Minimização de custos

Minimização de custos Roberto Guena de Oliveira USP 9dejunhode2015

Sumário 1 Conceitos básicos 2 Afunçãodecusto Ocasodeumúnicofatorvariável Custoscomummaisdeumfatorvariável 3 Medidas de custo unitário 4 Curtoelongoprazos

Custos econômicos e custos contábeis Custoscontábeissãooscustosmedidosemtermosde valorespagosporumafirmanaaquisiçãodeseus insumos de produção. Custos econômicos ou custos de oportunidade são os custos medidos em termos do ganho advindo do melhor uso alternativo dos insumos de produção. As diferenças entre custos contábeis e econômicos envolvem: Oscustoscontábeissãobaseadosemvaloresno momento da aquisição dos bens, os custos econômicos são baseados nos valores atuais. Custos contábeis não incluem custos implícitos, custos econômicos, sim. Talvez o mais importante dos custos implícitos seja o custo de oportunidade do capital.

Afunçãodecusto Afunçãodecustoéumafunçãoqueassociaacadacada quantidadedeproduto,ocustototal(ct)mímimonoquala firma deve incorrer para produzir essa quantidade. Evidentemente, esse custo depende, além da quantidade produzida, dos preços dos insumos de produção. Assim, no casoemqueháapenasdoisinsumosdeprodução,x 1 ex 2, compreçosω 1 eω 2,afunçãodecustoteráaforma CT =c(ω 1,ω 2,).

Afunçãodecustodecurtoprazo Casoumoumaisfatoresdeproduçãosejamfixos(curto prazo),afunçãodecustotambémteráporargumentoa quantidadedofatordeproduçãoqueémantidofixo. Por exemplo,casox 2 sejamantidofixoemx 2,entãoafunçãode custo(decurtoprazo)teráaforma CT =c(ω 1,ω 2,,x 2 ).

Custos fixo e variável Ocsutototal(CT)deumaempresapodeserdivididoem CustoVariável(CV(ω 1,ω 2,)) trata-sedaparceladocusto correspondente à contratação de fatores variáveis. Custo Fixo(CF) trata-se da parcela do custo correspondente à contratação de fatores fixos. Caso todos os fatores de produção sejam variáveis, então o custofixoseránuloeocustototalcoincidirácom o custo variável. Portanto temos, CT =CV +CF

Afunçãodecustocomapenasumfatorvariável Suponha uma firma que produza empregando apenas dois insumosdeprodução,x 1 ex 2,sendoqueosegundoinsumoé empregadoemquantidadefixax 2 =x 2. Seja =f(x 1,x 2 )asua funçãodeprodução. Entãoafunçãodecustodecurtoprazo dessa empresa será dada por c(ω 1,ω 2,,x 2 )=ω 1 x 1 (,x 2 )+ω 2 x 2 naqualx 1 (,x 2 )éumafunçãodefinidapor f(x 1 (,x 2 ),x 2 )=. ω 1 x 1 (,x 2 )éocustovariável. ω 2 x 2 éocustofixo.

Derivação da função de custo de curto prazo 1 Invertaafunçãode produçãof(x 1,x 2 )para encontrar a função x 1 (,x 2 ). 2 CV =ω 1 x 1 (,x 2 ). 3 CF =ω 2 x 2. 4 CT =c(ω 1,ω 2,,x 2 ) =ω 2 x 2 +ω 1 x 1 (,x 2 ) x 1 Custos f(x 1,x f(x 21 ),x 2 ) CV =ω 1 x 1 (,x 2 ) 45 CT =CF +CV CF =ω 2 x 2 x 1 (,x 2 ) x 1

Exemplo Determineafunçãodecustodecurtoprazodeumaempresa cujafunçãodeproduçãoéf(x 1,x 2 )= x 1 x 2,sabendoqueo fatordeprodução2éempregadoemquantidadefixax 2 = x 2.

Exercício Determineafunçãodecustodecurtoprazoparaasseguintes funções de produção considerando o emprego fixo do fator de produção2emx 2 = x 2. 1 f(x 1,x 2 )= x 1 + x 2 ; 2 f(x 1,x 2 )=x 1 +x 2 ; 3 f(x 1,x 2 )=x 1 x 2 ; 4 f(x 1,x 2 )=ln(1+x 1 )+ln(1+x 2 ).

Oproblemademinimizaçãodecustosmaisdeum fator variável Nocasogeralcommaisdeumfatorvariável,afunçãode custo é obtida através da solução do seguinte problema: notas min x 1,...,x n ω 1 x 1 +ω 2 x 2 +...+ω n x n talquef(x 1,...,x n ) As quantidades dos isumos que resolvem esse problema são chamadas demandas condicionadas ou contingentes dessesinsumos,sendonotadasporx c i (ω 1,...,ω n,). Afunçãodecustoserádadapor c(ω 1,...,ω n,)= ω 1 x c 1 (ω 1,...,ω n,)+...+ω n x c n(ω 1,...,ω n,)

Solução gráfica: dois insumos variáveis Curvas de isocusto Solução x 2 x 2 ω 1 x 1 +ω 2 x 2 =c 0 ω 1 x 1 +ω 2 x 2 =c 1 ω 1 x 1 +ω 2 x 2 =c 2 x c 2 TTS = ω 1 ω 2 f(x 1,x 2 )= tan= ω 1 ω 2 x 1 x c 1 x 1

Minimização de custos: solução matemática Oproblema min x 1,...,x n ω 1 x 1 +ω 2 x 2 +...+ω n x n talquef(x 1,...,x n ) e x 1,...x n 0 O lagrangeano L =ω 1 x 1 +ω 2 x 2 +...+ω n x n λ(f(x 1,...,x n ) ) Condiçõesde1ªordemalémdef(x 1,...,x n )= ω i λ f(x 1,...,x n ) x i ( e x ω i λ f(x ) 1,...,x n ) =0 x i

Exemplo: função de produção Cobb-Douglas Função de produção: f(x 1,x 2 )=x α 1 xβ 2 Condições de primeira ordem: f(x 1,x 2 )= x1 α xβ 2 = TTS = ω 1 α x 2 = ω 1 ω 2 β x 1 ω 2

Exemplo: função de produção Cobb-Douglas As demandas condicionais: [ x 1 (ω 1,ω 2,)= 1 α+β α β [ x 2 (ω 1,ω 2,)= 1 α+β β α ω 2 ω 1 ω 1 ω 2 ] β α+β ] α α+β Afunçãodecusto: c(ω 1,ω 2,)=ω 1 x 1 (ω 1,ω 2,)+ω 2 x 2 (ω 1,ω 2,) = 1 α α+β α+β ω 1 ω2 β α+β α+β α α α+β β β α+β

Propriedades: O multiplicador de Lagrange associado ao problema de minimização de custo pode ser interpretado como o custo marginal, isto é λ= c(ω 1,...,ω 2,) Afunçãodecustoénãodecrescenteemrelaçãoaos preços dos insumos e em relação ao produto. Afunçãodecustoécôncavaemrelaçãoaospreçosdos insumos (LemadeShephard)Casoafunçãodecustoseja diferenciável em relação ao preço do insumo i, teremos c(ω 1,...,ω 2,) ω i =x c i (ω 1,...,ω 2,)

Exercício Encontre as funções de custo associadas às seguintes funções de produção: 1 f(x 1,x 2 )= x 1 x 2 ; 2 f(x 1,x 2 )=ln(x 1 +1)+ln(x 2 +1); 3 f(x 1,x 2 )=min{x 1,x 2 }; 4 f(x 1,x 2 )=x 1 +x 2.

Nota: Quandosesupõeospreçosdosfatoresdeproduçãosão mantidos inalterados, é comum notar a função de custo simplesmente por c(). De modo análogo, as funções de demanda condicionais pelos insumos de produção são notadas por ou ainda, simplesmente, x c 1 () e xc 2 () x 1 () e x 2 ()

Caminhodeexpansãoecurvadecusto x 2 Custo ω 1 x 1 (2)+ω 2 x 2 (2) x 2 (2) Caminho de expansão ω 1 x 1 ()+ω 2 x 2 () x 2 () =2 = Curva de custo x 1 () x 1 (2) x 1 2

Custos unitários CustoMédio(CM) Custo Variável Médio(CVM) CM = CT CVM = CV CustoFixoMédio(CFM) Custo Marginal(CMg) CFM = CF CMg = CT = CV

A geometria dos custos: inclinações CT c() CV() CMg() CVM() CM() CF()

Ascurvasdecustomarginalemédio CT c() CVM,CMg CM() CMg() 0 1 0 1

As curvas de custo marginal e variável médio CT c() CVM,CMg CMg() CVM() 0 2 0 2

As curvas de custo unitário Custos unitários CMg() CM() CVM() CFM()

Relações entre custos médios e custo marginal Custo médio e custo marginal Inclinação da curva de custo médio: dcm() d = d CT() d = CMg CT 2 Custo variável médio e custo marginal Inclinação da curva de custo variável médio: dcvm() d = d CV() d = CMg CV 2 = CMg() CM() = CMg() CVM(). Valor do custo variável médio quando produção é nula: CV() CV() CV(0) limcvm = lim = lim =CMg 0 0 0 0

Geometria dos custos:áreas Custos unitários CMg() CM() CVM() CT() CFM()

Geometria dos custos:áreas Custos unitários CMg() CM() CVM() CV() CFM()

Propriedades da função de custo 1 Afunçãodecustoénãodecrescenteemrelaçãoao produto: > c(w 1,w 2, ) c(w 1,w 2, ) 2 Afunçãodecustoénãocrescenteemrelaçãoaospreços dos insumos: w 1 w 1 ew 2 w 2 c(w 1,w 2,) c(w 1,w 2,) 3 Afunçãodecustoécôncavaemrelaçãoaospreçosdos insumos. 4 Lema de Shephard: c(w 1,w 2,) w i =x i (w 1,w 2,), i =1,2

Curto e longo prazos Curto prazo Umoumaisfatoressãofixose,portanto,partedocustoé fixa. Custo total e custo variável são diferentes, mesmo ocorrendo com os custos médio e variável médio. Longo prazo Nãoháfatoresfixos: todososcustossãovariáveis. Custo total e custo variável são iguais, mesmo ocorrendo com os custos médio e variável médio.

Economias de escala Diz-sequeumafunçãode custo de longo prazo apresenta economias de escala caso o custo médio seja decrescente em relação àprodução. Custos unitários CMg() CM() Economias de escala Deseconomias de escala

Elasticidadeprodutodocustoǫ c, Trata-se de uma medida pontual para economias de escala definida por ǫ c, = dc() d c() = CMg() CM(). É possível mostrar que ǫ c, = 1 PMg 1 PM 1 + PMg 2 PM 2 Portanto, economias de escala e deseconomias de escala ocorrem quando há, respectivamente, rendimentos crescentes de escala e rendimentos decrescentes de escala.

Ascurvasdecustodelongoedecurtoprazos Custos c c (,x 2 ( 2 )) c c (,x 2 ( 1 )) c l () c c (,x 2 ( 0 )) Custos Médios CM c CMg c CMg l CM l 0 1 2 0 1 2