PROJETO KALI MATEMÁTICA A AULA 0 FATORAÇÃO, SIMPLIFICAÇÃO DE RAÍZES EXATAS E MMC Introdução Hoje iniciaremos o estudo de alguns assuntos extremamente importantes para uma maior compreensão no ensino da Matemática. São eles: divisores e múltiplos, critérios de divisibilidade, números primos, fatoração, simplificação de raízes exatas e por fim MMC. Apesar de parecerem elementares, esses temas dialogam constantemente com toda a Matemática, Física, Química e futuramente com conteúdos do Ensino Superior. Figura 1 - demonstração de Euclides sobre a existência de infinitos números primos, há cerca de 00 anos antes de Cristo, em sua obra Os Elementos. Múltiplos O múltiplo de um número natural (o conjunto dos números inteiros positivos, incluindo o zero, é representado pela letra N maiúscula) é o resultado da multiplicação desse número por qualquer outro número natural. Assim, os múltiplos de um número aparecem como os resultados na tabuada desse número. 5 = 10. Dizemos que o número 10 é múltiplo do número e também múltiplo de 5; 6 = 1. Dizemos que 1 é múltiplo de e também múltiplo de 6. Como descobrir todos os múltiplos de um número? Como já dito, os múltiplos de um número aparecem em sua tabuada. Por exemplo, como descobrir quais são os números múltiplos de 14? Vejamos: 14 0 = 0 14 1 = 14 14 = 8 14 = 4 14 4 = 56 14 5 = 0 14 6 = 84 14 = 98 Múltiplos de 14 = {0, 14, 8, 4, 56, 0, 84, 98,... } Observe que o zero é múltiplo de qualquer número! 1 Fatoração, simplificação de raízes exatas e MMC 016
PROJETO KALI MATEMÁTICA A AULA 0 Divisores Dizemos que um número natural é divisor de outro número natural quando a divisão for exata, ou seja, quando o resto é zero. Se dividirmos o 1 por 1,,, 4, 6 ou 1, a divisão será exata. Assim, o 1 é divisível por 1,,, 4, 6 ou 1. Portanto, os divisores do 1 são 1,,, 4, 6 e 1. Com qualquer outro número, a divisão não será exata; 6 é divisível por 1,,, 4, 6, 9, 1, 18 e 6; assim, os divisores do 6 são 1,,, 4, 6, 9, 1, 18 e 6; Os divisores do são o 1 e o. Observações importantes: O menor divisor de um número é sempre o número 1; O maior divisor de um número é o próprio número; O zero não é divisor de nenhum número. Relação entre divisores e múltiplos 15 é divisível por é divisor de 15 15 é múltiplo de ; 0 é divisível por 1 1 é divisor de 0 0 é múltiplo de 1; 8 é múltiplo de é divisor de 8. Assim, se um número natural é múltiplo de outro número, esse outro número será divisor do primeiro. Da mesma forma, se um número natural é divisor de outro número, esse outro número será múltiplo do primeiro. Critérios de divisibilidade Quando temos um número pequeno, é fácil descobrir quais números são divisores, apenas fazendo a conta de divisão e verificando se o resto é zero ou não. Mas por vezes nos deparamos com números maiores, como por exemplo 456. Nesse caso, aplicar o método tradicional fazendo várias divisões daria muito trabalho. Assim, usamos regrinhas que podem nos ajudar a descobrir quais são alguns divisores dos números sem fazer a divisão. Essas regras são os critérios de divisibilidade. Existem critérios de divisibilidade para diversos números, mas os mais usados são os seguintes: Fatoração, simplificação de raízes exatas e MMC 016
PROJETO KALI MATEMÁTICA A AULA 0 Divisibilidade por : Qualquer número par é sempre divisível por. Ou seja, todo número que terminar com os algarismos 0,, 4, 6 ou 8 é divisível por. 145 é divisível por ; 8 não é divisível por. Divisibilidade por 6: Um número será divisível por 6 se for divisível por e por. é divisível por mas não por ; assim, não é divisível por 6; 58 é divisível por mas não por ; assim, não é divisível por 6; 150 é divisível por e por ; assim, é divisível por 6. Divisibilidade por : Quando a soma dos algarismos é um número divisível por, então o número original também é divisível por. O contrário também vale: se a soma dos algarismos não for divisível por, o número original também não será divisível por. : se somarmos os algarismos (++), o resultado será 1. Como 1 é divisível por, também é divisível por ; 58: 5+8=1; como 1 não é divisível por, 58 também não é divisível por. Divisibilidade por 5: Todo número que terminar com os algarismos 0 ou 5 é divisível por 5. 10 é divisível por 5; 85 é divisível por 5; 8 não é divisível por 5. Divisibilidade por 10: Todo número que terminar com o algarismo 0 é divisível por 10. 980 é divisível por 10; 6 não é divisível por 10. Números primos Seja um número natural. Se os seus divisores forem apenas o 1 e o próprio, então o é um número primo. Ou seja: um número primo é todo aquele que só é divisível por 1 e por ele mesmo. Divisores de 5: apenas 1 e 5. Logo, 5 é um número primo; Divisores de 1: apenas 1 e 1. Logo, 1 é um número primo; Divisores de 8: 1,, 4 e 8. Logo, 8 não é um número primo. Curiosidade: O maior número primo conhecido até 01/01 tem mais de 1 milhões de dígitos, exatamente 1.45.10 dígitos, e foi descoberto pelo projeto GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). Fatoração, simplificação de raízes exatas e MMC 016
PROJETO KALI MATEMÁTICA A AULA 0 Os primeiros números primos 5 11 1 1 19 9 1 41 4 4 5 59 61 6 1 9 8 89 9 101 10 10 109 11 1 11 1 19... Como saber se um número é primo? Como dito anteriormente, um número é primo quando possui apenas dois divisores: 1 e ele próprio. Por convenção, o número 1 não é primo, mesmo obedecendo o critério acima. Os números maiores que 1 e que possuem mais que divisores não são primos, são números compostos. Para saber se um número é primo ou não, podemos dividir esse número por primos conhecidos até que obtenhamos um quociente menor ou igual ao divisor. Se até esse ponto nenhuma divisão for exata, então esse número é primo. Fatoração (decomposição em fatores primos) Todo número natural não primo (composto) maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores primos. 54 = 9 6 54 = 9 54 = 54 = ³ 84 = 4 84 = 1 84 = 84 = ² Regra prática para fatoração Existe um dispositivo prático para fatorar um número: 16 1. Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;. Escrevemos o resultado na linha abaixo;. Repetimos os passos acima até obtermos o número 1. A multiplicação de todos os divisores 6 1 1 16 = 16 = ² primos será o número fatorado. 4 Fatoração, simplificação de raízes exatas e MMC 016
PROJETO KALI MATEMÁTICA A AULA 0 Número Fatoração em números primos Fatoração em números primos usando potências 81 4 1 11 ² 11 14 ² 165 5 1 5 1 Simplificando raízes exatas O processo de obtenção de uma raiz consiste em descobrir qual número que elevado ao índice resulta no algarismo que está dentro da raiz. Muitas vezes é possível fazer esse cálculo de forma intuitiva. Exemplo: 9 =, pois = 9 Porém, quando trabalhamos com radicandos muito grandes, o método intuitivo pode ser muito trabalhoso. Uma alternativa é a obtenção da raiz pelo método da fatoração. Para isso, devemos: Lembre-se: radicando índice 1. Realizar a fatoração do radicando;. Juntar os divisores primos da fatoração iguais em grupinhos com número de elementos igual ao índice da raiz;. Multiplicar os números dos grupinhos. a) 196 196 98 49 1 196 =? = = 14 b) 16 16 108 54 9 1 = = 6 O mesmo processo pode ser realizado para obtenção de raízes não exatas, como 8. No entanto, por ser uma raiz não exata, existirão números que não formarão grupinhos. Esses números devem permanecer dentro da raiz, e o resultado final combinará números fora da raiz com números dentro da raiz. Por fugir do objetivo do curso, a simplificação de raizes não exatas não será vista nesse momento. 5 Fatoração, simplificação de raízes exatas e MMC 016
PROJETO KALI MATEMÁTICA A AULA 0 Mínimo Múltiplo Comum MMC Como o nome já diz, o MMC consiste em se obter o menor múltiplo comum dentre dois ou mais números naturais. O MMC possui várias aplicações na Matemática. Por exemplo, é muito utilizado na soma e subtração de frações. Para aprendermos como calculá-lo, vamos ver um exemplo: Qual é o menor múltiplo comum entre 0 e 5? Múltiplos de 0 0 0 40 60 80 100 10 140... Múltiplos de 5 0 5 0 105 140 15 10 45... Observando os múltiplos de 0 e 5, vemos que o menor múltiplo comum é 140. O MMC entre 0 e 5 é 140. Dispositivo prático para obtenção do MMC Utilizamos a fatoração para agilizar o cálculo do MMC. Passos: 1. Achamos o menor divisor primo de todos os números, e escolhemos o menor deles;. Dividimos os números, quando tiver divisão exata, pelo menor divisor primo obtido acima;. Escrevemos os quocientes na linha abaixo, e repetimos os passos sucessivamente até obtermos somente 1; 4. O MMC será a multiplicação de todos os divisores primos da fatoração conjunta. a) MMC entre 0 e 0: b) MMC entre 15, 4 e 60: 0, 0 15, 4, 60 10, 15 5, 15 5, 5 5 MMC = 5 MMC = 60 15, 1, 0 15, 6, 15 15,, 15 MMC = 5 MMC = 10 1, 1 Como não é possível dividir 5, 1, 5 5 o 15 pelo menor divisor primo, somente o 1, 1, 1 copiamos na próxima linha. 6 Fatoração, simplificação de raízes exatas e MMC 016
PROJETO KALI MATEMÁTICA A AULA 0 Como estudar esse conteúdo? A aula é extensa, mas tem apenas conteúdos básicos. Básico não quer dizer fácil! Quer dizer que devemos saber para continuarmos com a matéria, já que a Matemática se baseia na acumulação e na evolução do conhecimento. Em casa, revise toda a matéria. Reveja todos os modelos antes de fazer os exercícios. Muitos dos exercícios trabalham com o raciocínio lógico, o que é muito importante para sua formação como estudante. Nas listas de exercício, há exercícios de todos os níveis. Há muitos desafios! Portanto, não desanime se não conseguir fazer alguns deles. Com o tempo você vai conseguir e vai perceber sua evolução! Procure qualquer professor da matéria ou seu tutor se surgir qualquer dúvida. Dúvidas mal resolvidas dessa aula se arrastarão por todo o curso. Não deixe isso acontecer! Bons Estudos! Fatoração, simplificação de raízes exatas e MMC 016