Espelhos Esféricos Os espelhos esféricos são superfícies esféricas que refletem luz. Os espelhos esféricos são obtidos pelo corte de uma superfície esférica por um plano. Figura 1:Calota esférica obtida pelo corte de uma secção de uma esfera. Os espelhos esféricos podem ser côncavos ou convexos. Espelho Côncavo Quando a superfície refletora for a parte interna de uma esfera. Figura 1: Uma colher possui internamente uma superfície refletora aproximadamente côncava. Espelhos de maquiagem, espelhos utilizados pelos dentistas e espelhos usados para projeção de imagens são exemplos de espelhos côncavos.
Figura 1: Exemplos de espelhos côncavos. Espelho Convexo Quando a superfície refletora for a parte externa de uma esfera. Figura 1: Objetos com superfícies externas refletindo luz.
Espelhos retrovisores, espelhos de esquinas e espelhos utilizados nas garagens são exemplos de espelhos convexos. Figura 1: Exemplos de espelhos convexos. Diferenças entre os espelhos Espelhos côncavo pode ser utilizado para acender um pedaço de papel no seu foco. Espelhos convexos não acendem um pedaço de papel no seu foco. Figura 1: No côncavo os raios passam pelo foco enquanto no convexo os prolongamentos dos raios luminosos passam pelo foco. Os espelhos côncavos são utilizados como um forno solar concentrando os feixes luminosos sobre o foco.
Figura 1: Exemplos de espelhos côncavos utilizados como aquecedores solares. O site (em inglês) http://www.animations.physics.unsw.edu.au/jw/light/mirrorsand-images.htm apresenta informações sobre as imagens e propriedades dos espelhos esféricos. Site com boas imagens, animações e explicações sobre a projeção de imagens. O professor que domina a língua inglesa encontra no site apresentações com aúdio e imagens que auxiliam no aprofundamento do conteúdo. Para saber mais acesse as animações e filmes do site: http://www.animations.physics.unsw.edu.au/light/geometrical-optics/index.html Observação: Existe um texto abaixo sobre os vídeos do site acima. Baixe aqui. Recomendo baixar:
Figura 1:Dowload vídeo O vídeo de um papel sendo queimado por um espelho (quase) esférico. Note que o espelho é côncavo e o pedaço de papel se encontra no foco do espelho sendo incinerado em apenas 7 segundos. O site fornece o seguinte texto explicativo (tradução e adaptação livre realizada pelo autor): Se este espelho fosse perfeitamente esférico e fosse apontado diretamente para o sol, em seguida, ele iria concentrar a radiação sobre uma região muito pequena perto do ponto focal (foco do espelho). O espelho não é perfeitamente esférico: um bom espelho parabólico deste tamanho seria utilizado para um bom telescópio amador ou um instrumento de pesquisa, como um telescópio patrulha. Obtivemos um espelho de baixo custo e útil para o experimento e, para esse efeito, a aberração que produz é realmente útil! Este espelho é aproximadamente esférico (parabólico), mas não de forma muito precisa. Podemos ver neste filme que a forma da imagem brilhante nem sequer é um único ponto, de modo que o espelho não é simétrico. No entanto, ao minimizar o tamanho da imagem formada pelos raios paralelos de luz do sol, podemos ter uma medida aproximada da distância focal. A ignição do papel também é interessante. A intensidade solar é de cerca de 1300 Wm -2, de modo que o espelho está a concentrar algumas centenas de watts para a área da imagem. Depois de apenas sete segundos, o papel inflama. Daqui resulta que um espelho como este é muito perigoso, especialmente em um dia ensolarado: ainda focado na pele pode rapidamente causar dor, e dirigida para o olho poderia cegar. Recomendo baixar:
Figura 1:Dowload animação A primeira animação demonstra a reflexão de raios luminosos que incidem numa superfície refletora de formato parabólico. O site fornece o seguinte texto explicativo (tradução e adaptação livre realizada pelo autor): Telescópios newtonianos usam espelhos parabólicos porque apenas os raios luminosos paralelos entre si chegam até a Terra, a luz proveniente de uma única estrela muito distante é convertida pelo espelho em praticamente um único ponto. Nos pontos onde os raios atingem o espelho o ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência. A animação representa a reta Normal (tangente ao espelho) com a cor cinza facilitando a percepção da igualdade para os ângulos de incidência e reflexão. Todos os feixes luminosos após a reflexão se interceptam no ponto denominado foco do espelho. Recomendo baixar: Figura 1:Dowload animação A segunda animação faz a representação de todos os raios luminosos de forma simultânea.
Espelhos esféricos e parabólicos apresentam uma pequena diferença. O site comenta isso no trecho abaixo (tradução e adaptação livre realizada pelo autor): Espelhos côncavos (ou espelhos convergentes) são frequentemente secções de uma esfera. Na esfera qualquer normal ao espelho é um simples prolongamento do raio, de modo que não é importante alinhar o eixo com o O gráfico abaixo mostra, em preto, a parábola y = x 2 / 4, que tem um foco no ponto (0,1). Também é mostrado o círculo, em cinza, y 2 + (x - 2) 2 = 4, cujo centro está no ponto (0,2). As curvas mostram que, quando um espelho esférico subtende um ângulo suficientemente pequeno (trecho em azul do círculo), este se aproxima de uma parábola.aqui temos uma das condições de nitidez de Gauss para evitar aberrações na formação de imagens nos espelhos esféricos. Figura 1:Diferença de curvatura entre espelhos esféricos e parabólicos. Aqui o professor pode comentar as condições de nitidez de Gauss de forma mais geométrica para os alunos. O uso de imagens permite o aluno perceber que espelhos esféricos com grandes valores no ângulo de abertura acabam não tendo um único ponto como foco (por isso no papel incinerado pelo espelho assimétrico tinhamos um região focal ao ínves de um ponto focal). Isto implica em não ser possível utilizar espelhos esféricos com ângulos de abertura elevados, superiores a 10º, porque a imagem acaba sofrendo uma aberração.
Figura1: Ponto focal não perfeitamente definido para um espelho esférico. Existindo uma necessidade de maior precisão óptica é comum a utilização de espelhos parabólicos encontrados em telescópios e satélites. Em particular, espelhos esféricos têm sempre uma aberração, os raios refletidos não se concentram exatemente em um único ponto. Figura 1: Réplica de um telescópio refletor Newtoniano (segundo modelo) que utiliza um espelho aproximadamente parabólico. Modelo esquemático do caminho óptico para um telescópio refletor Newtoniano.
Representação de um telescópio refletor Newtoniano. Para saber mais sobre o telescópio Newtoniano acesse: http://en.wikipedia.org/wiki/newtonian_telescope Os espelhos convexos não possibilitam a projeção de imagens em um anteparo. Espelhos côncavos podem projetar imagens em um anteparo. Figura 1: Exemplo de uma projeção de imagem por um espelho côncavo. Para saber mais sobre projeção de imagem acesse: http://www.animations.physics.unsw.edu.au/jw/light/mirrors-and-images.htm Os espelhos convexos são utilizados, para que se obtenha uma imagem ampliada do local; por exemplo, em lojas, supermercados, entradas e
saídas de garagem ou nas esquinas para que se obtenha uma melhor e maior segurança tanto para os motoristas como para os pedestres. Figura 1: Exemplos de espelhos convexos. Os espelhos côncavos são utilizados, por exemplo, pelos vendedores de óculos ou pelos dentistas para observação, através de uma imagem ampliada dos dentes. Figura 1: Exemplos de espelhos côncavos. O espelho côncavo é capaz de ampliar uma imagem, contudo quando isso ocorre acabamos diminuindo o campo de visão. Alguns acessórios
de maquiagem apresentam simultaneamente um espelho plano e outro côncavo. Figura 1: Espelho côncavo fornecendo uma imagem ampliada. Já os espelhos convexos são úteis quando necessitamos aumentar o campo visual, contudo ocorre uma diminuição no tamanho da imagem. Figura 1: Espelhos convexos possibilitam um grande campo visual. Observação: As superfícies refletoras de forma esférica fornecem imagens muitas vezes deformadas ou um campo visual deformado. As imagens ficam
sobre a superfície refletora convexa sendo então deformadas em relação ao objeto. Figura 1: Espelhos convexos fornecendo imagens deformadas. Existe uma possibilidade de fazer o processo inverso. Dado uma superfície qualquer podemos obter uma imagem planificada sobre esta superfície. Para saber mais acesse abaixo o vídeo Anamorfose : http://www.manualdomundo.com.br/2014/12/como-fazer-ilusao-anamorfica-emcasa Exercício 1-Quais as vantagens e desvantagens do espelho convexo abaixo?
Resposta: O espelho convexo aumenta o campo visual contudo a imagem não apresenta o mesmo tamanho do objeto, causando então uma falsa sensação de distância. Alguns espelhos convexos apresentam ainda para observadores distantes do espelho uma imagem deformada de um objeto. Condições de nitidez de Gauss Figura 1:O matemático e físico Carl Friedrich Gauss. Ao observar um espelho esférico ou superfície refletora esférica de grande dimensão é comum notar que estas superfícies deformam um pouco a imagem. Figura 1:Deformação na imagem de superfícies convexas. Ciente destas características o estudioso matemático e físico Carl Friedrich Gauss formulou algumas condições nas quais as imagens obtidas pelos espelhos esféricos sofriam menores ou pequenas deformações.
Condições de nitidez de Gauss: Os espelhos esféricos devem ser de grande raio de curvatura. Os raios luminosos incidentes devem ser próximos ao eixo principal do espelho. Os espelhos esféricos devem possuir pequeno ângulo de abertura. ( < 10 ). Pontos e elementos dos espelhos esféricos Os principais pontos e elementos dos espelhos esféricos estão na figura abaixo: Eixo principal: segmento de reta que passa pelo centro de curvatura e pelo vértice do espelho. R:raio de curvatura do espelho. f: distância focal. C:centro de curvatura do espelho. F:foco do espelho. V:vértice do espelho.
Raios notáveis: Note que o espelho côncavo concentra os raios luminosos no foco possibilitando um aquecimento neste ponto, enquanto o mesmo fato não ocorre no espelho convexo. Para saber mais acesse o vídeo abaixo fogão solar parabólico : http://www.manualdomundo.com.br/2014/03/como-fazer-fogao-com-antenaparabolica/ Devido a movimentação do sol existe um plano focal para um espelho côncavo conforme figura abaixo. Observação: Gif. http://commons.wikimedia.org/wiki/file:planfocal.gif Aplicando o princípio da reversibilidade. Se o raio paralelo ao eixo principal reflete passando pelo foco, o raio que passa pelo foco reflete paralelo ao eixo principal.
Note que um objeto exatamente no foco de um espelho côncavo vai emitir diversos raios luminosos que irão refletir no espelho e sairão paralelos entre si. Os faróis de automóveis usam esta propriedade. Figura 1: Objeto no foco de um espelho côncavo.
Obtenção gráfica das imagens Para obter graficamente a imagem nos espelhos esféricos basta utilizar a junção de dois ou mais raios notáveis. Nos exemplos abaixo um objeto real O colocado perpendicularmente ao eixo principal vai fornecer uma imagem I. Para a obtenção da imagem utilizaremos inicialmente um raio paralelo ao eixo principal que sai da ponta do objeto e sofre reflexão passando pelo foco, e um segundo raio luminoso que sai da ponta do objeto e passa pelo centro de curvatura. A junção destes pontos representa o ponto extremo da imagem que fica perpendicular ao eixo principal. (qualquer outra possibilidade de combinação de raios notáveis pode ser utilizada). Observação: Neste material as imagens serão obtidas pela junção dos raios 1 e 3 da figura abaixo, contudo a utilização do raio 2 ou qualquer outro raio notável pode ser utilizado. Acredito que inicialmente o professor deva facilitar este processo para o aluno insistindo numa obtenção por um único par de raios luminosos. Figura 1: Alguns raios notáveis no espelho côncavo.
Classificação das imagens Imagens no espelho côncavo Para ajudar didaticamente vamos separar as cinco possibilidades de posicionamento do objeto de caso 1 até caso 5: Objeto situado à esquerda do centro de curvatura. A imagem fica situada entre o centro de curvatura e o foco, sendo classificada em real, invertida e menor que o tamanho do objeto.
Objeto sobre o centro de curvatura. A imagem fica situada sobre o centro de curvatura, sendo classificada em real, invertida e igual ao tamanho do objeto. Objeto entre o centro de curvatura e o foco. A imagem fica situada à esquerda do centro de curvatura, sendo classificada em real, invertida e maior que o tamanho do objeto.
Objeto sobre o foco. A imagem fica situada no infinito, sendo classificada em imprópria. Cuidado se um objeto no foco fornece uma imagem no infinito, pelo princípio da reversibilidade um objeto no infinito fornece imagem no foco. Por isso a imagem de um objeto distante, como o sol, está localizada no foco de um espelho côncavo. Objeto entre o foco e o vértice. A imagem fica situada à direita do foco do outro lado do espelho, sendo classificada em virtual, direita e maior que o tamanho do objeto.
Resumidamemente: Podemos obter para os objetos de 1 ao 5 as suas respectivas imagens, lembre que a imagem do objeto 4 se encontra no infinito. Na ordem da figura acima as imagens de 1 ao 5 são classificadas em: Imagem no espelho convexo Para o espelho convexo em qualquer posição na frente do espelho temos apenas um único tipo de imagem.
A imagem fica situada sobre o foco e o vértice do outro lado do espelho, sendo classificada em virtual, direita e menor que o tamanho do objeto. No Brasil o espelho retrovisor do lado direito é geralmente convexo, este tipo de espelho fornece uma falsa sensação de distância e profundidade devido a imagem menor fornecida pela sua superfície, por causa disso é comum em outros países o aviso abaixo representado no espelho retrovisor. A dificuldade e que o retrovisor convexo distorce a imagem dando a impressão de que o veículo está a uma distância maior do que a real.
Figura 1: Objetos no espelho estão mais próximos do que parecem. Espelho que elimina o ponto cego para saber mais: http://www.magnetron.com.br/blog/um-novo-espelho-retrovisor-que-elimina-oponto-cego/ ou http://autoviva.sapo.pt/news/cientistas_criam_espelho_retrovisor_que_elimina_ an/8180 Exercícios 1-No trecho abaixo a qual tipo de espelho o autor deve estar se referindo, espelho plano, concâvo ou convexo? VERSOS DE NATAL Espelho, amigo verdadeiro, Tu refletes as minhas rugas, Os meus cabelos brancos, Os meus olhos míopes e cansados. Espelho, amigo verdadeiro, Mestre do realismo exato e minucioso, Obrigado, obrigado! Mas se fosses mágico, Penetrarias até o fundo desse homem triste, Descobririas o menino que sustenta esse homem, O menino que não quer morrer, Que não morrerá senão comigo, O menino que todos os anos na véspera do Natal Pensa ainda em pôr os seus chinelinhos atrás da porta. MANUEL BANDEIRA Resposta: Provavelmente o autor se refere a um espelho plano. No espelho plano objeto e imagem apresentam mesmo tamanho, talvez seja por isso que Manuel Bandeira chame o espelho de amigo verdadeiro mestre do realismo exato. 2-Na figura abaixo temos o desenho de um menino e da sua imagem em um espelho convexo. Qual a classificação desta imagem quanto a sua natureza, orientação e tamanho?
Resposta: A imagem no espelho convexo é virtual, direita e menor que o objeto. Relações matemáticas nos espelhos esféricos. Dado um objeto e sua respectiva imagem no espelho côncavo (caso 3) vamos definir alguns elementos para auxiliar no uso das equações dos espelhos esféricos. Na figura acima temos f: distância focal. R: raio de curvatura. o: tamanho do objeto.
i: tamanho da imagem. p: distância do objeto ao vértice do espelho. p : distância da imagem ao vértice do espelho. A distância focal é a metade do raio logo: Por semelhanças de triângulos Gauss obteve a relação que leva seu nome: Podemos calcular o aumento linear transversal (A) pela equação: Matematicamente é possível calcular o aumento linear transversal (A) por: Resumo das equações
Referencial de Gauss A convenção de Gauss para os espelhos esféricos define como positiva a região que reflete luz nos espelhos e a região que não reflete luz como negativa, logo: Nos espelhos côncavos o foco é chamado de real (f > 0). Figura 1: Nos espelhos côncavos a distância focal fica na região positiva. Nos espelhos convexos o foco é chamado de virtual (f < 0). Figura 1: Nos espelhos convexos a distância focal fica na região negativa. A distância da imagem ao vértice pode estar na região positiva (reflete luz) ou na região negativa (não reflete luz): Imagem real (p` > 0).
Imagem virtual (p` < 0). Cuidado tanto o espelho côncavo como o convexo fornecem imagens virtuais para objetos reais, contudo somente o espelho côncavo fornece imagem real para um objeto real. No eixo vertical a orientação do eixo é considerada positiva para cima e negativa para baixo, tanto para o objeto como para a imagem: Imagem direita (i > 0). Imagem invertida (i < 0).
Resumo dos sinais Lista de exercícios - Espelhos Esféricos 1. (Uemg 2014) Muitos profissionais precisam de espelhos em seu trabalho. Porteiros, por exemplo, necessitam de espelhos que lhes permitem ter um campo visual maior, ao passo que dentistas utilizam espelhos que lhes fornecem imagens com maior riqueza de detalhes. Os espelhos mais adequados para esses profissionais são, respectivamente, espelhos a) planos e côncavos. b) planos e convexos. c) côncavos e convexos. d) convexos e côncavos. 2. (Upe 2014) Um objeto foi colocado sobre o eixo principal de um espelho côncavo de raio de curvatura igual a 6,0 cm. A partir disso, é possível observar que uma imagem real foi formada a 12,0 cm de distância do vértice do espelho. Dessa forma, é CORRETO afirmar que o objeto encontra-se a uma distância do vértice do espelho igual a a) 2,0 cm b) 4,0 cm c) 5,0 cm d) 6,0 cm e) 8,0 cm
3. (Fatec 2013) A tecnologia dos raios laser é utilizada em inúmeras aplicações industriais, tais como o corte de precisão, a soldagem e a medição de grandes distâncias. Guardadas suas características especiais, o laser pode sofrer absorção, reflexão e refração, como qualquer outra onda do espectro luminoso. Sobre esses fenômenos da luz, é correto afirmar que um feixe de laser, a) ao atravessar do ar para outro meio, muda a direção original de propagação, para qualquer que seja o ângulo de incidência. b) ao atravessar da água para o vácuo, propaga-se com velocidade maior na água e, por esse motivo, a água é considerada um meio menos refringente que o vácuo. c) ao se propagar em direção à superfície refletora de um espelho convexo, paralelamente ao seu eixo principal, reflete-se passando pelo foco desse espelho. d) ao se propagar em direção à superfície refletora de um espelho côncavo, paralelamente ao seu eixo principal, reflete-se passando pelo foco desse espelho. e) ao se propagar em direção à superfície refletora de um espelho côncavo, incidindo no centro de curvatura do espelho, reflete-se passando pelo foco desse espelho. 4. (Ufrgs 2012) Assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas do enunciado abaixo, na ordem em que aparecem.para que os seguranças possam controlar o movimento dos clientes, muitos estabelecimentos comerciais instalam espelhos convexos em pontos estratégicos das lojas. A adoção desse procedimento deve-se ao fato de que esses espelhos aumentam o campo de visão do observador. Isto acontece porque a imagem de um objeto formada por esses espelhos é...,... e... objeto. Complete as lacunas. 5. (Uftm 2012) Sobre o comportamento dos espelhos esféricos, assinale a alternativa correta. a) Se um objeto real estiver no centro de curvatura de um espelho esférico sua imagem será real, direita e de mesmo tamanho que a do objeto. b) Os raios de luz que incidem, fora do eixo principal, sobre o vértice de um espelho esférico refletem-se passando pelo foco desse espelho. c) Os espelhos esféricos côncavos só formam imagens virtuais, sendo utilizados, por exemplo, em portas de garagens para aumentar o campo visual. d) Os espelhos convexos, por produzirem imagens ampliadas e reais, são bastante utilizados por dentistas em seu trabalho de inspeção dental. e) Os espelhos utilizados em telescópios são côncavos e as imagens por eles formadas são reais e se localizam, aproximadamente, no foco desses espelhos. 6. (Upe 2011) Em relação aos espelhos esféricos, analise as proposições que se seguem: (1) A reta definida pelo centro de curvatura e pelo vértice do espelho é denominada de eixo secundário. (3) O ponto de encontro dos raios refletidos ou de seus prolongamentos, devido aos raios incidentes paralelos ao eixo principal, é denominado de foco principal. (5) O espelho côncavo tem foco virtual, e o espelho convexo, foco real. (7) Todo raio de luz que incide passando pelo foco, ao atingir o espelho, é refletido paralelo ao eixo principal. (9) Quando o objeto é posicionado entre o centro de curvatura e o foco do espelho côncavo, conclui-se que a imagem é real, invertida e maior do que o objeto. A soma dos números entre parênteses que correspondem aos itens corretos é igual a a) 25 b) 18 c) 19 d) 10 e) 9 7. (Upe 2014) Um objeto foi colocado sobre o eixo principal de um espelho côncavo de raio de curvatura igual a 6,0 cm. A partir disso, é possível observar que uma imagem real foi formada a 12,0 cm de distância do vértice do espelho. Dessa forma, é CORRETO afirmar que o objeto encontra-se a uma distância do vértice do espelho igual a a) 2,0 cm
b) 4,0 cm c) 5,0 cm d) 6,0 cm e) 8,0 cm 8. (Cesgranrio 2011) Um espelho esférico côncavo tem distância focal (f) igual a 20 cm. Um objeto de 5 cm de altura é colocado de frente para a superfície refletora desse espelho, sobre o eixo principal, formando uma imagem real invertida e com 4 cm de altura. A distância, em centímetros, entre o objeto e a imagem é de a) 9 b) 12 c) 25 d) 45 e) 75 9. (Ufjf 2010) Por motivos de segurança, a eficiência dos faróis tem sido objeto de pesquisa da indústria automobilística. Em alguns automóveis, são adotados faróis cujo sistema óptico é formado por dois espelhos esféricos E 1 e E 2 como mostra a figura. Com base na figura, é correto afirmar que a localização da lâmpada está: a) nos focos de E 1 e de E 2. b) no centro de curvatura de E 1 e no foco de E 2. c) nos centros de curvatura de E 1 e de E 2. d) no foco de E 1 e no centro de curvatura de E 2. e) em qualquer ponto entre E 1 e E 2. 10. (Uff 2010) A figura mostra um objeto e sua imagem produzida por um espelho esférico. Escolha a opção que identifica corretamente o tipo do espelho que produziu a imagem e a posição do objeto em relação a esse espelho. a) O espelho é convexo e o objeto está a uma distância maior que o raio do espelho. b) O espelho é côncavo e o objeto está posicionado entre o foco e o vértice do espelho. c) O espelho é côncavo e o objeto está posicionado a uma distância maior que o raio do espelho. d) O espelho é côncavo e o objeto está posicionado entre o centro e o foco do espelho. e) O espelho é convexo e o objeto está posicionado a uma distância menor que o raio do espelho. 11. (Fgv 2010) Dois espelhos esféricos côncavos, um de distância focal 2,0 m e outro de distância focal 5,0 m, foram colocados um voltado para o outro, de forma que seus eixos principais coincidissem. Na metade da distância entre os dois espelhos, a 1 m da superfície refletora de cada um deles, foi colocado o objeto AB.
A distância entre as imagens do objeto AB, conjugadas pelos espelhos, isoladamente, em m, é de a) 21. 4 b) 19. 4 c) 17. 4 d) 15. 4 e) 13. 4 12. (Mackenzie 2009) Um objeto real se encontra sobre o eixo principal de um espelho côncavo, de distância focal 10cm, e a 20cm do vértice do espelho. Sendo obedecidas as condições de Gauss, sua imagem é: a) real e direta. b) real e invertida. c) virtual e direta. d) virtual e invertida. e) imprópria, localizada no infinito. 13. (Ita 2009) Um espelho esférico convexo reflete uma imagem equivalente a 3/4 da altura de um objeto dele situado a uma distância p 1. Então, para que essa imagem seja refletida com apenas 1/4 da sua altura, o objeto deverá se situar a uma distância p 2 do espelho, dada por a) p 2 = 9p 1. b) p 2 = c) p 2 = 9p 1 4 9p 1 7 d) p 2 = e) p 2 = - 15p 1 7 15p 1 7 14. (Unesp 2012) Observe o adesivo plástico apresentado no espelho côncavo de raio de curvatura igual a 1,0 m, na figura 1. Essa informação indica que o espelho produz imagens nítidas com dimensões até cinco vezes maiores do que as de um objeto colocado diante dele.
Considerando válidas as condições de nitidez de Gauss para esse espelho, calcule o aumento linear conseguido quando o lápis estiver a 10 cm do vértice do espelho, perpendicularmente ao seu eixo principal, e a distância em que o lápis deveria estar do vértice do espelho, para que sua imagem fosse direita e ampliada cinco vezes. 15. (Ufjf 2011) A luz de um feixe paralelo de um objeto distante atinge um grande espelho, de raio de curvatura R = 5,0 m, de um poderoso telescópio, como mostra a figura ao lado. Após atingir o grande espelho, a luz é refletida por um pequeno espelho, também esférico e não plano como parece, que está a 2 m do grande. Sabendo que a luz é focalizada no vértice do grande espelho esférico, faça o que se pede nos itens seguintes. a) O objeto no ponto F, para o pequeno espelho, é real ou virtual? Justifique sua resposta. b) Calcule o raio de curvatura r do pequeno espelho. c) O pequeno espelho é côncavo ou convexo? Justifique sua resposta. Resoluções e respostas: Resposta da questão 1: [D] O espelho que fornece maior campo visual são os convexos. Para ampliar imagens, são usados espelhos côncavos. Resposta da questão 2: [B] Dados: R = 6 cm; p' = 12 cm. A distância focal do espelho é: R 6 f f 3 cm. 2 2 Aplicando a equação dos pontos conjugados: 1 1 1 p' f 12 3 36 p p p' f p' f 12 3 9 p 4 cm.
Resposta da questão 3: [D] É própria definição de foco principal de um espelho esférico: vértice de um feixe que incide paralelamente ao eixo principal. Resposta da questão 4: virtual direta menor que o. Os clientes na loja são objetos reais e, num espelho esférico convexo, a imagem de um objeto real é sempre: virtual, direita e menor que o objeto. Resposta da questão 5: [E] O telescópio é usado para observar os astros, objetos muito distantes (impróprios). A abscissa de um objeto impróprio é considerada infinita (p ). Da Equação dos Pontos Conjugados: 1 1 1 f p p' 1 1 1 1 0 p' f. 1 f p' p' f p 0 p Resposta da questão 6: [C] (1) Errado: eixo principal; (3) Correto: por definição de foco; (5) Errado: ao contrário; (7) Correto: princípio da reversibilidade; (9) Correto: Observe o esquema abaixo. Resposta da questão 7: [B] Resposta da questão 8: [A] p ' 4 p' 4p p 5 5 1 1 1 1 1 5 9 p 45cm f p p' 20 p 4p 4p 4x45 p' 36cm DO/I 45 36 9cm. 5
Resposta da questão 9: [D] Analisando a figura dada, percebemos que os raios emergentes da lâmpada que atingem E 2 retornam pela mesma trajetória. Isso significa que a lâmpada está localizada no centro de curvatura desse espelho. Já os raios que atingem E 1 saem paralelos ao eixo principal, indicando que a lâmpada está sobre o foco principal desse espelho. Resposta da questão 10: [D] Analisando a figura dada, notamos que a imagem do objeto real está invertida e ampliada. Esse caso só acontece para um espelho esférico côncavo, quando o objeto está entre o centro de curvatura (C) e o foco (F), como ilustra a figura a seguir. Resposta da questão 11: [A] Ambos os espelhos são côncavos, possuindo, então, abscissas focais positivas. Da equação dos pontos conjugados: 1 1 1 f p p' pf p' p f. Para o espelho da esquerda: f 1 = 2 m e p 1 = 1 m. ' 1 2 ' p1 p1 2 m (imagem virtual atrás do espelho). 1 2 Para o espelho da direita: f 2 = 5 m e p 2 = 1 m. ' 1 5 ' 5 p2 p1 m (imagem virtual atrás do espelho). 1 5 4 De acordo com a figura (fora de escala), temos: D = 2 + 2 + 5 4 D = 21 4 m. Resposta da questão 12: [B] Em um espelho côncavo, com distância focal de 10 cm, se o objeto está a 20 cm, ou seja, no dobro da distância focal, ele está no ponto antiprincipal objeto do espelho. Neste ponto a imagem é real, invertida e possui o mesmo tamanho do objeto.
É possível ainda analisar esta questão pela equação dos pontos conjugados de Gauss, ou seja, 1 1 1 f p p De onde vem que: 1 1 1 10 20 p 1 1 1 10 20 p 1 1 p = 20 cm 20 p Como p é positivo isto implica que a imagem é real. A imagem real conjugada por um único espelho a partir de um objeto real só pode ser invertida. Resposta da questão 13: [A] Pela equação do aumento linear A = - p /p p = -Ap Pela equação dos pontos conjugados 1/f = 1/p + 1/p 1/f = 1/p 1/(Ap) = (A 1)/(Ap) p = (A 1)f/A De acordo com as informações do problema: 3 3 f p 1 1 f / 4 4 3 1 1 p 2 1 f / 3f 4 4 De onde vem p 1 p = 2 1 3 1 p 2 = 9p 1 3 9 Resposta da questão 14: Dados: R = 1 m; p 1 = 10 cm; A 2 = 5. A distância focal desse espelho é: R 1 f 0,5 m f 50 cm. 2 2 Para o objeto a 10 cm do espelho, o aumento (A 1 ) pode ser calculado pela equação do aumento linear transversal: f 50 50 A 1 A1 1,25. f p 1 50 10 40 Para que a imagem fosse direita e ampliada cinco vezes o aumento seria A 2 = +5. Para tal, a distância do objeto ao espelho seria p 2. Aplicando novamente a expressão do aumento: f 50 A 2 5 50 p2 10 p2 40 cm. f p 2 50 p 2 Resposta da questão 15: b) a) Ponto Objeto (PO) é vértice de feixe Incidente no sistema óptico. Pode ser classificado em: PO Real vértice de feixe incidente, divergente; PO Virtual vértice de feixe incidente, convergente; PO Impróprio vértice de feixe incidente, cilíndrico. O ponto F é vértice de feixe convergente e incidente no pequeno espelho, comportando-se, então, para esse espelho como um Ponto Objeto Virtual.
Como se trata de espelhos gaussianos, o foco F situa-se no ponto médio entre o centro de curvatura C e o vértice V. CV 5 CF FV 2,5 m. 2 2 Por isso a distância a distância focal do grande espelho é 2,5 m, uma vez que o feixe nele incidente é cilíndrico (todo raio que incide paralelo ao eixo principal reflete passando pelo foco principal). O ponto F, de acordo com a figura acima, está a 2,5 m de V e a 0,5 m do vértice do pequeno espelho. Como ele é ponto objeto virtual, de acordo com o referencial de Gauss, sua abscissa é negativa (p = 0,5 m). O ponto imagem real conjugado pelo pequeno espelho forma-se no vértice V do grande espelho. Então p = +2 m. Aplicando a equação dos pontos conjugados: p p' 0,5 2 1 2 f f m. p p' 0,5 2 1,5 3 Como o raio de curvatura (r) é igual ao dobro do módulo da abscissa focal, vem: 2 4 r 2 f 2 m r 1,3 m. 3 3 c) Novamente, de acordo com o referencial de Gauss: Espelho côncavo: f > 0; Espelho convexo: f < 0; Ora, no item anterior, obtivemos para o pequeno espelho f = 2 m. Logo, ele é convexo. 3