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tr çã s r s çõ s s q çõ s r ç s s st t 3 çã s s s st t 3 çã st r str çã t r s r s í tr r t rr ó t át r s t é r rr ó q r q st ú r tr s rê s s s r tr é q çã r ç s x n+1 = x n + 1 x n é ú r t s ssár s r tr s rê n s s 1 r ssã x n = n 1 é s çã rt r ss q çã P r t r r s çã rt r q çã r ç s é ssár r s çõ s s 1 s s sã s s çõ s s sã s F 0 = F 1 = 1 s ú r s s s í ós ês st 1 rr ó é ssár r s çã st çã é ú r tr s rê s q ã s tê s s r r s x 0 = 0 tr s q çõ s r ç s tr r t st rt t s q ê x n q é s çã ss s q çõ s str q t r t q ú r t r çõ s é s t t r s çã r q çã r ç s r s t t t s st t s r trár s q t r r ss q çã st tr r s t s t ú s ssár s r t r çã s s çõ s s q çõ s r ç s r s r r t s st t s st rt t ss s s çõ s st s s s r r s r ç t r ç 1 r tr r s s çõ s s q çõ s r ç s r s r s r r s s t E P(E) r tr r s s çõ s s q çõ s r ç s r s r t s st t s st s t é s s t r r s str çõ s rá s q str rt t s s çõ s s q çõ s r ç s s s t çõ s r tr é 3 r st t s r s é q q çõ s r ç s st s t s r õ s s s r rs s t ó s í s t r r t t r r r ss s r 3 t át s t r ss t tr t r s s t r s P râ tr s rr r s s r s é P

t s r r r t át r t 1t 3 t r r tr s t s tr 3 s s t tê s s q sã ss t r r s à q str t 3 str t r s t t r r r t r r t r s t çõ s r s r r r s s í s r t r s r r t r r sõ s ró r s t r sõ s r 3 r r t s tr s çõ s ssár s à s r çã t s s r r s st é s t r r t t t át â s r s r 3 t át q r ú s r rs s tr á r ú t q r t r s rá s ss s s s r s t s r r s t çõ s é r s st s t r é ót r rs r str çã s tr â r s s r t 3 r t r çõ s â s s str çõ s étr s t t s t s r st s r s é s s 1 r ê t r s s çõ s rrí st ã P r s s stõ s t s r t s r r r t r r q r ss r s s é st t s t r t át ss r r s s t s q çõ s r ç s st r s q çõ s r ç s r r s t r s r s r s t s s ét s r s çã st r rt t s s çõ s s q çõ s r ç s r s r s r r s r r s r s q çõ s r ç s r str r s çõ s s q çõ s r ç s r t r s çõ s r t s rrí s Pú ã P tr és t s t s r s é q t 1 t 3 çã s t ú s s tê s ss s s s t às r s t r s r t t át s t s tr stã r t str Pr ss t át P rt str Pr ss t át P t t r r r r çã t át

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q ê s ú r s s s s t s st ít r s t s s çõ s t r s r r s 1 s s q ê s ú r s r s s s t s r s st s q ê s s t çã r t 1t 3 q s rá í s s çõ s q õ ít s t çã r s r r t r t r rrí st ã P r é t çã P r 1 ã r rr s rá s t tr q s r t t r t rt r q s é 3 3 s s rá q t rt r st rt rá 10m à r t q s q s t q t rt r st t s r rr r t rt r 3 3 s s t st 1m à r t q s tã rr 1m té t q t rt r st s ã st s á st 10cm é rt 1m à r t s rr s t r t 3 3 s s q q s t ss r í r s t r s t s t s té s s t s q ê stâ s tr s r rr s r q s 10,1, 1 10, 1 10, 1 10 3,..., 1 10 n,... q sã t s çã x : N 0 R r x(n) = 10 10 n = 101 n t s tã t t s q ê q ê s ú r s s çã s q ê ú r s r s é çã x : N 0 R q ú r t r n ss ú r r x n = x(n) és t r s q ê t s s q ê x : N 0 R r (x 0,x 1,x,x 3,...,x n,...) r (x n ) st s q s q ê (x n ) é çã 0 x 0,1 x 1, x,3 x 3,...,n x n

q ê s ú r s s s s t s 1 s q ê (0,,4,6,8,...) é çã r x n = n r t n N 0 1 s q ê (1,1,1,...) é çã st t r x n = 1 r t n N 0 3 s q st s q ê é st t s t s s s s t r s sã s 1 tr â r r s t r é q át r 1u s t s é s s s ss tr â t s s tr â s t s é s tr â t r r tr â ss s ss t r r â q át r s q ê ér s t r s sã s rí tr s s t s tr â s s tr í s r ss r ss é 3, 3, 3 4, 3 8,... s tr t s çã r x n = 3 n r t n N 0 q ê s ót s s r s q s t r s s q ê 1 sã r s t s st é x 0 < x 1 < x < x 3 <... < x n < x n+1 <... q t q s t r s s q ê 1 sã r s t s st é x 0 > x 1 > x > x 3 >... > x n > x n+1 >...

q ê s t s çã s q ê (x n ) é ót r s t s x n < x n+1 r t n N 0 x n x n+1 3 s q s q ê é ót ã r s t çã s q ê (x n ) é ót r s t s x n > x n+1 r t n N 0 x n x n+1 3 s q s q ê é ót ã r s t 1 ( r s çõ s s q ê (x n ) r nπ ) x n = cos r t n N 0 st é (1,0, 1,0,1,0, 1,...) ã é ót q ê s t s s r s q s s q ê s s 1 s x n [ 1,1] r t n N 0 á 1 x n [0,3] r t n N 0 st ã rr 1 s r q q r t r t s r s r é ss tr r t r s q ê r ss t r çã s q ê (x n ) é t t s 1 st ú r r M > 0 t q x n < M r t n N 0 çã s q ê (x n ) é t t q ã é t P s çõ s ê s q s 1 s r s t s q ê s t s q t q s q ê 1 é t 1 s q ê (x n ) r x n = n n+1 n N 0 é t s x n [0,1] r t n N 0 s t çã t r 1 ã q st ít ê s q stâ q s r t t t rt r 3 s ró1 3 r q stá r çã s r çã (x n ) s q ê ú r s r s ú r r 3 s q (x n ) r r é r t t s x n l lim x n = n s r ú r r s t ε 1 st n 0 N 0 t q s n > n 0 tã x n l < ε s l ε < x n < l+ε 1 s q ê (x n ) r x n = 1 r t n N s n q x n 0 s r ú r r ε > 0 r trár s r s ú r t r n 0 > 1 1 ε s < ε tã n 0 x n 0 = 1 n 0 = 1 n r t n > n 0 t s 1 n < 1 n 0 < ε P rt t çã lim n 1 n = 0

q ê s ú r s s s s t s 1 s q ê (x n ) r x n = n+1 r t n N n s q x n 1 s r ú r r ε > 0 r trár s r s ú r t r n 0 > 1 1 ε s < ε r t n N n+1 s s r r = 1+ 1 n 0 n n tã t s q x n 1 = 1+ 1 n 1 = 1 n r t n > n 0 t s 1 n < 1 n 0 < ε P rt t çã lim n x n = 1 1 s q ê (x n ) r x n = n+1 r t n N n s q x n 1 s r ú r r ε > 0 r trár s r s ú r t r n 0 > 1 1 ε s < ε r t n N s s r r n 0 n+1 n ( = 1+ 1 ) n tã t s q x n +1 = 1 1 n +1 = 1 n r t n > n 0 t s 1 n < 1 n 0 < ε P rt t çã r t lim n x n = 1 lim n x n = l 1 lim n x n = l tã l 1 = l Pr Pr s r s r õ s q l 1 l P r ót s ú r r ε > 0 1 st n 0 N 0 t q x n l 1 < ε r t n > n 0 s t é q ε > 0 1 st n 0 N 0 t q x n l < ε r t n > n 0 s ε = l 1 l s r s 4 n > max{n 0,n 0 } tã t s q l 1 l = l 1 x n +x n l x n l 1 + x n l < ε+ε = ε st é l 1 l < l 1 l s r P rt t l 1 = l

q ê s t s çã s q ê (x n ) ú r s r s r t n N 0 s s q ê (x n ) é r str çã çã x s t t s t r s S = {n 0 < n 1 < n <... < n k <...} i N 0 (x n0,x n1,x n,...,x nk,...) t s s s q ê r (x ni ) r t 1 s r s t {n;n N 0 } N 0 r str çã s q ê n és t r é x n = 3 n s t é s s q ê (1,3,3 4,3 6,...) r (x n ) s q ê t q q ê q q r (x n ) tã Pr lim n x ni = l lim n x n = l s (x ni ) s s ε > 0 ú r r tã r ót s 1 st n 0 N 0 t q l ε < x n < l+ε r t n > n 0 P r tr 1 st i 0 t q s i > i 0 tã n i > n 0 P rt t s i > i 0 t s q l ε < x ni < l+ε s lim n x ni = l r ár st s s q ê q r s q ê q ss s s s q ê s t s r t s s rá r t 1 s q ê (x n ) r x n = ( 1) n r t n N 0 r s s s q ê (x n ) rx n = ( 1) n r r 1 s s s q ê (x n+1 ) r x n = ( 1) n+1 r r 1 tã r ár t s q s q ê (x n ) r P s 3 s 3 s ssár s çã r á t s q ê s st t 3 r s r r s r tór s s t s s r s (x n ) (y n ) s s q ê s r t s t s q t s s s t s r r s lim n x n = l lim n y n = k Pr s çã t lim n (x n +y n ) = l+k Pr P r ót s ú r r ε > 0 1 st n 0 N 0 t q x n l < ε r t n > n 0 s t é q ε > 0 1 st n 0 N 0 t q y n k < ε r t n > n 0 ε > 0 t s n 0 = max{n 0,n 0 } t s (x n +y n ) (l+k) x n l + y n k < ε + ε = ε st é lim n (x n +y n ) = l+k r t n > n 0

q ê s ú r s s s s t s Pr s çã t Pr t lim n x ny n = lk Pr P r ót s (x n ) é r t tã 1 st ú r r M > 0 t q x n M r t n N 0 ú r r ε > 0 1 st n 0 N 0 t q x n l < ε k r t n > n 0 s t é q ε > 0 1 st n 0 N 0 t q y n k < ε M r t n > n 0 ε > 0 t s n 0 = max{n 0,n 0 } t s x n y n lk = x n y n x n k +x n k lk = x n (y n k)+k(x n l) P rt t x n y n lk = x n (y n k)+k(x n l) x n y n k + k x n l < M ε M + k ε k = ε r t n > n 0 s r s s rt r Pr s çã q y n = c r t n N 0 lim cx n = cl t q c é ú r r r trár n P r c = 1 té s lim( x n ) = lim( 1)x n = lim x n = l n n n c é st t r P Pr s çã s r r t é q lim (x n y n ) = lim(x n +( y n )) = lim x n + lim( y n ) = lim x n lim y n = l k n n n n n n Pr s çã t rs (y n ) s q ê ú r s r s ã s t q ( ) 1 = 1 k tã Pr lim n y n lim n y n = k k 0 ε ú r r t q ε (0,k ) tã ε > 0 k ε > 0 ót s lim y n = k tã Pr s çã t s q lim ky n = k n n 1 st n 1 n N 0 t s q r n > n 1 t s q y n k < ε r n > n t s q ky n k < k ε s tã n 0 = max{n 1,n } r t n > n 0 ky n k < k ε tã k +ε k < ky n < k ε P rt t ky n > ε > 0 s 0 < 1 ky n < 1 ε r t n > n 0 r t n > n 0 1 1 y n k = k y n ky n < ε ε = ε P r r ár t t y n 0 r t n N 0 k 0 tã lim n x n y n = l k

q ê s t s Pr x n 1 1 lim = lim x n = lim x n lim = n y n n y n n n y n }{{} Pr s çã Pr r t (x n ) é t Pr lim n y n = 0 tã lim. do inverso lim n x n y n = 0 l 1 k = l k ú r r M > 0 t q x n M r t n N 0 ú r r ε > 0 1 st n 0 N 0 t q r t n > n 0 y n < ε M x n y n < M ε M = ε r t n > n 0 Pr s çã t P ô ô P(x) = a m x m +a m 1 x m 1 +...+a 1 x+a 0 lim x n = l tã n lim P(x n) = P lim(x n ) = P(l) n n Pr Pr s çã r í çã t át t s q r t r k 1 s lim n x n = l tã lim n x k n = l k P rt t lim P(x n) = lim(a m x m n +a m 1 xn m 1 +...+a 1 x n +a 0 ) n n = a m lim x m n +a m 1 lim n +...+a 1 lim x n +a 0 n n = a m l m +a m 1 l m 1 +...+a 1 l+a 0 = P(l). n x m 1 1 tr s t s s s q ê s (x n ) 1 t q x n = n n+1 r t n N 0 çã lim n n n+1 = lim n ( 1 1 ) = 1 n+1 x n = 3 n r t n N 0 çã lim n 3 n = 3 lim n 1 n = 0 x n = n +3 n n+ r t n N 0 çã x n = n +3 n n+ = n +3 n n n+ n 1+ 3 = n 1 1 n + tã n

q ê s ú r s s s s t s lim n n +3 n n+ = lim (1+ 3n ) (1 1n + n ) = 1 n lim n ró1 1 t s sã t çã P r 1 ã 1 s r s s q ê x n = 10 1 n r t n N 0 q r r s t s stâ s r rr s r q s t çã P r 1 ã s q lim n 101 n = 10 lim = 0 st s q r t çã ã t t 10n ç rá t rt r s s r 1 st rá stâ tr s r n 1 q s q ró1 t rt r q t q s r s stâ q s r t rt r s t r tã ró1 3 r q t q s r 1 lim n x n = l tã lim n x n = lim(x n x n ) = n ( lim n x n )( ) lim x n n = l = l 1 s q ê r y n = cosπn r t n N 0 ã é r t s r n r t s cosπn = 1 s n é í r tã cosπn = 1 s r tr 1 cosπn 1 r t n N 0 s cosπn é t s r s s q ê r x n = 1 r t n N tã Pr s çã s q n 1 lim cosπn = 0 n n r s t r s x n s q ê ót t x 1 x x 3... x n x n+1... r t r s r 1 s ú r r α Pr s r s s ú r s r s r s s 3 r s r r x 1 = a 10,a 11 a 1...a 1k... x = a 0,a 1 a...a k... x 3 = a 30,a 31 a 3...a 3k... x n = a n0,a n1 a n...a nk... s 1 r ssõ s s s t r s s q ê a 1k a k a 3k... a nk... k N 0 é s q ê ã r s t t ú r s t r s 0 a nk 9 s k 1 r t k 0 s q ê a 1k,a k,a 3k,...,a nk,...

q ê s t s t r s st t rt r rt r í n s ss r n k t s q a nk = a nk k r t n k > n k 1 tã r a nk = a nk k r s q r α = a 0,a 1 a a 3...a k... s k r r s r s s s s x n s n > n k tã α x n = 0,000...0d k+1... s 0 α x n < 1 10 k r n n k P rt t ú r r ε > 0 st t r 10 k > 1 ε r t r s 0 α x n < ε r t n > n k r é r t r ê q ê s s r r s q ê ót t é r t 1 s q ê ót r s t (x n ) r x n = n 1 ( ) n n N n 1 é t s x n [0,1] r t n N lim = 1 n n 1 s q ê ót r s t (x n ) r x n = n ( n+1 é t s x n [ 1,0] r t n N 0 lim n ) = 1 n n+1 n r s t t t q t s s t r s s q ê (x n ) t q x n = n r t n N 0 r s s t çã é r 3 çã s r çã 3 s q s q ê ú r s r s (x n ) t r + s r s lim x n = + s ú r r M > 0 r trár 1 st n n 0 N 0 t q r t n > n 0 n N 0 t s q x n > M t r 3 s q s q ê t r çã s r çã 3 s q s q ê ú r s r s (x n ) t r s r s lim x n = s ú r r M > 0 r trár 1 st n n 0 N 0 t q r t n > n 0 n N 0 t s q x n < M s s r çõ s s r rr s çõ s lim x n = + s s t s lim( x n ) = n n lim n x n = lim n y n = + tã lim n (x n +y n ) = + lim n x n = lim n y n = + k > 0 tã lim n (x n y n ) = + lim n (kx n ) = + r t n N 0 x n y n lim n y n = + tã lim n x n = + s q t t t s lim n x n = lim n y n = tã lim n (x n +y n ) = lim n x n = lim n y n = k > 0 tã lim n (x n y n ) = + lim n (kx n ) =

q ê s ú r s s s s t s r t n N 0 x n y n lim n x n = tã lim n y n = r t n N 0 x n > 0 tã lim x 1 n = 0 lim = + n n x n 1 t s t é q lim x n = 0 lim n n x n = s r t n N 0 x n < 0 1 1 s q r t n N 0 t s lim n n Pr s çã r l < 0 t s lim n x n = l = 0 q lim n n = + lim n y n = + tã r l > 0 t s lim x ny n = + n lim n x ny n = lim n x n = l lim n y n = tã r l > 0 t s r l < 0 t s lim x ny n = n lim n x ny n = + 1 tr s t s s s q ê s (x n ) 1 t q ( ) n 4 x n = 1 r t n N 0 9 çã [ ( ) n ] 4 lim 1 = 1 0 = 1 n 9 ( ) n 3 x n = 1 r t n N 0 4 çã lim n [ 1 ( ) n ] 3 = 1 0 = 1 4 x n = n 1 r t n N 0 çã lim n (n 1) = +

á r ç s st ít r s t s t r ç s q çõ s r ç s é s r r s s r r s r ç s t t r ç r t r r s rr t r s s s çõ s s q çõ s r ç s st s s r r s ss s r r s á s r ç s r r s r ç s t s r s s q ê (x n ) n N 0 çã s q ê ( x n ) r r r ç s q ê (x n ) é r x n = x n+1 x n, r t n N 0 s r ç ( x n ) é r r r ç s q ê ( x n ) st é x n = ( x n ) = x n+1 x n = x n+ x n+1 (x n+1 x n ) x n = x n+ x n+1 +x n. r 3 s r ç r k r q q r k N r k x n = ( k 1 x n ) = k 1 x n+1 k 1 x n n N 0 tã 3 x n = x n+1 x n = x n+3 x n+ +x n+1 (x n+ x n+1 +x n ) = x n+3 3x n+ +3x n+1 x n 4 x n = x n+4 3x n+3 +3x n+ x n+1 (x n+3 3x n+ +3x n+1 x n ) = x n+4 4x n+3 +6x n+ 4x n+1 +x n.

á r ç s r r t s k x n = k ( ) k ( 1) i x n+k i, i i=0 r t k N s ( k i) i = 0,1,,...,k sã s r s t s k és r â P s çã q çã q t r x n s s r ç s x n, x n,... é q çã r ç s 1 q çã x n +7 x n +1x n = 0 é q çã r ç s st t s q çã t s x n+ x n+1 +x n +7(x n+1 x n )+1x n = 0 s x n+ +5x n+1 +6x n = 0 r t n N 0 çã r r r ç s q ê (x n ) x n = x n+1 x n é r r r ç s q ê r t n N 0 çã P r t n N 0 r r s t s q ê (x n ) é r Ex n = x n+1. çã r r t I é q q q r s r s q ê (x n ) t r s t ró r s q ê s Ix n = x n. P r çã t s q 0 x n = E 0 x n = Ix n = x n r t n N 0 r E é r r s t s q ê (x n ) t ã r t n N 0 E k x n = x n+k. Pr 3 s çã s r k P r k = 1 é tr õ s q E k x n = x n+k tã r k +1 t s q E k+1 x n = E(E k x n ) = Ex n+k = x n+k+1

r r s r ç s t r k +1 P rt t r í çã E k x n = x n+k r t k t r çã 3 s q s r r s O 1 O sã q t s t s O 1 O s r q q r s q ê (x n ) é á O 1 x n = O x n r t n N 0 1 s q ê E +I E I s x n = x n+1 x n = x n+1 = x n + x n = Ex n = Ix n + x n = (I+ )x n r s t s s r s r r s s r r s Pr r s r r s t tr s 3 Pr P r t n N 0 t s q Ex n = (Ex n ) = (x n+1 ) = x n+ x n+1 = E(x n+1 x n ) = E x n Pr r k m t r s t s k m m k k+m s é á r r r Pr k m x n = k+m x n = ( k+m 1 x n ) = k+m 1 x n+1 k+m 1 x n = m+k 1 x n+1 m+k 1 x n = ( m+k 1 x n ) = m+k x n = m k x n r r r s t s r E k E m x n = E k x n+m = x (n+m)+k = x (n+k)+m = E m x n+k = E m E k x n Pr r E k x n = k Pr i=0 E k x n = ( +I) k x n = }{{} i=0 Bin. de Newton ( k ) i i x n r t n N 0 k N k ( k ) i i x n

á r ç s 1 3 ( 1 n ) n N çã r q çã t s q 3 ( 1 n ) = = = 3 ( )( ) 3 ( 1) i 1 i n+3 i i=0 1 n+3 3 n+ + 3 n+1 1 n 6 (n+3)(n+)(n+1)n = 6(n 1)!. (n+3)! r s r r s E sã r s s [ax n +by m ] = a x n +b y m E[ax n +by m ] = aex n +bey m a b sã st t s q sq r (x n ) (y m ) s s q ê s q sq r Pr [ax n +by m ] = (ax n+1 +by m+1 ) (ax n +by m ) = a(x n+1 x n )+b(y m+1 y m ) = a x n +b y m E[ax n +by m ] = ax n+1 +by m+1 = aex n +bey m r (x n ) (y n ) s s q ê s q sq r n N 0 tã [x n y n ] = Ex n y n +y n x n [ xn y n ] = y n x n x n y n y n Ey n q y n 0 Pr

r r s r ç s t [x n y n ] = x n+1 y n+1 x n y n = x n+1 y n+1 x n+1 y n +x n+1 y n x n y n = x n+1 (y n+1 y n )+y n (x n+1 x n ) = Ex n y n +y n x n [ xn y n ] = x n+1 y n+1 x n y n = x n+1y n x n y n+1 y n+1 y n = x n+1y n x n y n +x n y n x n y n+1 y n+1 y n = y n x n x n y n y n Ey n. s q n 1 k=n 0 x k = x n x n0 s n 0 < n N Pr n 1 n 1 x k = (x k+1 x k ) k=n 0 k=n 0 = x n0 +1 x n0 +x n0 + x n0 +1 +x n0 +3 x n0 + +...+x n x n 1 = x n x n0. r r t çã n x k = x n+1 x 1 n N 0 k=1 Pr st r n 1 3 k k=1 çã 3 k = 3 k+1 3 k = 3 3 k 3 k = 3 k t s q 3 k = 3k r t s q 1 n 3 k = 1 (3n+1 3 1 ) = 3 (3n 1) k=1

á r ç s çã 1 r ssã k 1 n (k) = n(n 1)(n )...(n k +1) = (n i), i=0 sã t r s ã s é tê t r s t r k 1 (k) n = n(n+1)(n+)...(n+k 1) = (n+i), i=0 sã t r s ã s é tê t r s t r P çã t s q n (k) = n (0) = 1 = (0) n r q t r s ã s tã n (k) = kn (k 1) n (p+q) = n (p) (n p) (q) = n (q) (n q) (p) p n (k) = k(k 1)...(k p+1)n (k p) k n (k) = k! n! (n k)! =(k) (n k+1) n (n) = n! = (n) 1 Pr s q n (k) = (n+1) (k) n k çã t s q n (k) = k 1 (n+1 i) k 1 (n i) = (n+1 n+k 1)n (k 1) = kn (k 1) i=0 i=0 n (p+q) = n(n 1)...(n p)[(n p) 1]...[(n p) q+][(n p) q+1] = n (p) (n p) (q) t r s q n (p+q) = n (q) (n q) (p) 3 s çã s r p P r p = 1 st r t õ s q p n (k) = k(k 1)...(k p+1)n (k p) tã r p+1 t s q

r r s r ç s t p+1 n (k) = ( p n (k) ) = k(k 1)...(k p+1) n (k p) t p+1 n (k) = k(k 1)...(k p+1)[(k p)n (k p 1) ] s r p+1 P rt t r í çã p n (k) = k(k 1)...(k p+1)n (k p) r t p t r st s r t r p = k ss k n (k) = k(k 1)...(k k +1)n (0) n (0) = 1 t s q k n (k) = k(k 1)...1.1 = k! 1 str q n ( q) 1 = (n+q)(n+q 1)...(n+1) r t q N 0 t st s r t r p = q n ( q+q) = n ( q) (n+q) (q) 1 = n ( q) (n+q) (q) n ( q) 1 = (n+q) (q) n ( q) = n ( q) = 1 (n+q)(n+q 1)...(n+q q +1) 1 (n+q)(n+q 1)...(n+1). çã P(n) = a 0 n k + a 1 n k 1 +... + a k ô r k a 0,a 1,...,a k r s k t r ã r r r ç P(n) é r P(n) = P(n+1) P(n) = (a 0 (n+1) k +a 1 (n+1) k 1 +...+a k ) (a 0 n k +a 1 n k 1 +...+a k ) s ô t t s P(n) = a 0 n k + a 0 kn k 1 + a 0 ( k ) n k... + a 0 +a 1 n k 1 +a 1 (k 1)n k...+a 1 +...+a k +... a 0 n k a 1 n k 1... a k P rt t P(n) = a 0 kn k 1 +Q 1 (n) Q 1 (n) é ô r k t s r s

á r ç s s t é q P(n) = ( P(n)) = (a 0 kn k 1 +Q 1 (n)) = [a 0 k(n+1) k 1 +Q 1 (n+1)] [a 0 kn k 1 +Q 1 (n)] = a 0 k[(n+1) k 1 n k 1 ]+[Q 1 (n+1) Q 1 (n)] 3 s Q (n) = Q 1 (n+1) Q 1 (n) P ô t (n+1) k 1 n k 1 = n k 1 +(k 1)n k +...+(k 1)n+1 n k 1 = (k 1)n k +...+(k 1)n+1 P(n) = a 0 k(k 1)n k +...+a 0 k(k 1)n+a 0 k +Q (n) P rt t P(n) = a 0 k(k 1)n k +Q 3 (n). Q 3 (n) é ô r k 3 t s r s r P(n) = a 0 n k + a 1 n k 1 +... + a k ô r t s r s k t r ã tã k P(n) = a 0 k(k 1)...1n k k = a 0 k! k+i P(n) = 0 r i 1 Pr st r k 3 s r t s r t r r P(n) ô r k t s r s k t r ã tã P(n) = k ( ) i P(0) n (i). i! i=0

r r s r ç s t st é ór r s r t Pr P(n) = a 0 +a 1 n+a n () +a 3 n (3) +...+a k n (k) ô r k s q P(0) = a 0 P r k P(n) = a k k! r n = 0 t s q m P(0) = a m m! 1 m k k t r ã tã P rt t a m = m P(0) m! P(n) = a 0 +a 1 n+a n () +a 3 n (3) +...+a k n (k) = P(0)+ P(0) n+ P(0) n () +...+ k P(0) n (k) 1!! k! k ( ) i P(0) = n (i). i! i=0 çã a i R,i = 0,1,...,k k t r ã E 0 = I t s q é tr r r t s q r t b R t s P(E) = a 0 E k +a 1 E k 1 +...+a k I P(E)b n = (a 0 E k +a 1 E k 1 +...+a k I)b n = a 0 E k b n +a 1 E k 1 b n +...+a k Ib n tã s çõ s r t s q P(E)b n = a 0 b n+k +a 1 b n+k 1 +...+a k b n = b n (a 0 b k +a 1 b k 1 +...+a k ) P rt t P(E)b n = b n P(b) r g(n) çã r t s r t tã

á r ç s P(E)(b n g(n)) = b n P(bE)g(n) Pr çã t s q P(E)(b n g(n)) = (a 0 E k + a 1 E k 1 +... + a k I)b n g(n) P rt t P(E)(b n g(n)) = a 0 b n+k E k g(n)+a 1 b n+k 1 E k 1 g(n)+...+a k b n g(n) = b n (a 0 b k E k +a 1 b k 1 E k 1 +...+a k )g(n) = b n P(bE)g(n). r r t r ç çã r r t r ç X n = x n é r 1 x n = X n +c, é st t r s çã r 1 x n = (X n +c) = X n + c = x n 1 = I P ré t q 1 X n = 1 x n = X n +c s 1 I ss r 1 ã t t s q 1 t é é r s s 1 ax n = ax n +c 1 1 by n = by n +c a,b R c 1,c st t s r trár s t s q 3 s c = c 1 +c t s q 1 ax n + 1 by n = ax n +c 1 +by n +c 1 ax n + 1 by n = (ax n +by n )+c = 1 (ax n +by n ) 1 t r r r 1 s s q ê s 1

r r t r ç (x n ) x n = 1 r t n N 0 çã s q r t n N 0 x n = 1 tã 1 = 0 s t é q n = (n+1) n = 1 s 1 s s r s ss t s 1 n = 1 1 P rt t çã s q 1 1 = n+c c é st t r (x n ) x n = an a R r t n N 0 çã s q an = a(n+1) an = a s t é q an = a(n+1) an = a(n+1) = an+a s 1 s s r s t s an +c 1 = 1 an+a 1 1 1 an = an +c 1 a(n+c ) P rt t c é st t r 1 an = an(n 1) +c 1 t r r r 1 s s q ê s 1 (x n ) x n = ( 1) n r t n N 0 çã s q

á r ç s ( 1) n = ( 1) n+1 ( 1) n = ( 1) n = ( 1) n+1 ( 1) n = ( 1)n s 1 s s r s t s 1 ( 1) n = 1 1 ( 1) n = 1 [( 1)n +c 1 ] P rt t 1 ( 1) n = ( 1)n+1 +c c é st t r (x n ) x n = ( 1) n n r t n N 0 çã s q ( 1) n n = ( 1) n+1 (n+1) ( 1) n n = ( 1) n+1 (n+1)+( 1)( 1) n n = ( 1) n+1 (n+1). ( 1)( 1) n (n+1) = ( 1) n n ( )( 1) n n = ( 1) n n+( 1) n P rt t ( 1) n n = 1 [ ( 1)n n+( 1) n ] s 1 s s r s t s 1 ( 1) n n = 1 [ 1 ( 1) n n+ 1 ( 1) n ] P r s t t [( 1) n n+c 1 + ( 1)n+1 1 ( 1) n n = 1 +c ]

r r t r ç P rt t 1 ( 1) n n = ( 1)n+1 ( n 1 ) +c é st t r (x n ) x n = a n a R r t n N 0 çã s q a n = a n+1 a n = a n (a 1) a n = an a 1 s 1 s s r s t s 1 a n = 1 a 1 1 a n = an a 1 +c c é st t r t s r 1 x i n k = 1 x n 1 x k r r t X n = x n k < n k,n N 0 tã Pr n 1 i=k x i = 1 x i n k = X n X k P r ót s n 1 x i = i=k = n 1 i=k n 1 X i (X i+1 X i ) i=k = X k+1 X k +X k+ X k+1 +X k+3 X k+ +...+X n X n 1 = X n X k.

á r ç s s 1 s s r s X n = x n t s q 1 X n = 1 x n X n +c = 1 x n P rt t X n X k = 1 x n 1 x k = 1 x i n k t s tã q q k = 0 t s q ( n 1 ) x i = (X n X 0 ) = X n X 0 = x n i=0 1 x n = 1 ( n 1 ) n 1 x i = x i +c, i=0 i=0 é st t r 1 s s n r r s t r s s s q ê s (x n ) s r x n = n r t n N çã P r t 1 t s q n i=1 i = 1 i n+1 1 = i(i 1) n+1 1 = (n+1)(n+1 1) 0 = n +n r t s s s n t r s r r ssã r t ét P r 3ã r r t r é x 1 = x n = 3 n r t n N çã P r t 1 t s q n i=1 3 i = 1 3 i n+1 1 = 3i 3 1 n+1 1 = 1 (3n+1 3) = 3(3n 1) r t s s s n t r s r r ssã étr P r 3ã 3 r r t r é x 1 = 3 r ór s P rt s (x n ) (y n ) s s q ê s q sq r n N 0 tã n 1 i=0 y i x i = x i y i n 0 n 1 i=0 x i+1 y i

r r t r ç Pr P r t s q [x n y n ] = Ex n y n + y n x n y n x n = [x n y n ] x n+1 y n s 1 s s r s t s q 1 y n x n = x n y n +c 1 1 x n+1 y n q çã st t r c t s q n 1 i=0 y i x i = x n y n n 1 i=0 x i+1 y i +c n = 0 tã y 0 x 0 = x 0 y 0 x 1 y 0 +c c = x 0 y 0 P rt t n 1 i=0 y i x i = x n y n x 0 y 0 n 1 i=0 s t é q r t k N k < n n 1 i=k y i x i = x i y i n k n 1 x i+1 y i = x i y i n 0 n 1 i=k x i+1 y i i=0 x i+1 y i 1 s s n r r s t r s s q ê (z n ) r z n = n n r t n N 0 çã 3 s x k = 1 k y k = k tã x k = 1 1 k+1 = 1 1 k 1 k = x k k y k = (k +1) k = k +1 n 1 k=0 tã r s q tã n 1 0 n 1 k=0 k k = n 1 = k x k k k ( ) k k k=0 n 0 n 1 0 1 k+1(k +1) 1 k+1(k +1) = 1 + 3 4 + 5 8 + 7 n 3 +...+ + n 1 = 16 n 1 n S

á r ç s ss 3 s S S té s S = 1+ 3 + 5 4 + 7 8 +...+ n 1 n 1 S = 1+1+ 1 + 1 4 + 1 8 +...+ 1 n 1 n [ n (1 ) ] n = + 1 1 n 1 n 1 = +1 1 n 1 = 3 (4+n 1) n n n = 3 (n+3). n P rt t n 1 k=0 ( ) k n = n+3 3+ = 6 (n +n+3) k n n n 1 é s s n r r s t r s s q ê (z n ) r z n = n n N 0 n r t

q çõ s r ç s r s r r r çã ss çã s q çõ s r ç s k és r tr s r r s çã ss ít s s s çõ s 3 s st s q çõ s r ç s r s r r r s t s s r s s s çõ s rt r s r r s t s ét s r s çã st q s s r r s r ç t r ç s t s t é rt t ss s s çõ s r s s t çõ s r r s t s st q sã s r s r t s s rá s q str rt t s s çõ s r r s r t r q çõ s r ç s r s s q çõ s r ç s r r á t n t q n N 0 x n R sã r çõ s s r f(n,x n+k,x n+k 1,...,x n ) = 0. çã 3 s q q çã é r s f é r s r á s x n,...,x n+k 1,x n+k t s f 0 (n)x n+k +f 1 (n)x n+k 1 +...+f k (n)x n = g(n), t q f i,g : N 0 : R 0 i k f 0 (n) 0 f k (n) 0 q çã é ê q g(n) = 0 s trár é ã ê t r q çã r ç s é r ç tr r r í s q ê (x n ) q s r r q çã é k és r q f 0 (n) 0 f k (n) 0 s (n+k) n = k

q çõ s r ç s r s r r r 1 q çã r ç s x n+1 x n = 0 é r ê r x n+ x n+1 x n = 0 é r ê r x n+1 +n x n = n é r ã ê r x n+4 +x n x n+1 +n = 3 é ã r ã ê r q çã r ç s t é s r q çã s r t s s s çõ s q çã r ç s sã s q ê s ú r s r s s sã çõ s í s r t s çã r q çã r ç s k és r r s t k s t t s r s r trár s q sã s k çõ s s s r s x n té s s çã rt r ss q çã 1 q çã x n+1 = x n t s çã x n = C n 1 t q C é st t r r trár t s s q s x n = C n 1 tã ró1 t r s q ê é x n+1 = C n x n é s st t í q çã r ç s t s q x n+1 = C n 1 = C n x n = C n 1 s t s 3 q çã t r 1 stê r t às s çõ s q çã r ç s r 3 q q çã r ç s r t s s çã s rt s çõ s s t s çã q çã r ç s r k és r t s t s çã q é t r q sã s k çõ s s t f 0 (n) 0 t s q x n+k = 1 f 0 (n) [g(n) (f 1(n)x n+k 1 +...+f k (n)x n )] s r tr í s s r s x i n i n+k 1 té s t r x n+k t tê s s r s x n+k 1,... 1 x n+ x n+1 + 5x n = n + n x 0 = x 1 = 0 sã s çõ s s tã x n+ = n+ n +x n+1 5x n

çã r r n = 0 x = 0+ 0 + 0 5( ) = 11 r n = 1 x 3 = 1+ 1 + 11 5(0) = 5 r n = x 4 = + + 5 5(11) = 1 ss s ss t ró1 1 str q s çõ s s ã r s s r ss r t s t s 1 P r q çã r ç s x n+ + x n+1 3x n = 0 x = 10 x 4 = 37 t s q x n+ = x n+1 +3x n r n = x 4 = x 3 +3x x 3 = 3 10 37 x 1 = 7 r n = 1 x 3 = x +3x 1 3x 1 = 7+10 x 1 = 1 r n = 0 x = x 1 +3x 0 3x 0 = 10+1 x 0 = 11 3 çã r çã s çõ s f : N 0 R g : N 0 R f(n) 0 q çã r ç s r r r é r x n+1 = f(n)x n +g(n) P r t n n 0 0 t q n 0 N 0 r çã x n0 1 st ú s çã x n q s t s 3 q çã st s çã s r str í tr és t r çõ s s r s r r t q çã ê ss à q çã s x n+1 = f(n)x n. x n0 +1 = f(n 0 )x n0 x n0 + = f(n 0 +1)x n0 +1 = f(n 0 +1)f(n 0 )x n0 x n0 +3 = f(n 0 +)x n0 + = f(n 0 +)f(n 0 +1)f(n 0 )x n0 x n = f(n 1)f(n )...f(n 0 +1)f(n 0 )x n0 P rt t P q çã t s q x n = ( n 1 i=n 0 f(i) ) x n0.

q çõ s r ç s r s r r r x n0 +1 = f(n 0 )x n0 +g(n 0 ) x n0 + = f(n 0 +1)x n0 +1 +g(n 0 +1) = f(n 0 +1)[f(n 0 )x n0 +g(n 0 )]+g(n 0 +1) = f(n 0 +1)f(n 0 )x n0 +f(n 0 +1)g(n 0 )+g(n 0 +1) x n0 +3 = f(n 0 +)x n0 + +g(n 0 +) = f(n 0 +)[f(n 0 +1)f(n 0 )x n0 +f(n 0 +1)g(n 0 )+g(n 0 +1)]+g(n 0 +) = f(n 0 +)f(n 0 +1)f(n 0 )x n0 +f(n 0 +)f(n 0 +1)g(n 0 )+f(n 0 +)g(n 0 +1)+g(n 0 +) x n = ( n 1 i=n 0 f(i) ) x n0 + n 1 r=n 0 ( n 1 i=r+1 f(i) ) g(r). Pr s s çã çã s r n t s r s r r t s t çõ s n i=n+1 f(i) = 1 n i=n+1 f(i) = 0 r s õ s q r n s çã s á tã r n+1 t s q x n+1 = f(n)x n +g(n) ót s çã [( n 1 ) n 1 ( n 1 x n+1 = f(n) f(i) x n0 + f(i) g(r) +g(n) i=n 0 r=n 0 i=r+1 ( n ) ( n 1 n ) ( n ) = f(i) x n0 + f(i) g(r)+ f(i) g(n) i=n 0 r=n 0 i=r+1 i=n+1 ( n ) ( n n ) = f(i) x n0 + f(i) g(r). i=n 0 r n+1 r=n 0 i=r+1 ) ] P rt t r í çã t át s çã é á r t n N 0 t s q x n = ( n 1 f(i) i=n 0 ) x n0 + n 1 ( n 1 ) f(i) g(r) é s çã rt r r=n 0 i=r+1 q çã q é r x n0 ã s r t s st t r trár r r r s tá st s t s s çã r ss q çã

çã r 1 t r s çã q çã x n+1 = (n + 1)x n + n (n + 1)! n N 0 x 1 = 1 çã 3 s f(n) = n+1 g(n) = n (n+1)! tã r t s q ( n 1 ) ( n 1 n 1 ) x n = (i+1) x 1 + (i+1) r (r+1)! i=1 r=1 i=r+1 n 1 = 3...(n 1) 1+ (r+)...(n 1)n r (r+1)! r=1 = n!+3 4...(n 1)n 1!+4 5...(n 1)n 3!+...+n! n 1 = n!+n!(+ + 3 +...+ n 1 ) = n!+n!( n 1 1) = n!+ n n! n! = n!( n 1). P rt t x n = n!( n 1) é s çã q çã q x 1 = 1 r s r str q q q r q çã r ç s r r r ã ê s r tr s r q çã r x n+1 = x n +g(n) r a n é s çã ã x n+1 = f(n)x n tã s st t çã x n = a n y n tr s r q çã y n+1 = y n +g(n)[f(n)a n ] 1 Pr st t s x n = a n y n q çã t s a n+1 y n+1 = f(n)a n y n +g(n). r ót s a n é s çã x n+1 = f(n)x n tã a n+1 = f(n)a n st t s st r s t t s f(n)a n y n+1 = f(n)a n y n +g(n) s st q çã r f(n)a n té s y n+1 = y n +g(n)[f(n)a n ] 1 1 s 1 tr és r çã x n+1 = (n+1)x n tã r

q çõ s r ç s r s r r r n = 1 x = x 1 n = x 3 = 3x n = 3 x 4 = 4x 3 n 1 x n = nx n 1 t s té s x n = 3...n = n! q x 1 = 1 P rt t s çã ã x n+1 = (n+1)x n é n! 3 s s st t çã x n = n!y n té s (n+1)!y n+1 = (n+1)n!y n + n (n+1)! s r (n+1)! y n+1 = y n + n tã r n = 1 y = y 1 + n = y 3 = y + n = 3 y 4 = y 3 + 3 n 1 y n = y n 1 + n 1 s té s y n = y 1 ++ + 3 +...+ n 1 x 1 = a 1 y 1 tã 1 = 1!y 1 y 1 = 1 y n = 1++ + 3 +...+ n 1 = n 1 é s s n t r s P r 3ã P rt t x n = n!( n 1) s çõ s f g s sã st t s s r s r q çã r ç s r r r r s s s q çõ s t s st t s st s f é st t gt é çã st t tã q çã s r s r t r x n+1 = ax n +b sã st t s a 0 s çã r r x 0 t s x n = ) ( n 1 n 1 a x 0 + ( n 1 i=0 r=0 i=r+1 a ) = x 0 a n +ba n 1 +ba n +...+b = x 0 a n +b(a n 1 +a n +...+1) n 1 = x 0 a n +b a n r 1. r=0 b ( n 1 ) a i=n

rt t s s çõ s s q çõ s t s st t s P rt t x n = x 0 a n +ba n 1 n 1 a r r=0 ss t s q r a = 1 x n = x 0 +b n 1 x n = x 0 a n +ba n 1 n 1 r=0 P rt t s çã q çã é r=0 1 = x 0 +bn r a 1 a r = x 0 a n +ba n 1(1 a n ) 1 a 1 = a n x 0 +b an 1 a 1 x n = x 0 +bn, r a = 1 r a 1 x n = a n x 0 +b an 1 a 1, b = 0 tã s çã q çã é s x n = a n x 0 rt t s s çõ s s q çõ s t s st t s st s çã 3 s á s r ê t t çã s s çõ s s q çõ s r ç s r s r r r t s s t t s 3 s a b ã s s çã r x n = a n ( x 0 b b 1 a = t t s x n = a n (x 0 t)+t 1 a s q s a = 1 tã x n = x 0 +bn q s b = 0 tã x n = a n x 0 ) + b 1 a s s str rt t s s çõ s s q çõ s r ç s r s t s st t s q n s s s às çõ s s s r s s st t s a b 1 rt r é r 3 r s x n s r s st s í és t r r rt r çã q r r t t r t q t r x 0 t s s sõ s r s t s ss r r s t s x n+1 = (1 q)x n +x 0

q çõ s r ç s r s r r r a x 0 x n rt t s çã a 1 t x n = x 0 st t a > 1 x 0 > t x n > t r s t r t r + a > 1 x 0 < t x n < t r s t r t r 0 < a < 1 x 0 > t x n > t r s t r t r t 0 < a < 1 x 0 < t x n < t r s t r t r t 1 < a < 0 x 0 t s t r t r t a = 1 x 0 = t st t a = 1 x 0 t r t s t tr x 0 s n r t x 0 s n í r a < 1 x 0 t r t s s tr t s t s rt t s s çõ s r a b ã s b x n rt t s çã b > 0 x n > x 0 r s t r t r + b < 0 x n < x 0 r s t r t r rt t s s çõ s r q çã s çã t s q a = 1 q b = x 0 P rt t [ x n = (1 q) n [(1 q) n 1] x 0 +x 0 (1 q) 1 = (1 q)n x 0 1 1 ] + x 0 q q é q t r s st s í n és t r 0 < 1 q < 1 lim x n = x 0 n q s ss r t r x n x 0 t s st 3 r q 1 s s s t s q çõ s ç t r r t çã rá s r s t s s çõ s x n+1 1 x n = 1,x 0 = 1 çã s q a = 1 b = 1 s çã x n = ( ) n 1 + ( 1 ) n 1 1 = ( ) n 1 ( ) n 1 + = ( ) n 1

rt t s s çõ s s q çõ s t s st t s a x 0 rt t s çã a > 1 x 0 > 0 r s t r t r + a > 1 x 0 < 0 r s s t r t r a = 1 st t 1 < a < 0 s tór r t r 0 0 < a < 1 r s t r t r 0 a = 1 s tór tr x 0 s n é r x 0 s n é í r a < 1 r t s s tr t s t s rt t s s çõ s r t r t r s t r s st s í 0 x 0 4 x 0 +(x 0 qx 0 ) 8 x 0 +(x 1 qx 1 ) 1 x 0 +(x qx ) n+1 x 0 +(x n qx n ) r s st s í t s q t = b 1 a = 1 1 1 = 0 < a < 1 x 0 = 1 < = t x n = ( ) n 1 < t = r t n t r x n é r s t r t r t = q çã t t r r s r x 0 = 3 çã ( ) n 1 3+ ( ) n 1 1 ( ) n 1 ( ) n 1 + = + ( ) n 1 x n = 1 = 3 ( ) n 1 t s r q x 0 = 3 > = t x n = + > = t t s q x n é r s t r t t t = rá r str rt t s s çõ s s q çõ s s t s q çã r ç s q çã f é st t çã ã é s r s r

q çõ s r ç s r s r r r r rt t s s çõ s x n+1 = ax n +g(n), a R a 0 g : N 0 R P r t r çã x 0 s çã é r n 1 x n = a n x 0 +a n 1 a r g(r). r=0 r t é r r t çã r ss r rrê r 1 str rt t ár r t s r r s q ê (x n ) q é s çã q çã r ç s r r r r 1 tr r t s r s r r s t s ss s 0,1, 3 4 str çã ss r t r s t õ s q ár tr â s 1 ár r ss

rt t s s çõ s s q çõ s t s st t s ár r ss ár r ss st ç ór r ár ss q q r çã s q A 0 = 1 tã é ár r ss é ár r ss A 1 = A 0 +3 1 9 A 0 = 1+3 1 9 = 4 3 A = 1+3 1 9 +3 4 1 9 1 9 = 4 3 + 4 7 = 40 7 A 10 = 1+3 1 9 +3 41 ( ) 1 +3 4 9 ( ) 3 1 +...+3 4 9 9 ( ) 10 1 9 é ár r ss ss t s q ár r ss n+1 é q çã r ç s A n+1 = A n +3 4 n ( ) n+1 1 4 n A 0 s A n+1 = A n +A 0 9 3 n+1 A 0 = 1 t s q q çã a = 1 g(n) = A 0 4 n P rt t A n = 1 n +1 n 1 n 1 r=0 tã 3n+1 1 r 4 r 3 r+1 n 1 A n = 1+ 1 r 4 r r=0 n 1 = 1+ 1 3 ( r=0 3 r+1 ) r ( 4 9 = 1+ 1 1+ 4 ( 4 3 9 9) + +...+ [ ) n )] = 1+ 1 3 = 1+ 3 5 é ár r ss n 1( 1 ( 4 9 [ 1 1 4 9 ( 4 9 ) n ] ( ) ) n 1 4 9

q çõ s r ç s r s r r r ss ss 10 t s n A 10 = 1+ 3 5 [ 1 ( ) n 4 0 9 lim A n = lim 1+ 3 n n 5 ( ) ] 10 4 = 1,5998 9 [ 1 ( ) n ] 4 = 1+ 3 9 5 = 8 5 s r n s t t r ár r t s st 3 r 8 5 = 1,6 P rt t A n é r s t r t r 8 5 rá r str rt t ár çã ú r ss s r rt t ár çã ú r ss s çã s r r s 1 st s r s s r r s r ç t r ç ét r s çã q çõ s r ç s r s r r r s q çõ s r

çã s r r s 1 x n+1 = x n +g(n) t s q x n+1 x n = g(n) çã s q x n = g(n) s r r t r ç 1 s s r s t s P rt t x n +c 1 = 1 g(n) x n = 1 g(n)+c, c é st t r r trár 1 tr r t r â r s P rt s tr â q át r s r t t s s t s r çõ s r s s t s é s s três s tr â s q tr s tr â s s rt r s três t s é s t t s s ért s tr â s tr â tr ss ós r r ss t s três tr â s s s s t tr â ós s ss t s tr â s s é 1 4 tr â r st r ss t t r str q tr ss s r ss s r t r r â r s t s r s q t t t n és tr â q q r é st t í r q s ó s ró r t q r t r 3 s t s ç õ s q ár tr â s s x n ár rt r n és ss ár rt r r r ss é

q çõ s r ç s r s r r r x 1 = 1 4 1 = 1 4 s ss é t r r ss é x = 1 4 1+3 1 4 x 3 = x +9 1 4 ( ) ( ) 1 1 1 = x 1 +3 1 = 7 4 4 16 = 0,4375 ( 1 4 ) ( ) 3 1 = x +3 = 37 4 64 = 0,57815 (n+1) és ss t s q çã r ç s x n+1 = x n + 3n 4 n+1 x 0 = 0 s tr â ã ss rt r ss s çã t s x n = 1 1 4 ( ) n 3 +c 1 = 1 4 4 1 ( ) n 3 +c 1 c 1 é st t r 4 1 a n = an a 1 +c t q c é st t r á str ít tã ( 3 x n = 1 4 4 ) n 3 4 1 +c x 0 = 0 tã x 0 = c r n és ss é +c 1 = c ( ) n 3 t q é st t r 4 ( ) 0 3 c 1 = 0 c = 1 P rt t ár rt 4 x n = 1 ( ) n 3 4 ( ) 10 3 é ss ár rt r é x n = 1 = 0,943686 4 ( ) ú r ss s é s t t r st é q n n 3 0 lim 4 x n = 1 P rt t x n é r s t r t r n s ár rt r t ár tr â rá r str rt t ár r çã ú r ss s

çã s r r s 1 r rt t ár r r â r s çã ú r ss s 1 P s r s r 1 tr és s r r s r ç t r ç s q ár r ss n + 1 é q çã r ç s A n+1 = A n +3 4 n ( 1 9) n+1 A 0 s A n+1 = A n +A 0 4 n tã s çã t s q A n = 1 3 n+1 A 0 = 1 A n+1 = A n + 4n 3 n+1 4 n 3 n+1 +c 1 = 1 3 1 ( ) n 4 +c 1 9 c 1 é st t r P r t s q

q çõ s r ç s r s r r r ( ) n 4 = 9n 4 n 4 n 9 n 9 9 n 9 n+1 = 9n (4 n+1 4 n ) 4 n (9 n+1 9 n ) 9 9 n = 9n 3 4 n 4 n 8 9 n 9 9 n = 3 4n 4 n 8 9 9 n = 5 ( ) n 4. 9 9 s r r r ç s s r s t s P rt t ( ) n 4 +c = 5 9 1 ( 4 9 ) n = 9 5 9 1 ( 4 9 ( ) n 4 9 ) n +c 3. A n = 1 ( 9 ( ) n ) 4 +c 3 +c 1 3 5 9 A n = 3 ( ) n 4 +c. 5 9 A 0 = 1 t s q 1 = 3 5 +c c = 1+ 3 5 = 8 5 P rt t A n = 8 5 3 5 ( ) n 4 = 1+ 3 [ 1 9 5 ( ) n ] 4 9 é ár ss n 1 Pr s r t s r t s r t s t s q s s r r s t s r str r s str t r s q r s t s q s s r r s t s r s r s q

çã s r r s 1 r r t r r s q r s r r str çã t 3 s r t s q r q r s str çã t 3 s s r t s s q r q r t r r str çã t 3 s três r t s s q r q r õ s t çã str çã q r s q r s t r rã s r r P r t s t s r t s s rã ssár s r str r n és q r q r çã s q x 1 = 4 r t s 1 r t s x = 1 r t s r t s s x 3 = 4 r t s 3 r t s s s x = 1 = 4+4 x 3 = 4 = 1+4 3 ss s ss t ú r r t s s t s 3 q çã r ç s

q çõ s r ç s r s r r r x n+1 = x n +4(n+1) g(n) = 4(n+1) ss s çã s q x n = 1 4(n+1)+c 1 = 4( 1 n+ 1 1)+c 1 (I) s ít q 1 n = n(n 1) +c (II) 1 1 = n+c 3 (III) c 1,c c 3 sã st t s r trár s r s s st t s (II) (III) (I) t s ( n(n 1) x n = 4 ) +n +c x n = 4 ( ) n +n n +c x n = n(n+1)+c x 1 = 4 tã x 1 = 1(1+1)+c 4 = 4+c s c = 0 P rt t r str r s n és q r q r s rã ssár s x n = n(n+1) r t s 1 s r t C 0 t 1 s r s r tr r r s t s ss s k s s s q r r s s s s s C n+1 = C n +rc 0 çã C n+1 = C n + rc 0 tã s çã s q C n = 1 rc 0 + c 1 s r s q rc 0 é st t tã C n = rc 0 1 1+c 1 = rc 0 (n+c )+c 1 c 1 c sã st t s r s C n = rc 0 n+c c é st t r P r n = 0 t s q C 0 = rc 0.0+c c = C 0 P rt t r r s t ss s k s s s rá C k = rc 0 k +C 0 = C 0 (1+rk)

çã s r r s 1 1 x n ú r á1 r õ s q n ír s r r t r 3 x n r rs t tr s çã r rrê çã s q n é t r ã q r n = 1 x 1 = r n = x = 4 r n = 3 x 3 = 8 s x = x 1 +.1 x 3 = x +. ss s ss t ss r n+1 ír s t s q q çã r ç s r r r r x n+1 = x n +n s çã s q x n = 1 n+c 1 = n(n 1) c 1 c sã st t s r s r trár s +c r n = 1 x 1 = t s x 1 = 1 1+c c = P rt t ú r á1 r õ s t r s r n ír s é x n = n(n 1) = n n+ P r q çõ s r ç s r s r r r r n 1 s q x n = x n0 x n+1 = f(n)x n +g(n) i=n 0 f(i) é s çã r q çã ê x n+1 = f(n)x n r r x n0 n n 0 0 3 s P(n) = n 1 i=n 0 f(i) tã

q çõ s r ç s r s r r r x n = x n0 P(n) x n0 = x n P(n) ( ) xn = x n+1 P(n) P(n+1) x n P(n) = x n 0 = 0 t s s s r s q çã ê r s x n+1 P(n+1) = f(n)x n P(n+1) = n f(n) x n = f(i) i=n 0 x n+1 P(n+1) x n P(n) = 0 f(n) f(n) n 1 f(i) i=n 0 1 P(n+1) t s x n = x n P(n) t s r s s r s q çã ã ê r t s x n+1 P(n+1) = f(n)x n P(n+1) + g(n) P(n+1) = x n P(n) + g(n) P(n+1) 1 P(n+1) ( ) xn = g(n) P(n) P(n+1) s r r 1 s s r s t s ( ) x n g(n) P(n) +c 1 = 1 P(n+1) c 1 é st t r r trár P rt t t s q ( ) g(n) x n = P(n) 1 +cp(n), P(n+1) c R é s çã r q çã ã ê s q r q çã ê ss g(n) = 0 x n = cp(n) é s s çã r q c = 0 t s q ( ) g(n) x n = P(n) 1 P(n+1)

çã s r r s 1 é s çã rt r q çã ã ê 1 rr ó 3 q t s t n s s r â tr s r t s t s s s st s r r r r s t â tr s r 1 s s s r t s tr s rí s r t r r s s 1 r r ss tr s rê 3 s s s r tr s s r s r s r s r t s st ss s t r r r t s tr s rê s s s r tr s r t s r á s t r r r r s t rr ó r rr ó t r ss t r çã x n ú r t s ssár s r r n s s r r n+1 s s sã ssár s x n t s r r s n s s r s 1 t r r (n+1) és s r t r r x n t s r r s n s s s r t r r t s q çã r ç s r s r r r x n+1 = x n +1 x 0 = 0 f(n) = g(n) = 1 P(n) = n 1 t s q i=0 ( 1 x n = n )+c 1 n+1 1 n x n = n 1 = n tã s çã ( ) n 1 +c 1 n (I)

q çõ s r ç s r s r r r ( 1 ) n 1 ( 1 ) n = ( ) n 1 +c 1 = +c 1 c 1 c sã st t s r s x n = n [ ( ) n ] 1 +c +c 1 n x n = 1+ n (c 1 +c 3 ) = c. n 1 x 0 = 0 tã 0 = c. 0 1 tã c = 1 P rt t ú r t s ssár s r r n s s r t r r é x n = n 1 + t s q q n n x n é r s t r t r rá r str rt t ú r t s çã ú r s s r rt t ú r t s çã ú r s s 1 s r t C 0 t 1 s r s r tr r r s t s ss s k s s s q r r s s st s C n+1 = C n +rc n çã s q C n+1 = (1+r)C n tã f(n) = 1+r g(n) = 0 P(n) = n 1 (1+r) = (1+r) n i=0

çã s r r s 1 tã s çã s q C n = c(1+r) n C 0 = c(1+r) 0 = c tã r r s t s ss s k s s é C k = C 0 (1+r) k

q çõ s r ç s r s s r st ít 3 s st s q çõ s r ç s r s s r st s s r r s t ô r t ríst ss ô r r s t r s çã ss s q çõ s r 3 s t é r sã s t s r r r s ssã s s çõ s s q çõ s r ç s r s s r s t s rt t ss s s çõ s r s t s s t çõ s r t 1t 3 s s rá s q str rt t s s çõ s r r s r t r çã a 0 a 1 a st t s r s a 0 0 çã g : N 0 R q çã r ç s r s r t s st t s é s r t r a 0 x n+ +a 1 x n+1 +a x n = g(n), r t n N 0 r st ít s r s s s s a 0 = 1 tã q çã é s r t x n+ +px n+1 +qx n = g(n), a 1 = p a = q s s r r s P P s s r çõ s t s ít s s q E x n = x n+ q çã s r s r t r E x n +pex n +qx n = g(n) (E +pe +q)x n = g(n)

q çõ s r ç s r s s r P(E)x n = g(n), t q P(E) = E +pe +q s t é q r ít E é r r r E P(E) sã r s q st tr í r st t q çã ô P(E) s r s r t r t r P(E) = (E r 0 )(E r 1 ) r 0 r 1 sã s r í3 s ô r t ríst 1 r P(r) = r +pr+q r C q çõ s r s ê s 3 s q q çã é ê q g(n) = 0 tã t s x n+ +px n+1 +px n = 0 P(E)x n = 0, r t n t r 1 q çã x n+ +5x n+1 +6x n = 0 n N 0 s r r s r t r P(E)x n = 0 t t s (E +5E +6)x n = 0 s s tã q çã 1 r r +5r+6 = 0 tê s r 0 = r 1 = 3 q sã s r í3 s ô r t ríst P(r) = 0 P rt t P(E) = (E + )(E + 3) é r t r P(E) s s r r q çã r (E +)(E +3)x n = 0 3 s r r sã s t s r r r r r sã r s çã s q çõ s r ç s r s s r ss s q çã A tr 3 m n st é A R m n X,Y t r s n 1 t é α R s q A é r r r s A(X +Y) = AX +AY A(αX) = αax çã A R m n tã ú A é s s ç Ker(A) = {X R n 1 : AX = 0}

q çõ s r s ê s 0 é t r m 1 q r çã r t r s Ker(A) rt Ker(A) t s X,Y Ker(A) tã AX = 0 AY = 0 A(αX +βy) = αax +βay = α 0+β 0 = 0 Ker(A) çã k N 0 1 k n t k t r s Ker(A) r st s ç s t r Ker(A) r s r t çã r ss s t r s çã k r r s k t r s Ker(A) r r t t tã t s s ss s s ç çã sã s s ç Ker(A) é ú r t r s q q r s ss s s ç r r s t s r dim[ker(a)] dim[ker(a)] = k tã q q r k t r s r t t s Ker(A) r s ss s s ç P r s q çõ s r s s r t s q k = s ç r s s çõ s s q çõ s r ç s r s t r s s ã rt s s rá s r t s r t s t s 3 r r t s r S t s s çõ s q çã r ê s r P(E)x n = 0 tã Ker(P(E)) = {x n S : P(E)x n = 0} {f 1,f } s Ker(P(E)) s çã q çã s r s r t ú çã r s s q ê s st s s t é dim[ker(p(e))] = q é r ô r t ríst t P(E)x n = 0 x n+ +px n+1 +qx n = 0 tã x n+ = (px n+1 +qx n ). s s çõ s s x 0 x 1 s r t q çã r t t r s s t r s s q ê (x n ) s çã ss q çã s t é q x 0 x 1 s r st t s r trár s t r (x 0,x 1 ) T t r s çã q çã rs 1 st rr s ê ú tr t s s çõ s ss q çã t t r s é ssí str r t r s x i = q sã r t t s dimker(p(e)) = st t é s s ç ( ) T x (i) 0,x (i) 1 i {1,} s çõ s q çã { x (1),x ()} é s Ker(P(E))

q çõ s r ç s r s s r çã q r s Ker(P(E)) = 0 é s st t s çõ s st r r q x (1) 0 x () 0 x (1) 1 x () 1 st t r t é s r t 0 1 q çã x n+ +5x n+1 +6x n = 0 n N 0 çã 1 t s q P(E) = (E +)(E +3) ( ) n+ +5( ) n+1 +6( ) n = 4( ) n 10( ) n +6( ) n = 0 ( 3) n+ +5( 3) n+1 +6( 3) n = 9( 3) n 15( 3) n +6( ) n = 0 t s q ( ) n ( 3) n sã s çõ s q çã x (1) 0 x () 0 x (1) = ( ) 0 ( 3) 0 ( ) 1 ( 3) 1 = 3+ = 1 0 1 x () 1 P rt t x (1) n = ( ) n x () n = ( 3) n é x n+ +5x n+1 +6x n = 0 r s r í3 s q çã 1 r r +pr+q = 0 r 0 r 1 sã ã s st t s tã x n = C 0 r n 0 + C 1 r n 1 é s çã q çã x n+ + px n+1 + qx n = 0 q sq r q s s r s s st t s C 0 C 1 Pr C 0 C 1 st t s r s q sq r st t s x n = C 0 r n 0+C 1 r n 1 x n+ +px n+1 +qx n = 0 q çã C 0 r0 n+ +C 1 r1 n+ +p ( ) C 0 r0 n+1 +C 1 r1 n+1 +q(c0 r0 n +C 1 r1) n = 0 tã 3 s s r t s s t r s tê s C 0 r n 0 (r 0 +pr 0 +q)+c 1 r n 1 (r 1 +pr 1 +q) = }{{} hip. C 0 r n 0 0+C 1 r n 1 0 = 0 r s r í3 s q çã 1 r r +pr+q = 0 r 0 r 1 sã ã s st t s tã t s s s çõ s q çã x n+ +px n+1 +qx n = 0 sã r x n = C 0 r n 0 +C 1 r n 1 t q C 0 C 1 sã st t s r s

q çõ s r s ê s Pr x n s çã q q r x n+ +px n+1 +qx n = 0 P r n = 0 t s q C 0 +C 1 = x 0 tã C 1 = x 0 C 0 P r n = 1 t s q C 0 r 0 +C 1 r 1 = x 1 st t s t s C 0 r 0 +(x 0 C 0 )r 1 = C 0 (r 0 r 1 )+x 0 r 1 = x 1 C 0 = x 1 x 0 r 1 r 0 r 1 C 1 = x 0 x 1 x 0 r 1 r 0 r 1 = x 0(r 0 r 1 ) x 1 +x 0 r 1 r 0 r 1 = x 0r 0 x 1 r 0 r 1 y n = x n C 0 r n 0 C 1 r n 1 q r s str r q y n = 0 r t t r n s st t s q çã y n q çã y n+ +py n+1 +qy n = 0 t s x n+ C 0 r0 n+ C 1 r1 n+ +p ( ) x n+1 C 0 r0 n+1 C 1 r1 n+1 +q(xn C 0 r0 n C 1 r1) n = 0 tã 3 s s r t s s t r s tê s (x n+ +px n+1 +qx n ) C 0 r n 0 (r 0 +pr 0 +q)+c 1 r n 1 (r 1 +pr 1 +q) = }{{} hip. 0 r n = 0 t s q C 0 +C 1 = x 0 tã y 0 = C 0 +C 1 C 0 C 1 = 0 r n = 1 t s q C 0 r 0 +C 1 r 1 = x 1 tã y 1 = C 0 r 0 +C 1 r 1 C 0 r 0 C 1 r 1 = 0 1 ú r s r q r s t ít s q t r q ê (1,1,,3,5,8,...) r s t s s s t r s t r r s r 3 s q t q çã r ç s r s r F n+ = F n+1 +F n F n é ú r r s s n és ês F 0 = F 1 = 1 s r r s t t s

q çõ s r ç s r s s r (E E 1)F n = 0 s P(E)F n = 0 q çã r t ríst r r 1 = 0 s r í3 s sã r 0 = 1+ 5 r 1 = 1 5 r s çã r é ( 1+ 5 F n = C 0 r t n t r s t é q ) n +C 1 ( 1 ) n 5 C 0 = x 1 x 0 r 1 r 0 r 1 = 1+ 5 1 1 1 5 ( 1 5 ) = 1+ 5 ( = 1 1+ ) 5 5 5 C 1 = x 0r 0 x 1 r 0 r 1 = 1 1+ 5 ( 1 = 1 5 5 1 ) 5 P rt t s F n = 1 ( ) ( 1+ 5 5 F n = 1 5 ( 1+ ) n 5 1 ( ) ( 1 5 5 1+ ) n+1 ( 5 1 1 ) n+1 5 5 1 ) n 5 é ú r s r rê s r s q F n é s r ú r t r s r r s r 3ã s t r s s ss s s q ê t s s q ê X n = F n+1 F n

q çõ s r s ê s lim X n = lim n n ( 1 5 ( 1 5 1+ ) n+ ( 5 1 5 1+ 5 ) n+1 ( 1 5 1 ) n+ 5 1 5 ) n+1 s r s r çã ( 1 5 ( 1 5 1+ ) n+ ( 5 1 5 1+ 5 ) n+1 ( 1 5 1 ) n+ 5 1 5 ) n+1 t s r r r r tã t s 1+ 5 ( 1 5 1+ 5 ) n+1 ( 1 ) n+1 5 1 ( ) n+1 ( 5 1 )( 5 1 5 1+ 5 ( 1 ) n+1 5 1 ( ) n+1 ( 5 1 5 1+ 5 X n = 1+ 5 ( 1 ) n+1 5 0 < 1+ < 1 tã 5 lim X n = lim n n 1+ 5 ( 1 )( 5 1 5 1+ 5 ( 1 ) n+1 5 1 1+ 5 ) n+1 ) n+1 ) n+1 ( 1 )( 5 1 ) n+1 5 1+ 5 ( 1 ) n+1 = 1+ 5 = 1,618 5 1 1+ 5

q çõ s r ç s r s s r P rt t é r rçã á r ú r r F n+1 lim = φ n F n r str rá q s r rt t X n r rt t X n s r í3 s q çã r t ríst r + pr + q = 0 r 1 s st é s r 0 = a + bi r 1 = a bi tã s r s r 0 r 1 r tr étr s r 0 = ρ(cosθ+isenθ) r 1 = ρ(cosθ isenθ) ρ = a +b é ó 1 r = a + bi a b r s s q cosθ = a ρ senθ = b t q ρ θ [0,π[ é r t í r s t é q r n 0 = ρ n (cos(nθ)+isen(nθ)) q r n 1 = ρ n (cos(nθ) isen(nθ)) s çã x n = C 0 r n 0 +C 1 r n 1 C 0 C 1 sã st t s r s s r s r t r x n = ρ n [(C 0 +C 1 )cos(nθ)+i(c 0 C 1 )sen(nθ)] 3 s C 0 = C 0 +C 1 C 1 = C 0 C 1 t s

q çõ s r s ê s ] x n = ρ [C n 0cos(nθ)+iC 1sen(nθ), r t t r n 1 s q çã x n+ +x n+1 +x n = 0 çã s (E +E+)x n = 0 tã r +r+ = 0 é q çã r t ríst s r í3 s sã s 1 s r 0 = 1 + i r 1 = 1 i ρ = cosθ = senθ = θ é r t s t í tã θ = 3π P rt t 4 s çã s q x n = ( ) n [ ( C 0cos n 3π 4 ) ( +ic 1sen n 3π 4 )] C 0 C 1 sã st t s r s r s r str s çã q çã r ç s ê s r q s r í3 s ô r t ríst sã s s q r 0 = r 1 = r r q çã (E r) x n = 0 n N 0 é r {r n,nr n } s s çã r é x n = C 0 r n +C 1 nr n Pr P s s r çõ s t r r s s s q r é r 3 q çã r t ríst r +pr+q = 0 ss P(E) = (E r) = E re+q tã p = r s r = p st t s x n = C 0 r n +C 1 nr n q çã x n+ +px n+1 +qx n = 0 t s q C 0 r n+ +C 1 (n+)r n+ +p(c 0 r n+1 +C 1 (n+1)r n+1 )+q(c 0 r n +C 1 nr n ) = 0 3 s s r t s s t r s tê s C 0 r n (r +pr+q)+c 1 nr n (r +pr+q)+c 1 r n+1 (r+p) ( ) ) p = 0+0+C 1 r ( n+1 +p = 0 }{{} hip.

q çõ s r ç s r s s r r s r í3 s r 0 r 1 q çã r t ríst r +pr+q = 0 ss P(E) = (E r) sã s st é r 0 = r 1 = r ã s tã t s s s çõ s q çã (E r) x n = 0 sã r x n = C 0 r n +C 1 nr n C 0 C 1 sã st t s r s Pr x n s çã q q r (E r) x n = 0 P r n = 0 t s q C 0 = x 0 P r n = 1 t s q C 0 r+c 1 r = x 1 st t s t s x 0 r+c 1 r = x 1 C 1 = x 1 x 0 r r y n = x n C 0 r n C 1 nr n q r s str r q y n = 0 r t t r n tã s st t s y n q çã y n+ +py n+1 +qy n = 0 t s x n+ C 0 r n+ C 1 (n+)r n+ +p(x n+1 C 0 r n+1 C 1 (n+1)r n+1 )+ q(x n C 0 r n C 1 nr n ) = 0 3 s s r t s s t r s tê s (x n+ +px n+1 +qx n ) C 0 r n (r +pr+q) C 1 nr1 n (r +pr+q) C 1 r n+1 (r+p) ( ) ) p = 0 0 0 C 1 r ( n+1 +p = 0 }{{} hip. r n = 0 t s q C 0 = x 0 tã y 0 = x 0 C 0 = C 0 C 0 = 0 r n = 1 t s q C 0 r+c 1 r = x 1 P rt t y 1 = x 1 C 0 r C 1 r = C 0 r+c 1 r C 0 r C 1 r = 0 s s y n+ +py n+1 +qy n = 0 y 0 = y 1 = 0 tã y n = 0 r t n t r 1 ê s çã r s çã rt r q çã x n+ 4x n+1 +4x n = 0

q çõ s r s t s s x 0 = 3 x 1 = 5 çã s q (E 4E +4)x n = 0 (E ) x n = 0 s r 0 = r 1 = sã s r í3 s q çã r t ríst r 4r+4 = 0 tã r t s q { n,n n } é q çã x n = C 0 n +C 1 n n é s çã r C 0 C 1 sã st t s r s s t é q C 0 = 3 C 1 = x 1 x 0 r r = 5 3 = 1 P rt t x n = 3 n n 1 n é s çã rt r x n+ 4x n+1 +4x n = 0 q çõ s r s t s s q q çã é t q g(n) 0 r t t r r q á s t t r r t s r r q q q r s çã q çã r ç s r t é s s çã q çã ê ss s çã rt r q çã t s r s x n = y n + z n y n é s çã r q çã ê ss z n é s çã rt r q çã t P r t r r z n s s té ô r Q(E) q s r q çã st é Q(E)g(n) = 0 r t t r t r s r é s r t r r Q(E) r r R tã r r (E r) r n nr n Pr

q çõ s r ç s r s s r t (E r) r n = (E re +r )r n = E r n rer n +r r n = r n+ r n+ +r n+ = r n+ r n+ = 0 (E r) nr n = (E re +r )nr n = (r n+ r n+ )n = 0n = 0 1 ê s çã r q çã r ç s r x n+ x n+1 6x n = ( ) n çã s r í3 s q çã r t ríst ss r r 6 = 0 sã r 1 = r = 3 P(E)x n = (E +)(E 3)x n = ( ) n t s çã r y n = C 0 ( ) n +C 1 3 n C 0 C 1 sã st t s r s P r ô r ( ) n é Q(E) = (E +) s Q(E) s s r s q çã t s Q(E)P(E)x n = Q(E)( ) n = 0 r t t r tã s çã r q çã ê ss (E +) ( ) n = 0 é z n = C ( ) n +C 3 n( ) n C C 3 sã st t s r s tã z n+1 = C ( ) n+1 +C 3 (n+1)( ) n+1 = C ( ) n nc 3 ( ) n C 3 ( ) n z n+ = C ( ) n+ +C 3 (n+)( ) n+ = 4C ( ) n +4nC 3 ( ) n +8C 3 ( ) n

q çõ s r s t s st t s st s r s t s q çã té s (4C +4nC 3 +8C 3 )( ) n +(C +nc 3 +C 3 )( ) n (6C +6nC 3 )( ) n = ( ) n 10C 3 = 1 = C 3 = 1 10 tã x n = y n +z n 3 s C 0 +C = C 4 t s = C 0 ( ) n +C 1 3 n +C ( ) n + 1 10 n( )n = (C 0 +C )( ) n +C 1 3 n + 1 10 n( )n. x n = C 4 ( ) n +C 1 3 n + 1 10 n( )n q é s çã r q çã x n+ x n+1 6x n = ( ) n ró1 t r str tr r s çã q çã r ç s t s q s ç s çõ s rt r s s q çõ s r ç s t s s q çã ê ss s r s s s s s r s s q çõ s t s s r Q 1 (E) Q (E) tã Q 1 (E)Q (E) g(n)+h(n) st é [Q 1 (E)Q (E)][g(n)+h(n)] = 0 P(E)z n = g(n) P(E)z n = h(n) tã P(E)(z n +z n) = g(n)+h(n) 1 ê s çã r q çã r ç s r x n+ x n+1 6x n = ( ) n +5 n çã s r í3 s q çã r t ríst ss r r 6 = 0 sã r 1 = r = 3 P(E)x n = (E +)(E 3)x n = ( ) n +5 n tã s çã r q çã r ç s r ê ss é

q çõ s r ç s r s s r C 0 C 1 sã st t s r s y n = C 0 ( ) n +C 1 3 n s r s t q çã r ç s r x n+ x n+1 6x n = ( ) n 1 s q é s çã rt r st q çã z n = C ( ) n + 1 10 n( )n s r s r q çã x n+ x n+1 6x n = 5 n q çã ê ss é s x n+ x n+1 6x n = ( ) n Q (E) ô r 5 n tã r s q Q (E) = (E 5) (E 5) 5 n = 0 z n = C 4 5 n +C 5 n5 n z n+1 = C 4 5 n+1 +C 5 (n+1)5 n+1 = 5C 4 5 n +5nC 5 5 n +5C 5 5 n z n+ = C 4 5 n+ +C 5 (n+)5 n+ = 5C 4 5 n +5nC 5 5 n +50C 5 5 n st t s st s r s t s q çã x n+ x n+1 6x n = 5 n té s (5C 4 +5nC 5 +50C 5 )5 n (5C 4 +5nC 5 +5C 5 )5 n (6C 4 +6nC 5 )5 n = 5 n 14C 4 +14nC 5 +45C 5 = 1 = C 5 = 0 14C 4 = 1 = C 4 = 1 14 r s q P rt t x n = C 0 ( ) n +C 1 3 n +C ( ) n + 1 10 n( )n + 1 14 5n x n = C 6 ( ) n +C 1 3 n + 1 10 nn + 1 14 5n C 1 C 6 sã st t s r s é s çã r q çã

q çõ s r s t s x n+ x n+1 6x n = ( ) n +5 n 1 r r t á P r t r t á r só r á ós s t s s s t s q r t st rí s r s v á s q r r çã s rçã t st s r rí s t t s r á t s ás s q ás r r r t s t q t I á x n á s és rí 3 r s rt r tã çã r s s r s r t s q r n = 0 x 0 = I r n = 1 x 1 = I +v r r r r n = x = 1 x 1 r n = 3 x 3 = 1 x 1 +v s r r n = 4 x 4 = 1 x 3 = 1 ( ) 1 x 1 +v = 1 x + 1 v r n = 5 x 5 = 1 x 3 +v t r r r r n = 6 x 6 = 1 x 5 = 1 ( ) 1 x 3 +v = 1 x 4 + 1 v ss s ss t x n+ = 1 x n +v, s é í r 1 x n + 1 v, s é r s x n+ 1 x n = 1 4 v[3 ( 1)n ] r t t r q çã r t ríst ss r 1 = 0 t r í3 s r 0 = ( ) 1 r 1 = ( ) 1

q çõ s r ç s r s s r s çã r q çã ê ss é y n = C 0 ( ) n +C 1 ( ) n C 0 C 1 sã st t s r s s r s q çã x n+ 1 x n = 3 4 v(1)n t s q Q(E) = (E 1) é ô r s r st q çã (E 1) 3 4 v(1)n = 0 é q çã ê ss s çã é z n = C (1) n +C 3 n(1) n = C +nc 3 C C 3 sã st t s r s s t é q z n+ = C +(n+)c 3 = C +nc 3 +C 3 tã s st t s z n z n+ q çã x n+ 1 x n = 3 4 v t s C +nc 3 +C 3 1 (C +nc 3 ) = 3 4 v tã 1 C + 1 nc 3 +C 3 = 3 4 v C 3 = 0 1 C +C 3 = 3 4 v C = 3 v s r s r q çã x n+ 1 x n = 1 4 v( 1)n ô r s r é Q (E) = (E +1) (E +1) ( 1 4 v )( 1) n = 0 é q çã ê ss s çã é

q çõ s r s t s z n = C 4 ( 1) n +C 5 n( 1) n C 4 C 5 sã st t s r s s t é q z n+ = C 4 ( 1) n+ +C 5 (n+)( 1) n+ = C 4 ( 1) n +nc 5 ( 1) n +C 5 ( 1) n tã s st t s z n z n+ q çã x n+ 1 x n = 1 4 v( 1)n t s (C 4 +nc 5 +C 5 )( 1) n 1 (C 4 +nc 5 )( 1) n = 1 4 v( 1)n 1 C 4 + 1 nc 5 +C 5 = 1 4 v tã C 5 = 0 1 C 4 +C 5 = 1 4 v C 4 = 1 v P rt t x n = C 0 ( ) n +C 1 ( ) n + 3 v 1 v( 1)n = C 0 ( ) n +C 1 ( ) n + 1 v[3 ( 1)n ] é s çã r q çã r ã ê ss x 0 = I x 1 = I +v tã x n+ 1 x n = 1 4 v[3 ( 1)n ] x 0 = C 0 +C 1 + 1 v(3 1) = I C 0 +C 1 +v = I C 0 +C 1 = I v s t x 1 = 1 C 0 1 C 1 + 1 v(3+1) = I +v C 0 C 1 = (I v) 0 +C 1 = I v 0 C 1 = (I v) tã C 0 = (1+ )I (1+ )v C 0 = (1+ (I v) )

q çõ s r ç s r s s r C 1 = (I v) (1+ (I v) ) r s q tã x n = (1+ ) ( = (I v) 1 ) = (1 ) (I v) (I v) ( ) n +(1 (I v) ) ( ) n + 1 v[3 ( 1)n ] x n = (I v) ( ) n[ (1+ )+( 1) n (1 ) ] + 1 v[3 ( 1)n ] P rt t x n = (I v) ( n ) [ (1 ( 1) n )+(1+( 1) n ) ] + 1 v[3 ( 1)n ] é á s és rí 3 r s rt t s s çõ s st s r rt t s s çõ s q çã s q s s çã é r x n = C 0 u (0) n +C 1 u (1) n +z n C 0 C 1 sã st t s r s z n é s çã rt r q çã t C 0 u (0) n +C 1 u (1) n é s çã r q çã ê ss rt t s çã q çã t r t t u (0) n u (1) n z n s çõ s s x 0 x 1 s s s r s C 0 C 1 sã t r s s çõ s s s st 3 s stá q q s t r çõ s s r s x 0 x 1 ã rt t x n q n q s t r çõ s s r s x 0 x 1 r 3 r ç s s t s rt t x n t s s st é stá 3 s q q çã é t ss t t t stá s lim C 0u (0) n +C 1 u (1) n = 0 n q sq r q s s st t s r s C 0 C 1 s q sq r q s s çõ s s x 0 x 1 r á1 { r 0, r 1 } r 0 r 1 sã s r í3 s q çã r t ríst q çã ê ss q çã q çã é t ss t t t stá s só s M < 1 Pr t s q

rt t s s çõ s lim = C 0u (0) n +C 1 u (1) n = 0 C 0,C 1 R n tã lim n u(0) n = lim n u(1) n = 0 =) ó = ) s t s s s rt r s C 0 = 1 C 1 = 0 C 0 = 0 C 1 = 1 str s r q lim n u(0) n = lim n u(1) n = 0 M < 1. s r 0,r 1 R r 0 r 1 u (0) n = r0 n u(1) n = r1 n s q lim (r 0) n = lim (r 1) n = 0 r 0 < 1 n n r 1 < 1 q ê s r s r 0,r 1 R r 0 = r 1 u (0) n = r0 n u(1) n = nr1 n s q lim t é q n u(1) n = 0 r 1 < 1 é r q ê s r lim n u(0) n = lim n u(1) n = 0 r 0 < 1 r 1 < 1 s r 0 = ρcos(θ), r 1 = ρsen(θ) r 0 r 1 1 s r 0 = r 1 = ρ u (0) n = ρ n cos(nθ) u (1) n = ρ n sen(nθ) tã q ê lim n u(0) n = lim n u(1) n = 0 ρ < 1 1 1 t s q ú r é ( F n = 1 5 ( = 1 5 1+ ) n+1 ( 5 1 5 )( 1+ 5 ) n+1 1 5 1+ ) n ( 5 1 5 1 )( 5 1 ) n 5,

q çõ s r ç s r s s r r t n N 0 { ( 1+ ) 5 á1, ( 1 5 ) } ( = 1+ ) 5 > 1 P rt t r t s q q çã F n+ = F n+1 +F n ã é t ss t t t stá s r s q s 1 < t s q ( lim n ( 1 ) 5 < 0 tã s s t é q ( )( F n = 1 5 1+ 5 ( 1 ) n 5 = 0 1+ ) 5 > 1 lim n F n = + 1+ ) n ( 5 + 1 5 1 ( 1) n 5 )( ) n 5 1 tã ( F n = 1 5 1+ )( 5 1+ ) n ( 5 + 1 5 1 5 )( ) n 5 1 r t t r r ( F n = 1 5 1+ )( 5 1+ ) n ( 5 1 5 1 5 )( ) n 5 1 r t t r í r r str rá q s r rt t F n 1 1 t s q x n = (I v) ( n ) [ (1 ( 1) n )+(1+( 1) n ) ] + 1 v[3 ( 1)n ]

rt t s s çõ s r rt t F n é á s és rí 3 r s n N 0 s r s q r r r x n ( ) n 1 lim = 0 n s 0 < 1 < 1 1 v[3 ( 1)n ] > 0 s v > 0 3 ( 1) n > 0 r t t r n tã q n x n s tr s r s v s n é r s v (3 1) = v v s n v é í r s (3+1) = v

çõ s q çõ s r ç s s é st ít sã r s t s t s r s é q q çõ s r ç s sã s s r â r s rr ó q ê P r t sã r s t s t r s r rê r r ss r s s t s r t s t ú s r s t r s r t s t ó s t s s r t s s r r 3 s s s r 3 s str çõ s r s s str çõ s q s tr s çõ s str t é rá q str rt t s çã q çã r ç s r t s t s r r r 3 s t s s s t r s s r át s ã r t r st çã r çã tr s s r s t s s t s st çã sã r rt s s s tr s s s q s r r r ss r s q r t t 3 r ss t r át çã tr s r t s t s ít é 3 t s s s q rt r s t s s t s r s s s sér s é r ã s rt s rt ó s P r t r s ã Pr s t Pr t t s r â r s t s r 3 r s r r s r r ót s s r r r s t s s r str té s r s çã r t r s r s t s t s Pr r r tr r rõ s r r s s t s r â r

çõ s q çõ s r ç s s é s r s t r çõ s s ss s t 3 r t át r 1 r ss r r r s rõ s s q ê s ér s étr s r s r t ríst s rt t rá çã 1 r r çã t t t çã s r r rt ê çã t á q t s t r s r s r s r rs s t r s str çõ s étr s t ú s tr tr r t q ê s s n t r s P çã 1 t r s ê é t r r Pr t s t ó s P sq s tr r t sq s s r s s s t s t s r s t s s s r t át r s s s rsõ s stá r tr â r s s r tr â r s três t r çõ s r ré r s s ért t rt s t é rt r q q r ért tr â q q r t t r 1t r tr â r r r ç r t é s t q ért ért ú r t st t é s r t rt s r ç r t é s t q t rt ért ú r ss s ss t

t s r â r s r s t r r t r q q t r r r tr â st t r r tr â r s s s s r t rt s r t t r tr â tê s t s r s r s s t s t s r tr s rê q t tr â r s s r r rr t t tr s rê ê tr s tr s rê r õ s s tr s rê s r s t s s s t s q stõ s 1 st rã str çã s t s t s ssí s r tr r rs r t t r s 3 r 1 stê ã rã stró s r r s çã s r â r s três t r çõ s ss s r â r s r s t s s t q stã r rs t r é ssí s r r rã str çã s t s st s s r t ríst s r â r s tr és s t s t çã r P rt s tr â q át r s r t t s s t s r çõ s

çõ s q çõ s r ç s s é r s t r r t r r s s t s é s s três s tr â s q tr s tr â s s rt r s três t s é s t t s ért s tr â s tr â tr r str q tr ss s r ss s r t r r â r s t õ s q ár tr â s q ár rt r s x n n és ss Pr õ s r r t t ós sã r s s ssã t r r s s t s q stõ s s rá r ró1 ár r

t s r â r s P ss n tr â s r s r tr â r r t t x n r r r â r s çã ú r ss s r çã tr ár r ss t r r ár r ss t r çã tr ú r ss s n ár r x n Pr õ s r çã r s t tr és s st t çã x n q çã r ç s t r ár r ss str rá q r r s t ár r x n çã ú r ss s n q t ár r x n q ú r ss s n é s t t r P ss P ss r s 1 r t s s 1 s s ç s 3 çã r s tr â s rr t P í r q t r rt r s ért s q t ért s t s tr â q át r s s s ért tã r t s çã 1 r ót s s ért s ã r ç s çã r r ssár s s rr t r r s r s ért s tr â r q s rr t P t r s s t s D E t r r tr â s tã r t s çã 1 r ót Pr r s s s r r t 1 s 3 r r s rê

çõ s q çõ s r ç s s é r s st s ért s A B C çã ú r tór r t r s ss s s ç t t q s ú r tór r s s ért A s r ért B s r ért C ss t s tr ért s {A,A,B,B,C,C} r s t t r s rr t tr s 3 t s s 3 çã s s çã ú r t s ú r çã çã t r s á1 r t r P r r ú r t r çõ s ss s s s t r r t tr s 3 t s s 3 çã çã ú r t s t r çõ s çã r s rr t r tã r t s s t E q s r s s çã t r str r s tã r t s r á t r çõ s s çã Pr r s s s çã Pr r çã s ç t 3 r s r s r r D E s D é t rt E t é q q r r r ú r ú r tór s t 3 çã r á ú r ss r r q s ss s rt r ért q rá t é r r E E t ért s ú r s t 3 çã t E ss s çã t é t r r ért s rt s tã s s s t r t r çõ s r t r t s tr â r â r s s 3 çã tã r t s s s çã 1 s r tá s

t s r â r s s rr t P í r q t r s ért s q t ért s t s té s tr â q át r s tã r t s s s s çã 1 r ót Pr r s çã r s s r çã r s rê s s rr t P t é s tr â r t r s t s D E F é s s s AB BC CA r s t t s rr t P í stró s tr â DEF r tã r t s s s t D çã 1 r ót r tá s s s r t r s t s E F r s s Pr r s çã r r çã r s rê s s r r rr t t s s s s s t s d e f ss r t s s s t s A B çã t s r â r s s í s rr t r t t r r s tr â r â r s s 3 çã tã r t s s s çã 1 s r tá s s rr t P í r q t r s ért s q t ért s t s té s tr â q át r s tã r t s çã 1 r ót Pr r s s s r 3 r r r s rê s rr t P t é s tr â r t r s t s D E F é s s s AB BC CA r s t t s rr t P í stró s tr â DEF s tã r t s çã 1 r ót Pr r s s s r 3 r r r s rê

çõ s q çõ s r ç s s é tã r t s r s s t s 1 r s s t s A B C ss s r tá s s rr t 1ã s s t DE t F s t EF t D s t FD t E s rr t tr s 3 t s s 3 çã s s çã ú r t s n çã çã t r s á1 r t s s rr t tr s 3 t r r r s tã r t s s r n s s Pr r s çã r s s r s rr t t t s r t D s 3 çã t s t r r 0.5 t s r ss r s t s E F s r t s s t s té F 3 r tá s rr t s s çã r r rr t t s s s pol t s s t r s S 1 s r rr t s s çã r r rr t t s s s pol 1 t s s t s S s r rr t s s çã r r rr t t s s s pol t s s t s S 3 s r r s s t s s í s 1 t r tá s tr t s s s t s st s s s t r st L 1 = {pol} L t r { s q ê S 1 t L 1 r t L 1 s q ê S t L 1 r t L 1 s q ê S 3 t L 1 r t L 1 }]

t rr ó L 3 t r { s q ê S 1 t L r t L s q ê S t L r t L s q ê S 3 t L r t L }] L 8 t r { s q ê S 1 t L 7 r t L 7 s q ê S t L 7 r t L 7 s q ê S 3 t L 7 r t L 7 }] r s L 1 tã r t s s s Pr r s ç t s n 1 r t s r ss r L t s n ss r t té L 8 n 8 tã r t s s n s 3 çã s s r t rr ó t s t 3 r str té r 1 r r r í ó r s çã r s r r r rõ s r r s s q ê s ér s t 3 r t át r 1 r ss r r r s rõ s s q ê s ér s r s r t ríst s rt t rá çã 1 r r çã t t t çã s r r rt ê çã t á q t s t r s r s r s r rs s t r s str çõ s étr s t ú s q ê s çã 1 t r s rr s ó ê t r r

çõ s q çõ s r ç s s é Pr t s t ó s r s t s rr ó rr ó t t át r ês r s s r s r rr r st t rr stá 3 ó t ã í s s s r rr r t q ç s t s r rs t r r três s t s r r s s r ç r r s t t r r s s s s r t s q tr s r ss t s s s s r t r r s s 3 s s r s r s r r s s r t s tã r ç r tr r t 3 q q s t r ss rr r r r r r r s t s s r r s rr ó r s rr ó é st r s t três s s q s stã s s s ê tr s r r s t â tr s st é s r s s r s r s s tr s r r s s s r t r r q q s st s r t s s 1 r r s s t s r r s ás s str í s rr ó r s r r t r 3 s r r r s r s t s t s í n s s r r t s x n í t s 1 3 4 5 6 rr ó 1 õ s s s r s t s r ú r í t s x n r 3 r n é ú r s s

t q ê n 1 3 4 5 í t s x n 1 3 4 5 6 s t s r r ú r í t s t s sã r s s ssã t r r s s t s q stõ s s rá ró1 ú r í t s r çã tr ú r í t s t r r ú r í t s t r çã tr ú r s s ú r í x n t s ssár s r s tr s r r t s s n s s r r r t r r Pr õ s r çã r s t tr és s st t çã x n q çã r ç s t str rá q r r s t ú r í t s x n çã ú r s s n r r s s s t t r s q t ú r í t s x n q ú r s s n r r s t t r ú r í t s r 3 s s s tr rá r t q ê t s r r r rõ s r r s s q ê s ér s t 3 r t át r 1 r ss r r r s rõ s s q ê s ér s

çõ s q çõ s r ç s s é r s q ê ú r r r s r s r rs s t r s str çõ s étr s t ú s q ê s ú r r tr t r s í s ç r s s ê t r r Pr t s t ó s r s t s í s ç r s s s r st í r s t s q ê tr és ús r s s st s s s t s ss t s r s í s r s s s r t s r s s ã 1 st r q s s çõ s r r ês 1 st s s s s s s r s 1 t s t s s ês rt r í ê á 3 t s s s s ã á r s ét s r 3 t s í s s s s s ért á 3 s s s rr t ós r t r õ s s q stõ s s r 1 r ssã t át q r ú r s F n+ n+ és ês ú r s s s s s t r r s ( r F 0 F 1 F F n = 1 5 é ssí r 1+ 5 ) n+1 ( 1 5 1 5 ) n+1 q

t q ê n ú r s s ú r r s s x n q ê ( r r q F n = 1 5 t t 1+ ) n+1 ( 5 1 5 1 ) n+1 5 é s çã 1 r ssã stró s r rá q s r s F n çã s r s n P sq s s s r ú r r Φem tt r s t t s t r r s s s r r r t s q t tr t r s t r r q ê st é r F n+1 F n r n 0 r s q t ss s r s t s str s s t s t s r çã t t r r tr és rá str í r ss r r stró s r r s çã tâ r s r P ss P ss r tâ r s 3 çã tã r t s s s çã 1 s r tá s

çõ s q çõ s r ç s s é s rr t P í r q t r s ért s q t ért s t s té s q r s rr t P t é s BC s rr t t s s t s D E s s rr t ír s tr s s t s s s t s E D tr E r DE s rr t rr t s s t s B C s rr t P t r s t F q é t tr s rr t BC ír s rr t t P r r s t F s rr t BC s rr t t P r r s t D s rr t DC s rr t P t r s t G t rs çã s r t s r r s t s s t s s rr t t s s t s C F tã r t s s s s t CF çã r t r s s rr t P í s s t s A B F G A s tã r t s r s r s t s E C D pol1 s s 1 r ót s rr t 1 r çã s s s çã r r ér t s (a + b)/a s s rr t 1 1t çã t r s s ór t 1 t s (a+b) a = 1,6 s r t r = s s í s s r ã t r s 1 s

s t s s t s s rr t P í r q t r q r rt r s ért s q t ért s t s q AB s s s rr t r r r s t A t B t D s t t rár rr t s s çã r r rr t t s s s r r r r t C t D r át r s t a s t b s t c t s s t A t B t s r át r s r rr t r s s t s q r tr t s s t s (0,0) (1,0) s rr t r át r r t r s s r s s A B A D B F ss r t para cima, para baixo, para direita e para esquerda). 1 r çã s s s r r ér t s (m+s)/s t r (s+b 1 )/b 1 t r (b 1 +g 1 )/g 1 s 1 1t s á s t t r r s t s s t s st s çã rt t s s é s r t r s t s r st s r t s t s ss s t s sã str s r t s t r s t r t 1t s r â r s st t s s r s s t s r s r t r ê ós r 3 çã t r r çã s r s t s r s 3 s ós s s s s r r q t s s t s tr s r r s r ã 3 r str s s s s r s r t s r r r s t s t s tr s rê r ê str r t s s tr s rê s r s r st s s r r q s t s t s s s

çõ s q çõ s r ç s s é r s t r ss t r tr â s ã tr s ss r q r ã tr r tr â ír q s s t s q s tr tr â tr r s r sã s çõ s s s rr s r 3 r q s ss r s s t s r s t s r tr â r s r str s r s çã tr 3 tr s rê s str s s s r t çõ s r ê str r r str r s t str çã s r s s r r ss s r s t ss str çã ír q só s r r r q rr s r r r ç s s t r q é 3 r s r çã s t s ss r s t 1 t t r â r s str r r â r s s s r t çõ s r ê r str r s t str çã r â r s s r t çõ s r ê s str ír r r â r s ss str çã s s t r s é s r 1 st t t çã r t çã s st s tr r str r s t str çã r â r s P r r t ê s t s s sõ s t s

s t s s t s r s r s rê t r ss t r r r s çã tr s rê s t r ss t r

çõ s q çõ s r ç s s é r str çã s r t r ss t r r s r t r r s r s

s t s s t s r r â r s r t r r r st r s r r â r s t r r r í3 s ã

çõ s q çõ s r ç s s é s r s tr és çã r ss r q 3 s çõ s r í ó s s q st t s q r r s 3 r s s tr çõ s ssár s t r ss s s r tá é ã r s t r r r r çã s q tr ss s s r t s t çã r s r r str çã ss n ss n+1 P r tr r q çã r ç s r r r r q r 3 st t s r r s ár s x 1 x x x 3 x 3 x 4 x n x n+1 ír q x 0 = 0 s ss 0 ár r é rá q str rt t r r r â r s str í t r ê s r r str rá str í r r r r r â r s t r r r s t s P r r t çã q ár r s s s r ( ) n 3 s r t r st s çã 1 f : R R r f(n) = rá stá r r s t r r s t s s é 0 < 3 4 < 1 q ( lim x n = lim n 1 n ss ír q çã é ( ) n ) 3 = 1 0 = 1 4 s q r n s t t r ár r t 4

s t s s t s P s s r çõ s t s rá r s r q s s r é s r s t s s r s s s r í t çã x n ss r t é q ár r s rá 1 t t s N 0 t q ( 3 ) n 4 = 0 r rt t çã t r r t r rr ó st t s s s s r rr ó s s r t s s r ê r str çã rá r ós r 3 çã t r r çã s r s t s r s 3 s s r s 3 r t r r ê r r s r r s r s Pr r r ê r str s s rr ó r s 3 çã s r s t s t tr és r t r çã s s ír q q s t ú r s s r q r r é s á s r tá s s r s r s s s P r 1 r s s s r s três r r s r 1 3 t s r á s t r r s t r r q rt s tr s t s r r s três s s t r r s r q rt s q s tr tr s t r r q t s t r r s t s r r três r r s s s r 1 tr r r s t r r q rt s t r r s r q t s t s t s

çõ s q çõ s r ç s s é r rr ó t r ss t r r r três s s r r s r s s s t r r sã ssár s 7+1+7+1+7+1+7 = 31 t s r s r s s r r r t r r ír q ó é q r r ró1 ú r t s st 3 r s 3 s ú r t s t r r s t sã s r r s r r r q stã ê P r r t ê s t s s sõ s t s s r s tr és çã r ss r q 3 s çõ s r í ó s s q st t s q r r s 3 r s s tr çõ s ssár s s s st st t t s s s s s s s r çõ s ã t r str r q çã r ç s r r r r q r 3 st t ír t é q x 0 = 0 s s ã á s s r r ã á t r r tr r rã s q ê r s ú r s t s í s (1,3,7,15,31,63,...) tã r t s r s r r ú r st s q ê s ú r r ós s tr s é s ír q x 1 = 1 = 1 = 1 1 x = 3 = 4 1 = 1 x 3 = 7 = 8 1 = 3 1 x 4 = 15 = 16 1 = 4 1 x 5 = 31 = 3 1 = 5 1 x 6 = 63 = 64 1 = 6 1 q x n = n 1 s r s str ír rá çã q é s çã q çã r ç s q rr ó t s str st rá r r str rá str í r P r r t çã q rr ó s s s r s r t r st s çã 1 g : R R r g(n) = n rá stá r r s t r ss ír q g é r s t

s t s s t s r ú r í t s rr ó çã ú r s s t r r r r r r s s s é r q q lim x n = lim( n 1) = + n n s q r n s t t r ú r x n t s é s t t r q ê st t s s r t ê r 1 s r s t s r ós r 3 çã t r r çã s r s t s r s 3 s s s ss st r í s ç r s s s r t s t rr çõ s r t r s t çã í r q s t s st r r s çã ss s t s r q s s r ss rã q ê t s q r s st ss r s t í r t ê t s t s t r r s ós r s t çã í s r s ã t r str r q çã r ç s r s r q r 3 st t ír q F 0 = F 1 = 1 q s q 1 r ssã q t r F n ss ú r s rr s s r s t s sã ú r s t r s q sã t r s q ê

çõ s q çõ s r ç s s é r rt t çã t r r t r s s r r s s á s ssár s r r s r s q stõ s ê s tr t s r çõ s ú r s rr s r ár s s t r 3 r r sã s r r s ss s r çõ s s s s st rt t s 1 r ssã q t r s ú r s tr s s 1 r ssõ s r str çã rá r ã s ( F n = 1 1+ ) n+1 ( ) 5 + 1 n+1 5 1 5 5 r n r F n = 1 5 ( 1+ ) n+1 ( ) 5 1 n+1 5 1 5 r n í r r str rá str í r s r s r s F n+1 F n s s r r q s r s t s s st 3 r 1, 618 tã sq s r s t tt r s t t s t r r s s s r r r t r sã q r n s t t r F n+1 F n

s t s s t s r ú r s t r r r t r ú r r s r φ = 1+ 5 = 1,618 r r r s s s sõ s tr és s r çã rá r r s t r str í r t r s r t çõ s ê s str ír r tâ r r r q s s ss r tâ stã r rçã á r r str r s t ss str çã s r t çõ s ê s str ír r s r r t é r s ç r rçã á r é q str s r s

çõ s q çõ s r ç s s é r t r r t st s ã tr s s r s st s s q stõ s s s çõ s s st s s çã P ss n tr â s r s r tr â r r t t x n 1 1 1 ( 4 4 1+3 1 ) 1 +3 (1 ) ( 4 4 4 1+3+9 1 ) 3 1 +3 (1 ) ) 3 +3 (1 4 4 4 4 1+3+9+7 ( 1 ) 4 1 +3 (1 4 4 4 ) ) 3 +3 (1 +33 (1 4 4 ) 4 r r r â r s çã ú r ss s x n = 1 4 +3 ( 1 4) +3 é ár r ss n ( ) 3 1 +...+3 n 1 4 ( ) n 1 4 x n+1 = 1 4 +3 ( 1 4) +3 ( ) 3 1 +...+3 n 1 4 ( ) n 1 +3 n 4 ( ) n+1 1 4

r t r tâ r t r r á r str çã s r r t r ss t r

çõ s q çõ s r ç s s é r s r t r r r í3 s ã é ár r ss n+1 x 5 = 1 +3 ( ( ) 3 1 1 +3 4 4) +3 3 4 = 0,7669531... = 0,76, ( ) 4 1 +3 4 4 ( ) 5 1 4 x n+1 = x n + 3n 4 n+1 r t n N 0 x 0 = 0 s ss 0 ár r é s x n = 3 0 1 4 +3 ( ) 1 +3 4 = 1 4 + 3 16 + 9 3n 1 +...+ 64 4. n ( ) 3 1 +...+3 n 1 4 ( ) n 1 4 ss x n é s s n t r s P r 3ã q = 3 4 S n = a 1 (1 qn ) 1 q

r t tã ( ( ) n ) 3 x n = 1 1 4 4 ( ) 3 1 4 ( ) n 3 = 1 4 é ár r ss n r çã x 10 = 1 ( ) 10 3 = 0,94 4 x n + 3n 4 n+1 = 1 ( ) n 3 + 3n 4 ( ) n ( 3 1 = 1 + 4 4 ( )( ) n 3 3 = 1 4 4 ( ) n+1 3 = 1 4 = x n+1. 4 n+1 é r s t s s é 0 < 3 4 < 1 tã ( lim x n = lim 1 n n )( 3 4 ) n ( ) n ) 3 = 1 0 = 1 4 s r n s t t r ár r t s st s s çã x 7 = 63+1 = 16+1 = 17 t s x n+1 = x n +1 r t n N 0 x 0 = 0 s s ã á s s r r ã á t x n = n 1 r t n t r r çã x n+1 = x n +1 = n+1 1 = ( n 1)+1 = n+1 +1 = n+1 1 = n+1 1

çõ s q çõ s r ç s s é n 1 3 4 5 í t s x n 1 3 4 5 6 s t s r r ú r í t s n ú r s s ú r r s s x n s t s s r çõ s t s s s

r t lim x n = lim( n 1) = 1 n n q ê F n+ = F n+1 +F n F 0 = F 1 = 1 r t n N 0 P r n = 0 ( F 0 = 1 5 1+ ) 1 ( 5 1 5 = 1+ 5 1+ 5 5 = 5 5 = 1; 1 ) 1 5 r n = 1 ( F 1 = 1 5 ( = 1 5 = 5 5 = 1; 1+ ) ( 5 1 5 ) 3+ 5 ( 1 5 ) 1 5 3 ) 5 r n = ( F = 1 1+ 5 5 = 1 (+ ) 5 5 = + 5 + 5 5 = 5 5 =. ) 3 ( 1 5 1 5 ) 1 5 ( 5 ) 3

çõ s q çõ s r ç s s é s F n+1 +F n = ( = 1 5 = = = = ( ) ( 1 5 ( ) ( 1 5 ( ) ( 1 5 ( ) ( 1 5 = F n+. 1+ ) n+ 5 ( 1 ) n+ 5 +( 1+ ) n+1 ( 5 1+ ) ( 5 +1 1+ ) n+1 ( 5 1+ ) n+1 ( 5 1+ ) n+3 5 ( 3+ ) ( 5 1+ ) 5 ( 1 ) n+3 5 1+ ) n+1 5 ( 1 ) n+1 5 1 ) n+1 ( 5 1 +1) 5 1 ) n+1 ( 5 1 ) n+1 ( 5 3 ) 5 1 ) 5 s F 1 F 0 = 1 1 = 1 F F 1 = 1 = F 3 F = 3 = 1,5 F 4 F 3 = 5 3 = 1,667 F 5 F 4 = 8 5 = 1,6 F 6 = 13 F 5 8 = 1,65 F 7 = 1 F 6 13 = 1,615 F 8 = 34 F 7 1 = 1,619 F 9 = 55 F 8 34 = 1,618 F 10 = 89 F 9 55 = 1,618 F 11 = 144 F 10 89 = 1,618

t s t s s r sã r s t s s t s s s q rt r s t s ss s t s é ssí r r q s t s r t t s t r Pr t s r ss r r rtâ r s ss s r t t t r s t ú s r r s s r r ssõ s étr s r s té s s é t q t t q t r s r s q s s r q ó rr ó s t r ór rã t 3 t át P r ss s s t 3 s r rs s t ó s s t r r s r s r s rá s s s r â r s tâ r q t str çã s rá s s r s 1 t s s s rt r r q 3 s s r ss r s r t s s ss s ú s t r st r s s t s r s t s r ss r s t át r t s r r s tr s t t à s 1 çã s r t s s rt s tr s ç rr t r té r çã s á s q s t r t r ss t ã r t t s r s t s str çõ s q r s t 3 r t r t s t s t s st t r s s á s s r s ór s q é ss t s r rt t r t r ss t s r 3 s r rs s t ó s q r sã s á s r çã s r s t s s t t à s é r r ss t s q t s r 1 s t t r çã q tr r t r r ssã t á s í r t s r t 3 s r s st 1 r ê r ss r s r s r s ss t s rr ó r s s tâ r s rt r r r s t ú s Pr r ssã étr çã 1 é r s t 3 r r r s t r

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Folha 6 Componentes: O Triângulo de Sierpinski Partir de um triângulo equilátero no plano e aplicar repetidamente as seguintes operações: 1. marcar os pontos médios dos três lados do triângulo;. definir quatro novos triângulos iguais, a partir dos três pontos médios juntamente com os vértices do triângulo inicial e eliminar o triângulo central. Figura: Triângulo de Sierpinski Fonte: Janos, Michel. Geometria Fractal. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda, 008. Supor que a área do triângulo inicial seja igual a 1 e que a área da parte branca seja, no -ésimo passo. Preencher a tabela abaixo: Passo N de triângulos brancos 1 3 4 Área de cada triângulo branco Área branca (total) Agora responda: 1. Qual será o valor da próxima área branca?. Qual a relação entre a área branca no passo anterior e a área branca no passo atual?

3. Qual a relação entre o número de passos ( e a área branca (? 4. Qual o valor da área branca no passo 10? 5. Construa o gráfico que represente a área branca em função do número de passos. 6. O que acontece com a área branca quando o número de passos é suficientemente grande?

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