Capítulo 3 Repota o Tempo CONTROLO º emetre 007/008 Traparêcia de apoio à aula teórica Cap 3 Repotao Tempo Maria Iabel Ribeiro Atóio Pacoal Setembro de 007 Todo o direito reervado Eta ota ão podem er uada para fi ditito daquele para que foram elaborada (leccioação o Itituto Superior Técico) em autorização do autore Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Objectivo Capítulo 3 Repota o Tempo Rever coceito obre arepota o tempo de SLIT Pólo, zero, gaho etático ea repota diâmica de SLIT Caracterização da repota de itema deª e ª ordem e ordem uperior Sitema de fae ão míima Relação tempo frequêcia Referêcia o o Cap.3 do livro de Frakli, Powel, Naemi (referêcia pricipal) Siai e Sitema, Iabel Lourtie, Ecolar Editora (para revião de coceito obre TL) Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Fução de Traferêcia: defiição Capítulo 3 Repota o Tempo r(t) () y(t) SLIT FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Quociete da traformada de Laplace do ial lde aída pela traformada de Laplace do ial de Y() etrada coiderado ula a codiçõe iiciai G () R() c.i. 0 R() G() Y() Para codiçõe iiciai ula Y( () G().R( ) A fução de traferêcia é um coceito potete para decrever o comportameto de itema do poto de vita de etrada/aída Para SLIT, a fuçãodetraferêcia caracteriza completamete o itema do poto de vita de etrada aída Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Repota o Tempo Capítulo 3 Repota o Tempo r(t) SLIT y(t) Dado a equação diferecial que repreeta um modelo do SLIT a etrada r(t) a codiçõe iiciai Pretede e: Cohecer aevolução temporal da aída, y(t) Uma maeira de reolver o problema Reolver a equação diferecial i que é a repreetação do comportameto de etrada aída Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Capítulo 3 Repota o Tempo Fução de Traferêcia ea Repota o Tempo r(t) SLIT y(t) R() G() Y() r(t) Reolução da eq.diferecial y(t) TL u TL u - G() Y() R() c.i. 0 R() Y() G().R() ) Y() Se a codiçõe iiciai forem ula Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Repota o tempo apartir da FT: exemplo de itema de ª ordem Capítulo 3 Repota o Tempo b m f(t) F() G() V() G() m + β m Sitemamecâico mecâico de tralação exemplo ªordem u(t) ecalão de Heaviide f(t) F u(t) etrada do itema TL (u(t)) ( TL(f(t)) ( F F aume e que o itema etá iicialmete em repouo v(t) TL (V()) TL F. m + β TL V() F. m + β Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Repota o tempo apartir da FT: exemplo de itema de ª ordem Capítulo 3 Repota o Tempo v(t) TL F. m + β m (V()) TL decompoição emfracçõe parciai ( ) G() + β m F F m β β F. m + β ( + β m) + β m) v(t) v(t) F u(t) F e β β F F e β β β t m β t m u(t) para t 0 aída F β F β Gaho em regime etacioário Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Capítulo 3 Repota o Tempo A FT ea obteção da repota de um SLIT com c.i. ão ula TL r(t) Reolução da eq.diferecial y(t) Utilização da Fução de Traferêcia a obteção da repota de um SLIT TL Se a codiçõe iiciai forem ula R() Y () G().R() Y() E e a codiçõe iiciai ão forem ula? Não é poível cotiuar a uar (directamete) a Fução de Traferêcia? G(S) R() c.i. 0 TL TL u u eq.diferecial Y() y(t) Já tem em liha de cota a c.i. Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
A FT ea obteção da repota de um SLIT com c.i. ão ula Capítulo 3 Repota o Tempo exemplo dy(t) K G() Y()/R() + ay(t) + a dt Kr(t) r(t) u(t) y (0 ) Y() y(0 ) + ay() TL u coiderado c.i. ão ula KR() Y() y(0 ) + a + K + a Y() y(0 ) + a + K + a R() TL y(t) y(0 - )e at Repota devida à excitação pela codiçõe iiciai K + ( e a at ), t 0 Sitema liear Pricípio da obrepoição Repota devida à excitação pela etrada r(t) Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Capítulo 3 Repota o Tempo Fução de traferêcia: cao geral. Pólo ezero R() G() Y() N() G() D() poliómio poliómio de de grau grau m Fução de traferêcia própria m etritamete própria >m ão própria <m m G() () N() b + b m m m m D() a + b Só etudaremo ete tipo de FT Pólo do SLIT + L+ b + b + L+ a + a 0 0, m, N λ C éum polo do itema com FT própria G() e G(λ) 0 Zero do SLIT λ C éum zero do itema com FT própria G() e G(λ) 0 Se N() ed() ão tiverem factore comu O pólo do itema ão o zero de D() O zero do itema ão a zero de N() cuidado ao cacelar factore comu o poliómio N() ed() Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Capítulo 3 Repota o Tempo Fução de Traferêcia: outra repreetaçõe G () N() b + b m m m m D() a + b + L + b + b + L+ a + a 0 0, m, N 0 Repreetaçõe alterativa ( Se ão houver pólo e/ou zero a origem, m ) G() N() ( + K z )( + z )...( + m, m, N 0 D() ( + p )( + p )...( + p ) z ) Pólo { p, p,..., p } Zero { z, z,..., z m } (em rad/eg) Forma da cotate de tempo N() (+ T )(+ T )...(+ T G() K D() + m 0, m, N0 ( + τ )( + τ )...( + τ ) ) T i z z i (em eg) τ i p p i Se p i for um pólo real K gaho etático Ateção ao valor do gaho 0 ç g etático quado houver pólo e/ou zero a origem Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal τ i p i cotate de tempo
G() G() Repota o tempo apartir da FT: exemplo de itema de ª ordem (ct) m + β m FT a forma da cotate de tempo β + β m β β m pólo (rad/eg) ão tem zero m cotate de tempo (eg) β Gaho etático.33 β Quado m aumeta, a repota do itema tora e mai rápida. a cotate de tempo dimiui o regime traitório ateua e mai rapidamete O pólo determia aatureza da compoete atural da repota; pólo real expoecial amortecida Como éa repota em frequêcia para eta dua ituaçõe? β β m b F() β m 0.375 m β m Capítulo 3 Repota o Tempo G() () f(t) jw pólo a aumetar β 0.75 Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal V() σ
Capítulo 3 Repota o Tempo Repota o Tempo: cao geral de ª ordem r(t)u(t) R () R() G() K 0 a + a Y() a K0 K0 Y() K0. + a + a Pólo a(rad/eg) jw Cotate t de tempo /a (eg) Gaho etático K 0 a σ declive K0. K0.a cotate de tempo y(t) at K 0 K 0e Para t 0 K 0 Tempo de etabelecimeto (a %) tempo ao fim do qual a repota e cofia a uma faixa de ±% do valor fial. 4 t (%) 4 * cotate t a t a 5% de tempo 86.5 5% 3 t (5%) 3 * cotate de tempo a Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal a a 3 a 4 a 5 a
Capítulo 3 Repota o Tempo Teorema do Valore Iicial e Fial (para SLIT) Teorema dovalor Iicial lim x(t) X( () TL[x(t)] t 0 + lim X() Teorema dovalor Fial Se todo o pólo de X() etão o.p.c.e lim x(t) t lim X() 0 De que modo ete teorema podem er uado a aálie do comportameto (da aída) de SLIT? R() Y() G() Y( () G().R() ) Sem o cálculo explícito da aída para uma dada etrada é poível avaliar valore particulare da aída: y (0 + ), lim y ( t ), t y& (0 + ), && y (0 + ),... Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Capítulo 3 Repota o Tempo Teorema do Valore Iicial e Fial (para SLIT) o cálculo de caracterítica da aída de um SLIT R() G() Y() Valor Iicial da Saída lim y(t) t lim Y() + 0 + lim G()R() Etrada ecalão uitário R() () lim y(t) lim G() () t 0 + lim G() () Valor Fial da aída lim y(t) t lim Y() 0 lim G()R() 0 Etrada ecalão uitário iái R () lim y(t) lim G() t 0 lim G() 0 Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal Valor do gaho em regime etacioário
Gaho Etático: exemplo Capítulo 3 Repota o Tempo X b m f(t) Etradaf(t) F() G () ( X() Saída x(t) G F() m V() X() + β m G () K 0 0 ete itema tem um pólo a origem (a poição éo itegral da velocidade) m ( + β m) limg () () Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Repota o Tempo: itema de ª ordem Capítulo 3 Repota o Tempo exemplo X b m f(t) Objectivo: cotrolar o itema em poição G ( () R() + _ K F() m V() + β m X() Qual éa fução de traferêcia do itema cotrolado? X () G ()F() G ()K [ R() X() ] X K X() ( ) G() m KG () R() β K + + m + KG () m ( + KG ())X() KG ()R() X() R() ( itema de ª ordem, com pólo, em zero gaho etático? Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Capítulo 3 Repota o Tempo Repota o Tempo: itema de ª ordem. Cao geral R() G() Y() G() w + ζw + Qual éa repota para uma etrada ecalão de amplitude uitária? depede da localização do pólo w + ζw + w 0 ζw ± w ζ ζ >> ζ 0 jw jw jw d 0 ζ < Sitema ubamortecido Pólo complexo cojugado ζw ± jw ζ ζ w θ arciζ ζ Pólo real duplo Sitema criticamete amortecido ζw w w w w ζw ζ > Pólo reai ditito Sitema obreamortecido ζw ± w ζ Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal jw d jw ζ 0
Capítulo 3 Repota o Tempo Repota o Tempo: itema de ª ordem (exemplo) w, ζ 0 w, ζ 0.3 Sitema ubamortecido w, ζ w, ζ Sitema criticamete amortecido Sitema obreamortecido Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Capítulo 3 Repota o Tempo Repota o Tempo: itema de ª ordem (exemplo) w, ζ 0.3 w, ζ Sitema ubamortecido Sitema obreamortecido zoom zoom A derivada a origem é ula Demotre ete reultado uado o teorema do valor iicial, motrado que: w lim y(t) & lim t 0 + + ζw + w Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal 0
Capítulo 3 Repota o Tempo Sitema de ª ordem Subamortecido 0 ζ < pólo complexo W freq. ocilaçõe aturai NÃO amortecida i t, ζw ± jw ζ coeficiete de amortecimeto 443 w d Repota auma etrada ecalão uitária ζ W d frequêcia da ocilaçõe amortecida y(t) ζ e ζ w t i(w ζ t + Ψ ) t 0 T d Período da ocilaçõe Coequêcia de o gaho etático er uitário Ψ arctg parte real do pólo ζ ζ parte imagiária do pólo obreelevação S 0.9 ± % 0. Nota: w actua apea como factor de ecala de tempo t r t p t Tempo de Tempo Tempo de etabelecimeto ubida de pico Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Capítulo 3 Repota o Tempo Epecificaçõe o domíio do tempo A epecificaçõe para o deempeho de um itema cotrolado ão, por veze, exprea em termo da ua repota o tempo Epecificaçõe típica em termo de: Tempo de ubida (t r ) tempo que oitema demora a atigir a vizihaça de um ovo et poit Vulgarmete oitervalo etre 0. e0.9 do valor fial Tempo de etabelecimeto (t ) tempo que oregime traitório demora a decair Vulgarmete otempo até a aída e cofiar a uma faixa de 5% do valor fial Sobreelevação (S%) valor máximo da aída meo o valor fial divido pelo valor fial Tempo de pico (t p ) éo tempo que oitema demora a atigir o valor máximo da aída Para itema it de ª ordem, em zero, ubamortecido, eta epecificaçõe podem exprear e como fução de ζ ede ω ± Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Sitema de ª ordem Subamortecido Poto em que a derivada e aula dy(t) dt π π 0 t 0,,,... w d w ζ Capítulo 3 Repota o Tempo Caracterítica da repota + Para 0 y (0 ) 0 & A derivada a origem é ula Período da ocilaçõe T d T d π w Tempo de pico t p d Tempo ao fim do qual ocorre o máximo aboluto de y(t) π Td tp w d w d w ζ parte imagiária do pólo tp Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Sitema de ª ordem Subamortecido Capítulo 3 Repota o Tempo Caracterítica da repota Sobreelevação S% S% y max y 00 y y max fial Só depede do y(t p fial ) + e S% 00.e ζπ ζ ζπ ζ ζ coeficiete de amortecimeto S% Tempo deubida t r Tempo requerido para a aída evoluir de 0% a 90% do valor fial Não há uma expreão aalítica imple que relacioe tr com o coeficiete de amortecimeto e a frequêcia w. Ma há expreõe aproximada t r.8 w t r Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Sitema de ª ordem Subamortecido Tempo de etabelecimeto a% (t (%)) Capítulo 3 Repota o Tempo Caracterítica da repota Itate de tempo em que a aída atige e e matém uma faixa de ± % do valor fial A mema defiição uada o itema de ª ordem y(t) ζ e ζw t i(w ζ t + Ψ) aproximação ζw t ζ e 0.0 i(w ζ t + Ψ) a % a 5% a % t t t ζ 4 w 3 ζw 46 4.6 ζw Valore aproximado ζw parte real do Verifique a aalogia com o itema de ª ordem pólo t Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Capítulo 3 Repota o Tempo Sitema de ª ordem Subamortecido Vário Exemplo Figura retirada de Aálie de Sitema Lieare, M. Iabel Ribeiro, IST Pre, 00 Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Capítulo 3 Repota o Tempo Sitema de ª ordem Subamortecido Vário Exemplo Figura retirada de Aálie de Sitema Lieare, M. Iabel Ribeiro, IST Pre, 00 Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Sitema de ª ordem Subamortecido Capítulo 3 Repota o Tempo ω cotate Lugar geométrico do pólo que correpodem a determiada epecificaçõe Tempo de ubida cotate ξω cotate Tempo de etabelecimeto cotate ξ cotate Sobreelevação, cotate ω d cotate Tempo de pico cotate Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Exercício Capítulo 3 Repota o Tempo R() + Y() K + _ O gaho etático do itema em cadeia fechada depede de K? Determie ovalor de K para que arepota do itema em cadeia fechada a uma etrada ecalão de amplitude uitária teha obreelevação de 0%. Para ee valor dek qual é otempo deetabelecimeto bl a5% darepota? K Y() ( + ) R() K + ( + ) K + + K O itema em cadeia fechada tem uma f.t. da forma G() Por comparação: w + ζw + w ξω K ω Cofirme reultado uado Matlab Gaho etático uitário, idepedete de K Da epecificaçõe pretedida: ξπ ξ l 0. S% 0% e 0. ξ π + l 0. ξ 0.46 3 ω ξ ω. K 4.8 t ( 5%) 3eg ξω Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Capítulo 3 Repota o Tempo Sitema de ª ordem Criticamete amortecido G() + w ζw + w ζ ζ G() ( + w w ) etrada ecalão de amplitude uitária i w R () gaho etático uitário Y() w ( + w ) c + c ( + w ) + c 3 + w y(t) y(t) wt wt wte e t 0 wt (+ wte) t 0 Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Capítulo 3 Repota o Tempo Sitema de ordem uperior. Efeito de pólo adicioai G() ( a.w + ζw + w G )( + a) R () R R( + ζw) + R3w d R4 Y() + + ( + ζw ) + w + a d ζwt at y(t) R + e (R co w dt + R3 i w dt) + R4e t 0 De que modo um pólo ifluecia a repota global? Atravé de: tipo de pólo (real, complexo, imple, duplo) parte real que dt determia oritmo de decaimeto da compoete traitória aociada reíduo aociado que depede da localização do outro pólo e zero. Cotribuição de pólo para a repota traitória at e e at, e at Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal te at i( bt + Ψ) pólo imple pólo duplo pólo complexo
Sitema de 3ª ordem em zero Capítulo 3 Repota o Tempo 5 * a G() ( + a)( + 4 + 5) - itema de 3ª ordem c/ pólo complexo cojugado e um pólo real -8-3 - a, 3, 8 rad/eg itema de ª ordem a8 a3 a Quado a aumeta a ifluêcia do pólo real dimiui O pólo tora e meo domiate A repota é domiada pelo pólo complexo Em qualquer da ituaçõe o itema tora e mai leto A largura de bada DECRESCE quado a dimiui Compare odiagrama de Bode para a quatro ituaçõe Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Capítulo 3 Repota o Tempo Sitema de ordem uperior: Pólo ão domiate 5 * a ( + a)( + 4 + G () 5) Quado a aumeta a ifluêcia do pólo dimiui O pólo tora e meodomiate O pólo complexo ão pólo domiate Em que codiçõe é poível deprezar o pólo (real) ão domiate? Quado oregime traitório aociado é deprezável, o cojuto de toda a cotribuiçõe traitória, ao fim de aproximadamete 5 cotate de tempo. Quado o módulo do pólo real é pelo meo cico veze maior que o módulo da parte real do pólo domiate. Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Capítulo 3 Repota o Tempo Sitema de ordem uperior: Pólo ão domiate 5 * a ( + a)( + 4 + G( () 5) a 0 ªordem ordem 50 ( + 0)( + 4 + 5) G() 3ªordem G() ( 0 5 + )( + 4 + 5) O deprezo de pólo ão domiate tem que preervar o gaho etático G() ( 5 + 4 + 5) Que acotece o domíio da frequêcia? Qual éo coceito de pólo ão domiate o domíio da frequêcia? Aproxima o itema de ªordem, o que repeita à repota o tempo Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Efeito de zero adicioai Capítulo 3 Repota o Tempo Qual a ifluêcia de zero a repota de SLIT? G() bc a R() ( + a) ( + b)( + c) Etrada ecalão de amplitude uitária Cálculo geométrico do reíduo gaho etático uitário R R R bc R R R3 Y() ( + + ) a + b + c 3 a bc a b ( b)(c b) c + a ( c)(b c) c a O zero determiam o valor do reíduo b y(t) bc a (R + R e bt + R 3 e ct ) aproximação O reíduo R ou R 3 erão pequeo e ozero etiver bc ct próximo ói depólo em b ou dopólo R << R 3 y(t) (R + R 3 e ) a em c, repectivamete. Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Pólo ão domiate: Redução de ordem Capítulo 3 Repota o Tempo Em que codiçõe Sitema de ordem uperior podem er aproximado por itema de ordem mai baixa? Quado há PÓLOS NÃO DOMINANTES o reíduo aociado ao pólo é pequeo Proximidade com um zero a parte real do pólo é elevada Regime traitório extigue e muito rapidamete Como e faz a aproximação? depreza e e o pólo e o zero depreza e o pólo Cuidadoa a ter a aproximação O itema origial eo aproximado devem ter o memo gaho etático exemplo 36( +.) ) () ( + )( + 0)[( + ) G + 3 ] Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Capítulo 3 Repota o Tempo Sitema com zero. Efeito de um zero adicioal G() w b ( + b ) ( + w) pólo duplo e zero Para etrada ecalão uitário Y() w b ( + b) (w b)w / b + ( + w ) ( + w ) + w w (w b) wt y(t) + t e, t 0 b Caracterítica da repota + y (0 ) 0 + w y(0 & ) b y( ) Ue o teorema do valore iicial e fial para chegar a eta cocluõe Pode er egativo e o zero etiver o pcd Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Capítulo 3 Repota o Tempo Sitema com zero. Efeito de um zero adicioal G() w ( + b) b ( + w ) 0 < w < b 0 < b < w -b -w -w -b w b 4 w b Exite obreelevação w ( + b) Y() Combiação liear de um ial b ( + w ) e da ua derivada w ( + b) Y () + by () b ( + w ) 44 443 Y () Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Capítulo 3 Repota o Tempo Sitema com zero. Efeito de um zero adicioal G() w b b < 0 < ( + b) ( + w) -w -b w Pólo duplo e zero o pcd Sitema tem um zero o pcd itema de FASE NÃO MÍNIMA Derivada a origem é egativa Sitema de fae ão míima é aquele que tem pelo meo um pólo e/ou um zero o emi plao complexo direito Pólo o pcd itabilidade Qual éo efeito de um zero o pcd? Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Capítulo 3 Repota o Tempo Sitema de Fae ão míima: Exemplo. Barrilete Exemplo Barrilete Cetrai termoeléctrica Produção de vapor r(t) Caudal de água fria à etrada barrilete h(t) Altura da água o barrilete Relação etre a abertura da válvula da água fria ea altura da água o barrilete depede de: Efeito rápido de cotracção da água devido à ijecção de água fria Efeito de itegração devido à adição de maa Leto Rápido Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Capítulo 3 Repota o Tempo Sitema de Fae ão míima: Exemplo. Barrilete Exemplo Barrilete H() H () H() G() + R() R() R() K K + (Kτ ) G() τ + ( τ + ) Para certa relação de K e τ o itema tem um zero o emi plao complexo direito (τ </ K ) No itema reai τ<<, K <<. etrada ecalão r(t) u(t) Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal
Capítulo 3 Repota o Tempo Sitema de fae ão míima: Maipulador Flexível Maipulador Rígido aída etrada Τ T(t) θ(t) θ T biário motor t 0 t 0 Maipulador Flexível aída Τ θ T(t) etrada θ(t) T biário motor t 0 t Efeito de chicote (FASE NÃO MÍNIMA) Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal