Eforço Tranvero Luciano Jacinto Setembro de 2015 O preente documento não deve er encarado como um documento completo e cabal, ma como um documento íntee. A ideia ão apreentada em ordem lógica, ma de forma reumida e ucinta. Prevê-e cerca de 6 aula para cobrir a matéria aqui apreentada. Conteúdo 1 Introdução 1 2 Elemento com armadura epecífica de eforço tranvero 2 3 Elemento em armadura epecífica de eforço tranvero 4 4 Viga de altura variável 6 5 Corte na ligação banzo-alma 8 6 Interrupção da armadura longitudinal 11 7 Apecto particulare de dimenionamento 15 7.1 Secção para o cálculo do eforço tranvero actuante................ 15 7.2 Carga concentrada próxima do apoio...................... 16 7.3 Carga upena.................................... 16 8 Dipoiçõe contrutiva do EC2 relativa ao eforço tranvero 17 8.1 Amarração de armadura inferiore.......................... 17 8.2 Armadura de eforço tranvero........................... 17 1 Introdução É aceite em geral que a viga reitem ao eforço tranvero egundo um mecanimo de treliça, vulgarmente conhecida como treliça de Morch Figura 1. A barra traccionada etão repreentada a traço contínuo e a barra comprimida a traço interrompido. A força na barra verticai erão reitida por etribo e a força na barra inclinada por biela (ou ecora) de betão (Figura 2). O modelo de treliça ugere que o EL último de eforço tranvero pode er atingido de doi modo ditinto: 1. Cedência do etribo; 2. Emagamento da bilea de betão. 1
Figura 1: Idealização de uma treliça no interior de uma viga de betão treliça de Morch. Figura 2: Equema geral da armadura de uma viga de betão. O EC2 denota o eforço tranvero aociado à cedência do etribo por V Rd, e o eforço tranvero aociado ao emagamento de betão por V Rd,max. Critério de verificação de egurança: V Ed V Rd, (1) com, V Rd = min { V Rd, V Rd,max 2 Elemento com armadura epecífica de eforço tranvero Conidere-e o troço de viga indicado na Figura 3. Determine-e em primeiro lugar o eforço tranvero aociado à cedência do etribo, V Rd,. De acordo com a Figura 3 tem-e: V Rd = F b in θ. (2) Figura 3: Troço genérico de uma treliça de Morch Viga de altura contante. 2
Ma, por equilíbrio do nó 1, F b in θ = F w in α, pelo que, V Rd = F w in α. (3) Seja, A w / a área ditribuída do etribo, exprea por exemplo em cm 2 /m. Coniderando que o comprimento de influência de cada tirante é de z(cot θ + cot α), a área do etribo nee comprimento é de A w / z(cot θ + cot α). Aim, o eforço tranvero aociado à cedência do etribo é dado por V Rd, = F w in α = f yd (A w /) z(cot θ + cot α) in α, e portanto V Rd, = f yd A w z(cot θ + cot α) in α (4) Acabamo de deduzir a expreão (6.13) do EC2. Obervação: No cao de aço em etribo, o EC2 repreenta o valor de cálculo da tenão de cedência do aço, f yd, por f ywd. No preente apontamento uaremo a notação habitual f yd porque de facto não há ditinção entre a dua variávei. A Tabela 1 motra o valore de f yd para a dua clae de aço utilizada em Portugal. Tabela 1: Tenão de cálculo da armadura ordinária. Aço f yk [MPa] f yd [MPa] A400 400 348 A500 500 435 Determinemo agora o eforço tranvero aociado ao emagamento da biela de betão. A força na biela aociada ao emagamento do betão, F b, é igual à reitência à compreão do betão, f cd, veze a área da biela. A área da biela é igual a d b b w = z(cot θ + cot α) in θ b w. De acordo com o EC2, a reitência do betão para efeito de reitência ao eforço tranvero é dada por α cw νf cd. o factore α cw e ν erão explicado mai à frente. Tem-e poi: V Rd,max = F b in θ = α cw νf cd z(cot θ + cot α) in 2 θ b w V Rd,max = α cw νf cd b w z cot θ + cot α 1 + cot 2 θ (5) Acabamo de deduzir a Expreão (6.14) do EC2. O factor α cw pretende ter em conta o etado de tenão no banzo comprimido e é tomado igua a 1 no cao do betão não pré-eforçado (Cl. 6.2.3(3)). O factor ν é um factor menor que 1 e pretende ter em conta a redução de f cd por e tratar de betão que apreenta fiura de eforço tranvero. É dado por: ( ν = 0.60 1 f ) ck, (6) 250 em que f ck é a reitência caracterítica do betão ao 28 dia, medida em provete cilíndrico, exprea em MPa. 3
Relativamente ao braço z da força interna, o EC2 (Cl. 6.2.3(1)) refere que, não exitindo eforço axial, poderá em geral utilizar-e: z = 0.90 d (7) Em relação à inclinação da biela, θ, o EC2 (Cl. 6.2.3(2)) refere que 1 cot θ 2.5, que é equivalente a: 21.8 o θ 45 o (8) Na prática é uual adoptar-e θ = 30 o. Um cao particular importante da expreõe acima conite na adopção de etribo verticai (ou, melhor, perpendiculare ao eixo da viga), ou eja o cao α = 90 o. Para ete cao particular tem-e: A w V Rd, = f yd z cot θ A w = V Ed z f yd cot θ (9) V Rd,max = α cw ν f cd b w z tan θ + cot θ (10) Exemplo 1 Verifique a egurança ao EL de eforço tranvero de uma ecção rectangular com b = 0.30 m e d = 0.55 m, ujeita a um eforço tranvero V Ed = 300 kn. Conidere etribo verticai e biela a 30 o. Materiai: C25/30 e A500. Reolução Verificação do emagamento do betão: ( ν = 0.60 1 25 ) = 0.54; f cd = 25/1.5 = 16.7 MPa. 250 V Rd,max = (1.00)(0.54)(16.7 103 )(0.30)(0.495) tan 30 o + cot 30 o = 580 kn> V ED ; Área de etribo neceária: A w = 300 0.495 43.5 cot 30 o = 8 cm2 /m; Coniderando etribo de 2 ramo tem-e A w / = 4 cm 2 /m/ramo. Adopta-e φ8//0.10. 3 Elemento em armadura epecífica de eforço tranvero É poível conceber elemento etruturai em armadura epecífica de eforço tranvero (etribo). É o cao da laje e da apata. O mecanimo de reitência ao eforço tranvero dete elemento é naturalmente diferente. Conidere-e a ecção rectangular de largura b w e altura útil d indicada na Figura 4 e admitae que e trata de um elemento em etribo. De acordo com a Cl. 6.2.2(1) do EC, o valor do 4
Figura 4: Secção tranveral de um elemento em armadura epecífica de eforço tranvero. eforço tranvero reitente de cálculo de elemento em etribo (ou que não tenham a armadura mínima de etribo), repreentado por V Rd,c, é dado por: ( ) 0.18 V Rd,c = k (100 ρ l f ck ) 1/3 + 0.15 σ cp b w d; (11) γ c com um mínimo de: onde: V Rd,c = (ν min + 0.15 σ cp ) b w d (12) f ck deve er expreo em MPa; k = 1 + 200/d 2 (d em mm); ρ l = A l b w d 0.02; A l é a área da armadura de tracção prolongada para além da ecção coniderada de um comprimento maior ou igual a l bd + d; σ cp = N Ed /A c < 0.20 f cd, expreo em MPa; N Ed é o eforço normal na ecção devido à acçõe aplicada ou ao pré-eforço (NEd > 0 para compreão). Para efeito de cálculo de N Ed a influência da deformaçõe impota poderá er ignorada. γ c é o factor de egurança, em geral 1.50. ν min = 0.035 k 3/2 f 1/2 ck. Exemplo 2 Determine o valor de cálculo do eforço tranvero reitente de uma ecção com a eguinte caracterítica. Conidere que não exitem etribo e que a compreão na laje é deprezável. 5
Figura 5: Viga de altura variável. Reolução 200 k = 1 + = 2.29 2; 120 ρ l = 7.9 = 0.0066 (< 0.02); 100 12 ν = 0.18 1.5 2.0 (100 0.0066 25)1/3 = 0.61 MPa; ν min = 0.035 2 3/2 25 1/2 = 0.5 MPa; V Rd,c = ( 0.61 10 3) (1.00 0.12) = 73 kn; 4 Viga de altura variável No cao de viga de altura variável, a força no banzo ão inclinada, pouindo aim uma componente vertical, que pode er favorável ou defavorável. Conidere-e a viga repreentada na Figura 5 com ambo o banzo inclinado. De acordo com a Figura, o eforço tranvero actuante é dado pela Equação: V Ed = F c in β c + F b in θ + F in β, (13) que e pode reecrever como: V Ed F c in β c F in β = F b in θ. (14) Comparando eta última Equação com a Eq. (2), podemo concluir que uma forma de abordar a viga de altura variável conite em corrigir o eforço tranvero actuante como egue: V Ed = V Ed F c in β c F in β, (15) e aplicar a condição de egurança habitual: V Ed V Rd, (16) com V Rd calculado para viga de altura contante. A Eq. (15) motra que a componente vertical da força no banzo é favorável (ito é, reduz o eforço tranvero actuante) quando poui o memo entido do eforço tranvero actuante. 6
Admitindo que a componente horizontai da força no banzo, F c co β c e F co β, ão amba iguai a M Ed /z (hipótee aceitável e não exitir eforço axial), vem: V Ed = V Ed M Ed z (tan β c + tan β ). (17) No cao de apena um banzo pouir inclinação, a expreão acima implifica-e, vindo: V Ed = V Ed M Ed z tan β (18) onde β é o ângulo que o banzo faz com o eixo da viga. Na aplicação deta equação deve-e ter cuidado com o inai. A diferente grandeza interveniente (V Ed, M Ed e β) devem er aplicada com o verdadeiro inal. (Para a convenção de inai do ângulo β, ver a Fig. 5.) É importante ter preente que, independentemente do inai, e a inclinação do banzo for favorável, V Ed diminiu (em módulo) e aumenta, cao contrário. Exemplo 3 Conidere a conola repreentada na Figura junta. Verifique a egurança em relação ao El de eforço tranvero na ecção de encatramento. Reolução g 1 = 25 (0.40 0.80) = 8 kn/m; g 2 = 25 (0.40 0.40) = 4 KN/m; M g = 170.7 knm; M q = 10 82 2 = 320 knm; M Ed = 1.35 170.7 + 1.50 320 = 710.4 knm; V Ed = 1.35 8 + 4 2 8 + 1.5 10 8 = 184.4 kn; Tirando partido da inclinação do banzo, que é favorável no preente cao (porquê?), vem: V Ed 710.4 = 184.4 0.9 0.75 0.80 0.40 8 } {{ } 52.6 = 132.2 kn; 7
Adoptando etribo verticai e biela a 30 o, a área de etribo neceária é de: A w = 132.2 (0.90 0.75) 43.5 cot 30 o = 2.6 cm2 /m; Verificação da egurança ao emagamento da biela de betão: ( ν = 0.60 1 25 ) = 0.54 250 V Rd,max = 1.00 (0.54) (16.7 103 ) (0.40) (0.90 0.75) tan 30 o + cot 30 o = 1054 kn. 5 Corte na ligação banzo-alma Em viga contituída por banzo e alma (ecçõe T, I, L, U, etc.), empre que o momento flector varia na direcção longitudinal, ou, por outra palavara, empre que exitir eforço tranvero, aparecem fluxo de corte na ligação entre o banzo e a alma, como e ilutra na Figura 6 para o cao de uma viga T. Ete fluxo ão tranmitido ao banzo atravé de biela inclinada (força f c na Figura), originando tracçõe tranverai (força f ), para a quai é neceário prever armadura conhecida como armadura de cotura. Se eta armadura for inuficiente, vão aparecer fiura na ligação banzo-alma, como repreentado na Figura 7. Uma forma alternativa de compreender o aparecimnento da tracçõe tranverai no banzo, conite em recorrer a um modelo de treliça epacial, como o indicado na Figura 8 para o cao de uma viga T. Deignando o fluxo de corte na interface banzo-alma por v Ed e efctuando o equilíbrio na Figura 6: Secção T com o banzo detacado, pondo en evidência o fluxo de corte na inter-face banzo-alma. 8
Figura 7: Armadura de cotura na ligação banzo-alma e equema de fiuração cao a armadura eja inuficiente. Figura 8: Treliça epacial de uma viga T pondo em evidência barra tranverai traccionada no banzo. Figura 9: Valor máximo de x para efeito de cálculo do fluxo de corte (Eq. 19). 9
direcção longitudinal (ver Figura 6.), tem-e: F d + v Ed x F d F d = 0 v Ed = F d x. (19) A força de tracção f obtém-e facilmente por equilíbrio, vindo f = v Ed / cot θ (ver Figura 6). Aim, a armadura de cotura neceária é dada por: A f = f f yd = v Ed f yd cot θ. (20) O problema da determinação da armadura na ligação banzo-alma reume-e aim à determinação do fluxo v Ed. Relativamente ao comprimento x, o EC2 refere que e poderá coniderar, no máximo, metade da ditância entre a ecçõe de momento nulo e momento máximo, o que equivale a afirmar que e pode calcular a armadura de cotura uando o fluxo de corte médio entre a ecçõe de momento nulo e momento máximo (Figura 9). É neceário verificar ainda a egurança ao emagamento da biela de betão no banzo, o que equivale a verificar a eguinte condição: v Ed ν f cd h f tan θ + cot θ, onde h f é a epeura do banzo. Se eta condição não for atifeita, aumenta-e a epeura do banzo (ou então aumenta-e a clae do betão). Relativamente ao ângulo da biela no banzo, o EC2 (Cl. 6.2.4(4)) dá a eguinte indicaçõe: 1. Banzo comprimido: 26.5 θ 45 ; 2. Banzo traccionado: 38.6 θ 45 De um ponto de vita prático, é poível realizar alguma tranformaçõe na equaçõe acima e tirar alguma concluõe útei. Conidere-e a ecção repreentada na Figura 10 e admita-e que a viga é de altura contante. Seja F c a força no banzo, e admita-e que a linha neutra, em etado limite último, etá no banzo, como acontece na grande maioria da ituaçõe. A parcela deta força que vai para uma da parte do banzo pode er calculada por: F d = F c b b F d = F c b (22) b Sabemo que em cada ecção a força F c no banzo é dada por F c = M Ed /z (etamo a admitir que não exite eforço axial). Aim, uma vez que a viga é de altura contante, F c = M Ed /z. Tem-e poi: v Ed = F d x = F c x b b = M Ed z x b b = V Ed z Aplicando agora a Eq. (20) Tem-e finalmente: (21) b b. (23) A f = V Ed z f yd cot θ b b A f = A w b b (24) Eta equação permite determinar a armadura a dipor no banzo a partir da armadura da alma. Para uma viga de banzo imétrico, e e adoptar no banzo uma armadura igual a metade da armadura da alma, a verificação da egurança fica automaticamente atifeita. Em viga L, e e adoptar no banzo uma armadura idêntica à da alma, também a egurança fica automaticamente atifeita. 10
Figura 10: Secção T pondo em evidência a largura da aba, b. 6 Interrupção da armadura longitudinal A formação de biela de betão provoca uma aumento da força de tracção na armadura de flexão. Conidere-e o troço de viga repreentado na Figura 11. Como indicado, a ditância entre doi nó conecutivo da treliça é igual a z (cot θ + cot α). Conidere-e uma fatia de viga exactamente a meio dee troço, como indicado. Efectuando o equilíbrio de momento em torno do ponto 2, vem ΣM 2 = 0 F z V ( z 2 cot θ + z 2 cot α z cot α) M = 0 F = M z + 1 2 V (cot θ cot α) (25) Aim, para que a noa análie eja coerente com o modelo de treliça empregue, a força a coniderar na armadura longitudinal deve er a que reulta da flexão, M/z, acrecida da que reulta da contribuição do eforço tranvero, F = (1/2) V (cot θ cot α). A Cl. 6.2.3(7) do EC2 (p. 102), refere o eguinte: Figura 11: Treliça de Morch. Obtenção do incremento da força, F, na armadura devida ao eforço tranvero. 11
Figura 12: Viga implemente apoiada. Diagrama da força F na armadura longitudinal. Conidere-e a viga implemente apoidada na Figura 12. Oberve-e que na ecção onde o momento é máximo, V = 0, pelo que neta ecção não é neceário coniderar força adicional na armadura. Ou eja, o eforço tranvero não afecta a área máxima de armadura longitudinal (que ocorre no meio vão no preente cao), ma apena a ecção onde e pode efectuar a dipena da armadura longitudinal. Em alternativa à Eq. (25), a determinação do acrécimo da força na armadura devido ao eforço tranvero e conequentemente a determinação da ecçõe a partir da quai e pode interromper para da armadura longitudinal, pode er efectuada recorrendo à chamada regra da tranlação (Cl. 9.2.1.3(2), p. 172). Eta regra conite em provocar uma tranlação no diagrama de força M/z dada por (Figura 12): a l = 1 z (cot θ cot α) (26) 2 A Eq. (25) motra ainda que em apoio de extremidade (momento nulo), é neceário prever uma armadura capaz de reitir a uma força dada por: F = 1 V (cot θ cot α) (27) 2 Para mai pormenore, ver Cl. 9.2.1.4, p. 173. Exemplo 4 Para a viga repreentada na Figura junta: a) Comece por verificar a egurança ao EL último de flexão na ecção de meio vão. b) Verifique e a dipena do 2φ20 pode ou não er realizada na ecção indicada (ecção a 1.00 m do apoio). Se não poder, determine a ecção onde e pode dipenar o 2φ20. 12
c) Verifique e a armadura no apoio cumpre o dipoto na Cl. 9.2.1.4 (p. 173). d) Determine o comprimento de amarração no apoio e repreente-o. Reolução a) p Ed = 1.35 10 + 1.5 15 = 36.0 kn/m; M Ed = 36 8 2 /8 = 288 knm; µ = M Ed b d 2 f cd = 288 (0.30)(0.65 2 )(16.7 10 3 ) = 0.136; Para ete momento reduzido, a armadura etão de certeza em cedência, donde: F = f yd A = (43.5)(4 3.14) = 546.4 kn; F c = 0.8095 x b f cd = 4055.6 x; F c = F x = 0.135 m; M Rd = F z = 546.4 (0.65 0.416 0.135) = 324.5 knm a egurança. b) Determine-e em primeiro lugar o eforço M Ed e V Ed a 1.00 m do apoio. > 288 knm, pelo que verifica R Ed = 36 8/2 = 144 kn; ΣF y = 0 V Ed + 36.0 1.00 R Ed = 0 V Ed = 108kN; ΣM = 0 M Ed + 36.0 1.00 2 /2 R Ed 1.00 = 0 M Ed = 126.0 knm; 13
A força actuante na armadura, incluindo a influência do eforço tranvero (ou o efeito da fenda inclinada), é dada por: F = M Ed + 1 z 2 (cot θ cot α) = 126.0 0.90 0.65 + 1 2 108.0 cot 30 = 308.9 kn; Força diponível: F Rd = 43.5 2 3.14 = 273.2 kn; er efectuada na ecção indicada. < 308.9, pelo que a dipena de armadura não pode A determinação da ecção a partir da qual o 2φ20 podem er dipenado pode er feita analiticamente, recorrendo à Eq. (25) ou recorrendo a uma contrução geométrica baeada na regra da tranlacção. Se optáemo por recorrer à Eq. (25), bataria exprear F em função de x e determinar x de forma a que: F = F Rd M(x) z + 1 V (x) (cot θ cot α) = 273.2 2 Vamo uar a contrução geométrica baeada na Regra da Tranlação. Começa-e por determinar a tranlação a l, dada por: a l = 1 2 (0.90 0.65) cot 30 = 0.507 m; na ecção de meio vão, a força na armadura é: F = M Ed = 36 82 /8 kn; z 0.594 (A força diponível é F Rd = 43.5 4 3.14 = 546.4 kn); Etimativa do comprimento de amarração de 1φ20: f bd = 2.25 η 1 η 2 f ctd = 2.25 1.00 1.00 1.8 = 2.7 MPa; 1.5 l b,rqd = σ d φ 435 0.02 = = 0.80 m; 4 f bd 4 2.7 De acordo com a contrução geométrica que e apreenta na Figura eguinte, a dipena do 2φ20 pode er efectuada a 0.85 m do apoio. 14
c) De acordo com a referida Cláuula, a armadura no apoio tem de er pelo meno 25% da armadura no vão, o que e verifica no preente cao. Além dio, a armadura deve reitir à força dada por: F Ed = V Ed a l /z + N Ed, que no cao em apreço, onde N Ed = 0, é igual a: F Ed = 1 2 V Ed cot θ = 1 2 144 cot 30 = 124.7 kn; O 2φ20 garantem uma força de 43.5 2 3.14 = 273.2 kn, que é uperior à força actuante F Ed, pelo que a armadura no apoio é uficiente. d) Para o apoio tem-e: l b,rqd = σ d φ 4 f bd = 124.7 0.02 (2 3.14 10 4 ) 4 (2.7 10 3 0.40 m; ) Vai tirar-e partido da compreão tranveral a que a armadura etá ujeita devido à reacção no apoio parâmetro α 5 da Eq. (8.4) do EC2 (p. 152). Recorrendo ao Quadro 8.2, tem-e: α 5 = 1 0.04 p 0.70, em que p é a preão tranveral em MPa ao longo de l bd. Tem-e: 144 p = = 1.6 MPa; 0.30 0.30 α 5 = 1 0.04 1.6 = 0.94; l bd = 0.94 l b,rqd = 0.35 m; De acordo com a Figura 9.3 do EC2, o comprimento de amarração deve er medido como e indica na Figura eguinte: 7 Apecto particulare de dimenionamento 7.1 Secção para o cálculo do eforço tranvero actuante Como ilutrado na Figura 13, o primeiro tirante da treliça de Morch aparece enivelmente a z cot θ do apoio (aumindo etribo verticai), o que ugere que a armadura de eforço tranvero não precia er calculada para V max, que ocorre no apoio, ma para V calculado a uma certa 15
Figura 13: Localização do primeiro tirante depoi do apoio. Figura 14: Secção para a determinação de V Ed para efeito de cálculo da armadura de eforço tranvero. ditância do apoio, por exemplo z cot θ. Para z = 0.90 d e θ = 30, a ditância eria 1.56 d. Sobre ete apecto a C. 6.2.1(8), p. 96, refere: Aim, para carga predominantemente ditribuída, a armadura de eforço tranvero poderão er calculada para V Ed calculado a d do apoio. (Ver Figura 14.) Já a verificação do emagamento do betão deve er efectuada para V Ed calculado na ecção junto ao apoio. 7.2 Carga concentrada próxima do apoio Ver Cl. 6.2.3(8), p. 102. 7.3 Carga upena A carga upena na face inferior da viga exigem uma armadura epecífica, deignada armadura de upenão, detinada a levar a carga até à face uperior. A Figura 15 motra claramente, recorrendo a modelo de biela e tirante, a diferença entre aplicar uma carga na face uperior ou upendê-la na face inferior. A Cl. 6.2.1(9). p. 96, refere: 16
Figura 15: Diferença entre aplicar uma carga na face upeior ou upendê-la na face inferior. Figura 16: Diferença entre aplicar uma carga na face uperior ou upendê-la na face inferior. A Figura 16 equematiza o doi cao a coniderar: força upena concentrada e força upena ditribuída. 8 Dipoiçõe contrutiva do EC2 relativa ao eforço tranvero 8.1 Amarração de armadura inferiore Ver Cl. 9.2.1.4, p. 173. 8.2 Armadura de eforço tranvero A dipoiçõe contrutiva relativa a armadura de eforço tranvero ão tratada na Cl. 9.2.2, p. 175. Detacam-e 3 dipoiçõe: 1. Armadura mímima: ( ) Aw = 0.08 min fck f yk b w in α 17
2. Epaçamento longitudinal máximo: l,max = 0.75 d (1 + cot α) 3. Epaçamento tranveral máximo: t,max = 0.75 d ( 600 mm); Figura 17: Epaçamento longitudinal e tranveral da armadura de eforço tranvero. Sequência de cálculo para a verificação da egurança ao EL de eforço tranvero (viga de altura contante e etribo verticai): 1. Calcula-e V Ed 2. Verifica-e a egurança contra o emagamento da biela de betão: V Rd,max = α cw ν f cd b w z tan θ + cot θ 3. Determina-e a área de armadura neceária: A w V Ed = z f yd cot θ 4. Determina-e a área de armadura mínima da armadura: ( ) Aw fck = 0.08 b w in α min f yk 5. Determina-e o epaçamento tranveral máximo t,max = 0.75 d. Com bae nete epaçamento ecolhe-e o número de ramo e determina-e a área A w / por ramo. 6. determina-e o epaçamento longitudinal máximo l,max = 0.75 d, e em eguida ecolhee o epaçamento que e pretende dar ao etribo. Finalmente conulta-e uma tabela de armadura e ecolhe-e o diâmetro do etribo por forma a que, com o epaçamento ecolhido, e garanta a área calculada por ramo. Exemplo 5 (Adaptado do Exame de 21/1/2013) Conidere a viga repreentada na Figura eguinte a) Determine o valor de cálculo do eforço tranvero imediatamente à equerda de B b) Idem, ma à direita de B c) Verifique a egurança ao EL de eforço tranvero em B e pormenorize a armadura que determinou. 18
d) Independentemente da ecolha de armadura que fez na alínea anterior, admita que a armadura adoptada é de φ6//0.10 2R. Determine a ditância a partir da ecção B a que ea armadura pode paar para φ6//0.20 2R Reolução a) V Ed (B eq ) = (1.35 } 15 {{ + 1.5 18 } ) 2 = 94.5 kn ( ); 47.25 b) ΣM C = 0 R B 8 = 243 4 + 270 5 R B = 290.25 kn; V Ed (B dir ) = 94.5 + 290.25 = 195.8 kn; c) Obviamente que, para efeito de dimenionamento: V Ed (B) = max [V Ed (B eq ); V Ed (B dir )] = 195.8 kn; ( ν = 0.60 1 25 ) = 0.54; z = 0.90 0.55 = 0.495 m; 250 V Rd,max = (1.00)(0.54)(16.7 103 )(0.30)(0.495) tan 30 + cot 30 = 579.9 kn; >> 195.8. Verifica. A w 195.8 = 0.495 43.5 cot 30 = 5.25 cm2 /m; ( ) Aw 25 = 0.08 500 (0.30)(1.00) = 2.4 cm2 /m; min t,max = 0.75 d (1 + cot 90 ) = 0.75 0.55 1.00 = 0.41 m; Adopta-e um epaçamento de 0.10 m. Para ete epaçamento, conultando a tabela de armadura ditribuída, obtém-e φ6//0.10 2R. 19
c) A área de armadura correpondente a φ6//0.20 2R é igaul a 2.8 cm 2 /m, que é uperior à armadura mínima. A eta armadura correponde um eforço tranvero reitente de: A w V Rd, = f yd z cot θ = 43.5 2.8 0.495 cot 30 = 104.4 kn; Coniderando um itema de referência com x a começar a partir de B, tem-e: V Ed (x) = 195.8 47.25 x; 195.8 104.4 V Ed (x) = 104.4 x = = 1.93 m. 47.25 Portanto a uma ditância de 1.93 m da ecção B, o etribo podem paar para φ6//0.20 2R. 20