Resolução do Exame de Matemática Aplicada às Ciências Sociais 10 ọ /11 ọ Ano 01 ( ạ Fase) 1. 1.1. No método de Hondt divide-se o número de votos de cada lista por 1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, etc: Divisores A B C D E F 1 0 1 45 1 45 564 54 46 11 511,5 66,5 617,5 18 171,5 11,5 7674, 4415 4115 854,67 847,67 81 4 5755,75 11,5 086,5 641 65,75 615,75 5 4604,6 649 469 51,8 508,6 49,6 6 87,17 07,5 057,5 47, 4,8 410,5 7 89 189,14 176,57 66,9 6,9 51,86 8 877,88 1655,6 154,1 0,5 17,88 07,88 9 558,11 1471,67 171,67 84,89 8,56 7,67 Organizando os quocientes por ordem decrescente resulta a seguinte distribuição dos 10 mandatos: Partido A 5 mandatos; Partido B mandatos; Partido C mandatos; Partido D 0 mandatos; Partido E 0 mandatos; Partido F 0 mandatos. No método de Saint-Laguë, consideram-se os divisores ímpares: Divisores A B C D E F 1 0 1 45 1 45 564 54 46 5 7 9 7674, 4415 4115 854,67 847,67 81 4604,6 649 469 51,8 508,6 49,6 89 189,1 176,57 66,9 6,9 51,86 558,1 1471,67 171,67 84,89 8,56 7,67 Organizando por ordem decrescente os quocientes resulta a seguinte distribuição de mandatos: Partido A 4 mandatos; Partido B mandatos; Partido C mandatos; Partido D 1 mandato; Partido E 0 mandatos; Partido F 0 mandatos. Conclui-se que a Maria tem razão pois, aplicando o método de Saint-Laguë, o partido C, um dos partidos menos votados, consegue um mandato. O partido A, o mais votado, perde um mandato, comparativamente à distribuição pelo método de Hondt. 1.. Distribuição de 10 mandatos Divisor na distribuição dos 10 mandatos: 0 + 1 45 + 1 45 + 564 + 54 + 46 56 18 = = 10 10 1
O quadro seguinte resume a aplicação do método de Hamilton na distribuição dos 10 mandatos: A B C D E F Quota 0 4,0979 1 45,575 1 45,197 564 0,456 54 0,456 46 0,484 Parte inteira da quota Parte decimal da quota Atribuição de mandatos 4 0 0 0 0,0979 0,575 0,197 0,4564 0,456 0,484 4 1 1 0 Após considerar a parte inteira da quota, estão atribuídos 4 mandatos ao partido A, mandatos ao partido B e mandatos ao partido C. Restam atribuir mais dois mandatos que serão distribuídos comparando as partes decimais das respetivas quotas. Os partidos com as partes decimais maiores são D e E. Logo, é-lhes atribuído um mandato a cada um. Distribuição de 1 mandatos Divisor na distribuição dos 1 mandatos: 0 + 1 45 + 1 45 + 564 + 54 + 46 56 18 = = 1 1 O quadro seguinte resume a aplicação do método de Hamilton na distribuição dos 1 mandatos: A B C D E F Quota 0 4,9174 1 45,890 1 45,667 564 0,5476 54 0,54 46 0,561 Parte inteira da quota Parte decimal da quota Atribuição de mandatos 4 0 0 0 0,9174 0,890 0,667 0,5476 0,54 0,561 4 1 1 0
Após considerar a parte inteira da quota, estão atribuídos 4 mandatos ao partido A, mandatos ao partido B e mandatos ao partido C. Restam atribuir mais quatro mandatos que serão distribuídos comparando as partes decimais das respetivas quotas. Organizando as partes decimais por ordem decrescente conclui-se que o 9.º mandato é atribuído a A, o 10.º mandato é atribuído a B, o 11.º mandato é atribuído a C e o 1.º mandato é atribuído a D. Conclui-se, a partir da comparação dos dois resultados, que o candidato que fez a afirmação pertence ao partido E.. Para um nível de confiança de 95%, z = 1,960. Sabe-se também que n = 40 e σ = 9. Da afirmação do enunciado, resulta que: ]160, 178[ = ] 9 x 1,96 ; x + 1,96 9[ onde x é o valor da média amostral. 40 40 x é também o valor médio deste intervalo. Logo, 160 + 178 x = =169. Para um nível de confiança de 99%, z =,576. O intervalo de confiança pedido é: ] 9 9 169,576 ; 169 +,576 [ = ]157,188; 180,811[ 4 0 4 0 Para um nível de confiança de 99%, o intervalo pedido, arredondado às unidades, é ]157, 181[...1. Este item pode ser resolvido, pelo menos, por três processos distintos: 1.º processo: Substituir t por 1 na expressão da função A: A(1) = 100 ln (4 + 0,49 1) 100,91 9 Em 018 serão recolhidas, aproximadamente, 9 milhares de unidades de sangue..º processo (recorrendo à calculadora gráfica): Inserir a função A(t) no editor de funções: e observar o respetivo valor na tabela de valores:
.º processo (recorrendo à calculadora gráfica): Inserir no editor de funções Y1: 100 ln (4 + 0,49t) e obter o respetivo gráfico. Encontrar o valor de y para x = 1: Conclui-se que, em 018 serão recolhidas, aproximadamente, 9 milhares de unidades de sangue... Para que as necessidades do país sejam asseguradas é necessário recolher 50 mil unidades de sangue por ano. 1.º processo (recorrendo à calculadora gráfica): Recorrendo à calculadora gráfica, coloca-se a função dada no editor de funções e observa-se a respetiva tabela: Por observação da tabela, conclui-se que tal acontece 17 anos após o final de 006, ou seja, no ano 006 + 17 = 0..º processo (recorrendo à calculadora gráfica): Considerar Y1: 100 ln (4 + 0,49t) e Y: 50 no editor de funções e proceder à respetiva representação gráfica: Para resolver este item é necessário encontrar o ponto de interseção dos dois gráficos. Com um arredondamento às unidades, o ponto de interseção é (17, 50), ou seja t = 17. Conclui-se que o primeiro ano em que as necessidades do país são asseguradas é 006 + 17 = 0. 4
.º processo: Resolver analiticamente a equação 100 ln (4 + 0,49t) = 50: 50 100 ln (4 + 0,49t) = 50 ln(4 + 0,49t) = 100 ln (4 + 0,49t) =,5 4 + 0,49t = e,5 0,49 t = e,5 4 0,49t = 1,18 4 50 t = 100 t 16,698 Logo, t 17, arredondado às unidades. Conclui-se que o primeiro ano em que as necessidades do país são asseguradas é 006 + 17 = 0... Preço base do veículo (1) (em euros) Imposto sobre a cilindrada do veículo () (em euros) Imposto sobre emissões CO Combustível: Gasóleo () (em euros) 1598 cc 119 g/km Total ISV : (4) = () + () Soma (1) + (4) Taxa de IVA a aplicar sobre a soma Total de IVA (5) Preço de venda ao público (1) + (4) + (5) (em euros) Em 010 Em 011 18 014,40 18 014,40 194 17 1598 4,4 4964,7 = = 1970,95 119 49,16 4450,15 = = 199,89 06 70,84 1 0,40 1 85,4 1% % 1 0,4 0,1 = 4477,8 1 85,4 0, = 4918,61 5 797,68 6 0,85 A diferença entre os preços de venda é 6 0,85 5 797,68 = 506,17. 5
4. 4.1. Para calcular a média recorre-se à calculadora gráfica, considerando uma lista L1 com as classificações internas dos alunos: ou apresenta-se o cálculo: 8 + 9 + 10 + 11 + 1 + 14 4 + 16 + 19 4 x = = 1,4 18 18 Que resulta da organização das classificações internas numa tabela de frequências: Cl 8 Número de alunos 1 9 10 11 1 0 1 1 14 4 15 0 16 17 0 18 0 19 Total 1 18 A representação dos dados num diagrama de barras é: 5 CLASSIFICAÇÕES NO FINAL DO.º PERÍODO Número de alunos 4 1 0 8 9 10 11 1 1 14 15 16 17 18 19 x 1,4 6 onde também se assinala a localização aproximada da média.
Pela observação do diagrama, conclui-se que as classificações internas se dispersam bastante relativamente à média, havendo uma maior concentração no intervalo de classificações de 8 a 11 valores, onde se situa precisamente metade da distribuição (9 alunos). Conclui-se assim que a média não é a medida adequada para representar esta distribuição. 4.. Recorrendo à calculadora gráfica consideram-se duas listas: L1: classificação dos alunos da escola do Xisto na disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais no final do.º período de 010 (CI) L: classificação dos alunos da escola do Xisto na disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais no exame nacional de 010 (CE) O valor do coeficiente de correlação é r 0,49. Excluindo as classificações do aluno 14 e repetindo o procedimento na calculadora, o valor do coeficiente de correlação passa a ser r 0,91. Conclui-se que, ao excluir as classificações deste aluno, se verifica um aumento significativo na associação linear positiva destas duas variáveis, passando de uma associação linear positiva fraca para uma associação linear positiva forte, uma vez que o valor de r está muito próximo de 1. 4.. Na equação da reta de regressão, substituindo o valor de t por 1, obtém-se : y = 1,097 1 1,8476 11, Logo, o valor estimado da classificação do exame de um aluno com classificação interna igual a 1 é igual a 11, valores. 4.4. Do enunciado sabe-se que as classificações dos alunos na disciplina de matemática aplicada às ciências sociais segue uma distribuição normal com μ = 10 e σ = 4,1. Observe-se que: 14,1 = μ + σ = 10 + 4,1 18, = μ + σ = 10 + 8, Logo: P(μ σ < X < μ + σ) = P(5,9 < X < 14,1) 68,7% P(μ σ < X < μ + σ) = P(1,8 < X < 18,) 95,45% Assim: P(1,8 < X < 18,) P(5,9 < X < 14,1) 95,45 68,7 P(14,1 < X <18,) = = = 1,59% 7
5. 5.1. O Carlos tem razão, pois, apesar de o grafo ser conexo, tem quatro vértices (A, B, C e D) de grau ímpar, não respeitando, por isso, a condição necessária e suficiente para que um grafo conexo admita circuitos de Euler. Assim, é necessário admitir duplicações de trajetos diretos, ou seja, proceder a uma eulerização do grafo, duplicando, por exemplo, as arestas AB e CD, como o que se apresenta no grafo seguinte. Assim, com as duplicações indicadas, seria possível afirmar a passagem dos participantes por todos os trajetos diretos. 5.. Considerando os acontecimentos: A: O atleta beber água no posto A D: O atleta beber água no posto D 9 e de acordo com os dados do enunciado, sabemos que P(D A) = e P(D A) =. 10 5 Pretende-se calcular P(A). Como P(D A) = P(D A) P(A) = P(D A) 5 vem que P(A) = = P(A) P(D A) 9 10 Assim, a probabilidade de o atleta ter bebido água no posto A é de. 8