Movimento Retilíneo Uniforme e Uniformemente Variado MRU e MRUV Evandro Bastos dos Santos 22 de Fevereiro de 2017 1 Movimento Retilíneo Uniforme(MRU) Um corpo que se desloca em trajetória retilínea e possui velocidade com módulo constante (aceleração nula) está em MRU. A função que representa a relação entre posição e tempo e define a velocidade constante, com o móvel percorrendo distâncias iguais em intervalos de tempos iguais é S = S 0 + vt, (1) em que S0 é a posição inicial. Se V>0 o movimento é dito progressivo e, se V<0, o movimento é dito retrógrado. Vamos considerar, como exemplo, a função horária, no SI, Em 1s de movimento o móvel passará pela posição 2m: s = 4 2 t (2) s = 4 2 t (3) s = 4 2 1 (4) s = 2m (5) O móvel passará pela origem (S=0) em 2s: s = 4 2 t (6) 0 = 4 2 t (7) t = 4/2 (8) t = 2s (9) Se considerarmos, agora, a função no SI s = 2 + 8.t (10) temos S 0 = 2m e V = 8m/s. Movimento uniforme e progressivo (V>0), estando o móvel se deslocando no mesmo sentido da orientação positiva. Em 0,5s de movimento o móvel passará pela posição 2m o móvel passará pela origem das posições em 0,25. 1
2 Gráficos do MRU A-POSIÇÃO X TEMPO Como percebemos a função horária para o MRU é uma função do 1 o grau (y = B + Ax). Então o gráfico de em que S = S 0 + V t (11) é v = S S 0 t (12) Figura 1: Gráfico do MRU s(t) Pelo gráfico acima, S 0 = 2 e, se definirmos α como sendo o ângulo entre o gráfico de S e o eixo x, temos que Tg α= cateto oposto / cateto adjacente, ou ainda, tgα = S t tgα = S S 0 t Comparando as expressões?? e?? podemos afirmar que: (13) (14) tgα V ELOCIDADE (15) Como a tangente do ângulo α é a inclinação da reta, então se a reta for crescente V>0, caso a reta seja decrescente V<0, se a reta for constante V=0, o que significa que a distância percorrida não muda com o passar do tempo. 2
B-VELOCIDADE X TEMPO Como o movimento é uniforme e a velocidade deve ser constante, a reta será horizontal e paralela ao eixo dos tempos. No gráfico V t podemos afirmar que: Figura 2: Gráfico do MRU, v(t) ÁREA DA FIGURA (RETÂNGULO) = DISTÂNCIA PERCORRIDA 3 Movimento Retilíneo Uniformemente Variado(MRUV) Movimento Retilíneo Uniformemente Variado MRUV é quando a aceleração de um móvel que se move em uma trajetória permanece constante e, podemos calcular a variação da posição no decorrer do tempo. S = S 0 + v 0 t + 1 2 at2 (16) A fórmula acima constitui uma função quadrática (2 o grau). No MRUV o gráfico de S(t) é uma parábola: 3
Figura 3: Gráfico do MRUV, S(t) Na figura??, o valor de v 0 é 2m/s, o valor de a é 2m/s 2, e o valor de S 0 é 1m. Se quisermos a velocidade, o gráfico é uma linha reta, v = v 0 + at, (17) Figura 4: Gráfico do MRUV, v(t) No MRUV, se a>0 o movimento é dito acelerado e, se a<0, o movimento é dito retardado. Utilizando a classificação anterior, podemos determinar que no instante t = 0, o movimento é acelerado progressivo. 3.1 Equação de Torricelli Para se revolver qualquer problema no MRUV basta saber as funções S(t) e v(t), porém uma terceira equação surge, que auxilia em alguns casos. 4
Se substituirmos a equação V = v 0 + at na equação S = S 0 + V 0 t + 1 2 at2, teremos seguinte equação v 2 = v 2 0 + 2a S. (18) Essa equação é chamada de equação de Torricelli, em homenagem ao primeiro físico a encontrá-la. Ela é útil em situações que a dependência temporal não é explícita. Veja: Um determinado veículo em certo instante, possui uma velocidade de 20m/s. A partir deste instante o condutor do veículo acelera seu carro constantemente em 4m/s 2.Qual a velocidade que o automóvel terá após ter percorrido 130m. Solução, aplicando a equação de Torricelli: v 2 = v0 2 + 2a S (19) v 2 = 20 2 0 + 2 4 130 (20) V = 38m/s (21) (22) 4 Funções do Movimento de Queda Livre O movimento de queda livre pode ser interpretado como um caso particular do MRUV. Considerando que um objeto em queda livre parte do repouso, V0=0 e colocando o centro de coordenadas no solo, com o eixo positivo para cima (como adotamos o eixo positivo para cima, sempre teremos o valor de g como um número negativo, por exemplo -9,8, mas a equação não recebe sinal negativo), temos: h = 1 2 gt2 (23) em que, h é a altura que o objeto atinge em relação ao ponto em que foi solto(h 0 = 0), e g é a aceleração da gravidade local. Analogamente podemos inferir a função horária da velocidade. v = gt (24) O movimento é definido por "queda livre", pois v 0 = 0, se v 0 fosse qualquer outro valor, o movimento seria um lançamento vertical. Utilizando os mesmos valores também é possível obter a equação de Torricelli, para esse movimento. v 2 = 2g H (25) Em que H é a altura percorrida pelo objeto durante a queda livre. 5 Exercícios 1. Um objeto é abandonado do alto de um edifício de 50m, sabendo que a aceleração da gravidade é de aproximadamente -9,8m/s 2, calcule o tempo que o objeto demora para alcançar 5
o solo. Calcule, sem auxílio da equação de Torricelli, a velocidade que o objeto possui ao tocar solo. Agora utilize a equação de Torricelli e efetue o cálculo da velocidade. Compare o resultado com o calculado anteriormente. 2. Um carro desloca-se em uma trajetória retilínea descrita pela função S=20+5t (no SI). Determine: (a) a posição inicial; (b) a velocidade; (c) a posição no instante 4s; (d) o espaço percorrido após 8s; (e) o instante em que o carro passa pela posição 80m; (f) o instante em que o carro passa pela posição 20m. 3. Em um trecho de declive de 10km, a velocidade máxima permitida é de 70km/h. Suponha que um carro inicie este trecho com velocidade igual a máxima permitida, ao mesmo tempo em que uma bicicleta o faz com velocidade igual a 30km/h. Qual a distância entre o carro e a bicicleta quando o carro completar o trajeto? 4. O gráfico a seguir mostra as posições em função do tempo de dois ônibus. Um parte de uma cidade A em direção a uma cidade B, e o outro da cidade B para a cidade A. As distâncias são medidas a partir da cidade A. A que distância os ônibus vão se encontrar? Figura 5: Gráfico do MRUV, v(t) 5. Dois navios partem simultaneamente de um mesmo local e percorrem a mesma trajetória retilínea com velocidades, respectivamente, iguais a 80km/h e 70km/h. Há comunicação entre os dois se a distância entre eles não ultrapassar 10km. Depois de quanto tempo após a saída os navios perderão a comunicação via rádio? 6