3 Métodos numéricos na propagação dinâmica de fraturas em rocha

61 3 Métodos numéricos na propagação dinâmica de fraturas em rocha 3.1 Irodução Os rápidos avanços nos métodos de modelagem numérica e da atual disponibilidade de recursos computacionais poderosos a um custo acessível fizeram da simulação computacional a ferramea mais promissora para estudar os processos dinâmicos de fraturameo em rocha. Os métodos numéricos utilizados na mecânica das rochas são basicamee classificados de acordo com a represeação do domínio em métodos coínuos, descoínuos e acoplados (coínuo/descoínuo). No caso específico do fraturameo em rocha, a descoinuidade (fratura) pode ser simulada por meio de duas abordagens: discreta e coínua. Na modelagem discreta a descoinuidade é represeada geometricamee na malha de elemeos finitos, considerando um modelo constitutivo para a região coínua e outro modelo mecânico de comportameo para a descoinuidade (Figura 3.1a), como na tradicional utilização de elemeos finitos de ierface. Na abordagem coínua, por outro lado, não há represeação geométrica explícita da descoinuidade na malha de elemeos finitos e um único modelo constitutivo é adotado tao para a região coínua quao para a ierface (Figura 3.1b). Ere os métodos que incorporam esta abordagem estão o método dos elemeos finitos estendido (XFEM) e o método da fratura distribuída (smeared cra). Uma descrição geral dos métodos computacionais para modelagem de fraturas em materiais frágeis e quase-frágeis pode ser encorada no trabalho de Rabczuk (2013). 3.2 Elemeos finitos com singularidade Na Mecânica da Fratura Linear Elástica (MFLE), o cálculo dos fatores de iensidade de tensão é um dos principais objetivos da análise. Estes fatores

62 definem a magnitude dos campos de tensões na poa da fratura e auxiliam na previsão da direção e do crescimeo da fratura. O campo de tensões apresea nesse caso uma singularidade na poa da fratura. Modelo constitutivo A, da parte coínua Único modelo constitutivo, válido tao para a parte coínua como para a ierface descoínua W - (a) Modelo constitutivo B, da ierface descoínua (b) Figura 3.1 - Modelagem de descoinuidade via MEF: (a) abordagem discreta e (b) abordagem coínua. W - Elemeos finitos singulares foram desenvolvidos por Henshell e Shaw (1975) e Barsoum (1976) para capturar a singularidade 1/ r na poa da fratura, onde r é a distância radial a partir da poa. Estes elemeos de ordem quadrática, conhecidos na literatura como quarter-pois elemes, oferecem vaagem na construção da malha, pois os nós localizados no meio dos lados do elemeo, juo à poa da fratura, são deslocados para uma posição correspondee a um quarto do comprimeo do lado, conforme mostra a Figura 3.2. Os elemeos singulares são dispostos ao redor da poa da fratura formando uma roseta, como na Figura 3.2, onde oito elemeos triangulares com ângulo ierno de 45 são agrupados em torno do mesmo poo nodal que represea a poa da fratura. Após o cálculo numérico dos campos de deslocameos e de tensões nas vizinhanças da poa, uma maneira para se avaliar o correspondee fator de iensidade de tensão deve ser considerada. As técnicas mais utilizadas na literatura são descritas no Apêndice B. Estes elemeos tornaram-se populares por serem de simples implemeação e por proporcionarem resultados bastae precisos em malhas relativamee grosseiras, pois alto grau de refinameo só é necessário ao redor da poa da fratura. No eao, a simulação numérica requer várias atualizações da malha de elemeos finitos à medida que a fratura se propaga, exigindo grande esforço computacional.

63 fratura Roseta (elemeos a 45 ) Poa da fratura Figura 3.2 - Posição da roseta com elemeos singulares quarter-pois na poa da fratura. 3.3 Elemeos de ierface Fenômenos envolvendo a propagação de fraturas e fragmeação de materiais podem ser modelados por meio de Modelos de Zona Coesiva (MZC) (Xu e Needleman, 1994; Camacho e Ortiz, 1996; Zhang e Paulino, 2005; Park et al., 2009), incorporando no MEF elemeos específicos para represeação das fraturas (elemeos coesivos) inseridos nas ierfaces ere pares de elemeos coínuos adjacees na malha de elemeos finitos. Os modelos baseados em elemeos coesivos podem ser classificados em irínsecos e extrínsecos. Na abordagem irínseca (Xu e Needleman, 1994), os elemeos coesivos possuem uma resposta inicial elástica, como ilustrado na Figura 3.3a pela curva de tensão de tração vs. separação. A partir da origem, a tensão de tração (T) aumea em relação à separação (, até alcançar um valor crítico (max), que corresponde ao poo limite para o início de fratura. Após esse poo, a tensão de tração diminui até o estágio em que a separação alcança o valor c, no qual se considera ter ocorrido a completa separação ere as faces da fratura (situação última onde não se verifica mais a presença de forças coesivas) do material. De modo geral, modelos irínsecos requerem que, desde o início da simulação, elemeos coesivos estejam presees nas ierfaces ere todos os elemeos coínuos da malha ou, ao menos, em toda a região onde haja a possibilidade de ocorrência de fraturas, se a trajetória da fratura não for conhecida a priori.

64 σ σ descarregameo ou recarregameo descarregameo ou recarregameo (a) (b) Figura 3.3 - Curvas da tração em função da separação para modelos coesivos: (a) irínsecos e (b) extrínsecos. As linhas poilhadas indicam trajetórias de descarregameo / recarregameo. Duas aplicações utilizando o modelo coesivo irínseco são apreseadas na Figura 3.4: a) a propagação de fratura em um ensaio de tração direta circular ou ensaio DC(T) (Song et al., 2006); b) fraturameo hidráulico em meio poroso (Bendezu et al., 2013), simulado com auxílio do programa computacional Abaqus v.6.14. Os dois exemplos estão sujeitos ao modo I de faturameo, com trajetória da fratura conhecida aecipadamee, ao longo da qual os elemeos coesivos são dispostos no início da análise. (a) (b) Figura 3.4 - Exemplos de fraturameo com o modelo coesivo irínseco: a) Ensaio DC(T) (Song et al., 2006); b) fraturameo hidráulico (Bendezu et al., 2013). Por outro lado, modelos extrínsecos (Camacho e Ortiz, 1996; Ortiz e Pandolfi, 1999; Park et al., 2009, Park et al., 2012) requerem que elemeos coesivos sejam inseridos de forma adaptativa nas ierfaces ere elemeos coínuos, apenas onde e quando necessários, ou seja, quando um critério de fratura é atendido. Dessa forma, somee a parte da curva de tensão de tração-separação relativa à fratura é

65 represeada, como mostra a Figura 3.3b, evitando-se assim a simulação de um comportameo artificial aes da ocorrência da fratura. Dessa forma, os modelos extrínsecos necessitam da definição de um critério extra que expresse o início do processo de falha (KUBAIR; GEUBELLE, 2003). Durae a simulação numérica, verifica-se se o critério de fraturameo é atendido nas ierfaces ere cada par de elemeos coínuos do modelo de elemeos finitos. Em caso positivo, elemeos coesivos são eão iroduzidos. Com isso, fraturas podem se iniciar ou propagar, dependendo das condições mecânicas do problema. Nesse modelo extrínseco, fenômenos como propagação de fraturas, ramificação, fragmeação, fechameo de fraturas e considerações de coato e atrito são incorporadas. Para efeito de ilustração, a Figura 3.5 apresea a evolução de uma fratura (nucleação de fraturas), que se ramifica e fragmea. Tal abordagem apresea como atrativo o fato desses fenômenos serem tratados como um resultado da solução do problema de valor de coorno inicial. Figura 3.5 - Propagação e ocorrência de novas fraturas em uma malha de elemeos finitos triangulares (Espinha, 2011). Modelos de Zona Coesiva do tipo extrínseco, a estrutura de dados topológica se altera durae toda a análise. Devido a essa modificação coínua, em tempo de

66 execução, os modelos extrínsecos apreseam um custo computacional extra e requerem que as faces dos elemeos onde ocorrem as fraturas sejam eficieemee ideificadas (Pandolfi e Ortiz, 1998; Celes et al., 2005). Em corapartida, esse tipo de inserção faz com que os elemeos coesivos apenas influenciem a resposta do sistema quando o processameo da fratura realmee está ocorrendo, difereemee dos modelos irínsecos que de início já alteram o comportameo do sistema. Em geral, elemeos coesivos requerem um alto nível de refinameo da malha na região ao redor da poa da fratura, de forma que o comportameo não linear do problema possa ser corretamee capturado. Adicionalmee, a direção de propagação da fratura tende a ser altamee dependee do nível de refinameo (Zhang et al., 2007; Papoulia et al., 2006). A comparação de um problema de propagação dinâmica em modo misto de fratura utilizando os dois tipos de modelos de zona coesiva foi feita por Park et al. (2012). Ambas as análises produziram as mesmas respostas, simulando a trajetória da fratura. A Figura 3.6a apresea os resultados do problema considerando uma malha uniforme, refinada com 25.600 elemeos, analisada com o MZC irínseco, enquao que a Figura 3.6b mostra os resultados com o MZC extrínseco, empregando uma malha com menor discretização (dez vezes menos elemeos, menores custos computacionais), construída com o algoritmo proposto por Park et al. (2012). (a) (b) Figura 3.6 - Propagação de fratura considerando: (a) malha refinada de elemeos finitos; e (b) malha grosseira e adaptativa (Park et al., 2012).

67 3.4 Eliminação de elemeos A técnica de eliminação de elemeos é uma estratégia simples para simular fraturameo no coexto do método convencional dos elemeos finitos (Beissel et al., 1998). Não há necessidade de represear explicitamee as descoinuidades, sendo a fratura fisicamee modelada pela eliminação progressiva de elemeos da malha, conforme ilustra a Figura 3.7, após a fratura atingir uma determinada abertura crítica além da qual não pode mais sustear tensões. Elemeos não são removidos fisicamee da malha, mas suas coribuições são desconsideradas prescrevendo-se que nos elemeos eliminados o estado de tensão é próximo a zero. Para evitar problemas numéricos relacionados com o desequilíbrio de forças imposto pela eliminação, o estado de tensão é reduzido gradualmee em vários passos de relaxação. O módulo de elasticidade nos elemeos eliminados é fixado próximo a zero no último passo deste processo. Para levar em coa a dissipação de energia no domínio pós fraturameo, o conceito de fissuração distribuída (smeared cra) é empregado. Os modelos de fissuração distribuída baseiam-se na idealização de um meio coínuo durae todo o processo de análise. Partindo deste meio coínuo, relações ere tensões e deformações são adotadas para acompanhar o processo de fissuração, sendo os limites de resistência do material e parâmetros da mecânica da fratura as bases da formulação, implemeada por meio de equações constitutivas em que a tensão tende a zero para deformações suficieemee grandes. Exemplos de tais comportameo de tensão vs. deformação são mostrados na Figura 3.8.

68 deslocameo deslocameo fratura tensão de tração elemeo eliminado tensão de tração Figura 3.7 - Represeação de uma fratura por elemeos removidos (adaptado de Song et al., 2008). s s dano microscópico fratura macroscópica dano microscópico fratura macroscópica (a) e (b) e 0 e c e 0 e c Figura 3.8 - Curvas de tensão vs. deformação para um material com dano exibindo: (a) amolecimeo elástico e (b) endurecimeo plástico (Song et al., 2008). e O modelo de fissuração distribuída adotado por Saharan e Mitri (2008), e utilizado em simulações de propagação de fraturas induzidas por explosão, é brevemee discutido. O critério de ruptura de Rankine detecta a iniciação da fratura, quando a tensão principal máxima excede a resistência à tração do material. Embora a iniciação da fratura seja baseada no modo I, subsequeemee o comportameo da fratura inclui análises em ambos os modos I e II, como descrito posteriormee. A principal vaagem deste modelo de fissuração distribuída é a decomposição da deformação em uma parcela elástica e em outra correspondee à fissuração, chamada de deformação de fraturameo, conforme Equação (3.1). Esta represeação de deformação corasta com os modelos tradicionais de fissuração distribuída, onde uma única componee de deformação é utilizada. É também

69 possível a inclusão de outras componees, como deformações plásticas e de fluência, expressa por: de el de de (3.1) onde dɛ é a deformação total, dɛ el é a deformação elástica represeando o comportameo da rocha não fraturada e dɛ é a deformação de fraturameo. O coínuo iacto ere as fraturas é assumido com um material isotrópico, homogêneo e linearmee elástico. As componees de deformação da Equação (3.1) são referidas no sistema global de coordenadas cartesianas, na situação 2D, como: e e T 11 e 22 12 (3.2) e em um sistema local de coordenadas (Figura 3.9) como: nn tt T e e e g (3.3) onde n denota a direção normal à fratura e t a direção tangencial. t tt 2 t nn ɛ 11 t 1 γ 12 ɛ 22 Figura 3.9 - Sistema local de coordenadas n, t. O conceito de fratura frágil de Hilleborg (1976) baseia-se no comportameo pós-fissuração na direção normal à superfície da fratura, comumee referida como modelo de amolecimeo. Nesta abordagem, assume-se que certa quaidade de energia (G I f) é absorvida pela formação da superfície da fratura, a qual pode ser

70 calculada com base nas tensões de tração st e deslocameos na direção normal un (Figura 3.10). I G s du (3.4) f s t n G I f u n u n u el n u n Figura 3.10 - Represeação da energia de fraturameo no modo I. Assumir que G I f é uma propriedade do material implica que, quando a parte elástica do deslocameo (u el n) é eliminada, a relação tensão vs. deslocameo na direção normal da fratura (u n = un - u el n) é fixa, independeemee do tamanho da amostra considerada. Na implemeação no método dos elemeos finitos determina-se o deslocameo relativo u n pela multiplicação da deformação da fratura na direção local n por um comprimeo característico h: u e h (3.5) n nn O valor deste comprimeo característico é geralmee considerado o comprimeo de um segmeo que cruza um elemeo finito de primeira ordem ou metade deste comprimeo para um elemeo finito de segunda ordem. Esta (vaga) definição do comprimeo característico é usada porque não se conhece em qual direção o material vai fraturar e, portao, não se pode escolher a priori a medida de um comprimeo em qualquer direção particular. Estimativas de comprimeo característico são apropriadas somee para elemeos finitos com lados de dimensões próximas, tendo em vista a dificuldade de sua definição.

71 Um modelo de amolecimeo pode ser descrito por uma função de deformação da fratura (Figura 3.11a) ou de deslocameo da fratura (Figura 3.11b). s s (a) e nn (b) u n Figura 3.11 - Curvas de pós-fissuração: a) tensão-deformação e b) tensão-deslocameo. Para incluir o comportameo da fratura no modo II, um modelo de retenção ao cisalhameo é considerado, com base na observação que o comportameo de cisalhameo é dependee da abertura da fratura. Este modelo define a tensão total de cisalhameo t como: II nn tt g t D e,e (3.6) onde g represea a abertura da fratura, e nn e e tt são as deformações de fraturameo nas direções normal e tangencial, respectivamee, e que depende da abertura da fratura e pode ser expressa por: II D enn, e tt G II D uma rigidez onde G é o modulo de cisalhameo do material não fraturado e e, e nn tt (3.7) é o fator de retenção de cisalhameo (Figura 3.12), que no modelo de lei de potência para apenas uma fratura (Rots e Blaauwendraad, 1989) é definido por: p e nn 1 - e e nn max p (3.8) e - nn 1 1 - e max

72 onde p e e max são parâmetros do material. A Equação (3.8) satisfaz os requisitos de α quando α 0 quando e max 0 (correspondee ao estado aes da iniciação da fratura) e enn e max (correspondee à completa separação ou não coesão). tende ao infinito e max e nn Figura 3.12 - Fator de retenção cisalhae dependee da abertura da fratura. No modelo de lei de potência as deformações podem ser descompostas em elástica e de fraturameo, quando os limites do parâmetro α são zero e infinito, respectivamee. Em outros modelos tradicionais de retenção ao cisalhameo, onde as deformações do material iacto e da fratura não são separadas, um fator de retenção β é definido ere os valores zero e um, por meio da Equação (3.9): (3.9) 1 O modelo da lei de potência de retenção ao cisalhameo da Equação (3.8) também pode ser escrito em termos do parâmetro β (Figura 3.13) como: p enn enn e 1 - (3.10) max onde e max é a deformação última do material correspondee a uma tensão igual a zero. Quando a componee de tensão de cisalhameo está associada a uma única direção de abertura de fratura (n ou t), a dependência em relação à abertura de fratura é obtida diretamee da Equação (3.6). No eao, se estiver associada a duas direções de abertura de fratura,n g e,t g, eão:

73 β p =1 5 100 e max e nn Figura 3.13 - Modelo de retenção ao cisalhameo no modelo da lei de potência. g,n,t t t g g (3.11) D D II,n II,t II, n onde D e G nn II, t e D e G tt e t D D (3.12) II, n II, t II D II, n II, t g D D Song et al. (2008) relatam que resultados obtidos pela Técnica de Eliminação de Elemeos (TEE) são extremamee sensíveis à malha de elemeos finitos, concluindo que a TEE não é uma ferramea adequada para análises do acompanhameo da propagação de fraturas, podendo ser eveualmee empregados em estudos de fragmeação. Devido à simplicidade de implemeação, esta técnica encora-se incorporada em vários programas comerciais de elemeos finitos como o LS DYNA e ABAQUS. 3.5 Elemeos enriquecidos EFEM Ortiz et al. (1987) modificaram a aproximação do campo de deformações em elemeos finitos para capturar descoinuidade fraca (Figura 3.14a) e melhorar a represeação da ocorrência de bandas de cisalhameo. Com base nessa ideia, Belytschko et al. (1988) implemearam duas linhas paralelas de descoinuidades fracas (Figura 3.14b) de modo que o elemeo foi capaz de coer uma banda localizada de deformações cisalhaes. Dvorkin et al. (1990) foram os primeiros

74 que desenvolveram uma metodologia para o caso de descoinuidades fortes 1 em elemeos finitos (Figura 3.14c), possibilitando que a propagação da fratura possa ser modelada sem necessidade da inclusão física da mesma na malha de elemeos finitos. (a) (b) (c) Figura 3.14 - Elemeo com (a) uma descoinuidade fraca; (b) duas descoinuidades fracas; (c) uma descoinuidade forte (Rabczuk, 2013). Neste tipo de elemeo finito enriquecido (EFEM na terminologia de língua inglesa) uma descoinuidade nos deslocameos é imposta por meio de graus de liberdade extras localizado no ierior do elemeo finito. A Figura 3.15a mostra a posição dos mesmos, indicada por um círculo preto no ierior dos elemeos. Esta abordagem requer que a fratura propague em um elemeo de cada vez. Se os graus de liberdade extras forem localizados nos nós do elemeo cortado pela fratura eão a formulação enriquecida é conhecida como XFEM método dos elemeos finitos estendidos (Figura 3.15b). EFEM XFEM ( e) GDL enriquecidos n nós + suporte dos modos enriquecidos Figura 3.15 - Enriquecimeo do: a) elemeo e b) nó (Oliver et al., 2006). 1 Se a descoinuidade refere-se ao campo de deslocameos é classificada como forte, caso ocorra no campo de deformações é denominada descoinuidade fraca.

75 Duas equações são estabelecidas na formulação de elemeos EFEM. Uma é a equação de equilíbrio das forças nodais, outra a equação de coinuidade das tensões no ierior do elemeo, garaindo que as tensões à direita e à esquerda da descoinuidade sejam iguais para assegurar o equilíbrio mecânico na descoinuidade. Computacionalmee, os elemeos EFEM têm como vaagem a possibilidade de eliminar a coribuição dos graus de liberdades no ierior do elemeo por meio de algoritmo de condensação estática. Várias versões de elemeos EFEM foram propostas na literatura. Todas têm em comum o fato que a aproximação do campo de deslocameos é enriquecida por meio de parâmetros adicionais para capturar a descoinuidade de deslocameos no ierior do elemeo. Adotam a hipótese de que o deslocameo resulta da composição de duas parcelas, uma coínua e outra descoínua, associadas a graus de liberdade da parte coínua e da parte descoínua do elemeo. A expressão (3.13) descreve a forma geral da aproximação dos deslocameos em um elemeo enriquecido: u I N d J i i i1 j1 j c j (3.13) onde: u : vetor de deslocameos; d : vetor de deslocameos nodais; c : vetor de graus de liberdade associados à descoinuidade dos deslocameos; N : funções de ierpolação; Φ : função que ierpola graus de liberdade associados à descoinuidade de deslocameos; I : número de nós do elemeo associados aos deslocameos nodais d; J : número de graus de liberdade do elemeo associados à descoinuidade de deslocameo c. As funções Φ podem assumir diferees formas para uma mesma formulação de elemeo enriquecido, cujo papel é distribuir os efeitos das descoinuidades dos deslocameos no ierior do elemeo finito.

76 Fries e Belystchko (2006) e Mohammadi (2008) distinguem os elemeos enriquecidos em extrínsecos e irínsecos. As formulações que fazem uso de graus de liberdade adicionais, como na expressão (3.13), são por eles classificadas como extrínsecas; as formulações que dispensam o uso de graus de liberdade adicionais são ditas irínsecas. Elemeos EFEM foram aplicados em muitos tipos de problema, conforme revisão apreseada por Jirasek (2000). Oliver et al. (2006) compararam elemeos EFEM e XFEM em várias situações, mostrando que ambas as formulações exibem geralmee a mesma precisão nos resultados. Elemeos EFEM não são aplicáveis para modelagem de poas de fratura e não represeam bem padrões complexos de fraturameo, como em simulações 3D ou ramificações e descoinuidades de trajetórias de fratura. 3.6 Outras técnicas alternativas O método dos elemeos finitos tem sido amplamee utilizado na análise de fraturas em estruturas por muitos anos. Suas desvaagens foram superadas pelo desenvolvimeo de novas formulações (EFEM, XFEM) e a abordagem é considerada madura e poderosa para análise de muitos problemas de engenharia. Dificuldades envolvendo a geração temporal de malhas levaram os pesquisadores ao desenvolvimeo de técnicas alternativas na solução de problemas de fraturameo dinâmico como o emprego de métodos sem malha. Outros exemplos de métodos numéricos são os seguies: Numerical Manifold Method NMM (Chen et al., 2006); Smoothing Particle Hidrodynamics SPH (Randles e Libersky, 1996; Rabcauk e Eibl, 2003; Fakhimi e Lanari, 2014); Método MEF-MED (Munjiza et al., 1995; Mitelman e Elmo, 2014); Discoinuous Galerkin Method DGM (Chevaugeon et al., 2005; Quiang e Gao, 2008); Multi-scale distinct lattice spring model M-DLSM (Zhao et al., 2011 e 2012).

77 3.7 Revisão de algumas simulações de fraturameo de rocha por explosão Melhorias recees nos modelos computacionais e o aumeo da capacidade de processameo forneceram os recursos necessários para a simulação de todo o processo de fraturameo e fragmeação de rochas por explosão de uma forma mais realista. Lima (2001) estudou o fraturameo dinâmico de um maciço rochoso isotrópico, homogêneo e de comportameo frágil usando elemeos finitos singulares. Ao longo do perímetro do furo de detonação foram admitidas fissuras de iniciação. Durae o processo de fraturameo, o modelo numérico considerou a geração automática de malhas de elemeos finitos e o emprego de critério baseado em fatores de iensidade de tensão (cálculo da iegral J na mecânica da fratura linear elástica). A modelagem desenvolvida por Lima (2001) desconsiderou a influência da pressão dos gases no ierior das fraturas. Cho e Kaneko (2004a, 2004b) e Cho et al. (2008) desenvolveram um código computacional para investigar as características da mecânica da fratura associada ao fraturameo de rochas por explosão. Um algoritmo de malha adaptativa para modelo de zona coesiva (MZC) foi utilizado para simular a propagação de fraturas, assumindo que a iniciação, propagação e a combinação das mesmas ocorrem ao longo dos coornos dos elemeos. Cho e Kaneko (2004a) analisaram diferees formas de pulsos de pressão nas paredes do furo e investigaram os efeitos da taxa de deformação dependee da resistência à tração de rochas heterogêneas. Cho et al. (2008) simularam a influência da pressão dos gases no fraturameo. Saharan e Mitri (2008, 2010) utilizaram a técnica de eliminação de elemeos com o modelo de fissuração distribuída para simular a fragmeação de rochas por explosão com o programa computacional Abaqus/Explicit. Um modelo do pulso de pressão foi desenvolvido para aproximar a carga de detonação. Saharan e Mitri (2010) investigaram numericamee a iniciação e propagação de fraturas em uma rocha granítica sob vários níveis de tensão de confinameo. O software comercial LS-DYNA emprega o método dos elemeos finitos com um esquema explícito de iegração no tempo, muito utilizado para estudar a

78 propagação dinâmica de fraturas em rochas. Dispõe de equações de estado que avaliam a variação da pressão no espaço e no tempo durae a simulação. Ma e An (2008) implemearam o modelo de dano de Johnson-Holmquist (J-H) e estudaram os diversos parâmetros que influenciam as fraturas induzidas como a velocidade de carregameo, a distância à face livre, tensões geostáticas e técnicas de corole de fraturas. Yu et al. (2009), com base no critério de escoameo de Von Mises, simularam o fraturameo de um maciço rochoso sob carregameo de uma carga explosiva. Jiang e Chen (2012) investigaram como estruturas periféricas podem ser afetadas por cargas de detonação ocorridas em solo ou rocha. Sazid et al. (2012) analisaram planos de fogo com dois furos de detonação em diferees tipos de rochas, enquao que Sjöberg et al. (2012) estudaram o efeito do tempo de retardo em modelo 3D considerando uma bancada com dois furos de detonação. ANSYS AUTODYN é outro programa computacional para análises explícitas especificamee voltadas para problemas de dinâmica não linear, incluindo a propagação de ondas. Ma et al. (1998) consideraram um modelo desacoplado de dano elástico e fluxo plástico em material rochoso, implemea ndo um modelo de dano coínuo com critério de resistência baseado no modelo plástico de Druer e Prager. Hao et al. (2002) utilizaram um modelo 3D de dano coínuo anisotrópico, considerando os efeitos de fraturas e juas preexistees no maciço rochoso. Outros estudos numéricos com o programa ANSYS AUTODYN foram realizados por Zhu et al. (2007a, 2007b), Zhu (2010), Zhou et al. (2010), dere outros. O método dos elemeos discretos também foi empregado em simulações envolvendo explosões em rocha. O programa Distinct Motion Code (DMC) simula o movimeo de rocha em operações de detonação com capacidade de acoplar o movimeo da rocha com o fluxo de gás (Taylor e Preece, 1992; Donze et al., 1997). A propagação transiee de ondas de tensão não pode ser modelada com este código, utilizando-se de programa pelo método dos elemeos finitos ou de diferenças finitas para a obtenção da solução que, em seguida, é transferida para um número finito de partículas que modelam o maciço rochoso como um material descoínuo. As partículas de rocha são tratadas como esferas e a mecânica da colisão corola sua ieração. Com o programa computacional UDEC (Universal Distinct Eleme Code), Firth e Taylor (2001) e Zeinab et al. (2013) investigaram

79 mecanismos de fraturameo dinâmico por explosão, enquao Wang e Konietzky (2009) acoplaram os métodos de elemeos finitos (LS_DYNA) e de blocos discretos (UDEC) para represeação do maciço rochoso como blocos e as descoinuidades iernas tratadas como condições de coorno ere blocos. A combinação dos métodos dos elemeos finitos e dos elemeos discretos (MEF- MED) está presee em vários códigos computacionais para simular o desmoe de rocha por explosão (Munjiza et al., 1995; Mitelman e Elmo, 2014). Fakhimi e Lanari (2014) desenvolveram o código CA2, que é um modelo híbrido do método dos elemeos discretos MED e SPH (Smoothing Particle Hidrodynamics) para estudar os efeitos da onda de choque e da expansão dos gases em danos na rocha. O código DMC_BLAST é uma versão modificada do programa computacional DMC onde a resistência dinâmica à tração da rocha é modelada por meio de ligações ere as partículas. (Preece e Chung, 1998; Mortazavi e Katsabanis, 2001; Ning et al., 2010). O DMC_BLAST considera principalmee o efeito da pressurização dos gases de explosão e não simula a propagação de ondas de tensão, assumindo que a rocha já está fragmeada devido à ocorrência de descoinuidades pré-existees. Ruest et al. (2006) apresearam uma aplicação com o programa computacional Particle Flow Code 3D (PFC3D) na simulação do desmoe de rocha por explosão. No estudo, um código de detonações explosivas não ideais (Vixen-N), desenvolvido pela African Explosives Limited (AEL), foi usado em processameo paralelo com o programa PFC3D. O modelo foi chamado Hybrid Stress Blasting Model (HSBM), com as forças sobre a parede do furo calculadas a partir de pressões locais de gás, obtidas com o código Vixen-N. Falhas de compressão e de tração nas ligações ere as partículas resultam em fraturas. Os gases de detonação podem penetrar nas fraturas, estendendo-as e movimeando as partículas, simulando ocorrência de fragmeação do material (Sellers et al., 2012).