ESTATÍSTICA DESCRITIVA EXERCÍCIOS

ESTATÍSTICA DESCRITIVA EXERCÍCIOS

I ESTATÍSTICAS DESCRITIVAS E DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 1. Determine quais das seguintes variáveis aleatórias são qualitativas ou quantitativas. Se quantitativas, indique se são contínuas os discretas: a) N.º de telefones por lar b) Tipo de telefone c) N.º de chamadas interurbanas por mês d) Duração da chamada interurbana mais longa de cada mês e) Cor do telefone f) Conta telefónica mensal 2. Suponha que a seguinte informação diz respeito a uma doente que deu entrada no Hospital Distrital de Faro: a) Sexo: Feminino b) Data de Nascimento: 06/02/47 c) Estado Civil: Casada d) Temperatura: 38º C e) Pulsação: 72 por minuto f) Tipo de sangue: A negativo g) Tensão arterial: Min 6; Máx 12 h) Alergias a medicamentos: Não i) Diagnóstico preliminar: Hepatite j) Tempo previsto de internamento: 7 dias Classifique cada um dos itens anteriores por tipo de dados e níveis de medida 3. Calcule a média aritmética, a mediana e a moda para cada um dos seguintes conjuntos de dados. a1) 20; 22; 20; 18; 25; 23; 27; 24; 24; 28; 20 a2) 20; 22; 20; 18; 25; 23; 27; 24; 24; 200; 20 a3) 5; 4; 5; 7; 2; 1; 8; 4; 9; 5; 4; 1; 1; 4; 5; 1 a4) 113; 105; 108; 107; 110; 105; 113; 109 b) Que conclusões retira da comparação dos resultados de a1) com a2)? Núcleo de métodos quantitativos 2

4. Utilize os seguintes dados para verificar que a soma dos desvios em relação à média é nula: a) 8; 50; 7; 8; 12; 35 b) 20; 23; 16; 20; 24; 17 5. Após examinar os registos das contas de uma empresa, o auditor formou uma amostra de 20 contas não pagas, com os seguintes valores em contos: 4; 18; 11; 7; 7; 10; 5; 33; 9; 12; 3; 11; 10; 6; 26; 37; 15; 18; 10; 21 a) Calcule a média, a mediana e a moda. b) Se o total de contas por pagar for 350, utilize a média para estimar o montante total das dívidas à empresa 6. Utilize os dados do problema anterior para verificar que é indiferente calcular o desvio padrão a partir de cada uma das seguintes fórmulas: S n i 1 n x n i 2 2 i 1 ( xi x) xi i 1 n ; S n 1 n 1 2 7. Os seguintes dados representam rendas mensais em Euros, de uma amostra de 10 quartos em Lisboa com as de Faro: Lisboa 24,5 32 29 25 26 23 27 24 23 21 Faro 24 22 21 25 23.5 22 23 25 24,5 22,5 a) Para cada um dos conjuntos de dados calcule: média, mediana, intervalo de variação, desvio padrão e coeficiente de variação. b) Compare as rendas dos quartos de Lisboa e Faro. Núcleo de métodos quantitativos 3

8. Os seguintes dados representam previsões de 25 economistas para o crescimento real do PIB no ano de 2005: 2,5 2,0 1,5 2,7 3,0 3,5 4,0 3,6 3,7 3,5 3,3 3,0 2,9 2,8 2,9 3,2 2,7 3,4 3,6 3,7 3,0 3,2 2,4 2,5 2,8 a) Calcule: média, mediana, moda, intervalo de variação, intervalo interquartis, variância, desvio padrão e coeficiente de variação. b) Forme o diagrama stem and leaf e o gráfico box and whisker c) Refira-se à configuração da distribuição. d) Aplique a regra de Bienaymé - Chebyshev para calcular o intervalo em que se encontram, pelo menos, 75% dos dados. e) Que percentagem dos dados estão contidos no intervalo X 2S? Compare com o resultado obtido na alínea d). 9. Os seguintes dados representam o tempo necessário, em segundos, para atingir a velocidade de 90Km/h numa estrada de testes, para uma amostra de 17 modelos de automóveis alemães e para outra amostra de 17 modelos de automóveis japoneses: Modelos Alemães 11,2 11,6 8,2 10,3 8,3 8,5 6,2 13,2 10,4 10,9 7,0 8,3 8,1 11,7 13,0 10,6 10,1 Modelos Japoneses 11,5 9,7 7,9 15,1 13,0 11,5 14,2 14,3 9,7 13,2 9,2 12,8 15,0 11,3 14,8 11,8 8,9 a) Para cada uma das amostras calcule: média, mediana, Q1 eq3, intervalo de variação, intervalo interquartis, variância, desvio padrão e coeficiente de variação. b) Para cada um dos conjuntos de dados forme o diagrama stem and leaf e o gráfico box and whisker c) Sumarie as conclusões. Núcleo de métodos quantitativos 4

10. Uma fábrica de pneus produz dois modelos, A e B. O modelo A permite um rodagem média de 40 000 km com um desvio padrão de 3 000 km. O modelo B permite uma rodagem média de 50 000 km com um desvio padrão de 2 000 km. Qual dos modelos prefere? Justifique. 11. A fim de serem analisados os salários de uma grande empresa industrial, foi recolhida uma amostra aleatória de 25 trabalhadores cujos salários mensais em contos são os seguintes: 70 90 120 70 70 70 70 90 110 290 70 70 90 160 120 120 70 90 70 70 70 130 110 70 90 Empregando as medidas descritivas que achar mais convenientes, caracterize os salários dos trabalhadores desta empresa. 12. Os resultados de 6 turmas a uma mesma prova estão registados no quadro seguinte: TURMA A B C D E F MÉDIA 72 67 68 72 58 60 DESVIO PADRÃO 10 7 8 12 10 8 EFECTIVO 21 18 23 16 17 19 a) Qual das turmas é mais homogénea? b) Das seis turmas, duas apresentam o mesmo grau de homogeneidade. Quais são? 13. Dez estudantes do Curso Superior de Gestão da ESGHT informaram a equipa docente sobre o número de horas que cada um tinha despendido a estudar para o teste de Estatística. O quadrado da soma das dez observações foi de 6400 e a soma dos quadrados dessas mesmas observações foi de 1000. a) Calcule a média e o desvio da distribuição? b) Considere que a distribuição é simétrica e que Q 1 = 4,5. Calcule Q 3. Justifique. Núcleo de métodos quantitativos 5

14. Considere os resultados finais, numa determinada disciplina, obtidos por 20 estudantes de uma dada Universidade: 9 14 12 8 14 12 16 16 8 14 11 12 14 11 11 18 14 18 15 15 a) Determine as frequências absolutas e relativas (simples e acumuladas). b) Represente graficamente as frequências absolutas e relativas. c) Calcule a média, a moda e a mediana. Comente. d) Determine os quartis e interprete os valores obtidos. e) Calcule a variância e o desvio padrão. f) Refaça as alíneas anteriores recorrendo ao SPSS. 15. Foi feito um inquérito a um grupo de compradores de 40 carros novos para determinar quantas reparações ou substituições de peças foram feitas durante o primeiro ano de utilização dos carros. Obtiveram-se os seguintes resultados: 1 4 1 2 2 3 3 2 1 2 3 2 3 1 0 1 2 7 4 3 5 1 2 4 2 1 3 1 0 1 2 1 1 3 1 0 4 2 3 5 a) Classifique a variável em estudo. b) Construa um quadro de distribuição de frequências: absolutas, relativas, relativas em percentagem, absolutas acumuladas e relativas acumuladas em percentagem. c) Construa gráficos para as frequências absolutas simples e acumuladas. d) Calcule as medidas de tendência central (média, mediana e moda). e) Calcule os quartis. f) Construa o diagrama box-and-whisker e refira-se à configuração da distribuição. g) Calcule as medidas de dispersão e comente a dispersão dos dados. h) Quantos carros tiveram menos de 3 reparações? E quantos tiveram mais de 3 reparações? i) Qual a percentagem de carros que teve somente uma reparação? Núcleo de métodos quantitativos 6

16. Os seguintes dados referem-se ao tempo gasto (em minutos) por 42 trabalhadores entre a sua residência e o local de trabalho: 5 21 26 13 24 29 37 12 31 5 50 18 33 14 23 22 17 32 7 17 42 15 38 20 11 26 25 29 27 8 24 12 39 25 28 14 47 19 22 28 9 18 a) Construa um quadro de distribuição de frequências, após ter definido o número de classes através da fórmula de Sturges (p 1 + 3,32 log n). Aproxime: b) A média, a mediana e a moda. c) O primeiro e terceiro quartis. d) O intervalo de variação e o intervalo interquartis. e) A variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação. f) Comente a dispersão dos dados. g) Construa o histograma e o polígono de frequências. h) Construa o diagrama box-and-whisker e refira-se à configuração da distribuição. i) Construa o polígono acumulado (ogiva) e assinale os quartis. j) Quantos trabalhadores gastam até 20 minutos para chegar ao local de trabalho? k) Quantos trabalhadores gastam mais de 36 minutos para chegar ao local de trabalho? 17. Utilizando os dados do problema 18 : 2,5 2,0 1,5 2,7 3,0 3,5 4,0 3,6 3,7 3,5 3,3 3,0 2,9 2,8 2,9 3,2 2,7 3,4 3,6 3,7 3,0 3,2 2,4 2,5 2,8 a) Construa a distribuição de frequências e a distribuição percentual. b) Represente o polígono de frequências. Núcleo de métodos quantitativos 7

c) Construa a distribuição de percentagens acumuladas. d) Represente o polígono de percentagens acumuladas. e) Aproxime: 1) Média; 2) Mediana; 3) Moda; 4) Intervalo de variação; 5) Intervalo interquartis; 6) Variância; 7) Desvio Padrão 8) Coeficiente de Variação. f) Compare as aproximações às medidas descritivas com os resultados obtidos a partir dos dados não agrupados. 18. Os seguintes dados representam as contribuições fiscais, durante um ano, de 40 pessoas escolhidas aleatoriamente: 2392 5928 780 2132 1976 1404 676 4472 3728 208 2236 4404 5132 1196 1716 1092 832 3959 3172 728 2132 1040 2028 4108 988 3926 468 2132 624 1710 4040 3174 3208 2948 1248 2704 150 200 988 624 a) Agrupe os dados numa distribuição de frequências. b) Construa um histograma e um polígono de frequências absolutas. c) Calcule a média, a mediana e a moda. d) Calcule o P5 e P95 (percentis 5% e 95%) e interprete os valores obtidos. e) Classifique a distribuição quanto à assimetria. f) Represente, para esta distribuição, o diagrama de caixa e bigodes. g) Refaça as alíneas anteriores recorrendo ao SPSS. h) Complete as afirmações: i) % dos contribuintes pagaram um valor superior a 1000. ii) 75% dos contribuintes pagaram um valor inferior a. Núcleo de métodos quantitativos 8

19. Considere a seguinte distribuição de frequências absolutas: Classes n i 0 6 2 6 12 6 12 18 12 18 24 15 24 30 18 30 36 9 a) Construa a distribuição de frequências relativas (simples e acumulada). b) Estude a simetria a partir do polígono de frequências. 20. O responsável pela gestão hospitalar de uma unidade de cuidados médicos intensivos, obteve a seguinte distribuição referente ao tempo de internamento dos doentes daquela unidade: Dias de internamento Número de doentes Menos de 5 48 5 10 33 10 20 27 20 30 18 30 45 15 Mais de 45 9 Total 150 a) determine o número médio de dias de internamento. b) Calcule o segundo quartil e interprete-o. c) Construa o histograma referente às frequências relativas. 21. Calcule o coeficiente de variação de uma distribuição que contém, pelo menos, 88,9% das observações no intervalo [ 1 ; 7 ]. 22. Calcule os extremos do menor intervalo que contém pelo menos 75% das observações de uma variável com média 10 e desvio padrão 5. Núcleo de métodos quantitativos 9

23. Durante o período compreendido entre Janeiro de 1991 e Dezembro de 1993, foram registadas as vendas de Veículos Ligeiros de Passageiros e Mistos, para os concelhos de Portimão e Faro. O quadro seguinte mostra as unidades vendidas, durante este período de tempo, de forma ordenada. Portimão Faro 46 90 80 219 59 90 84 224 66 93 87 225 66 99 92 227 67 106 126 227 71 107 130 233 73 111 136 234 73 114 142 234 75 116 143 245 78 117 157 245 81 122 159 245 82 125 167 254 83 145 178 256 85 179 178 269 85 190 185 289 85 205 187 290 88 266 190 302 88 268 190 307 a) Calcule as medidas de localização, para os dados não classificados. Comente. b) Construa a distribuição de frequências e represente o Histograma, para as vendas nos dois concelhos. c) Calcule as medidas de localização e dispersão, para os dados classificados. d) Construa o gráfico Extremos-Quartis. e) Formule uma análise sobre os dois conjuntos de dados, evidenciando as suas diferenças. Núcleo de métodos quantitativos 10

24. As distribuições do rendimento (em centenas de Euros) de 2 países são as seguintes: País A País B Rendimento População Rendimento População Anual Remunerada Anual Remunerada 80 100 30 000 60 90 10 000 100 120 80 000 90 120 20 000 120 140 40 000 120 150 50 000 140 160 10 000 150 180 20 000 160 180 4 000 180 210 15 000 180 200 1 000 210 240 10 000 240 270 4 000 Empregando as medidas descritivas que considere mais adequadas, compare o grau de desenvolvimento dos dois países. Fundamente os seus cálculos e discuta os resultados obtidos. 25. Analisando os salários dos trabalhadores das empresas X e Y construiu-se o seguinte quadro de frequências: Classe de Salários N.º Trabalhadores da N.º Trabalhadores da Empresa X Empresa Y 50 70 3 0 70 90 7 0 90 110 4 10 110 130 3 10 130 150 2 64 150 170 1 16 a) Analise a dispersão das duas populações. b) Justifique o emprego da medida estatística que utilizou. c) Construa o gráfico box-and.whisker para as duas distribuições. Que conclui quanto à simetria? Núcleo de métodos quantitativos 11

26. Os seguintes dados representam a distribuição acumulada e a distribuição percentual acumulada dos salários diários dos trabalhadores das empresas X e Y: Empresa X Y Salário N i F i % N i F i % 20 1 1,3 0 0,0 25 6 7,9 4 10,3 30 15 19,7 12 30,8 35 26 34,2 26 66,7 40 54 71,1 35 89,7 45 67 88,2 37 94,9 50 73 96,1 38 97,4 55 74 97,4 39 100,0 60 76 100,0 39 100, a) Quantos trabalhadores da empresa X recebem 40 Euros ou mais? b) Qual é a percentagem de trabalhadores da empresa X com salário inferior a 30 Euros? c) Qual das 2 distribuições tem maior intervalo de variação? d) Em qual das empresas há mais trabalhadores com salário inferior a 30 Euros? e) Qual delas tem uma menor percentagem de salários inferiores a 30 Euros? f) Utilize as distribuições acumuladas para obter a distribuição de frequências e a distribuição percentual. 27. Considere a seguinte distribuição de frequências acumuladas: Classes F i 0 10 0,1 10 20 0,4 20 30? 30 40 0,7 40-50 1,0 Determine as frequências simples para as 3.ª e 4.ª classes, sabendo que a média da distribuição é igual a 27. Núcleo de métodos quantitativos 12

28. Um inquérito a 300 agregados familiares sobre o número de automóveis que possuem, X, e o respectivo rendimento mensal em dezenas de Euros, Y, conduziu aos seguintes resultados: X \ Y 30-50 50-80 80-120 120-200 Total 0 A 30 B C D 1 40 50 40 20 150 2 E F G H I Total 70 120 60 j k Infelizmente, alguns valores perderam-se. No entanto, sabe-se que 100 famílias possuem 2 carros e que todas as famílias com rendimento mensal entre 1200 e 2000 Euros têm carro. Dentro do grupo com mais baixo rendimento, é igual o número das que têm 2 carros e das que não têm nenhum. a) Complete o quadro. b) Represente graficamente as distribuições X e Y. c) Calcule as medidas de tendência central para Y. Interprete os resultados. d) Calcule a moda de X. Interprete o resultado obtido. 29. Um teste de audiência efectuado às 21 horas do dia 20 de Junho de 2002 a 100 lares com 2 televisores, detectou que o Brasil Escócia foi visto por 80% dos homens e 30% das mulheres, enquanto o episódio da telenovela foi visto por 20% dos homens e 70% das mulheres. Sabendo que nos 100 lares estavam a ver televisão 80 mulheres e 70 homens, determine, relativamente ao total de pessoas que estavam a ver televisão, a percentagem de homens que assistiu à telenovela e a percentagem de mulheres que assistiu ao futebol. Núcleo de métodos quantitativos 13

II CONTINGÊNCIA E ASSOCIAÇÃO \ CORRELAÇÃO E REGRESSÃO. 1. O quadro seguinte é baseado num estudo que relaciona a raça com o tipo de sangue. Tipos de Sangue O A B AB Raça 1 176 148 96 72 Raça 2 78 50 45 12 Raça 3 15 19 8 7 a) Calcule o qui-quadrado. b) Calcule o coeficiente de contingência. c) Interprete os resultados obtidos. 2. Num estudo sobre a segmentação do mercado automóvel, foi inquirida uma amostra de compradores sobre as suas preferências no que respeita aos seguintes acessórios: x1 : cor metalizada x3 : vidros fumados x5 : airbag x2 : tecto de abrir x4 : jantes de liga leve x6 : faróis de nevoeiro As respostas dos dois primeiros inquiridos foram as seguintes: Inquirido x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 1 1 0 1 0 1 1 2 1 1 1 0 0 1 a) Construa a respectiva tabela de contingência. b) Determine o coeficiente de correlação entre estes dois indivíduos. 3. O Director de Departamento de Pessoal de uma grande empresa pensa que existe uma relação entre idade e absentismo, pretendendo utilizar a idade do trabalhador para prever o número de dias de absentismo durante um ano. Uma amostra aleatória de trabalhadores forneceu os seguintes resultados: Idade (X) 26 61 37 23 46 58 29 36 64 40 Dias de Absentismo (Y) 15 6 10 18 9 7 14 11 5 8 Núcleo de métodos quantitativos 14

a) Represente graficamente os dados. b) Assuma uma relação linear entre as variáveis. i) Utilize o método dos mínimos quadrados para calcular os coeficientes a e b. ii) Interprete o significado de b. iii) Quantos dias, em média, prevê que um trabalhador de 40 anos falte durante um ano? c) Calcule o desvio padrão da estimativa. d) Calcule o coeficiente de determinação e interprete o seu significado. e) Calcule o R 2 ajustado. f) Calcule o coeficiente de correlação. 4. Os seguintes dados respeitam a 10 bancos comerciais: Depósitos 44.03 14.78 13.45 13.03 8.24 8.71 6.24 4.20 3.42 3.14 Empréstimos 57.58 13.16 11.05 11.49 2.74 5.83 5.49 3.47 2.04 2.30 Calcule o coeficiente de correlação entre depósitos e empréstimos. 5. Considere os seguintes pares de valores de 2 variáveis estatísticas: (1 ; 7) (3 ; 6) (4 ; 4) (6 ; 3) (7 ; 3) (9 ; 1) a) Calcule o coeficiente de correlação linear. b) Faça o ajustamento linear utilizando o método dos mínimos quadrados. 6. Considere os seguintes dados relativos à procura de um bem: Preço 2 3 4 5 6 7 Quant.Procuradas 20 15 12 10 7,5 4 a) Através do método dos mínimos quadrados, ajuste: i) Uma recta. ii) Uma potência. iii) Qual o melhor ajustamento? Justifique. Núcleo de métodos quantitativos 15

7. Ajuste uma exponencial ao número de tractores utilizados pelas explorações agrícolas em Portugal. Anos 1980 1982 1984 1986 1988 1990 N.º de Tractores 2961 3963 5025 6667 9550 11806 8. O Director Comercial de determinada empresa deseja conhecer a relação existente entre os gastos de promoção e as vendas de um novo produto. Para tal, recolheu a seguinte informação: Despesas em Promoção 140 200 238 325 415 400 415 500 Vendas 50 57 60 65 76 77 79 100 a) Ajuste uma recta aos dados (Indique a respectiva expressão analítica). b) Ajuste uma exponencial (Indique a respectiva expressão analítica). c) Indique o coeficiente de determinação e explique o seu significado. d) Qual o modelo que escolheria? Justifique. 9. Considere a evolução das importações e exportações do país A a preços constantes, para o período de 1988 a 1991: Anos Importações (10 6 Euros) Exportações (10 6 Euros) 1988 4 60 1989 30 69 1990 43 78 1991 47 94 a) Ajuste uma recta às exportações ao longo do período. Apresente a expressão analítica da recta ajustada. a1) Determine R 2 e interprete o seu significado. b) Ajuste uma função potência ao comportamento das importações ao longo dos anos. b1) Determine o coeficiente de correlação e interprete o seu significado. c) Compare as importações e as exportações previstas para o ano 2000. Núcleo de métodos quantitativos 16

10. O quadro seguinte regista os valores do produto interno bruto (PIB) das exportações (X) e das importações (M) numa dada economia, ao longo de oito anos: Anos 80 81 82 83 84 85 86 87 PIB 910 1140 1520 1830 2370 2690 3260 4260 X 240 270 330 490 790 930 1230 1390 M 430 560 740 860 1090 1280 1580 2080 Com base nestes elementos foram calculadas as seguintes rectas de regressão linear. M= - 19,1 + 0,488PIB e X= - 14154,5 + 178t ( t = ano) Sabendo que se espera que o PIB cresça ao ritmo de 12% até 1990, determine qual o valor previsível para a balança comercial (X - M) em 1990 e compare-o, em termos relativos, com o valor registado em 1980 indicando qual o ano em que o défice comercial foi menos importante. 11. A tabela indica a quantidade, em alqueires (1 alqueire 20 litros), de milho produzida por hectare, Y, resultante do uso de várias quantidades (em g/m 2 ) de fertilizante, X 1, e insecticida, X 2, de 1971 a 1980. Ano Y X 1 X 2 1971 40 6 4 1972 44 10 4 1973 46 12 5 1974 48 14 7 1975 52 16 9 1976 58 18 12 1977 60 22 14 1978 68 24 20 1979 74 26 21 1980 80 32 24 N=10 Y=570 X 1=180 X 2=120 a) Estime e interprete os parâmetros da regressão. b) Calcule e interprete o coeficiente de determinação múltipla. c) Calcule e interprete os coeficientes de correlação parciais. Núcleo de métodos quantitativos 17

12. Considere os seguintes dados, referentes à quantidade procurada de um produto, Y, o seu preço (em Euros), X 1, e o rendimento dos consumidores (em milhares de Euros), X 2. Ano Y X 1 X 2 1971 40 9 0.400 1972 45 8 0.500 1973 50 9 0.600 1974 55 8 0.700 1975 60 7 0.800 1976 70 6 0.900 1977 65 6 1.000 1978 65 8 1.100 1979 75 5 1.200 1980 75 5 1.300 1981 80 5 1.400 1982 100 3 1.500 1983 90 4 1.600 1984 95 3 1.700 1985 85 4 1.800 a) Ajuste uma regressão a estas observações. b) Calcule o coeficiente de determinação múltipla ajustado. c) Determine qual a variável independente que mais contribui para o poder de explicação do modelo. 13. A tabela dá, para uma amostra aleatória de 12 casais, o n.º de crianças que eles tiveram (Y), o n.º de crianças que eles afirmaram desejar ter (X 1), e os anos de escolaridade das esposas (X 2). Var. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Y 4 3 0 4 4 3 0 4 3 1 3 1 X 1 3 3 0 2 2 3 0 3 2 1 3 2 X 2 12 14 18 10 10 14 18 12 15 16 14 15 a) Determine a equação da regressão. b) Determine o coeficiente de determinação múltipla c) Indique qual a variável independente que mais contribui para o poder explicativo do modelo. Núcleo de métodos quantitativos 18

III - NÚMEROS ÍNDICE. 1. O preço de um dado bem variou ao longo do tempo da seguinte maneira: Ano 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 Preço 5,20 7,90 10,50 17,50 22,50 27,50 32,50 Calcule os diversos índices simples tomando como ano base 1987. x X 2. Prove que se: I t t, então 0 X 0 I x t 0 I I. x t t 1 x t1 0 3 Usando a tabela do exercício 1 e os resultados obtidos, calcule I p t 1993. 2. O rendimento mensal de um dado trabalhador subiu num ano 375 para 425, enquanto que, no mesmo período de tempo, o índice de preços do consumidor subiu 10%. Qual foi a mudança no rendimento real do consumidor? 5. O Sr. Fresco é vendedor de gelados Ice-Cream na cidade de Faro. Nos últimos anos registou os seguintes volumes de vendas: Ano 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 Vol.Vendas 4,01 4,13 4,48 5,25 4,16 4,32 5,07 5,93 6,18 6,71 (valores em Milhares de Euros) a) Utilizando 1980 como ano base, construa o índice para o volume de vendas para o período dado. b) Reformule o índice mudando o ano base para 1984. c) A partir de 1984 os gelados Delícia começaram a operar na cidade de Faro, tendo como vendedora a D. Frescura que registou os seguintes volumes de vendas: Ano 1984 1985 1986 1987 1988 1989 Vol.Vendas 2,31 2,54 3,33 3,04 3,16 3,45 Núcleo de métodos quantitativos 19

(valores em Milhares de Euros) c1) Utilizando 1984 como ano base, construa o índice para o volume de venda ao longo dos seis anos de actividade. c2) Compare os índices do Sr. Fresco e da D. Frescura. c2-i) Qual é o que regista maior crescimento? c2-ii) Calcula a taxa de crescimento anual para os dois vendedores. 6. Considere os seguintes valores: Anos 1985 1986 1987 1988 1989 Exportações (preços correntes)* 120 140 170 205 250 Índice de Preços (Base=1985) 100 115 130 150 190 *(valores em Milhões de Euros) Indique o valor das exportações a preços constantes de 1988. 7. Calcule o índice de preços agregado simples para o seguinte conjunto de bens: Anos 1990 1991 A 10 12 B 13 15 C 14 17 Interprete o seu resultado. 8. Na construção de um índice que critérios devem ser seguidos para fixar o ano base? 9. Os quadros de uma empresa multinacional têm os salários base standartizados em 4 categorias distintas. Núcleo de métodos quantitativos 20

Categoria Número e Vencimento 1970 1975 1980 1985 1990 A número 973 1112 1287 1349 1402 A vencimento* 798 1078 1540 2016 2408 B número 667 621 674 528 456 B vencimento* 686 812 966 1554 2464 C número 483 534 673 566 528 C vencimento* 672 868 1134 1862 2478 D número 114 131 172 139 113 D vencimento* 742 980 1218 1946 2842 *(valores em Milhares de Euros) a) Utilizando1970 como ano base, construa os índices para os salários. a1) Índice agregado simples. a2) Índice agregado com ponderações fixas (utilize o ano de 1970 para determinar as ponderações a atribuir). b) Faça uma mudança de base para 1980 para ambos os índices. 10. Considere os seguintes valores referentes a um cabaz de 3 bens para os anos de 1980, 1985 e1990. Anos 1980 1985 1990 Bens Preço Quantidade Preço Quantidade Preço Quantidade Bem A 5 10 6 12 7 9 Bem B 10 6 11 5 12 6 Bem C 7 8 8 8 10 9 a) Calcule os índices de preço elos para o período de análise. b) Utilizando os resultados da alínea anterior: i) Indique o lustro (período de 5 anos) em que se registou maior crescimento. ii) Qual a variação registada entre 1990 e 1980? Considere 1980 como ano base. (Nota: caso não tenha feito a alínea a) considere os seguintes índices 112 e 110) Núcleo de métodos quantitativos 21

11. Considere os seguintes valores referentes ao PIB (Produto Interno Bruto) do País A. Anos 1985 1986 1987 1988 1989 1990 Preços Correntes 23124 27052 29481 33420 38903 49041 Preços Constantes (1990) 46398 46974 46193 47259 48278 49041 (valores em Milhões de Euros) Apresente uma série de preços constantes com base em 1985. 12. Considere os seguintes dados referentes a Portugal: Ano Exportações de Bens e Serviços Índice de Preços das Exportações Índice de Preços das Exportações Preços correntes Base 1978=100 Base1983=100 1980 12033 107,1-1981 12125 110,9-1982 14746 113,3-1983 16309 124,1 100,0 1984 23715-91,6 1985 27719-96,4 1986 30703-91,8 1987 34493-99,5 1988 35106-104,5 1989 37581-109,1 1990 41742-123,2 1991 47561-126,0 Obtenha um índice de exportações a preços constantes de 1983 e com base em 1980. 13. Os índices de preços das classes que constituem o índice de preços do consumidor (IPC), publicado pelo INE, tomaram em Setembro de 1981 e 1982 Núcleo de métodos quantitativos 22

os valores indicados no quadro abaixo, onde também se registaram as ponderações atribuídas a cada classe. Índices das Classes do IPC em Setembro de 1981 e 1982* Classes Set. 81 Set. 82 Ponderações I Alimentação e Bebidas 290,3 351,9 496,2 II Vestuário e Calçado 282,3 337,6 93,5 III Rendas de Habitação** - - - IV Despesas de Habitação 274,7? 106,3 V Diversos 253,3 315,7 180,9 IPC-TOTAL com exclusão habitação 282,4? - *Base=preços médios de 1976 **O INE decidiu não considerar a classe III por não dispor de elementos que permitam uma amostra cientificamente válida para se constituir um índice desta classe. Em Setembro de 1982 os grupos de classe IV registaram os índices do quadro seguinte, onde se indicam também as ponderações dos grupos no IPC. Índice dos grupos de Classe IV Grupos de Classe Set. 1982 Ponderações no IPC Água 312,3 4,5 Combustíveis e electricidade 453,0 27,8 Aquisição de bens domésticos duráveis 275,8 52,4 Despesas domésticas correntes 336,1 21,6 a) Determine o índice correspondente à classe IV em Setembro de 1982. b) Determine o IPC TOTAL com exclusão das rendas de habitação em Setembro de 1982. c) Qual foi o aumento verificado entre Setembro de 1981 e Setembro de1982? 14. O preço da matéria prima X, tem registado nos últimos anos a evolução representada no seguinte quadro: Núcleo de métodos quantitativos 23

Anos 1985 1986 1987 1988 1991 Preços Correntes (Euros) 2000 2040 2125 2712 4645 Índices de Preços (1985=100) 100 103,5 105,2 - - Índices de Preços (1988=100) - - 93,2 100,0 125,0 (Nota: em relação aos anos de 1989 e 1990 não existem dados disponíveis) Para o período temporal em foco, construa uma série de preços constantes de 1991 para a matéria prima X. 15.Considere os seguintes valores a preços correntes e os preços de base fixa: Anos 1985 1986 1987 1988 1989 1990 Preços Correntes 12 23 32 45 62 80 Índice (1985=100) 100 104 109 - - - Índice (1990=100) - - 85 89 95 100 Apresente os valores a preços constantes de 1987. 16.Com a seguinte informação. A Variações anuais dos preços e estrutura da Despesa em 1985 Classes Ponderadores (%) Variação Anual I - Alimentação e Bebidas 56,59 Alimentação 52,06 17,2 Bebidas 4,53 24,0 II - Vestuário e Calçado 10,66 Vestuário 8,90 23,8 Calçado 1,76 20,9 III - Despesas de Habitação 12,12 20,0 IV - Diversos 20,63 21,9 TOTAL 100,00 B Índice de preços no Consumidor (1976=100) Anos 1980 1981 1982 1983 1984 1985 IPC 225,0 269,9 330,3 414,6 536,1? Núcleo de métodos quantitativos 24

C Actualização anual dos salários mínimos (Indústria e Serviços/Esc) Anos 1980 1981 1982 1983 1984 1985 Salários? 9425 10700 13000 15600 19200 Nota: A actualização do salário mínimo apresentou uma variação de +19.68% em 1981 relativamente ao ano anterior. a) Determine a variação global dos preços em 1985. b) Retire as devidas conclusões da actualização anual dos salários mínimos em termos da sua evolução real no período em questão. Núcleo de métodos quantitativos 25

IV - SÉRIES CRONOLÓGICAS 1. Utilizando o método das semi médias, determine a tendência linear das seguintes séries cronológicas: a) Ano 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 Y t 5 8 12 13 15 20 21 26 31 b) Ano 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 Y t 90 95 98 110 113 118 124 130 140 145 3. Utilizando o método das médias móveis obtenha a tendência das seguintes séries cronológicas (experimente 3, 4 e 5 termos). a) 3 4 8 6 7 11 9 10 14 12 13 17 15 b) 6 9 15 16 18 22 28 35 32 40 41 43 47 4. O produto do sector primário português (não incluindo indústrias extractivas) evolui da seguinte maneira (em milhões de Euros, preços de 1973) 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 16,7 16,9 18,0 18,2 17,7 18,8 17,0 18,8 19,4 18,7 19,8 18,8 19,3 Suponha a tendência linear. a) Estime-a pelo método dos mínimos quadrados. b) Alise-a pelo método das médias móveis e determine então a recta dos mínimos quadrados. Confronte com os resultados da alínea anterior. Núcleo de métodos quantitativos 26

4. Determine a tendência das seguintes séries cronológicas pelo método dos mínimos quadrados, alterando a variável t de modo que t = 0. Calcule os valores de tendência e confronte-os com as observações; extrapole para 1992; remova a tendência das observações, admitindo o modelo multiplicativo. a) Ano 1985 1986 1987 1988 1989 Y t 5 8 12 15 20 b) Ano 1982 1983 1984 1985 1986 1987 Y t 5 8 12 15 20 25 5. Determine a seguinte série das vendas diárias de um produto: 2ª Feira 3ª Feira 4ª Feira 5ª Feira 6ª Feira Sábado 1ª semana 3 5 3 2 6 8 2ª semana 4 8 7 4 10 9 3ª semana 5 6 8 7 9 12 4ª semana 8 7 9 8 12 15 Determine os índices de sazonalidade: d) Pelo método das proporções para a tendência. e) Pelo método das proporções para as médias móveis. 6. Admita como verdadeiros os seguintes registos de dormidas em hotéis do continente, distribuídos por meses do ano: Anos 1.º Trimestre 2.º Trimestre 3.º Trimestre 4.º Trimestre 1986 440,36 837,73 1275,42 517,49 1987 512,33 947,95 1434,12 628,45 1998 685,71 1151,76 1693,23 778,91 1989 693,83 1357,28 1780,81 906,40 1990 911,26 1348,80 1946,20 1030,78 Supondo que já se detectou que esta série obedece ao modelo multiplicativo, determine os respectivos índices sazonais pelos 2 métodos estudados. Núcleo de métodos quantitativos 27

7. Admitindo que a matrícula dos novos automóveis está sujeita a variação sazonal, calcule a partir dos seguintes dados os respectivos índices pelo método das médias móveis. Matriculas de novos automóveis em Milhares de unidades Anos Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez 1988 25.0 24.9 31.8 27.1 21.9 30.5 30.5 13.4 21.7 27.4 27.7 26.5 1989 26.7 25.4 33.6 30.8 30.3 32.4 34.6 17.9 26.7 32.9 28.9 32.1 1990 35.5 34.2 42.2 39.2 38.5 42.9 40.4 21.0 30.4 40.2 36.5 39.2 1991 44.7 40.0 52.0 43.5 43.8 48.0 48.0 24.0 30.2 19.2 40.7 39.3 8. Uma instituição bancária recolheu os seguintes dados respeitantes aos pedidos de crédito pessoal. 1.º Quadrimestre 2.º Quadrimestre 3.º Quadrimestre 1978 3 4 8 1979 3 4 11 1980 6 7 14 a) Utilizando o método da proporção para a tendência, obtenha os índices corrigidos de sazonalidade. b) Elimine a tendência e a sazonalidade dos dados; interprete o resultado residual. 9. O quadro seguinte regista as vendas trimestrais de uma dada empresa ao longo de 4 anos: 1.º Trimestre 2.º Trimestre 3.º Trimestre 4.º Trimestre 1.º Ano 655 524 478 640 2.º Ano 722 578 544 692 3.º Ano 770 638 572 752 4.º Ano 837 672 624 788 Núcleo de métodos quantitativos 28

a) Supondo que a tendência pode ser bem descrita pela recta de regressão calculada a partir daquelas 16 observações Vendas =568,6 + 11,39 t (t=1, 2, 3,...,16) calcule os coeficientes de sazonalidade e interprete o respectivo significado, procurando dar um exemplo do tipo de actividade a que se pode dedicar esta empresa. b) Indique a sua melhor estimativa para as vendas no sexto trimestre a seguir ao último valor conhecido, tendo em consideração os coeficientes calculados na alínea anterior. 10. O registo das vendas de gelados nas praias de uma zona, durante os meses de Maio a Setembro e para todos os anos de 1983, 1984, 1985 e 1986, permitiu estimar, a partir dos valores médios de cada ano, a seguinte tendência anual: X t = 3,0 + 1,1t onde t = 1 representa o mês médio do conjunto dos meses observados. Através do método das proporções para a tendência calcularam-se, a partir dos mesmos dados, os seguintes índices de sazonalidade corrigidos: Maio Junho Julho Agosto Setembro S. Corrigida 50 80 120 150 100 a) Sabendo que os valores das vendas observadas no mês de Maio dos diversos anos foi: 1983 1984 1985 1986 Maio 1,80 2,50 2,80 3,52 Confirme o valor do índice da sazonalidade para este mês, tendo como base as hipóteses subjacentes a este modelo. Interprete o índice. b) Estime o valor das vendas: i) Durante todo o ano de 1987. ii) Em cada um dos meses referidos. Núcleo de métodos quantitativos 29

11. Da análise das vendas trimestrais da empresa A, durante um período de 3 anos, foram determinados os seguintes índices de sazonalidade: 1.º Trimestre (90,1) 4.º Trimestre (116,7) sendo a tendência dada por X t = 7,5 + 0,54 t, em t = 1 é referente ao 1.º trimestre do 1.º ano. a) Sabendo que as vendas registadas no 2.º trimestre, ao longo do período em análise, foram de 8,5, 10,5 e 12,8, calcule os índices de sazonalidade para os 2.º e 3.º trimestres. b) Faça a previsão das vendas para o 1.º trimestre do ano 4. 12. Nos últimos 5 anos registaram-se os seguintes volumes de vendas médias anuais, obtidos a partir de valores trimestrais: Ano 1 2 3 4 5 Vendas 5 8 14 24 35 a) Ajuste uma exponencial. b) A partir da tendência obtida na alínea anterior faça a previsão para: i) o volume de vendas médias anuais para o ano seguinte. ii) o volume de vendas para o 4º trimestre do ano seguinte, sabendo que está sujeito a flutuações sazonais e que os índices corrigidos para os primeiros 3 trimestres são, respectivamente, 87, 98 e 101. (Nota: caso não tenha feito a alínea anterior considere a tendência dada por X t = 12* 1,05 t ) Núcleo de métodos quantitativos 30