8. Séries de Fourier Exercice 8. On définit une application f -périodique et impaire par : { < t < f(t) = f() = f() =. Former le développement en série de Fourier de f.. En déduire la valeur de ( ) n n +. 3. A l aide de l égalité de Parseval, calculer (n + ) puis n. n= Exercice 8. On définit une application f, -périodique sur IR, par. Former le développement en série de Fourier de f.. A l aide de l égalité de Parseval, calculer la somme de la série { t ], [, f(t) = t f( ) = f() = 3. On définit g, -périodique, par par g(x) = t sur ], [ et g() = g() =. Déduire de la question () le développement en série de Fourier de g. n= n. Exercice 8.3 On définit une application f, -périodique sur IR, par x [, ], f(x) = x.. Former le développement en série de Fourier de f.. En déduire les sommes (n + ) et n. n= 3. Avec l identité de Parseval, calculer les sommes (n + ) et 4 n. 4 n= Exercice 8.4 Développer f(x) = sin x en série de Fourier. En déduire n= 4n et de ( ) n 4n. n= Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 3 mai Page
Exercice 8.5 Soit f : IR IR, impaire, -périodique, définie sur [, ] par f(x) = x( x).. Montrer que f est de classe C sur IR, et qu elle est de classe C par morceaux.. Former le développement en série de Fourier de f. En déduire 3. Calculer les sommes (n + ) et 6 n. 6 n= ( ) n (n + ) 3. Exercice 8.6 Soit f : IR IR, paire, -périodique, définie sur [, ] par f(x) = x ( x).. Montrer que f est de classe C sur IR, et qu elle est de classe C 3 par morceaux.. Développer f en série de Fourier. En déduire 3. Calculer la somme n= n 8. n= n 4 et n= ( ) n+ n 4. Exercice 8.7 Soit t un réel non entier. Soit f, -périodique, définie par : x [, ], f(x) = cos(tx).. Former le développement en série de Fourier de f.. Montrer que: t IR ZZ, tan t = t + t t n. n= 3. Par dérivation terme à terme, en déduire : t IR ZZ, n= (t n) = sin (t). Exercice 8.8 Soit t un nombre réel. On suppose que t n est pas un entier relatif. On définit une application f, -périodique sur IR, par : x ], [, f(x) = e itx.. Calculer les coefficients de Fourier exponentiels de f.. En utilisant l identité de Parseval, montrer que t IR ZZ, p= (t p) = sin (t). Exercice 8.9 Soit f E. Montrer que la série de terme général n c n(f) est absolument convergente. Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 3 mai Page
Exercice 8. Soit λ un réel non nul de ], [. Pour tout réel x, on pose f(x) = λ cos x + λ.. Montrer que la série de Fourier de f converge normalement vers f sur IR. Ecrire l égalité qui en résulte, sans chercher à calculer les a n (f) (qu on notera simplement a n ).. (a) Montrer que pour tout n de IN, on a : λa n+ ( + λ )a n + λa n =. (b) En déduire l existence de deux réels α et β tels que : n IN, a n = αλ n + β λ n. (c) Montrer β =. Calculer a et en déduire l expression de a n. 3. Déduire de ce qui précède que : x IR, λ ], [, λ λ cos x + λ = + 4. Retrouver ce résultat en utilisant un développement en série entière. n= λ n cos nx Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 3 mai Page 3
Corrigé des exercices Corrigé de l exercice 8.. L application f est -périodique et de classe C par morceaux. En chaque discontinuité x, f(x ) = (lim f + lim f) : f est sa propre régularisée. x x + D après Dirichlet, la série de Fourier de f converge simplement vers f sur IR. L application f étant impaire, sa série de Fourier est une série de sinus. On a donc, pour tout x de IR : f(x) = b n (f) sin(nx), où b n (f) = f(t) sin nt dt. n= n, b n (f) = sin nt dt = [ ] n cos nt = n ( ( )n ). 4 Autrement dit : n, b n (f) = et n, b n+ (f) = (n + ). On en déduit : x IR, f(x) = 4 sin(n + )x. n + On a représenté ici, sur [, ], c est-à-dire sur deux périodes, la fonction f et la somme partielle S 7 de sa série de Fourier : S 7 (x) = 4 ( sin 3x sin 5x sin 7x) sin x+ + +. 3 5 7. Pour x =, on trouve = 4 ( ) n n +, c est-à-dire 3. L égalité de Parseval donne ici : b n+(f) = On en déduit : (n + ) = 8. Si on pose S = On en déduit S = n= n, on a : S = n= n = 6. n= (n) + ( ) n n + = 4. f (t) dt = (n + ) = 4 S + 8. Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 3 mai Page 4
Corrigé de l exercice 8.. L application f est -périodique et de classe C par morceaux. En chaque x, f(x ) = (lim f + lim f) : f est sa propre régularisée. x x + D après Dirichlet, f est la somme sur IR de sa série de Fourier (CVS). L application f étant impaire, sa série de Fourier est une série de sinus. On a donc, pour tout x de IR : f(x) = b n (f) sin(nx), où b n (f) = f(t) sin nt dt. n= n, b n (f) = t sin nt dt = [ t ] n cos nt + cos nt dt = ( )n+. n n ( ) n+ On en déduit : x IR, f(x) = sin nx. n n= On a représenté ici sur [, ], donc sur deux périodes, la fonction f et la somme partielle S 5 de sa série de Fourier : S 5 (x) = ( sin x sin 3x sin 4x sin 5x) sin x + +. 3 4 5. L égalité de Parseval s écrit : On obtient ici : 4 n= n = n= b n(f) = f (t) dt. t dt = 3 et finalement n = 6. 3. Pour tout x de IR, on remarque que g(x) = f( x). On en déduit le développement en série de Fourier de g : ( ) n+ sin nx x IR, g(x) = sin n( x) = n n. n= On a donc obtenu l égalité : x ], [, n= n= sin nx n n= = x. Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 3 mai Page 5
Corrigé de l exercice 8.3. f est continue et de classe C par morceaux. Le théorème de convergence normale s applique donc : la série de Fourier de f est normalement convergente vers f sur IR. L application f étant paire, sa série de Fourier est une série de cosinus. Autrement dit, pour tout x de IR : f(x) = a (f) + n, a n (f) = f(t) cos nt dt = n= a n (f) cos(nx). t cos nt dt Donc a (f) = t dt =. Pour tout n : a n (f) = [ ] t n sin nt sin nt dt = n n [cos nt] = n (( )n ) 4 On en déduit : n, a n = et n, a n+ = (n + ). Le DSF de f sécrit donc : x IR, f(x) = 4 cos(n + )x. (n + ) On a représenté ici, sur l intervalle [, ] (deux périodes) la fonction f puis la somme partielle S 3 de sa série de Fourier : S 3 (x) = 4 ( cos 3x) cos x +. 9 L approximation est déjà assez bonne. On a enfin représenté conjointement f et S 3 au voisinage de. Visiblement la convergence des S n vers f est moins rapide à proximité des points où f n est pas dérivable. Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 3 mai Page 6
. On pose x = dans cette égalité et on trouve : Si on pose S = On en déduit S = n= n, on a : S = n= n = 6. n= (n) + 3. Parseval s écrit ici : a (f) + a n+ (f) = On en déduit 6 Si on pose T = T = n= n= (n + ) = 8. (n + ) = 4 S + 8. (n + ) 4 = 3 = 6 puis n 4, on a : f (t) dt = (n + ) 4 = 4 96. t dt = 3. (n) + 4 (n + ) = 4 6 T + 4 96 T = 6 4 5 96 = 4 9 Corrigé de l exercice 8.4. L application f est -périodique (elle est même -périodique). Elle est continue sur IR et de classe C par morceaux. Le théorème de convergence normale s applique donc : la série de Fourier de f est normalement convergente vers f sur IR. L application f est paire : pour tout n de IN, on a donc b n (f) =. Pour tout n de IN, a n (f) = f(t) cos nt dt = sin t cos nt dt = (sin(n + )t sin(n )t) dt On trouve d abord a (f) = sin t dt =, puis pour tout entier n : a n (f) = [ ] cos(n )t cos(n + )t n n + = ( n + ) ( + ( ) n ) = + ( )n n ( n ) Donc a n+ (f) = (comme a (f) = ) et a n (f) = En particulier a (f) = 4. On obtient donc : x IR, f(x) = sin x = a (f). Pour x =, on trouve n= Pour x =, on obtient : 4n =. n= 4 ( 4n ). + a n (f) cos nx = n= + 4 ( ) n 4n = 4. n= cos nx 4n Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 3 mai Page 7
Corrigé de l exercice 8.5. f est continue sur IR (pour tout k, f(k) = ) et de classe C sur IR ZZ. L application f est a priori définie sur IR ZZ. Elle est paire (car f est impaire) -périodiqueet pour tout x de ], [, f (x) = x. On a lim f (x) =. Donc lim f (x) = par parité. De même, lim f (x) =. x + x x On en déduit lim f (x) = (parité) puis lim f (x) = (périodicité). x ( ) + x + On en déduit (prolongement des applications C ) que f est définie et continue en et (et en tous les x = k donc sur IR) avec f () = et f () =. L application f est donc de classe C sur IR. Enfin f est définie sur IR ZZ, paire (comme f), -périodique, et f (x) = sur ], [. L application f est donc de classe C par morceaux sur IR.. f est continue et de classe C par morceaux. Le théorème de convergence normale s applique donc : la série de Fourier de f est normalement convergente vers f sur IR. L application f étant impaire, sa série de Fourier est une série de sinus. Autrement dit, pour tout x de IR : f(x) = n, b n (f) = = n f(t) sin nt dt = n= b n (f) sin(nx). [ cos nt f(t) ( t) cos nt dt = n = 4 n 3 [cos nt] = 4 n 3 ( ( )n ). ] + n n [ t sin nt n Autrement dit : n, b n (f) = et n, b n+ (f) = On en déduit : x IR, f(x) = 8 En choisissant x =, on trouve : 3. Parseval donne ici b n+(f) = Et donc 64 (n + ) = 6 Si on pose U = On en déduit sin(n + )x (n + ) 3. ( ) n (n + ) = 3 8 f ( ) = 8 f (t) dt t ( t) dt On en déduit : ] 8 (n + ) 3. f (t) cos nt dt + 4 sin nt dt n 4 = 3 3. (n + ) = ( t t 3 + t 4 ) dt = ( 5 6 3 3 3 5 + 5 ) 6 = 5 96 n= n= n, on a : U = 6 n= n = 64 6 6 63 96 = 6 945. (n) 6 + (n + ) 6 = S 64 + 6 96. Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 3 mai Page 8
Corrigé de l exercice 8.6. Remarquons que l application f est en fait -périodique. L application f est de classe C sur IR ZZ. Pour tout x de ], [, on a : f(x) = x x 3 + x 4, f (x) = x 6x + 4x 3, f (x) = x + x On constate que lim f = lim f =, lim f = lim f = et lim f = lim f =. + + + Or les applications f, f, f sont -périodiques. Donc f est de classe C sur IR et : k ZZ, f(k) =, f (k) =, f (k) =. L application f (3) est définie sur IR ZZ et -périodique. Pour tout x de ], [, f (3) (x) = + 4x. On en déduit lim f (3) = et lim f (3) =. + L application f est donc de classe C 3 par morceaux sur IR.. f est continue et de classe C par morceaux. Le théorème de convergence normale s applique : la série de Fourier de f est CVN vers f sur IR. L application f étant paire, sa série de Fourier est une série de cosinus. Donc f(x) a (f) + a n (f) cos(nx), avec : n IN, a n (f) = f(t) cos nt dt. n= En particulier, a (f) = ( t t 3 + t 4 ) dt = ( 5 3 5 + 5 ) 4 = 5 5. Pour calculer a n avec n on procède à quatre intégrations par parties successives. Posons : g (4) (x) = cos nx, g (3) (x) = Pour tout entier n : f(t) cos nt dt = sin nx n, g (x) = f(t)g (4) (t) dt = [ f(t)g (3) (t) ] } {{ } = = [f (t)g (t)] }{{} = = [f (t)g (t)] }{{} = cos nx, g (x) = n sin nx, g(x) = n 3 f (t)g (3) (t) dt = f (t)g (3) (t) dt + f (t)g (t) dt = f (t)g (t) dt f (3) (t)g (t) dt = f (3) (t)g (t) dt = [ f (3) (t)g(t) ] + f (4) (t)g(t) dt = ( + ( ) n ) + 4 n 4 n 4 cos nt dt } {{ } = cos nx n 4 Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 3 mai Page 9
Ainsi a n = 4 n ( + 4 ( )n ) puis a n+ = et a n = 48 (n) = 3 4 n. 4 Le développement en série de Fourier de f sécrit donc : x IR, f(x) = 3 3 n= cos nx n 4 Avec x =, on trouve : 3 3 n= Avec x =, on trouve : 3 3 3. L égalité de Parseval s écrit ici : n= n 4 = donc ( ) n n 4 n= n 4 = 4 9. = 4 6 donc n= ( ) n+ n 4 = 74 7. Mais a (f) + D autre part : On en déduit : a (f) + a n (f) = f (t) dt = t 4 ( t) 4 dt n= n= a n (f) = 8 45 + 9 n. 8 f (t) dt n= n= = ( 4 t 4 4 3 t 5 + 6 t 6 4t 7 + t 8 ) dt = 8( 5 3 + 6 7 + ) 8 = 9 35 n = ( 8 8 9 35 8 ) 8 = 45 945. On a représenté (à gauche) la fonction f sur l intervalle [, ]. Puis on a tracé sur [, ] la différence f(x) S 4 (x), où S 4 est le polynôme de Fourier de f d indice 4. L approximation est déjà très bonne; la courbe y = S 4 (x) recoupe 6 fois celle de f sur [, ]. Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 3 mai Page
Corrigé de l exercice 8.7. L application f est continue sur IR et de classe C par morceaux. Le théorème de convergence normale s applique donc : la série de Fourier de f est normalement convergente vers f sur IR. L application f étant paire, sa série de Fourier est une série de cosinus. Pour tout n de IN : a n (f) = f(x) cos nx dx = cos tx cos nx dx = (cos(n + t)x + cos(n t)x) dx = [ ] sin(n + t)x sin(n t)x + n + t n t = ( )n t sin t (t n ) = ( )n sin t ( n + t ) n t En particulier a (f) = sin t. On obtient donc le développement valable sur IR : t f(x) = a (f) + n= a n (f) cos nx = sin t t + t sin t n= ( ) n cos nx t n sin t. Avec x =, on obtient : t IR ZZ, cos t = + t Après multiplication par, il vient effectivement : sin t t sin t n= t n. t IR ZZ, tan t = t + t t n n= 3. Pour tout n, posons ϕ n (t) = t t n. L application ϕ n est de classe C sur IR { n, n}. Comme on vient de le voir, la série de fonctions ϕ n (t) est CVS sur IR ZZ. Pour tout réel t de IR ZZ et tout n, on a : ϕ n (t) = t n + t + n et ϕ n(t) = (t n) (t + n) Supposons t < k avec k entier. Alors pour tout n de IN, t ± n n t > n k. On en déduit, pour tout n > k, que : ϕ n(t) (n k). La série ϕ n est donc CVN (donc CVU) sur toute partie bornée de IR ZZ (par exemple sur tout intervalle ]m, m + [ délimité par deux entiers consécutifs.) On peut alors appliquer le théorème de dérivation des séries de fonctions, ce qui permet de dériver terme à terme la série de fonctions ϕ n. Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 3 mai Page
La dérivée de t tan t est sin t. On trouve donc, pour tout t de IR ZZ : sin t = ( ) ( = tan t t + ϕ n (t) ) = n= t + ϕ n(t) n= = t ( (t n) + ) (t + n) n= = t n= On a donc bien obtenu : t IR ZZ, (t n) (t + n) = n= n= n= (t n) = sin (t). (t n). Corrigé de l exercice 8.8. On calcule les coefficients de Fourier exponentiels de f : p ZZ, c p (f) = f(x)e ipx dx = e i(t p)x dx =. Donc p ZZ, c p (f) = = e it i(t p) = eit e it e it i(t p) p= = eit sin t (t p) p= sin t t p, puis c p (f) = sin t D autre part : f(t) = f(t) dt =. Utilisons maintenant l égalité de Parseval : p= p= c p (f) = f(t) dt donne ici : t IR ZZ, p= p= p= [ ] e i(t p)x x= i(t p) (t p). x= (t p) = sin (t). Corrigé de l exercice 8.9 On sait que la série de terme général u n = c n (f) est convergente (conséquence de l inégalité de Bessel). D autre part, pour tous complexes a et b, on a l égalité ab a + b. On en déduit, pour tout entier n : n c n(f) ( n + c n(f) ). On en déduit par majoration que la série n c n(f) est absolument convergente. Remarque : utiliser le fait que lim c n = et donc dire que n c n(f) = o ( ) ne suffit pas n à prouver la convergence de la série de terme général n c n(f) (penser à la série n ln n.) Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 3 mai Page
Corrigé de l exercice 8.. Pour tout réel x et tout λ de ], [, on a : λ cos x + λ = (λ cos x) + sin x > L application f est donc définie sur IR. Elle est visiblement de classe C. Elle vérifie donc très largement les hypothèses du théorème de convergence normale : la série de Fourier converge normalement vers f sur IR. Comme f est paire, les coefficients b n (f) sont nuls. On peut donc écrire, pour tout x de IR : f(x) = a + a n cos nx. n=. (a) On utilise la définition des coefficients a n. Pour tout n de IN, on a : a n = f(x) cos nx dx. On constate d autre part que, pour tout n : On en déduit, pour tout n : λ cos(n + )x ( + λ ) cos nx + λ cos(n )x = λ cos x cos nx ( + λ cos nx ) cos nx = f(x) λa n+ ( + λ )a n + λa n = f(x) ( cos nx) dx = cos nx dx = f(x) (b) La suite (a n ) n satisfait donc à une récurrence linéaire d ordre. L équation caractéristique est λt ( + λ )t + λ = (λt )(t λ) =. Les deux racines de cette équation sont λ et λ : elles sont distinctes. Il existe donc deux réels α et β tels que : n IN, a n = αλ n + β λ n. (c) On sait que la suite (a n ) est convergente vers (c est un résultat du cours). Or λ < et donc λ >. Pour que a n tende vers, il est nécessaire que β soit nul. On en déduit que a n = αλ n. Avec cette notation α = a. On pose t = tan x, avec t [, [. On a dx = dt t et cos x = + t + t. a = dx λx + λ = 4 = 4 dt ( λ) + ( + λ) t dt ( + t )( + λ ) λ( t ) Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 3 mai Page 3
On pose t = λ + λ 4 On trouve : a = ( λ ) u, avec u [, [. On en déduit : n IN, a n = a λ n = du + u = λ. λn λ. 3. Le développement en série de Fourier de f s écrit donc : x IR, f(x) = λ + λ n cos nx λ On en déduit (le résultat est vrai de manière évidente si λ = ) : n= x IR, λ ], [, λ λ cos x + λ = + n= λ n cos nx λ 4. On fixe le réel x et on pose g(λ) = λ cos x + λ. L application g est définie sur l intervalle ], [. On décompose la fraction rationnelle g(λ) : λ cos x g(λ) = + λ cos x + λ = + λ cos x ( λe ix )( λe ix ) = + λe + ix λe ix Puis on utilise le DSE, valable pour z < : On en déduit alors : z = z n. g(λ) = + λ n e inx + On a ainsi retrouvé le résultat de la question précédente. λ n e inx = + λ n cos nx = + λ n cos nx n= Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 3 mai Page 4