OPÇÕES DE SWING NO MERCADO BRASILEIRO DE ENERGIA ELÉTRICA

OPÇÕES DE SWING NO MERCADO BRASILEIRO DE ENERGIA ELÉTRICA Resumo O presente trabalho tem como objetivo apreçar opções de swing no mercado brasileiro de energia elétrico. Os dados do ativo base consistem em 406 observações de preços de liquidação de diferenças (PLD), entre Jan/2003 e Set/2010, que foram modeladas através de um modelo de reversão a média aritmético de Ornstein-Uhlenbeck. Para o apreçamento das opções, o ativo base foi modelado através de uma árvore trinomial de multi-camadas (Forest), com o auxilio de uma rotina implementada no programa Matlab, sendo adotado o método de programação dinâmica utilizando a técnica de trás-para-diante. Os resultados demonstraram que o valor das opções de swing adicionais em um contrato é decrescente com o número de opções embutidas. Após análise de sensibilidade a vários parâmetros da modelagem e contratuais, foi constatada relação direta entre prazo e volatilidade do contrato com o valor das opções, e relação indireta entre este último e a velocidade de reversão à média, taxa livre de risco e preço de exercício. Palavras chaves: Opções de Swing, PLD, MRM, Árvore Trinomial Abstract This paper attempted to price swing options in the Brazilian electricity market. The underlying data base used consists of 406 observations from a series of settlement prices (PLD), which were modeled using an mean reversion arithmetic Ornstein-Uhlenbeck model. For the options pricing, the underlying model was implemented in a multi-layer trinomial tree (Forest) by means of a Matlab routine using a dynamic programming backwards approach for solving the exercise problem. The results showed that the value of additional swing options in a contract decreases with the number of embedded options. A sensitivity analysis indicated a direct relationship between underlying volatility and contract maturity and the options value, and a reverse relationship between the underlying speed of reversion, the risk-free rate and options exercise price. Keywords: Swing Options, Settlement Price, MRM, Trinomial Tree

1. Introdução Recentemente diversos países iniciaram o processo de reestruturação do setor elétrico, tendo como alicerce a desregulamentação e liberalização comercial (Lucia & Schwartz, 2002). Embora as razões para tal reforma sejam diversas, geralmente estão associadas ao incentivo por competição para fins de ganho de eficiência, redução de custos e aumento de investimentos no longo prazo. No Brasil esse processo teve inicio na década de 90 e foi acompanhado por diversas privatizações, que visavam: 1) desverticalizar as empresas estatais de energia a fim de separar as atividades de geração, distribuição e transmissão; 2) promover o livre acesso às redes de transmissão e distribuição e, por fim; 3) introduzir a atividade de comercialização no setor (Felizatti, 2008). Em paralelo, o processo de reestruturação do setor de energia no Brasil visava o desenvolvimento de um ambiente competitivo, de máxima eficiência que viabilizasse investimentos em expansão e garantisse o alinhamento entre demanda e oferta de energia (Paschoalino & Loureiro, 2007). Essa transformação de uma política de gerenciamento de riscos centralizada na figura do Estado em um novo modelo, baseado em ações individuais com maior flexibilidade, contribuiu para um crescente acúmulo de incertezas ao setor, que vão desde as perspectivas com relação à expansão da oferta até a gestão de riscos relacionados à variabilidade do consumo e preços de mercado (Zanfelice, 2007). Outro fator agravante nesse novo ambiente é a própria variação dos preços de energia, que além de serem elevados, quando comparados a qualquer outra commodity (Rodrigues, 2007), apresentam origens complexas. No Brasil os preços à vista são formados por otimização, sujeita a aspectos relacionados à temperatura, pluviometria, logística de operação, restrições de transmissão e disponibilidade de combustíveis (Felizatti, 2008), no Ambiente de Contratação Regulada (ACR). Paralelamente, no ambiente de Contratação Livre a negociação bilateral predomina, embora os preços à vista apresentem-se fortemente influenciados por aqueles do outro ambiente de comercialização, o ACR.(Leme, 2008). Além de todas essas variáveis causais, a dinâmica dos preços no setor de energia também é influenciada pela sazonalidade, flutuações diárias na demanda, a impossibilidade de armazenamento, dificuldade de transferência do produto, significativa presença de picos na série de preços, bem como a intensa volatilidade e a baixa liquidez do mercado, o que dificulta a modelagem e a previsão dos preços (Blanco, Gray, & Hazzard, 2003; Pilipovic, 1998; Weron, 2005). Dessa forma torna-se claro que os diversos agentes do setor elétrico necessitam de procedimentos capazes de permitir o gerenciamento do risco e de ferramentas que facilitem a tomada de decisão em busca de maximização dos lucros. Nesse contexto, a utilização de metodologias com foco em derivativos é uma das alternativas de auxílio à mitigação de riscos associados ao setor, já que oferece a possibilidade de decompor e negociar de modo separado os riscos que cercam determinada negociação (Carvalho, Souza, Sicsu, Paula, & Studart, 2000, p. 346). Os derivativos permitem que os riscos envolvidos nas negociações sejam redistribuídos entre os agentes de acordo com suas preferências. Sob a perspectiva do usuário industrial, o propósito para uso de contratos envolvendo derivativos de energia elétrica é manter suas plantas em funcionamento sem desperdício ou falta de energia elétrica, e para tal o empresário está disposto a pagar um prêmio adicional ao preço da commodity para poder consumir a energia quando lhe for conveniente. Por outro lado, as comercializadoras requerem contratos com derivativos para fins de gerenciamento de suas carteiras e do risco contra a variação dos preços, garantindo assim um fluxo de caixa adequado ao longo dos anos. Em suma, enquanto as distribuidoras e consumidores livres possuem posição a descoberto (short position), as geradoras estão posicionadas de modo coberto (long position) e as comercializadoras podem assumir ambas as posições. Por atuar em ambas as pontas da negociação, assumindo ao

mesmo tempo o papel de demandante e o de fornecedor de energia, reside nas comercializadoras o maior potencial para o desenvolvimento de derivativos nesse setor. Segundo Studart (1998) a possibilidade de distribuição dos riscos, proteção contra oscilações inesperadas e a flexibilidade para construção dos instrumentos de proteção justificam o uso de derivativos no segmento de energia. Este tipo de proteção pode ser empregado em diversas etapas do processo produtivo, como por exemplo, o controle de custos dos insumos através de derivativos cross-commodity, que protegem os geradores contra as oscilações dos preços dos insumos (gás, carvão e etc), permitindo repassar qualquer variação ao valor do produto final. Derivativos podem ainda ser usados em operações de financiamento, uma vez que estas envolvem grandes montantes de recursos e elevado tempo para maturação do negócio, o que expõe a empresa a riscos financeiros, cambiais e de taxa de juros. Segundo Felizatti (2008), a inclusão de flexibilidades no mercado de energia, no Brasil, tem aparecido sobre a forma de cláusulas contratuais, aplicadas algumas vezes no ambiente de contratação regulado (ACR) e, mais frequentemente, no livre (ACL). Enquanto o ACR é o segmento no qual se realizam as operações de compra e venda de energia elétrica entre vendedores e distribuidores, o ACL é a fatia de mercado no qual se realizam as operações de compra e venda de energia elétrica por meio de contratos bilaterais livremente negociados. Vale ressaltar que o uso de derivativos para fins de hedge está diretamente relacionado à liquidez, ao nível de padronização dos contratos e a existência de mercados futuros, o que dificulta sua aplicação no ACR. Logo, nessa fase inicial de reestruturação do setor, o ACL exerce um papel fundamental para o desenvolvimento de um mercado de controle de risco, pois sua flexibilidade permite a aplicação de metodologias baseadas em derivativos em seus contratos bilaterais. Entre os contratos de derivativos presentes no setor elétrico mundial, pode-se destacar as chamadas Swing Options. Estes instrumentos são opções volumétricas que fornecem ao possuidor o direito, mas não a obrigação, de ajustar o volume nominal de recebimento ou entrega da commodity, aumentando-o ou reduzindo-o, por um determinado número de períodos e com alguma restrição de quantidade máxima e mínima, cuja violação pode impor penalidades. Segundo Felizatti (2008), sua aplicação no segmento de energia é justificada pelas próprias características do setor, cujos preços geralmente tendem a reverter a média; além disso estes preços também apresentam picos. Dessa forma, as opções de swing são importantes mecanismos capazes de permitir ao comprador ajustar seu recebimento de energia de modo a absorver os riscos de alta nos preços. Além disso, esse mesmo tipo de opção pode ser utilizado para capturar as variações sazonais presentes no preço de energia intra-ano. Dado que o apreçamento de qualquer derivativo perpassa por uma metodologia de previsão do nível do ativo base, é fundamental que este processo seja modelado especificamente para a commodity analisada, englobando suas características e valorando o prêmio justo associado àquele tipo de flexibilidade. Por essa razão, o presente estudo tem como objetivo analisar o comportamento dos preços de liquidação de diferenças (PLD) no setor elétrico brasileiro, identificando sua tendência e volatilidade; neste caso foi utilizado o modelo de reversão a média de Ornstein-Uhlenbeck. Ainda faz parte do escopo desse trabalho identificar a influência de parâmetros da modelagem dos preços no valor das opções de swing em um contrato de energia padrão hipotético, analisando-se a sensibilidade do prêmio destas em função do número de swings, do prazo contratual, da volatilidade e da velocidade de reversão a média dos preços e de alterações no valor da taxa livre de risco. Para atingir os objetivos acima, foi adotado método de programação dinâmica implementado no programa Matlab, utilizando a abordagem de trás-para-frente (backwards) em uma árvore trinomial de multi-camadas (Forest).

O presente trabalho está organizado da seguinte forma: a seção 2 apresenta uma revisão de literatura, na seção 3 é descrita a metodologia adotada, na seção 4 são apresentados e discutidos os resultados obtidos e, por fim, conclusões e sugestões são feitas na seção 5. 2. Revisão de Literatura Existem diversas versões de swing options apresentadas na literatura, no entanto, metodologias de precificação desses derivativos têm sido introduzidas apenas recentemente. Ao contrário da maioria das commodities, cujos preços geralmente são modelados via Movimento Geométrico Browniano (MGB) (Hull, 2000), os preços de energia possuem tendência de reversão a uma média de longo prazo, o que impõe novos desafios para sua modelagem. Além disso, as ferramentas quantitativas clássicas que são freqüentemente utilizadas em outros mercados de energia não se aplicam no caso da energia elétrica, uma vez que suposições tais como normalidade, independência dos retornos e homocedasticidade são raramente encontradas (Souza, 2003). Segundo Pemberton Jr. (2006) mesmo modelos de difusão com reversão à média e saltos apresentam pouca aplicação, basicamente por duas razões: reduzido histórico de dados e o complexo procedimento para a formação de preços, atualmente modelados pelo operador do sistema através dos programas NEWAVE e DECOMP. Em relação aos trabalhos nacionais, ainda são poucos aqueles que discorrem sobre o tema opções no setor elétrico e menor ainda os que envolvem análise quantitativa, o que reforça e justifica a importância do presente estudo. Dentre as poucas iniciativas, Torres (2006) modelou contratos contendo flexibilidades do tipo Take-or-Pay, utilizando a teoria clássica de opções desenvolvida por Black e Scholes (1973). O autor adotou como premissa que o comportamento estocástico do retorno dos preços segue um Movimento Geométrico Browniano. Segundo Fellizatti (2008), essas suposições são pouco realistas para o mercado brasileiro, já que os PLD tendem se afastar da distribuição Log-Normal e, principalmente, não possuem variâncias constantes e nem são independentes no tempo. Gomes (2002) em sua tese de doutorado estudou o melhor instante para se investir em termelétricas no Brasil com o auxilio da teoria das opções reais, que corresponde a uma extensão dos conceitos de opções financeiras aplicados para fins de avaliação de investimentos. Em outro trabalho, Gomes et al (2005) utilizou os conceitos da teoria clássica de opções para flexibilidades contratuais no ambiente de contratação livre. Os prêmios das opções foram estimados com base em simulação dos preços à vista mensais e os resultados demonstraram que o valor agregado das flexibilidades pode chegar ao significativo valor de 15% do contrato. No que diz respeito aos trabalhos sobre o assunto fora do Brasil, Black (1976) foi pioneiro no apreçamento de opções em contratos futuros de commodities. Joskow (1985) examinou diversos contratos de carvão e concluiu que a maioria apresentava cláusulas do tipo Take-or- Pay. Em 1987 o mesmo autor examinou novos contratos de carvão e concluiu que os mesmos evoluíram, sendo agora especificados os níveis de entrega mínimos e máximos por período, ou seja, um indício de aplicação de opções de swing no segmento de carvão. As opções de swing e suas variações também foram objeto de estudo de Kaminski e Gibner (1995), Barbieri e Garman (1996) e Garman e Barbieri (1997), porém nenhum deles discutiu com detalhes como apreçar esses tipos de opções. Schwartz (1997) comparou três modelos de reversão a média para avaliar o comportamento estocástico dos preços de algumas commodities (cobre, petróleo e ouro). O primeiro modelo é de fator único, em que o logaritmo dos preços a vista segue um processo de reversão a média. O segundo modelo leva em consideração a taxa de conveniência, que também é modelada como um MRM e, por fim, o terceiro incorpora uma taxa de juros estocástica. O autor utilizou a metodologia de filtro de Kalman para estimar os parâmetros

dos três modelos e, a partir desses, o impacto na estrutura a termo dos preços futuros das commodities e suas volatilidades. O trabalho revelou forte processo de reversão a média para as commodities cobre e petróleo. Clewlow e Strickland (2000) incorporaram saltos nos modelos de reversão a média, posteriormente analisados por Geman e Roncoroni (2006) e Weron (2008). Lucia e Schwartz (2002), a partir de dados retirados do Nordic Power Exchange, utilizaram um modelo de fator único para modelar o preço à vista de energia. Posteriormente, e no mesmo trabalho, os autores examinaram o comportamento dos preços de energia elétrica e suas implicações na valoração de contratos a termo através de modelos de difusão de um e dois fatores, entendendo a abordagem proposta por Schwartz e Smith (2000) ao incluírem uma função determinística de sazonalidade. Após testarem os dois modelos, os autores concluem que na base de dados analisada a volatilidade depende das estações do ano, que sua modelagem pode ser feita via processo de reversão a média e que a inclusão de saltos é uma alternativa a ser incluída em trabalhos futuros. Há ainda os métodos baseados em árvores trinomiais múltiplas, conhecidas como Forest. Jaillet, Ronn e Tompaidis (2004) adotaram essa metodologia trinomial e utilizaram diversas árvores simultaneamente para apreçar uma opção de swing. Apesar da complexidade, as árvores trinomiais ainda são aproximações das distribuições de probabilidade, o que pode gerar falhas no processo de apreçamento. Hambly, Howison e Kluge (2009) desenvolveram uma extensão do modelo apresentado por Jaillet, Ronn e Tompaidis (2004) ao usarem, além de múltiplas camadas de árvores a fim de melhor capturar o movimento dos preços futuros ainda introduzem o um processo de Poisson na tentativa de modelar os saltos presentes nos preços de energia elétrica. Os resultados demonstraram melhores aproximações quando comparados aqueles de árvores trinomiais baseadas em uma modelagem de um MRM puro, sem atenção à processos adicionais incluindo saltos, para preços de energia elétrica. Entretanto, a parametrização deste modelo baseou-se na existência de um mercado onde se pode utilizar contratos de opções e futuros através dos quais se fosse possível calibrar a volatilidade devida aos saltos. Segundo Aydm (2010), o trabalho que melhor incorporou as mais importantes características do preços a vista de energia elétrica foi desenvolvido por Cartea e Figueroa (2005), ao utilizarem dados históricos e estimativas futuras para calibração do modelo de difusão com reversão a média e saltos. O apreçamento de opções de swing, baseado em uma série histórica de preços do mercado elétrico NordPool, foi investigado sendo utilizado um modelo de reversão a média que segue um processo Ornstein-Uhlenbeck mais um componente que incorpora saltos (Kjaer, 2008). Através de um algoritmo desenvolvido com o auxilio de programação dinâmica, o autor conseguiu demonstrar que há uma estratégia ideal ao se empregar opções de swing, sendo que o preço da opção pode ser incrementado em até 35% quando saltos são adicionados ao modelo de difusão básico de reversão à média. 3. Metodologia 3.1 Modelagem do Ativo base No presente trabalho foi utilizada uma metodologia baseada na modelagem do ativo base (preços de energia elétrica) através de um modelo de reversão à média de Ornstein- Uhlenbeck, sem adicionar qualquer consideração sobre um processo de saltos. Embora a literatura revista indique a vantagem da incorporação de saltos ao processo de difusão para a modelagem de tal ativo, a ausência de mecanismos contratuais para a negociação de futuros ou opções no ambiente de contratação de eletricidade no Brasil tornaria ineficiente a parametrização dos parâmetros de um tal processo. Assim, procurou-se seguir a literatura do

setor no que diz respeito a tentativa de modelagem através de um MRM, mas ignorou-se a sofisticação adicional pelas razões apontadas. Por outro lado seria necessário verificar se o processo em questão realmente admitia a modelagem na forma efetuada. O ativo básico considerado foram os preços PLD semanais da primeira semana de 2003 até quarta semana de setembro de 2010, inclusive, totalizando 406 observações. Um gráfico dos dados de preço pode ser visto na Figura 1. Figura 1 Preços PLD semanais em R$/kWh Para decidir pela modelagem da série de preços em mãos como um movimento de reversão á média, em primeiro lugar decidimos testar a estacionaridade dos dados disponíveis, uma vez que um MRM implica em dados estacionários. A modelagem a ser feita usaria os logaritmos dos preços (Hambly, Howison, & Kluge, 2009): onde s é o preço à vista. (1) Para testar a estacionaridade dos dados foi usada a prática de análise confirmatória (Brooks, 2008), efetuando-se um teste de raiz unitária ADF (Augmented Dickey-Fuller) e um teste de estacionaridade KPSS (Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin) na série de logaritmos dos preços, sendo os resultados de ambos listados nas tabelas 1 e 2, a seguir. As estatísticasde teste obtidas estão destacadas em negrito nas respectivas tabelas, e a sua interpretação é a seguinte: o resultado do teste KPSS não permite a rejeição da hipótese nula da estacionaridade da série em tela, mesmo a um nível de confiança de 10%, enquanto o teste ADF não consegue rejeitar totalmente a hipótese de existência de raiz unitária, mas apenas a 10% de confiança. Assim, de acordo com Brooks (2008), pág. 331, os resultados não confirmatórios não suportam com robustez uma hipótese do processo de difusão seguir um MGB. Por outro lado, a literatura é enfática em declarar que preços de energia elétrica são mais precisamente modelados através de um processo de reversão á média do que por um processo explosivo como um movimento geométrico browniano. Adicionalmente, a única série de preços disponível no Brasil, a dos preços PLD que é utilizada no presente trabalho, é construída com intervalos de tempo em semanas, o que

destorce totalmente a característica de saltos com altíssima velocidade de reversão, melhor referenciados como picos, que toda a literatura menciona a respeito dos preços dos ativos não estocáveis como energia elétrica e gás. Desta forma, optou-se pela modelagem através de um MRM simples, sem a adição de um processo de Poisson, pois que, além de todo o mais, a inexistência de contratos de futuros e outros derivativos tornaria a parametrização deste último processo mais difícil inexata. Assim, a observação visual da série de dados disponíveis levou-nos a uma modelagem pelo processo estocástico estacionário, especificamente um Movimento de Reversão à Média (MRM) aritmético, particularmente um do tipo Ornstein-Uhlenbeck (Aydm, 2010; Cartea & Figueroa, 2005; Hambly, et al., 2009; Jaillet, et al., 2004). A seguir foi feita a parametrização do processo de difusão escolhido através de seu ajuste aos dados disponíveis, os logaritmos dos preços PLD (Aydm, 2010; Bastian-Pinto, 2009). Um MRM aritmético de Ornstein-Uhlenbeck, é definido na forma da equação (2) que reproduzimos abaixo: dx η x x dt + σdz (2) onde: é a variável estocástica Tabela 1 Teste de Estacionaridade KPSS Tabela 2 Teste de Raiz Unitária ADF é a média de longo prazo da variável estocástica η é a velocidade de reversão à média é a volatilidade do processo é o processo padrão de Weiner, e ε ~ N(0,1)

Este processo tem sua média e variância dados pelas equações (3) e (4) abaixo (Dixit & Pindyck, 1994): E x t x + x 0 x e η t t 0 (3) var x t σ 2 2η ( e 2η t t 0 ) (4) A discretização do modelo é feita de acordo com a equação (5) e sua parametrização pode ser conseguida conforme abaixo, algebrando e observando os resultados. Para uma boa descrição do processo todo pode-se ver o trabalho de Bastian-Pinto (Bastian-Pinto, 2009): x t x t 1 e ηδt + x e ηδt + σ e 2ηΔt N 0, (5) 2η Ora, a equação (6) é expressão de um processo auto-regressivo que pode ser expresso conforme a equação (7), com o erro sendo normalmente distribuído e com variância σ 2 : x t x t 1 x e ηδt + (e ηδt )x t 1 (6) x t x t 1 a + b x t 1 + ε t (7) A partir da equação (7) temos que e η ln b Δt (8) O mesmo tipo de raciocínio leva a ( ) e x a b (9) 2 A volatilidade pode ser encontrada a partir da variância dos erros da regressão 2 ( ) e da observação de que 2, o que leva a equação (10): σ σ ε 2ln b b 2 Δt (10)

Assim, a regressão e parametrização dos dados de PLDs semanais na forma de logaritmos, levou aos parâmetros apresentados na Tabela 3. Variável Dependente: DLOGBR Método: Mínimos Quadrados Data: 10/06/10 Hora: 15:42 Amostra (ajustada): 2 406 Obersvações incluídas: 405 após ajustes Tabela 3 Parâmetros MRM-OU da série de logaritmos dos PLDs Variável Coeficiente Erro Padrão Estatística-t Prob. C 0,170484 0,052513 3,246502 0,0013 LOGBR1-0,045649 0,014341-3,183174 0,0016 R-quadrado 0,024526 Variável dependente média 0,009075 R-quadrado ajustado 0,022106 Desvio padrão var. dependente 0,277876 E.P. da regressão 0,274787 critério de informação Akaike 0,259287 Soma dos quadrados dos resíduos 30,42973 critério de Schwarz 0,279059 Logaritmo da Verossimilhança -50,50556 critério Hannan-Quinn 0,267113 Estatística-F 10,1326 estatística Durbin-Watson 1,969893 Prob(Estatística-F) 0,00157 Cálculos dos Parâmetors do OU a = 0,170484 b = 0,954351 x_barra = 3,73467108 preço médio de longo prazo = 41,87 eta (anualizado) = 2,42963504 sigma (anualizado) = 2,02798521 3.2 Apreçamento das Opções de Swing As opções de foram apreçadas usando-se o método de aproximação trinomial do processo de difusão do ativo base. O processo de difusão foi modelado através do ajuste de um movimento aritmético de reversão à média de Ornstein-Uhlenbeck, conforme metodologia descrita na seção anterior. O método para apreçamento das opções utilizado neste trabalho foi aquele usado por Aydm (2010), que utiliza uma técnica de programação dinâmica com abordagem backwards, utilizando uma técnica de árvores em múltiplas camadas (forest). A necessidade da utilização de uma técnica de múltiplas árvores em camadas vem da dinâmica das opções de swing que, enquanto semelhantes às opções americanas comuns, que podem ser exercidas apenas uma vez mas a qualquer tempo (em que seja ótima esta ação), durante a duração do contrato, diferem daquelas quando permitem que o exercício seja feita em múltiplas ocasiões discretas (e bem definidas) durante a vigência deste (Hambly, et al., 2009; Jaillet, et al., 2004; Keppo, 2004; Kluge, 2006). Assim, a cada ponto no tempo o valor do exercício da opção em uma árvore deve ser comparado àquele de uma árvore idêntica porém com menos uma opção! A visão espacial de uma situação como a descrita acima pode ser vista na Figura 2 retirada de Jaillet, et al. (2004). A implementação do algoritmo está bem descrita em Aydm (2010), e o seu uso no presente trabalho seguiu os passos descritos nesta referência e a rotina MatLab utilizada neste trabalho foi modificada a partir daquela descrita. É importante notar que a rotina para apreçamento utilizada contempla o uso de um processo de Poisson em conjunto com o processo de difusão MRM-OU, mas as variáveis correspondentes a este processo são zeradas, fazendo que o cálculo reverta a um processo

Figura 2 Conexão entre o nível com k+1 e o nível com k exercícios, de acordo com a técnica de árvores em multi-camadas fonte: (Jaillet, Ronn, & Tompaidis, 2004) mais simples, com uma dimensão a menos, que seria aquela de execução dos deste último processo. Para o cálculo da sensibilidade do valor das opções de swing adicionais em função dos vários parâmetros do contrato e do ativo base foi utilizado um contrato padrão com as seguintes características: Tabela 4 Condições da Opção Padrão de Estudo prazo 1 Eta 2,43 taxa livre de risco 5% valor inicial 0 média de longo prazo 0 preço strike 1 detalhes no eixo X (tempo) 100 intervalos de tempo 365 Obs: tempo em anos e preços em R$/kWh Obs: contrato apenas com swings para cima e sem penalidades. Ao observar-se a Tabela 4 podemos verificar que os parâmetros referentes ao número de intervalos de tempo (365) e à quantidade de refinamentos no eixo dos X (100) referem-se ao algoritmo MatLab, em si, e não ao contrato de opções propriamente dito. Em ambos os casos, a escolha dos valores foi feita baseando-se nos mesmos usados no trabalho referência, onde a implementação do algoritmo foi conseguida. O valor referente aos intervalos de tempo indica o número de intervalos usados para discretizar a variável tempo, de forma ampla, e o número de refinamentos no eixo X (100) traduz o número de passos em que é dividido cada unidade de tempo anteriormente especificada conforme a equação (11) abaixo:

dx σ t 1 n x (11) A razão deste parâmetro está diretamente ligada ao algoritmo numérico construído que prevê a simulação de um processo de difusão que não só admite variações ao longo do eixo dos X (difusão de acordo com o MRM), mas também ao longo do eixo dos Y, isto é, de acordo com um processo de saltos simultâneo ao primeiro. Como já discutido acima, no presente trabalho a modelagem utilizada contemplou o uso de um processo no qual há apenas uma variável estocástica, especificamente aquela que varia ao longo do eixo X. Assim, o refinamento neste eixo passa a ser o único necessário e qualquer fator que altere os intervalos ao longo do eixo Y tornam-se inócuos, não sendo utilizado durante a execução do algoritmo. Conforme Aydm (2010), página 62, a razão desta sofisticação está relacionada à manutenção de uma malha heterogênea em X e Y, necessária para a precisão numérica dos cálculos quando da existência de um processo de saltos. 4. Resultados e Discussão onde: x é a variável estocástica σ é a volatilidade do processo t é o intervalo de tempo e n x é o número de refinamentos no eixo X No decorrer de todos este trabalho o número de intervalos de tempo utilizado foi 365 e o número máximo de possibilidades de swing examinado foi de 60, com as demais variáveis conforme a Tabela 4. Nas figuras 3 a 7, a seguir, são apresentados os resultados referentes ao resultado simulado do valor marginal de opções de swing adicionais em função da variação dos parâmetros volatilidade e velocidade de reversão do modelo de difusão do ativo base, da taxa livre de risco considerada e dos parâmetros contratuais preço de exercício e prazo até o vencimento. Figura 3 Influência da volatilidade do ativo base

Como esperado, a volatilidade do ativo base influencia o valor marginal das opções de forma direta, isto é, quanto maior a volatilidade maior o valor destas. O fato interessante que pode ser observado na Figura 3 que valores mais altos de volatilidade têm peso maior nos valores dos primeiros swings incluídos, com sua influência decaindo naqueles adicionais, enquanto que volatilidades menores parecem causar variação constante. De forma inversa, porém esperada para o caso de somente swings para cima, a velocidade de reversão à média influencia inversamente o valor marginal dos swings, mais intensamente no caso das primeiras opções, embora sua influência tenda a convergir a um valor único, com o aumento do número de opções. Figura 4 Influência da variação da velocidade de reversão à média do ativo base Aparentemente este fato confirma a impressão esperada de que os prazos contratuais comportam quantidades fixas deste tipo de opções com valor, em função do tamanho do tempo necessário para o comportamento cíclico dos preços. Nos casos da variação da taxa livre de risco (Figura 5) e do prazo contratual (Figura 6), não há maiores surpresas sendo as influências nos valores marginais das opções inversa e direta, respectivamente. Em ambos os casos, mais notadamente para com a taxa livre de risco, é digno de nota que a variação não parece ser linear, havendo certa curvatura entre os valores extremos do número de swings adicionados. Finalmente, na Figura 7 é possível observar que preços de exercício decrescentes claramente tornam mais valiosas as opções adicionais, o que está em perfeito acordo com o comportamento esperado de opções do tipo call, representadas por direitos de swing para cima. Nos casos da variação da taxa livre de risco (Figura 5) e do prazo contratual (Figura 6), não há maiores surpresas sendo as influências nos valores marginais das opções inversa e direta, respectivamente. Em ambos os casos, mais notadamente para com a taxa livre de risco, é digno de nota que a variação não parece ser linear, havendo certa curvatura entre os valores extremos do número de swings adicionados.

Figura 5 Influência da taxa livre de risco Figura 6 - Influência do prazo de vencimento contratual

Nos casos da variação da taxa livre de risco (Figura 5) e do prazo contratual (Figura 6), não há maiores surpresas sendo as influências nos valores marginais das opções inversa e direta, respectivamente. Em ambos os casos, mais notadamente para com a taxa livre de risco, é digno de nota que a variação não parece ser linear, havendo certa curvatura entre os valores extremos do número de swings adicionados. Finalmente, na Figura 7 é possível observar que preços de exercício decrescentes claramente tornam mais valiosas as opções adicionais, o que está em perfeito acordo com o comportamento esperado de opções do tipo call, representadas por direitos de swing para cima. 5. Conclusão Figura 7 Influência do preço de exercício das opções O presente trabalho procurou testar as condições do mercado brasileiro de comercialização de energia elétrica, no que diz respeito às condições de implementação de contratos de fornecimento incorporando opções de comercialização do tipo swing. Com esse objetivo, a modelagem do ativo base, baseada em série de preços PLD de Jan/2003 a Set/2010, foi feita baseada em um modelo de difusão de reversão à média aritmético de Ornstein-Uhlenbeck, após revisão da literatura a esse respeito e testes confirmatórios de que a série de dados em mãos não seria bem modelada por movimento geométrico browniano de características explosivas. De forma geral, foi possível observar que as principais expectativas em relação ao valor marginal de opções de swing acrescentadas a um contrato de fornecimento de energia tem valor decrescente com o aumento do número destas. Este é um dado que pode ser de particular valia para comercializadores que pretendem apreçar tais contratos e utilizá-los ordinariamente em suas transações, aliás como já praticado em mercados mais maduros desta commodity.

Por outro lado, alguns comportamentos interessantes puderam ser indicados, como a influência crescente do valor da volatilidade sobre swings adicionais, porém com peso variável em função da magnitude desta. Também de particular interesse é o fato de que embora velocidades de reversão à média do ativo base sejam influentes de forma inversa no valor marginal de opções de swing, o peso da influência desta velocidade de reversão tende a convergir com o incremento do número de swings possíveis. Por outro lado, alguns comportamentos interessantes puderam ser indicados, como a influência crescente do valor da volatilidade sobre swings adicionais, porém com peso variável em função da magnitude desta. Também de particular interesse é o fato de que embora velocidades de reversão à média do ativo base sejam influentes de forma inversa no valor marginal de opções de swing, o peso da influência desta velocidade de reversão tende a convergir com o incremento do número de swings possíveis. Nos demais casos o comportamento do valor marginal de direitos de swing corresponde ao esperado, no caso de variações da taxa livre de risco, do prazo contratual e do valor de exercício das opções do tipo call, com peso inverso em todos os três casos. Entretanto, os comportamentos não esperados das influências dos parâmetros de difusão do ativo base volatilidade e velocidade de reversão à média podem se provar extremamente importantes para os operadores comerciais desse mercado. Como limitação do presente trabalho, seria importante notar o seguinte ponto, ao mesmo tempo em que se recomenda sua investigação adicional: a existência de saltos foi omitida da modelagem do ativo base. 6. Referências AYDM, N. S. Pricing Power Derivatives: Electricity Swing Options. University of Ulm, 2010. BARBIERI, A.; GARMAN, M. B. Putting a price on Swings. Energy and Power Risk Management, 1, 1996. BASTIAN-PINTO, C. d. L. Modelagem de Opções Reais com Processos de Reversão à Média em Tempo Discreto: Uma Aplicação na Indústria Brasileira de Etanol. 2009. 164 p. Tese (Doutorado em Administração) Departamento de Administração. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-Rio). Rio de Janeiro. 2009. Não publicada. BLACK, F. The Pricing of Commodity Contracts. Journal of Financial Economics, p. 167-179, 1976. BLACK, F.; SCHOLES, M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. [Article]. Journal of Political Economy, 81(3), p. 637, 1973. BLANCO, C.; GRAY, J.; HAZZARD, M. Power Price Simulation using Hybrid Models. The Risk Desk, III(5), 2003. BROOKS, C. Introductory Econometrics for Finance. 2. Ed. New York: Cambridge University Press, 2008. CARTEA, A.; FIGUEROA, M. Pricing in electricity markets: A mean reverting jump diffusion model with seasonality. Applied Mathematical Finance, 12(4), p. 313 335, 2005. CARVALHO, F. J. C.; SOUZA, F. E. P.; SICSU, J.; PAULA, L. F. R.; STUDART, R. Economia Monetária e Financeira. Teoria e Política. Rio de Janeiro: Editora Campus, 2000.

CLEWLOW, L.; STRICKLAND, C. Energy Derivatives Pricing and Risk Management. London: Lacima Publications, 2000. DIXIT, A. K.; PINDYCK, R. S. Investment under Uncertainty. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1994. FELIZATTI, H. L. Teoria de derivativos aplicada ao mercado de energia eletrica brasileiro: avaliação e gestão de risco de contratos contendo flexibilidades. 2008. Dissertação (Mestrado em Estatística) Departamento de Estatística. Universidade Estadual de Campinas. Campinas. 2008. Não publicada. GARMAN, M. B.; BARBIERI, A. Ups and Downs of Swing. Energy and Power Risk Management, 2, 1997. GEMAN, H.; RONCORONI, A. Understanding the fine structure of electricity prices. Journal of Business, 79(3), p. 1225-1262, 2006. GOMES, L. L. Avaliação de termelétricas no Brasil: Estudando o melhor momento de investimento por modelos de opções reais. 2002. 93p. Tese (Doutorado em Engenharia Industrial) Departamento de Engenharia Industrial. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-Rio). Rio de Janeiro. 2002. Não publicada. GOMES, L. L.; SILVA, B. N.; SOUZA, J. V.; SANTOS, L. S. R. Valor Adicionado aos Consumidores Livres de Energia Elétrica no Brasil por Contratos Flexíveis: Uma Abordagem pela Teoria das Opções. In: Encontro da ANPAD, 2005. HAMBLY; HOWISON; KLUGE. Modelling spikes and pricing swing options in electricity markets. Quantitative Finance, 9(8), p. 937 949, 2009. HAMBLY; HOWISON; KLUGE. Modelling spikes and pricing swing options in electricity markets. Quantitative Finance, 9, p. 937-949, 2009. HULL, J. C. Options, Futures, & Other Derivatives: Prentice Hall, 2000. JAILLET, P.; RONN, E. I.; TOMPAIDIS, S. Valuation of Commodity-Based Swing Options. [Article]. Management Science, 50(7), p. 909-921, 2004. JOSKOW, P. Vertical Integration and Long-Term Contracts: The Case of Coal-Burning Electric Generating Plants. Journal of Law, Economics, and Organization, 1, p. 33-80, 1985. JOSKOW, P. Contract Duration and Relationship-Speci c Investments: Empirical Evidence from Coal Markets. American Economic Review, 77, p. 168-185, 1987. KAMINSKI, V.; GIBNER, S. Exotic Options in Managing Energy Price Risk. Risk Publications,1995. KEPPO, J. Pricing of Electricity Swing Options. [Article]. Journal of Derivatives, 11(3), p. 26-43, 2004. KJAER, M. Pricing of Swing Options in a Mean Reverting Model with Jumps. Applied Mathematical Finance, 15(5), p. 479 502, 2008. KLUGE, T. Pricing Swing Options and other Electricity Derivatives. University of Oxford, Hillary, 2006. LUCIA, J. J.; SCHWARTZ, E. S. Electricity Prices and Power Derivatives: Evidence from the Nordic Power Exchange. Review of Derivatives Research, 5, p. 5-50, 2002.

PASCHOALINO, F. F.; LOUREIRO, T. Y. C. Previsão de Demanda de Energia Elétrica no Brasil com base em Redes Neurais de Elman. 2007. 79p. Projeto Final (Graduação). Departamento de Engenharia de Produção. Universidade Federal Fluminense. Niteroi, 2007. PEMBERTON JÚNIOR, T. O. Modelando o preço spot de energia elétrica no Brasil: um modelo estocástico com reversão à média, mudança de regime markoviano e difusão com saltos. Faculdade Ibmec de São Paulo, São Paulo, 2006. PILIPOVIC, D. Energy risk: valuing and managing energy derivatives. New York: McGraw-Hill, 1998. RODRIGUES, R. D. B. Gerenciamento de risco no setor elétrico Brasileiro através do uso de derivativos. 2007. 147p. Dissertação (Mestrado em Economia) - Instituto de Economia. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Rio de Janeiro 2007. SCHWARTZ, E. The stochastic behavior of commodity prices: implications for valuation and hedging. Journal of Finance, 52, p. 923-973, 1997. SCHWARTZ, E. S.; SMITH, J. E. Short-Term Variations and Long-Term Dynamics in Commodity Prices. Management Science, 46(7), p. 893-911, 2000. SOUZA, R. Modelagem Estrutural aplicada a Previsão do Preço Spot de Energia Elétrica do Brasil. 2003. 76p. Dissertação (Mestrado) Departamento de Engenharia Elétrica. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-Rio). Rio de Janeiro, 2003. STUDART, R. Securitização, derivativos e investidores institucionais: um novo padrão de financiamento de longo prazo. Rio de Janeiro: Editora Garamont, 1998. TORRES, R. Avaliação de Portifólios de Contratos de Compra e Venda de Energia Elétrica. 2006. 117p. Dissertação (Mestrado) Departamento de Engenharia Industrial. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-Rio). Rio de Janeiro, 2006. WERON, R. (2005). Heavy tails and electricity prices. Paper presented at the The Deutsche Bundesbank s 2005 Annual Fall Conference. Retrieved from: Disponível em: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.130.7029&rep=rep1&type=pdf acesso em: 23/11/2010 WERON, R. Market price of risk implied by Asian-style electricity options and futures. Energy Economics, 30, p. 1098-1115, 2008. ZANFELICE, F. R. Estratégia de contratação ótima na comercialização de energia elétrica. Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 2007.