1 CONSTRUÇÕES COM RÉGUA E COMPASSO NÚMEROS CONSTRUTÍVEIS Angélica Felix * angelicacqd@gmail.com Roberta Novais * roberta.novais@hotmail.com João Paulo dos Santos j.p.santos@mat.unb.br Universidade de Brasília Tema: construções com régua e compasso Modalidade: MC Público alvo: Público em geral. Pré-requisito: elementos da geometria plana. Palavras Chaves: Construções com régua e compasso; Geometria; Números Construtíveis. Resumo: O objetivo deste minicurso é, por meio da compreensão do significado de um número construtível, resgatar e mostrar quão importante é a construção com régua e compasso no ensino, além de relacionar geometria e álgebra apresentando novas resoluções de questões algébricas com construção geométrica. O minicurso está baseado numa sequência didática (Ferreira e Miranda) desenvolvida com base na metodologia de resolução de problemas (Saldanha), no âmbito do programa de Educação Tutorial PET, do Departamento de Matemática da Universidade de Brasília. O problema motivador deste minicurso é que as Construções Geométricas estão cada vez mais ausentes dos currículos escolares. A partir disso, busca-se no significado de números construtíveis a base para a preparação desse minicurso. * * Alunas bolsistas do PETMAT - UnB
2 Objetivo: Como esse minicurso tem como público pessoas em geral, tem-se objetivos diferentes com relação a professores e alunos. Relacionado ao primeiro, procura-se mostrar que construções com régua e compasso é uma forte ferramenta no ensino da matemática e que esse conteúdo não é difícil de aprender para aqueles que não têm domínio ou mesmo conhecimento sobre tal. Quanto aos alunos, é esperado que, por meio de tal conteúdo motivador e intrigante e das atividades propostas, seja possível promover o desenvolvimento de um pensamento sistêmico, do espírito de cooperação e do estabelecimento de conexões entre conhecimentos prévios; habilidades necessárias a sua formação. Os objetivos específicos são: Resgatar a construção com régua e compasso no ensino; Relacionar geometria e álgebra, apresentando novas resoluções de questões através de construções geométricas; Compreender o significado de um número construtível; Mostrar que nem todo número é construtível. Justificativa: Segundo Wagner e Carneiro, (1993, p. 18) As Construções Geométricas devem, em nossa opinião, acompanhar qualquer curso de Geometria na escola secundária; visto que os problemas são motivadores, intrigantes e conduzem a descobertas de novas propriedades. Os mesmos são educativos no sentido em que cada um é necessário uma análise da situação, onde se deve fazer um planejamento da construção, seguindo-se a execução dessa construção, a posterior conclusão sobre o número de soluções distintas e também sobre a compatibilidade dos dados. Ainda sob influência de Wagner e Carneiro (1993, p. 29), irão ser tratados problemas de construção de forma completamente diferente. Se a solução de um problema não ocorre através dos recursos dados em geometria plana, pode-se adotar como incógnita algum segmento ainda desconhecido e tentar exprimi-lo em função dos elementos conhecidos. Com isso, é obtida uma fórmula que calcula esse segmento desconhecido em função dos dados do problema. Aliando, assim, álgebra à geometria.
3 Além disso, vale lembrar que a ideia de construção, segundo Wagner e Carneiro, (1993, p. 92 e 93) significava para os gregos, construir apenas com régua e compasso. A concepção grega de número real era inteiramente geométrica, a distinção entre construções com régua e compasso e construções mecânicas continha uma classificação de números reais, como ficaria claro séculos mais tarde. De fato, desde cedo os gregos esbarraram na dificuldade de, somente com a régua e compasso, duplicar o cubo, quadrar o círculo, tri-seccionar um ângulo genérico, por exemplo. A dificuldade encontrada por eles mostrou-lhes um problema, de que até hoje algumas pessoas não percebem, e acabam confundindo construções aproximadas ou mecânicas, com construções exatas, com régua e compasso. A história do completo esclarecimento deste problema é uma das mais interessantes e instrutivas da história da Matemática, passando pela consolidação dos números complexos, com o grande Gauss (1777-1855), e pela teoria dos grupos com o genial Galois (1811-1832). Metodologia: Nos dias atuais, grande parte da metodologia de ensino de matemática se reduz a um modelo de aulas expositivas no qual o professor se torna o centro e o aluno tem um papel de mero expectador cujo seu maior esforço é, normalmente, na resolução de exercícios de fixação. A metodologia de resolução de problemas (Saldanha) permite ao aluno ser um agente ativo de seu aprendizado e, mais do que isso, proporciona ao aluno aprender. Nesse sentido, o minicurso pretende também mostrar ao professor e ao aluno mais uma forma de ensinoaprendizagem, fazendo o uso de situações problemas para as construções dos números. Além disso, esse processo permite que os alunos e professores tenham segurança em tal conteúdo, fazendo-os enxergarem que a prática e a experiência são necessárias e que insucessos têm tanto valor quanto os sucessos. Segundo Saldanha, o fato de analisar os diferentes caminhos escolhidos pelos alunos e seus resultados obtidos é muito enriquecedor para a aprendizagem. Verificar o porquê que um caminho não pode ser usado, o que está incorreto, o que invalida a resposta, são atividades que devem ser desenvolvidas com a participação de todos. Tendo em vista estes aspectos, no primeiro encontro, serão trabalhadas as construções básicas: construção de retas paralelas, reta perpendicular e mediatriz. Tais construções serão utilizadas para construções elementares de números com régua e compasso. Serão trabalhadas as construções elementares de números: a+b; a-b; a.b ; a b e a.
4 Para as construções básicas será abordada a construção de um losango. Dado uma reta em um ponto pertencente a esta reta, é possível construir losangos com régua e compasso de duas maneiras distintas. Uma construção é tal que uma das suas diagonais pertence a reta dada; e a outra, de tal forma que um dos lados pertença a reta dada. Por meio dessa construção, das propriedades do losango e de indagações os alunos serão levados às construções de retas paralelas e perpendiculares. Dados os segmentos a e b deixaremos que os próprios participantes construam os segmentos a+b e a-b, uma vez que tal construção é simples. Agora, na construção de ab e a/b faremos referência ao teorema de Tales, observando as posições relativas de cada segmento e mostrando a importância da unidade nessas relações sem a qual x=ab seria um resultado sem significado geometricamente, pois x é um segmento e ab é uma área. Serão relembradas as relações métricas num triangulo retângulo, afim de que com essas informações e com a resolução da construção da ab o aluno seja capaz de explicar os passos dessa construção e assim construir a a. No segundo encontro, serão apresentadas construções de soluções de equação do 2º grau e de sistemas com régua e compasso. Será abordado o conceito de número construtível e apresentada o princípio básico da solução do problema de números construtíveis. Ao final, apresentaremos o problema clássico da duplicação do cubo (Silva). A partir das construções de soluções de equações do 2º Grau do tipo x²-ax+b²=0 com régua e compasso, serão mostradas duas possibilidades geométricas de interpretar a possibilidade de a equação ter ou não solução nos reais. Para a primeira possibilidade, lembramos que = a ² - 4b² que pode ser reescrito como = a² - (2b)². Geometricamente isto significa que é um dos catetos de um triângulo retângulo de hipotenusa a e outro cateto igual a 2b. Após a discussão da existência deste triângulo retângulo, podemos assim, fazer uma interpretação geométrica da solução da equação. A segunda será feita a partir da resolução da equação com régua e compasso que utiliza o fato de que R 1 R 2 =b² e R 1 +R 2 =a como ilustrado na figura abaixo, no qual AB=a:
5 Ao final apresentaremos o seguinte exercício de cunho motivador, visto que o mesmo passa por resolução de equação do 2º grau: Resolver o sistema formado pelas equações: x-y=a e xy=b². Atividades: As atividades serão realizadas em uma sala com quadro negro, apagador e giz. Utilizaremos réguas e compassos (30 unidades de cada) e folhas brancas para resolver os exercícios. Será produzida uma apostila com conteúdo e as atividades propostas. As atividades de cada encontro estão relacionadas abaixo: 1º encontro equivalente a uma aula de 1 hora e 30 minutos. 1. Apresentação dos autores, breve explicação do minicurso, expondo os objetivos e descrição das atividades que serão desenvolvidas durante os encontros. (Tempo estimado: 5 minutos) 2. Dando início às atividades do primeiro encontro, serão relembradas as propriedades do losango e feita a construção do mesmo de duas maneiras distintas. (Tempo estimado 30 minutos) 3. Dados dois segmentos a e b, os alunos irão construir a+b e a-b. Uma forma simples para tal construção é por transposição dos segmentos em uma reta. (Tempo estimado 10 minutos) 4. Introdução à importância da unidade para as construções de ab e a/b e construção dos mesmos. (Tempo estimado 30 minutos) 5. Apresentação de uma construção de a. (Tempo estimado 15 minutos) 2º encontro equivalente a uma aula de 1 hora e 30 minutos. 1. Construções de soluções de equação do 2º grau, apresentação de duas maneiras distintas e de sistemas com régua e compasso. (Tempo Estimado 40 minutos) 2. Apresentação do conceito de número construtível e do princípio básico da solução do problema de números construtíveis. (Tempo estimado 40 minutos) 3. Exposição do problema clássico da duplicação do cubo. (Tempo estimado 10 minutos)
6 Bibliografia FERREIRA, F. A., MIRANDA, D. F., Demonstrações em Geometria Euclidiana: uma sequência didática como recurso metodológico em um curso de Licenciatura de Matemática. XII Encontro Brasileiro dos Estudantes de Pós-Graduação em Educação Matemática, 2008, Rio Claro. (2008) SILVA, L.P. Jr; Construções Geométricas Por Régua e Compasso e Números Construtíveis. 2013. 47f. Dissertação de Mestrado Profissional - PROFMAT, Universidade Federal de Campina Grande, Campina Grande. 2013. SALDANHA, M. A., Resolução de problemas: uma metodologia alternativa para o ensino e a aprendizagem de matemátia nas escolas do CASE, III EIEMAT Escola de Inverno de Educação Matemática, 1º Encontro Nacional PIBID Matemática. 2012. WAGNER, E.; CARNEIRO, J.P.Q.; Construções Geométricas. 6ª edição. Rio de Janeiro: SBM, 2007. 110p. (Coleção do Professor de Matemática)