Textos de apoio Matemática Ensino Fundamental I
Algumas técnicas operatórias (de outros tempos e de outros lugares) Aprendemos na infância e usamos inúmeras vezes algoritmos para efetuar as 4 operações elementares: adição, subtração, multiplicação e divisão. Esses algoritmos estão intrinsecamente ligados ao nosso sistema de numeração, mas podemos nos perguntar: será que são os únicos existentes? Foram sempre usados? São universalmente reconhecidos como os melhores? Neste artigo descrevemos algumas técnicas operatórias, de aparência talvez exótica, usadas em outros tempos e outros lugares. Apresentaremos também pequenas variações dos algoritmos habituais que ajudam a compreender por que estes algoritmos fornecem as respostas desejadas. Adição 6 8 ou 84 9 (00 80 4) (90 ) 00 (80 90) (4 ) 00 0 00 (00 0) (0 ) (00 00) (0 0) 600 80 68 O algoritmo da adição realiza, simultaneamente, a maior parte das operações acima detalhadas. Multiplicação a) Usando uma decomposição como a anterior e aplicando a propriedade distributiva, temos: 84 9 (00 80 4) (90 ) 4 000 200 60 00 60 28 ou, de modo um pouco mais prático: 2 8 6 0 0 0 6 0 2 0 0 4 0 0 0 6 6 4 8
b) Multiplicação em gelosia Os dois quadros abaixo ilustram o algoritmo em gelosia para efetuar 84 9. Não se sabe quando ou onde a multiplicação em gelosia apareceu, mas a Índia parece ser a fonte mais provável. Lá foi usada pelo menos desde o século XII e depois parece ter sido levada à China e à Arábia. 8 4 2 6 9 4 8 4 9 2 6 6 2 6 8 6 4 8 c) Técnica camponesa ou russa Foi uma técnica comum na Europa medieval. Chamou-se multiplicação russa pois era supostamente usada pelos camponeses russos até a a Guerra Mundial. A multiplicação de 84 por 9 ilustrará o processo: 9 4 8 2 4 2 6 * 6 8 2 6 4 6 2 9 4 4 8 6 8 8* 6* 8 6 8 8 6 6 6 4 8 O processo consiste em dividir por 2 um dos fatores (com aproximação para menos, se for ímpar) e, simultaneamente, dobrar o outro fator. Somam-se os resultados das linhas dobradas onde a correspondente metade for ímpar. Tente descobrir por que funciona. Subtração Várias técnicas podem ser usadas para efetuar uma subtração: a) Adicionar o mesmo número aos dois termos da subtração: é o mesmo que, somando, efetuar 8 0 0 4 8 Outro exemplo: 04 6 08 80 28 00 228 4 + 20 b) Podemos também subtrair o mesmo número dos dois termos: 84 9 80 9 00 490 48 4 80 0 2
c) Quanto devemos acrescentar ao 9 para obter 84? 9 00 00 400 00 00 84 84 48 d) Quanto devemos tirar de 84 para obter 9? Divisão 84 4 80 80 80 00 00 400 00 00 9 48 Sabemos que, dados dois números inteiros positivos a e b, existe um único par de números inteiros q e r, chamados quociente e resto, tais que a = bq + r e 0 r b. O algoritmo da divisão nos fornece o quociente q e o resto r. Em alguns países, como a Inglaterra e os Estados Unidos, o algoritmo inicial para achar q e r é diferente do nosso. (Também a maneira de dispor a, b, q e r difere um pouco da nossa.) Vamos exemplificar: 8 8 0 0 2 2 0 6 0 4 0 4 2 9 ou começar, por exemplo, com 0 no quociente: 8 2 4 0 0 9 2 9 Qualquer número poderia ser colocado no lugar reservado ao quociente desde que o produto deste número pelo divisor seja menor do que ou igual ao respectivo dividendo. Na prática, o que fazemos é tomar o maior número possível nessas condições, a fim de abreviar o processo. O quociente da divisão é a soma dos quocientes parciais. Mais um exemplo: 0 9 0 0 9 2 4 6 2 8 ou como os americanos e ingleses inscrevem: ) 0 2 09 0 9 4 6 28
Cada criança, a seu tempo, vai encurtando o processo, chegando eventualmente ao algoritmo usual: 8 2 4 9 2 ou 8 9 Convém observar que o último algoritmo, predominante em nossas escolas, é o que exige um cálculo mental maior. NICOLAI, Ronaldo. Algumas técnicas operatórias (de outros tempos e de outros lugares). Texto cedido pela Sociedade Brasileira de Matemática, publicado originalmente na Revista do Professor de Matemática (http://www.rpm.org.br/). São Paulo: IME-USP, n. 8, p. 42-4, 986. 4