Teoria de Filas e Sistemas de Comunicação

Faculdade de Engenharia Departamento de Engenharia Eletrônica e Telecomunicações Teoria de Filas e Sistemas de Comunicação (revisão: Outubro/2013) 1 1

Programa Revisão de Probabilidade e Estatística Processos Estocásticos Teoria de Filas Os Sistemas de Filas M/M/1, M/M/m, M/M/m/B, M/M/m/m, M/M/1/B, M/M/, M/M/N/N/K, M/G/1 Noções de Engenharia de Tráfego Redes de Filas 2 2

Revisão de Probabilidade e Estatística 3 3

Variável Aleatória r é um evento no Espaço Amostral S, r S x é a probabilidade associada ao evento r, onde x é um número real (x R) e x [0, 1] A Variável Aleatória X mapeia os eventos de S em x, assim: X(r) = x Assim X tem uma distribuição de probabilidade na reta dos reais (x R) Função de Distribuição de Probabilidade (FDP): r X(r) Espaço Amostral S x 0 1 A FDP de uma variável aleatória X, também conhecida como Função de Distribuição Cumulativa é: F(x) = P[X x] = Prob[r : X(r) x ] x 4 4

Cálculo da Probabilidade Uma variável aleatória contínua X é descrita através de sua função distribuição de probabilidade F(x) ou sua função densidade de probabilidade f(x) Função Distribuição de Probabilidade: Pr[X x] = F(x), onde: F(-) = 0 e F() = 1 Função Densidade de Probabilidade: f ( x) df( x) dx então: F(x) = - x f(y) dy Sendo: - + f(y) dy = 1 5 5

Processos Estocásticos 6 6

Processo Estocástico Processo Estocástico: função ou seqüência aleatória tempo-dependente Seja, por exemplo, n(t) a quantidade de pacotes trafegando em uma rede de computadores no instante t n(t) é uma Variável Aleatória n(t) pode ser descrita através de uma Função Distribuição de Probabilidade O tempo de espera, w(t), em uma fila também é uma Variável Aleatória 7 7

Processos Contínuos e Discretos Processo de Estados Discretos Número de estados possíveis de um sistema é uma quantidade finita, ou contável. Também conhecido como Cadeia Estocástica. Ex.: quantidade de pessoas numa fila, quantidade de celulares conectados a uma ERB Processo de Estados Contínuos Número de estados possíveis de um sistema é uma quantidade infinita, ou não contável. Ex.: tempo de conexão de um aparelho telefônico, tempo de espera numa fila 8 8

Processos de Markov É um Processo Estocástico onde: Os estados futuros do processo são independentes dos estados passados e dependentes apenas do presente Para analisar um Processo de Markov não é necessário conhecer toda a trajetória de estados passados, apenas o estado anterior (o sistema não possui memória) Nome em homenagem a A.A.Markov, que em 1907 definiu e analisou esses processos Um Processo de Markov de estados discretos é chamado Cadeia de Markov Aplicação: modelagem de Sistemas de Filas 9 9

Processos de Nascimento e Morte São Cadeias de Markov onde as transições de estado são restritas a estados vizinhos apenas É possível representar o estado através de um número inteiro Exemplo: nascimento ou chegada Estado (pessoas na fila) 0 1 2 n-1 n n+1 morte ou partida 10 10

Teoria de Filas 11 11

Teoria de Filas Ferramenta matemática para tratar de eventos aleatórios É o estudo da espera em filas Proporciona uma maneira de definir o ambiente de um sistema de filas matematicamente Permite prever respostas prováveis e tempos de espera 12 12

Teoria de Filas (Objetivo) Avaliar o comportamento de um sistema de filas e seus parâmetros, exemplos: Tempo de espera médio Probabilidade de formação de fila Porcentagem de clientes rejeitados pelo sistema Probabilidade de um cliente esperar mais do que um certo tempo Número médio de clientes na fila Probabilidade de que todos os servidores estejam ociosos 13 13

Análise de Sistemas de Fila Os sistemas de filas diferem entre si de acordo com as hipóteses que fazemos a respeito dos padrões de chegada e das taxas de serviço Na análise, precisamos adotar hipóteses sobre o comportamento do sistema. Caso contrário, não se tem por onde começar 14 14

Hipótese: Sobre o Padrão de Chegada dos Usuários Chegam a intervalos regulares? Chegam em grupo? Chega um de cada vez? 15 15

Características de um Sistema de Fila (Ex.: Usuários de computadores de uso compartilhado) 16 16

Características de um Sistema de Fila 1. Processo de Chegada 2. Distribuição de Tempo de Serviço 3. Quantidade de Servidores 4. Tamanho do Sistema de Fila 5. População de Clientes 6. Disciplina de Atendimento 17 17

1. Processo de Chegada Se os clientes chegam em instantes t 1, t 2,..., t j a variável randômica j = t j - t j-1 é chamada Tempo Interchegadas Assume-se que os j formam uma seqüência de variáveis aleatórias independentes identicamente distribuídas (v.a. IID) O processo de chegada mais comum é o Processo de Poisson. Isto significa que os Tempos Interchegadas são exponencialmente distribuídos Outras distribuições podem ser utilizadas, tais como a Hiperexponencial, Erlang e Geral 18 18

2. Distribuição de Tempo de Serviço (Processo de Serviço) O tempo gasto por cada cliente num computador é chamado Tempo de Serviço É aceitável supor que os Tempos de Serviço de cada cliente sejam variáveis aleatórias IID A distribuição mais utilizada para o Tempo de Serviço é a Distribuição Exponencial Outras distribuições podem ser utilizadas, tais como a Hiperexponencial, Erlang e Geral 19 19

3. Quantidade de Servidores Single Server atende a apenas um cliente de cada vez Multi-Server possui m servidores, podendo atender m clientes simultaneamente Infinite Server cada cliente que chega encontra sempre um servidor disponível 20 20

3. Quantidade de Servidores Exemplo: Uma sala de computadores pode possuir um ou mais computadores idênticos (servidores) e todos fazendo parte de um sistema de fila único. Se os computadores não forem idênticos, eles podem ser subdivididos em grupos de mesmo tipo, com filas separadas para cada um deles. Nesse caso, cada grupo é um sistema de fila. 21 21

4. Tamanho do Sistema (Capacidade do Sistema) Capacidade do sistema = capacidade da fila de espera + quantidade de servidores (posições de serviço) A capacidade máxima de clientes no sistema poderá ser limitada por questões de espaço, custo ou para evitar um tempo de espera muito longo Na maior parte dos sistemas, a capacidade da fila é limitada (finita) Em sistemas com filas de capacidade infinita, todos os clientes serão atendidos Em sistemas sem capacidade de espera ou com capacidade limitada, pode ocorrer rejeição de clientes 22 22

5. População de Clientes É a quantidade de usuários em potencial que pode, em algum momento, usar o sistema (ex.: clientes de banco, programa de computador, assinante de linha telefônica) Nos sistema reais a população é limitada (finita) Quando a população é finita, a taxa de chegada dependerá da população População Infinita taxa de chegada constante População Finita taxa de chegada variável 23 23

6. Disciplina de Serviço De uma fila, é o método de escolha da seqüência de atendimento dos clientes na fila A disciplina mais utilizada é a FCFS ou FIFO (primeiro a chegar é o primeiro a sair da fila) Outras disciplinas: LCFS, SIRO, RR O atendimento pode ser priorizado em função de: Tempo esperado de atendimento, ex.: menos demorado primeiro Tamanho do cliente (pacote de mensagem), ex.: maior primeiro, menor primeiro Maior sensibilidade a atrasos, ex.: mais sensíveis primeiro Qualidade de serviço (QoS) 24 24

Disciplina de Atendimento (de serviço) Disciplina de Serviço FCFS/FIFO LIFS/LIFO SIRO RD GD Descrição First Come First to be Served Last In First to be Served Select In Random Order Atendimento baseado em prioridade Distribuição genérica Ex: algumas centrais telefônicas utilizam SIRO, comutadores de rede utilizam FIFO 25 25

Classificação de Sistema de Fila Um sistema de fila é classificado por suas características Utiliza-se a Notação de Kendall A/ S / m / B / K / DS Onde: A = Distribuição de tempo interchegada S = Distribuição de tempo de serviço m = Número de canais de serviço simultâneo (servidores) B = Quantidade de Buffers ou capacidade do sistema K = Tamanho da população DS = Disciplina de serviço 26 26

Classificação de Sistemas de Fila - Distribuições As distribuições utilizadas para o tempo interchegada e tempo de serviço são simbolizadas por uma letra, conforme a seguir: M = Exponencial E k = Erlang, com parâmetro K H k = Hiperexponencial, com parâmetro K D = Determinístico G = Distribuição Genérica A distribuição exponencial é chamada memoryless (M) Uma distribuição determinística (D) significa tempo de chegada e tempo de serviço constante, ou sem variância 27 27

Classificação de Sistemas de Fila - Exemplo 1 M/M/3/20/1500/FCFS Tempo interchegada exponencialmente distribuído Tempo de serviço exponencialmente distribuído Existem 3 servidores A fila possui um total de 20 posições de buffer. Consistindo em 3 buffers para cada servidor, 17 posições de espera compartilhados entre os tres servidores. Se a quantidade de clientes no sistema for 20, os clientes que chegam são perdidos até que a fila diminua Há uma população de 1500 clientes que podem ser atendidos A disciplina de serviço é FCFS (primeiro a chegar, primeiro a ser servido) 28 28

Classificação de Sistemas de Fila - M/M/1 Exemplo 2 Tempo interchegada exponencialmente distribuído ( = processo de chegada do tipo Poisson) Tempo de serviço exponencialmente distribuído Existe 1 servidor A fila possui quantidade ilimitada de buffer (default) A população de clientes é infinita (default) A disciplina de serviço é FCFS (primeiro a chegar, primeiro a ser servido) - (default) 29 29

Classificação de Sistema de Fila - outros exemplos não utilizados M/M/1 => M/M/1/ / / FCFS - Desprezar os três últimos símbolos quando: disciplina é FCFS, população infinita e tamanho da fila infinito M/M/1/B M/M/ M/M/m M/G/1 M/M/m/B M/D/1 M/M/m/m M/M/m//k 30 30

Hipóteses Processos de Chegada - Processo de Poisson Dois clientes nunca chegam simultaneamente O 1º cliente chega no instante t 0, o 2º no instante t 1 e assim por diante ( 0 < t 0 < t 1,,..., < t n ) Os tempos entre chegadas estão distribuídos exponencialmente A taxa de chegada (1/) também terá distribuição exponencial 31 31

Número de Chegadas Processo de Poisson Se a taxa de chegada possui distribuição exponencial, a probabilidade de k clientes chegarem dentro de T segundos pode ser modelada pela distribuição de Poisson: T T Pk ( T) e onde: > 0, k = 0,1,2,... k! 4 3 2 1 Chegadas tc 1 tc 2 tc 3 tc 4 tempo 32 32

Processo de Poisson Num sistema com = 0,4 chegadas/s, em T = 8 s, ocorrerão 3,19959 chegadas aproximadamente. Em média: 0,4 x 8 = 3,2 chegadas k Pk k.pk 0 0,04076 0,00000 1 0,13044 0,13044 2 0,20870 0,41740 3 0,22262 0,66785 4 0,17809 0,71237 5 0,11398 0,56990 6 0,06079 0,36473 7 0,02779 0,19452 8 0,01112 0,08893 9 0,00395 0,03557 10 0,00126 0,01265 11 0,00037 0,00405 12 0,00010 0,00118 Soma = 0,99997 3,19959 0,25 Pk 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 Valor médio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 k 33 33

Propriedades dos Processos de Poisson 1 2 = i 3 A junção de fluxos de Poisson resulta num fluxo de Poisson p 1 p 2 p 3 1 = p i A partição de um fluxo de Poisson resulta em fluxos de Poisson 34 34

Propriedades dos Processos de Poisson > Partidas de um sistema de fila M/M/1 é um fluxo de Poisson 1 2 3 i > Partidas de um sistema de fila M/M/m é um fluxo de Poisson 35 35

Distribuição Exponencial Um método alternativo para descrever a distribuição de chegadas de clientes é através do tempo decorrido entre chegadas sucessivas de clientes. A distribuição de probabilidade F(t), em que o tempo interchegadas (ti) é menor que t, para a distribuição discreta de Poisson de chegadas, é dada por (Distribuição Exponencial): P(tempo interchegadas t) = F(t) = 1 e t, > 0, t > 0 Graficamente, a distribuição exponencial, de tempos interchegadas, é mostrada ao lado Dado um tempo t no eixo horizontal, o eixo vertical do gráfico indica a probabilidade de chegadas com ti < t 36 36

A Distribuição Exponencial É importante no estudo das filas pois o tempo de serviço pode ser modelado por uma distribuição exponencial. Exemplos: No tráfego telefônico, é a duração de uma ligação Numa rede de comutação de pacotes é o tempo de transmissão de um pacote, que é proporcional ao seu comprimento Não existe um embasamento matemático que justifique essa hipótese, porém, a prática se aproxima bastante de uma distribuição exponencial Além disso, essa hipótese simplifica o tratamento matemático Do mesmo modo, a distribuição exponencial também pode ser utilizada com boa aproximação na modelagem do tempo interchegada 37 37

A Distribuição Exponencial Função Densidade de Probabilidade: f(t) = 0, se t < 0 e t, se t 0 Função Probabilidade acumulada: F(t) = 0, se t < 0 1 e t, se t 0 Densidade de probabilidade Probabilidade acumulada 38 38

Propriedades da Distribuição Exponencial Média: E[X] = X = y. f(y) dy = 1 / Variância: V 2 [X] = y 2. f(y) dy = 1 / 2 - - Desvio Padrão: x = 1/ ( é igual a Média!!! ) Essa distribuição é utilizada para modelar: O tempo de serviço em uma central telefônica, o tempo em que um cliente fica conectado Numa rede de comunicação, o tempo de serviço é o tempo necessário para transmissão de um pacote através de um link de rede 39 39

Aplicação da Distribuição Exponencial Gráficos do tamanho da fila para diferentes valores de desvio padrão Quando: desvio/valor médio = 1, temos a Distribuição Exponencial 40 40

Aplicação da Distribuição Exponencial Tempo de residência para diversas relações de utilização () e desvio padrão () 41 41

Notação de Modelos de Fila = Tempo interchegada = tempo decorrido entre duas chegadas sucessivas 42 42

Notação de Modelos de Fila m s n n q n s r w Quantidade de servidores idênticos. Taxa média de chegada, de clientes (=1/E[]). Em alguns sistemas, poderá depender do estado do sistema (quantidade de clientes). Tempo de serviço (de atendimento) de um cliente. Taxa média de serviço por servidor (=1/E[s])). Para m servidores, a taxa média de serviço é m Quantidade total de clientes no sistema, também chamada tamanho da fila. Inclui os clientes em espera por um servidor e os que estão sendo atendidos. Quantidade de clientes aguardando atendimento. É sempre menor que n, pois não inclui os clientes em serviço. Quantidade de clientes em serviço. Tempo de resposta do sistema. Ou tempo total de residência dos clientes dentro do sistema de fila (tempo de espera + tempo de atendimento). Tempo de espera para ser atendido. É o tempo decorrido entre a chegada e o início do atendimento (serviço) do cliente. Todas as variáveis, exceto e, são variáveis aleatórias. 43 43

Notação de Modelos de Fila Utilização do servidor (= / ) B Tamanho da fila, quando esta for finita (tamanho do Buffer) Tempo interchegadas (= 1/) 44 44

Estabilidade dos Sistemas de Filas Condição de Estabilidade: se a quantidade de clientes no sistema aumenta, tendendo a infinito, o sistema é dito Instável. Para haver estabilidade, a taxa média de chegada deve ser menor que a taxa média de serviço ( < m). Esta regra não se aplica para população finita e buffer finito (podem haver clientes rejeitados) sistema nunca fica instável Utilização de um servidor: = / < 1, para Sistema de Fila ser Estável População no Sistema: n = n q + n s E[n] = E[n q ]+ E[n s ] Tempo no Sistema: r = w + s E[r] = E[w]+ E[s] 45 45

Equação de Little Permite calcular a quantidade de clientes (itens) em qualquer Sistema de Fila. Resume-se a: quantidade média = taxa de chegada x tempo médio de resposta Esta relação se aplica a um Sistema Inteiro ou parte de um Sistema de Fila Baseia-se numa visão tipo Caixa Preta do Sistema de Fila Chegada s Sistema de Fila (Caixa Preta) Partidas 46 46

Equação de Little - Aplicação A equação de Little pode ser aplicada a um subsistema ou todo o sistema de Fila. Quantidade Tempo 47 47

Equação de Little - Aplicação Aplicando a equação de Little num subsistema ou em todo o sistema de Fila: Na fila de espera: n q =. w No servidor: n s =. s = / No sistema inteiro: n =. r 48 48

Equação de Little - Exemplo 1 (chegadas) Buffer (partidas) Transmissor (partidas) Linha de Transmissã o Se é a taxa de chegada numa linha de transmissão, n q é a quantidade média de pacotes esperando no buffer (não sendo transmitidos), e w é o tempo médio gasto por um pacote no buffer. Então, pela equação de Little: n q =. w 49 49

Equação de Little Exemplo 2 Numa sala de espera de um consultório, há 15 clientes em média e taxa de chegada é de 1 cliente a cada 30 segundos. Calcule o tempo médio de espera dos clientes na sala. Os clientes são atendidos na ordem de chegada (FIFO). Temos que: n q =15 = 2 clientes/minuto Aplicando a equação de Little na fila: n q =. w Tempo de espera na fila: w = 15 / 2 = 7,5 minutos 50 50

O Sistema de Fila M/M/1 51 51

O Sistema de Fila M/M/1 Sistema de fila com um servidor Exemplo: clientes na fila do caixa eletrônico 52 52

Modelo do Sistema de Fila M/M/1 Modelo Simbologia 53 53

Características do Sistema de Fila M/M/1 Processo de chegada tipo Poisson (M) Tempo de serviço - distribuição exponencial (M) Quantidade de servidores (= 1) Infinitas posições na fila de espera (clientes não são perdidos) Disciplina de serviço do tipo FIFO População de clientes é infinita (taxa de chegada é constante) 54 54

Sistema de Fila M/M/1 - Diagrama de Transição de Estados 0 1 2 n-2 n-1 n n+1 Estado: 0 1 2 n 1 n n+1 1 2 3 n-1 n n+1 n+2 Estado = quantidade total de clientes no sistema Para o sistema M/M/1, temos: n = (C te ), n = 0, 1, 2,... (taxa de chegadas no sistema) n = (C te ), n = 1, 2, 3,... (taxa de partidas do sistema) 55 55

Estados do Sistema M/M/1 Distribuição de Poison na chegada Tempo de serviço exponencial com média 1 n Estado n+1 1 partida, 0 chegadas 0 partidas, 0 chegadas ou 1 partida, 1 chegada Mudanças de estado possíveis entre os instantes t e t + t n n-1 0 partidas, 1 chegada t t t + t Tempo 56 56

Estados do Sistema M/M/1 Um sistema de fila M/M/1 será estudado a seguir visando determinar seu equilíbrio, ou seja, quando atinge a condição de regime permanente Nessas condições, o sistema pode ser identificado através de suas propriedades estatísticas (tempo de espera, tempo de residência, tamanho da fila, tempo de espera na fila, etc) Esse estudo poderá ser estendido para outros sistemas de fila (M/M/N, M/M/N/N, etc) 57 57

Cálculo do Estado do Sistema.t.t n 1 n n+1.t.t As 4 condições para haver n clientes no sistema em t + t: 1. Haviam n+1 pacotes no sistema em t, no intervalo t houve 1 partida e nenhuma chegada 2. Haviam n-1 pacote no sistema em t, no intervalo t houve 1 chegada e nenhuma partida 3. Haviam n pacotes no sistema em t, no intervalo t não houve partida e nem chegada 4. Haviam n pacotes no sistema em t, no intervalo t houve 1 partida e 1 chegada 58 58

Transições de Estado (resumo) Estado Inicial (Instante t) n+1 clientes n-1 clientes n clientes n clientes Eventos Durante t 1 partida + 0 chegada 0 partida + 1 chegada 0 partida + 0 chegada 1 partida + 1 chegada Estado Final (t+t) n n n n 59 59

Cálculo do Estado do Sistema Relembrando que: (1 chegada) Onde T = t, sendo t pequeno, logo: Então, para o processo de chegada: P( k = 1 e com T = t ) = t + 0(t ) P( k = 0 e com T = t ) = 1 t + 0(t ) O tempo de serviço obedece a distribuição exponencial, assim as partidas também seguem um processo de Poisson, então: P(1 partida em t ) = t + 0(t ) k (T)k e - t P(k=1) = 1! k P(k=1, T=t) = ( t)k e 1! (.t) =.t [ 1 -.t + 2 +... ] 2! P(0 partida em t ) = 1 t + 0(t ) 0(t ) /.t - t 60 60

Cálculo do Estado do Sistema Estado n+1 1 partida, 0 chegadas 0 partidas, 0 chegadas ou 1 partida, 1 chegada n n-1 0 partidas, 1 chegada Expressão A p n (t+t) t t + t Tempo t = p n (t).[1.t 0(t)].[1.t 0(t)] + p n (t).[.t + 0(t)].[.t + 0(t)] + p n+1 (t).[1.t 0(t)].[.t + 0(t)] + p n-1 (t).[.t + 0(t)].[1.t 0(t)] 61 61

Cálculo do Estado do Sistema Quando n=0: p 0 (t+ t) Expressão B = p 0 (t).[1. t 0( t)].[1. t 0( t)] + p 0 (t).[. t + 0( t)].[. t + 0( t)] + p 1 (t).[. t + 0( t)].[. t + 0( t)] Da expressão B: Lim t 0 d p 0 (t) d t Em regime permanente: p 0 (t t) p 0 (t) =. p t 0 (t) +. p 1 (t) =. p 0 (t) +. p 1 (t) d p 0 (t) = 0. p d t 0 (t) +. p 1 (t) = 0 62 62

Cálculo do Estado do Sistema Logo: p 1 = p 0 Utilização: = Para n 1 Lim t0 p n (t t) p n (t) t Ignorando os termos em t 2 e de ordem superior Teremos: d p n (t) dt =.p n (t).p n (t) +.p n-1 (t) +.p n+1 (t) 63 63

Cálculo do Estado do Sistema Em regime permanente: d p n (t) d t = 0 ( + ). p n =. p n - 1 +. p n+1 n 1. p 1 =. p 0 n = 0 Para a fila M/M/1: p n = n (1 - ) 1 - n+1 = Para: > 1 N Para n 1: p n = n (1 - ) 64 64

Cálculo do Estado do Sistema População média no sistema em regime permanente: E[n] = n.p n = n = 1 n. n.(1- ) n = 1 = 1 Tempo de residência no sistema, utilizando a Lei de Little: E[r] = E[n] / = / = (1 ) 1.(1 ) = 1 ( ) Tempo na fila de espera: E[w] = E[r] E[s] = 1 1 =.(1 ) ( ) 65 65

Número de Chegadas/Partidas Sistema de Fila M/M/1 - Gráfico de Chegadas e Partidas 6 5 4 C(t) n 3 r r 4 2 r 3 1 2 P(t) Chegadas Partidas tc 1 r 1 tc 2 tc 3 tc 4 tc 5 tc 6 tp 1 tp 2 tp 3 tp 4 tempo 66 66

Clientes no Sistema Sistema de Fila M/M/1 - Quantidade de Clientes no Sistema 6 5 4 Estado Médio do Sistema (n) 3 2 1 Chegadas Partidas tc 1 tc 2 tc 3 tc 4 tc 5 tc 6 tp 1 tp 2 tp 3 tp 4 tempo 67 67

Tempo de Resposta Sistema de Fila M/M/1 - Tempo de Resposta do Sistema Tempo de Resposta Médio (r) 1 2 3 4 5 6 Número da Chegada 68 68

Sistema de Fila M/M/1 - Cálculo do Estado do Sistema 1. Parâmetros: = Taxa de chegada (por unidade de tempo) = Taxa de serviço (por unidade de tempo) 2. Utilização do servidor (=intensidade de tráfego): / 3. Condição de Estabilidade: 1 4. Probabilidade de zero clientes no sistema: p 0 = 1 5. Probabilidade de n clientes no sistema: p n = P[N = n] = (1 ) n, n = 0, 1, 2,... 6. Probabilidade de haver mais que n clientes no sistema: p n+ = P[R > n] = n 7. Quantidade média de clientes no sistema: n = /(1 ) 8. Quantidade média de clientes na fila: n q = 2 /(1 ) 9. Tempo de residência (tempo de resposta) médio: r = 1 / [ (1 )] 10. Probabilidade acumulada do tempo de residência: P[ r t ]= 1 e t(1) 69 69

Sistema de Fila M/M/1 - Cálculo do Estado do Sistema P(r < t) é a probabilidade do tempo de residência ser menor do que t Do gráfico, para t = 1.2 r médio, então P(t) = 0.7, é a probabilidade de um cliente ter seu tempo de residência menor que 1.2 r médio Sendo r médio o tempo médio de residência = 1/(1 ) 11. q-percentil do tempo de residência: m(q) = r ln [ 100 / (100 q) ] m(q): é o tempo máximo de residência para q (%) de clientes 12. Tempo médio de espera na fila: w = n q / = ( 2 / ) / (1 - ) 70 70

Sistema de Fila M/M/1 - Exemplo 1 Um servidor de rede esta associado a 100 computadores através de uma rede (LAN). O servidor mantêm um banco de dados para consultas dos computadores. O tempo médio de resposta de uma consulta no servidor é de 0,6 segundos e o desvio do tempo é igual a média. No horário de pico, a taxa de consultas atinge a taxa de 20 consultas/minuto. Responda as seguintes questões: (1) Qual o tempo de resposta médio? (2) Se o tempo de resposta máximo aceitável for 1,5 s (para 90% das consultas), qual o percentual de aumento de tráfego? (3) Com um acréscimo de 20% de tráfego, qual o aumento no tempo de resposta? 71 71

Sistema de Fila M/M/1 - s Exemplo 1 c c c... c Assumindo um modelo M/M/1 para o sistema servidor, rede e micros. Os atrasos na rede (tempo de propagação) e as colisões) são ignorados. (1) Tempo de Resposta Médio: Taxa de chegada: = 20 / 60 = 1/3 clientes/segundo Taxa de atendimento: = 1 / 0,6 = 10 / 6 clientes/segundo Intensidade de tráfego (=utilização do servidor): / = 1/3 x 6/10 = 0,2 Tempo de Resposta do Sistema: r = 1 / [(1 )] 0,6 / (1 0,2) = 0,75 s (=0,6 s no atendimento + 0,15 s na fila de espera do servidor) 72 72

Sistema de Fila M/M/1 - (2) Aumento de tráfego: Exemplo 1 Acréscimo no Tráfego quando r = 1,5 s para 90 % das requisições: 1,5 = r x ln[100/(100-90)] então: r = 0,65 Como r = (1/) / (1 ) (1/1,667) / (1 ) 0,65 Logo: 0,077 Assim, a intensidade de tráfego () deve cair de 0,2 para 0,077 para que o tempo de residência (r) caia de 0,75 para 0,65 (3) Acréscimo no tempo de resposta: A intensidade de tráfego (utilização) foi aumentada em 20%, então: = 0,2 + 0,2 = 0,4 Logo: r = (1/) / (1 ) (1/1,667) / (1 0,4) = 1,00 s 73 73

Sistema de Fila M/M/m 74 74

Sistema de Fila M/M/m Sistema com m servidores iguais Cada servidor possui uma taxa de serviço igual a Sistema sem perdas - se todos os servidores estiverem ocupados, novos clientes aguardam na fila de espera 75 75

Sistema de Fila M/M/m - Diagrama de Transição de Estados Estado: 0 1 m 1 m m+1 2. (m1). m. m. m. Para o sistema M/M/m: n =, n = 0, 1, 2,..., n = n., n = 1, 2, 3,..., m-1 m., n = m, m+1, m+2, m+3,..., 76 76

Sistema de Fila M/M/m - Cálculo do Estado do Sistema 1. Parâmetros: = Taxa de chegada = Taxa de serviço m = Quantidade de servidores 2. Utilização (intensidade de tráfego) média de um servidor: (/m) / 3. Condição de Estabilidade: 1 4. Intensidade de tráfego do sistema (dos m servidores): / 1 Pq 5. Tempo de residência médio: r 1 m(1 ). P q 6. Quantidade média de clientes no sistema: n m. (1 ) 77 77

Sistema de Fila M/M/m - Cálculo do Estado do Sistema 7. Tempo de espera médio, sendo: Logo: w sp q m( 1 ) sp q m A w r s s1 Pq s m(1 ) 78 78

Sistema de Fila M/M/m - Cálculo do Estado do Sistema P q = probabilidade de todos os servidores estarem ocupados (ocorre formação de fila). Onde: (.m) m P 0 P q = m! (1) A equação anterior é conhecida como equação de Erlang-C. Tendo sido tabulada e é bastante utilizada em sistemas de telefonia. P 0 = probabilidade do sistema estar vazio (sem clientes). Dada por: P 0 = m - 1 (.m) n n = 0 n! + (.m) m m! (1) 1 79 79

Exemplo: Sistema M/M/2 1/ 1. Tempo de residência médio: r = (1 2 ) 2. Quantidade média de clientes no sistema: 3. Probabilidade de formação de fila: P q = n = 2 2 1 2 1 2 80 80

Sistema de Fila M/M/ 81 81

Sistema de Fila M/M/ Sistema com quantidade infinita de servidores Todo o cliente que chega ao sistema encontra um servidor livre e é imediatamente atendido Taxas de chegada e de serviço possuem distribuição exponencial Não existe fila de espera, o comprimento da fila e o tempo de espera são nulos É um sistema que introduz apenas um atraso equivalente ao tempo de serviço Utiliza as equações do sistema M/M/m na situação limite, quando m = 82 82

Sistema de Fila M/M/ Probabilidade de sistema vazio: Probabilidade de n clientes no sistema: p 0 e p n n e Para n > 0 n! Quantidade de clientes no sistema: Tempo médio de residência: r 1 n 83 83

Sistema de Fila M/M/m/B 84 84

Sistema de Fila M/M/m/B Distribuição do tempo entre chegadas: Exponencial Distribuição do tempo de serviço: Exponencial Quantidade de Servidor(es): m Capacidade do Sistema: B Trata-se de um sistema com m servidores e B buffers, onde B m (cada servidor possui uma posição de buffer) Se as B posições estiverem ocupadas, os clientes subseqüentes são perdidos 85 85

Sistema de Fila M/M/m/B - Diagrama de Transição de Estados 0 1 m-2 m-1 m m+1 k-1 Estado: 0 1 m 1 m m+1 B 1 2 m-1 m m+1 m+2 b Estado = quantidade de clientes no sistema Para o sistema M/M/m/B, onde B m n =, n = 0, 1, 2,..., B-1 e n = 0, para n B n = n., n = 1, 2, 3,..., m e n = m., para n > B 86 86

Sistema de Fila M/M/m/B - Diagrama de Transição de Estados Estado: 0 1 m 1 m m+1 B 2. (m1). m. m. m. m. Estado = quantidade de clientes no sistema Sistema M/M/m/B, onde: B(buffers) m(servers) 87 87

Sistema de Fila M/M/m/B Probabilidade do sistema estar vazio, nenhum servidor ocupado: 1 p n p ( m ) n! n 0 1 p 0 Bm1 ( 1 )( m ) m! ( 1 ) m 1 m n1 ( m ) Probabilidade de haverem n clientes no sistema: Para n < m: n! n Para m n B: p n m n m m! p 0 88 88

Sistema de Fila M/M/m/B Probabilidade do sistema estar vazio, nenhum servidor ocupado: p ( m ) n! 0 1 p 0 Bm1 ( 1 )( m ) m! ( 1 ) m 1 m n1 ( m ) Probabilidade de haverem n clientes no sistema: Para n < m: p n n n! n 1 Para m n B: p n m n m m! p 0 89 89

Sistema de Fila M/M/m/B Quantidade de clientes na fila: n B ( n m) q p n nm1 Tempo de espera na fila: w n q ' 90 90

Casos Particulares do Sistema M/M/m/B O sistema M/M/m/B pode originar dois tipos de sistemas de fila: Sistema M/M/m/m, onde m=b, que é aplicável a sistemas de capacidade m e quantidade de servidores m, sem espaço de espera. Cada um dos m servidores comporta um cliente Sistema M/M/1/B, onde m=1, que é aplicável a sistemas de capacidade B e 1 servidor. Ou seja, B- 1 posições de espera 91 91

Sistema de Fila M/M/m/m 92 92

Sistema de Fila M/M/m/m Distribuição do tempo entre chegadas: Exponencial Distribuição do tempo de serviço: Exponencial Quantidade de Servidor(es): m Capacidade do Sistema: m Trata-se de um sistema com m servidores e de capacidade m (1 posição por servidor), sem espaço de espera Se os m servidores estiverem ocupados, os clientes subseqüentes são perdidos (ocorre bloqueio do sistema) 93 93

Sistema de Fila M/M/m/m 1. Sistema M/M/m/m, sem espaço de espera 2. Número de posições em serviço = número de servidores (não há fila de espera) 3. Chamadas que chegam: 1 2 3 4. Chamadas bloqueadas:.p b 5. Chamadas não bloqueadas:.(1p b ).P b (Bloqueio) m 6. P b = probabilidade dos m servidores (linhas) estarem bloqueados (ocupadas) 94 94

Sistema de Fila M/M/m/m Probabilidade de nenhum cliente no sistema: p 0 m n0 ( m ) n! n 1 Probabilidade de n clientes no sistema: Probabilidade de bloqueio do sistema P[n=m]: p n ( m ) n! p b n p 0 m ( m ) m! m ( m ) n0 n! n 95 95

96 96 Sistema de Fila M/M/m/m m n np n n 1 s n r ' Número médio de clientes no sistema: Taxa de chegada efetiva (clientes não rejeitados): Tempo de residência: ( ) b m n n m n n p p p 1 ' 1 0 1 0

Sistema de Fila M/M/m/m Quando n=m, todas as linhas estão ocupadas, as próximas requisições serão bloqueadas A probabilidade de bloqueio será: P b = (m) m / m! m (m) i / i! i = 0 onde: = / A equação anterior também é conhecida como distribuição Erlang-B de bloqueio, distribuição de Erlang ou equação de perdas de Erlang do tipo B 97 97

Sistema de Fila M/M/1/B 98 98

Sistema de Fila M/M/1/B Sistema com 1 servidor e B-1 posições de espera Caso particular do sistema M/M/m/B, onde m=1 Fila de espera possui tamanho finito, então podem haver clientes perdidos, ou rejeitados (bloqueio do sistema) Como todo o sistema com capacidade de fila limitada, é sempre estável (<). 99 99

Sistema de Fila M/M/1/B Probabilidade de sistema vazio: p 0 1 1 B1 para 1 Probabilidade de n clientes no sistema: p n p 1 1 n 0 B1 n Probabilidade de bloqueio: p b ] P B p 1 1 B 0 B1 1 p0 para = 1 B 1 para 0 n B B 100 100

Sistema de Fila M/M/1/B Número de clientes no sistema: n 1 ( B 1) 1 B1 B1 101 101

Sistema de Fila M/M/N/N/K 102 102

Sistema de Fila M/M/N/N/K Sistema representado esquematicamente conforme a figura: 1 2 K 1 2 N T n. Sistema com N servidores, população K finita (onde: K N). Sem espaço de espera A taxa de serviço possui distribuição exponencial Em dado instante, existirão n clientes (onde: 0 n N) e cada um será atendido por um único servidor Se n > N, pode haver rejeição de clientes (bloqueio) 103 103

Sistema de Fila M/M/N/N/K Pode ser utilizado para modelar: Uma central telefônica com K assinantes entradas e N troncos de saída Uma ERB com K usuários e N freqüências de RF (canais) 104 104

Sistema de Fila M/G/1 105 105

Sistema de Fila M/G/1 Sistema de fila onde a taxa de serviço atende a distribuição Geral Pode ser utilizado, por exemplo, para modelar o tráfego em: Sistemas com prioridade não preemptivos Sistemas onde o tempo de serviço está dividido em classes conhecidas 106 106

107 107 Sistema de Fila M/G/1 Quantidade de clientes no sistema: Tempo de residência no sistema: Tempo de espera na fila: Um caso particular do sistema M/G/1 é o M/D/1 (sistema determinístico), onde: =0 ( ) 2 2 1 2 1 1 1 n r ( ) 2 2 1 2 1 1 n s r w

Noções de Engenharia de Tráfego 108 108

Comutação de Circuitos 1 2 M Central de Comutação 1 2 N Numa central de comutação de circuitos podem haver M circuitos de entrada e N circuitos de saída Cada circuito pode ser um canal do tipo full-duplex Cada circuito de entrada estará conectado a uma saída durante um certo tempo (tempo de conexão) Se M>N, uma entrada poderá não ter uma saída disponível, num determinado instante de tempo, se os N circuitos de saída estiverem ocupados, ocorrendo um bloqueio 109 109

Central Telefônica 1 2 M P b = Onde: N i = 0 Central Telefônica A N / N! A i / i! A = (N.) / = N. 1 2 N Uma central telefônica típica utiliza uma central de comutação de circuitos Possui M assinantes e N linhas tronco (trunk), onde: M >> N Não há espera por linha livre, então a central pode ser modelada por um sistema de fila do tipo M/M/m/m, onde m = N A taxa de chegada de chamadas para as N linhas tronco é: N. A intensidade de tráfego total, oferecida para as N linhas tronco, é dada pela letra A A probabilidade de perdas (ligações rejeitadas) é calculada utilizando a equação de perdas do tipo B de Erlang 110 110

Tráfego Telefônico A equação de perdas Erlang-B pode ser usada para dimensionar sistemas telefônicos. Fornecendo uma estimativa da probabilidade de ocupação (bloqueio) dos troncos (linhas), a partir da demanda (tráfego) e da quantidade de linhas (troncos). Erlang É uma unidade de tráfego telefônico, definida como a quantidade de tempo, em horas (ou minutos), gasta para atender todas as ligações que entram num sistema durante uma hora (ou um minuto) de funcionamento. EXEMPLO: Numa central telefônica com 100 linhas, qual a demanda produzida se cada linha recebe, em média, 2 chamadas / hora e essas têm duração média de 3 minutos? Solução: chegam à central 100 x 2 = 200 chamadas por hora, que ocupam 200 x 3 = 600 minutos = 10 horas. Conseqüentemente, o tráfego é de 10 horas por hora, ou seja: 10 erlang. 111 111

Tráfego Telefônico A central telefônica possui N linhas, que podem operar simultaneamente Cada linha possui uma ocupação média de s unidades de tempo (segundos, minutos,... ), que é a duração média de uma chamada A demanda da central telefônica é de N. chamadas por unidade de tempo Cada linha possui uma intensidade de tráfego igual a, onde: Duração média de uma ligação: s Taxa de serviço por linha: = 1/s Intensidade média de tráfego por linha: = / A intensidade de tráfego total é simbolizada pela letra A e o tráfego total (de todas as linhas) oferecido à central será: A = N. = N./ 112 112

Pb = Probabilidade de Bloqueio Tráfego Telefônico 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 12 A/N Quando aumenta-se a quantidade de linhas da central, o tráfego por linha diminui Resultando na diminuição da probabilidade de bloqueio Quando a quantidade de linhas é maior que a intensidade de tráfego (N > A), resulta < 1, ocorrendo uma quede brusca na probabilidade de bloqueio O gráfico ao lado mostra que Pb cai bruscamente quando A/N = < 1 113 113

Dimensionamento de Centrais Telefônicas Dada uma certa intensidade de tráfego (em Erlangs) Avalia-se a probabilidade de bloqueio (ou de perda) para diferentes quantidades de troncos da central Ver gráfico Probabilidade de Bloqueio x Quantidade de Troncos (linhas) O gráfico é obtido a partir da equação de perdas de Erlang-B 114 114

Probabilidade de Bloqueio Probabilidade de Bloqueio x Quantidade de Linhas 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 A=5 10 15 20 30 25 0 0 5 10 15 20 25 30 35 Quantidade de Linhas (N) 115 115

Probabilidade de Bloqueio Exemplo - 1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 A=10 0 0 5 10 15 20 25 30 35 Quantidade de Linhas (N) Dada uma intensidade de tráfego máxima de 10 erlangs, avalia-se a quantidade de troncos necessária para uma probabilidade de bloqueio No gráfico, verifica-se a quantidade de linhas necessárias para uma probabilidade de bloqueio (ou perda) esperada Para o cálculo também se utiliza: calculadora programável, tabela de Erlang, programa de microcomputador 116 116

Tabela de Erlang do tipo B Exemplo: Sistema do tipo M/M/N/N com A=2.158 Erlangs, N=7 linhas. Probabilidade de bloqueio: Pb=0,005 (B= 0,5%) 117 117

Exemplo - 2 Determinar a quantidade de linhas de saída de uma central onde: Probabilidade de perdas: 0,5 % Quantidade de chamadas (m.): 31 por minuto Duração média das chamadas: 3 minutos 118 118

Exemplo - 2 Tráfego oferecido: A (m./) = 31x3 = 93 erlangs Achar N, tal que: Pb (A,N) < 0,005 Calculando iterativamente: Pb(93,115)=0,0034 Pb(93,114)=0,0042 Pb(93,113)=0,0051 N=114 A central deve possuir 114 troncos de saída 119 119

Verificar o Dimensionamento de uma Central Telefônica Avaliar o desempenho de uma central telefônica com N troncos Um parâmetro de desempenho de uma central telefônica é a probabilidade de bloqueio para diversas intensidades de tráfego (A) 120 120

Probabilidade de Bloqueio Probabilidade de Bloqueio x Tráfego 1 0.9 0.8 0.7 N=5 0.6 0.5 10 15 0.4 20 25 30 0.3 0.2 0.1 0 0 10 20 30 40 50 60 Intensidade de Tráfego (A - Erlangs) 121 121

Avaliação de uma Central Dada uma central com N=100 linhas s = 5 minutos / ligação Pb < 0,4 % Determinar Máxima intensidade de tráfego admissível A máxima taxa de chegada de ligações para não ocorrer bloqueio 122 122

Avaliação de uma Central Tráfego oferecido: A =? Probabilidade de perda: Pb(A,100) < 0,004 Calculando iterativamente: Pb(79,100) = 0,003074 Pb(80,100) = 0,003992 Pb(81,100) = 0,00511 A max = 80 erlangs Sendo: A = m. = m./ = m..s Logo: max = 80/(100x5) = 0,16 chamadas/min. 123 123

Análise de um Concentrador 10 terminais estão conectados a um concentrador de terminais Cada terminal gera um pacote a cada 8 segundos Pacotes têm 960 bits de comprimento em média Linha de saída com capacidade de 2400 b/s Tamanho do pacote e tempo entre chegadas de pacotes com distribuição exponencial Determinar: Ocupação média do buffer Atraso médio no sistema Tempo médio de espera na fila 124 124

Sistema com Espera Quando as requisições podem esperar uma linha livre, haverá fila de espera. Se a capacidade da fila for muito grande, não haverá rejeição de clientes. O modelo M/M/m (sem perdas) pode ser utilizado Central PABX com espera m = 8 linhas de saída. A = 4,5 Erlangs Calcular a probabilidade de espera 125 125

Sistema com Espera Os sistemas com espera e capacidade infinita (muito elevada) são modelados pelo sistema M/M/m Sendo a intensidade de tráfego A=(m.)/ A probabilidade de espera (fila) será dada pela equação de Erlang-C: P q = A m P 0 m! (1A/m) Onde: P 0 = m - 1 n = 0 A n n! + A m m! (1) 1 126 126

Sistema com Espera PBX Capacidade 40 ramais Cada ramal realiza diariamente, em média, 54 ligações A duração de cada ligação é, em média, 3 minutos Qual é o número de troncos de saída necessários para uma probabilidade 5% de espera? Qual o tempo de espera? 127 127

Sistemas com Prioridade Em sistemas com prioridade, os clientes são atendidos pelo servidor conforme a prioridade Num sistema com prioridade, cada classe de prioridade é alocada em uma fila. Existirão tantas filas quanto as classes pré-definidas. Normalmente, o servidor é alocado à fila de menor prioridade, passando a atender outra fila ao chegar um cliente de maior prioridade 128 128

QoS Qualidade de Serviço A qualidade de serviço é necessária para adequar o desempenho da rede ao atraso admissível para uma determinada aplicação Um dos problemas do tráfego de redes é a latência, que é decorrente da espera em filas de switches (FIFOs), do desempenho aleatório do tráfego da rede, etc. Aplicações de multimídia requerem baixa latência, da ordem de dezenas de milissegundos São definidas classes para os fluxos de dados, ao passarem pelos switches, os fluxos de maior prioridade são enviados primeiro num segmento de rede. Para isso, são criadas filas de saída por classe de tráfego, para cada segmento de rede. 129 129

Arquitetura de um Switch Ethernet Filas de saída 130 130

Tipo de Serviço e Prioridade - Exemplos Prioridade do Datagrama IP Prioridade do Quadro (VLAN) 131 131