O que é permutação? Série O que é Objetivos 1. Discutir o significado da palavra permutação no contexto da Matemática; 2. Apresentar os casos clássicos de problemas de análise combinatória; 3. Apresentar o Princípio Fundamental da Contagem.
O que é permutação? Série O que é? Conteúdos Análise combinatória. Duração Aprox. 10 minutos. Objetivos 1. Discutir o significado da palavra permutação no contexto da Matemática; 2. Apresentar os casos clássicos de problemas de análise combinatória; 3. Apresentar o Princípio Fundamental da Contagem. Sinopse Neste programa, o apresentador discute com um convidado especial, contando com algumas participações de ouvintes, o significado da palavra permutação no contexto da Matemática, e acaba por discutir também as palavras arranjo e combinação, sempre usando o Princípio Fundamental da Contagem como referência. Material relacionado Experimentos: De quantas maneiras posso passar meu cadarço? Táxi e combinatória; Softwares: Geometria do táxi contagem; Vídeos: De malas prontas.
Introdução Sobre a série A proposta da série O que é? é fazer uma discussão introdutória e sem grandes aprofundamentos de alguns conceitos do currículo de Matemática do Ensino Médio que contenham palavras incomuns fora do contexto da Matemática, como logaritmo, baricentro, hipérbole, etc. A série simula um programa de entrevistas em uma rádio, na qual o entrevistador apresenta a palavra que servirá de tema e chama um convidado relacionado com Matemática para explicar o significado da tal palavra. Nessa conversa, são discutidos significados dentro e fora do contexto da Matemática, apresentada alguma aplicação daquele conceito e, no final do programa, é feita uma sugestão de pesquisa ou aprofundamento em torno do tema. Devido a sua proposta, os programas desta série são mais adequados para introduzir os conceitos discutidos. Outra possibilidade é usá-los como tarefa, para que os alunos ouçam e, na aula seguinte, iniciem com uma discussão sobre os significados da palavra em questão. Sobre o programa Este programa começa discutindo a palavra permutação, mas depois se estende até as palavras arranjo e combinação, que são os três métodos clássicos de contagem. Contudo, os três podem ser entendidos se tivermos clareza sobre o Princípio Fundamental da Contagem: Princípio Fundamental da Contagem: Se uma decisão d 1 pode ser tomada de n maneiras diferentes e uma decisão d 2 de m maneiras diferentes, sendo que uma decisão não interfere no número de O que é permutação? 3/6
maneiras de tomar a outra, então o número de maneiras de tomar as decisões d 1 e d 2 consecutivamente é igual a m.n. Tenha em mente que uma vez que o Princípio Fundamental da Contagem seja entendido pelos estudantes, não é necessário decorar uma fórmula para cada caso. Por outro lado, é importante que os alunos saibam identificar, de acordo com o problema, as características que deverão ser levadas em conta na hora de realizar os cálculos, como a relevância ou não da ordem dos elementos, o total de elementos disponíveis e os números de elementos que serão considerados, a independência das decisões, etc. Sugestões de atividades Antes da execução Uma possibilidade de atividade com os alunos em torno deste áudio é pedir que eles escrevam em um papel qual o significado que eles atribuem à palavra que será discutida antes e depois de ouvirem o programa. Essa pode ser uma boa maneira de conhecer melhor a formação prévia dos seus alunos e, no final, o que eles entenderam daquilo que ouviram. Depois da execução Depois da execução, sugerimos a resolução de exercícios relacionados à análise combinatória, de preferência sem distinguir a priori se eles tratam de arranjo, permutação ou combinação. Deixe que seus alunos identifiquem os elementos importantes e realizem os cálculos. O primeiro capítulo de Métodos de contagem e probabilidade faz uma abordagem dessa natureza sobre problemas de contagem e traz exemplos e exercícios bem variados. O que é permutação? 4/6
Por fim, sugerimos um problema (não elementar) que não é permutação, arranjo nem combinação. Problema: em um supermercado, há cinco marcas de refrigerantes disponíveis (todas com número suficiente de latas em estoque). Eu quero comprar exatamente três latas. De quantas maneiras posso fazer isso? Resolução: Se você calcular o número de arranjos de 5 elementos 3 a 3, estará considerando a ordem das latinhas, o que não é relevante para uma compra. Se você calcular o número de combinações de 5 elementos 3 a 3, estará apenas considerando os casos em que as 3 marcas escolhidas são diferentes. Por fim, permutação não fez sentido neste problema por querermos apenas 3 elementos de um universo de 5 possibilidades. Portanto, teremos que partir para outra estratégia. Nossa sugestão é dividir em 3 casos: Caso 1: 3 latinhas de marcas diferentes 5.4.3 Nesse caso, o número de possibilidades é igual a = 10. 3.2.1 Caso 2: 3 latinhas de marcas iguais Nesse caso, o número de possibilidades é igual a 5, que é o número de marcas disponíveis. Caso 3: 2 latinhas de marcas iguais e 1 de marca diferente Nesse caso, temos uma primeira decisão que é escolher a marca das 2 primeiras latinhas, que admite 5 possibilidades, e uma segunda decisão que é escolher a marca da última latinha, mas como ela deve ser diferente da primeira marca, temos apenas 4 possibilidades. Como a primeira e a segunda decisão têm efeitos diferentes não precisamos nos preocupar com a ordem, portanto, o número de possibilidades para esse caso é igual a 5.4 = 20. O que é permutação? 5/6
Resposta: portanto, a resposta ao problema é 10 + 5 + 20 = 35 possibilidades. O experimento De quantas maneiras posso passar o meu cadarço?, disponível no portal www.m3.mat.br, também explora um problema semelhante a este, que deve ser abordado com o Princípio Fundamental da Contagem sem se encaixar em nenhum dos 3 casos clássicos. Sugestões de leitura P. C. P. Carvalho (2009). Métodos de contagem e probabilidade. SBM. Ficha técnica Conteudista Leonardo Barichello Revisão Samuel Rocha de Oliveira Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira O que é permutação? 6/6