3 Elemento de viga com dois nós...................... 30 3.4 Diâmetro externo do estabilizador em relação a broca.......... 34 3.5 Torque na broca variando parâmetro α 1................. 40 3.6 Torque na broca variando parâmetro α 2................. 41 3.7 Espaços entre a coluna e a parede do poço................ 42 3.8 Deslocamento lateral do BHA com e sem choque............ 43 4.1 Comportamento das frequências naturais com acréscimo de Lbha... 47 4.2 Comportamento das frequências naturais aumentando L dp....... 48 4.3 Comportamento das frequências variando a rigidez do estabilizador.. 49 4.4 Frequências nominais variando L stb................... 50 x

4.5 Frequências normalizadas variando L stb................. 50 4.6 Modos de vibração lateral de toda a coluna............... 51 4.7 Modos de vibração lateral no BHA.................... 52 4.8 Modos de vibração lateral de toda a coluna............... 52 4.9 Modos de vibração lateral no BHA.................... 53 4.10 Força crítica para flambagem variando a posição do estabilizador... 54 4.11 Envelope de frequências - t bha....................... 55 4.12 Histogramas das seis primeiras frequências naturais - t bha........ 56 4.13 Convergência - t bha............................. 57 4.14 Envelope de frequências - t bha....................... 57 4.15 Convergência - t bha............................. 58 4.16 Convergência das quatro primeiras frequências - t bha.......... 58 4.17 Envelope de frequências - De dp...................... 60 4.18 Histogramas das seis primeiras frequências naturais - De dp....... 61 4.19 Três primeiros modos de vibração lateral - De dp............. 62 4.20 Coeficientes de Variação para três posições do STB - K stb....... 63 4.21 Estabilizador no final do BHA - K stb................... 64 4.22 Estabilizador no meio do BHA - K stb................... 64 4.23 Estabilizador no início do BHA - K stb.................. 64 4.24 Zona ótima para o caso 1......................... 65 4.25 Velocidade da broca no caso 1 - [40 rpm]................. 66 4.26 Zona ótima para o caso 2......................... 67 4.27 Índice de vibração de torção........................ 68 4.28 Índice Id tor com a variação de L bha.................... 69 4.29 Deslocamentos laterais variando L bha................... 70 4.30 Índice Id tor com a variação de L dp.................... 71 4.31 Velocidade da broca variando L dp - [110 rpm, 8 klb]........... 71 4.32 Índice Id tor com a variação de L stb - λ 1 = 0............... 72 4.33 Velocidade da broca variando L stb - [110 rpm, 8 klb] e λ 1 = 0..... 72 4.34 Índice Id tor com a variação de L stb - λ 1 = 2000............. 73 4.35 Amplitude variando L stb - [110 rpm, 8 klb] e λ 1 = 2000......... 73 4.36 Índice Id tor durante as simulações (a cada cinco simulações)...... 74 4.37 Histograma e velocidade na broca para caso A.............. 75 A.1 Condições de colunas analisadas..................... 87 A.2 Frequências naturais na condição 1.................... 87 A.3 Frequências naturais na condição 2.................... 88 A.4 Frequências naturais na condição 3.................... 88 A.5 Primeira frequência da coluna sobre força concentrada de compressão. 89 xi

A.6 Primeira frequência da coluna sobre força concentrada de tração.... 90 A.7 w n1 e w n2 versus altura crítica...................... 91 C.1 Funções de interpolação para flexão.................... 95 C.2 Funções de interpolação para Torção................... 95 xii

Lista de Tabelas 4.1 Frequências naturais da coluna somente com tubos de perfuração... 46 4.2 Coeficiente de variação para coluna sem estabilizador: t bha aleatório.. 54 4.3 Coeficientes de variação para coluna com estabilizador: De dp aleatório. 59 A.1 Dados utilizados na validação...................... 86 xiii

Lista de Símbolos A Área da seção transversal, p. 27 C Matriz de amortecimento, p. 37 C i Funções com derivadas de ordem i existem e são contínuas, p. 29 Ch Ocorrência de choques na parede do poço, p. 43 E Módulo de elasticidade, p. 27 E(X) Valor esperado da variável aleatória X, p. 36 E(X E(X)) 2 Variância da variável aleatória X, p. 36 F ch Força do choque na parede, p. 42 F db Força de desbalanço, p. 41 G Módulo de cisalhamento, p. 28 I Momento de inércia, p. 27 Id lat Índice de choques laterais, p. 43 Id tor Índice de vibração de torção, p. 44 J Momento de inércia polar, p. 28 J e Jacobiano, p. 31 K e Matriz de rigidez elementar, p. 31 K parede Rigidez de restituição da parede do poço, p. 42 K stb Rigidez do estabilizador, p. 49 Kp e Matriz de rigidez axial, p. 32 L Comprimento total da viga, p. 28 xiv

L bha Comprimento dos tubos de perfuração pesados (Comandos), p. 46 L dp Comprimento dos tubos de perfuração (Drill pipes), p. 45 L stb Posição do estabilizador a partir da broca, p. 34 L t Comprimento total da coluna, p. 46 M Momento fletor, p. 27 M e Matriz de massa elementar, p. 31 N(ξ) Vetor com as funções de interpolação, p. 30 Re bha Raio externo do tubo do BHA, p. 42 Re dp Raio externo do tubo de perfuração, p. 42 S Esforço cisalhante, p. 28 T ch Torque devido ao choque na parede, p. 42 bha Espaço entre o BHA e a parede do poço, p. 42 dp Espaço entre o DP e a parede do poço, p. 42 Γ Função Gama, p. 37 Ω Domínio de integração, p. 28 Ω 0 Velocidade angular, p. 28 Φ Matriz de modos de vibração, p. 39 α Coeficiente de proporcionalidade para matriz de massa, p. 39 α 1, α 2 Constantes dependentes das propriedades da rocha, p. 23 β Coeficiente de proporcionalidade para matriz de rigidez, p. 39 β f Fator de flutuação, p. 32 u Vetor de deslocamentos, p. 37 u e Vetor de deslocamento nodal do elemento, p. 30 u e Deformação do elemento, p. 33 ü Vetor de aceleração, p. 37 xv

δ Dispersão de uma amostra, p. 36 δ Kstb Dispersão da rigidez do estabilizador, p. 60 u Vetor de velocidade, p. 37 λ Parâmetro de amplitude do desbalanço de massa, p. 41 µ Coef. de atrito cinético entre broca e rocha, p. 23 µ m Média de uma amostra, p. 36 µ p Coef. atrito cinético entre coluna e poço, p. 42 ω n Frequência natural, p. 35 ρ(x) Massa específica linear, p. 28 ρ aço Massa específica do aço, p. 32 ρ fluido Massa específica do fluido, p. 32 σ Desvio padrão de uma amostra, p. 36 τ(x, t) Torque distribuído, p. 28 θ(x, t) Deslocamento de torção, p. 28 w 1 Função arbitrária para flexão da viga, p. 28 w 2 Função arbitrária para torção da barra, p. 29 ξ Coordenada local do elemento, p. 30 ζ Amortecimento, p. 39 a g Parâmetro de forma, p. 37 a u, b u Limites do suporte de uma distribuição uniforme, p. 36 b g Parâmetro de escala, p. 37 dx Comprimento infinitesimal, p. 27 f(x, t) Força distribuída, p. 27 f(x a u, b u ) Função de x definida entre a u e b u, p. 36 f i Coef. para explorar torque na broca, p. 24 xvi

g(t) Força de excitação externa, p. 37 h e Tamanho do elemento, p. 30 m(x) Massa linear, p. 27 t bha Espessura dos tubos do BHA, p. 54 t sim Tempo total da simulação, p. 43 v Deslocamento lateral da coluna, p. 28 w Frequência, p. 39 x Eixo longitudinal da viga, p. 27 y Eixo transversal da viga, p. 27 z Eixo transversal da viga, p. 27 xvii

Lista de Abreviaturas API American Petroleum Institute, p. 59 BHA Bottom Hole Assembly, p. 3 CV Coeficiente de Variação, p. 35 DC Comandos - drill colars, p. 8 DET Determinante, p. 35 De Diâmetro externo, p. 59 HWDP Tubos de perfuração pesados - Heavy Weight Drill Pipes, p. 8 MEF Método dos Elementos Finitos, p. 25 MMC Método de Monte Carlo, p. 35 MWD Measured While Drilling, p. 13 PB Pressão de bombeio, p. 11 PDC polycrystalline diamond compact, p. 6 PME Princípio da Máxima Entropia, p. 36 PSB Peso sobre a broca, p. 11 SS Stick-Slip, p. 17 STB Estabilizador, p. 49 TOB Torque na broca, p. 17 TP Taxa de penetração, p. 11 T Torque, p. 11 VB Vazão de bombeio, p. 11 xviii

Capítulo 1 Introdução Principal fonte energética do mundo, o petróleo é extraído de rochas porosas localizadas em bacias sedimentares, a profundidades que variam de 100 m a 8000 m. Além de fonte energética, o petróleo está presente no dia-a-dia, desde o chiclete aos plásticos que utilizamos em diversas áreas com variadas formas e funções. Para retirar o petróleo da rocha é perfurado um poço com diâmetro aproximado de 75 cm, através da rotação de uma coluna de tubos com uma broca na extremidade inferior. Para se construir um poço de petróleo, é necessária a instalação na localização de uma sonda de perfuração, que pode ser terrestre ou marítima, capaz de montar os tubos da coluna de perfuração e aplicar os esforços requeridos para alcançar a profundidade desejada. A rotação na coluna é imposta pelo sistema rotativo presente na sonda. A figura 1.1 mostra um esquema de sonda de perfuração terrestre com os equipamentos envolvidos e fornece uma ordem de dimensão comparativa com o poço a ser perfurado. 1.1 Motivação Os danos causados pelas vibrações na coluna de perfuração e a perda de eficiência operacional tornam importante a maior compreensão do comportamento dinâmico da coluna de perfuração. Os custos envolvidos na restauração do dano é aproximadamente o dobro do custo da prevenção conforme MACDONALD e BJUNE (2007). Assim, um modelo matemático capaz de prever tal comportamento poderia ser uma forma eficiente de identificar situações suscetíveis a vibrações antes de se perfurar um poço. É bem claro que o comportamento dinâmico da coluna de perfuração não é 1

Figura 1.1: Esquema geral de uma sonda de perfuração. Adaptado (LEINE, 2000). completamente conhecido, e uma grande incerteza pode ocorrer nas diversas interfaces da coluna com a rocha. A incapacidade de manter constantes os parâmetros operacionais e o desconhecimento das não-linearidades constituintes motivam a aplicar, no modelo matemático, as incertezas associadas às condições operacionais visando assim identificar a confiabilidade do modelo diante da distribuição de probabilidade para os parâmetros escolhidos. A abordagem estocástica para análise de vibrações de coluna de perfuração, como a realizada por CHEVALLIER (2000), POLITIS (2002) e SPANOS (2002), resulta no desenvolvimento de técnicas de tratamento probabilístico. Ao adotar a abordagem probabilística, como no forçamento externo sobre a coluna, os resultados devem ser tratados e analisados no contexto estocástico. Diante disso, gerou a motivação de aplicar a incerteza natural dos parâmetros em um modelo matemático que represente a coluna de perfuração. Diante da consideração de incertezas na análise da dinâmica da coluna, empregou-se a construção de um modelo matemático simplificado para a coluna de perfuração, compreendendo somente um plano de flexão, ao invés de dois, como seria em um modelo completo. Esta simplificação visa dar melhor entendimento aos resultados diante da incertezas impostas nos mais diversos parâmetros e condições da estrutura. 2

1.2 Objetivo O objetivo deste estudo é realizar um modelo matemático capaz de representar o comportamento dinâmico da coluna de perfuração, inserindo as não-linearidades pertinentes, como interação da broca com a rocha e da coluna com a parede, e considerando as incertezas intrínsecas do cenário da construção de um poço de petróleo. Com o auxílio do modelo, identificar casos em que ocorrem ou não as vibrações de torção (stick-slip) e/ou as vibrações laterais (choques na parede do poço) com parâmetros de poço determinísticos, e situações que, devido a incerteza de um parâmetro do cenário, possam desenvolver vibrações com a realização da análise estocástica. Atualmente, os projetos de coluna de perfuração não abrangem a modelagem dinâmica como rotina para determinar o melhor conjunto de BHA a ser utilizado nas operações. De modo geral, somente o projeto estático é realizado com foco na flambagem, cargas de gancho e no peso disponível para a broca. Assim, o modelo matemático capaz de representar a dinâmica envolvida na perfuração do poço de petróleo, com baixo custo computacional, será uma ferramenta útil na indústria para gerar melhores projetos e reduzir os custos das falhas associadas a vibração da coluna. O custo computacional, citado anteriormente, da modelagem dinâmica é um dos pontos negativos, e sempre dificultou a disseminação da análise dinâmica nos projetos de coluna de perfuração. Além do avanço tecnológico em equipamentos de alto desempenho, o foco em modelos com menor abrangência, tornam a realização da dinâmica mais acessível, com respostas de fácil compreensão pelo projetista da operação, e com baixo tempo de cálculo, mesmo nas situações de alteração em um dos componentes do Bottom Hole Assembly (BHA), podendo ser realizada durante a operação de perfuração. Deste a utilização dos dados geológicos a capacidade dos equipamentos da sonda utilizada na perfuração do poço, as incertezas estão presentes em todas as etapas do projeto do poço. Obter dados geológicos de rochas a mais de 2000 m de profundidade passa por diversos métodos, como sísmica, gravimetria e magnometria, e a interpretações dos dados obtidos, no ponto que uma simples reanálise pode alterar a classificação da dureza da rocha de média para alta, por exemplo. Os equipamentos da sonda tem grande impacto no projeto de poço, devido a variedade de tubos de perfuração e de BHA disponíveis e até pela capacidade de suporte de carga no sistema de elevação, fazendo que, no caso da indisponibilidade da sonda 3

pré-estabelecida no momento da operação, a alteração da sonda irá requerer a revisão de todo o projeto do poço. Os resultados esperados no estudo são os mapas de operação, tendo como ordenada a velocidade imposta na superfície e como abcissa o peso aplicado sobre a broca, em que são possíveis de visualizar com clareza a região ótima que poderá ser mantida a operação de perfuração para mitigar o surgimento de vibrações de torção e lateral na coluna. É esperado que a interação da coluna com a parede do poço cause instabilidade no movimento de torção da coluna, causando vibrações de torção. E que a incerteza nos parâmetros do poço irão causar vibrações em um percentil pré-determinado das simulações da análise estocástica. 1.3 Organização Esta dissertação é composta por cinco capítulos. Neste primeiro capítulo, além da motivação, do objetivo do texto e da organização, são apresentados uma pequena introdução a metodologia de construção de poços de petróleo, os elementos constituintes da coluna de perfuração, os sistemas rotativos, os parâmetros operacionais de perfuração e uma breve introdução sobre os tipos de vibrações sofridas pela coluna de perfuração. O capítulo 2 é apresentado a revisão bibliográfica do estudo dinâmico da coluna de perfuração. Os primeiros trabalhos sobre o assuntos surgiram no final da década de 1950 e com abordagem utilizando os parâmetros de superfície. Com o desenvolvimento de tecnologia que permitiu a colocação de sensores na coluna, e portanto no fundo do poço, houve um aumento de publicações sobre vibrações tanto na indústria como no meio acadêmico, a partir da virada do milênio. O capítulo 3 é destinado a apresentar o modelo matemático criado para coluna de perfuração. O modelo de viga de Euler-Bernoulli foi utilizado com a discretização em elementos finitos para modelagem das vibrações laterais. Para as vibrações de torção, a coluna é modeladas com um eixo de seção vazada. São demonstradas as equações diferenciais que descrevem o movimento e a formulação fraca para os movimentos laterais e de torção. É apresentado o elemento com seus respectivos deslocamentos e as matrizes elementares. A influência do peso próprio da coluna é considerado na rigidez da coluna e as condições de contorno para a coluna de perfuração durante a operação. As premissas dos dois tipos de análises realizadas (modal e dinâmica) são definidas. Os índices de quantificação das vibrações laterais 4

e de torção são apresentados. No capítulo 4, são apresentados todos os resultados obtidos das duas análises realizadas. Em cada análise, foram realizadas casos determinísticos e estocásticos. Na análise modal, as frequências naturais e os modos de vibração são organizados para caracterização dinâmica da coluna. Na análise dinâmica, gráficos mostrando a velocidade da broca ou o deslocamento lateral do BHA, são utilizados para evidenciar a ocorrência de vibrações. Mapas característicos da zona ótima de operação são concebidos visando identificar os melhores pares de rotação de superfície e peso sobre a broca a ser aplicado. Na abordagem dos casos estocásticos, histogramas, envelopes de frequências, convergência e o coeficiente de variação são os gráficos que auxiliam na análise dos resultados. O fechamento do estudo está no capítulo 5 onde são apresentadas as considerações finais, as conclusões e os trabalhos futuros que podem ser desenvolvidos para a continuação do estudo no tema. 1.4 Poços de Petróleo O poço de petróleo é construído de forma telescópica, conforme visto na Fig. 1.2. Um poço típico inicia-se com a perfuração por uma broca de 66 cm (26 polegadas) de diâmetro com uma ferramenta alargadora para 91,4 cm (36 polegadas). Ao atingir uma determinada profundidade, retira-se a coluna com a broca e desce-se um tubo com a função de sustentar as paredes evitando o fechamento do poço, denominado tubo de revestimento, com diâmetro de 1 a 10 cm menor que a broca retirada (BOURGOYNE et al., 1986). Após o posicionamento do tubo no poço, bombeia-se uma pasta de cimento para preencher o espaço entre o revestimento e o poço, com a função de fixar o tubo e prover isolamento hidráulico das formações rochosas mais profundas com a superfície. Assim, conclui-se uma fase do poço. Um poço típico pode possuir até 6 fases, para alcançar o objetivo geológico pré-definido. A fase posterior é menor no diâmetro do que a fase anterior. 5

Figura 1.2: Poço telescópico e diâmetros usuais. 1.5 Coluna de Perfuração A coluna de perfuração é a estrutura tubular responsável por levar a broca até a profundidade desejada. Além desta função, a coluna permite a circulação de fluidos para retirada dos fragmentos da rocha perfurada, transmissão de rotação para a broca e medição de informações geológicas, entre outras funções. A coluna de perfuração é composta pela broca, na extremidade inferior, BHA, logo acima da broca e explicado mais adiante, e os tubos de perfuração, conectados até a superfície. A coluna constitui o sistema dinâmico rotativo responsável por realizar a escavação das rochas, inclusive a rocha reservatório, de maneira segura e eficiente, ou seja, sem haver derrame do petróleo para o ambiente e no menor custo possível. O menor custo está atrelado em quase a totalidade dos casos, ao menor tempo possível de execução na construção do poço. As brocas podem ser classificadas de acordo com sua constituição: com partes móveis ou sem partes móveis. As brocas tricônicas são as brocas com partes móveis mais utilizadas na indústria. Geralmente são indicadas para formações homogêneas. Podem ser de insertos, fixados por interferência nos cones, ou dentes de aço, integrais aos cones, conforme Fig. 1.3. Entre as brocas sem partes móveis, as brocas de PDC (Polycrystalline Diamond Compact) são as brocas mais utilizadas. São formadas 6

por haletas com cortadores de diamante sintético (ver Fig. 1.4) para cisalhar a rocha. Assim, é aplicado menor peso sobre a broca e maior rotação. De modo geral, são recomendadas para trechos de formações intercaladas, ou seja, heterogêneas (BOURGOYNE et al., 1986). Figura 1.3: Brocas tricônicas de insertos e dente de aço (SMITH BITS, 2012). Figura 1.4: Brocas de PDC (SMITH BITS, 2012). O BHA é composto por ferramentas de sensoriamento, de direcionamento da broca para construção de poços direcionais, de aumento de rotação, de estabilizadores e de tubos de grande espessura, entre outras mais específicas. As ferramentas de sensoreamento tem a função de obter dados petrofísicos das rochas que foram perfuradas, balizando assim a análise geológica das formações existentes. As ferramentas de direcionamento permitem realizar trajetórias 7

direcionais e horizontais com o poço, objetivando maior área de interface para realizar a maior explotação possível do petróleo existente no reservatório. Algumas ferramentas fornecem rotação extra para a broca devido ao movimento produzido pelo deslocamento do fluido em uma haste helicoidal, caso do motor de fundo, ou pela deflexão do fluxo, que é o caso da turbina. Assim, pode-se atingir maiores taxas de perfuração com a consequente redução no tempo de construção do poço. Os tubos de grande espessura são utilizados para proporcionar peso para atuar na broca durante o corte da rocha, sendo essencial para cortar a rocha e avançar com a perfuração do poço. Na operação, o operador libera sobre a broca somente o peso dos elementos do BHA, para que a linha neutra da coluna fique posicionada nos tubos de grande espessura, e não ocorra a flambagem dos elementos mais esbeltos (tubos de perfuração). Os tubos de grande massa e inércia são conhecidos como comandos (drill colars - DC ). Podem ser lisos (Fig. 1.5) ou espiralados (Fig. 1.6). Para realizar a transição de inércia entre os comandos e os tubos de perfuração, utiliza-se tubos de inércia intermediária conhecimentos como tubos de perfuração pesados (heavy weight drill pipes - HWDP) mostrado na Fig. 1.7. Os tubos de perfuração, que compõem a grande parte da coluna e apresentado na Fig. 1.8, são tubos sem soldas (assim como os comandos e tubos pesados), com reforços nas extremidades para alojamento das roscas que permitem a conexão rápida e estanque com os demais tubos. Tem como principais funções: transmissão de rotação e torque para a broca, circulação de fluido e resistência a tração quando solicitado. Possuem flexibilidade elevada a ponto de permitir a construção de poços direcionais e horizontais de grande extensão. Figura 1.5: Tubo de comando liso (NOV, 2010). Figura 1.6: Tubo de comando espiral (NOV, 2010). 8

Figura 1.7: Tubo de perfuração pesado (NOV, 2010). Figura 1.8: Tubo de perfuração (NOV, 2010). 1.6 Sistemas Rotativos O sistema rotativo da sonda de perfuração aplica rotação na coluna de perfuração na superfície, para que esta seja transmitida para a broca no fundo do poço e haja o corte da rocha. Este movimento é contínuo e é mais eficiente do que outros métodos de perfuração já utilizados no passado como por exemplo, o método percussivo (RITZIUS, 1993). Existem dois tipos de sistemas: mesa rotativa (Rotary Table) ou motor de topo (Top Drive). O sistema que utiliza a mesa rotativa, representado na Fig. 1.9 e geralmente encontrado em sondas terrestres, aplica a rotação em uma haste de seção transversal quadrada ou hexagonal, denominado Kelly. A perfuração é feita tubo a tubo, conectados na extremidade do Kelly. O sistema de rotação pelo motor de topo, ilustrado na Fig. 1.10, normalmente encontrado em sondas marítimas e nas terrestres de grande capacidade, aplica a rotação na seção superior do próprio tubo de perfuração. Assim, é possível utilizar até 3 (três) tubos de uma vez, o que reduz o tempo necessário para realizar as conexões entre tubos. 1.7 Parâmetros operacionais de perfuração Durante a perfuração, o acompanhamento e a análise do sistema mecânico da coluna de perfuração se dá pela interpretação dos parâmetros de superfície impostos e medidos. Em poucos cenários de exploração são utilizados sensores próximos a broca com envio de dados em tempo real para a superfície. Os principais parâmetros analisados no acompanhamento da operação são: 9

Figura 1.9: Mesa rotativa e haste quadrada (Kelly). Adaptado (ENCYCLOPAE- DIA BRITANNICA, 2012). Figura 1.10: Ilustração do motor de topo (Top Drive) (TESCO, 2012). 10

Peso sobre a broca (PSB): É a força atuando sobre a broca para que ocorra a identação dos cortadores, insertos ou dentes na rocha a ser perfurada. Esta força é aplicada pelo operador ao liberar o peso dos tubos que compõe o BHA do guincho de sustentação da coluna. Ou seja, não ocorre a compressão dos tubos de perfuração. A linha neutra é mantida dentro dos tubos de parede espessa do BHA. Rotação: Junto com o PSB, fornece energia mecânica para a perfuração da rocha. Pode ser aplicada na superfície ou através de equipamentos especiais no BHA. Apresenta flutuações no valor devido a interação da broca com a rocha e as forças de contato na coluna. Torque (T): Binário necessário para manter a coluna na rotação especificada. Sua análise durante a operação permite identificar a interação da broca com a rocha e da coluna com a parede do poço. Vazão de bombeio (VB): Proporciona a remoção dos cascalhos de rocha já perfurada, evitando o retrabalho e a perda de eficiência. Deve possuir potencial hidráulico capaz de transportar os cascalhos até a superfície. Pressão de bombeio (PB): É dependente direta da vazão devido às perdas de cargas do elementos da coluna. através da sua variação. Taxa de penetração (TP): É possível identificar cenários do poço É função de todos os parâmetros empregados no corte da rocha. Serve como quantificador da eficiência do sistema mecânico empregado. Através da variação durante a operação, é possível identificar mudança da rocha perfurada, desgaste da broca, etc. 1.8 Vibrações nas colunas de perfuração As vibrações apresentadas pela coluna de perfuração são extremamente complexas devidos aos diversos fatores que agem na dinâmica da operação, como a interação broca-rocha e a interação da coluna com a parede do poço. Aspectos de hidráulica e geológicos da formação sendo perfurada, também possuem impactos relevantes na resposta dinâmica da coluna. No comportamento dinâmico da coluna pode se observar três tipos básicos de vibrações que reduzem a eficiência operacional: vibrações axiais, laterais e de torção (conforme Fig. 1.11). Todas as vibrações, além de reduzir a eficiência aumentando o custo do poço (MACDONALD e BJUNE, 2007), podem causar 11

danos estruturais aos elementos da coluna, falhas por fadiga dos componentes, redução do controle direcional, falha dos sensores eletrônicos e desgaste acentuado dos tubos que revestem o poço. Estudos e análises para mitigar as vibrações ocorridas na perfuração de poços de petróleo têm sidos realizados por diversos grupos da indústria assim como acadêmico, mostrando a relevância do tema e a necessidade de aprofundamento do conhecimento na questão. Figura 1.11: Tipos de vibração da coluna. Adaptado (FRANCA, 2004). Embora em sua maioria os efeitos da vibração sejam maléficos à prática operacional, existem na literatura alguns casos em que as vibrações colaboram para aumento de eficiência operacional. DAREING (1985) apresenta resultados em que a variação do PSB trouxe resultados positivos sobre a TP. Algumas ferramentas, como apresentada em FRANCA (2004), utilizam da vibração, neste caso axial, para propiciar resultados positivos no desempenho da perfuração. Usadas de maneira positiva, as vibrações laterais podem aumentar a acuidade do controle direcional representando acréscimo na TP em poços direcionais, conforme apresentado por CHIN (1994) e KANE (1988). A vibração axial, também conhecida como vibração longitudinal, causa maior impacto no parâmetro PSB durante a operação, podendo fazer a broca perder contato com a rocha, fenômeno conhecido como bit-bounce, fazendo a força e o torque de contato desaparecerem e aparecerem rapidamente. O bit-bounce tem como consequências a baixa TP, fadiga excessiva nos componentes eletrônicos do 12

BHA e danos na broca. A vibração lateral, alternativamente chamada de vibração de flexão ou transversal, possui atenuação muito rápida, dificultando a percepção na superfície. Somente foi detectada com o desenvolvimento das ferramentas de medição no Measured While Drilling (MWD) (VANDIVER et al., 1990). Um importante subconjunto das vibrações laterais é o movimento de whirl do BHA. Whirl é a condição onde o centro de rotação de um elemento tubular não coincide com o eixo de rotação da coluna (AADNOY et al., 2009), sem necessariamente haver contato com o estator. Para a operação de perfuração, o whirl torna-se mais grave quando há contato da coluna com a parede do poço, devido ao surgimento de desgastes localizados e falhas nos sensores de medição. Pode ser forward, backward ou caótico. O movimento forward whirl é quando o elemento tubular gira no mesmo sentido da rotação da superfície. Assim, o mesmo lado do elemento mantém contato com a parede do poço. O movimento backward whirl ocorre quando o momento da força de atrito entre a parede do poço e a coluna é maior do que o torque gerado na superfície, causando inflexão nos momentos fletores da coluna, causando fadiga (JANSEN, 1991). Já o movimento caótico é devido ao contato errático com a parede do poço causando diversos pontos de contatos e choques no elemento tubular. Pode ocorrer ao reduzir a rotação da coluna durante o movimento de backward whirl. A vibração de torção, ou vibração rotacional, impede que a rotação imposta na superfície seja transferida para a broca, causando assim flutuações de grande amplitude durante a operação. Podem causar danos na broca (BRETT, 1991), desgaste nos tubos e falhas por fadiga nas conexões. O fenômeno stick-slip é designado como uma vibração auto-excitada induzida pela relação não linear entre o fator de fricção da rocha e da velocidade angular da broca (JANSEN et al., 1995). Entretanto, o fenômeno requer algumas condições de perfuração para se desenvolver. Stick-slip não ocorrerá se a coluna for menor que o comprimento crítico (LIN e WANG, 1990, 1991) e os parâmetros de PSB e rotação estejam dentro da zona ótima, explicada mais adiante. O stick-slip é dado pela variação de velocidade sofrida na coluna durante a perfuração da rocha. Devido ao maior potencial de danos na broca, é geralmente detalhado na extremidade inferior da coluna com referência a velocidade da superfície. Na fase stick, ocorre a redução da velocidade, podendo no caso extremo, parar a rotação. Esta redução se dá pela incapacidade da força superar o atrito cinético proveniente do corte ou de outra região da coluna. Na fase de slip, 13

ocorre a aceleração da rotação da broca, devido ao atrito cinético ser inferior ao atrito estático, podendo alcançar o dobro do valor da rotação imposta, causando sérios danos a estrutura e aos cortadores. É considerado um dos mais prejudiciais tipos de vibração, reduzindo rapidamente a vida útil da coluna de perfuração e dos equipamentos do BHA (KHULIEF et al., 2007). O fenômeno stick-slip para vibrações de torção na perfuração de poços é diferente da notação adotada na mecânica clássica. A mecânica clássica só considera o fenômeno de stick-slip quando ocorre a parada do rotor, ou seja, a velocidade torna-se nula. Durante a operação de construção do poço de petróleo, os diversos tipos de vibração podem ocorrer simultaneamente, aumentando drasticamente a complexibilidade do sistema dinâmico da coluna de perfuração. A broca de perfuração realiza um papel importante no acoplamento dos tipos de vibração, devido a conversão de vibração axial em vibração de torção, relacionando T com PSB. Como enfatizado por CHIN (1994), a análise separada de cada tipo de vibração pode ser considerado limitado e fora do foco dos efeitos reais que acontecem durante a operação. Entretanto, a análise separada de cada tipo é crucial para entendimento físico do sistema e permite o aprofundamento do conhecimento no comportamento dinâmico escolhido. Existem diversas formulações matemáticas na literatura investigando aspectos específicos do comportamento dinâmico da coluna de perfuração. Uma das maiores dificuldades na modelagem do fenômeno stick-slip é na inexatidão da descrição de alguns parâmetros envolvidos e das condições de contorno impostas pelo poço perfurado. Além disso, a análise numérica do problema torna-se mais um grau de complexibilidade, devido ao mecanismo de atrito cinético e estático ser descontínuo (LEINE et al., 1998). O conceito de Zona Ótima (visto na Fig. 1.12) é muito utilizado na definição dos parâmetros de perfuração, pois apresenta de maneira prática o mapa que deve ser seguido para obter as melhores taxas sem o surgimento de vibrações. WU et al. (2010) através de um modelo dinâmico da coluna que considera as propriedades mecânicas da rocha, o projeto da broca (incluindo cortadores, corpo e perfil), características físicas e geométricas do BHA, trajetória do poço e características das formações, como heterogeneidade, anisotropia e intercalações) demostra a criação da Zona Ótima. Através de combinações de peso sobre a broca e rotação da coluna são gerados pontos que demostram a ocorrência das vibrações de torção ou lateral. Usando 14

as limitações operacionais como peso sobre a broca limite para ocorrência de flambagem na coluna e o limite de torque que pode ser imposto pelo sistema rotativo da sonda, a região da zona ótima pode ser reduzida e até desaparecer. Para alterar os limites da zona ótima é necessário alterar as características do projeto da broca e a composição do BHA, já que os outros parâmetros são dependentes do poço. No artigo, são apresentados dois casos de estudos com alterações na broca e no posicionamento do BHA que resultaram em melhor desempenho de perfuração (maiores taxa de penetração) e diminuição dos níveis de vibração no BHA. Na Figura 1.12 é apresentado a zona ótima após a inversão da posição dos comandos em relação ao estabilizador e o alargador. No BHA-1, os comandos estão abaixo do alargador. No BHA-2, os comandos estão acima do alargador, e é adicionado um segundo estabilizador. Pode ser perceber que há um aumento da zona ótima para o BHA-2. Figura 1.12: Zonas ótimas de duas configurações de BHA similares. Adaptado (WU et al., 2010). 15

Capítulo 2 Revisão Bibliográfica O desenvolvimento de pesquisas em vibração de colunas de perfuração remete ao final dos anos 50, onde foram feitas as primeiras análises modais da estrutura como um sistema contínuo (BAILEY e FINNIE, 1960) e a primeira abordagem probabilística de vibrações em colunas de perfuração (BOGDANOFF e GOLDBERG, 1958). A avaliação da vibração era feita através dos sensores de superfície, capazes de medir as forças e deslocamentos do topo da coluna. Entretanto, devido ao amortecimento provocado pelo comprimento da coluna, as oscilações eram bastante atenuadas, impossibilitando muitas vezes a correta avaliação das vibrações junto à broca (DYKSTRA et al. (1994); PAVONE e DESPLANS (1994)). BOGDANOFF e GOLDBERG (1958) apresentou em 1958 a primeira abordagem probabilística para tratar de vibrações em colunas de perfuração. Os autores investigaram a distribuição desconhecida de tensões nos elementos do BHA e debateram se a formulação em termos de variáveis aleatórias era útil. O modelo matemático foi construído considerando as vibrações axiais e de torção. A relação PSB e TB foi modelada como uma distribuição normal com média zero. Foi adotado que a coluna era suficientemente estável para considerar as médias e variâncias do PSB e do TB como constantes. Nenhum exemplo numérico foi apresentado devido a insuficiência de dados pertinentes disponíveis. BAILEY e FINNIE (1960) apresentaram uma abordagem analítica para o problema de vibrações axiais e de torção em colunas de perfuração. Partindo da equação da onda, foram determinadas as frequências naturais do sistema em função de suas condições de contorno. Tais resultados foram comparados com medições de campo e para o caso de vibrações de torção, verificou-se que as condições de contorno eram: livre na broca (a qual era uma boa aproximação para escorregamento puro, conforme LEINE (1996), e fixa no topo da coluna. 16

Utilizando pela primeira vez medidas de força e movimento no fundo de poço, DEILY et al. (1968), conseguiram registrar as forças axiais, de torção e flexionais; momento flexional e as acelerações axiais, laterais e angulares. Grande flutuações de PSB foram registradas. Algumas vezes o PSB alcançava valores nulos, o que implica que houve perda de contato com o fundo do poço; foi verificado pela primeira vez o bitbounce. Relação entre o torque na broca (TOB) e o PSB foi verificada. Valores negativos de torque foram registrados. Um pico na frequência de vibração foi encontrada na velocidade de três vezes a da rotação da coluna. CUNNINGHAM (1968) realizando uma análise adicional dos dados registrados por DEILY et al. (1968) confirmou a excitação na velocidade de três vezes a rotação da coluna e relacionou ao padrão da superfície do fundo do poço. Se uma frequência natural axial correspondesse a três vezes a rotação da coluna, então um pequeno deslocamento vertical na broca será amplificado devido a ressonância. CUNNINGHAM relatou o fenômeno de batimento angular encontrado no sinal registrado da aceleração angular. Sua observação de que a broca obteve em alguns momentos rotação máximas de 92 rpm e em outros momentos ficou estática. Foi a primeira observação de stick-slip (SS) em colunas de perfuração. Também foi mencionado que este batimento angular teve maior ocorrência em velocidades baixas de rotação do que nas velocidades altas, como um prelúdio do conceito de velocidade crítica de rotação para ocorrência de SS. BELOKOBYL SKII e PROKOPOV (1982) apresentaram um tratamento analítico para vibração torsional em colunas de perfuração. Grande parte deste tratamento foi baseado nos resultados analíticos anteriores encontrados para casos de stick-slip de maneira genérica. Adicionalmente, os autores introduziram o conhecimento do atrito torsional induzido para vibrações de colunas. HALSEY et al. (1986) apresentaram um estudo baseado nos cálculos das frequências de ressonância de torção através da análise de Fourier. O efeito do tooljoint foi incorporado por um fator de correção para o número da onda na equação utilizada. Esta correção foi válida para frequências abaixo de 40 Hz. Eles compararam dados experimentais de superfície com as frequências de ressonâncias previstas e encontraram uma boa correlação. As frequências de torção não foram afetadas pela taxa de rotação e nem pelo PSB. Os dados de campo foram obtidos na perfuração de um poço praticamente vertical. DAWSON et al. (1987) investigaram as oscilações de torção em colunas de 17

perfuração de forma semi-analítica. Eles adotaram uma curva linear para o atrito na fase de escorregamento (slip) e aplicou a um modelo de um grau de liberdade. Comparações com resultados experimentais mostraram boa concordância. Os dados de campo foram obtidos de um poço direcional profundo de baixa inclinação. A análise dos dados mostrou que a amplitude e a frequência aumentam com a velocidade de rotação, embora a frequência tenha uma menor taxa de crescimento. O modelo também previu a velocidade crítica de rotação acima de qual o stick-slip não ocorre, sendo verificado em campo. Eles sugerem que as oscilações de torção possam ser reduzidas com a redução do coeficiente de atrito estático. KYLLINGSTAD e HALSEY (1988) modelaram a coluna de perfuração como um pêndulo torsional simples e adotaram o atrito como estático. O modelo simples de um grau de liberdade permitiu a construção de expressões analíticas no tempo para stick-slip. Isto corroborou que o modelo de um grau de liberdade com rotação constante na superfície superestima o movimento do BHA. O modelo previu a frequência do stick-slip ligeiramente inferior do que o primeiro modo de frequência natural de torção. O controle de torque na superfície foi identificado como uma possibilidade de mitigar o stick-slip. HALSEY et al. (1988), investigaram os registros de torque para redução e mitigação do stick-slip. Um controle convencional de velocidade foi desenvolvido para manter a velocidade de superfície o mais constante possível, independente da variação de torque. Este sistema foi o primeiro controlador voltado para evitar as oscilações de torção em colunas. Entretanto, os sensores mostraram se vulneráveis e custosos. LIN e WANG (1990, 1991) investigaram as vibrações de torção em colunas de perfuração numericamente encontrando resultados semelhantes aos descritos anteriormente na literatura. A amplitude da variação da velocidade, ou seja, a intensidade do stick-slip, aumenta conforme a velocidade angular aumenta, mas esta variação desaparece quando a velocidade de rotação ultrapassa uma velocidade angular crítica. BRETT (1991) estudou em laboratório a vibração torsional com uma broca PDC de três modos diferentes: em uma máquina de teste, em uma sonda de escala real e com abordagem teórica. Curvas de atrito relacionando torque na broca com a velocidade angular na broca foram obtidas experimentalmente com brocas de PDC novas e desgastadas (Fig. 2.1). As curvas de atrito obtidas mostraram um decaimento suave do torque com o aumento da velocidade, mas como o número 18

de dados foi insuficiente, principalmente para baixas velocidades, não foi possível visualizar o ponto de atrito estático. Os experimentos também revelaram que o TB foi proporcional ao PSB para todas as velocidades observadas. Com a broca desgastada, a taxa de declínio na curva do atrito foi mais acentuada do que com a broca nova e mais tendenciosa a ocorrência de stick-slip. Esta diferença foi atribuída a dificuldade de remoção dos cascalhos da rocha através do mecanismo de esmagamento. Uma broca nova realiza a perfuração pelos mecanismos de cisalhamento e de esmagamento. BRETT usou a curva suave de atrito em modelos numéricos. A previsão do modelo teve boa compatibilidade com as medidas no teste de escala real em um poço vertical. Foi observado no teste que a vibração torsional pode ser reduzida pelo decréscimo do PSB e/ou acréscimo da velocidade de rotação. O autor alerta para outros modos de vibração podem ser excitados com o aumento da velocidade. Figura 2.1: Torque versus rotação da broca (BRETT, 1991). DUFEYTE e HENNEUSE (1991) investigaram dados de poços perfurados entre 1988 e 1990. Oscilações de torção estavam presentes em 50% do tempo e estavam correlacionados com brocas desgastadas, falhas em ferramentas do BHA e nos tubos de perfuração. A análise do desgaste nos cortadores da broca sugeriu a existência de rotação reversa. Uma equação empírica foi estabelecida afirmando que o período de oscilação é 2 s por 1000 m de tubos com 5polegadas de diâmetro externo. A velocidade crítica varia consideravelmente de acordo com os equipamentos e as condições do poço. Com o aumento do PSB, também se aumenta as forças de contato, o stick-slip é mais frequente e mais severo. A influência do tipo de 19

fluido utilizado não foi conclusiva. A litologia é o principal fator na ocorrência do stick-slip. Durante a perfuração de formações estratificadas, as ondas de torção são desenvolvidas ao se cruzar zonas de maior percentual de argila. Lubrificantes testados foram eficazes na eliminação do stick-slip. Esta observação foi confirmada por LEINE (1996). Comparação de corridas com e sem stick-slip em condições similares levaram a conclusão de que o stick-slip reduz a taxa de penetração da perfuração. JAVANMARDI e GASPARD (1992) utilizaram em poços marítimos um sistema desenvolvido pelo Instituto de Pesquisa da Shell para manter a velocidade de rotação constante, aprimorando o controlador descrito em HALSEY et al. (1988), e obter dados da velocidade de rotação e do torque diretamente da voltagem e da corrente dos motores da sonda. Os efeitos do sistema na flutuação do torque e nas condições de stick-slip foram significantes conforme apresentado na Fig. 2.2. Figura 2.2: Flutuação do torque com e sem o sistema implementado em JAVAN- MARDI e GASPARD (1992). PAVONE e DESPLANS (1994) utilizando dados sincronizados em tempo real, tanto de fundo como de superfície, definiram com mais detalhes a relação TB com a velocidade de rotação. Os dados mostraram claramente a fase de parada da broca (stick) e valores baixos de torque para rotações elevadas (Fig. 2.3). O torque medido no fundo do poço foi corrigido retirando as parcelas de inércia e de atrito abaixo do sensor de medição tendo assim o TB com maior precisão. Com a análise dos dados, o autor sugere que o torque decresce com o aumento da rotação. De acordo com os dados de campo, o TB é dependente do PSB da ordem de potência de 1,1. VAN DEN STEEN (1997) realizou um estudo extensivo e apresentou um modelo da coluna de perfuração em forma de matrizes de transmissão. O modelo não-linear foi considerado linear na fase de parada (stick) e no escorregamento (slip). Isto 20

Figura 2.3: Torque versus rotação da broca (PAVONE e DESPLANS, 1994). permitiu a solução numérica rápida dos ciclos de stick-slip utilizando as matrizes fundamentais de solução 1. Entretanto, para a solução do modelo foi adotado que a velocidade da broca sempre será igual ou maior do que zero. A solução fechada analítica foi encontrada para o período de oscilação de um sistema com um grau de liberdade. O autor também estudou os modos de oscilação relativos às altas frequências e modos de redução. CHRISTOFOROU e YIGIT (1997) apresentaram um modelo de acoplamento de vibrações axiais e laterais para colunas com rotação, estendendo assim o modelo desenvolvido em YIGIT e CHRISTOFOROU (1996), considerando excitação paramétrica da broca-rocha e o desbalanceio de massa. O acoplamento não-linear entre as vibrações é realizado compatibilizando as deformações finitas de flexão e axial. Vibrações de torção não foram consideradas. As equações do movimento foram obtidas através da abordagem langrangeana. As forças de contato, o momento giroscópio e as forças hidrodinâmicas foram incluídos no modelo. As simulações apresentaram comportamentos não periódicos, sugerindo comportamento caótico quando a velocidade de rotação é superior a velocidade crítica de vibração lateral (ver Fig. 2.4). TUCKER e WANG (1999) apresentaram um modelo matemático integrado com seis graus de liberdade contínuos usando a teoria da Cosserat. Três destes localizados na linha de centróide da coluna de perfuração no espaço e três em termos das deformações de flexão, de torção e de cisalhamento, expressando assim o comportamento dinâmico da coluna. Acrescentando ao modelo as relações constitutivas apropriadas, que relacionam estas deformações ao acoplamento de flexão com torção junto com as forças de compressão e cisalhamento, podem ser avaliados os modos de vibração que são associados ao movimento da coluna de perfuração tanto em poços verticais como em poços direcionais. No artigo, o modelo 1 Matriz formada pelas soluções do sistema linear de equações diferenciais 21

Figura 2.4: Trajetória do centro geométrico do comando (CHRISTOFOROU e YI- GIT, 1997), sendo u 1 e u 2 os deslocamentos no plano transversal ao eixo da coluna. dinâmico tem foco na análise de estabilidade para a configuração da coluna em poços verticais após perturbações imposta na torção, axial e lateral assim como condições extremas de vibrações laterais. A modelagem do BHA e do sistema rotativo da sonda são realizados através de massa e inércias concentradas nas extremidades dos tubos de perfuração. Em 2003, TUCKER e WANG estenderam o trabalho realizado em 1999 com a implementação do modelo matemático com estratégias de otimização da perfuração em modo automático. Além do modo convencional de controle (HALSEY et al. (1988), JAVANMARDI e GASPARD (1992)), um novo modelo de estratégia de controle foi proposto baseado na avaliação da onda de propagação da variação de torque, realizando o controle tanto na superfície (torque imposto pelo top drive) como no torque originado pelas interações não-lineares do BHA e da broca com a formação. RICHARD et al. (2004) utilizou um modelo discreto considerando os modos de vibração axial e torsional acoplados pelo uso da interação broca-rocha contendo atrito de contato e o processo de corte da rocha pelos cortadores da broca. O processo de corte introduz um retardo no tempo nas equações do movimento sendo responsável pela existência de auto excitações na coluna de perfuração, as quais reduzem (limitam) a transferência de energia torsional para o movimento axial de perfuração. Em função da característica da rocha (ângulo de atrito interno) e da broca (distribuição espacial e ângulo dos cortadores, número de aletas), a vibração torsional pode ser desenvolvida sem o surgimento de vibrações axiais. 22

KHULIEF et al. (2007) apresentaram um modelo de elementos finitos para análise das vibrações de torção e axiais com consideração das deformações de flexão em ambos os modos. Além disto, o efeito do peso próprio da coluna, ignorado em outras formulações, foi incluído. Na construção do modelo, supõe-se que a broca nunca perde contato com a formação e que não há vibração lateral, a inclusão do movimento axial nas oscilações de torção se dá pelo acoplamento do grau de liberdade axial com a velocidade angular introduzida pela definição do torque na broca (TOB) como sendo: ( T OB = µ P SB tanh θ + α 1. θ ) 1 + α 2. θ (2.1) 2 Onde µ é o coeficiente de atrito cinético, θ é a velocidade angular da broca. Os parâmetros α 1 e α 2 são dependentes das propriedades da rocha. O parâmetro µ tem dependência da característica de corte da broca, variando de brocas tricônicas e PDC. Esta formulação contribui para solução de um dos grandes desafios do modelo de vibração torsional: a descontinuidade do coeficiente de atrito entre estático e dinâmico, conforme apresentado na Fig. 2.5. A descontinuidade na solução de equações diferenciais causa grande prejuízo para o tempo computacional na realização da integração numérica. A representação suave para o TOB foi a melhor solução aliando precisão e custo computacional. Figura 2.5: Curva atrito contínua e descontínua. 23

SAMPAIO et al. (2007) apresentaram um estudo utilizando um modelo contínuo de viga não-linear em elementos finitos, e compararam os resultados com um modelo linear, obtido negligenciando a rigidez geométrica do modelo não-linear. Na comparação dos modelos, mostrou-se uma grande diferença dos resultados qualitativos e quantitativos. Sobre condição de stick-slip, o modelo linear representou picos de velocidade angular maiores do que o modelo não-linear, e a força de reação na superfície, mostrou-se diferente deste o instante inicial. Em relação ao torque reativo na broca, o coeficiente f i (θ) foi adicionado a formulação definida na Eq. 2.1 para explorar diferentes opções do modelo. Assim, a equação do torque na broca ficou definida por: ( T OB = µ P SB f i (θ) tanh θ + α 1. θ ) 1 + α 2. θ (2.2) 2 Sendo: f i (θ) = { f 1 (θ) = (1 + cos(θ))/2 f 2 (θ) = 1 (2.3) onde f i é o coeficiente para explorar opções do modelo de torque na broca. GERMAY et al. (2009) apresentou uma descrição matemática através de um modelo contínuo para a coluna de perfuração, sendo possível computar os mais diversos modos de vibração da estrutura. A avaliação da dinâmica da coluna é proposta pela utilização de duas equações da onda, geometricamente desacopladas, que governam as vibrações axiais e de torção. O acoplamento entre as equações diferenciais é feito através das leis de interação broca-rocha. Para a discretização da coluna, foi utilizado o método dos elementos finitos. A metodologia proposta no estudo é capaz de reproduzir os resultados obtidos pelos trabalhos anteriores. Além disso, verificou-se que em certas condições, o desenvolvimento de vibrações de torção está associado a frequências naturais diferentes da fundamental. RITTO (2010), RITTO et al. (2009) analisaram a dinâmica não linear da coluna de perfuração incluindo incertezas no modelo. O modelo mecânico e matemático foi desenvolvido para considerar a interação fluido-estrutura, impactos, não linearidades geométricas e interação broca-rocha. O sistema foi discretizado através do método de elementos finitos. Para considerar as incertezas, foi utilizado a abordagem probabilística não paramétrica (SOIZE, 2000). As funções de densidade de probabilidade foram construídas usando o Princípio da Máxima Entropia e a resposta estocástica do sistema foi obtida através de simulações de Monte Carlo. A otimização do sistema foi realizada para determinação dos parâmetros operacionais do sistema que maximizam o desempenho e respeitam os limites de integridade como fadiga e a instabilidade torsional. 24

Capítulo 3 Modelo Matemático A modelagem da coluna para análise das vibrações ocasionadas pela operação de perfuração de poços de petróleo possuem diversos formatos e abordagens. Modelos discretos com um grau de liberdade representando o BHA e os tubos de perfuração representados através de elementos elásticos e de dissipação foram empregados em diversos estudos como DAWSON et al. (1987), KYLLINGSTAD e HALSEY (1988), BESSELINK (2008), RICHARD et al. (2004) e RICHARD et al. (2007). Esta modelagem é mais simples, mais adequada para análises qualitativas de vibrações, e possuí baixa acurácia para abordar o acoplamento entre modos de vibrações. Alguns autores, como ABBASSIAN e DUNAYEVSKY (1998), BRETT (1991) e JANSEN et al. (1995), incluíram mais um grau de liberdade no modelo com objetivo de representar a inércia do sistema rotativo da sonda e analisar possíveis métodos de controle para mitigar a ocorrência de vibrações. Trabalhos mais recentes utilizaram métodos computacionais para analisar a coluna como sistema contínuo e com as não-linearidades pertinentes como CHRISTOFOROU e YIGIT (1997), TUCKER e WANG (1999), CHEVALLIER (2000), KHULIEF et al. (2007), GERMAY et al. (2009) e RITTO (2010). Alguns trabalhos fazem a abordagem acoplada dos modos de vibração, seja axial com torção (como SAMPAIO et al. (2007), KHULIEF et al. (2007) e RICHARD et al. (2007)) ou axial com lateral (como YIGIT e CHRISTOFOROU (1996)), outros realizam a modelagem completa da coluna de perfuração com todos os modos de vibração integrados. São os casos dos estudos de RITTO (2010), TUCKER e WANG (1999) e TUCKER e WANG (2003), entre outros. Na análise do modelo contínuo, é comumente utilizado o Método de Elementos Finitos (MEF) para discretização da estrutura, de modo a permitir a implantação de uma solução numérica aproximada das equações diferenciais parciais que regem o problema dinâmico. A utilização do MEF na análise dinâmica de colunas de 25

perfuração possui um custo computacional elevado. Assim, em muitos casos inviabiliza o sua aplicação. As referências neste estudo para o desenvolvimento da formulação de elementos finitos são FISH e BELYTSCHKO (2009) e REDDY (2005). O MEF foi desenvolvido em meados dos anos 1950 pela indústria aeroespacial. TURNER et al. (1956) publicaram um dos primeiros artigos no qual expuseram as principais ideias do método. Eles estabeleceram os procedimentos de montagem da matriz de elementos e a formulação para os elementos, mas não utilizaram o termo elementos finitos. Ray Clough, um dos co-autores do artigo de 1956, escreveu em seguida um artigo no qual foi usado pela primeira vez o termo elementos finitos, e ganhou muitos créditos como um dos criadores do método (FISH e BELYTSCHKO, 2009). Posteriormente, matemáticos descobriram um artigo de Courant, de 1943, no qual ele usou elementos triangulares com princípio variacional para resolver problemas de vibração (FISH e BELYTSCHKO, 2009). Em consequência, muitos matemáticos reclamam que esta foi a descoberta original do método. Nesta dissertação será utilizado um modelo contínuo da coluna de perfuração, discretizado em elementos finitos, e realizadas as análises modais e dinâmicas da estrutura. O plano lateral da coluna será baseado na teoria de vigas de Euler- Bernoulli. Esta teoria, frequentemente chamada de teoria de viga de engenharia ou teoria simples, considera que a rotação do elemento e a deformação de cisalhamento são muito menores do que a translação nos planos de flexão e as deformações de flexão, respectivamente. Em termos práticos, esta teoria é recomendada para estruturas reticuladas, ou seja, quando o comprimento do elemento é maior do que 10 vezes a maior dimensão da seção transversal (MEIROVITCH, 1975). A teoria de viga de Timoshenko, que considera a deformação de cisalhamento, embora englobe a teoria de viga de Euleu-Bernoulli, possui complexibilidade acima do foco deste estudo. Na rotação da coluna no eixo longitudinal, a teoria de torção em eixos circulares vazados será aplicada. Esta seção apresenta a formulação do modelo matemático desenvolvido. Primeiro, as relações geométricas e a formulação forte da equação que rege os deslocamentos. Em seguida, a construção da matriz de rigidez da estrutura, a qual considera os efeitos da pré-tensão da coluna. Após, a construção da matriz de massa será apresentada assim como a consideração da massa adicional de fluido. Com estas duas matrizes, poderá ser conduzida a análise modal da estrutura para obtenção das frequências de vibração. 26

3.1 Modelagem da viga São duas as premissas da modelagem da viga por Euler-Bernoulli: 1. as tensões de cisalhamento são muito menores do que as tensões de flexão. 2. a seção transversal deformada permanece plana e perpendicular ao eixo da viga. Assim, analisando um segmento infinitesimal da viga, conforme mostra a Fig. 3.1, sob o efeito da força distribuída f(x, t), e realizando o balanço das forças externas com os esforços internos, encontramos a equação 3.1. y f(x, t) Linha neutra indeformada x A(x) z f(x, t) M M + M x dx dx Figura 3.1: Teoria de viga aplicada em um elemento diferencial da coluna. ( ) 2 EI 2 y(x, t) +f(x, t) = m(x) 2 y(x, t) (3.1) x 2 x 2 t 2 Onde E é o módulo de elasticidade, I é o momento de inércia, f(x, t) é a força distribuída, M é o momento fletor atuante na seção e m(x) é a massa por unidade de comprimento da viga. A Equação 3.1, juntamente com as condições de contorno, representa a formulação forte do movimento da viga. É uma equação parcial diferencial de quarta ordem no deslocamento vertical da linha central da viga v(x, t). A solução da equação necessita da definição das condições de contorno (naturais ou essenciais) para determinar as constantes de integração. As condições de contorno para a coluna de perfuração podem ser descritas da seguinte forma: 1. Deslocamento transversal nulo na broca. 2. Deslocamento transversal e rotações nulas na superfície. Todas estas descrições podem ser vistas através das equações 3.2 a 3.3. 27

v(0, t) = 0; (3.2) v(l, t) = 0; e v(x, t) x = 0 (3.3) x=l Para aplicar a discretização em elementos finitos, as equações diferenciais parciais precisam ser reformuladas em uma forma integral chamada formulação fraca. Realizando a multiplicação da formulação forte (Eq. 3.1) por uma função arbritária w 1 (x, t), baseado no método de Galerkin para escolha de w(x, t), e integrando sobre os domínios de ação, utilizando para redução da ordem da derivada as propriedades de integração por partes, encontraremos: w 1 S + w 1 Ω x M Ω Ω 2 w 1 x 2 EI 2 y x dx + f w 2 1 dx = m(x) 2 y Ω Ω t w 2 1 dx. (3.4) Onde w 1 é uma função arbitrária para a flexão da viga e S é o esforço cisalhante. A função w 1 deve respeitar as condições de contorno essenciais, definidas adiante, e ter pelo menos a segunda derivada, no caso da análise de flexão da viga. Os dois primeiros termos da Eq. 3.4 são determinadas pelas condições de contorno essenciais da estrutura. O terceiro termo gera a matriz de rigidez da estrutura. O quarto termo é a atuação das forças externa. O quinto irá gerar a matriz de massa da estrutura. A rotação da coluna sobre o seu eixo vertical será governada pela teoria de torção em barras. A Figura 3.2 mostra um elemento infinitesimal de uma barra sobre a ação de um torque. Novamente realizando o balanço das forças externas e os esforços internos e, aplicando as relações constitutivas do material, teremos a equação forte para a análise da torção. [ GJ x ] θ(x, t) +τ(x, t) = ρ(x)j 2 θ(x, t). (3.5) x t 2 Onde G é o módulo de cisalhamento, J é o momento de inércia polar, τ(x, t) é o torque distribuído e ρ(x) é a massa específica linear do elemento. Usando os mesmos procedimentos adotados anteriormente, poderemos encontrar a formulação 28

Figura 3.2: Relações para equação de torção. fraca para a equação de balanço das forças para torção como: w 2 GJ θ x Ω Ω w 2 x θ(x, t) x dx + Ω τ(x, t) w 2 dx = Aqui, w 2 é uma função arbitrária para a torção da barra. Ω ρ(x) J w 2 2 θ(x, t) t 2 dx. (3.6) θ x (L, t) = Ω 0 (3.7) 3.2 Discretização por elementos finitos A descrição do comportamento dinâmico do coluna de perfuração requer a utilização de elemento que considere os principais deslocamentos e rotações da estrutura real. Nesta análise, serão considerados os deslocamentos e rotações no plano lateral (plano xy) e somente a rotação no eixo longitudinal da coluna (eixo x). Assim, a solução apresentada irá focar nas vibrações laterais e de torção, não considerando as vibrações axiais. A função arbitrária w 1 (x, t), também denominada função peso, precisa ser uma função com grau de continuidade na segunda derivada [C 2 ]. Uma função com grau de continuidade [C 2 ] não possui saltos, isto é, descontinuidades, ou dobras. Uma classe de funções que fornece o grau de continuidade [C 2 ] é a dos polinômios de Hermite, utilizando os deslocamentos e rotações da flexão da viga como graus de liberdade. Para os graus de liberdade da viga sob torção, a função arbitrária w 2 (x, t) deverá ser um polinômio de primeiro grau, devido a necessidade de ser somente [C 1 ]. Para a construção das equações que regem a dinâmica do movimento, utilizaremos um elemento linear em que cada barra é admitida com seção uniforme constante 29

e terminada por dois nós, conforme mostra a Fig. 3.3. Cada nó possui três graus de liberdade: um deslocamento e duas rotações. Assim, o vetor deslocamento do elemento (u e ) será definido como: u e = [θ x1, v 1, θ y1, θ x2, v 2, θ y2 ] T. (3.8) A geometria de cada elemento será representada pela coordenada ξ variando linearmente entre -1 e 1. Assim, os deslocamentos e as rotações nos nós serão escritas como: θ e x(ξ, t) = N θx (ξ)u e (t) v e (ξ, t) = N v (ξ)u e (t) θ e y(ξ, t) = N θy (ξ)u e (t), (3.9) E N(ξ) é o vetor linha com seis componentes de graus de liberdade conforme apresentado no anexo C. θ x2 θ y2 v y2 h e θ y1 y θ v y1 x1 z x Figura 3.3: Elemento de viga com dois nós. 30

3.2.1 Matrizes elementares Definida no terceiro termo da Eq. 3.4 e no segundo da Eq. 3.6, a matriz de rigidez K e será encontrada ao substituir as funções w 1 (x, t) e w 2 (x, t) pelas funções de interpolação N(ξ) (definidas no anexo C) e realizar a mudança da variável que representa o domínio do elemento. Assim, a construção da matriz de rigidez será escrita por: [K] e = 1 1 J e [E I (N v N T v + N θy N T θy ) + G J (N θx N T θx ) ] dξ (3.10) Onde J e é o Jacobiano da transformação de variável x para ξ. Ao se resolver a integral para cada elemento, as matrizes de rigidez serão: [K] e flexão = E I h 3 e 0 0 0 0 0 0 0 12 6h e 0 12 6h e 0 6h e 4h 2 e 0 6h e 2h 2 e 0 0 0 0 0 0 0 12 6h e 0 12 6h e (3.11) 0 6h e 2h 2 e 0 6h e 4h 2 e 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 [K] e torção = G J 0 0 0 0 0 0 h e 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (3.12) As matrizes de massa consistente de cada elemento é obtida utilizando as mesmas funções de interpolação usadas na obtenção das matrizes de rigidez, aplicadas no quinto termo da Eq. 3.4 e no quarto termo da Eq. 3.6. A escolha de uma matriz consistente ao invés da matriz de massa diagonal concentrada provê uma melhor resposta na análise da resposta dinâmica (CRAIG JR, 1981). Portanto, a matriz de massa será determinada por: [M] e = 1 1 J e [ρ A (N v N T v + N θy N T θy ) + ρ J (N θx N T θx ) ] dξ (3.13) Ao resolver a integração para cada elemento, teremos: 31

0 0 0 0 0 0 0 156 22h e 0 54 13h e [M] e flexão = ρ A h e 0 22h e 4h 2 e 0 13h e 3h 2 e 420 0 0 0 0 0 0 0 54 13h e 0 156 22h e 0 13h e 3h 2 e 0 22h e 4h 2 e 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 [M] e torção = ρ J h e 0 0 0 0 0 0 6 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (3.14) (3.15) As matrizes globais de rigidez e massa serão obtidas com o posicionamento das posições nodais conforme estabelecido no vetor u e. 3.2.2 Influência do peso próprio Embora o modelo não considere o grau de liberdade axial da coluna, o estado de tensões longitudinais inicial será considerado através da inclusão na matriz de rigidez do efeito da força axial ocasionada pelo peso próprio da coluna e a força na broca. Para considerar este efeito, será tomado o peso dos elementos tubulares flutuado, que é devido ao empuxo causado pelo fluido de perfuração no qual a coluna está imersa. A presença de fluido preenchendo o poço conforme a perfuração avança, com a principal função de manter em equilíbrio as tensões da formação, não é considerada no modelo explicitamente através de uma modelagem específica, mas os efeitos, direto sobre o peso próprio do elementos tubulares, e o indireto na matriz de amortecimento da estrutura, são considerados. O fator de flutuação β f é definido como: β f = 1 ρ fluido ρ aço (3.16) Assim, no cálculo do esforço axial devido ao peso próprio, o peso linear do tubo será multiplicado pelo fator de flutuação. A matriz de rigidez axial (Kp) será adicionada a matriz de rigidez global após a determinação dos deslocamentos e deformadas da coluna sujeita ao peso próprio e a força sobre a broca (PSB). A matriz é encontrada através da formulação apresentada na Eq. 3.17. [Kp] e = 1 1 J e [E A (N v N T v 32 + N θy N T θy ) ] dξ (3.17)

Utilizando as funções de interpolação definidas no anexo C, teremos a seguinte matriz Kp: 0 0 0 0 0 0 0 6/(5h e ) 1/10 0 6/(5h e ) 1/10 [Kp] e = E A u e 0 1/10 2h e /15 0 1/10 h e /30 (3.18) 0 0 0 0 0 0 0 6/(5h e ) 1/10 0 6/(5h e ) 1/10 0 1/10 h e /30 0 1/10 2h e /15 Onde u e é a deformada do elemento, ou seja, a razão do comprimento após a ação do peso próprio e o peso sobre a broca, e o comprimento inicial do elemento. 3.2.3 Condições de contorno As matrizes elementares são alocadas nas matrizes globais (rigidez e massa) conforme a ordenação de cada grau de liberdade tem no vetor de deslocamento u e. Assim, para solucionar o sistema de equações globais, realizamos o particionamento do sistema em função do grau de liberdade ser prescrito ou não. As linhas e colunas das matrizes globais respectivas aos graus de liberdade prescritos devem ser retiradas para a solução e incorporadas ao resultado com os valores conhecidos (FISH e BELYTSCHKO, 2009). No fundo do poço, durante a operação de perfuração, a broca é o equipamento responsável por cortar a rocha e criar o poço de petróleo. Sendo assim, a broca estará em contato com a formação tanto na sua frente (área de corte) como em sua lateral, tanto em brocas PDCs como em brocas tricônicas. Para representar esta condição no modelo, foi adotado que há restrição ao deslocamento transversal na extremidade inferior da coluna. Na superfície, o sistema de movimentação da coluna (rotativo e de elevação) possuem uma massa elevada em comparação com os elementos tubulares. Assim, devido a inércia do sistema rotativo, independente do sistema que a sonda possui, top drive ou mesa rotativa, a extremidade da coluna de perfuração terá menor flexibilidade para os deslocamentos e rotações de flexão. Portanto, neste ponto a coluna terá restrições a estes dois graus de liberdade. No grau de liberdade da rotação de torção, será imposta a rotação de operação determinada para o caso de análise. 33

A colocação de um estabilizador na coluna também cria a restrição ao deslocamento lateral na posição escolhida devido ao fato que o diâmetro externo formado pelas lâminas é muito próximo do diâmetro da broca, geralmente com folga de 1/8 de polegada ou até com o mesmo diâmetro. Neste trabalho, a posição do estabilizador será definida por L stb, que será medido a partir da broca. Figura 3.4: Diâmetro externo do estabilizador em relação a broca. 3.3 Análise Modal A análise modal proporciona uma visão das propriedades dinâmicas da estrutura. A análise modal também pode facilitar a especificação de propriedades adicionais da estrutura para o melhor comportamento diante das condições de operação. É feita de maneira estática e representa as formas de deslocamento da coluna relacionadas com as frequências naturais da estrutura. A análise modal visa obter as características dinâmicas da coluna de perfuração (frequências naturais e os modos de vibração) através do cálculo dos autovalores e autovetores da equação do movimento do sistema sem amortecimento e sem forçamento. Deste modo, a equação do movimento é escrita como: [M]ü(t) + [K + Kp]u(t) = 0 (3.19) Assumindo como solução da Eq. 3.19 a combinação das amplitudes de cada grau de liberdade U e uma função do tempo exponencial e iwt (INMAN, 2001), podemos realizar a substituição desta solução e suas respectivas derivadas em relação 34

ao tempo, para encontrar uma equação algébrica com solução através de autovalores. ([K + Kp] ω 2 n[m]) U = 0 (3.20) Para resolver a Eq. seguinte equação: 3.20 e não obter as soluções triviais, deve-se resolver a DET ([K + Kp] ω 2 n[m]) = 0. (3.21) Onde ωn 2 são os autovalores e ω n é denominada como frequência natural do sistema. Com a montagem das matrizes globais K + Kp e M através da rotina criada na linguagem de programação Matlab R, podem ser realizadas diversas análises modais para cenários operacionais mais frequentes. 3.4 Análise Estocástica A operação de perfuração de poços de petróleo enfrenta muitos desafios devido aos cenários possuirem incertezas intrísecas seja por motivo de falta de informações ou devido a ocorrências não previstas diante das análises realizadas no projeto de construção do poço. Assim, algumas análises serão realizadas com o intuito de descobrir o grau de influência que determinada incerteza na variável pode ter nas frequências naturais e no comportamento dinâmico da coluna de perfuração. Todas as análises estocásticas serão realizadas com o Método de Monte Carlo (MCC). O Método de Monte Carlo (ou experiência de Monte Carlo) é uma grande classe de algoritmos computacionais que dependem de amostragem repetidas para obtenção de resultados numéricos; tipicamente roda simulações muitas vezes, a fim de obter a distribuição de uma entidade probabilística desconhecida. Elas são muitas vezes utilizadas em problemas físicos e matemáticos e são mais úteis quando é difícil ou impossível obter uma expressão de forma fechada, ou impossível de aplicar um algoritmo determinista. Diante de uma simulação estocástica é necessário uma medida para avaliar a dispersão das variáveis aleatórias resultantes em comparação com as variáveis aleatórias de entrada no modelo. Para comparar a dispersão das distribuições em termos relativos a seu valor médio, é calculado o coeficiente de variação (CV) determinado pela Eq. 3.22. Através desta métrica, podemos verificar se a incerteza do parâmetro de entrada é significativo no resultado encontrado. 35

CV = E([X E(X)]2 ) E(X) = σ µ m (3.22) Para determinar uma distribuição que uma variável aleatória pode satisfazer, será utilizado o Princípio da Máxima Entropia (PME) (JAYNES, 1956). A entropia é uma propriedade que mede a desordem de um sistema. Na área de mecânica estatística, a entropia é a medição da quantidade de incerteza em um sistema. JAYNES utilizou este método para atribuir probabilidades independentemente das especificidades da informação. Assim, com PME, é possível encontrar a distribuição que possua a maior imparcialidade em relação ao evento. Para encontrar a distribuição de uma variável que se conhece somente os limites inferior e superior, caso da espessura dos tubos do BHA e do diâmetro externo dos tubos de perfuração, a distribuição encontrada pelo PME é a distribuição uniforme. Quando se conhece o valor esperado, ou média, o suporte da variável é definido em ]0, + [ e a dispersão (δ) da resposta do sistema é finita, a distribuição Gama irá atender o PME. Uma distribuição contínua uniforme de probabilidades é definida na Eq. 3.23. Onde os valores de a u e b u, são o limite inferior e limite superior, respectivamente, da distribuição. f(x a u, b u ) = { 1 b u a u, a u x b u, 0, caso contrário. (3.23) A distribuição contínua Gama será definida por dois parâmetros: a g (parâmetro de forma) e b g (parâmetro de escala), dos quais se exige a g > 0 e b g > 0; cuja função de densidade para valores x > 0 é: f(x a g, b g ) = b ag g Γ(a g ) xag 1 e x/bg. (3.24) Para x <= 0, temos: f(x a g, b g ) = 0 (3.25) Aqui, Γ é a função Gama, que é dada por: Γ(z) = 0 t z 1 e t dt. (3.26) 36

Os parâmetros de forma e escala para uma distribuição Gama são determinados em função da média e da dispersão da variável. Deste modo, os valores de a g e b g serão determinado, respectivamente, por: a g = 1 δ 2 e b g = µ m δ 2. (3.27) Na análise modal da coluna, três casos estocásticos serão realizados. O primeiro caso de análise será sobre a espessura dos elementos do BHA. Como são equipamentos com funções bem variadas, existem uma grande diferença entre os tubos seja na espessura ou na composição. Os equipamentos de medição possuem uma espessura de parede maior para comportar os sensores eletrônicos. Os equipamentos de transmissão de dados, geralmente possuem um probe com o objetivo de enviar os sinais ou elétricos, ou de pressão, ou magnéticos. O segundo caso terá objetivo de identificar a influência do diâmetro externo do tubo de perfuração na frequências naturais e nos modos da coluna de perfuração. Devido a requisitos hidráulicos (limpeza de poço e pressão de bombeio), a nova geração de sondas tem disponíveis tubos de perfuração com área interna até duas vezes maior do que as sondas de gerações passadas. E o terceiro caso será na rigidez provida pelo estabilizador na coluna de perfuração. Está relacionada com a capacidade da rocha restituir a força lateral com qual a coluna choca-se com a parede do poço. Esta força de restituição irá depender da constituição mineral da rocha (argila, arenito, calcário, etc), do fluido presente nos poros e do grau de compactação dos sedimentos, entre outras propriedades da rocha. 3.5 Análise Dinâmica Com a modelagem matricial da coluna de perfuração pelo método de elementos finitos, a dinâmica da estrutura pode ser expressa da seguinte forma: [M] ü(t) + [C] u(t) + [K + Kp] u(t) = g(u, t) (3.28) Onde [M], [C] e [K + Kp] são as matrizes de massa, amortecimento e rigidez, respectivamente. E ü(t), u(t) e u(t) são os vetores com as acelerações, as veloci- 37

dades e os deslocamentos, respectivamente, das coordenadas nodais representativa da coluna de perfuração. E g(u, t) é o vetor com as forças externas que agem sobre a coluna. A matriz de amortecimento proporcional de Rayleigh é adicionada ao modelo conforme apresentado em CRAIG JR (1981) e apresentada com mais detalhes na seção 3.5.1. Através da Eq. 3.28 pode ser analisado o comportamento dinâmico da coluna de perfuração, observando as oscilações e o surgimento de vibrações nos diferentes graus de liberdade dos elementos constituintes da estrutura. Com o modelo dinâmico construído, serão gerados resultados de casos de estudo, visando obter o acoplamento das vibrações laterais e de torção. Será construído gráficos que demonstram a zona ótima para a operação de perfuração com os dados definidos. Casos de estudo envolvendo o comprimento dos trechos de BHA e de tubos de perfuração, assim como a posição do estabilizador, definirão as melhores configurações no intuito de amenizar o surgimento de vibrações. Nesta seção, será apresentada as condições para realização da análise dinâmica da coluna de perfuração. Para a execução da dinâmica da coluna, é preciso definir uma formulação para a inclusão do amortecimento no sistema. Duas metodologias são apresentadas para a escolha de uma. Em seguida, as formulações para as forças externas a coluna serão demonstradas. Neste trabalho serão adotadas três forças externas: 1. Torque na broca. 2. Desbalanço de massa no BHA. 3. Interação da coluna com a parede do poço. Os detalhes dessas três forças também serão apresentados. 3.5.1 Matriz de amortecimento O amortecimento que está sujeito a coluna de perfuração é extremamente complexo de se medir. Mas é crucial para uma análise mais realística do modelo matemático, principalmente na proximidade das frequências naturais. Para a construção da matriz de amortecimento em um modelo de elemento finitos podem ser utilizados dois procedimentos: o primeiro considera a formulação proporcional de Rayleigh, e o segundo é dependente da frequência de vibração e do peso do fluido presente no poço, mais apropriado para análises no domínio das frequências. Neste trabalho, a matriz será construída com o método de amortecimento proporcional. 38

Amortecimento proporcional CRAIG JR (1981) apresenta o amortecimento proporcional de Rayleigh como um método direto para aplicação em estruturas. Neste método, a matriz C é construída como uma combinação linear das matrizes de massa e rigidez, conforme mostrado na Eq. 3.29. [C] = α [M] + β [K + Kp] (3.29) A seleção dos parâmetros α e β na Eq. 3.29 será ajustada para que o amortecimento ζ esteja em torno de 45%. Uma das maiores vantagens do amortecimento proporcional é a redução para uma matriz diagonal nas coordenadas principais dos modos de vibração. Assim, é possível verificar o amortecimento ζ com a seguinte operação: [C r ] = [Φ] T [C] [Φ] (3.30) onde [Φ] é a matriz com os modos de vibração da estrutura. Para determinar os valores de α e β apropriados, será utilizado como referência a primeira e a última frequências naturais da estrutura. Assim, especificando um valor de ζ 1 e ζ u teremos: [ ζ 1 ζ u ] = 1 2 [ 1/w n1 w n1 1/w nu w nu ] [ α β ] (3.31) Amortecimento dependente da frequência SPANOS e PAYNE (1992) proporam um método alternativo para expressar o amortecimento em função do peso específico do fluido de perfuração e das frequências naturais da estrutura. frequência w por: Deste modo, o amortecimento crítico ζ é expresso pela Onde a = (5, 23.10 9 ρ 8,75 fluido ) e b = (0, 15 0, 123 ρ fluido). ζ = a w b. (3.32) Assim, maiores valores de peso específico do fluido aumentam o amortecimento, já que a coluna está imersa no fluido. Enquanto que maiores valores de frequência produziram decréscimo no amortecimento. Para a combinação de alto peso específico do fluido com baixas frequências, o amortecimento torna-se supercrítico. Este método é melhor aplicado em análises no domínio da frequência. 39

3.5.2 Torque na broca Para representar o torque na broca proveniente do corte da rocha, será utilizado a modelagem de atrito equivalente. Conforme já citado no capítulo 2, nesta abordagem é utilizado uma lei de decaimento entre o torque gerado pela broca e a velocidade de rotação da mesma (ver Eq. 2.1 e Fig. 2.5). Como esta lei é dependente de 2 parâmetros (α 1 e α 2 ), faremos uma análise da influência de cada um separadamente. Os outros dois parâmetros (µ e PSB) tem influência linear no torque na broca. Conforme mostrado no gráfico 3.5, a influência do parâmetro α 1 é significativa e não linear. Dependendo do valor α 2, o torque máximo pode ser alcançado lentamente (3.5a) ou rapidamente (3.5b). O valor de α 2 também influenciará no patamar para altas velocidades. (a) α 2 = 0,001 (b) α 2 = 0,1 Figura 3.5: Torque na broca variando parâmetro α 1. Já o parâmetro α 2 possui comportamento único, independente de α 1, com crescimento e decaimento rápidos, com a estabilização do patamar em velocidades médias (80 rpm), exceto para valores muito pequenos de α 2 (Fig. 3.6). Para valores pequenos, o patamar torna-se dependente do valor de α 2. Os valores do torque na broca conforme varia-se o valor de α 2, são diretamente influenciados pelo valor de α 1. Os valores utilizados para µ, α 1 e α 2 foram baseados nos estudos de SAMPAIO et al. (2007) e RITTO (2010) e estão apresentados no anexo B. 40

(a) α 1 = 5 (b) α 1 = 1 Figura 3.6: Torque na broca variando parâmetro α 2. 3.5.3 Desbalanceamento de massa Devido a simplificação do modelo matemático para poços verticais, faz-se necessária a inclusão de uma força externa para excitar os movimentos laterais da coluna de perfuração. Por se tratar de uma estrutura esbelta e de longo comprimento, qualquer desbalanceamento de massa nos elementos tubulares poderá causar a excitação das vibrações laterais, acarretando choques da coluna com a parede do poço. Deste modo, será aplicada um desbalanço de massa através de um força externa periódica. A força será imposta ao um nó posicionado no meio do comprimento dos tubos de BHA. A função periódica escolhida é o seno. A amplitude da oscilação da força será estudada junto com as análises dinâmicas. A frequência da oscilação será igual à frequência de rotação da coluna, imposta na superfície. Deste modo, temos: F db = λ 1 sen(ω 0 t) = λ Ω 2 0 sen(ω 0 t) (3.33) Onde F db é a força periódica do desbalanço de massa da coluna e λ 1 é o parâmetro que caracteriza a amplitude do desbalanço da massa que estará atuando na metade do trecho de tubos do BHA. 3.5.4 Interação da coluna com a parede do poço Devido ao desbalanceamento de massa, ocorrerá a interação da coluna com a parede do poço. Esta interação é onde ocorre o acoplamento da vibração lateral com a vibração de torção. Além de gerar uma força lateral (Eq. 3.35) de restituição na coluna, o choque causa um torque devido ao atrito da coluna com a parede do 41

poço (Eq. 3.36). A definição do espaçamento para haver o choque com a parede do poço está ilustrada na Fig. 3.7 e na Eq. 3.34. Figura 3.7: Espaços entre a coluna e a parede do poço (figura fora de escala). { nó L bha & v nó g bha, bha = v nó g bha nó L dp & v nó g dp, dp = v nó g dp (3.34) F ch = { nó L bha, K parede bha nó L dp, K parede dp (3.35) T ch = { nó L bha, µ p K parede bha Re bha (3.36) nó L dp, µ p K parede dp Re dp Na Figura 3.8, é apresentado um gráfico do deslocamento lateral da coluna para λ 1 = 600 em um dado instante de tempo. Neste gráfico, ao utilizar K parede = 0, podemos ver que o deslocamento atinge valores superiores ao espaço disponível para percurso da coluna. Assim, ao se definir um valor K parede > 0, no choque da coluna com a parede do poço (rocha ou tubo de revestimento), uma força externa de restituição, F ch, e um torque correspondente, T ch, serão aplicados no ponto de contato. De modo geral, haverá contato da coluna com duas superfície distintas: 1. Superfície interna do tubo de revestimento e, 2. A rocha que forma a parede do poço perfurado. As duas superfícies possuem coeficientes de atritos bem distintos. Neste estudo, por simplicidade, será considerado somente um valor de coeficiente de atrito entre a coluna e a parede do poço. Este atrito será designado como µ p. 3.6 Análise das Vibrações Com todo o sistema dinâmico formulado, algumas análises determinísticas foram realizadas para avaliação da resposta do modelo a alguns parâmetros. Como forma de comparar configurações diferentes quanto ao comportamento dinâmico, 42

Figura 3.8: Deslocamento lateral do BHA com e sem choque. duas métricas foram escolhidas: uma para quantificar o número de choques que a coluna tem com a parede do poço, e outra para definir a presença de oscilações de torção (stick-slip) na rotação da broca. Os dois itens a seguir explicam as duas métricas adotadas. 3.6.1 Análise das vibrações laterais Para determinar a severidade da vibração lateral, um critério de choques laterais pode ser adotado para verificação das diferentes configurações da coluna de perfuração. Neste sentido, todo contato da coluna com a parede do poço será contabilizado em duas parcelas (BHA e DP), definido pela variável Ch, e transformado para um índice comparativo de caso. Visando não sofrer influência do período transiente da dinâmica, os choques só serão contabilizado nos 50% finais do tempo total de simulação (t sim ). Assim, o critério utilizado foi: Id lat = t sim 50% t sim Ch / t sim (3.37) 43

3.6.2 Análise das vibrações de torção Na análise de vibração de torção, o SS será reconhecido pela variação da velocidade na broca quando o sistema estiver em regime permanente. Assim, o índice deve levar em consideração as velocidades máximas e mínimas durante um período de tempo pré-determinado. Uma das formulações mais utilizadas pelas empresas que possuem sensores de vibração no BHA é a citada por RECKMANN et al. (2010) e apresentada na Eq. 3.38. Id tor = θ x,max θ x,min 2 Ω 0 (3.38) Deste modo, quando mais próximo Id tor for de 1, maior é a severidade do stickslip. Para valores acima de 1, indica que a broca esteve parada (ou com velocidade muito próximo de zero) por um certo período de tempo. E para valores próximo de zero, não há ocorrência de stick-slip. Nos casos analisados neste estudo, o intervalo de tempo para verificação do índice Id tor foram os últimos 10 s da simulação. 44

Capítulo 4 Resultados Obtidos Neste capítulo serão apresentados os resultados numéricos do modelo de elementos finitos da coluna de perfuração. As análises realizadas foram de dois tipos: modal e dinâmica. Em cada uma das análises foram gerados resultados determinísticos e estocásticos. Foi realizado também uma análise dinâmica paramétrica com intuito de visualizar o efeito das variáveis que estão ausentes da análise dinâmica estocástica. Primeiro, são apresentados os resultados da análise modal, tanto os resultados determinísticos quanto os estocásticos. Em segundo, são apresentados os resultados da análise dinâmica. 4.1 Análise Modal Determinística 4.1.1 Coluna uniforme A primeira análise modal terá foco no impacto da pré-tensão e no fator de flutuação devido a coluna estar imersa no fluido. A tabela 4.1 apresenta as cinco primeiras frequências naturais da coluna constituída somente de tubos de perfuração com 2200 m de comprimento (L dp ) e engastada na superfície e restrita ao deslocamento lateral na broca. No caso A não é considerado o efeito da pré-tensão devido ao peso próprio e nem o efeito da flutuação da coluna. No caso B já é considerado o estado de pré-tensão devido ao peso próprio mas ainda sem o efeito da flutuação. E no caso C, tanto a pré-tensão como a flutuação estão incluídas na análise. Como era esperado, ao considerar o efeito da pré-tensão, os valores das frequências aumentaram significativamente. E ao considerar o efeito da flutuação da coluna no fluido, há uma pequena redução. O caso analítico representa os valores calculados conforme INMAN (2001) para uma coluna uniforme com as mesmas propriedades. 45

Tabela 4.1: Frequências naturais da coluna somente com tubos de perfuração. Frequência(Hz) Caso A Caso B Caso C Analítico ω n1 0,0001 0,0174 0,0150 0,0001 ω n2 0,0004 0,0361 0,0314 0,0004 ω n3 0,0008 0,0549 0,0478 0,0008 ω n4 0,0014 0,0736 0,0642 0,0014 ω n5 0,0021 0,0923 0,0807 0,0021 4.1.2 Coluna com tubos de perfuração e BHA Como a coluna é composta pelo BHA e pelo tubos de perfuração, a Fig. 4.1 apresenta o comportamento das frequências ao adicionar um trecho inferior (L bha ) com as propriedades de tubos de perfuração pesados (comandos) ao comprimento total da coluna de perfuração, deste modo, a proporção entre tubos do BHA e tubos de perfuração será alterada. Na Figura 4.1a os valores das frequências estão nominais. Já na Figura 4.1b, os valores são normalizados pela configuração sem tubos pesados na coluna. É possível perceber que ao adicionar um pequeno trecho de comandos os cinco primeiras frequências reduzem o valor. Embora os tubos de perfuração pesados possuam maior inércia, isto ocorre devido a massa concentrada adicionada na extremidade da coluna. Só com o aumento do trecho de BHA que a coluna passa a ter um trecho com maior rigidez causando o aumento das frequências naturais. É notado também, uma queda na curva de todas as frequências nas porcentagem de 2,5, 5 e 10. Não há entendimento do que pode acarretar estas quedas pontuais e é aceito como um erro numérico. 4.1.3 Variando o comprimento dos tubos de perfuração Visando analisar o comportamento das frequências naturais com o aprofundamento do poço perfurado, foi realizada uma análise focando no aumento do comprimento do trecho de tubos de perfuração no modelo matemático. A Figura 4.2a mostra o comportamento das frequências nominais. As primeiras frequências são menos afetadas com o aumento do comprimento da coluna. Na Figura 4.2b representa os valores normalizados, em que o aumento da coluna causa uma queda nas primeiras frequências de cerca de 30% com a coluna de 4000 m em relação a coluna com 2200 m. 46

(a) Gráfico nominal (b) Gráfico normalizado Figura 4.1: Comportamento das frequências naturais com acréscimo de Lbha. 47

(a) Gráfico nominal (b) Gráfico normalizado Figura 4.2: Comportamento das frequências naturais aumentando L dp. 48

4.1.4 Coluna com estabilizador É muito comum a utilização de elementos tubulares que restringem o deslocamento lateral da coluna com o intuito de estabilizar o movimento dinâmico da coluna (BOURGOYNE et al., 1986). Para avaliar esta influência nas frequências naturais da coluna, foi realizado uma verificação da posição do estabilizador variando o nó que possui a restrição lateral. A restrição lateral do estabilizador pode ser imposta de duas maneiras diferentes: (1). Eliminando a linha e coluna da matriz global referente ao grau de liberdade restrito. (2). Adicionado um valor de rigidez muito maior do que a ordem de grandeza das demais rigidezes. A Figura 4.3 mostra como foi definido o valor de rigidez capaz de representar a metodologia 1. Nos gráficos, o eixo x, de título rank, representa o índice da frequência natural da estrutura. Figura 4.3: Comportamento das frequências variando a rigidez do estabilizador. A análise da influência do posicionamento do estabilizador está representado nas Figs. 4.4 e 4.5. Conforme o estabilizador se afasta da broca, a primeira frequência natural aumenta, com uma pequena decréscimo no final do BHA. As demais frequências naturais tem o crescimento interrompido por uma queda. A partir de w n3, surge um novo crescimento no valor. Nas w n5 e w n6, uma nova queda é vista. Na Figura 4.6 é possível ver o comportamento do primeiro modo de vibração lateral com a variação da posição do estabilizador no BHA. Quando o estabilizador 49

Figura 4.4: Comportamento nominal das frequências com a posição do estabilizador. Figura 4.5: Comportamento normalizado das frequências com a posição do estabilizador. 50

está próximo a broca, causa maior deslocamento lateral no topo do BHA. Este comportamento é melhor visualizado na Fig. 4.7, onde somente o comprimento do BHA é apresentado. Quando o estabilizador é posicionado no final dos tubos do BHA, o deslocamento lateral de todo o comprimento do BHA fica reduzido significativamente, comparando com o deslocamento do DP. Para o segundo modo de vibração lateral, apresentados nas Figs. 4.8 e 4.9, ocorre exatamente o oposto. Quando o estabilizador está no final dos tubos do BHA, o deslocamento lateral do BHA é muito superior aos deslocamentos em outras posições. Em relação ao trecho do tubos de perfuração, há também uma influência significativa da posição do estabilizador no segundo modo de vibração lateral. Figura 4.6: Modos de vibração lateral de toda a coluna. 4.1.5 Flambagem da coluna de perfuração Analisando, de modo estático, o comportamento da primeira frequência natural da estrutura com o aumento do valor de PSB, é possível determinar o valor da instabilidade de flambagem da coluna. O valor de PSB que reduz o primeiro autovalor do sistema K g e M g a zero, é denominado de F crit. O valor de peso sobre a broca que causa a flambagem da coluna sem estabilizador é 18,5 klb. Ao se colocar um estabilizador na coluna, é possível verificar, conforme a Fig. 4.10, que a F crit possuem um valor máximo (26,4 klb) em duas posições distintas do estabilizador no L bha : em 51

Figura 4.7: Modos de vibração lateral no BHA. Figura 4.8: Modos de vibração lateral de toda a coluna. 52

Figura 4.9: Modos de vibração lateral no BHA. 14% e 30%. 4.2 Análise Modal Estocástica Nesta seção, serão apresentados os resultados diante da incerteza de alguns parâmetros do sistema. Os resultados para realizar uma análise estocástica se diferem dos resultados de uma análise determinística. Três casos de incerteza foram estudados: (1). Espessura do tubo do BHA. (2). Diâmetro externo dos tubos de perfuração. 3. Rigidez da formação ao estabilizador. Todas as análises foram realizadas com 500 simulações no método de Monte Carlo. 4.2.1 Incerteza na espessura do tubo do BHA Visando avaliar o impacto que a incerteza de espessura nos elementos tubulares do BHA pode ocasionar nas frequências naturais da coluna de perfuração, foi tomado que a espessura é uma variável aleatória com distribuição uniforme variando entre 1 pol e 2 pol, conforme definida na Eq. 3.23. O valor da espessura aleatório é aplicado em todo o comprimento do trecho do BHA. Será apresentado dois casos de análise. No primeiro caso, a coluna não terá estabilizador. No 53

Figura 4.10: Força crítica para flambagem variando a posição do estabilizador. segundo caso, a posição do estabilizador será variada em todo o comprimento do BHA. Para estas análises foram considerados os valores apresentados no anexo B. Com a ausência de estabilizador na coluna de perfuração, não ocorre alteração significativa nas primeiras frequências naturais do sistema (Fig. 4.11). Na tabela 4.2 é possível visualizar o coeficiente de variação da espessura (variável aleatória de entrada) com os coeficientes das seis primeiras frequências (variável de saída). Verifica-se que uma incerteza da ordem de 19% na espessura da tubulação do BHA causa uma variação menor do que 3% nas seis primeiras frequências naturais. Tabela 4.2: Coeficiente de variação para coluna sem estabilizador: t bha aleatório. Parâmetro CV t bha 0.1887 ω n1 0.0281 ω n2 0.0164 ω n3 0.0166 ω n4 0.0217 ω n5 0.0243 ω n6 0.0250 Na avaliação dos histogramas das seis primeiras frequências (Fig. 4.12 é possível verificar que mesmo com a variável aleatória tendo uma distribuição uniforme, as 54

Figura 4.11: Envelope de frequências - t bha. frequências naturais apresentam um histograma de forma semelhante a um trapézio, isto se dá devido a relação não-linear da resposta, resultando em formas distintas a forma da distribuição de entrada. Ainda é possível verificar a concentração dos valores em um pequeno intervalo de frequência. Na Figura 4.13 é apresentado a convergência da primeira frequência, caracterizando que o número de simulações é aceitável para a análise. Com a variação da posição do estabilizador no BHA, ocorre um aumento gradual das duas primeiras frequências com o afastamento em relação a broca, sendo este aumento mais significativo na segunda frequência (Fig. 4.14). A segunda frequência também apresenta maior dispersão (afastamento entre 1% e 99%). Na Figura 4.15 é apresentado a convergência para as quatro primeiras posições do estabilizador. Na Figura 4.16 é apresentado o coeficiente de variação, que é obtido pela equação 3.22. 4.2.2 Incerteza do diâmetro externo dos tubos de perfuração Um das possibilidades operacionais durante a perfuração é a utilização de tubos de perfuração de maiores diâmetros com objetivo de melhorar a hidráulica da perfuração reduzindo a perda de carga e, consequentemente, a pressão de bombeio 55

(a) w n1 (b) w n2 (c) w n3 (d) w n4 (e) w n5 (f) w n6 Figura 4.12: Histogramas das seis primeiras frequências naturais - t bha. 56

Figura 4.13: Convergência - t bha. Figura 4.14: Envelope de frequências - t bha. 57

Figura 4.15: Convergência - t bha. Figura 4.16: Convergência das quatro primeiras frequências - t bha. 58

necessária para trazer os cascalhos provenientes do corte da rocha para a superfície. Visando analisar o impacto do diâmetro externo dos tubos de perfuração nas características dinâmicas da coluna, foi adotado uma distribuição uniforme (conforme definido na Eq. 3.23) com limites em 6, 625 pol e 5, 000 pol. A espessura dos tubos foi mantida constante em 0, 350 pol, que é a espessura média de diversos tubos comerciais especificados pela API. Na tabela 4.3 podemos visualizar que um CV de 8,09% na distribuição do parâmetro de entrada (De dp ) transporta uma variação menor do que 3% para as frequências naturais da coluna de perfuração. Comparando com os resultados da seção 4.2.1, uma incerteza de cerca de 8% no diâmetro externo dos tubos de perfuração provoca uma incerteza da mesma ordem de grandeza de uma incerteza de 20% na espessura dos tubos do BHA. Tabela 4.3: Coeficientes de variação para coluna com estabilizador: De dp aleatório. Parâmetro CV De dp 0.0809 ω n1 0.0204 ω n2 0.0199 ω n3 0.0198 ω n4 0.0164 ω n5 0.0032 ω n6 0.0196 A Figura 4.17 apresenta as frequências naturais durante as 500 simulações realizadas. O comportamento se mantem uniforme com destaque para a quinta frequência natural. Assim como pode ser notado na tabela 4.3, a quinta frequência é que menos sofre variação pela incerteza do diâmetro externo dos tubos de perfuração. Nos histogramas das seis primeiras frequências naturais, apresentados na Fig. 4.18, vemos que todas as frequências, exceto w n5, possuem distribuição semelhante a um trapézio. Estas formas de histogramas representam novamente a relação nãolinear da incerteza do diâmetro externo com as frequências naturais da coluna. Na quinta frequência, w n5, sofre uma pequena dispersão devido a mudança do diâmetro externo. Analisando os três primeiros modos de vibração lateral durante as 500 simulações, encontramos os modos que apresentam os valores normalizados máximos e mínimos para a coluna de perfuração, conforme apresentado na Fig. 4.19. Nenhum destes modos é representativo da quinta frequência apresentada na Fig. 4.18e. 59

Figura 4.17: Envelope de frequências - De dp. 4.2.3 Incerteza da rigidez da formação no estabilizador A restrição imposta pelo estabilizador no movimento lateral da coluna irá sofrer a influência da capacidade da rocha em suportar a força de reação aos choques devido a rotação da coluna. Esta capacidade, denominada de coeficiente de restituição, será dependente do tipo de formação, do grau de compactação da rocha e do fluido presente nos poros, entre outros. Para avaliar o impacto da incerteza do coeficiente de restituição sobre as frequências naturais da coluna, foi adotada como variável aleatória a rigidez do estabilizador usado na coluna. A posição do estabilizador também será analisada em três pontos distintos do BHA. A primeira posição será no final do comprimento do BHA. A segunda será na posição central do BHA. A terceira e última posição será próxima a broca. Para simular a incerteza da rigidez do estabilizador será utilizada uma distribuição contínua do tipo Gama, que atende o PME. O valor médio de K stb será o mesmo encontrado no estudo do item 4.1.4, ou seja, 10 8. Para a dispersão da distribuição, δ Kstb, visando representar um intervalo maior de variedade de rochas perfuradas, foi adotado o valor de 50%. Na Figura 4.20 são apresentados os coeficientes de variação da rigidez do estabilizador e das seis primeiras frequências naturais da coluna, conforme ocorre o 60

(a) w n1 (b) w n2 (c) w n3 (d) w n4 (e) w n5 (f) w n6 Figura 4.18: Histogramas das seis primeiras frequências naturais - De dp. 61

(a) Primeiro Modo (b) Segundo Modo (c) Terceiro Modo Figura 4.19: Três primeiros modos de vibração lateral - De dp. aumento da dispersão de K stb. Na configuração do STB no final do BHA (Fig. 4.20a), a quarta frequência apresenta maior dispersão, tendo um comportamento similar a dispersão de entrada, ou seja, de K stb. Isto indica que w n4 é relacionada com a vibração lateral da coluna. Com o STB no meio do BHA (Fig. 4.20b), as frequências apresentam dispersão próximas uma das outras. Todas as dispersões acompanham o crescimento da dispersão de K stb. Já com o STB no início do BHA (Fig. 4.20c), a segunda frequência natural é que tem o comportamento da dispersão muito próximo da dispersão de K stb. A partir da terceira frequência, a dispersão decresce, demostrando não sofrer influência da dispersão do parâmetro de entrada. Analisando o envelope de frequências para a dispersão de 50%, vemos que o STB no final do BHA causa maior dispersão na quarta frequência (Fig. 4.21a) e transforma a variável em uma distribuição bem diferente da distribuição Gama de K stb (Fig. 4.21a). Com o STB no meio do BHA, ocorre redução da dispersão na quarta frequência e um aumento significativo na quinta e sexta frequências. O histograma da distribuição de w n4 (Fig. 4.21b) com STB no meio do BHA, mostra a redução da dispersão da variável de resposta. Com o STB no início do BHA, a dispersão das frequências naturais reduz consideravelmente (Fig. 4.23a), mostrando a falta de influência do STB, através da variável K stb, no comportamento das frequências quando o STB localiza-se próximo a broca. O histograma da quarta frequência (Fig. 4.23b) se aproxima de uma distribuição normal, com valor nominal da média da frequência reduzida. Os três histogramas apresentam formas diferentes devido a não linearidade da estrutura, mostrando que uma distribuição Gama em um parâmetro pode representar distribuições diversas nas frequências naturais da coluna de perfuração. 62

(a) STB no final do BHA (b) STB no meio do BHA (c) STB no inı cio do BHA Figura 4.20: Coeficientes de Variac a o para tre s posic o es do STB - Kstb. 63

(a) Envelope de frequências (b) Histograma de w n4 Figura 4.21: Estabilizador no final do BHA - K stb. (a) Envelope de frequências (b) Histograma de w n4 Figura 4.22: Estabilizador no meio do BHA - K stb. (a) Envelope de frequências (b) Histograma de w n4 Figura 4.23: Estabilizador no início do BHA - K stb. 64

4.3 Análise Dinâmica Determinística Com a análise dinâmica pode-se determinar o que está ocorrendo com as velocidades e deslocamentos na coluna de perfuração no decorrer do tempo. Alguns casos foram realizados, com o objetivo de traçar os gráficos da zona ótima da estrutura, verificar se houve choque com a parede do poço e determinar se a broca está com vibração de torção (stick-slip). A seguir, são apresentados estes resultados. Quando o parâmetro não é citado no caso de análise, este manteve valor adotado como no anexo B. Todas as análises dinâmicas foram realizadas com a subrotina ODE45, presente no Matlab R, para solução do sistema de equações diferenciais. 4.3.1 Caso 1: Sem desbalanceamento de massa Realizando a análise dinâmica da coluna sem desbalanceamento de massa, a coluna apresenta o mapa de zona ótima conforme a Fig. 4.24. É possível verificar que em baixas velocidades e P SB, a coluna não apresenta stick-slip (representado por círculos azuis no mapa), mas com certeza haverá baixo rendimento da perfuração. Nesta simulação, o stick-slip surge no par {40 rpm, 5 klb} (representado por quadrados vermelhos no mapa). A partir daí, a rotina tentar traçar a fronteira da região com e sem stick-slip. É possível notar que esta fronteira possuem concavidade negativa, ou seja, se aproximando de um assíntota horizontal. Figura 4.24: Zona ótima para o caso 1. 65

O mapa de zona ótima foi construído partindo de um par de rotação na superfície (Ω 0 ) e PSB. Após a simulação dinâmica de 100 s, é determinado o valor do índice Id tor, conforme Eq. 3.38. Se o índice Id tor for maior do que o limite (0, 5), aumenta-se a rotação em 5 rpm. Se não, aumenta-se o peso em 1 klb. Deste modo, pode-se determinar a fronteira entre a região estável (região inferior) e a região instável (região superior) ao stick-slip. Em relação às velocidades na broca, a Fig. 4.25 apresenta duas configurações diferentes. A primeira (Fig. 4.25a) onde não tem a ocorrência de stick-slip, e a segunda (Fig. 4.25b), onde o stick-slip surge devido ao aumento do P SB. (a) Sem stick-slip - 1 klb (b) Com stick-slip - 5 klb Figura 4.25: Velocidade da broca no caso 1 - [40 rpm]. 4.3.2 Caso 2: Com desbalanceamento da massa A interação da coluna com a parede do poço geram forças e torques devido ao atrito entre as superfícies. O torque é diretamente proporcional ao coeficiente de atrito entre a coluna e a parede do poço (rocha ou tubo de revestimento). Visando demostrar o acoplamento das vibrações laterais com as vibrações de torção, foi incluído a força de desbalanceamento de massa, com amplitude capaz de ocasionar a interação da coluna com a parede do poço, resultando no stick-slip na broca. Atribuindo o valor de λ 1 = 600, um novo mapa de zona ótima foi construído para analisar o comportamento da coluna com os choques na parede, conforme Fig. 4.26. Com a interação com a parede, não existe mais a tendência de uma assíntota horizontal, e a fronteira da região de ocorrência de stick-slip tem concavidade positiva. É possível perceber também, que três rotações de superfície, 95, 100 e 110 rpm, não produziram choques contra a parede do poço. Mas nas rotações de 95 e 100 rpm, a broca apresentou vibrações de torção acima do limite determinado (Id tor > 0, 5). 66

No mapa, os pontos sem stick-slip sa o representados por cı rculos azuis. Os pontos com stick-slip sa o representados por quadrados vermelhos. Se o ponto estiver preenchido, significa que houve choque com a parede do poc o nos 50% do tempo de simulac a o. Figura 4.26: Zona o tima para o caso 2. Para evidenciar este acoplamento, analisou-se o comportamento do Idtor em relac a o com o crescente valor de amplitude do desbalanceamento, para que ocorresse choques com a parede e se constatar uma alterac a o significativa no ı ndice de vibrac a o de torc a o. A Figura 4.27 mostra o comportamento do ı ndice com a variac a o do desbalanceamento de massa. Ha uma grande variac a o do ı ndice, inclusive ultrapassando o valor limite de 0, 5 em 4 valores distintos de λ1. Portanto, a interac a o da coluna com a parede ao longo do comprimento, acarreta a instabilidade de torc a o na extremidade inferior, ou seja, e induzido o stick-slip na broca. Esta ana lise foi realizada no par [70 rpm, 8 klb], que na o apresenta stick-slip, conforme demostrado na Fig. 4.24. 4.4 Ana lise Dina mica Parame trica A ana lise dina mica parame trica visa averiguar o comportamento da coluna diante das propriedades geome tricas estabelecidas, que com o avanc ar da perfurac a o 67

Figura 4.27: Índice de vibração de torção. do poço ou por requisito de projeto, podem ser alteradas. O comprimento do trecho dos tubos de perfuração irá aumentar conforme a operação avança. O comprimento dos tubos do BHA e a posição do estabilizador são critérios de projeto que podem ser alterados visando mitigar as vibrações na coluna. Diante deste cenário, três casos foram realizados para explorar o impactos destas propriedades. 4.4.1 Variando comprimento do BHA Foram realizadas três configurações com diferentes comprimentos dos tubos do BHA (L bha ). O comprimento total da coluna não foi alterado (L t = 2200 m). A Figura 4.28 apresenta o índice Id tor destas três configurações. Apesar de um aumento relativo significativo no Id tor, o limite não foi alcançado (0, 5). A posição do estabilizador em todas as configurações foi L stb = L bha. Aumentar o comprimento do trecho de tubos pesados é possível, mas acarreta o maior tempo operacional de montagem e desmontagem dos tubos, o que irá ocasionar um maior custo da operação. Como não houve diminuição do índice de vibração de torção, pode se descartar esta alternativa no projeto da coluna de perfuração. 68

Figura 4.28: Índice Id tor com a variação de L bha. Na Figura 4.28, o valor de η significa o valor pelo qual o comprimento inicial de L bha foi multiplicado para constituir as configurações de análise. Na análise geradora da Fig. 4.28, o valor de λ 1 foi fixado em 500, a coluna não interage com a parede do poço no regime permanente. Para um valor maior de λ 1, por exemplo λ 1 = 2000, ocorre a interação com a parede. Os deslocamentos laterais máximos do BHA estão representados na Fig. 4.29. A amplitude dos deslocamentos apresentadas nas Figs. 4.29a, 4.29c e 4.29e, são obtidas nos 10 s finais da simulação, ou seja, em regime permanente. Nas Figs. 4.29b, 4.29d e 4.29f, são apresentados os deslocamentos laterais do ponto de aplicação da força de desbalanceamento de massa. 4.4.2 Variando comprimento dos tubos de perfuração Variando o comprimento de L dp mas mantendo o comprimento do BHA e a posição do estabilizador (no final do BHA) constante, o comportamento do índice Id tor é apresentado na Fig. 4.30. É visível o crescimento do índice com o aumento do comprimento de tubos de perfuração. Na operação, isto demostra que mesmo em uma determinada profundidade que não esteja ocorrendo stick-slip, com o avanço da profundidade, a coluna irá ter a posição de estabilidade de vibração de torção comprometida. Nesta situação, mesmo com L dp três vezes maior do que o comprimento inicial, o índice não ultrapassou o valor limite (0, 5). Para L dp =2200 m e 4400 m, a velocidade na broca pode ser vista na Fig. 4.31. 69

(a) Amplitude - η = 1 (b) Deslocamento - η = 1 (c) Amplitude - η = 1, 25 (d) Deslocamento - η = 1, 25 (e) Amplitude - η = 1, 5 (f) Deslocamento - η = 1, 5 Figura 4.29: Deslocamentos laterais variando Lbha. 70

Figura 4.30: Índice Id tor com a variação de L dp. (a) Para L dp = 2200 m (b) Para L dp = 4400 m Figura 4.31: Velocidade da broca variando L dp - [110 rpm, 8 klb]. 71

4.4.3 Variando posição do estabilizador Para avaliar a influência da posição do estabilizador no surgimento de vibrações de torção na broca, variou-se o nó do BHA que possuía o estabilizador, sem a ocorrência de choques na parede do poço. Deste modo, a Fig. 4.34 mostra o decréscimo significativo do Id tor conforme o estabilizador se afasta da broca. A partir de L stb > 50 % de L bha, o índice de estabiliza, tendo pouca influência da posição do estabilizador. Como Id tor não ultrapassou o valor limite (0, 5), não há ocorrência de stick-slip devido a posição do estabilizador. Figura 4.32: Índice Id tor com a variação de L stb - λ 1 = 0. (a) Para L stb = 10% L bha (b) Para L stb = 100% L bha Figura 4.33: Velocidade da broca variando L stb - [110 rpm, 8 klb] e λ 1 = 0. 72

Sendo a força de desbalanceamento com λ 1 = 2000, o índice Id tor apresenta comportamento anômalo após 50% de L bha. Conforme a Fig. 4.35, duas posições próximas do estabilizador, possuem comportamento distinto: com L stb = 68% L bha, as amplitudes dos deslocamentos laterais não causam interação com a parede. Com L stb = 72% L bha ocorre interação do BHA no trecho abaixo do estabilizador. Figura 4.34: Índice Id tor com a variação de L stb - λ 1 = 2000. (a) Para L stb = 68% L bha (b) Para L stb = 72% L bha Figura 4.35: Amplitude variando L stb - [110 rpm, 8 klb] e λ 1 = 2000. 73

4.5 Análise Dinâmica Estocástica Para verificar o comportamento dinâmico da coluna sob a influência das incertezas que cercam os cenários de perfuração, o parâmetro µ foi associado a uma variável aleatória com distribuição Gama, para atender o PME, e realizada a dinâmica da coluna com 500 simulações de Monte Carlo. Com intuito de averiguar se dentro da simulação de MMC ocorre as vibrações de torção, será examinado o índice Id tor em cada simulação. Se houver mais do que 10% dos casos em que o índice superou o limite estabelecido (0, 5), será considerado que a incerteza no parâmetro acarretou o surgimento de stick-slip. Na Figura 4.26, o par rotação na superfície e peso sobre a broca em {110 rpm, 9 klb} não apresenta stick-slip. A Figura 4.36 mostra, a cada 5 simulações, a distribuição do índice Id tor entre as 500 simulações realizadas. Figura 4.36: Índice Id tor durante as simulações (a cada cinco simulações). É possível ver que, com a incerteza no parâmetro µ, ocorreu a instabilidade na velocidade da broca, provocando stick-slip em 37,4% das simulações. O CV de Id tor foi de 73,8% (σ = 0, 3692 e µ = 0, 5003). Na Figura 4.37a é apresentado o histograma de Id tor, e na Fig. 4.37b, a velocidade na broca para duas simulações diferentes: uma com Id tor = 0, 978, e outro com Id tor = 0, 219. 74

(a) Histograma do índice Id tor (b) Velocidade na broca Figura 4.37: Histograma e velocidade na broca para caso A. 75

Capítulo 5 Considerações Finais Neste trabalho, foram realizadas diversas análises sobre um modelo matemático, discretizado em elementos finitos, representativo da coluna de perfuração para construção de poços de petróleo. As análises modais permitiram a identificação das frequências naturais e dos modos de vibração da coluna, características importantes no estudo da dinâmica de qualquer estrutura. As análises dinâmicas, com a consideração das forças externas de interação broca-rocha, do desbalanceamento de massa e da interação coluna-poço, permitiram definir os mapas que demostram o surgimento de vibrações de torção e laterais, de uma forma simples e de fácil entendimento operacional. As incertezas decorrentes dos cenários da construção de poços de petróleo, foram consideradas em diversos casos de análise, tanto nas análises modais, quanto nas análises dinâmicas. Foi possível perceber, que a incerteza tem papel importante, pois casos de estabilidade no stick-slip, tornaram-se instáveis ao se associar uma distribuição contínua de incerteza no atrito entre a broca e a rocha (µ). 5.1 Conclusões O objetivo do estudo foi alcançado. O modelo matemático com três graus de liberdade por nó (dois graus de liberdade associados a flexão em um plano e um associado a torção), foi capaz de representar os aspectos e características do comportamento dinâmico de uma coluna de perfuração durante a construção de poços de petróleo. Em relação às frequências naturais da coluna, o acréscimo de comprimento de tubos de perfuração pesados, possuem o efeito de enrijecer a coluna e, consequentemente, aumentam as frequências. O aumento do comprimento de tubos de perfuração da coluna possui efeito inverso ao acréscimo de tubos no BHA, 76

flexibilizando a coluna, fazendo que as frequências naturais caiam significativamente. A colocação de um estabilizador na coluna, causando restrição ao deslocamento lateral, tem grande impacto nas características da coluna. Conforme a posição do estabilizador se afasta da broca, as frequências apresentam comportamento heterogêneo, exceto a primeira frequência natural que possui crescimento contundente. Analisando os modos de vibração laterais, conforme o estabilizador se afasta da broca, o primeiro modo sofre uma redução expressiva no deslocamento na parte inferior da coluna, tendo a melhor posição do estabilizador no final do trecho de tubos do BHA. Outro impacto relevante da posição do estabilizador, é o valor de PSB que leva a flambagem da coluna. Dependendo da posição, o valor pode aumentar em até 30%. Ao considerar a incerteza da espessura dos tubos de perfuração pesados como uma distribuição uniforme, com limites em 1 pol e 2 pol, com uma dispersão de cerca de 19%, as frequências naturais da coluna sofrem uma dispersão de até 3% para seus valores, demostrando uma pequena influência da incerteza da espessura do BHA sobre as características dinâmicas da coluna. Quando o diâmetro externo dos tubos de perfuração são associados a uma variável aleatória com distribuição uniforme, tendo limites em 5, 000 pol e 6, 625 pol, com dispersão de 8%, as frequências naturais apresentam uma dispersão de até 2% em seus valores. Estes valores são de pouca influência na característica dinâmica da coluna mas exprimem o maior peso da incerteza nos diâmetros externos dos tubos de perfuração em relação a espessura dos tubos que compõem o BHA. A rigidez de suporte do estabilizador irá depender da capacidade da rocha em restituir a força de impacto da coluna com a parede do poço. Atribuindo a esta rigidez uma incerteza com distribuição Gama, com dispersão de 50% e valor médio de 10 8, e a posição do estabilizador no final do BHA, a maior influência recai sobre a quarta frequência natural, que apresenta uma maior dispersão e comportamento similar a dispersão da rigidez. Quando o estabilizador é posicionado no meio do BHA, as seis primeiras frequências possuem representação similares e abaixo da rigidez do estabilizador. Com o estabilizador colocado próximo a broca, a segunda frequência é mais afetada, exibido maior dispersão, e a primeira e terceira frequências com dispersão maior do que a quarta, quinta e sexta frequência. Na análise dinâmica determinística, foram construídos os mapas de zona ótima para a coluna com e sem desbalanceamento de massa. Sem desbalanceamento 77

de massa, a fronteira da região de instabilidade para stick-slip tem o aspecto de uma assíntota horizontal, aparentando não haver rotação na superfície adequada a evitar o stick-slip. Ao considerar o desbalanceamento, a fronteira passa a evidenciar que com o aumento da rotação da superfície, a vibração de torção irá cessar. O acoplamento da vibração lateral com a vibração de torção foi alcançado devido a interação da coluna com a parede do poço. O índice indicativo de stick-slip superou o limite de 0, 5 em quatro valores diferentes de amplitude de desbalanceamento. O aumento do comprimento do BHA, em relação ao comprimento total da coluna, e dos tubos de perfuração, aumentando o comprimento total, mostraram que possuem influência no stick-slip da broca. Com o aumento relativo do BHA na coluna, o índice de vibração de torção sofre um aumento significativo, embora não tenha sido suficiente para atingir o stick-slip. Quando ocorre o aumento do trecho de tubos de perfuração, o índice Id tor apresenta crescimento praticamente linear com L dp. Mas novamente, o valor limite não foi superado para o surgimento de stick-slip. No índice de vibração de torção, Id tor, a posição do estabilizador na coluna causa grande impacto conforme se afasta da broca. Devido a redução dos deslocamentos laterais do BHA, conforme visto nos modos de vibrações laterais, a menor interação da coluna com a parede do poço causa redução expressiva no índice de vibração de torção. Na imposição de desbalanceamento de massa, a posição do estabilizador irá influenciar significativamente a interação com a parede do poço. Devido à não linearidade do sistema, duas posições próximas do estabilizador apresentam diferentes comportamentos. A consideração de incerteza no parâmetro µ na velocidade 110 rpm e de peso sobre a broca de 9 klb, levou a ocasionar 37,4% de probabilidade do índice Id tor ser superior ao limite de 0,5. Assim, analisando também a variação do índice com a amplitude do desbalanceamento, mostrou-se que a incerteza associada ao modelo da coluna de perfuração irá ocasionar acoplamento das vibrações laterais e de torção. 5.2 Sugestões para trabalhos futuros A extensão do modelo aqui implementado com o segundo plano lateral, será relevante para melhor entendimento da interação da coluna com a parede do poço, onde o atrito entre as duas superfícies impacta diretamente no acoplamento das vibrações laterais e de torção. A consideração de duas superfícies, rocha e 78

revestimento, também irá aprimorar esta análise. A execução de uma interface amigável da rotina matemática é fundamental para utilização deste modelo como ferramenta de análise dinâmica durante o projeto da coluna de perfuração. Mesmo de forma embrionária, as características dinâmica da estrutura pode ser analisadas, colaborando para um melhor desempenho durante a operação de perfuração. O foco em modelos com menor abrangência se mostrou adequado para análise acoplada entre as vibrações de torção e laterais. Assim, outros modelos podem ser estudados como o do sistema broca e alargador, broca com turbina e assentamento de revestimentos, entre outros, para estudo isolado mas com maior detalhamento pormenores envolvidos. A aplicação deste trabalho para poços direcionais torna-se imprescindível para o desenvolvimento do modelo e o alcance ampliado para projetos de poços de petróleo. Este tipo de trajetória de poço, tem largo emprego nos mais diversos cenários de perfuração e maior complexibilidade devido a interação coluna-parede ocorrer em longos trechos de tubos. A influência do fluido, tanto na massa quanto ou no amortecimento, devem ser consideradas. O fluido também terá influência das incertezas devido ao cenário operacional, pois suas propriedades alteram com frequência durante a perfuração. Para reduzir o tempo computacional utilizado pelo cálculos, a redução do modelo usando as projeções sobre os modos de vibrações normais, pode ser implementada. Assim, as dimensões das matrizes da estrutura serão reduzidas, facilitando as execuções do método de Monte Carlo. A confrontação com dados reais de vibração, medidos pelos sensores presentes no BHA, será de grande valia para caracterização dos efeitos reais que atingem a coluna de perfuração, ajudando a melhorar a confiança nos resultados teóricos e a posicionar os sensores em pontos da coluna com maior impacto na dinâmica. A utilização de dados reais também irá colaborar com o aprofundamento do conhecimento do amortecimento da estrutura. 79

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Apêndice A Verificação do modelo matemático Na construção do modelo matemático de elementos finitos da coluna de perfuração foram realizados algumas simulações de estruturas, cujo o resultado analítico é conhecido, para validação do modelo. Utilizando somente de elementos uniformes, mesmas propriedades geométricas e material único em todo o comprimento da coluna, foram validadas as frequências naturais da coluna seja da coluna sem força, com força concentrada de tração e compressão ou com força distribuída nos elementos, neste caso o próprio peso dos tubos. Tabela A.1: Dados utilizados na validação Dext(mm) 139,70 Dint(mm) 119,38 Mód. Elasticidade (GPa) 210 Coeficiente poisson 0,29 Massa específica (kg/m 3 ) 7850 Comprimento (m) 200 A.1 Frequências Naturais da coluna A análise das frequências naturais da coluna uniforme foram realizadas em três modelos de condições de apoio diferentes. A primeira condição foi com a coluna livre em ambas as extremidades. A segunda condição foi com a coluna livre em uma extremidade e engastada em outra extremidade. a terceira e última condição, representa a coluna pinada nas duas extremidades, ou seja, os deslocamentos são restritos mas a rotação tem movimento livre. Em todos os três modelos, apresentados na Fig. A.1, foram utilizados três diferentes discretizações para validação do tamanho de elemento adequado. Abaixo estão apresentados os resultados das frequências naturais. 86

Figura A.1: Condições de colunas analisadas. Figura A.2: Frequências naturais na condição 1. 87