SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DA DINÂMICA DE FLUIDOS (CFD)

CONVÊNIOS CNPq/UFU & FAPEMIG/UFU Universidade Federal de Uberlândia Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação DIRETORIA DE PESQUISA COMISSÃO INSTITUCIONAL DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA 2008 UFU 30 anos SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DA DINÂMICA DE FLUIDOS (CFD) UTILIZANDO O SOFTWARE LIVRE OPENFOAM RELEASE 1.4.1 Délio Barroso de Souza 1 Faculdade de Engenharia Química da Universidade Federal de Uberlândia Av. João Naves de Ávila, 2121. Bloco K do Campus Santa Mônica. Uberlândia. MG. deliobs@gmail.com Valéria Viana Murata 2 Faculdade de Engenharia Química da Universidade Federal de Uberlândia Av. João Naves de Ávila, 2121. Bloco K do Campus Santa Mônica. Uberlândia. MG. valeria@ufu.br Resumo: A simulação computacional da dinâmica de fluidos tem aplicações práticas importantes na área de Engenharia Química, como na previsão da poluição atmosférica, no estudo de padrões de escoamento na perfuração de poços de petróleo ou no projeto e na análise de desempenho de equipamentos de separação, mistura e reação. Neste trabalho são apresentados as características gerais do software livre OpenFOAM e os princípios do Método dos Volumes Finitos implementado no software livre Scilab. O sistema operacional utilizado é o Linux. Além de disseminar a cultura de utilização de softwares livres, que não exigem o pagamento de licenças proprietárias, para fins de ensino e de pesquisa, este trabalho avalia o OpenFOAM como alternativa aos softwares comerciais como o Fluent, regularmente utilizado em vários projetos e pesquisas desenvolvidas na Faculdade de Engenharia Química da Universidade Federal de Uberlândia. São apresentadas simulações da difusão unidimensional não estacionária com condições de contorno de primeiro tipo, que demonstram a relação entre a precisão da solução e o número de volumes finitos internos. A simulação do escoamento de um fluido numa cavidade é apresentada e discutida. Os resultados preliminares apresentados indicam que o OpenFOAM tem características de robustez e interação com o usuário suficientes para elegê-lo lo como uma alternativa confiável aos softwares comerciais para a simulação de processos químicos. Palavras-chave: OpenFOAM, CFD, Volumes Finitos, Scilab 1. INTRODUÇÃO Os fluidos em movimento estão presentes em toda a natureza e suas características, por vezes extremamente complexas, têm sido objeto de estudo, desde os tempos mais remotos, por meio de análises teóricas em geral, insuficientes e de métodos experimentais (Fonte: http://www.edusp.com.br/detlivro.asp?id=63648 acessado em 14/05/2007). Os fluidos quando submetidos à uma tensão cisalhante sofrem deformação e devido à essa tensão são classificados em fluidos newtonianos e não-newtonianos. newtonianos. A simulação computacional da Dinâmica dos Fluidos, em inglês Computational Fluid Dynamics (CFD), utiliza-se de métodos numéricos e algoritmos para resolver e analisar problemas de escoamento de fluidos, pois normalmente não apresentam solução analítica. Portanto, CFD é uma ferramenta computacional que permite o estudo da dinâmica de escoamento de gases e líquidos, transferência de massa e energia, corpos em movimento, sistemas multifásicos, reações químicas, interação fluido-estrutura, acústica, medicina, etc., utilizando protótipos virtuais do sistema através do qual pode ser feita a análise do sistema real para fins de projeto e otimização. Todo processo de simulação via CFD compreende ende três estágios principais: pré-processamento, processamento, solução e pós- processamento.

Entretanto, devido à complexidade das equações que governam a dinâmica dos fluidos e à necessidade de um grande número de pontos nas malhas de discretização dos domínios, as técnicas computacionais de solução exigem grande capacidade e tempo de processamento (VIANA et al, 2004). Assim, deve-se escolher os métodos e softwares que diminuam esse esforço. Existem vários softwares para o CFD, entre eles os softwares livres e os softwares comerciais como os resumidos na Tabela 1. Tabela 1 Softwares comerciais para CFD Nome do software ARSoftware COSMIC NASA Fluent Inc. Flowtech Int. AB Fluid Dynamics International, Inc. ANSYS-CFX ICEM CFD KIVA CFD Research Corporation Computational Dynamics Ltd. Analytical Methods, Inc. AeroSoft, Inc. Ithaca Combustion Enterprises Flow Science, Inc. ALGOR, Inc. Engineering Mechanics Research Corp. Reaction Engineering International Combustion Dynamics Ltd. Innovative Aerodynamic Technologies XYZ Scientific Applications, Inc. South Bay Simulations, Inc. PHASES Engineering Solutions Engineering Sciences, Inc. Catalpa Research, Inc. Swansea NS codes Engineering Systems International S.A. Daat Research Corp. Flomerics Inc. Innovative Research, Inc. Advanced Visual Systems Flo++ KSNIS Flowcode Concert SMARTFIRE VISCOUS Polydynamics Cullimore and Ring Technologies, Inc. Empresa responsável IBM Corp. catalogue Sun Microsystems catalogue Cray Research catalogue Silicon Graphics, Inc. catalogue Pointwise, Inc. Simulog Directory of CFD codes on IBM supercomputer environment ANSYS, Inc. Flomercis Inc. Computational Mechanics Corporation Computational Mechanics Company, Inc. KASIMIR AVL List Gmbh. Livermore Software Technology Corporation Advanced Combustion Eng. Research Center NUMECA International s.a. Computational Engineering International., Inc. Blocon Software Agency Centric Engineering Systems, Inc. Blue Ridge Numerics, Inc. WinPipeD Exa Corporation Polyflow s.a. Flow Pro Computational Aerodynamics Systems Co. Tahoe Design Software ADINA-F YFLOW PSW Compass Arena Flow Newmerical Technologies International CFDpc NIKA EFDLab SC/Tetra TES International ACUITIV Nabla Ltd 2

Neste trabalho o software livre OpenFOAM foi escolhido para verificação de viabilidade de utilização como uma alternativa aos softwares comerciais. As características gerais do software e os princípios do método dos volumes finitos, utilizado como resolvedor numérico pelo OpenFOAM, são apresentados e discutidos na seqüência. Os resultados da simulação do problema da difusão unidimensional em estado não estacionário usando uma implementação do método dos volumes finitos em Scilab são analisados. Além disto, o problema do escoamento de um fluido numa cavidade é simulado no ambiente OpenFOAM, permitindo demonstrar a viabilidade do software para fins de ensino e pesquisa. 2. O MÉTODO DOS VOLUMES FINITOS Segundo Lage e Pinto (2001), o Método dos Volumes Finitos (MVF) pode ser empregado na solução numérica de modelos distribuídos formados por equações diferenciais ordinárias e parciais. O MVF às vezes é confundido com o método das diferenças finitas, já que em muitos casos obtémse equações de discretização idênticas para os domínios estudados. Todavia, o MVF possui um embasamento físico, que é o princípio de conservação de grandezas físicas em um volume de controle definido, enquanto que o segundo possui dedução puramente matemática, utilizando séries de Taylor para aproximação das derivadas. Considere a equação da continuidade, expressa pela Eq. (01), deduzida a partir da conservação de massa num determinado volume de controle como o apresentado na Fig. 01. +.=0 (1) z y x Figura 01: Volume de controle arbitrário O MVF baseia-se na avaliação dos termos das equações diferenciais que regem esse tipo de problema, levando-se em consideração as propriedades conservativas a partir da aproximação dos termos diferenciais, por diferenças numéricas comuns do tipo, ou seja, a quantidade da grandeza física que sai de um volume de controle subtraída da quantidade que entra. Tal processo significa uma aproximação, o que pode gerar diferenças significativas no resultado numérico. Estas diferenças são corrigidas a partir da divisão do domínio estudado em diversos sub-domínios internos. A conservação da grandeza estudada será avaliada ao longo desses sub-domínios, de modo que cada um desses sub-espaços seja estudado. Isso corresponde à integração da equação, seja de quantidade de movimento, da continuidade, ou do transporte de energia térmica, entre um ponto inicial e um ponto final. A construção desses volumes internos é ilustrada para um sistema unidimensional conforme apresentado na Fig. 02, em que W, P e E indicam os nós computacionais e w e e indicam as faces do volume de nó P. Os nós computacionais estão sempre definidos no centróide dos volumes finitos. As faces fazem a delimitação desse volume e por elas será avaliada a conservação da grandeza estudada. 3

Figura 02: Discretização unidimensional de um domínio (adaptado de Pinto e Lage (2001)) O MVF será aplicado na solução do problema de transferência de calor unidimensional em estado não estacionário (Eq. 2) com condição inicial definida pela Eq.(3) condições de contorno de primeiro tipo dadas pelas Eq.(4) e (5): =, 0<<1 (2) =0, =0 (3) =0, =1 (4) =1, =0 (5) O domínio foi discretizado conforme apresentado na Fig. 2. O MVF foi implementado usando o software livre Scilab, cujos resultados estão na Tabela 2 e o código utilizado na Fig. 3. Tabela 2. Evolução do perfil de temperatura adimensional x Intervalos de tempo 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.2 0.5340403 0.5340403 0.7482523 0.7745169 0.7871731 0.7934838 0.7966767 0.7983022 0.7991320 0.7995561 0.4 0.2816968 0.5340403 0.5200730 0.5595397 0.5794087 0.5894918 0.5946305 0.5972546 0.5985960 0.5992819 0.6 0.142032 0.2558598 0.3236112 0.3603491 0.3795919 0.3895331 0.3946398 0.3972567 0.3985964 0.3992820 0.8 0.0591800 0.1164716 0.1542499 0.1758538 0.1874723 0.1935508 0.1966917 0.1983056 0.1991328 0.1995563 1.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4

//Evolucao do Perfil de temperatura adimensional na parede plana //volumes de controle com tamanhos constantes mode(-1) lines(0) clear clc clf //função--------------------------------- function[phi]=tdmasolve(a,b) n=size(a,1); a(1)=a(1,1); b(1)=b(1); for i=2:n a(i)=a(i,i)-a(i,i-1)*a(i-1,i)/a(i-1); b(i)=b(i)-(a(i,i-1)/a(i-1))*b(i-1); phi(n)=b(n)/a(n); for k=1:n-1 phi(n-k)=(b(n-k)-a(n-k,n-k+1)*phi(nk+1))/a(n-k) endfunction //Descrição do Domínio------------------- txt=['dominio (0 a 1)';'Numero de volumes internos';'tempo inicial';'tempo de simulacao']; valor=x_mdialog('condições do Problema',txt,['1';'4';'0';'1']) dom=evstr(valor(1)); N=evstr(valor(2)); ti=evstr(valor(3)); temp=evstr(valor(4)); Dx=dom/(N+1); Dt=Dx/2 Ntemp=(temp)/Dt; clc; //Condições do problema------------------ txt=['phi(0,t)';'phi(x,0)';'phi(1,t)'] ci=x_mdialog('condicoes do tipo phi(x,t)',txt,['0';'0';'1']) phiot=evstr(ci(1)) phixo=evstr(ci(2));phi1t=evstr(ci(3)) clc aux=1/dx; CI=[phiot]; CC=[phi1t]; P=[]; phio=[]; for i=1:1:n phio=[phio; phixo]; for j=1:1:n if (i==j) then A(i,j)=2*aux+Dx/Dt; elseif (i-j==1) A(i,j)=-aux; elseif (i-j==-1) A(i,j)=-aux; elseif (j==1) B(j,1)=aux*phiot+(Dx/Dt)*phixo; elseif (j==n) then B(j,1)=(Dx/Dt)*phixo+aux*phi1t; else B(j,1)=(Dx/Dt)*phixo; for t=ti+dt:dt:temp CI=[CI phiot]; CC=[CC phi1t]; [phi]=tdmasolve(a,b); P=[P phi]; x=[0:dx:dom] L=[phiot;phi;phi1t]//vetor auxiliar plot2d(x,l,5) for j=1:n if (j==1) B(j,1)=aux*phiot+(Dx/Dt)*phi(j,1); elseif (j==n) then B(j,1)=(Dx/Dt)*phi(j,1)+aux*phi1t; else B(j,1)=(Dx/Dt)*phi(j,1); xtitle('solucao Numerica', 'x','phi'); P=[CI; phio P; CC]; x_message('fim da simulacao'); Figura 03: Código em Scilab que implementa o Método dos Volumes Finitos 5

3. SOLUÇÃO DO PROBLEMA DO ESCOAMENTO USANDO O OPENFOAM O OpenFOAM é um software de distribuição livre e que portanto pode ser copiado, modificado e até redistribuído, e pode ser executado em distribuições LINUX (Debian, Ubuntu, etc) tanto em versões de 32 bits como de 64 bits. Isso representa uma grande vantagem visto que a plataforma de suporte também é livre, ou seja, são eliminados custos com a aquisição do Sistema Operacional e do software empregado na simulação. A tecnologia desse programa consiste em um conjunto de módulos em C ++, usados para construir resolvedores que simulam problemas específicos em engenharia; utilidades empregadas nas tarefas de pré-processamento e pósprocessamento como visualização de dados e processamento de malhas; bibliotecas para criação de ferramentas como banco de modelos físicos. Isso tudo permitido a partir de uma construção baseada em geometria tridimensional que é lida com o conceito de campo de tensores. As equações diferenciais parciais que governam cada caso são discretizadas no tempo e no espaço sucessivamente, sendo que no espaço considera-se uma geometria variável, utilizando o método dos volumes finitos, sobre o qual será dado mais detalhes no tópico a seguir. O estudo consiste em mostrar as etapas de pré-processamento, solução e pós processamento para um problema envolvendo o escoamento bidimensional de um fluido isotérmico e incompressível num domínio quadrado. As equações que governam este problema são as Equações de Navier-Stokes dadas pelas Eq. (6-9) para o domínio bidimensional, conforme apresentado em Ambatipudi (2008)..=0 (6).=..+ (7).=..+ (8) Os termos fonte são representados pelas Eq.(9) e Eq.(10). = + 2. 3 (9) = + + 2. 3 (10) A Eq. (7) pode ser escrita da seguinte forma: = (11) que integrada no volume de controle fornece a Eq. (12): tal que:.=. (12) = (13) = (14) A malha utilizada para discretização da equação geral de transporte (Eq. (15)) é mostrada na Fig. 4. +.=. + (15) 2

Figura. 03: Malha bidimensional utilizada na simulação do escoamento em cavidade (extraída de Ambatipudi (2008) As avaliações dos termos de fluxo são dadas pela Eq. (16) e pela Eq. (17). = (16) = + (17) 2. = (18) = + (19) 2 O termo fonte de Eq. (15 ) pode ser avaliado pela Eq.(20). (20) Os modelos para os termos difusivos nas células da fronteira do domínio são dados pelas Eq. (21) e Eq.(22). = = (21) (22) Na face oeste o termo de convecção será zero, devido a condição da velocidade de fronteira, porém na face leste ele pode ser calculado pela expressão. 3.1 Algoritmo simplificado de resolução Nessa etapa será usado o método de resolução por equações de pressão linkadas proposto inicialmente por Patankar e Spalding. Por ele será substituído na equação da continuidade a equação de momento u e v resultando na equação de pressão discreta. Nesse método são adotadas correções para as velocidades que são dadas pela Eq. (23), Eq. (24) e Eq. (25). = + (23) = + (24) = + (25)

Em que, e são valores estimados e, e são valores corrigidos. As Eq. (26) e Eq. (27) fornecem os valores de momento corrigido = + = + (26) (27) Aproximações para a correção de velocidade são feitas ignorando-se e, substituindo esses valores para a velocidade corrigida na equação da continuidade gera-se as seguintes equações de pressão:, em que = e =. = = = = = = + = + (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) Uma malha uniforme é proposta para as direções x e y.. As equações de momento são então discretizadas pelo algoritmo descrito anteriormente. Os resultados foram obtidos para um caso bidimensional utilizando uma malha tridimensional (20x20x1). Na Fig. 04 essa malha é mostrada junto com o traçado das linhas de corrente paro caso em questão. O caso foi estudado em regime laminar. Na Fig. 05 apresenta-se a evolução da velocidade em função da malha adotada. Figura 04: Simulação das linhas de corrente paro caso cavity utilizando o OpenFOAM para uma malha 20x20x1

Figura 05: Variação da velocidade de escoamento do fluido na direção x do escoamento 5. CONCLUSÃO E SUGESTÕES S PARA TRABALHOS FUTUROS Neste trabalho foi implementado um programa utilizando o software livre Scilab, que implementa o Método dos Volumes Finitos acoplado ao Algoritmo de Thomas para solução de sistemas de equações algébricas lineares com matriz de coeficientes com estrutura tridiagonal. O programa foi usado para a simulação dinâmica da difusão unidimensional com condições de contorno de primeiro tipo e permitiu avaliar o efeito do refinamento da malha de discretização sobre a precisão dos resultados obtidos. As etapas de pré-processamento, processamento, processamento e pós- processamento do software livre OpenFOAM foram executadas com sucesso para a simulação do escoamento de um fluido numa cavidade, após superados todos os problemas iniciais com a instalação do sistema operacional e do software. Os resultados obtidos permitem afirmar que o OpenFOAM é uma alternativa viável para a simulação da dinâmica de fluidos, exigindo do usuário conhecimento detalhado sobre as equações fundamentais do modelo e os operadores vetoriais e tensoriais e tendo grau de interação com o usuário e robustez satisfatórios. A disponibilidade de correlações para predição de propriedades físico-químicas deve ser melhor avaliada, assim como o desempenho do software na simulação de sistemas multicomponente com geometria complexa e sua interação com outros softwares comerciais como o Fluent e o CFX. 6. REFERÊNCIAS Ambatipudi, V., 2008, Simple Solver for Drive Cavity flow problem, pp 1-8. Comunicação pessoal. Morimoto, E.C., 2008, Linux entendendo e dominando, vol. 4, pp 13 14. Comunicação Pessoal. Pinto, J.C. e Lage, P.L.C., 2001, Métodos Numéricos em Problemas de Engenharia Química, pp 139 151. OpenCFD, 2007, User Guide,OpenFoam 1.4.1, pp 181 187, www.opencfd.co.uk. Vicente, R., 2007, Comparative Study of the CFD codes Mistral and OpenFOAM, Thesis Report, pp 5 14.

THE COMPUTER SIMULATION OF FLUID DYNAMICS (CFD) USING THE FREE SOFTWARE OPENFOAM RELEASE 1.4.1 Barroso, D.S. 1 Faculdade de Engenharia Química da Universidade Federal de Uberlândia Av. João Naves de Ávila, 2121. Bloco K do Campus Santa Mônica. Uberlândia. MG. deliobs@gmail.com Murata, V.V. 2 Faculdade de Engenharia Química da Universidade Federal de Uberlândia Av. João Naves de Ávila, 2121. Bloco K do Campus Santa Mônica. Uberlândia. MG. valeria@ufu.br Abstract: The computer simulation of the dynamics of fluids has important practical applications in the field of Chemical Engineering, and in anticipation of air pollution, the study of patterns of flow in the drilling of oil wells or the design and analysis of performance of separation equipment, mixing and reaction. This work presents the general characteristics of free software OpenFOAM and also the principles of Finite Volumes Method employed in the solution of ordinary and partial differential equations. The operational system employed is Linux. In addition to spreading the culture of using free software that does not require the payment of allowances own, for education and research, this work assesses possibilities for the use of free software OpenFOAM as an alternative to commercial software such as Fluent, regularly used in various projects and researches undertaken at the School of Chemical Engineering of Federal University of Uberlândia. The simulations of the one-dimensional and dynamic diffusion problem with first kind conditions demonstrate the relationship between accuracy of the solution and number of internal finite volumes. The simulation of the flow of a fluid into a cavity obtained by the software OpenFOAM is also presented. These preliminary results indicate that the OpenFOAM has characteristics of strength and interaction with the user enough to elect him as a reliable alternative to commercial software for the simulation of chemical processes. Keywords: OpenFOAM, CFD, Finite Volumes, Scilab 6