Sétima Lista - Lei de Faraday FGE211 - Física III Sumário O fluxo magnético através de uma superfície S é definido como Φ B = B da A Lei da Indução de Faraday afirma que a força eletromotriz (fem) induzida em uma bobina que contém N espiras é proporcional ao negativo da taxa de variação do fluxo magnético: S ε = N dφ B dt A direção da corrente induzida é dada pela lei de Lenz que afirma que correntes induzidas produzem campos magnéticos que tendem às mudanças do fluxo magnético que as induziram. A força eletromotriz induzida pela lei de Faraday está associada a um campo elétrico não-conservativo: ε = E nc d s. Dicas para resolução de problemas Vimos que, devido a lei de Faraday, há uma fem induzida devido a variação do fluxo magnético: ε = N dφ B dt. Para um condutor, a fem induzida gera uma corrente I = ε R, onde R é a resistência do circuito. Para calcular a corrente induzida e sua direção, os passos abaixo podem ser úteis: 1
1. Para um circuito fechado de área A defina um vetor de área A de tal forma que ele aponte na direção do seu dedão (para a conveniência de aplicar a regra da mão direito mais para frente). Calcule o fluxo magnético através do circuito usando B A ( B uniforme) Φ B = B da ( B nao-uniforme) Determine também o sinal de Φ B. 2. Avalie a taxa de variação temporal do fluxo magnético (dφ B /dt). Tenha em mente que esta taxa pode variar devido a: mudanças no campo magnético (db/dt 0); mudanças na área do circuito se o condutor estiver se movendo (da/dt 0); mudança na orientação do circuito com relação ao campo magnético (dθ/dt 0) Não esqueça de determinar o sinal de dφ B /dt. 3. O sinal da fem induzida é oposto ao sinal de dφ B /dt. 4. A direção da corrente induzida é obtida usando a lei de Lenz. Questões conceituais 1. Um imã em forma de barra cai no meio de um anel circular como mostra a figura 1. Figura 1: Imã em barra caindo no meio de um anel circular condutor. 2
(a) Qualitativamente, qual a mudança do fluxo magnético através do anel quando a barra está acima e abaixo dele? (b) Faça um gráfico da corrente induzida no anel como uma função do tempo, escolhendo I positivo quando a direção é anti-horária (vista de cima). 2. Dois anéis circulares A e B tem seus planos paralelos um ao outro como mostra a figura 2. A corrente do anel A está se movendo na direção anti-horária (vista de cima). Figura 2: Dois anéis paralelos. (a) Se a corrente no anel A diminui com o tempo, qual a direção da corrente induzida no anel B? Os dois anéis vão se atrair ou se repelir? (b) Se a corrente no anel A aumenta com o tempo, qual a direção da corrente induzida no anel B? Os dois anéis vão se atrair ou se repelir? 3. Uma casca esférica condutora é colocada em um campo magnético variável. Há uma corrente induzida no equador? 4. Um loop retangular se move através de um campo magnético uniforme mas a corrente induzida é zero? Como isso é possível? Problemas 1. Anel retangular perto de um fio Um fio infinito carrega uma corrente I e é posto a esquerda de um anel retangular de largura w e altura l como mostra a figure 3. (a) Determine o fluxo magnético através do anel retangular devido a corrente I. (b) Sponha que a corrente é uma função do tempo I(t) = a+bt, onde a e b são constantes positivas. Qual a fem induzida no anel e qual a direção da corrente induzida? 3
Figura 3: Anel retangular perto de um fio. 2. Anel com área variável Um anel quadrado de lado l é posto em um campo magnético uniforme apontando para dentro da página como mostra a figura 4 (a). Durante um intervalo de tempo t, o anel é esticado como mostra a figura. Assuma que a resistência total do anel é R. Ache a corrente induzida no anel. Figura 4: Anel quadrado posto em campo magnético uniforme e esticado pelas suas extremidades. 3. Bastão deslizando Um bastão condutor de comprimento l é livre para deslizar em duas barras condutoras paralelas como mostra a figure 5. Dois resistores R 1 e R 2 estão conectados nas extremidades das barras. Há um campo magnético apontando para dentro da página. Suponha que um agente externe puxe a barra para a esquerda com uma velocidade constante v. Avalie: (a) As correntes nos dois resistores. (b) A potência total dissipada pelos resistores. (c) A força aplicada necessária para manter a velocidade do bastão constante. 4
Figura 5: Bastão de comprimento l deslizando sobre duas barras condutoras. 4. Barra se movendo Uma barra constante de comprimento l se move com velocidade v perpendicular a um fio infinito pelo qual passa uma corrente I como mostra a figura 6. Qual a diferença de potencial entre as extremidades da barra? Figura 6: Barra se movendo perpendicularmente a um fio infinito. 5. Campo magnético variando no tempo Um anel circular de raio a é colocado em um campo magnético perpendicular a normal do anel como mostra a figure 7. O campo magnético varia de acordo com a relação B(t) = B 0 +bt onde B 0 e b são constantes positivas. (a) Calcule o fluxo magnético através do anel em t = 0. (b) Calcule a fem induzida no anel. (c) Qual a corrente induzida (magnitude e direção) se o a resistência do anel é R? (d) Qual a potência dissipada no anel? 6. Anel se movimentando Um anel retangular de dimensões l e w se move com velocidade constante v se afastando de um fio infinito que carrega uma corrente I 5
Figura 7: Anel circular posto em um campo magnético não-uniforme perpendicular a ele. como mostra a figura 8. Se a resistência total do anel é R, qual a corrente induzida nele quando o lado inferior está a uma distância r do fio? Figura 8: Anel retangular de dimensões l e w se afastando de um fio infinito. 7. Barra deslizando Uma barra condutora de massa m e resistência R desliza sem atrito sobre dois trilhos paralelos separados por uma distância l e conectados a uma bateria que mantêm uma fem constante ɛ como mostra a figura 9. Esta região está imersa em um campo magnético constante B saindo da página. Considerando que a barra está inicialmente em repouso, mostre que após um tempo t sua velocidade pode ser dada por onde τ = mr/b 2 l 2. v = ɛ Bl ( 1 e t/τ ), 6
Figura 9: Barra condutora deslizando sobre trilhos condutores em uma região com campo magnético constante. 8. Barra em um plano inclinado Uma barra condutora de massa m e resistência R desliza sobre dois trilhos condutores inclinados que fazem um ângulo θ com a horizontal e estão separados por uma distância l, como mostra a figura 10. Esta região está imersa em um campo magnético constante B direcionado para cima. A barra é liberada do repouso e começa a deslizar. Figura 10: Barra deslizando em um plano inclinado em uma região de campo magnético constante. (a) Qual a corrente induzida na barra? Qual a sua direção? De a para b ou de b para a? (b) Ache a velocidade terminal da barra, v t. Após chegar na velocidade terminal: (c) Qual a corrente induzida na barra? 7
(d) Qual a taxa com a qual a energia elétrica é dissipada na barra? (e) Qual a taxa com que a força gravitacional realiza trabalho na barra? 9. Barra com uma polia Uma barra condutora de massa m e resistência R é puxada horizontalmente através de dois trilhos condutores paralelos separados por uma distância l. Isso é feito através de um fio de massa desprezível conectado a uma polia e a um bloco de massa M, como mostra a figura 11. Nesta região há um campo magnético constante B direcionado para cima. A barra é liberada do repouso. Figura 11: Barra sendo puxada horizontalmente por um bloco de massa M através de uma polia. (a) Suponha que em um certo instante a velocidade da barra é v. Ache a corrente induzida em função de v. Qual a direção da corrente? De a para b ou de b para a? Ignore o atrito entre as barras. (b) Resolva a equação diferencial que rege o movimento dessa barra e ache a sua velocidade em função do tempo. 10. Barra rodando Uma barra condutora de comprimento l tem uma de suas extremidades fixas e está rodando com uma velocidade angular ω em um plano perpendicular a um campo magnético uniforme B como mostra a figura 12. 8
Figura 12: Barra fixa em uma extremidade e rodando em um plano perpendicular a um campo magnético constante. (a) Um pequeno elemento carregado com uma carga q está a uma distância r da extremidade fixa. Mostre que a força magnética nesse elemento é F B = qbrω. (b) Mostre que a diferença de potencial entre as extremidades da barra é V = 1 2 Bωl2. 11. Anel retangular se movendo em um campo magnético Um pequeno anel retangular de altura l = 10cm e largura w = 8cm cuja resistência é R = 2Ω é puxado com velocidade constante v = 2cm/s através de uma região com campo magnético uniforme B = 2T entrando na página como mostra a figura 13. Em t = 0 a frente do retângulo adentra a região com campo magnético. Há campo magnético apenas na região assinalada na figura. Figura 13: Retângulo se movendo em uma região com campo magnético. 9
(a) Calcule o fluxo magnético e faça um gráfico dele em função do tempo (de t = 0 até o instante em que o anel sai da região com campo magnético). (b) Ache a fem induzida e grafique-a em função do tempo. (c) Qual a direção da corrente induzida? 12. Força eletromotriz devido a um campo magnético variando no tempo Um campo magnético uniforme B é posto perpendicularmente a uma espira circular de resistência desprezível como mostra a figura 14. O campo magnético varia no tempo como mostra o gráfico. O raio da espira é r = 50cm e ela está conectada em série com um resistor de resistência R = 20Ω Figura 14: Espira em um campo magnético variando no tempo. (a) Qual a expressão para a fem induzida em termos de B z (t)? (b) Faça um gráfico da fem induzida no circuito em função do tempo. Nomeie os eixos quantitativamente (números e unidades) e cuidado com os sinais. Note que nomeamos a direção positiva da fem na figura assumindo que o campo é positivo e saindo da folha. [Resposta parcial: ɛ vale 1, 96V, 0V e 0, 98V.] (c) Grafique a corrente que passa pelo resistor. Não se esqueça de nomear os eixos quantitativamente e de indicar a direção com que a corrente flui sobre a espira em cada intervalo de tempo. [Respostas parciais: os valores da corrente são 98mA, 0A e 49mA.] (d) Faça um gráfico da produção de energia térmica no resistor em função do tempo. [Respostas parciais: os valores são 192mW, 0W e 48mW.] 10