Introdução à Física Estatística. Francisco Assis Gois de Almeida

Introdução à Física Estatística Francisco Assis Gois de Almeida São Cristóvão/SE 2012

Introdução à Fisica Estatística Elaboração de Conteúdo Francisco Assis Gois de Almeida Capa Hermeson Alves de Menezes Diagramação Francisco Assis Gois de Almeida Copyright 2012, Universidade Federal de Sergipe / CESAD. Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização por escrito da UFS. Ficha catalográfica produzida pela Biblioteca Central Universidade Federal de Sergipe A447i Almeida, Francisco Assis Gois de. Introdução à Física Estatística / Francisco Assis Gois de Almeida. -- São Cristóvão: Universidade Federal de Sergipe, CESAD, 2012. 1. Física estatística. 2. Termodinâmica. 3. Estatística. 4. Mecânica estatística. 5. Mecânica quântica. I. Título. CDU 53.01:311

Presidente da República Dilma Vana Rousseff Ministro da Educação Fernando Haddad Diretor de Educação a Distância João Carlos Teatini Souza Clímaco Reitor Josué Modesto dos Passos Subrinho Chefe de Gabinete Ednalva Freire Caetano Coordenador Geral da UAB/UFS Diretor do CESAD Antônio Ponciano Bezerra coordenador-adjunto da UAB/UFS Vice-diretor do CESAD Fábio Alves dos Santos Vice-Reitor Angelo Roberto Antoniolli Diretoria Pedagógica Clotildes Farias de Sousa (Diretora) Diretoria Administrativa e Financeira Edélzio Alves Costa Júnior (Diretor) Sylvia Helena de Almeida Soares Valter Siqueira Alves Coordenação de Cursos Djalma Andrade (Coordenadora) Núcleo de Formação Continuada Rosemeire Marcedo Costa (Coordenadora) Núcleo de Serviços Gráficos e Audiovisuais Giselda Barros Núcleo de Tecnologia da Informação João Eduardo Batista de Deus Anselmo Marcel da Conceição Souza Raimundo Araujo de Almeida Júnior Assessoria de Comunicação Edvar Freire Caetano Guilherme Borba Gouy Núcleo de Avaliação Hérica dos Santos Matos (Coordenadora) Carlos Alberto Vasconcelos Coordenadores de Curso Denis Menezes (Letras Português) Eduardo Farias (Administração) Haroldo Dorea (Química) Hassan Sherafat (Matemática) Hélio Mario Araújo (Geografi a) Lourival Santana (História) Marcelo Macedo (Física) Silmara Pantaleão (Ciências Biológicas) Coordenadores de Tutoria Edvan dos Santos Sousa (Física) Geraldo Ferreira Souza Júnior (Matemática) Ayslan Jorge Santos de Araujo (Administração) Priscila Viana Cardozo (História) Rafael de Jesus Santana (Química) Gleise Campos Pinto Santana (Geografi a) Trícia C. P. de Sant ana (Ciências Biológicas) Laura Camila Braz de Almeida (Letras Português) Lívia Carvalho Santos (Presencial) NÚCLEO DE MATERIAL DIDÁTICO Hermeson Menezes (Coordenador) Marcio Roberto de Oliveira Mendoça Neverton Correia da Silva Nycolas Menezes Melo UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE Cidade Universitária Prof. José Aloísio de Campos Av. Marechal Rondon, s/n - Jardim Rosa Elze CEP 49100-000 - São Cristóvão - SE Fone(79) 2105-6600 - Fax(79) 2105-6474

Sumário Aula 1: Termodinâmica I: equilíbrio e conservação 11 1.1 Introdução....................... 12 1.2 Conceitos básicos................... 12 1.3 Lei zero da termodinâmica.............. 15 1.4 Primeira lei da termodinâmica............ 16 1.4.1 Trabalho realizado por um gás....... 17 1.4.2 Conservação de energia........... 19 1.5 Conclusão....................... 20 1.6 Resumo........................ 20 1.7 Atividades....................... 21 1.8 Próxima aula..................... 23 Aula 2: Termodinâmica II: processos 25 2.1 Introdução....................... 26 2.2 Representação gráca de processos......... 26 2.2.1 Reversibilidade de processos......... 27 2.2.2 Trabalho em um gráco........... 30 2.3 Processos especiais.................. 32 2.4 Conclusão....................... 35 2.5 Resumo........................ 35

2.6 Atividades....................... 36 2.7 Próxima aula..................... 38 Aula 3: Termodinâmica III: entropia 41 3.1 Introdução....................... 42 3.2 Ciclo de Carnot.................... 42 3.3 A segunda lei da termodinâmica.......... 48 3.4 Entropia........................ 51 3.5 A terceira lei da termodinâmica........... 55 3.6 Conclusão....................... 57 3.7 Resumo........................ 58 3.8 Atividades....................... 58 3.9 Próxima aula..................... 61 Aula 4: Conceitos básicos de estatística 63 4.1 Introdução....................... 64 4.2 Probabilidade..................... 64 4.2.1 Regra da soma................ 69 4.2.2 Regra da multiplicação............ 70 4.3 Variáveis aleatórias e densidade de probabilidade. 73 4.4 Momentos....................... 74 4.5 Conclusão....................... 75 4.6 Resumo........................ 75 4.7 Atividades....................... 76 4.8 Próxima aula..................... 80 Aula 5: Mecânica estatística clássica 83 5.1 Introdução....................... 84 5.2 Equilíbrio estatístico................. 84

5.3 Interpretação microscópica da entropia....... 86 5.4 Distribuição de Maxwell-Boltzmann........ 88 5.4.1 Contanto microestados............ 89 5.4.2 Maximizando o número de microestados.. 91 5.4.3 Interpretação estatística da temperatura.. 93 5.5 Aplicação ao gás ideal................ 97 5.6 Conclusão....................... 99 5.7 Resumo........................ 100 5.8 Atividades....................... 100 5.9 Próxima aula..................... 103 Aula 6: Propriedades térmicas dos gases I: equações de estado 105 6.1 Introdução....................... 106 6.2 Gás ideal....................... 106 6.3 Gases reais...................... 107 6.3.1 Energia total de um sistema de partículas isolado..................... 108 6.3.2 Função de grande partição.......... 109 6.3.3 Segundo coeciente do virial......... 112 6.4 Conclusão....................... 118 6.5 Resumo........................ 119 6.6 Atividades....................... 120 6.7 Próxima aula..................... 122 Aula 7: Propriedades térmicas dos gases II: calor especíco e equipartição da energia 123 7.1 Introdução....................... 124 7.2 Calor especíco de um gás ideal monoatômico... 124

7.3 Calor especíco de um gás ideal poliatômico.... 125 7.3.1 Efeito rotacional............... 128 7.3.2 Efeito vibracional............... 133 7.4 Princípio de equipartição da energia........ 136 7.5 Conclusão....................... 139 7.6 Resumo........................ 139 7.7 Atividades....................... 141 7.8 Próxima aula..................... 144 Aula 8: Mecânica estatística quântica I: férmions 145 8.1 Introdução....................... 146 8.2 Distribuição de Fermi-Dirac............. 146 8.2.1 Contando microestados........... 147 8.2.2 Maximizando o número de microestados.. 148 8.2.3 Energia de Fermi............... 148 8.3 Gás ideal de elétrons................. 150 8.4 Conclusão....................... 153 8.5 Resumo........................ 153 8.6 Atividades....................... 154 8.7 Próxima aula..................... 156 Aula 9: Mecânica estatística quântica II: bósons 159 9.1 Introdução....................... 160 9.2 Distribuição de Bose-Einstein............ 160 9.2.1 Contando microestados........... 160 9.2.2 Maximizando o número de microestados.. 162 9.3 Radiação do corpo negro: gás de fótons...... 162 9.4 Calor especíco de sólidos: gás de fônons...... 167 9.5 Conclusão....................... 170

9.6 Resumo........................ 170 9.7 Atividades....................... 171 9.8 Próxima aula..................... 175 Aula 10: Comparação das três estatísticas 177 10.1 Introdução....................... 178 10.2 Gás ideal quântico.................. 178 10.2.1 Gás ideal bosônico.............. 178 10.2.2 Gás ideal fermiônico............. 182 10.3 Comparação das três estatísticas.......... 183 10.4 Conclusão....................... 185 10.5 Resumo........................ 185 10.6 Atividades....................... 186

Termodinâmica I: equilíbrio e conservação 1 AULA META Introduzir conceitos básicos de termodinâmica, sua lei zero e sua primeira lei. OBJETIVOS Ao m da aula os alunos deverão ser capazes de: Compreender o papel da termodinâmica e seus conceitos básicos. Entender a lei zero e a primeira lei da termodinâmica. Resolver problemas envolvendo estes conceitos. PRÉ-REQUISITOS Cálculo diferencial e integral.

Termodinâmica I: equilíbrio e conservação 1.1 Introdução Equilíbrio térmico é a situação na qual as grandezas macroscópicas de um sistema observado deixam de variar no tempo. Apesar da mecânica estatística também tratar de sistemas fora do equilíbrio (mecânica estatística de não equilíbrio), iremos apenas abordar sobre a mecânica estatística de equilíbrio. Caro aluno, antes de introduzirmos conceitos de física estatística, é importante conhecermos alguns fundamentos de termodinâmica. Apesar destas serem áreas correlatas, a física estatística é uma teoria reducionista, pois estuda as propriedades macroscópicas de sistemas em equilíbrio térmico através de uma abordagem estatística das propriedades microscópicas dos constituintes do sistema. Por outro lado, a termodinâmica é uma teoria fenomenológica que descreve sistemas macroscópicos em equilíbrio térmico. Neste caso, o sistema passa a ser caracterizado por grandezas macroscópicas que retratam efetivamente os efeitos microscópicos, sem se referir a estes. Já imaginou se sempre que precisássemos denir o estado de um gás, fosse necessário saber as posições e as velocidades de todas as inúmeras partículas que o constituem? Para nosso alívio, um gás é macroscopicamente caracterizado por grandezas efetivas como pressão, volume e temperatura, sem ser necessário recorrer a detalhes de cada uma das partículas que o constituem. Nesta aula iremos apreciar conceitos básicos de termodinâmica e enunciar duas de suas quatro leis. 1.2 Conceitos básicos Vamos agora introduzir alguns conceitos fundamentais de termodinâmica. Sistema termodinâmico: sistema macroscópico caracterizado por propriedades macroscópicas. Um sistema termodinâmico pode ser classicado de três formas: 12

Introdução à Física Estatística Isolado: não troca energia e nem matéria com o meio externo. 1 AULA Fechado: troca energia, porém não troca matéria com o meio externo. Aberto: troca energia e matéria com o meio externo. Equilíbrio térmico ou equilíbrio termodinâmico: situação em que as propriedades macroscópicas de um sistema termodinâmico não variam no tempo. Este conceito também pode estar associado entre dois sistemas distintos, onde dizemos que dois sistemas estão em equilíbrio térmico entre si quando as propriedades macroscópicas de ambos deixam de variar no tempo. É importante notar que a maneira com a qual um sistema alcança o equilíbrio térmico não é relevante para sua atual situação. Estado termodinâmico: estado em equilíbrio térmico de um sistema termodinâmico. Variáveis de estado: são grandezas macroscópicas que caracterizam um estado termodinâmico. Extensiva: seu valor varia proporcionalmente com a variação das dimensões do sistema. Intensiva: seu valor não se modica com a variação das dimensões do sistema. Para exemplicar estes conceitos, observe a g. 1.1, onde temos dois recipientes idênticos de volume V, contendo o mesmo gás com pressão P e temperatura T. Ao 13

Termodinâmica I: equilíbrio e conservação Figura 1.1: Conexão de recipientes idênticos com o mesmo gás às mesmas condições. A pressão e a temperatura permanecem iguais, enquanto o volume de gás dobra. Isto justica o fato de que P e T são variáveis de estado intensivas, enquanto V é extensiva. conectarmos os dois recipientes, passamos a ter um recipiente único de volume 2V, onde o gás continua tendo pressão P e temperatura T. Visto que o volume do sistema dobrou com a duplicação do sistema, V é uma variável de estado extensiva. No entanto, a pressão e a temperatura não mudaram com o aumento do sistema e, portanto, são variáveis de estado intensivas. Processo termodinâmico: mecanismo de mudança do estado termodinâmico. Temperatura: variável de estado intensiva, associada intuitivamente com a noção de quente (temperatura alta) e frio (temperatura baixa). Quando dois sistemas estão em equilíbrio térmico entre si, dizemos que estes possuem a mesma temperatura. É importante destacar que a temperatura é uma propriedade denida apenas em situações de equilíbrio térmico. 14

Introdução à Física Estatística 1 AULA Figura 1.2: Ilustração conceitual da lei zero da termodinâmica. adaptada da ref. [3]. Figura A temperatura está associada com a energia mecânica média das partículas que constituem o sistema termodinâmico. Calor: energia de trânsito entre sistemas termodinâmicos. É importante enfatizar que, diferente da temperatura, o calor não é uma variável de estado, pois não caracteriza um estado termodinâmico. Além disso, o calor se propaga espontaneamente sempre do sistema mais quente para o mais frio. 1.3 Lei zero da termodinâmica Sejam A, B e C três sistemas termodinâmicos. O enunciado da lei zero da termodinâmica diz: se A está em equilíbrio térmico com B e, por outro lado, B e C também estão em equilíbrio térmico, então A está em equilíbrio térmico com C. 15

Termodinâmica I: equilíbrio e conservação Esta lei pode ser ilustrada pela g. 1.2, onde vemos em (a) que A está em equilíbrio térmico com C, pois estão ligados por um condutor térmico. Sendo assim, existe a passagem de calor de A para C até que os dois estejam em equilíbrio térmico, ou seja, quando as grandezas macroscópicas dos dois sistemas deixam de variar no tempo. Neste caso, não há mais transmissão de calor e, portanto, as temperaturas de A e C se igualam T A = T C. (1.1) O mesmo acontece entre B e C e, consequentemente, T B = T C. (1.2) No entanto, existe um isolante térmico entre A e B impedindo a passagem de calor diretamente entre eles. Isso poderia nos levar a pensar que, em geral, A e B não estão em equilíbrio térmico, o que não é verdade. Efetivamente, existe um contato térmico entre entre A e B mediado por C e, desta forma, os três sistemas estão em equilíbrio térmico, como pode ser vericado através eqs. (1.1) e (1.2) T A = T B, concordando, portanto, com a lei zero da termodinâmica. Ainda nesta gura, perceba que em (b), não há contato térmico de C nem com A e nem com B, implicando que A está em equilíbrio térmico com B, mas C não está em equilíbrio com nenhum dois dois. 1.4 Primeira lei da termodinâmica Como em termodinâmica estamos em busca de grandezas macroscópicas efetivas, é comum termos, basicamente, três formas de energias. 16

Introdução à Física Estatística 1 AULA Figura 1.3: Expansão innitesimal dv de um recipiente contendo um gás de pressão P = F ˆn/A, onde A é a área do êmbolo cinza móvel e ˆn é o vetor normal unitário à área do êmbolo. O deslocamento longitudinal innitesimal é dh. Uma delas é o calor, que, como já foi visto na sec. 1.2, é a energia que transita entre sistemas termodinâmicos, do mais quente para o mais frio. Outra delas é a energia interna de um sistema termodinâmico, a qual está relacionada à média das energias cinética e potencial dos seus constituintes microscópicos. Por m, temos também o trabalho como forma de energia. 1.4.1 Trabalho realizado por um gás Devemos lembrar que, por denição, o trabalho innitesimal de uma força F que realiza um deslocamento d r é dw F d r. (1.3) Lembre-se de que a energia cinética está associada ao movimento de uma forma geral, como por exemplo, à translação, à rotação e à vibração. Por outro lado, a energia potencial está relacionada à interação entre corpos. O uso do símbolo d é para representar que o trabalho não é uma variável de estado e, portanto, possui uma diferencial não exata. Considerando a ilustração representada pela g. 1.3, podemos calcular o trabalho innitesimal realizado por um gás para uma Uma diferencial não exata df, é aquela cuja integral depende do caminho e, matematicamente, implica que, em geral, df 0. Mais detalhes na ref. [4]. 17

Termodinâmica I: equilíbrio e conservação expansão innitesimal do seu volume. Desta forma, identicamos d r = ˆn dh e, portanto, temos dw = F ˆn dh = F ˆn A A dh. Perceba que, por denição, a pressão é P F ˆn/A e que, o volume innitesimal é dv = A dh. Portanto, o trabalho innitesimal neste caso pode ser escrito como dw = P dv. (1.4) A eq. (1.4) em estudo dos gases é mais útil do que a denição tradicional do trabalho dada pela eq. (1.3), pois num gás é comum trabalharmos com pressão e volume, ao invés de força e posição. Fazendo uma analogia entre estas equações, é comum chamarmos a pressão e o volume de, respectivamente, força e deslocamento generalizados. Desta mesma forma, existem outros tipos de forças e deslocamentos generalizados, que produzem trabalho em sistemas diversos como, por exemplo, a aplicação de um campo magnético em um meio magnético pode ser interpretada como uma força generalizada e seu deslocamento generalizado é a magnetização, onde o trabalho é dw = H dm [4]. Podemos concluir que o trabalho realizado por um gás para variar seu volume de V 0 a V é W = V V 0 P dv. (1.5) Exemplo 1.4.1. Um gás ocupando um volume de 0,30 m 3 exerce uma pressão de 2 10 5 Pa. O gás se expande até um volume de 0,45 m 3, mantendo a pressão constante. Calcule o trabalho realizado pelo gás. (Exemplo retirado da ref. [2].) 18

Introdução à Física Estatística Solução: Usando a eq. (1.5) com P sendo constante e lembrando que Pascal, Pa = N/m 2, é a unidade de pressão do S.I., temos 1 AULA V W = P dv = P (V V 0 ) (1.6) V 0 = 2 10 5 (0,45 0,30) = 3 10 4 J. Exemplo 1.4.2. Um gás se expande cumprindo a relação P V = C (constante). Esta relação requer que a temperatura do gás seja constante e constitui a lei de Boyle. Encontre o trabalho realizado quando o volume se expande de V 1 até V 2. (Exemplo retirado da ref. [2].) Solução: Usando a eq. (1.5) com P = C/V, obtemos W = V2 V 1 P dv = C V2 1.4.2 Conservação de energia V 1 dv V = C ln ( V2 V 1 ). Da mesma forma que um sistema pode realizar ou sofrer trabalho, também pode receber ou liberar calor. Analogamente, o calor possui diferencial não exata, dq, pois não é uma variável de estado. É fundamental que levemos em conta que, independente da forma que o sistema troque energia com o meio externo, esta deve ser conservada. Sendo assim, podemos interpretar que, innitesimalmente, o calor recebido por um sistema pode ser convertido em trabalho ou em aumento de energia interna. Matematicamente, esta propriedade de conservação de energia pode ser expressa como dq = dw + du ou du = dq dw. (1.7) 19

Termodinâmica I: equilíbrio e conservação Podemos também integrar a eq. (1.7) de um estado inicial a um nal, obtendo U U U 0 = Q W. (1.8) Esta lei de conservação de energia em sistemas termodinâmicos é conhecida como a primeira lei da termodinâmica, a qual pode ser enunciada como: a variação de energia interna de um sistema termodinâmico é igual ao calor absorvido pelo sistema menos o trabalho exercido por este. 1.5 Conclusão Os conceitos básicos de termodinâmica são fundamentais para o domínio do conteúdo. Através da lei zero é que se consegue compreender a relação entre temperatura e equilíbrio térmico. Além disso, as energias observadas macroscopicamente devem sempre respeitar o fundamento de conservação de energia como enuncia a primeira lei da termodinâmica. 1.6 Resumo Iniciamos esta aula apresentando a visão geral do papel da termodinâmica como uma teoria fenomenológica, a qual é focada em estudar sistemas macroscópicos em equilíbrio térmico, observando as propriedades macroscópicas que os caracterizam (variáveis de estado), sem entrar em detalhes microscópicos do sistema. Vimos conceitos fundamentais de termodinâmica como: sistema termodinâmico, equilíbrio térmico ou termodinâmico, estado termodinâmico, processo termodinâmico, variáveis de estado, temperatura 20

Introdução à Física Estatística e calor. Enunciamos a lei zero da termodinâmica a qual estabelece que se dois corpos estão equilíbrio térmico com um terceiro corpo, 1 AULA estes estão em equilíbrio térmico entre si e, portanto, possuem a mesma temperatura. Mostramos que o trabalho para variar volume pode ser calculado pela integral W = V V 0 P dv, onde zemos analogia de P com uma força generalizada e de dv como um deslocamento generalizado. O trabalho pode ser denido de outras formas, de acordo com o sistema que está sendo estudado. Por exemplo, o trabalho de um campo elétrico H para variar a magnetização M de um sistema termodinâmico com propriedades magnéticas é W = M M 0 H d M, onde, por analogia, o campo magnético e a magnetização são, respectivamente, a força e o deslocamento generalizados. O trabalho possui uma diferencial não exata, pois sua integração depende do caminho (processo termodinâmico) que segue o sistema. Por este motivo, o trabalho não pode ser uma variável de estado, pois ele depende do processo termodinâmico que guia o sistema e não caracteriza um estado. Da mesma forma, o calor possui diferencial não exata e não pode ser uma variável de estado. Além disso, vimos que o princípio de conservação de energia é estabelecido pela primeira lei da termodinâmica, a qual enuncia que a variação de energia interna de um sistema termodinâmico deve ser igual ao calor recebido pelo sistema menos o trabalho que este realiza. 1.7 Atividades ATIV. 1.1. Qual a importância da lei zero da termodinâmica no processo de medição da temperatura, ou seja, como esta lei está 21

Termodinâmica I: equilíbrio e conservação relacionada com a existência do termômetro? Comentário: No enunciado da lei zero da termodinâmica que zemos nesta aula, imagine uma situação em que o corpo C é um termômetro e o corpo B é uma sistema com uma temperatura de referência para calibração do termômetro. Uma leitura na ref. [4] pode auxiliar nesta interpretação. ATIV. 1.2. Por que numa expansão o trabalho realizado por um gás é positivo, enquanto numa compressão é nagativo? Como este trabalho negativo pode ser relacionado com o trabalho realizado pelo meio externo? Comentário: Note que sempre P 0 e que numa expsansão V > V 0 e numa compressão V < V 0. Uma leitura na ref. [1] ou [2] pode auxiliar na interpretação do trabalho do meio externo. ATIV. 1.3. Um gás é mantido a uma pressão constante de 20 atm enquanto se expande de um volume de 5 10 3 m 3 a um volume de 9 10 3 m 3. Calcule a quantidade de calor que deve ser fornecida ao gás para (a) manter constante sua energia interna; (b) aumentar sua energia interna pelo mesmo valor do trabalho realizado. Expresse os resultados em cal e em J. (Atividade adaptada da ref. [2].) 22

Introdução à Física Estatística Comentário: O trabalho para pressão constante pode ser calculado como foi feito no exemplo 1.4.1. A relação entre calor, variação de energia interna e trabalho é dada pela primeira lei da termodinâmica [eq. (1.8)]. Dados: 1 cal 4,186 J 1 atm 101325 Pa. 1 AULA ATIV. 1.4. Um gás se expande a partir de um estado A caracterizado por um volume V 0 e uma pressão P 0, até um estado B correspondente a um volume V 1. Nesta expansão, a pressão varia com o volume de acordo com P = P 0 (V 0 /V ) 5/3. (1.9) (a) Determine a pressão P 1 correspondente ao estado B. (b) Calcule o trabalho realizado pelo gás, quando ele se expande do estado A até o estado B. (c) Supondo que não houve troca de calor durante esta expansão, qual é a variação de energia interna? (d) O gás teve sua energia aumentada ou diminuída? Justique sua resposta. (Atividade adaptada da ref. [5].) Esta é uma expansão adiabática e reversível (isentrópica). Maiores detalhes serão vistos na resolução da ativ. 7.4. Comentário: A eq. (1.9) representa P em função de V. 1.8 Próxima aula Na próxima aula, estudaremos com maiores detalhes os processos termodinâmicos, representando-os gracamente e estudando alguns casos especiais. 23

Termodinâmica I: equilíbrio e conservação Referências [1] ALONSO, M; FINN, E. J. Physics. 2.ed. Addison-Wesley, 1986. [2] ALONSO, M; FINN, E. J. Fisica. Volumen III : Fundamentos Cuanticos y Estadisticos. Edicion Revisada y Aumentada. Wilmigton: Addison-Wesley Iberoamericana, 1986. [3] YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Sears e Zemansky Física II : Termodinâmica e Ondas. 12. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008. [4] REICHL, L. E. A Modern Course in Statistical Physics. 2.ed. Weinhein: WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, 2004. [5] OLIVEIRA, M. J. Termodinâmica. 1. ed. São Paulo: Livraria da Física, 2005. 24