Análise e Síntese de Algoritmos

Análise e Síntese de Algoritmos Fluxos Máximos em Grafos CLRS, Cap. 26 Contexto Algoritmos elementares em grafos (CLR, Cap. 22) Árvores abrangentes de menor custo (CLR, Cap. 23) Caminhos mais curtos com fonte única (CLR, Cap. 24) Caminhos mais curtos entre todos os pares (CLR, Cap. 25) Fluxos máximos em grafos (CLR, Cap. 26) 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 2 1

Resumo Fluxos Máximos em Grafos Motivação Definições & Propriedades Método de Ford-Fulkerson Teorema do Fluxo-Máximo Corte-Mínimo Análise do algoritmo genérico Algoritmo de Edmonds-Karp Análise do algoritmo de Edmonds-Karp Emparelhamento Bipartido Máximo Algoritmos baseados em Pré-Fluxos Fluxos de Custo Mínimo 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 3 Um Problema: fornecer água a Lisboa Pretende-se determinar qual o volume de água máximo (por segundo), que é possível fazer chegar a Lisboa a partir da Barragem do Castelo do Bode Existe uma rede de condutas de água que permitem o envio da água do Castelo do Bode para Lisboa Cada conduta apresenta uma capacidade limite, de metros cúbicos por segundo Encontrar um algoritmo eficiente para resolver este problema 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 4 2

Fluxos Máximos em Grafos Dado um grafo dirigido G=(V, E): Com um vértice fonte s e um vértice destino t Em que cada arco (u,v) é caracterizado por uma capacidade não negativa c(u,v) A capacidade de cada arco (u,v) indica o valor limite de fluxo que é possível enviar de u para v através do arco (u,v) Pretende-se calcular o valor máximo de fluxo que é possível enviar do vértice fonte s para o vértice destino t, respeitando as restrições de capacidade dos arcos Exemplo 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 5 Fluxo Máximo em Grafos Aplicações Envio de materiais em rede de transportes Água, petróleo ou gás Contentores Electricidade Bytes 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 6 3

Fluxo Máximo em Grafos Aplicações Para redes de fluxo com múltiplas fontes e/ou destinos Definir super-fonte que liga a todas as fontes Definir super-destino ao qual ligam todos os destinos Capacidades infinitas entre super-fonte e fontes, e entre destinos e super-destino 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 7 Fluxo Máximo em Grafos Definições Uma rede de fluxo G = (V, E) é um grafo dirigido em que cada arco (u,v) tem capacidade c(u, v) 0 Se (u,v) E, então c(u,v) = 0 Dois vértices especiais: fonte s e destino t Todos os vértices de G num caminho de s para t Grafo ligado, E V - 1 Um fluxo G = (V, E) é uma função f : V V R tal que: f(u, v) c(u, v) para u, v V (restrição de capacidade) f(u, v) = - f(v, u) para u, v V (simetria) para u V - { s, t }:! f( u,v) = 0 (conservação de fluxo) v" V 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 8 4

Fluxo Máximo em Grafos Definições Valor de um fluxo: f =! f( s,v) v" V Problema do Fluxo Máximo: Dada rede de fluxo G com fonte s e destino t, calcular o fluxo de valor máximo de s para t Exemplo: 5/10 s 5/10 u v 1/5 4/10 6/10 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 9 t Valor do fluxo: 10 Fluxo máximo: 20 Fluxo Máximo em Grafos Propriedades Dados conjuntos de vértices X e Y: f ( X,Y) =!! f( x,y) x" X y" Y Rede de fluxo G = (V, E); f fluxo em G; X, Y, Z V: f(x,x) = 0 (cancelamento de termos) f(x,y) = -f(y,x) Se X Y = : f(x Y,Z) = f(x,z) + f(y,z) (expansão do somatório) f(z,x Y) = f(z,x) + f(z,y) (expansão do somatório) 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 10 5

Método de Ford-Fulkerson Definições: Perspectiva Redes residuais Caminhos de aumento Cortes em redes de fluxo Teorema do Fluxo-Máximo Corte-Mínimo Método de Ford-Fulkerson Algoritmo Complexidade Problemas de convergência 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 11 Método Genérico Ford-Fulkerson-Method(G,s,t) inicializar fluxo f a 0 while existe caminho de aumento p aumentar fluxo f utilizando p return f 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 12 6

Redes Residuais Dado G = (V, E), um fluxo f, e u,v V capacidade residual de (u,v): Fluxo líquido adicional que é possível enviar de u para v c f (u,v) = c(u,v) - f(u,v) rede residual de G: G f = (V, E f ), onde E f = { (u,v) V V : c f (u,v) > 0 } Cada arco (residual) de G f permite apenas fluxo líquido positivo Exemplo 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 13 Redes Residuais (Cont.) G = (V, E), f um fluxo, G f rede residual; f fluxo em G f Fluxo de soma f + f definido para cada par u,v V: (f + f )(u,v) = f(u,v) + f (u,v) Fluxo de soma é um fluxo com valor f + f = f + f Propriedades de um fluxo são verificadas: restrição de capacidade, simetria e conservação de fluxo Obs: f é definido em G f e é um fluxo Cálculo do valor de fluxo: f + f' =! ( f + f' )( s,v ) v" V =!( f( s,v) + f' ( s,v ) v" V =! f( s,v) +! f' ( s,v) = v" V f + f' 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 14 v" V 7

Caminhos de Aumento Dado G = (V, E) e um fluxo f caminho de aumento p: caminho simples de s para t na rede residual G f capacidade residual de p: c f (p) = min { c f (u,v) : (u,v) em p } c f (p) permite definir fluxo f p em G f, f p = c f (p) > 0 f = f + f p é um fluxo em G, com valor f = f + f p > f Exemplos 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 15 Cortes em Redes de Fluxo Um corte (S, T) de G = (V, E) é uma partição de V em S e T = V - S, tal que s S e t T fluxo líquido do corte (S, T): f(s,t) =!! f( u,v) capacidade do corte (S, T): c(s,t) = u" S v" T!! c( u,v) u" S v" T Se G = (V, E) com fluxo f, então o fluxo líquido através de um corte (S, T) é f(s,t) = f T = V - S; f(s,t S) = f(s,t) + f(s,s); f(s,t) = f(s,v) - f(s,s) f(s,t) = f(s,v) - f(s,s) = f(s,v) = f(s,v) + f(s - s,v) = f(s,v) = f Obs: para u S - s, f(u, V) = 0 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 16 8

Cortes em Redes de Fluxo (Cont.) Qualquer valor de fluxo é limitado superiormente pela capacidade de qualquer corte de G (S,T) qualquer corte, e f um fluxo: f = f ( S,T) =!! f( u,v) #!! c( u,v) u" S v" T u" S v" T = c(s,t) S T 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 17 Fluxo-Máximo Corte-Mínimo Seja G = (V, E), com fonte s e destino t, e um fluxo f. Então as proposições seguintes são equivalentes: 1. f é um fluxo máximo em G 2. A rede residual G f não contém caminhos de aumento 3. f = c(s,t) para um corte (S,T) de G 1. 2. Admitir que f é fluxo máximo em G mas que G f tem caminho de aumento Então é possível definir um novo fluxo f + f p com valor f + f p > f ; uma contradição 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 18 9

Fluxo Máximo Corte Mínimo (Cont.) 2. 3. G f sem caminhos de aumento S = { v V : existe caminho de s para v em G f }; T = V - S; s S e t T Com u S e v T, temos f(u,v) = c(u,v), pelo que f = f(s,t) = c(s,t) 3. 1. Dado que f c(s,t), para qualquer corte (S,T) de G Como f = c(s,t) (definido acima), então f é fluxo máximo 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 19 Recapitular Fluxos Máximos em Grafos Definições Capacidades (dos arcos) Fluxos Capacidades residuais Redes residuais Caminhos de aumento Para aumento de fluxo Método de Ford-Fulkerson Teorema do fluxo máximo corte mínimo 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 20 10

A Seguir Fluxos Máximos em Grafos Método de Ford-Fulkerson Análise do algoritmo genérico Algoritmo de Edmonds-Karp 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 21 Algoritmo de Ford-Fulkerson Básico Ford-Fulkerson(G,s,t) foreach (u,v) E[G] f[u,v] = 0 f[v,u] = 0 while existe caminho de aumento p na rede residual G f calcular c f (p) foreach (u,v) p f[u,v] = f[u,v] + c f (p) // Incrementar valor do fluxo f[v,u] = - f[u,v] 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 22 11

Análise do Algoritmo Básico Número de aumentos de fluxo pode ser elevado 1000000 u 1000000 1000000 u 1000000 s 1000000 1 v t 1000000 s 1000000 1 v t 1000000 rede de fluxo caminho de aumento com capacidade residual = 1 Fluxo máximo = 2000000 No pior caso: número de caminhos de aumento é 2000000 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 23 Análise de Algoritmo Básico (Cont.) Para valores racionais das capacidades Converter todas as capacidades para valores inteiros Número de caminhos de aumento limitado por valor máximo do fluxo f* Complexidade: O(E f* ) Por exemplo: DFS para encontrar caminho de aumento Para valores irracionais das capacidades Algoritmo básico pode não terminar Algoritmo básico pode convergir para valor incorrecto 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 24 12

Algoritmo de Edmonds-Karp Escolher caminho de aumento mais curto no número de arcos Utilizar BFS em G f para identificar caminho mais curto Complexidade: O(V E 2 ) Exemplos 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 25 Algoritmo de Edmonds-Karp Análise Definições: δ f (s,v): distância mais curta de s para v na rede residual G f δ f (s,v): distância mais curta de s para v na rede residual G f Sequência de acontecimentos considerada: f G f BFS p f G f BFS p Resultados: δ f (s,v) cresce monotonamente com cada aumento de fluxo Número de aumentos de fluxo é O(V E) Tempo de execução é O(V E 2 ) O(E) devido a BFS e aumento de fluxo a cada passo 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 26 13

Algoritmo de Edmonds-Karp Análise δ f (s,v) cresce de forma monótona com cada aumento de fluxo Prova por contradição: considere-se o primeiro v V tal que, após aumento de fluxo (de f para f ), a distância do caminho mais curto diminui, δ f (s,v) < δ f (s,v) Seja p= s,,u,v o caminho mais curto de s para v em G f δ f (s,u) = δ f (s,v)-1 δ f (s,u) δ f (s,u) (v é o primeiro que falha) (u,v) E f : δ f (s,v) δ f (s,u)+1 δ f (s,u)+1 = δ f (s,v) (u,v) E f e (u,v) E f : aumento de fluxo de v para u Aumento sempre pelo caminho mais curto, então o caminho mais curto entre s e u em G f tem como último arco (v,u): δ f (s,v) = δ f (s,u)-1 δ f (s,u)-1 = δ f (s,v)-2 Contradição! 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 27 Algoritmo de Edmonds-Karp Análise Número de aumentos de fluxo é O(V E) arco (u,v) na rede residual G f é crítico se capacidade residual de p é igual à capacidade residual do arco arco crítico desaparece após aumento de fluxo Quantas vezes pode arco (u,v) ser arco crítico? Como caminhos de aumento são caminhos mais curtos, δ f(s,v) = δ f (s,u) + 1 (u,v) só volta à rede residual após arco (v,u) aparecer em caminho de aumento (com fluxo f ) Como, δ f (s,u) = δ f (s,v) + 1 Dado que, δ f (s,v) δ f (s,v) (resultado anterior) Obtém-se, δ f (s,u) = δ f (s,v) + 1 δ f (s,v) + 1 = δ f (s,u) + 2 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 28 14

Algoritmo de Edmonds-Karp Análise Distância de s a u aumenta pelo menos de duas unidades entre cada par de vezes que (u,v) é crítico No limite, distância de s a u é não superior a V - 2 Pelo que arco (u,v) pode ser crítico O(V) vezes Existem O(E) pares de vértices Na execução do algoritmo de Edmonds-Karp o número total de vezes que arcos podem ser críticos é O(V E) Como cada caminho de aumento tem um arco crítico Existem O(V E) caminhos de aumento Complexidade de Edmonds-Karp é O(V E 2 ) Complexidade de BFS é O(V+E) = O(E) (dado V = O(E)) Aumento de fluxo em O(E) 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 29 Recapitular Fluxos Máximos em Grafos Método de Ford-Fulkerson Análise do algoritmo genérico Complexidade (valores inteiros): O(E f* ) Com valores irracionais pode não terminar Algoritmo de Edmonds-Karp Análise da complexidade O(V E 2 ) 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 30 15

A Seguir Fluxos Máximos em Grafos Emparelhamento Bipartido Máximo 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 31 Emparelhamento Bipartido Máximo G = (V, E) não dirigido Emparelhamento: M E, tal que para qualquer vértice v V não mais do que um arco em M é incidente em v Emparelhamento Máximo: Emparelhamento cardinalidade máxima (na dimensão de M) Grafo Bipartido: Grafo pode ser dividido em V = L R, em que L e R são disjuntos e em que todos os arcos de E estão entre L e R Emparelhamento Bipartido Máximo: Emparelhamento máximo em que G é bipartido 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 32 16

Emparelhamento Bipartido Máximo Construir G : V = V {s, t} E' = " " {( s,u) : u! L} {( u,v) : u! L,v! R, e ( u,v)! E} {( v,t) : v! R} Atribuir capacidade unitária a cada arco de E Emparelhamento bipartido máximo em G equivale a encontrar fluxo máximo em G Exemplo 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 33 Emparelhamento Bipartido Máximo Dados G e G : 1. Se M é um emparelhamento em G, existe um fluxo f de valor inteiro em G, com f = M Seja M um emparelhamento, e (u,v) M. Definir f utilizando arcos de M, f(s,u) = f(u,v) = f(v,t) = 1. Para restantes arcos (u,v) E, f(u,v) = 0 Os caminhos s u v t para todo o (u,v) M são disjuntos em termos dos vértices, com excepção de s e t Como existem M caminhos, cada um com uma contribuição de uma unidade de fluxo para o fluxo total f, f = M 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 34 17

Emparelhamento Bipartido Máximo Dados G e G : 2. Se f é um fluxo de valor inteiro em G, existe um emparelhamento M em G, com f = M Definir M = {(u,v): u L, v R e f(u,v) > 0} Para cada u L, existe no máximo um v R tal que f(u,v)=1 Apenas um arco incidente com capacidade 1 Capacidades são inteiras De forma simétrica para v R Logo M é um emparelhamento M = f(l,r) = f(s,l) = f(s,v ) = f 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 35 Emparelhamento Bipartido Máximo Se todas as capacidades têm valor inteiro, então para fluxo máximo f, f é inteiro Indução no número de iterações do algoritmo genérico de Ford-Fulkerson Emparelhamento bipartido máximo M em G corresponde a f, em que f é o fluxo máximo de G Se M é emparelhamento máximo em G, e f não é máximo em G, então existe f que é máximo f é inteiro, f > f e f corresponde a emparelhamento M, com M > M ; contradição 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 36 18

Emparelhamento Bipartido Máximo A aplicação do algoritmo genérico de Ford- Fulkerson tem complexidade O(E f* ) Emparelhamento bipartido máximo é não superior a min( L, R ) = O(V) e tem valor inteiro i.e., no caso do emparelhamento máximo, f* = O(V) Complexidade de identificação do emparelhamento bipartido máximo é O(V E) 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 37 Recapitular Fluxos Máximos em Grafos Definições e Propriedades Método de Ford-Fulkerson Algoritmo de Edmonds-Karp Emparelhamento Bipartido Máximo 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 38 19

A Seguir Fluxos Máximos em Grafos Algoritmos de Pré-Fluxo (push-relabel) Correcção do algoritmo genérico Análise do algoritmo genérico Algoritmo Relabel-To-Front Análise do algoritmo Relabel-To-Front 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 39 Fluxo Máximo Utilizando Pré-Fluxos Motivação & Intuição Operações Básicas Algoritmo Genérico Correcção do Método Análise do Método 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 40 20

Pré-Fluxos Intuição Operação mais localizada do que Ford-Fulkerson Não identificar caminhos de aumento Propriedade da conservação de fluxo não é mantida durante execução do algoritmo Cada vértice u contém reservatório de fluxo Representa excesso de fluxo e(u) Começar por enviar todo o fluxo possível de s para vértices adjacentes Noção de altura de cada vértice, que evolui com aplicação do algoritmo Envio de fluxo só de vértices mais altos para vértices mais baixos Fazer subir altura de vértices em caso de necessidade de envio de fluxo 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 41 Pré-Fluxos Definições Pré-Fluxo: f : V V R Verifica restrições de capacidade, simetria e f(v, u) 0 para vértices u V - { s } Não verifica necessariamente conservação de fluxo Excesso de fluxo: e(u) = f(v, u) u V - { s, t } transborda se e(u) > 0 Uma função h : V N é uma função de alturas se h(s) = V, h(t) = 0, e h(u) h(v) + 1 para todo o arco residual (u,v) E f Função de alturas permite estabelecer condições para ser possível enviar fluxo de u para v 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 42 21

Pré-Fluxos Operações Básicas Enviar fluxo de u para v: Push(u,v) d f (u,v) = min(e[u], c f [u,v]) f[u,v] = f[u,v] + d f (u,v) f[v,u] = - f[u,v] e[u] = e[u] - d f (u,v) e[v] = e[v] + d f (u,v) Aplica-se quando u transborda, c f [u,v] > 0, e h[u] = h[v] + 1 Subir altura de u: Relabel(u) h[u] = 1 + min{h[v] : (u,v) E f } Aplica-se quando u transborda, e (u,v) E f implica h[u] h[v] 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 43 Pré-Fluxos Operações Básicas Operação de envio de fluxo de u para v, Push(u, v): Saturating push: arco (u, v) fica saturado após aplicação da operação Push (i.e., f(u,v) = c(u,v) ) Caso contrário: Nonsaturating push OBS: Após um Push(u, v) nonsaturating, u deixa de transbordar (i.e., e(u)=0) 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 44 22

Pré-Fluxos Operações Básicas Initialize-Preflow(G, s) foreach v V[G] h[u] = 0 e[u] = 0 foreach (u,v) E[G] f[u,v] = 0 f[v,u] = 0 h[s] = V[G] foreach u Adj[s] f[s,u] = c(s,u) f[u,s] = -c(s,u) e[u] = c(s,u) h( u) # V se u = s = "! 0 caso contrário 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 45 Pré-Fluxos Algoritmo Genérico Generic-Push-Relabel(G) Initialize-Preflow(G, s) while existe operação de Push ou Relabel aplicável seleccionar e executar operação de Push ou Relabel return f Exemplo 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 46 23

Pré-Fluxos Correcção do Método G = (V, E), rede de fluxo com fonte s e destino t, f um pré-fluxo, e h uma função de alturas para f. Se vértice u transborda, então u pode ser sujeito a uma operação de Relabel ou de Push h é função de alturas, pelo que h(u) h(v) + 1 Se operação de Push não aplicável a u, então para qualquer arco residual (u, v), h(u) < h(v) + 1, pelo que h(u) h(v) Assim, operação de Relabel pode ser aplicada a u 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 47 Pré-Fluxos Correcção do Método h[u] nunca decresce; se operação de Relabel é aplicada, h[u] aumenta de pelo menos 1 unidade Valor de h[u] apenas alterado em Relabel Aplicar Relabel se, para todo o (u, v) E f, h[u] h[v] h[u] < 1 + min { h[v] : (u,v) E f } Pelo que valor de h[u] aumenta (de pelo menos 1 unidade) após Relabel 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 48 24

Pré-Fluxos Correcção do Método Durante a execução do algoritmo genérico o valor de h é mantido como função de alturas Inicialmente h é uma função de alturas Relabel(u) mantém h como função de alturas Arco (u, v) em E f h[u] h[v] + 1 após Relabel, pela definição de Relabel Arco (w, u) em E f h[w] h[u] + 1 antes de Relabel implica h[w] < h[u] + 1 após Relabel de u Push(u,v) mantém h como função de alturas (v, u) incluído em E f h[v] = h[u] 1 < h[u] + 1 (u, v) removido de E f deixa de existir restrição em h devido a (u, v) 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 49 Pré-Fluxos Correcção do Método Recapitular G = (V, E), rede de fluxo com fonte s e destino t, f um préfluxo, e h uma função de alturas para f. Se vértice u transborda, então u pode ser sujeito a uma operação de Relabel ou de Push h[u] nunca decresce; se operação de Relabel é aplicada, h[u] aumenta de pelo menos 1 unidade Durante a execução do algoritmo genérico valor de h é mantido como função de alturas 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 50 25

Pré-Fluxos Correcção do Método Em G f não existe caminho de s para t Prova por contradição Admitir caminho p = v 0, v 1,, v k de s para t em G f, com v 0 =s e v k =t Podemos admitir p caminho simples, k < V i = 0, 1,, k-1 (v i, v i+1 ) E f, e h[v i ] h[v i+1 ] + 1 (função de alturas) Pelo que, h[s] h[t] + k Como h[t] = 0, então h[s] k < V Mas h[s] = V ; uma contradição! 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 51 Pré-Fluxos Correcção do Método Se algoritmo genérico termina, o pré-fluxo calculado é o fluxo máximo para G Inicialmente temos um pré-fluxo Devido a Initialize-Preflow Algoritmo mantém a existência de pré-fluxo invariante Push e Relabel não alteram invariante Se algoritmo termina, e[u] = 0 para qualquer vértice u Caso contrário poderia aplicar-se Push ou Relabel! Nesta situação, pré-fluxo é um fluxo Porque não existem vértices a transbordar! E não existe caminho de s para t na rede residual Porque h é função de alturas! Pelo teorema do fluxo máximo corte mínimo, f é o fluxo máximo!! 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 52 26

Pré-Fluxos Análise do Método Para cada vértice u que transborda existe um caminho simples de u para s em G f OBS: Fluxo enviado tem de poder ser cancelado h[u] 2 V -1 para u V h[s] e h[t] são constantes Relabel a u apenas aplicado quando vértice u transborda Existe caminho simples p de u para s p = v 0, v 1,, v k, v 0 = u, v k = s, k V -1 h[v i ] h[v i+1 ] + 1, i = 0, 1,, k h[u] = h[v 0 ] h[v k ] + k h[s] + ( V -1) = 2 V - 1 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 53 Pré-Fluxos Análise do Método O número de operações de Relabel é não superior a 2 V -1 para cada vértice e a (2 V - 1)( V - 2) < 2 V 2 no total Relabel apenas pode ser aplicado a vértices em V - {s, t}, i.e. V -2 vértices Relabel faz subir valor de h[u] em pelo menos 1 unidade Para u V - {s, t}, valores possíveis para h[u] entre 0 e 2 V -1 Relabel aplicado a u não mais do que 2 V - 1 vezes Número total de operações de Relabel não superior a: (2 V - 1)( V - 2) < 2 V 2 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 54 27

Pré-Fluxos Análise do Método O número de saturating pushes é < 2 V E Analisar saturating pushes de u para v e de v para u Após Push(u,v), Push(v,u) requer aumento em h[v] de pelo menos 2 unidades Como 0 h[v] 2 V -1, o número máximo de vezes que a altura de v pode aumentar é V Esses V aumentos de h[v] podem implicar o mesmo número de aumentos de h[u], portanto para o par de vértices (u,v) o número total de saturating pushes é < 2 V Para todos os pares de vértices obtemos < 2 V E 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 55 Pré-Fluxos Análise do Método O número de nonsaturating pushes é 4 V 2 ( V + E ) Seja X V o conjunto de vértices que transborda Seja # =! " h[ v] v X Cada operação de Relabel(u) aumenta Φ em menos de 2 V Limitação da máxima altura possível para um vértice Cada Saturating Push aumenta Φ em menos de 2 V Apenas um novo vértice pode ficar a transbordar e alturas não variam Nonsaturating Push (u,v) decrementa Φ em pelo menos 1 u deixa de transbordar; v pode passar a transbordar e h[v] - h[u] = -1 O total de aumento de Φ é < 2 V (2 V 2 ) + 2 V (2 V E ) = 4 V 2 ( V + E ) 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 56 28

Pré-Fluxos Análise do Método Como Φ 0, número de nonsaturating pushes é menor do que 4 V 2 ( V + E ) Número de operações elementares é O(V 2 E) Utilizar resultados anteriores Número de operações limitado pelo número de nonsaturating pushes Complexidade do algoritmo genérico é O(V 2 E) O(V) para operação Relabel (calcular novo valor de h) O(1) para operação Push (actualizar valores) 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 57 Algoritmo Relabel-To-Front Complexidade: O(V 3 ) Descarga de um vértice u: Enviar todo o fluxo em excesso para os vértices vizinhos de u Lista de vizinhos de u: N[u] v em lista N[u] se: (u,v) E ou (v,u) E i.e. vértices para os quais um arco residual (u, v) pode existir Primeiro vizinho: head[n[u]] Próximo vizinho de u (a seguir a v): next-neighbor[v] 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 58 29

Algoritmo Relabel-To-Front Operação de descarga de um vértice: Discharge (u) while e[u] > 0 v = current[u] if v = NIL Relabel(u) current[u] = head[n[u]] else if c f (u,v) > 0 and h[u] = h[v] + 1 Push(u,v) else current[u] = next-neighbor[v] 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 59 Algoritmo Relabel-To-Front Relabel-To-Front(G, s, t) Initialize-Preflow(G, s) L = V - {s, t} por qualquer ordem foreach u V - {s, t} current[u] = head[n[u]] u = head[l] while u NIL oldh = h[u] Discharge(u) if h[u] > oldh colocar u na frente da lista L u = next[u] return f 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 60 30

Análise de Relabel-To-Front Complexidade do ciclo principal: O(V 3 ) Não contabilizando o tempo de Discharge Fase: tempo entre operações de relabel Número de fases = número de operações de Relabel = O(V 2 ) O(V 2 ) para qualquer algoritmo de Pré-Fluxo Cada fase consiste de O(V) execuções de Discharge Total de execuções de Discharge é O(V 3 ) Complexidade (sem contabilizar Discharge) é O(V 3 ) 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 61 Análise de Relabel-To-Front Complexidade acumulada das operações de Discharge: Operações Relabel: Complexidade: O(V E) para O(V 2 ) operações de Relabel Actualizações de current[u]: Executadas O(degree(u)) vezes após Relabel de u Executadas O(V degree(u)) no total para cada vértice u (cada vértice pode ser sujeito a O(V) operações de relabel) Total: O(V E) Operações Push: Saturating pushes: O(V E) Nonsaturating pushes: Limitado pelo número de operações Discharge, porque retorna após nonsaturating push, i.e. O(V 3 ) 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 62 31

Análise de Relabel-To-Front Complexidade do algoritmo: Complexidade (total) das operações de Discharge O(V 3 ) Complexidade do algoritmo sem operações de Discharge O(V 3 ) Complexidade do algoritmo Relabel-To-Front: O(V 3 ) 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 63 Fluxos de Custo Mínimo G = (V,E), com custos c ij e capacidades u ij para cada arco (i,j) E, e valor b(i) associado com cada i V Calcular fluxo x ij para cada arco (i,j) minimizar z ( x) = $ c x ij ij ( i,j)! E sujeito a : $ x # $ x ij ji { j: ( i,j)! E} { j: ( j,i)! E} () = b i i! V 0 " x ij " u ij ( i, j)! E OBS: Fluxos x ij são não negativos Propriedade de simetria não considerada nesta formulação 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 64 32

Fluxos de Custo Mínimo Problema genérico de optimização em grafos. É possível reduzir outros problemas em grafos ao problema de fluxos de custo mínimo Exemplos: Caminhos Mais Curtos Fluxo Máximo 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 65 Fluxos Máximos conservação de fluxo minimizar # $ x si ( s,i)! E c si = -1 c ji = 0, j s sujeito a : $ x # $ x ij ji { j: ( i,j)! E} { j: ( j,i)! E} 0 " x ij " u ij = 0 i! V # ( i, j)! E { s,t} x ij : fluxo entre i e j simétrico do fluxo enviado de s para V - {s, t} 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 66 33

Caminhos Mais Curtos com Fonte s minimizar ( c x ij ij ( i,j)! E Enviar uma unidade de fluxo de s para cada um dos restantes vértices c ij : peso do arco i,j sujeito a : x ij : fluxo entre vértices i e j ( x ' ( 0 " x ij ( i, j)! E x ij ji { j: ( i,j)! E} { j: ( j,i)! E} u ij = #& V ' 1 = % #$ ' 1 i = s i! V ' { s} Fluxo que sai de s é V -1 Admitir todos os vértices atingíveis a partir de s Cada vértice recebe uma unidade de fluxo 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 67 Revisão Fluxos Máximos em Grafos Definições & Propriedades Método de Ford-Fulkerson Teorema do Fluxo Máximo Corte Mínimo Análise do algoritmo genérico Algoritmo de Edmonds-Karp Análise do algoritmo de Edmonds-Karp Emparelhamento Bipartido Máximo Algoritmos baseados em Pré-Fluxos Fluxos de Custo Mínimo A seguir: Programação Linear (CLRS, Cap. 29) 2006/2007 Análise e Síntese de Algoritmos 68 34