Cálculo de Parâmetros de Linhas Aéreas para Redes de Distribuição Hussein Umarji Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Júri Presidente: Prof. Gil Domingos Marques Orientador: Prof. Luis António Fialho Marcelino Ferreira Prof. Pedro Manuel Santos de Carvalho Vogal: Profª. Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro
Agradecimentos O autor deseja agradecer aos Professores Marcelino Ferreira e Pedro Carvalho, responsáveis pela orientação científica do trabalho, e especialmente ao Professor Pedro Carvalho, todo o empenho e confiança depositados tanto a nível académico como a nível pessoal. A sua disponibilidade e apoio foram factores de motivação importantes para o sucesso do trabalho realizado. O autor deseja ainda agradecer á Professora Maria Eduarda Pedro, ao Engenheiro Carlos Santos e ao Engenheiro Fernando Carvalho todo o apoio, orientação e disponibilidade prestados ao longo do trabalho. E por fim o autor deseja ainda agradecer á sua família por todo o apoio dado ao longo do curso, apoio esse fundamental para o concretizar dos seus objectivos. 1
Resumo Este trabalho descreve os métodos mais comuns usados no cálculo dos parâmetros de linhas aéreas de alta tensão: método de Carson e de retorno pela terra a uma profundidade complexa (CDER) para o cálculo das impedâncias série e o método dos coeficientes de potencial de Maxwell para as capacidades transversais. Foi criado um programa em linguagem Matlab, no qual são usados estes três métodos referidos anteriormente e os resultados obtidos através deste programa foram comparados com os resultados obtidos através do programa de referência Line Constants do ATP/EMTP, verificando-se que os resultados eram muito próximos para ambos os programas. De seguida, foi levado a cabo um estudo acerca de como a variação da frequência e da condutividade dos materiais que costituem os condutores da linha, afectam a impedância série e a capacidade transversal da linha aérea. Um exemplo ilustrativo de uma linha aérea é usado por forma a observar estas variações, e para a impedância série concluiu-se que ambos os métodos, Carson e CDER apresentam resultados muito próximos, e que a resistência série é o parâmetro que mais é influenciado, tanto pela frequência como pela condutividade. A indutância série não sofre alterações significativas. Os resultados mostraram que o método CDER é muito preciso quando comparado com o método de Carson e sendo mais fácil de implementar poderá substituir o método de Carson. 2
Abstract This paper describes the most common methods used for the calculation of overhead line parameters: Carson s and Complex Depth of Earth Return (CDER) methods for the series impedance and Maxwell s potential coefficients for the parallel capacitance. A program developed in Matlab language was created using the three methods stated above and comparisons were made between the results obtained using this program and those obtained using Line Constants program from ATP/EMTP and indicated very similar results for both programs. This is followed by a study on how the variation of frequency and material conductivity of the line conductors affects the series impedance and the parallel capacitance of the overhead line. An illustrative example of a line is used to observe these variations. For the series impedance it is concluded that results for both methods, Carson s and CDER are very similar and that the series resistance is the parameter that is most influenced by the frequency and by the conductivity. The series inductance does not vary significantly. Results showed that the CDER method is accurate when comparing to Carson s method and, being easier to use, it can replace Carson s method. 3
Palavras- chave Parâmetros de Linhas Aéreas de Transmissão Impedância Série da Linha Aérea Capacidade Transversal da Linha Aérea Modelo de Carson Modelo CDER Line Constants do ATP/EMTP 4
Key Words Overhead Power Line Parameters Series Impedance Parallel Capacitance Carson s Method CDER Method Line Constants of ATP/EMTP 5
Índice 1 Introdução... 10 1.1 Motivação... 11 1.2 Objectivo... 12 1.3 Organização do Texto... 13 1.4 Notação... 14 2 Modelos de Cálculo de Parâmetros de Linhas Aéreas... 16 2.1 Parâmetros das Linhas Aéreas... 17 2.1.1 - Impedância Série da Linha... 17 2.1.1.1 - Modelo de Carson... 18 2.1.1.2 Modelo CDER... 25 2.1.2 - Capacidade Transversal da Linha... 26 2.2 Redução das Matrizes e P retirando os Cabos de Guarda... 28 2.3 Redução das Matrizes e P retirando o Bundling... 31 2.4 Transposição de Condutores em Linhas de Transmissão... 35 2.4.1 Método Geral de Transposições... 35 2.5 Cálculo dos Parâmetros da Linha Aérea em componentes simétricas... 38 3 Implementação Prática dos Modelos... 40 3.1 Definição do caso a estudar... 41 3.2 Cálculo das Capacidades Transversais dos Condutores da linha... 42 3.3 Aplicação do Modelo de Carson... 43 3.3.1 Cálculo das impedâncias próprias dos condutores... 43 3.3.2 Cálculo das impedâncias mútuas dos condutores... 44 3.3.3 Matriz de Impedâncias série da linha... 46 6
3.4 Aplicação do Modelo CDER... 47 3.4.1 Cálculo das impedâncias próprias dos condutores... 47 3.4.2 Cálculo das impedâncias mútuas dos condutores... 47 3.4.3 Matriz de Impedâncias série... 47 3.5 Implementação dos Métodos de Redução das matrizes ao caso em estudo... 49 3.5.1 Redução dos cabos de guarda... 49 3.5.2 Redução do Bundling das fases... 53 3.5.3 Transposição dos condutores da linha aérea... 54 3.5.4 Transformação das matrizes em componentes simétricas... 56 4 Resultados... 59 4.1 Comparação de resultados entre os dois métodos e o ATP/EMTP... 60 4.2 - Análise da influência da variação dos parâmetros de entrada nos resultados finais... 66 4.2.1 Análise dos resultados finais com variação da frequência... 67 4.2.2 Análise dos resultados finais com a variação da condutividade dos condutores da linha... 70 4.3 Análise de Resultados... 71 5 Conclusões... 73 7
Lista de Figuras 2.1.1 Modelo do Condutor Tubular... 19 2.1.2 Figura ilustrativa da localização dos condutores i e j e das suas imagens i e j... 22 2.3 Figura que indica como será feita a transformação e redução do sistema... 31 2.4.1 Esquema de transposição completa de uma linha de transmissão... 36 4.2.1.1 Variação da Resistência Directa com a frequência... 68 4.2.1.2 Variação da Indutância Directa com a frequência... 68 4.2.1.3 Variação da Capacidade Directa com a frequência... 69 8
Lista de Quadros 3.1.1 Características da Linha Aérea de Rio Maior... 41 3.1.2 Características calculadas da Linha Aérea de Rio Maior... 42 4.1.1 Características dos condutores que constituem a linha 1... 61 4.1.2 Informação complementar sobre as características dos condutores que constituem a linha1... 62 4.1.3 Resultados obtidos para a Impedância Série da linha 1... 62 4.1.4 Resultados obtidos para a Capacidade Transversal da linha 1... 63 4.1.5 Características dos condutores que constituem a linha 2... 64 4.1.6 Informação complementar sobre as características dos condutores que constituem a linha 2... 64 4.1.7 Resultados obtidos para a Impedância Série da linha 2... 64 4.1.8 Resultados obtidos para a Capacidade Transversal da linha 2... 64 4.1.9 Características dos condutores que constituem a linha 3... 65 4.1.10 Informação complementar sobre as características dos condutores que constituem a linha 3... 65 4.1.11 Resultados obtidos para a Impedância Série da linha 2... 66 4.1.12 Resultados obtidos para a Capacidade Transversal da linha 3... 66 4.2.2.1 Resultados finais para os parâmetros em função da condutividade dos condutores. 71 9
Capítulo 1 Introdução Este capítulo enquadra o problema do cálculo de Parâmetros de linhas Aéreas para redes de distribuição eléctrica. São mencionados alguns aspectos que demonstram a importância do problema em causa. É também apresentado o objectivo desta Dissertação e referido o seu aspecto inovador. É explicada a organização do texto e os diversos símbolos utilizados por forma a melhor se compreender o mesmo. 10
1.1 Motivação A energia eléctrica é sem dúvida alguma um bem essencial e indispensável para todos hoje em dia. Quase todas as actividades levadas a cabo, seja no mundo industrial, seja nos próprios lares dependem deste bem essencial. Com o desenvolvimento de novas tecnologias, mudança nos hábitos de vida das populações, informatização generalizada, etc, a energia eléctrica tornou-se quase num bem de primeira necessidade, e como tal há que desenvolver e manter todas as estruturas que permitam a criação da Energia Eléctrica, sua propagação e consumo. A transmissão de Energia Eléctrica pode realizar-se quer seja através de corrente alternada ou através de corrente contínua e pode ainda ser feita usando cabos subterrâneos ou linhas aéreas. Dependendo do nível de tensão à qual se realiza a transmissão de energia eléctrica podemos ter três tipos de linhas aéreas: Linhas de Alta Tensão ou Transporte, Linhas de Média Tensão, e Linhas de Baixa tensão ou Distribuição. As linhas aéreas de transmissão e distribuição de energia têm um papel fundamental nos Sistemas de Energia Eléctrica (SEE), pois elas constituem as artérias através das quais flui a Energia Eléctrica desde os centros de geração até aos centros de consumo. Como tal é necessário desenvolver e projectar linhas aéreas que melhor se adaptem aos novos problemas dos sistemas de distribuição: avaliação em regime normal, perturbado e harmónicas. É neste contexto que surge a necessidade de uma correcta caracterização das linhas aéreas sob o ponto de vista das grandezas eléctricas tais como resistências, reactâncias e capacidades. Alguns modelos matemáticos foram desenvolvidos por forma a permitir o cálculo destas grandezas eléctricas. Carson publicou o seu modelo em 1926 e desde então este é considerado o modelo mais fiável e preciso no cálculo de impedâncias série de linhas aéreas. Contudo uns anos mais tarde foi publicado um outro modelo por C. Gary, modelo que havia sido desenvolvido por C. Dubanton, que é tão fiável e preciso nos cálculos de impedâncias série quanto o de Carson, sendo este segundo modelo mais simples de implementar. A outra grandeza eléctrica por determinar é a capacidade transversal da linha aérea, e este parâmetro é calculado através dos coeficientes de potencial de Maxwell. Assim, desenvolveu-se neste trabalho um programa em Linguagem Matlab, que permite efectuar os cálculos de parâmetros de linhas aéreas trifásicas através dos dois modelos já referenciados para as impedâncias série e dos coeficientes de potencial de Maxwell para as 11
capacidades transversais da linha aérea, para qualquer geometria e tipo de material dos condutores da linha. Este programa permite assim o cálculo das seguintes grandezas eléctricas das linhas aéreas: resistência série, indutância série e capacidade transversal. Outro programa já consagrado que permite o cálculo de todos estes parâmetros das linhas aéreas é o ATP/EMTP, através da rotina Line Constants. Este programa não é de uso fácil, pois funciona com um sistema de cartões em que o mínimo erro na edição do ficheiro de entrada leva a que não seja criado o ficheiro de saída com os resultados que se desejavam. É usado o método de Carson aqui neste programa para o cálculo das impedâncias série e os coeficientes de potencial de Maxwell para o cálculo das capacidades transversais. Para além do facto do programa desenvolvido em Matlab ser de fácil utilização por qualquer utilizador, até o menos experiente, este permite também calcular os parâmetros através de dois métodos diferentes e assim poderem-se comparar resultados entre estes dois métodos. Neste trabalho é feita inicialmente uma abordagem aos métodos usados, método de Carson e método CDER desenvolvido por Dubanton e publicado por C. Gary, para o cálculo das impedâncias série da linha e também ao método que permite o cálculo das capacidades transversais da linha. Depois, faz-se o cálculo dos parâmetros para diferentes linhas aéreas trifásicas, com diferentes geometrias e para frequências diferentes e comparam-se os resultados obtidos com aqueles que se obtêm com o programa de referência Line Constants. É importante também verificar a influência que a variação de certas variáveis de entrada têm nos parâmetros finais a serem calculados. As variáveis que aqui se fazem variar são a frequência e a condutividade dos condutores das linhas aéreas e isso é feito na parte final do trabalho. 1.2 Objectivo O objectivo do trabalho é obter os parâmetros de linhas aéreas trifásicas, para qualquer geometria, tipo de material e outros aspectos construtivos, e comparar os resultados obtidos com aqueles que se obtêm recorrendo a programas consagrados para a determinação de parâmetros de linhas aéreas de transmissão, como por exemplo o Line Constants do ATP/EMTP. 12
No entanto, pretendeu-se aqui fazer um estudo ainda mais aprofundado destes parâmetros e assim fez-se o cálculo dos mesmos variando a frequência e outros parâmetros de entrada, observando-se a influência destas variações nos parâmetros a calcular. Fez-se também uma comparação entre os dois métodos que se usaram para o cálculo destes parâmetros, Método de Carson e Método CDER. Os resultados obtidos no cálculo dos parâmetros através deste programa desenvolvido em Matlab foram sempre comparados com os resultados obtidos através do programa Line Constants que é um programa de referência no cálculo destes parâmetros. Este estudo realizado contempla, como foi dito anteriormente, uma análise do comportamento da Linha Aérea para várias frequências, permitindo assim uma análise harmónica da Linha. 1.3 Organização do Texto Este texto foi dividido em cinco capítulos para uma melhor compreensão do mesmo, nos quais aparecem explicados os diversos aspectos do trabalho realizado. No Capítulo 2 apresenta-se toda a teoria por detrás dos modelos de cálculo dos parâmetros das linhas aéreas. Inicialmente o primeiro parâmetro a ser referido é a impedância série da linha. Faz-se uma introdução às duas grandezas que constituem a impedância série da linha, a resistência série e a indutância série, e de seguida apresentam-se os modelos matemáticos de Carson e CDER que permitem calcular esses mesmos parâmetros. Depois é apresentado o terceiro parâmetro a ser calculado, a capacidade transversal da linha, e refere-se de seguida o modelo matemático que permite o cálculo deste parâmetro. De seguida é explicado o método de redução das linhas aéreas caso estas apresentem cabos de guarda e/ou feixes (bundling). E finalmente, mostra-se de que forma se faz a transposição dos condutores que constituem as linhas aéreas e de que forma se podem obter em componentes simétricas, os parâmetros que se desejam calcular. No capítulo 3 faz-se a implementação prática dos modelos estudados no capítulo anterior. Através de um exemplo de uma linha aérea existente em Rio Maior, aplica-se toda a teoria dos modelos de Carson, CDER e dos coeficientes de potencial de Maxwell a essa mesma linha, com o intuito de obter as grandezas eléctricas da linha, resistência, indutância e capacidade. Esta linha é uma linha aérea trifásica, com dois condutores por fase (feixe), e com 13
dois cabos de guarda, e assim aplica-se todo o método de redução de matrizes explicado no capítulo anterior. Após ter-se reduzido a linha a apenas três condutores (fases), faz-se a transposição dos condutores que constituem a linha e finalmente calculam-se para essa linha os parâmetros em componentes simétricas. O Capítulo 4 é o capítulo em que se apresentam os resultados para vários casos de linhas aéreas trifásicas. Definem-se diferentes tipos de linhas aéreas, com diferentes geometrias e outros aspectos construtivos e calculam-se os parâmetros, R, L e C para essas linhas comparando os resultados obtidos através do método de Carson com os que se obtêm através do método CDER e ainda com aqueles que se podem obter através do programa Line Constants do ATP/EMTP. É feita ainda neste capítulo uma análise da influência que a variação da frequência e da condutividade dos condutores têm nos parâmetros a calcular. No Capítulo 5 são apresentadas as conclusões do trabalho referindo que todos os objectivos propostos inicialmente foram alcançados e sublinhando a vantagem que esta nova ferramenta em Matlab apresenta relativamente ao programa de referência Line Constants. 1.4 Notação Ao longo deste texto são utilizados vários símbolos com a intenção de facilitar a sua leitura e compreensão. Esses símbolos são representados sob a forma de uma notação para que o leitor possa mais facilmente saber o que representa cada um dos símbolos quando ao longo do texto for confrontado com eles. As referências bibliográficas são apresentadas em parênteses rectos [ ]. As expressões e equações são numeradas por capítulos e a sua numeração aparece entre parênteses curvos ( ). As figuras e as tabelas também são numeradas por capítulos. Os símbolos representativos de matrizes e a numeração das figuras e dos quadros são escritos a negrito. Escalares, Vectores e Matrizes: R: resistência série da linha 14
L: indutância série da linha C: capacidade transversal da linha : impedância série da linha X: reactância série da linha P: coeficiente de potencial de Maxwell 15
Capítulo 2 Modelos de Cálculo de Parâmetros de Linhas Aéreas Neste capítulo é feita a apresentação das grandezas eléctricas (parâmetros) das linhas aéreas que se pretendem calcular e dos três modelos para o cálculo dos mesmos parâmetros. É também apresentado o método que permite obter estes parâmetros em componentes simétricas. Na maior parte dos livros e textos sobre sistemas de energia eléctrica os parâmetros da linha de transmissão são calculados tendo como base o assumir de que se está a trabalhar no modo de Corrente Contínua ou para frequências baixas. Neste trabalho pretendeu-se efectuar os cálculos tanto para baixas frequências como para frequências mais elevadas, sendo que para frequências elevadas há que ter em conta certos efeitos, como o efeito pelicular, que neste estudo foi tido em conta. Tomaremos como exemplo ao longo deste texto o caso de uma linha trifásica com bundling (feixe) de dois condutores por fase e com dois cabos de guarda. 16
2.1 Parâmetros Das Linhas Aéreas 2.1.1 Impedância Série da Linha A impedância série da linha é constituída por uma resistência e uma reactância, [1] = R + jx (2.1.1) Resistência da Linha [6]: A resistência nos condutores de uma linha é a causa das perdas por transmissão. Estas perdas devem ser mínimas e para isso há que dimensionar bem a linha, tendo em consideração o número de condutores por fase, o tipo de material, a influência do meio ambiente, entre outros aspectos. O efeito Pelicular também influencía a resistência da linha. Efeito pelicular: O efeito pelicular é o fenómeno responsável pelo aumento da resistência aparente de um condutor eléctrico em função do aumento da frequência da corrente eléctrica que o percorre. Em corrente contínua a corrente eléctrica distribui-se de forma uniforme ao longo de toda a secção recta do condutor eléctrico, já em corrente alternada tal não se verifica. Na realidade à medida que aumenta a frequência da corrente que percorre o condutor, o campo magnético junto ao centro do condutor também aumenta conduzindo ao aumento da reactância local. Este aumento da rectância leva a que a corrente tenda a deslocar-se para a periferia do condutor, o que implica uma diminuição da área efectiva do condutor e logo um aumento da sua resistência aparente. A resistência de um condutor percorrido por uma corrente alternada aumenta à medida que aumenta o valor da frequência da corrente que percorre esse condutor. Reactância da Linha [6]: A Reactância da Linha é a fracção dominante na impedância série da Linha e está directamente relacionada com a capacidade da linha para transmitir energia, já que a resistência apenas representa as perdas na linha. A impedância Série da Linha de transmissão pode ser separada em duas componentes: Impedância Própria e Impedância Mútua da Linha [1]. 17
A linha é normalmente constituída por mais de um condutor, sendo que assim, calcula-se a impedância própria de cada condutor e a impedância mútua entre os vários condutores que constituem a linha. A impedância própria ii de cada condutor da linha é a relação entre a tensão por unidade de comprimento e a corrente que circula nesse condutor. A impedância mútua ij entre os condutores i e j é a relação entre a tensão induzida no condutor i por unidade de comprimento e a corrente que circula no condutor j. Devido á simetria do circuito o ij é igual ao ji. Ambas, a Impedância Própria e a Impedância Mútua, são influenciadas pela corrente de retorno pela terra. A Impedância série da linha é então caracterizada por uma matriz, n n em que n é o número de condutores do sistema, e em que os termos da diagonal principal são os restantes termos são os ij. ii e os A terra é simulada através de um condutor fictício de longitude infinita, e com resistividade (ρ ) uniforme. Influenciada pelos efeitos de proximidade e pelicular, a distribuição da corrente de retorno pela terra é difícil de determinar. Contudo, várias personalidades na área da Engenharia Eléctrica estudaram este problema e conseguiram chegar a alguns métodos que produziram soluções muito precisas e fiáveis para este problema. Exemplos desses métodos são os que se irão apresentar de seguida, modelo de Carson e modelo CDER. 2.1.1.1 Modelo de Carson O modelo de Carson [4] apesar de ter sido publicado em 1926 é ainda hoje o método standard para o cálculo da impedância série dependente da frequência de linhas aéreas considerando o retorno pela terra. Carson supõe que a terra é uma superfície uniforme, plana, sólida e infinita com uma resistividade constante. O método de Carson expressa a impedância série através de um integral impróprio, que tem de ser expandido numa série infinita para ser calculado computacionalmente. Assim, se não for correctamente aplicado poderá causar erros consideráveis a frequências elevadas [1]. Impedância Própria do condutor i: 18
A impedância própria inclui três componentes: a Reactância própria do condutor, assumindo que a linha e a terra são ambas condutores perfeitos, a Impedância interna da linha c (Correcção devida ao efeito pelicular nos condutores) e a Impedância da terra g (Correcção devida ao efeito pelicular na terra) [1]. A Impedância própria do condutor i é então dada por: ii = X ii + c + g. (2.1.2) X ii A reactância própria do condutor é dada por: X ii = jωl ii. (2.1.3) sendo que a indutância própria L ii é calculada através da seguinte expressão: µ 0 2h L ln i ii =. (2.1.4) 2π r i na qual µ 0 é a constante de permeabilidade magnética no vácuo e é igual a 7 µ 0 = 4π 10 [H/m]. (2.1.5) Por definição, r i é o raio externo do condutor e h i é a altura média do condutor relativamente à terra. Os condutores usados normalmente, são na sua generalidade condutores tubulares, Fig. 2.1.1, apresentando dois tipos de materiais na sua constituição. Assim sendo, definem-se dois raios para estes condutores, um raio interno q que delimita um determinado material, normalmente o aço que tem como função suportar o peso do cabo e um raio externo r que delimita o outro material, este sim com as propriedades de condução desejadas, normalmente alumínio ou cobre. Fig. 2.1.1 Modelo do Condutor Tubular 19
A correcção devido ao efeito pelicular no condutor os condutores são tubulares e é dada por: ( ber mr + jbei mr ) + φ( ker mr + jkei mr) j 2 c = R dc mr(1 - S ) 2 ' ' ' ' ber mr + jbei mr + φ ker mr + jkei mr ( ) ( ) c, é calculada usando essa noção de que (2.1.6) em que R dc é a resistência DC do condutor e é calculada pela seguinte expressão: 2 2 ( ) R dc = 1 πσ r q (2.1.7) σ é a condutividade do material condutor que constitui a linha, condutividade do alumínio ou do cobre em geral. A condutividade varia com a temperatura, o que por sua vez afecta o consequentemente o ii, mas isto será mais aprofundado no capítulo 4. A variável S é a relação entre raio interno e raio externo do condutor e é dada por: q S = (2.1.8) r c e e m é uma variável que relaciona a frequência angularω com a condutividade σ e com a permeabilidade do condutor µ : m = ωµσ. (2.1.9) A variável ϕ na equação (6) é dada por : ber'mq + jbei'mq φ = - ker'mq + jkei'mq (2.1.10) e ber, bei, ker, kei são funções de Kelvin que pertencem á família das funções de Bessel e ber, bei, ker e kei são as suas derivadas respectivamente. As funções de Kelvin são definidas da seguinte forma [3]: ber x + jbei x = I 0( x j) ker x + jkei x = K 0( x j) (2.1.11) onde I 0 e K 0 são as funções de Bessel modificadas de ordem zero de primeiro e segundo tipo, respectivamente. 20
O Matlab apresenta uma subrotina que permite calcular automaticamente estas funções de Kelvin. As derivadas destas funções são dadas por: ber' x + jbei' x = ji 1( x j) ker' x + jkei' x = - jk 1( x j) (2.1.12) I 1 e K 1 são as funções de Bessel modificadas de primeira ordem de primeiro e segundo tipo respectivamente. Quando q for zero, a linha já não é tubular, mas sim sólida e nesse caso ϕ é zero. A Correcção devido ao efeito pelicular na terra é expressa por: g = Rg + jx g (2.1.13) Mais á frente será explicado como é calculado o g. Impedância Mútua entre os condutores i e j: A impedância mútua entre os dois condutores i e j, ambos paralelos á terra com as suas respectivas alturas médias relativamente á terra h i e h j, apresenta duas componentes: a Reactância Mútua entre os condutores i e j, X ij, e a Impedância do caminho de retorno pela terra gm que é comum ás correntes nos condutores i e j. A Impedância Mútua ij é então dada por: ij = X ij + gm (2.1.14) A reactância Mútua entre os condutores i e j é dada por: X ij = jωl ij (2.1.15) sendo que a Indutância Mútua L ij é dada por: µ D ' 0 ij L ij = ln (2.1.16) 2π D ij 21
em que Dij é a distância entre os condutores i e j e imagem do condutor j, Fig.2.1.2 [1]. D ' ij é a distância entre o condutor i e a Fig.2.1.2 Figura ilustrativa da localização dos condutores i e j e das suas imagens i e j. [1] A impedância do caminho de retorno pela terra é dada por: gm = Rgm + jx gm. (2.1.17) Os termos de correcção de Carson para as impedâncias próprias e mútuas, devido ás impedâncias de retorno pela terra g e gm são dados por [3]: -7 π 2 3 4 R g = 4w 10 - b k + b2 ( C - lnk) k 1 2 + b 3 k - d 4 k -... 8, (2.1.18) -7 1 2 3 4 X g = 4w 10 ( 0.6159315 - lnk ) + b k - d k + b k - b 1 2 3 4 ( C 4 - lnk) k +... 2, (2.1.19) π 2 2 3-7 - b k cosθ + b2 m ( C - ln km) km cos2θ + θkm sin2θ 1 2 + b 3 km cos3θ R gm = 4w 10 8, 4 -d 4 km cos4θ -... (2.1.20) 22
1 2 3 ( 0.6159315 - lnk m) + b 1 km cosθ - d 2 km cos2θ + b 3 km cos3θ X = 4w 10-7 gm 2, 4 4 -b 4 ( C 4 - lnkm) km cos4θ + θkm sin4θ +... (2.1.21) onde b = 1 2 6, (2.1.22) b = 2 1 16, (2.1.23) sign b i = b i-2, (2.1.24) i i + 2 ( ) 1 1 C i = C i-2 + + i i + 2, (2.1.25) C = 1.3659315 2, (2.1.26) π d i = bi 4. (2.1.27) Na equação (2.1.24) o termo sign do coeficiente b i muda a cada quatro termos, ou seja, sign = +1 para i = 1,2,3,4 e depois sign = -1 para i = 5,6,7,8 e assim por diante. As variáveis k e frequência e são dadas por [3]: k m das equações (2.1.18) a (2.1.21) são variáveis relacionadas com a -4 f k = 4π 5 10 ( 2h i ) ρ, (2.1.28) -4 f k = 4π 5 10 D' m ij ρ (2.1.29) onde f é a frequência e ρ é a resistividade da terra. O ângulo θ é o indicado na Fig.2, é o ângulo entre i-i e i-j e é dado por: -1 θ = sin ( xij D' ij ) (2.1.30) vindo expresso em radianos. 23
Vai-se agora fazer uma explicação de como o código do programa relativo ao Cálculo da Impedância Série através do Método de Carson está estruturado: Passo 1: Definição das Constantes a serem usadas no programa. Passo 2: Especificação das Variáveis de Entrada. - Frequência; Número de condutores do Sistema; Raios Internos e Externos dos Condutores; Relação T/D; Cálculo da Resistência DC dos Condutores; Cálculo da Variável S que relaciona os Raios Interno e Externo dos Condutores; Geometria do Sistema; Cálculo da Frequência ângular; Cálculo da Variável m. Passo 3: Cálculo dos Valores que permitem calcular o impedâncias de retorno pela terra. g e o gm que representam as - Cálculo do b, C e d, variáveis usadas no cálculo de R g, X g, R gm e X gm. Passo 4: Ciclo for no qual se calculam a impedância própria e mútua dos condutores que constituem a linha, ii e ij respectivamente. - Para a impedância própria - Calcula-se o k, as Funções de Bessel a serem usadas, o φ, o L ii, o X ii, o c, o g e o ii finalmente. - Para a impedância Mútua Calcula-se o k m, o condutores i e j, o D ij, o D ' ij, o L ij, o X ij, o θ, o xij que é a distância horizontal entre os gm e finalmente o ij. Passo 5: Redução da Matriz de Impedâncias Série Total numa Matriz que tenha apenas as fases representadas e seus respectivos feixes, mas incluindo a contribuição dos Cabos de Guarda. (Será explicado este processo de redução mais detalhadamente no Capítulo 2 Secção 2.2) Passo 6: Redução da Matriz Série que se obteve anteriormente numa Matriz 3 3 mas com a inclusão da contribuição do Bundling nessa matriz. (Será explicado este processo de redução mais detalhadamente no Capítulo 2 Secção 2.3) 24
Passo 7: Transposição dos Condutores da Linha Aérea. Passo 8: Cálculo da Matriz de Impedâncias Série Final em Componentes Simétricas. FIM A série infinita de Carson para o cálculo de g e gm converge muito rapidamente para as baixas frequências, não acontecendo o mesmo para as altas frequências [1]. 2.1.1.2 Modelo de retorno pela Terra a uma Profundidade Complexa(CDER) Em 1976, 50 anos após a publicação do método de Carson, C.Gary [5] um investigador francês propôs uma alternativa ao método de Carson na qual a terra poderia ser substituída por um conjunto de imagens localizadas directamente abaixo das linhas aéreas a uma profundidade complexa. Isto é, a distância entre as imagens e os condutores da linha aérea seriam números complexos. Este modelo apresentou resultados bastante bons para toda a gama de frequências e é mais simples de implementar [1]. O modelo CDER assume que a corrente que passa no condutor i retorna pela terra através de um condutor localizado directamente abaixo do condutor i a uma profundidade ( h + 2 p) abaixo da terra, como é mostrado na Fig.2.1.2. Nesta figura, i refere-se ao condutor imaginário de retorno pela terra correspondente ao condutor i e p á profundidade da terra imaginária. Por outras palavras, pode-se dizer que a terra original foi substituída por uma terra imaginária abaixo da original a uma profundidade p e que cada condutor tem um caminho de retorno pela terra através de um condutor imaginário colocado a uma distância de ( h p) Há ainda que ter em conta que esta distância ( h p) profundidade p ser dada por: 2 i 2 i i +. + é um número complexo, visto a ρ p = jωµ0. (2.1.31) Assim, tem-se que as Impedâncias Própria e Mútua são calculadas da seguinte forma, segundo este método [3], 25
Impedância Própria: ( ) µ 0 2 h i + p = jω ln + (2.1.32) ii c 2π r i Impedância Mútua: ( ) ( h - h ) 2 2 µ h i + h j + 2p + xij µ D ij'' = jω 0 ln = jω 0 ij ln 2π 2 2 2π D + x ij i j ij (2.1.33) sendo que h i, h j, x ij, p, D ij e D '' aparecem indicados na Fig.2.1.2. ij Quanto ao código do programa relativo ao Cálculo da Impedância Série através do Método de retorno pela terra a uma profundidade complexa CDER, todos os passos apresentados para o método de Carson são iguais, á excepção do Passo 4, em que se utilizam as expressões (2.1.32) e (2.1.33) para o cálculo das Impedâncias Própria e Mútua dos condutores da linha, dentro do ciclo for, ao contrário do que acontecia segundo o Método de Carson, em que as expressões eram diferentes. 2.1.2 Capacidade Transversal da Linha A Capacidade transversal é o terceiro e último parâmetro a ser calculado aqui neste trabalho [2]. A Capacidade que se tem aqui em consideração é a Capacidade entre os condutores que constituem a linha e a terra. A linha ideal é constituída por condutores e dieléctrico perfeitos. Considera-se a linha de transmissão ideal com n condutores aéreos. Como o campo electromagnético não penetra condutores perfeitos, as suas fronteiras coincidem com as superfícies dos condutores aéreos e da terra. Assim, a geometria dos condutores, em conjunto com o parâmetro do dieléctrico ε, determinam completamente os coeficientes de capacidade da linha. A determinação destes coeficientes faz-se a partir do cálculo dos coeficientes de potencial de Maxwell P. 1 C= P. (2.1.34) 26
A matriz C representa a matriz de capacidades transversais por unidade de comprimento da linha e tem dimensão ( n n ), em que n é o número de condutores que constituem a linha. Sendo as distâncias entre condutores grandes quando comparadas com o raio dos condutores aéreos, os termos da matriz P são calculados de acordo com as seguintes expressões: 1 2h P = ln i ii (2.1.35) 2πε 0 r i 1 D ij' P ij = ln (2.1.36) 2πε 0 D ij em que P ii corresponde aos termos da diagonal principal e P ij aos termos fora da diagonal principal, e D ij e D ' são as distâncias que se podem observar na Fig.2.1.2. ij Assim, depois de calculada a matriz P, facilmente se obtém a matriz C, cujos elementos podem ser separados em duas componentes a que poderemos chamar a Capacidade Própria e a Capacidade Mútua. A Capacidade dita Própria C ii, corresponde aos elementos da diagonal principal de C e é dada pela soma das capacidades transversais por unidade de comprimento, desde o condutor i a todos os outros condutores assim como á terra. A Capacidade dita Mútua C ij, corresponde aos elementos fora da diagonal principal de C e é o valor negativo da capacidade transversal por unidade de comprimento, entre o condutor i e o condutor k. Novamente, devido á simetria do circuito C ij é igual a C ji. Visto a linha na realidade não ser ideal, como se supôs antes, e os condutores aéreos não estarem suspensos em postes, não se encontrando, portanto, colocados paralelamente ao plano de terra, é introduzido o conceito de altura média para o cálculo dos coeficientes de potencial. Faz-se de seguida uma abordagem á forma como o código do programa relativo ao Cálculo da Capacidade em Paralelo está estruturado: Passo 1: Definição das Constantes a serem usadas no programa. 27
Passo 2: Especificação das Variáveis de Entrada. - Frequência; Número de condutores do Sistema; Raios Internos e Externos dos Condutores; Relação T/D; Geometria do Sistema; Cálculo da Frequência ângular. Passo 3: Ciclo for no qual se calcula a Matriz dos Coeficientes de Potencial de Maxwell Total para os condutores que constituem a linha, calculam-se os P ii e os P ij. - Para os P ij Calcula-se o D ij e o D '. ij Passo 4: Inversão da Matriz dos Coeficientes de Potencial de Maxwell Total P e consequente cálculo da Matriz de Capacidades em Paralelo Total C. Passo 5: Redução da Matriz dos Coeficientes de Potencial de Maxwell Total numa Matriz que tenha apenas as fases representadas e seus respectivos feixes, mas incluindo a contribuição dos Cabos de Guarda. (Será explicado este processo de redução mais detalhadamente no Capítulo 2 Secção 2.2) Passo 6: Redução da Matriz que se obteve anteriormente numa Matriz 3 3 mas com a inclusão da contribuição do Bundling nessa matriz. (Será explicado este processo de redução mais detalhadamente no Capítulo 2 Secção 2.3) Passo 7: Transposição dos Condutores da Linha Aérea. Passo 8: Cálculo da Matriz de Capacidades transversais Final em Componentes Simétricas. FIM 2.2 Redução das Matrizes e P retirando os Cabos de Guarda. Considerando o exemplo de uma linha aérea trifásica com dois feixes por fase e com dois cabos de guarda, vai-se proceder à redução da Matriz de Impedâncias Série Total, numa Matriz que contemple apenas as fases, mas que inclua nessas fases a contribuição dos cabos de guarda que fazem parte da linha. 28
Os cabos de guarda são cabos colocados acima dos condutores das fases com o objectivo de proteger a linha contra descargas atmosféricas. Por uma questão de simplificação não se apresentam aqui os feixes, que constituem as fases, aparecendo apenas as três fases, em vez das seis que seriam expectáveis, devido ao Bundling. O mesmo processo foi usado para a redução da Matriz P, que depois no fim por inversão da mesma deu origem à matriz C só com as fases, mas que inclui a contribuição dos cabos de guarda nessas mesmas fases. Considerando o seguinte conjunto de equações [6]: dv a d x dv w d x dv I b z aa'' z '' z ac'' zav zaw a ab d x z '' z '' z '' z z I ba bb bc bv bw b dvc = z ca'' z cb '' z cc'' zcv zcw Ic dx zva z vb zvc zvv z dv vw I v v d zwa z wb zwc zwv z x ww Iw (2.2.1) Assim pode-se dizer que: V a V b V c Vv V w z aa'' z ab '' z ac'' zav zaw z ba '' z bb '' z bc '' z bv z bw = z ca'' z cb '' z cc'' zcv z cw zva z vb zvc zvv zvw zwa z wb zwc zwv zww Ia I b I c Iv I w (2.2.2) em que a, b e c são as três fases da linha e v e w são os cabos de guarda, e as grandezas são agora fasores. 29
Pode-se então compactar cada bloco submatricial da seguinte forma: V abc z A zb I abc = V vw zc zd I vw (2.2.3) Os cabos de guarda estão directamente ligados á terra em ambas as pontas. Assim a tensão nos cabos de guarda é zero. Da equação (2.2.3), resulta então que: V abc = z A I abc + zb I vw (2.2.4) 0 = zc I abc + zd I vw (2.2.5) Resolvendo a equação (2.2.4) para Ivw obtém-se: -1 I = -z z I vw D C abc (2.2.6) e substituindo (2.2.6) na expresão (2.2.4) resulta: -1 V abc = z A I abc - zb zd zc I abc (2.2.7) e factorizando a I abc tem-se que: ( -1 ) V abc = z A - zb zd zc I abc. (2.2.8) Esta equação pode ser escrita de forma simplificada: V abc = abc I abc (2.2.9) em que zaa zab zac -1 z abc = z A - zb zd z C = zba zbb zbc z z z ca cb cc. (2.2.10) 30
Assim pôde reduzir-se o conjunto de equações (2.2.2) passando de cinco equações para três. O efeito dos cabos de guarda é representado aqui pelo termo negativo da expressão (2.2.8) [6]. Este procedimento pode ser aplicado a qualquer linha com qualquer número de Cabos de Guarda, desde que a tensão seja zero para os Cabos de Guarda, como se espera naturalmente. 2.3 Redução das Matrizes e P retirando o Bundling Os feixes de condutores, condutores agrupados por fase (Bundling), permitem o transporte de grandes quantidades de energia, reduzindo o efeito coroa e as perdas por transmissão. Para o transporte de grandes quantidades de energia seria impossível a utilização de um só condutor por fase, pois aí esse condutor teria de ter uma secção enorme e o seu peso seria incomportável. Aqui vai-se exemplificar o processo de redução de uma linha trifásica [6] com dois condutores por fase, sem Cabos de Guarda, numa linha trifásica com um condutor por fase. a r Transformação a b s c t b c Fig.2.3 Figura que indica como será feita a transformação e redução do sistema. Após obtida a Matriz de Impedâncias Série Total, sem cabos de guarda, o que se terá é o seguinte conjunto de equações: 31
dv t d x dv a d x dv b d z'' aa z'' ab z'' ac zar zas zat x dvc z'' ba z'' bb z'' bc zbr zbs zbt dx z'' ca z'' cb z'' cc zcr zcs zct = dv r zra zrb zrc zrr zrs zrt d x zsa zsb zsc zsr zss zst dv s zta ztb ztc ztr zts ztt d x I a I b I c I r I s I t (2.3.1) Assim tem-se que: Va z'' aa z'' ab z'' ac zar zas zat I' a V z'' z'' z'' zbr zbs zbt I' b ba bb bc b V c z'' ca z'' z'' cc zcr zcs zcti' = cb c Vr zra zrb zrc zrr zrs zrt I r Vs zsa zsb zsc zsr zss zst Is V t zta ztb ztc ztr zts ztt It (2.3.2) em que as grandezas são fasores. Se se considerar a seguinte relação de correntes [6]: I = I + I a a' r (2.3.3) em que a corrente I a é a corrente na fase a e é dada pela soma das correntes que passam no condutor a e no condutor r, condutores que formam a fase a. Da mesma forma tem-se que: I = I + I b b' s (2.3.4) I c = I c' + I t (2.3.5) E considerando as seguintes relações de tensões: 32
V -V = 0 r a (2.3.6) V -V = 0 s b (2.3.7) V -V = 0 t c (2.3.8) Assim, o conjunto de equações (2.3.2) será modificado e poderá ser apresentado da seguinte forma compacta: V abc z A zb I abc = 0 zc zd I rst (2.3.9) onde: z'' aa z'' ab z'' ac z A = z'' ba z'' bb z'' bc z'' ca z'' cb z'' cc (2.3.10) zar - z'' aa zas - z'' ab zat - z'' ac z B = zbr - z'' ba zbs - z'' bb zbt - z'' bc zcr - z'' ca zcs - z'' cb zct - z'' cc (2.3.11) zra - z'' aa zrb - z'' ab zrc - z'' ac z C = zsa - z'' ba zsb - z'' bb zsc - z'' bc zta - z'' ca ztb - z'' cb ztc - z'' cc (2.3.12) D 11 D 12 D 13 z D = D 21 D 22 D 23 D 31 D 32 D 33 (2.3.13) em que cada elemento desta última sub-matriz é calculado segundo a seguinte expressão: D = z - z - z + z pq iq ph ih pq (2.3.14) 33
sendo i,h = a,b,c p,q = r,s,t. Após obtidas estas matrizes aplica-se novamente a expressão (2.2.10) e como resultado obtém-se a matriz de impedâncias série equivalente para o caso trifásico, já sem bundling, mas com a contribuição do bundling implícita nessa mesma matriz. O mesmo processo pode ser usado para reduzir a Matriz P e depois por inversão obter a Matriz C equivalente, também com a contribuição do Bundling, mas sem que os condutores do Bundling apareçam nessa mesma matriz. Tudo isto permitirá obter Matrizes 3 3 equivalentes que depois serão usadas para o cálculo das componentes simétricas do e do C, que é o que se pretende obter no final, mas isto será melhor explicado no capítulo 2 Secção 2.5. A nível computacional o que se tem é o seguinte: Nas matrizes e P, em primeiro lugar aparecem os condutores principais das fases, depois aparecem os condutores do Bundling e no final aparecem os cabos de guarda. Se se tiver em consideração o caso que aqui está em estudo com três fases, com dois condutores por fase e com dois cabos de guarda, o seguimento a nível de cálculo dos parâmetros é o seguinte: 1º - Cálculo das Matrizes e P conforme explicado anteriormente. 2º - Redução dos cabos de guarda e cálculo das Matrizes e P resultantes. 3º - Redução dos Condutores agrupados, Bundling, das fases e Cálculo das Matrizes e P equivalentes. 4º - Transposição dos Condutores da Linha Aérea. 5º - Cálculo das Matrizes e C em componentes simétricas. 34
2.4 Transposição de Condutores em Linhas de Transmissão. Até agora haviam-se calculado os parâmetros da linha de transmissão com base nas suas unidades correspondentes por unidade de comprimento. Mas neste capítulo irão obter-se os parâmetros tendo em conta o comprimento da linha, a fim de se observar o efeito das transposições sobre os mesmos [6]. Neste capítulo vai-se observar o efeito da transposição na Impedância Série, pois para a Capacidade em Paralelo actua-se da mesma forma. O esquema equivalente trifásico da Impedância Série que relaciona tensões e correntes é dado pelo seguinte conjunto de equações V a zaa zab zac I a V b = zba zbb zbc I b V c zca zcb zcc I c (2.4.1) Aqui, é clara a existência de acoplamentos mútuos, de modo que as correntes de qualquer condutor produzirão quedas de tensão nos condutores adjacentes. Estas quedas de tensão podem ser diferentes entre si, pois as impedâncias mútuas dependem da geometria da linha e das características físicas que constituem a linha. Uma forma de equilibrar as Impedâncias Mútuas consiste na realização de transposições dos condutores ao longo da linha. Uma transposição é uma rotação física dos condutores que constituem a linha e pode ser executada em intervalos regulares ou irregulares do comprimento total da linha. 2.4.1 Método Geral de Transposições [6] Este método permite obter parâmetros da linha com qualquer número de transposições e a qualquer distância que se deseje para cada transposição, como se pode ver na Fig.2.4.1, onde se apresenta a transposição completa da linha em duas rotações. 35
Secção 1 Secção 2 Secção 3 S1 S2 S3 S Fig.2.4.1 Esquema de transposição completa de uma linha de transmissão [6] Matemáticamente as rotações são definidas pelas duas matrizes de rotação seguintes: 0 0 1 R = φ 1 0 0 0 1 0 (2.4.2) e a sua inversa: 0 1 0-1 R = φ 0 0 1 1 0 0 (2.4.3) sendo que -1 t R φ = Rφ. (2.4.4) Um ciclo completo de transposição é dado pelas transformações lineares definidas como: -1 ( ) I RφV abc = Rφ abc Rφ Rφ abc (2.4.5) que é a chamada Transformação R φ, ou então: -1 ( ) R -1-1 Rφ V abc = Rφ abc Rφ I (2.4.6) ϕ abc 36
esta por sua vez chamada Transformação 1 R φ. Se se desejar analizar o efeito da transposição sem ter em conta o comprimento S da linha, que foi o caso usado no programa Matlab aqui em causa, então define-se o seguinte para um ciclo completo: f = k s k S ; k=1,2,3 (2.4.7) em que f k = 1 (2.4.8) Partindo da Fig.2.4.1, o cálculo de parâmetros com transposições, para cada uma das secções é feito da seguinte forma: Primeira Secção: = s 1 1 (2.4.9) ( ) ( abc )( ) Segunda Secção: -1 ( 2) ( φ abc φ)( 2) = R R s (2.4.10) Terceira Secção: -1 ( 3) ( φ abc φ )( 3) = R R s. (2.4.11) Por último pode-se calcular a Impedância Série Total da linha de Transmissão: abc = + + ( 1) ( 2) ( 3 ). (2.4.12) Tendo em conta as expressões anteriores, observa-se que com este método podem-se calcular transposições com o comprimento e número que se desejar. A transposição dos condutores da linha torna as impedâncias mútuas mais próximas e equilibradas. 37
2.5 Cálculo dos Parâmetros da Linha Aérea em componentes simétricas Após ter sido realizada a transposição dos condutores da linha aérea, vai-se nesta secção proceder ao cálculo das matrizes e C nas suas respectivas componentes simétricas. Para tal vai-se aplicar a transformada de Fortescue. Esta transformada tem como objectivo transformar um sistema trifásico desiquilibrado em três sistemas equilibrados. Tudo isto só pode ser aplicado a matrizes 3 3, daí que só nesta fase final, em que já se reduziu a matriz ou a matriz P retirando os cabos de guarda e o bundling, é que se obtêm as componentes simétricas equivalentes da matriz de impedâncias série e da matriz de capacidades em paralelo C. Tem-se então na forma matricial o método das componentes siméticas, em que (a,b,c) representa um sistema trifásico desiquilibrado e (d,i,h) representa o sistema em componentes simétricas [7]: Usando aqui o exemplo da tensão, V a 1 1 1 V d V b = a2 a 1 Vi V c a a2 1 V h (2.5.1) em que F é a matriz de transformação de componentes simétricas e é dada por: 1 1 1 F = a2 a 1 a a2 1 (2.5.2) e 1 a a 2-1 1 F = 1 a2 a 3 1 1 1 (2.5.3) é a sua inversa, sendo j120º a=(e ) (2.5.4) 38
Podemos então dizer através de (2.5.1) que V P = FVS (2.5.5) O mesmo sucedendo para a corrente em que I P = FIS. (2.5.6) Através das seguintes equações consegue-se chegar ao resultado desejado, que é o de calcular as matrizes e C em componentes simétricas: V P = IP (2.5.7) ou seja, FV = FI S S (2.5.8) multiplicando ambos os termos da equação acima por F 1 obtemos o seguinte: -1-1 F FV = F FI S S (2.5.9) então: V S = F-1FI (2.5.10) S e assim se conclui que S = F-1F (2.5.11) logo tem-se a seguinte expressão V = I S S S. (2.5.12) Assim se chega ao cálculo das matrizes e C em componentes simétricas, usando a expressão (2.5.11). A componente directa e inversa são iguais em módulo e correspondem ao primeiro e segundo elemento respectivamente da diagonal principal da matriz que se obteve e a componente homopolar é função do caminho de retorno da corrente. 39
Capítulo 3 Implementação prática dos Modelos Neste capítulo vai ser estudada uma linha aérea existente na zona de Rio Maior, tendo em conta as suas características reais e serão calculados os parâmetros da mesma através dos três métodos apresentados no capítulo anterior. São aplicados também os métodos de redução das matrizes e transposição dos condutores da linha aérea em estudo e são calculadas as grandezas eléctricas que caracterizam a linha nas suas componentes simétricas. 40
3.1 Definição do caso a estudar O exemplo prático que aqui se apresenta é o já referido em capítulos anteriores, o caso de uma linha aérea trifásica com dois feixes por fase e dois cabos de guarda. As caracrterísticas desta linha são as apresentadas no seguinte quadro: Condutores Geometria X metros Altura Mínima Altura Máxima Feixe Relação T/D Condutivi dade Diâmetro Condutor m 1/Ohm.m m m m 1 0,0318 3,409E+7 0,231 1 21,63 11,8 0 2 0,0318 3,409E+7 0,231 2 21,63 11,8 12 3 0,0318 3,409E+7 0,231 3 21,63 11,8 24 4 0,0318 3,409E+7 0,231 1 21,63 11,8 0,4 5 0,0318 3,409E+7 0,231 2 21,63 11,8 12,4 6 0,0318 3,409E+7 0,231 3 21,63 11,8 24,2 7 0,0146 1,66E+7 0,5 0 30,5 7,3 4,35 8 0,0146 1,66E+7 0,5 0 30,5 7,3 20,05 A partir dos dados da linha, que aparecem no Quadro 3.1.1, podemos calcular as restantes variáveis que permitirão depois o cálculo dos parâmetros, usando qualquer um dos modelos mencionados anteriormente. Sendo os condutores tubulares como havia sido referido no capítulo 1, apresentam um raio interno e um raio externo. O raio externo de todos os condutores é obtido a partir do diâmetro e o raio interno, por sua vez, é calculado segundo a seguinte expressão: Rint= Rext 1-2*T/D (3.1.1) A relação T/D (espessura/diâmetro) dos condutores da linha permite calcular o raio interno dos condutores. Também se faz o cálculo da Resistência DC dos condutores e para isso usa-se a expressão (2.1.7) da secção 2.1. 41
Calculam-se depois o S, relação entre raio interno e externo, e a altura média de cada um dos condutores através das expressões (2.1.8) (secção 2.1) e: Y =2 3 ymin+1 3 ymax (3.1.2) respectivamente. Assim tem-se o seguinte quadro para os condutores da linha aérea em estudo: Quadro 3.1.2 Características calculadas da Linha Aérea de Rio Maior Condutores Geometria Altura Média Relação S Resistência DC Rinterno(Rint) Condutor m 1/Ohm.m 1 0,0086 5,20E-5 0,538 15,0767 2 0,0086 5,20E-5 0,538 15,0767 3 0,0086 5,20E-5 0,538 15,0767 4 0,0086 5,20E-5 0,538 15,0767 5 0,0086 5,20E-5 0,538 15,0767 6 0,0086 5,20E-5 0,538 15,0767 7 0 3,598E-4 0 15,0333 8 0 3,598E-4 0 15,0333 Já se encontram calculados todos os parâmetros de entrada necessários ao cálculo das capacidades transversais e impedâncias série dos condutores que constituem a linha aérea. 3.2 Cálculo das Capacidades Transversais dos Condutores da linha O procedimento a realizar para o cálculo das capacidades dos condutores da linha aérea em estudo, já foram explicados na secção 2.1, do capítulo 2. 42