TÉCNICO EM ELETRÔNICA MTAC-1. Métodos e Técnicas de Análise de Circuitos Prof. Renato P. Bolsoni

TÉCNICO EM ELETRÔNICA MTAC-1 Métodos e Técnicas de Análise de Circuitos Prof. Renato P. Bolsoni Ver 1-11/08/2009

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 1 ÍNDICE Conteúdo Pág. O básico da teoria atômica da matéria... 2 Resistência... 3 Associação de resistência... 4 Resistência equivalente de uma associaão de resistência... 5 Exercícios... 9 Geradores e Receptores... 15 Exercícios... 16 Associação de Geradores... 19 Exercícios... 21 Divisor de Tensão e de Corrente... 23 Exercícios... 24 Leis de Kirchhoff... 27 Exercícios... 29 Conversão de ligação de resistores Estrela-Triângulo... 31 Exercícios... 34 Equações de Maxwell... 36 Exercícios... 38

O BÁSICO DA TEORIA ATÔMICA DA MATÉRIA MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 2 Matéria: tudo o que tem massa e ocupa lugar no espaço, podendo se apresentar em 4 estados físicos distintos: sólido, líquido, gasoso ou plasma. Corpo: é uma quantidade limitada de matéria que possui uma certa forma. Ex: mesa, gota d água, etc. - Corpo Simples: formado por um só tipo de elemento: ouro, cobre, alumínio. - Corpo Composto: formado por dois ou mais elementos: água, sal de cozinha. Molécula: menor partícula física em que pode ser dividido um corpo composto, sem que o corpo resultante (molécula) perca suas características. Átomo: menor partícula física em que se pode dividir um elemento (substancia fundamental) sem alterar suas características. Pode ser dividido em várias partículas subatômicas, como o próton, o nêutron e o elétron. Modelo Atômico de Bohr O cientista neozelandês Niels Bohr imaginou, em 1915, um modelo para o átomo. Ele o visualizou como um núcleo rodeado por elétrons em órbitas estáveis, com velocidade suficiente para que a força centrífuga equilibrasse a atração nuclear. Hoje sabemos que as forças que governam os átomos não são possíveis de serem explicadas segundo a física tradicional e sim pela física quântica, que compreende o estudo das interações fortes e fracas no interior do átomo. O átomo é formado pelo núcleo e pela elétrosfera. Núcleo : formado pelos prótons e nêutrons. Prótons = carga elétrica positiva. Nêutrons = carga elétrica nula. Elétrosfera: formada pelos elétrons em órbita Elétrons = carga elétrica negativa. Os elétrons se distribuem nos átomos em 7 camadas ou níveis da elétrosfera. Camada Número de elétrons K 2 L 8 M 18 N 32 O 32 P 18 Q 8 Cada camada corresponde a um nível energético. As mais afastadas do núcleo têm energia menor. Os átomos tendem sempre a ficar com um número de 8 elétrons na sua camada mais externa, chamada de camada de valência. Assim, os elementos condutores, que possuem poucos átomos na última camada, têm grande tendência a ceder elétrons para outros átomos, formando ligações iônicas. Já os elementos isolantes possuem mais elétrons na última camada,

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 3 e têm tendência a receber elétrons. De modo geral, os elementos condutores têm 1, 2 ou 3 elétrons na última camada, enquanto os isolantes têm 5, 6 ou 7 elétrons na última camada. Todas as formas de energia, incluindo a térmica e a elétrica, estimulam os elétrons. A absorção de energia, tal como calor ou luz, pode fazer com que os elétrons que estão na órbita mais externa escapem. Esses elétrons tornam-se elétrons livres e podem vaguear até serem atraídos por um átomo carregado positivamente. Condutores Os condutores são aqueles materiais que possuem menos elétrons na última camada e, portanto, estão mais fracamente presos ao núcleo. Assim, nesses materiais, há uma grande quantidade de elétrons livres quando os estimulamos com alguma forma de energia (o cobre, por exemplo, possui apenas 1 elétron na última camada). Exemplos: cobre e alumínio. Isolantes Já os isolantes são materiais que possuem elétrons livres em quantidade bem menor. Exemplos: ar, borracha e vidro. A eletricidade (CORRENTE ELÉTRICA) é o movimento ordenado dos elétrons livres de um átomo para outro da estrutura de uma material. RESISTÊNCIAS Resistência ou Resistor é qualquer oposição (dificuldade) à passagem da corrente elétrica. Ex.: Lâmpada, motor, equipamento eletrônico, resistência do chuveiro, componentes eletrônicos e até mesmo um condutor fino e comprido, etc. Qualquer resistência pode ser representada pelos símbolos abaixo e seu valor ôhmico é dado em Ohm representado pelo símbolo Ω (letra grega Ohmega):

ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 4 As resistências entram na constituição da maioria dos circuitos eletrônicos formando associações de resistências. É importante, pois, conhecer os tipos e características elétricas destas associações, que são a base de qualquer atividade ligada à eletrônica. Esse capítulo vai ajuda-lo a identificar os tipos de associações e determinar suas resistências equivalentes. Para entender uma associação de resistência, é preciso que você já conheça o que são resistências. Associação de resistências é uma reunião de duas ou mais resistências em um circuito elétrico. Na associação de resistência é preciso considerar duas coisas: os terminais e os nós. Terminais são os pontos da associação conectados á fonte geradora. Nós são os pontos em que ocorre a interligação de três ou mais resistências. Tipos de associação de resistência As resistências podem ser associadas de modo a formar diferentes circuitos elétricos: V V V Associação em Série Associação em Paralelo Associação Mista Associação em Série Nesse tipo de associação, as resistências são ligadas de forma que exista apenas um caminho para a circulação da corrente elétrica entre os terminais. Caminho único Caminho único Associação em Paralelo Trata-se de uma associação em que os terminais das resistências estão ligadas de forma que exista mais de um caminho para a circulação da corrente elétrica. Dois caminhos Três caminhos V I1 I2 V I1 I2 I3

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 5 Associação Mista É a associação que se compõe por grupos de resistências em série e em paralelo. R5 RESISTÊNCIA EQUIVALENTE DE UMA ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS Quando se associam resistências, a resistência elétrica entre os terminais é diferente das resistências individuais. Por essa razão, a resistência de uma associação de resistência recebe uma denominação específica: resistência total (Rt) ou resistência equivalente (Req). Associação em Série Ao longo de todo o circuito, a resistência total é a soma das resistências parciais, logo a Rt é sempre maior que a resistência de maior valor da associação. Matematicamente, obtém-se a Rt da associação em série pela seguinte fórmula: Rt = + + +... + Rn Ex.: Vamos tomar como exemplo uma associação em série formada pelo resistor de 120Ω e pelo de 270Ω. Qual será a resistência total? Rt 120Ω Rt = + Rt = 120 + 270 Rt = 390Ω 270 Ω Associação em Paralelo A resistência total de uma associação em paralelo é dada pela equação: Rt = 1 1_ + _1_ +...+ _1_ Rn DICA: 3 ou mais resistências diferentes

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 6 Vamos tomar como exemplo o circuito abaixo onde o =10Ω, =25Ω e =20Ω : Rt 10 Ω 25 Ω 20 Ω Rt = 1 1_ + _1_ + _1_ Rt = 1 = 1 = 1 1_ + _1_ + _1_ 0,1 + 0,04 + 0,05 0,19 10 25 20 Rt = 5,26Ω Esta equação é indicada para associação em paralelo constituída por 3 ou mais resistências com valores ôhmicos diferentes. Para associações em paralelo com apenas 2 (duas) resistências com valores diferentes, podemos usar uma equação mais simples: Rt = x + DICA: Apenas 2 resistências diferentes Vamos tomar como exemplo o circuito abaixo onde o =1,2KΩ (1200Ω) e =680Ω : Rt = x + Rt 1,2KΩ 680Ω Rt = 1200 x 680 = 816000 1200 + 680 1880 Rt = 434Ω Para associações em paralelo com resistências de mesmo valor podemos usar uma equação ainda mais simples: Rt = R n DICA: Todas as Resistências de mesmo valor Onde: R é o valor das resistências (todas têm o mesmo valor) n é a quantidade de resistências associadas em paralelo

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 7 Vamos tomar como exemplo o circuito abaixo onde todos os resistores são iguais: Rt = R N Rt 120Ω 120Ω 120Ω Rt = 120 3 Rt = 40Ω De qualquer forma, valor da Rt de uma associação em paralelo sempre será menor que a resistência de menor valor da associação. Associação Mista Para determinar a resistência equivalente de uma associação mista, procede-se da seguinte maneira: A partir dos nós, divide-se o circuito em pequenas partes de forma que possam ser calculadas como associações em série ou em paralelo. Vamos tomar como exemplo o circuito abaixo: 560Ω 180Ω 270Ω Os resistores e estão associados em paralelo 1,2KΩ Neste circuito o está em paralelo como o, e são de valores diferentes. Como ainda não é a Rt do circuito, vamos chamar de RA : RA = x + RA = 180 x 270 = 48600 180 + 270 450 RA = 108Ω Portanto, em paralelo com proporciona uma resistência equivalente de 108Ω para a passagem da corrente elétrica por este circuito. Se o e forem substituídos por um resistor de 108Ω (RA) o circuito não se altera.

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 8 560Ω RA 108Ω Rt 1,2KΩ Desta forma, este circuito passa a ser uma associação final em série: Rt = + RA + Rt = 560 + 108 + 1200 Rt = 1868Ω Rt = 1868Ω O resultado significa que toda a associação mista original tem o mesmo efeito para a corrente elétrica que uma única resistência de 1868Ω. A seguir, apresentamos um exemplo de circuito misto, com a seqüência de procedimentos para determinar a resistência equivalente. 10KΩ 3,3KΩ 3,3KΩ 68KΩ Rt Da análise do circuito, deduz-se que as resistências e estão em série e ser substituída por uma única resistência RA : Rt = + Rt = 10K + 3,3K Rt = 13,3KΩ (13300Ω) 10KΩ 3,3KΩ Foram substituídos por RA 13,3KΩ 68KΩ 68KΩ

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 9 Aplicando-se análise de circuito, deduz-se que RA e estão em paralelo: Rt = RA x RA + Rt = 13,3K x 68K 13,3K + 68K Rt = 11124Ω Rt = 11124Ω EXERCÍCIOS 1) Qual é a característica fundamental de uma associação em série com relação aos caminhos para a circulação da corrente elétrica? 2) Qual é a característica fundamental de uma associação em paralelo com relação aos caminhos para a circulação da corrente elétrica? 3) Identifique os tipos de associação (série, em paralelo ou mista) nos circuitos a seguir. a) b) c) d) e) f)

4) Determine a resistência equivalente (Rt) dos circuitos em série abaixo: a) Rt 680Ω MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 10 330Ω b) 12Ω 27Ω 89Ω c) Fazer Prática 470Ω 1,5KΩ d) Fazer Prática 0,1MΩ 1,2MΩ 270Ω e) 330Ω 68000Ω 0,47MΩ 27KΩ

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 11 5) Determine a resistência equivalente (Rt) dos circuitos em paralelo abaixo: a) 100Ω 120Ω 58Ω b) 6,8KΩ 1,2KΩ c) 10KΩ 10KΩ 10KΩ 10KΩ d) 120KΩ 120KΩ e) Fazer Prática 330Ω 390Ω

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 12 6) Registre ao lado de cada circuito a equação mais apropriada para o cálculo da Rt.: a) = = b) c) d) 7) Determine a resistência equivalente (Rt) de cada circuito abaixo: a) 6,8KΩ 120KΩ 2,7KΩ b) 220Ω 390KΩ 39KΩ R5 2,7KΩ 2,2KΩ

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 13 c) Fazer Prática 1,2KΩ 3,3KΩ 10Ω 390Ω d) Fazer Prática 150KΩ 0,39MΩ 1,2MΩ 10Ω e) 180Ω 270Ω 150Ω 15KΩ R5 10KΩ f) 470KΩ 5K6Ω 470KΩ 2K4Ω

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 14 g) 5,6KΩ 10KΩ 15KΩ 12KΩ Resultado dos cálculos Pág. Exercício Item Resultado 10 4 a 1010Ω 10 4 b 128Ω 10 4 c 1970Ω 10 4 d 1300270Ω 10 4 e 565330Ω 11 5 a 28Ω 11 5 b 1.02KΩ 11 5 c 2500Ω 11 5 d 60KΩ 11 5 e 178.75Ω 12 7 a 2802Ω 12 7 b 395118Ω 13 7 c 4509Ω 13 7 d 302586Ω 13 7 e 6062Ω 13 7 f 236,68KΩ 14 7 g 9,61KΩ Resistores para Práticas 10Ω 120Ω 220Ω 270Ω 330Ω 390Ω 470Ω 680Ω 1.2KΩ 1.5KΩ 2.2KΩ 2.7KΩ 3.3KΩ 39KΩ 100KΩ 150KΩ 390KΩ 1.2MΩ

GERADORES E RECEPTORES MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 15 Aparelho Elétrico: Denominamos de aparelho elétrico ao dispositivo que transforma uma modalidade qualquer de energia em energia elétrica ou vice-versa. O aparelho elétrico podem ser classificados em geradores e receptores, ativos ou passivos. É denominado gerador quando transforma uma modalidade qualquer de energia em energia elétrica. Se ao fazer esta transformação ele impor uma ddp entre seus terminais é gerador de tensão e se impor uma corrente é gerador de corrente. Ao contrário, um aparelho elétrico é denominador receptor quando transforma energia elétrica em outra modalidade de energia. Se esta modalidade for exclusivamente térmica será denominado receptor passivo e se envolver outra modalidade, além da térmica, será denominado receptor ativo. Resumindo: Gerador Tensão Corrente Aparelho Elétrico Passivo gera energia térmica (resistência) Receptor Ativo gera energia térmica + outra forma de energia (luz, movimento, som, vídeo, etc.) Fonte de Tensão: Um gerador de tensão é um bipolo, isto é, um aparelho com 2 terminais acessíveis, que deve impor uma ddp entre seus terminais independente da carga que está alimentando. Com seus terminais em aberto, isto é, sem estar ligados a qualquer outro componente, a ddp por ele imposta é denominada força eletromotriz. I + V OBS: Observe que a corrente e a tensão tem o mesmo sentido na fonte de tensão

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 16 Fonte de Corrente: É um bipolo que deve impor uma corrente de intensidade conhecida entre seus terminais quando ligado a outro componente (carga). Como é fonte de corrente, mesmo variando a carga, a corrente se mantém e para isso ela muda o valor da tensão (ddp). I + V OBS: Observe que a corrente e a tensão também tem o mesmo sentido na fonte de Corrente. Receptor (carga): Equipamento ou componente que entrará em funcionamento quando for alimentado por uma fonte de tensão ou de corrente. Em todo e qualquer receptor a corrente e a tensão terão sentido contrário. IR + - VR EXERCÍCIOS Calcule a tensão e a corrente em cada resistor e indicar seus sentidos. 1) 10V 10 Ω 2) 10V 20 Ω =20 Ω

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 17 3) 10V =20 Ω =20 Ω 4) Calcular a tensão da bateria e a RT : 1,5 Ω 2A VT 3V 1,5 Ω 3V 5) Calcular a tensão em (V): 3V 12V 7V V=

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 18 6) Calcule a VT e a RT : 4A 10 Ω VT 10 V Motor 24V 7) Calcule o que se pede: 2A VT = 10Ω = = RT = V = V = 50V V = 40V VT =

ASSOCIAÇÃO DE GERADORES MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 19 Associação de geradores de tensão em série: As fontes de tensão podem ser conectadas em série para aumentar ou diminuir a tensão total aplicada a um sistema. A tensão resultante é determinada somando-se as tensões das fontes de mesma polaridade e subtraindo-se as de polaridade oposta. A polaridade resultante é aquela para a qual a soma é maior. OBS: Como o circuito é em série, a corrente é a mesma em todas as fontes, a capacidade de fornecer corrente das fontes tem que ser de mesmo valor. Exemplo de aplicação: Alimentação de um rádio de 6V (3 pilhas de 1,5V em série). Exs.: 1) V1=10V V2=6V V3=2V VAB I VAB = V1 + V2 + V3 VAB = 10 + 6 + 2 VAB = 18V Observe que a maior força está empurrando a corrente para a direita. 2) 3) V1=10V V2=6V V3=2V VAB I V1=10V V2=6V V3=2V VAB I VAB = (V1 + V3) V2 VAB = (10 + 2) - 6 VAB = 6V Observe que a força maior está empurrando a corrente para a direita. VAB = V1 (V2 + V3) VAB = 10 (6 + 2) VAB = 2V Observe que a força maior está empurrando a corrente para a esquerda. Associação de geradores de tensão em paralelo: As fontes de tensão podem ser colocadas em paralelo, como mostra a figura abaixo, em mesma polaridade e somente se as tensões nos seus terminais forem idênticas. A razão principal para colocarmos duas ou mais baterias de mesma tensão em paralelo é a obtenção de uma intensidade de corrente maior (e, portanto, de uma potência mais alta) a partir da fonte composta. A capacidade total de fornecer corrente (IT) é determinada pela soma da capacidade de cada fonte (IT = I1 + I2 + I3 +...). Exemplo de aplicação: - Banco de baterias para alimentação de computadores; - Associação de baterias para som automotivo. + I1 50A 12V I2 50A 12V I3 50A IT=150A VT=12V 12V - Se duas baterias de tensões diferentes forem conectadas em paralelo, acabarão ambas descarregadas, pois a tendência da bateria de tensão maior é cair rapidamente até igualar-se à da fonte de menor tensão. Considere, por exemplo, duas baterias automotivas de

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 20 chumbo-ácido, com diferentes valores de tensão, conectadas em paralelo, como mostra a figura abaixo: E1 Rint 1 0,03Ω V1 12V I E2 Rint 2 0,02Ω V2 6V I = V R I = E1 E2 = 12V 6V = 6V Rint 1 + Rint 2 0,03 + 0,02 0,05 I = 120A As resistências internas relativamente pequenas das baterias são os únicos elementos de limitação da corrente no circuito série resultante. Essa corrente excede em muito as correntes usuais de operação da bateria de maior capacidade, resultando em uma rápida descarga de E1 e um impacto destrutivo na bateria de menor valor E2 Associação de geradores de corrente em série: Todas as fontes devem ter o mesmo sentido. Todas as fontes devem ter o mesmo valor I1 I2 I3 IT IT = I1 = I2 = I3 Associação de geradores de corrente em paralelo: Exemplos: 1) IT I1 I2 I3 IT = I1 + I2 + I3 2) IT I1 I2 I3 IT = I1 + I2 - I3 3) IT I1 I2 I3 IT = I1 + I3 I2

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 21 EXERCÍCIOS Calcule o que se pede em cada diagrama: 1) I 2) I3 6V 6V 2 Ω 4 Ω V1 V2 6V 6V V1 I1 6Ω V2 I2 3 Ω 3) V1 I2 4) V1 6V I1 6Ω 6V 6V 4Ω 6Ω 3Ω I1 6V 6V 3Ω I2 4Ω 2Ω 3Ω 3Ω 1Ω 5) 6) =10Ω R5=30Ω 10Ω 300V 40Ω 40Ω R7 20Ω R8 20Ω IT 10V 1Ω 5Ω =3Ω I1 V1 IT R6=30Ω 7) 8) =10Ω =30Ω =20Ω =35Ω 20Ω 60Ω R5 60Ω R6 60Ω IT 100V 100Ω 80Ω R5 80Ω 80V R7=30Ω IT R7=30Ω R6=25Ω 9) I4 V4 V3 =10Ω R5=2Ω R6=2Ω V1 I1 3Ω I2 3Ω I3 12Ω 16V R7=8Ω I5 V2 R8 8Ω I6

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 22 RESULTADOS: 1) I 2A 2) I1 1A 3) I1 1.3A 4) I1 0.288A 5) I 8.3A 7) IT 0.89A 9) V1 16V V1 4V I2 2A I2 2A I2 0.795A V2 8V V2 8V I3 3A V1 8V V1 2.38V 6) I1 0A 8) IT 1A V3 4V VT 12V V1 6V V1 8.33V V4 4V V2 6V IT 1.66A I1 5.33A I2 5.33A I3 1.33A I4 2A I5 1A I6 1A

DIVISOR DE TENSÃO E DE CORRENTE MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 23 Divisor de corrente: Conforme o nome sugere, a regra do divisor de corrente nos diz como uma corrente que entra em um conjunto de elementos em paralelos se divide entre esses elementos, porém a tensão é a mesma para todos. No caso de dois elementos em paralelo com resistências iguais, a corrente se divide igualmente. Ex.: 2A 10V 1A 10Ω 1A 10Ω No caso de 3 ou mais elementos em paralelo de mesmo valor, a corrente se dividirá igualmente entre todos os elementos, porém a tensão é a mesma para todos. No caso particular de apenas duas resistências em paralelo, mesmo com valores diferentes, podemos aplicar as seguintes formulas: I = x IT I = x IT + + Ex.: 5A 20V 1A 20Ω 4A 5Ω Se os elementos em paralelo tiverem resistências diferentes, o elemento de menor resistência será percorrido pela maior fração da corrente. No caso de 3 ou mais elementos em paralelo de valores diferentes, a corrente se dividirá entre todos os elementos inversamente proporcional à sua resistência, e a tensão é a mesma para todos. 5A 15V 1,5A 10Ω 2,5A 1A 6Ω 15Ω

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 24 Divisor de Tensão: Conforme o nome sugere, a regra do divisor de tensão nos diz como uma tensão que é aplicada em um conjunto de elementos em série se divide entre esses elementos, porém a corrente é a mesma em todos os elementos. A tensão entre os terminais dos elementos resistivos divide-se na mesma proporção que os valores de resistência. Para resolução das quedas de tensão em cada resistor, pode ser usado a lei de Ohm ou pela seguinte equação: Vx = Rx x VT RT EX.: 20V 6Ω 3Ω 12V 6V 12V V = x VT RT V = 6 x 20 10 V = 12V V = x VT RT V = 3 x 20 10 V = 6V 1Ω 2V V = x VT RT V = 1 x 20 10 V = 2V EXERCÍCIOS 1) Determinar a tensão de V1 para o circuito abaixo usando a regra do divisor de tensão: 20Ω V1 20V 60Ω

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 25 2) Usando a regra dos divisores de tensão, para um circuito série com 3 resistores (=2KΩ, =5KΩ e =8KΩ) alimentado com 45V, determinar o valor de V e V : 3) Para o circuito abaixo, calcular o valor de V1 usando o método divisor de tensão : 2Ω 45V 5Ω 8Ω V1= 4) Para o circuito abaixo, calcular o valor de V usando o método divisor de tensão: V = 4Ω 2Ω 3Ω 5Ω V = 27V 5) Calcular o valor de I usando o método divisor de corrente: 6A I= 4KΩ 8KΩ

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 26 6) Determinar o valor das correntes I1, I2 e I3 usando o método divisor de corrente: =2Ω I1 I=12A =4Ω I2 I3 7) Usando a regra do divisor de corrente, calcular o valor de : I1=21mA I=27mA 7Ω 8) Determinar o valor de I1 no circuito abaixo: 42mA I= 6Ω 24Ω 48Ω

1ª Lei de Kirchhoff - Lei dos NÓS LEIS DE KIRCHHOFF MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 27 A somatória das correntes que chegam a um nó é igual a somatória das correntes que dele saem. ΣI chegam = ΣI saem Σ = somatória (soma ou subtração) Ex.: I2 I3 I1 I4 I1 + I2 + I5 = I3 + I4 I5 2ª Lei de Kirchhoff - Lei das MALHAS A somatória das forças eletromotrizes e contra-eletromotrizes ao longo de uma malha de um circuito é igual a soma algébrica dos produtos R x I em todos os resistores da malha. Σ V = Σ R * I Ex.: VAB A V1 V2 B I1 Fazendo o percurso indicado pela corrente I1, de A para B, temos: VAB = +V1 - * I1 - * I1 - V2 - * I1 Σ V = Σ R * I V1 V2 = (++) * I1 Exemplos: 1) Calcule a tensão em todos os resistores e a corrente total. =10Ω 5V =20Ω Σ V = Σ R * I 12V 30Ω IT = Σ V = 12 5 8 + 10 = 9 Σ R 10 + 20 + 30 + 10 70 =10Ω 10V 8V IT = 128,57mA V = * I V = 10 * 128,57m V = 1,2857V V = * I V = 20 * 128,57m V = 2,5714V V = * I V = 30 * 128,57m V = 3,8571V V = * I V = 10 * 128,57m V = 1,2857V

2) Calcule a tensão e a corrente em todos os resistores. MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 28 5V =10Ω 11V 12V R7 5Ω R6=10Ω 6V R5=20Ω 20Ω 10Ω 30Ω 1 Passo: Resolver a série +. RA = 20 + 10 RA = 30Ω 5V =10Ω 11V 12V R7 5Ω R6=10Ω 6V R5=20Ω RA 30Ω 30Ω 2 Passo: Resolver o paralelo de RA com. RB = R = 30 n 2 RB = 15Ω R7 5Ω 5V R6=10Ω =10Ω 6V 11V 12V R5=20Ω RB 15Ω 3 Passo: Calcular a IT pela 2ª Lei de Kirchhoff Σ V = Σ R * I IT = Σ V = 5 + 11 12 + 6 = 10 Σ R 10 + 15 + 20 + 10 + 5 60 IT = 166,66mA 3 Passo: Calcular a queda de tensão de cada resistor do último circuito usando a Lei de Ohm. V = * I V = 10 * 166,66m V = 1,666V VRB = RB * IRB VRB = 15 * 166,66m VRB = 2,499V VR5 = R5 * IR5 VR5 = 20 * 166,66m VR5 = 3,333V VR6 = R6 * IR6 VR6 = 10 * 166,66m VR6 = 1,666V VR7 = R7 * IR7 VR7 = 5 * 166,66m VR7 = 0,833V 4 Passo: Como o RB foi formado pelo paralelo de RA com, a VRA e V é a mesma de RB. Portanto a V = 2,499V. Calcular a corrente de e de RA usando a Lei de Ohm. IRA = VRA RA IRA = 2,499 30 IRA = 83,3mA I = V I = 2,499 30 I = 83,3mA 5 Passo: Como RA foi formado pela série de +, a I e a I = 83,3mA. Calcular a V e a V. V = * I V = 20 * 83,3m V = 1,666V V = * I V = 10 * 83,3m V = 0,833V

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 29 6 Passo: É aconselhável montar uma tabela para termos certeza de todos valores calculados: R5 R6 R7 V 1.666V 1.666V 0.833V 2.499V 3.333V 1.666V 0.833V I 166.66mA 83.3mA 83.3mA 83.3mA 166.66mA 166.66mA 166.66mA Exercícios A) Calcular a corrente I1 e indicar seu sentido nos circuitos abaixo: 10V 1) I1 2) =10Ω 5V I1 10Ω 5V 20Ω 10V 6Ω =6Ω 10V 10Ω R5=12Ω B) Calcular a V (tensão) e I (corrente) em todos os resistores: 3) 4) =10Ω =40Ω 12Ω 20Ω 10Ω R5 40Ω R6 20Ω =20Ω =20Ω R5 10Ω 10Ω 20V R7=10Ω 20V R6=10Ω 5) 10V =20Ω 5V =5Ω R5 10Ω 5V 20V =20Ω 20V =30Ω 6) Calcule um resistor que colocado entre os pontos X e Y, faça percorrer por uma corrente de 160mA: =30Ω 20V 160mA 75Ω X Y

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 30 7) Calcule a V e a I em todos os Resistores: =10Ω =20Ω 10V 10V 10Ω R5=20Ω =20Ω R6=20Ω RESPOSTAS : 1) 166.66mA 3) V (V) I (A) 4) V (V) I (A) 5) V (V) I (A) 6) 113,2Ω 7) V (V) I (A) 10,85 0,904 8,4 0,21 1,17 3,75 0,375 2) 576.923mA 9,12 0,456 11,92 0,596 0,294 0,0588 2,49 0,124 9,12 0,912 8,07 0,803 1,76 0 0 ---- ---- 1,398 69,9m 1,17 2,49 0,249 R5 6,19 0,154 R5 2,1 0,21 R5 0,588 R5 3,75 0,187 R6 6,19 0,309 R6 1,398 139m I t 58,8mA R6 3,75 0,187 R7 4,65 0,465 I t 0,807A V t 5V I t 0,375A I t 1,37A R t 24,78Ω R t 85Ω R t 26,66Ω R t 14,58Ω

CONVERSÃO DE LIGAÇÃO DE RESISTORES ESTRELA TRIÂNGULO MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 31 Há combinações especiais de três resistores que não podem ser simplificadas como os circuitos série, paralelo e misto. Podemos resolve-las aplicando regras especiais. Uma destas ligações é a estrela e podemos encontra-la das formas abaixo. Este tipo de ligação é também conhecido com Y ou T. Outro tipo é chamado ligação triângulo e também recebe as denominações (delta) ou π (pi). CONVERSÃO ESTRELA-TRIÂNGULO É possível converter um tipo de ligação em outro. Para fazer a conversão de uma ligação em ESTRELA para TRIÂNGULO basta:

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 32 CONVERSÃO TRIÂNGULO-ESTRELA Ex.: Req entre A e B? O circuito ao lado possui as estrelas formadas pelos resistores: E os triângulos formados pelos resistores:

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 33 Para encontrar a Req entre A e B temos que converter uma das estrelas para triângulo ou um dos triângulos para estrela. Teoricamente, qualquer uma das conversões pode ser feita, mas temos que optar por aquela que irá nos trazer uma maior simplificação. Vamos escolher o triângulo formado pelos resistores: Substituindo o triângulo pela estrela no circuito teremos: Após a conversão, o circuito se transformou num circuito misto, que nós conhecemos bem. Agora podemos calcular Req entre A e B com facilidade.

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 34 Exemplo de aplicação do circuito Ponte de Wheatstone : - Balança eletrônica Ajuste de balanceamento Sensor de peso + Fonte de alimentação cc - Para o circuito conversor analógico / digital - Detector de fumaça Ajuste de balanceamento + Fonte de Detector alimentação de fumaça cc - NF C Para o circuito de alarme NA EXERCÍCIOS : Calcular a Req entre A e B : 1) 2) A 10Ω 4Ω A 1KΩ 2KΩ 6Ω 4K7Ω 37Ω R5 8,8Ω R5 3K9Ω 3K3Ω B B

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 35 Calcular o Req, It, a V e a I em todos os resistores: 3) 4) 3Ω 50V 3Ω 10Ω 45Ω 10V 6Ω 5Ω 4Ω 2Ω R5 30Ω R6 3Ω R5 2Ω 5) 3Ω 30Ω 50V 10Ω 10Ω R5 30Ω Calcular a Req entre os pontos A e B dos circuitos abaixo: 6) 4Ω A 1Ω 2Ω R5 5Ω B 3Ω 7) A 6Ω 5Ω 8Ω B 10Ω R5 8Ω R7 5Ω R6 5Ω RESPOSTAS : 1) 3) V (V) I (A) 4) V (V) I (A) 5) V (V) I (A) Req 10Ω 30 10 4,5 1,5 12,7 4,23 2) 30 0,7 3,7 0,6 17,6 0,6 Req 2,5KΩ 0 0 3,7 0,9 4,9 0,5 6) 20 10 0 0 37,3 3,7 Req 3Ω R5 20 0,7 R5 1,8 0,9 R5 32,4 1,08 7) It 10,7A R6 1,8 0,6 It 4,81A Req 5Ω Rt 4,67Ω It 1,51A Rt 10,38Ω Rt 6,6Ω

EQUAÇÕES DE MAXWELL MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 36 As equações de malha de Maxwell podem ser consideradas como simplificação para soluções de problemas de redes pelas Leis de Kirchhoff. Esse método reduz o número de equações necessárias para a resolução do problema. Dado o circuito abaixo vamos exemplificar o método de resolução por Maxwell: 12V 6Ω 2Ω 5Ω 6V 10V 4Ω 1) Identificar as malhas com M1 (Malha 1) e M2 (Malha 2) como mostrado no circuito abaixo. 2) Desenhar em cada malha um laço com seta indicando a corrente I1 e I2 no sentido horário. Se estivermos errados em nossa estimativa, o resultado da corrente terá um sinal negativo associado. 12V 6Ω 2Ω I1 5Ω I2 6V 10V M1 4Ω M2 Em nosso circuito há um resistor () que é comum para as duas malhas. Existem duas correntes fluindo pelo resistor comum, e sua corrente real é a soma algébrica das duas.. Devemos notar que, para o nosso sentido horário estipulado para as correntes, I1 e I2 estão em sentidos opostos no, onde deveremos subtrair a menor da maior, com isso determinamos o seu sentido real da corrente. 3) Agora escrevemos a equação das tensões de Kichhoff para cada malha, percorrendo no mesmo sentido que estipulado para as correntes e fazendo a somatória das tensões e resistências. M1 ΣV M2 ΣV = ΣR x I1 Rcomum x I2 +12 10 = ( + ) x I1 x I2 2 = (2 + 5) x I1 5 x I2 2 = 7 x I1 5 x I2 = ΣR x I2 Rcomum x I1 +10-6 = ( + + ) x I2 x I1 4 = (5 + 6 + 4) x I2 5 x I1 4 = 15 x I2 5 x I1 4) Como temos 2 incógnita em cada expressão (I1 e I2) devemos igualar uma delas para que possamos calcular a outra. M1 2 = 7 x I1 5 x I2 M2 4 = 15 x I2 5 x I1 Devemos inverter os termos de uma das expressões (M2). M1 M2 2 = 7 x I1 5 x I2 4 = -5 x I1 + 15 x I2

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 37 Igualar uma das incógnitas (I2). M1 M2 2 = 7 x I1 5 x I2 (x3) 4 = -5 x I1 + 15 x I2 M1 M2 6 = 21 x I1 15 x I2 4 = -5 x I1 + 15 x I2 Executar a soma algébrica M1 M2 6 = 21 x I1 15 x I2 4 = -5 x I1 + 15 x I2 10 = 16 x I1 Calcular I1 I1 = 10 I1 = 0,625A 16 5) Tendo agora o valor de uma das incógnitas (I1) substituí-la em uma expressão e calcular a outra (I2). M1 2 = 7 x I1 5 x I2 2 = 7 x 0,625 5 x I2 2 = 4,375 5 x I2 5 x I2 = 4,375 2 I2 = 2,375 5 I2 = 0,475 A 6) Como já comentado que no Rcomum () teremos 2 correntes (I1 e I2), temos que calcular sua corrente real e indicar seu sentido no circuito. No circuito exemplo, as correntes I1 e I2 calculadas são positivas portanto o sentido horário adotado está correto e para calcular a I devemos subtraí-las (Maior menos Menor) e o sentido fica obedecendo a maior. I = I1 I2 I = 0,625 0,475 I = 0,15 A 12V 6Ω I 2Ω I1 5Ω I2 6V 10V M1 4Ω M2 7) É possível agora identificar a corrente e a queda de tensão em cada resistor. I = 0,15 A I = 0,625 A I = 0,475 A I = 0,475 A V = x I V = 5 x 0,15 V = 0,75 V V = x I V = 2 x 0,625 V = 1,25 V V = x I V = 6 x 0,475 V = 2,85 V V = x I V = 4 x 0,475 V = 1,9 V

MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 38 1) Determinar a corrente em todos os resistores: 12Ω EXERCÍCIOS: 100V 10Ω 40V 10Ω 24Ω 2) Determinar a corrente em todos os resistores: 6V R6 6Ω 2Ω 10V R5 1Ω 12Ω 4Ω 3Ω 3) No circuito abaixo calcular V e I: 2Ω 10V 6Ω I 8Ω 2Ω V R6 6Ω 6V R5 4Ω 4) No circuito abaixo calcular V e I: 16Ω R5 6Ω 10V 6Ω I 8Ω 4Ω V 20V

5) Determinar a Tensão e a Corrente em cada resistor do circuito abaixo: R5 2Ω MTAC 1 - Prof. Renato Bolsoni 39 12V 12V 6Ω 4Ω 10Ω 8Ω R7 1Ω R6 5Ω 6) Estando a chave CH1 aberta, o resistor está submetido a uma tensão V = 10V e dissipa uma potência de 5W. Pede-se: a) Calcular o valor de. b) Calcular o valor de V1. c) Agora, fechando a chave CH1 e utilizando o valor de V1 calculado anteriormente, calcular a nova potência dissipada por. 10Ω CH1 10Ω V1 V 20Ω 40V 1) I (A) 2) I (A) 3) 4) 5) V (V) I (A) 4,74 5,426 V 2V V 2,74V 5,058 0,84 3 5,047 0,019 I 1A I 1,37A 6,04 1,51 0,307 56,5m 5,902 0,59 0 0,128 56,5m 6,08 0,76 R5 5,371 R5 1,686 0,84 3 6) R6 0,037 R6 4,215 0,84 3 a) 20 Ω R7 0,843 0,84 3 b) 20V c) 2,17W