KELIENE MARIA SOUSA DE JESUS UMA CONTRIBUIÇÃO AO ESTUDO ELETROMAGNÉTICO DE UM REATOR ELÉTRICO TRIFÁSICO

KELIENE MARIA SOUSA DE JESUS UMA CONTRIBUIÇÃO AO ESTUDO ELETROMAGNÉTICO DE UM REATOR ELÉTRICO TRIFÁSICO /005

UMA CONTRIBUIÇÃO AO ESTUDO ELETROMAGNÉTICO DE UM REATOR ELÉTRICO TRIFÁSICO KELIENE MARIA SOUSA DE JESUS Trabalho de Conclusão de curso apresentado ao Curso de Graduação em Engenharia Mecânica da UFPA, como requisito para obtenção do grau de Engenheiro, orientado pelo Prof. Dr.Newton Sure Soeiro. /005

UMA CONTRIBUIÇÃO AO ESTUDO ELETROMAGNÉTICO DE UM REATOR ELÉTRICO TRIFÁSICO Keliene Maria Sousa de Jesus Avaliado por: Conceito: Prof. Dr Newton Sure Soeiro Conceito: Prof Dr Gustavo da Silva Vieira de Melo Conceito: Eng. Esp. Luiz Otávio Sinimbú de Lima Conceito: Eng.Alan Rafael Menezes do vale Julgado em: 17 /0 / 006 Conceito: 1/005

Ao meu filho João Vitor, a minha mãe e aos meus irmãos.

AGRADECIMENTOS A Deus, que sempre me ilumina e me dá forças para enfrentar certas dificuldades da vida Ao Professor Doutor Newton Sure Soeiro pela orientação, e contribuições não apenas na elaboração deste trabalho, como também na minha formação acadêmica. Ao Grupo de Vibrações e Acústica da UFPA. À Banca Examinadora, pela presteza no julgamento deste trabalho. À empresa ELETRONORTE pelo fornecimento de materiais didáticos e de seus computadores que muito importante na elaboração deste trabalho. Meus familiares que sempre me deram apoio e incentivo. Ao Engº Mecânico Luiz Otávio Sinimbú de Lima pela preocupação em conseguir recursos tais como computadores e softwares que foram fundamentais na obtenção dos resultados desse trabalho. A todas as pessoas não citadas, mas que de alguma forma me ajudaram nesses cinco anos de graduação.

SUMÁRIO Pág CAPÍTULO 1-INTRODUÇÃO 1.1 Introdução Geral... 1 1. Objetivo Geral... 1.3 Objetivo Específico... 1.4 Estrutura do Trabalho... 3 1.5 Descrição do Objeto de Estudo (Reator Elétrico Trifásico)... 3 1.5.1 Introdução... 4 1.5. Descrição geral... 5 1.5.3 Partes constituintes... 6 CAPÍTULO FUNDAMENTAÇÂO TEÓRICA.1 Eletromagnetismo... 8. Magnetismo... 9..1 Campo Elétrico (E)... 10.. Campo Magnético (H)... 11...a Campo Magnético Produzido por uma Corrente... 11...b Campo Magnético e Vetor de Indução... 13...c Campo Magnético (H) em uma Espira Circular... 14...d Campo Magnético (H) em um Solenóide... 15..3 Densidade Superficial de Fluxo Magnético... 16..4 Fluxo Magnético e Densidade de Fluxo Magnético... 17..5 Permeabilidade Magnética... 18..5.a Permeabilidade Magnética dos Materiais Ferromagnéticos... 18..6 Forças Magnéticas... 19..6.a Regras para Determinar o Sentido das Forças... 19..6.b Força Magnética Sobre Correntes... 1..6.c Força Magnética Sobre Fios de Comprimento Infinitesimal...

..6.d Força Magnética Sobre Fios Possuindo Correntes... 3..7 Exemplo de Cálculo da Força Magnética... 5.3 Magnetostática... 30.3.1 As Equações de Maxwell... 30.3. As Equações de Maxwell na Magnetostática... 31 r.3..a A Equação rot H = r J... 31 r r.3..b A Equação div B = 0... 33 r r..6.c A Equação rot E = 0... 33 CAPÍTULO 3 - MODELAGEM DO REATOR 3.1 Introdução ao Método de Elementos Finitos e Apresentação do Software Ansys... 34 3.1.1 Análise de Elementos Finitos (FEA)... 34 3.1. Etapas Básicas da Análise... 35 3. Análise Magnetoestática Através do Método de Elementos Finitos... 37 3.3 Análise Magnética Estática para um Modelo Bi-Dimensional... 41 3.4 Análise Magnética Estática para um Modelo Tri-Dimensional... 48 CAPÍTULO 4 - ANÁLISE MAGNÉTICA PARA O REATOR 4.1 Análise dos Resultados... 54 4.1.1 Definição do Modelo do Reator... 54 4.1. Construção do Modelo do Reator... 56 4.1.3 Definição dos Elementos e Propriedades do Material... 57 4.1.4 Malhagem do Modelo... 58 4.1.5 Geração das Bobinas... 59 4.1.6 Aplicação das Condições de Carregamento... 51 4.1.7 Obtenção da Solução... 6 4.1.7.a Método de solução... 6 4. Modelo Bidimensional do Reator... 6 4..1 Vetores de Fluxo Magnético... 6

4.. Contornos de Fluxo Magnético... 63 4..3 Gráfico do Fluxo de Linha no Modelo... 63 4..4 Distribuição dos Vetores de Força... 64 4..5 Contornos de Força... 64 4..6 Cálculo da Força Total Atuando na Armadura... 65 4.3 Modelo Tridimensional do Reator... 65 4.3.1 Vetores de Fluxo Magnético... 65 4.3. Contornos de Fluxo Magnético... 66 4.3.3 Distribuição dos Vetores de Força Atuando na Armadura... 66 CAPÍTULO 3-MODELAGEM DO REATOR 5.1 Conclusões... 68 5. Recomendações para Trabalhos Futuros... 69 BIBLIOGRAFIA... 70 ANEXO 71

LISTA DE FIGURA Pág Figura.1 Comportamento de limalha de ferro após a retirada de um imã... 8 Figura. Distribuição vetorial do campo elétrico envolvendo uma carga elétrica... 10 Figura.3 Figura.4 (a) Campo magnético gerado por pólos oposto de um imã (b) Campo magnético por pólos de dois imãs... A Lei de Biot-Sarvat expressa a intensidade e campo magnético dh produzido por um elemento diferencial de corrente de corrente IdL... 11 1 Figura.5 Direção do campo usando a regra da mão direita... 1 Figura.6 Distribuição de linhas de campo magnético no interior de uma espira... 13 Figura.7 Campo magnético para um solenóide retilíneo... 14 Figura.8 Linhas de forças de campo nos espaços compreendidos entre as espiras... 15 Figura.9 Condutor retilíneo percorrido por uma corrente... 16 Figura.10 Fluxo magnético em superfície S plana... 17 Figura.11 Fluxo magnético em uma superfície S não plana... 17 Figura.1 Regra dos três dedos da mão direita... 19 Figura.13 Regra da palma da mão direita... 1 Figura.14 Força magnética sobre um fio... 1 Figura.15 Força magnética sobre um segmento.... Figura.16 Força sobre um fio com qualquer curvatura... 4 Figura.17 Solenóide de geometria cilíndrica.. 5 Figura.18 Gráfico da corrente elétrica variando no tempo e o espectro de freqüência.. 9 Figura.19 Origem do campo magnético: (1) corrente; () Imã permanente... 30 Figura.0 Fio infinito percorrido por uma corrente... 3 Figura 3.1 Entidade de modelos sólidos usados no ANSYS.... 35 Figura 3. Representação de um sólido e um modelo malhado no ANSYS.... 36 Figura 3.3 Modelo -D do solenóide atuador.... 4 Figura 3.4 Modelo numérico do solenóide atuador.... 4 Figura 3.5 Geometria do elemento PLANE 13... 43 Figura 3.6 Definição das propriedades no propriedades no modelo numérico... 44 Figura 3.7 Modelo malhado... 44 Figura 3.8 Definição da componente armadura... 45 Figura 3.9 Aplicação do carregamento... 45

Figura 3.10 Distribuição das linhas de densidade de fluxo... 46 Figura 3.11 Distribuição dos vetores de densidade de fluxo... 46 Figura 3.1 Distribuição de fluxo no modelo completo do atuador... 47 Figura 3.13 Distribuição da força na armadura do atuador... 47 Figura 3.14 Resultados da força total que atua na armadura... 48 Figura 3.15 Modelo do solenóide atuador... 48 Figura 3.16 Modelo numérico do solenóide atuador sem a região do ar... 49 Figura 3.17 Geometria usada na análise considerando a região do ar... 49 Figura 3.18 Curva B-H usada para todos os componentes exceto o ar... 50 Figura 3.19 Discretização do modelo... 50 Figura 3.0 Modelo numérico completo e a bobina... 51 Figura 3.1 Condições de carregamento na arma... 51 Figura 3. Vetores do fluxo magnético... 5 Figura 3.3 Contornos do fluxo magnético... 53 Figura 3.4 Resultados da força que atua na armadura do solenóide... 53 Figura 4.1 Modelo numérico da armadura e as chapas de aço silício... 56 Figura 4. Modelo numérico representado a região do ar... 57 Figura 4.3 Geometria do SOLID96... 57 Figura 4.4 Curva B-H do aço silício... 58 Figura 4.5 Discretização do ar... 58 Figura 4.6 Discretização da armadura e chapas de aço silício... 59 Figura 4.7 Geometria do elemento SOURCE 36... 60 Figura 4.8 Bobinas usadas na modelagem numérica... 60 Figura 4.9 Bobinas destacando os sentidos das correntes... 61 Figura 4.10 Condições de carregamento na armadura... 61 Figura 4.11 Distribuições de vetores de fluxo magnético... 6 Figura 4.1 Contornos de fluxo magnético... 63 Figura 4.13 Fluxo de linhas no modelo... 63 Figura 4.14 Distribuição dos vetores de forças... 64 Figura 4.15 Contornos de forças no modelo... 64 Figura 4.16 Cálculo da força total... 65 Figura 4.17 Distribuição dos vetores de densidade de fluxo magnético... 65

Figura 4.18 Contornos de densidade de fluxo magnético... 66 Figura 4.19 Distribuição dos vetores de força... 66 Figura 4.0 Cálculo da força total atuando na armadura... 67 LISTA DE TABELAS Pág Tabela 1.1 Especificações técnicas do reator elétrico trifásico... 5 Tabela.1 Relação B-H para materiais ferromagnéticos... 6 Tabela 3.1 Propriedades dos materiais que constituem o núcleo do reator... 43 Tabela 4.1 Parâmetros usados para a construção das bobinas... 59 Fluxograma.1 LISTA DE FLUXOGRAMA Diagrama sobre a divisão do eletromagnetismo em domínio de baixas e altas freqüências... Pág 10 LISTA DE FOTOS Pág Foto 1.1 Foto de reator derivação trifásico... 4 Foto 4.1 Fotos do reator e do núcleo magnético na fábrica... 55 Foto 4. Fotos do núcleo magnético... 55 Foto 4.3 Fotos da chapas de aço silício... 56 SIMBOLOGIA φ Fluxo Magnético µ Permeabilidade magnética R T R g R s Relutância Total Relutância do entreferro Relutância da luva

RESUMO Dentro do atual cenário do sistema elétrico brasileiro, em que o consumo de energia elétrica aumenta a cada dia, necessitando de novos e urgentes investimentos em geração e transmissão de energia, aumenta cada vez mais a importância do domínio e conhecimento operacional dos equipamentos de potência, evitando assim interrupções (não-programadas e intempestivas) no fornecimento de energia elétrica (SOEIRO et al. 005). Em virtude disso, se fez necessário realizar um estudo a fim de caracterizar o comportamento eletromagnético de reatores derivações encontrados nas subestações da Região Norte. Nos últimos anos, foram realizados estudos que comprovaram que os núcleos desses tipos de reatores provocam forças que atuam nas paredes dos mesmos, fazendo com que, dentre outros fatores sejam responsáveis pelo elevado nível vibração e ruído transportados via fluido e estrutura, presente nesses equipamentos. Dessa forma, esse modela um reator através do método de elementos finitos usando o software ANSYS para a determinação da força eletromagnética, haja vista que a caracterização do campo magnético é muito importante, pois eventuais falhas podem estar relacionadas com o comportamento do campo magnético. Além disso, esse trabalho gera resultados que poderão ser aplicados em uma modelagem vibro-acústica completa, levando em consideração os efeitos eletromagnéticos. Palavras chaves: Reatores, Análise eletromagnética, Elementos Finitos, Força Eletromagnética, CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO 1.1 - Introdução Geral Nos últimos anos na região norte, assim como em todo o país, o consumo de energia elétrica vem crescendo em decorrência da necessidade de levar este recurso para áreas que até então se encontravam desprovidas deste serviço. A ELETRONORTE empresa

responsável pelo sistema de transmissão de energia na região, vem desenvolvendo inúmeros trabalhos, a fim de atender a demanda de energia que lhe é exigida, garantindo qualidade na prestação de seus serviços. Sabe-se que nas subestações da região, diversos são os equipamentos responsáveis pelo sistema de transmissão e geração de energia, dos quais pode-se destacar os de potência como reatores elétricos e transformadores considerados equipamentos essenciais para o sistema elétrico (SOEIRO et al., 00). Neste trabalho tratar-se-á mais especificamente dos reatores elétricos, que são empregados para controlar as tensões nos barramentos (cabos ou barras que servem para interligar linhas dentro de uma subestação), em regime permanente e para redução das sobretensões, provocadas pela formação de um capacitor entre a terra, o ar e a linha de transmissão, além dos surtos de manobra, que são mudanças bruscas no regime energético. Tais equipamentos são usados também na compensação de reativos ou redução de corrente de curto-circuito. Com base em um levantamento histórico sobre os reatores elétricos da subestação de Ruropólis, constatou-se que esses equipamentos vêem apresentando problemas operacionais e estruturais, decorrentes dos elevados níveis de vibrações e ruídos. Tais problemas estão relacionados com a excitação eletromagnética do núcleo, pois a não linearidade da lei da magnetostricção explica a presença de harmônicos na vibração do núcleo. Dessa forma quando um determinado reator é ligado a uma rede elétrica de freqüência f, o núcleo do mesmo fica sujeito a uma vibração mecânica complexa de freqüência f. Essa vibração resulta da superposição de vibrações senoidais cujas freqüências são harmônicas pares (10-40-480...Hz) da freqüência da linha elétrica em 60Hz (GUARALDO et al., 1997). Vale ressaltar também que o ruído audível é causado

principalmente pela magnetostricção do núcleo, pois os harmônicos das vibrações podem ser perceptível ao ouvido humano. Com base nisso, se faz necessária realizar uma modelagem de um reator elétrico, com o intuito se caracterizar preliminarmente o comportamento eletromagnético desse equipamento. Essa modelagem foi feita através o método de elementos finitos (MEF) usando o software ANSYS. Esse método é um procedimento numérico usado para resolver problemas da engenharia na área da mecânica dos sólidos, mecânica dos fluidos, campo elétrico, condução de calor, magnetostática, etc. Na análise eletromagnética do reator, foi definido um modelo numérico que representa apenas um quarto da geometria original, considerando as três bobinas, onde por simetria os resultados serão rebatidos para o modelo completo. A análise estática do modelo foi baseada nos princípios da magnetostática, usando as equações de Maxwell para determinar o campo magnético, a densidade de fluxo magnético e a força magnética provocada pelo núcleo do reator. Dessa forma, os valores obtidos de força são os valores RMS, porém, como no caso real o reator funciona com corrente é alternada, o valor de pico da força, pode ser calculado através da formulação ( Fpico = F X ). rms 1. - Objetivo Geral Este trabalho tem como objetivo fazer um estudo preliminar sobre a caracterização do comportamento eletromagnético de um reator elétrico trifásico, através do método de elementos finitos, com o intuito de determinar a força eletromagnética que atua na estrutura do mesmo.

1.3 - Objetivos Específicos Os objetivos específicos do trabalho consistem em: Fazer um breve estudo sobre os fenômenos eletromagnéticos; Definir as principais características físicas do reator e fazer um levantamento das informações técnicas que serão usadas na modelagem; Definir um modelo numérico que melhor represente o caso a ser analisado, respeitando os recursos computacionais disponíveis; Realizar uma análise magnética estática, a fim de determinar as forças que atuam na estrutura do reator, oriundas da excitação eletromagnética. 1.4 - Estrutura do Trabalho Esse trabalho está disposto de 5 capítulos, os quais serão, a seguir, brevemente comentados. Capítulo 1 - Toda a primeira parte desse trabalho é uma introdução. Seu objetivo principal é despertar o interesse do leitor e deixá-lo a par do tema que será discutido, mostrando ainda a importância que o trabalho tem para o sistema elétrico da região. Neste capítulo, faz - se um breve comentário sobre a importância de se fazer um estudo para caracterizar o comportamento eletromagnético do núcleo dos reatores elétricos, usando o método de elementos finitos. Além disso, este capítulo define toda a metodologia que será desenvolvida no trabalho para que se obtenham os resultados esperados. Por fim, será mostrado o funcionamento dos reatores elétricos trifásicos, com suas partes constituintes, a fim de esclarecer as dúvidas existentes sobre tais equipamentos. Capítulo - Neste capítulo, partes dos princípios estudados estarão relacionados com os fenômenos eletromagnéticos, em particular, o princípio de campo magnético produzido pelas correntes elétricas em sua definição e efeitos. Esse estudo se faz necessário, pois serve de base para compreensão da teoria existente na realização de uma análise eletromagnética

usando o método de elementos finitos, discutida nesse trabalho. Dessa forma, serão mostradas as equações de Maxwell que sustentam a teoria da magnetostática, considerando as condições de contorno necessárias para a obtenção dos resultados corretos. Capítulo 3 - Esta parte constitui verdadeiramente o problema em questão, e está subdividida em três partes: a primeira, que versa sobre a teoria de elementos finitos voltada para análises eletromagnéticas, seguindo a parte que destaca dois exemplos para determinação da força magnética em um problema bidimensional e um segundo tridimensional, ressaltando que todos esses exemplos foram relevantes para a aplicação do caso real. Em uma última parte desse capítulo, será mostrada a modelagem completa do reator, definindo sua geometria, a discretização do modelo e a resolução da análise propriamente dita. Capítulo 4 - Nesta seção, serão mostrados os resultados da análise eletromagnética através do método de elementos finitos, usando o software ANSYS. Esses resultados serão ilustrados com figuras e tabelas possibilitando uma melhor visualização e compreensão dos mesmos. Capítulo 5 - Este é um capítulo onde serão discutidos os resultados obtidos durante a análise. As discussões serão feitas com base nas teorias estudadas sobre os fenômenos eletromagnéticos, de onde sairão conclusões que ajudarão na elaboração de outros trabalhos. 1.5 Descrição do Objeto de Estudo (Reator Elétrico Trifásico) 1.5.1 - Introdução Em sistemas de potência, os reatores de derivação são empregados para controlar as tensões nos barramentos (cabos ou barras que servem para interligar linhas dentro de uma subestação), em regime permanente e para redução das sobretensões, provocadas pela formação de um capacitor entre a terra, o ar e a linha de transmissão, além dos surtos de manobra, que são mudanças bruscas no regime energético. Tais equipamentos são usados também na compensação de reativos ou redução de corrente de curto-circuito. Isto é conseguido com reatores com núcleo de ar ou com reatores com núcleo de ferro e entreferros (Ver Fig 1.1).

Foto1.1 - Reator derivação trifásico na base de operação. Os reatores possuem normalmente núcleo de ar, o qual pode estar colocado em um meio refrigerante de óleo ou mesmo de ar, e podem ser de uso interno ou externo. Os reatores de núcleo de ar imerso em óleo podem ser usados para qualquer nível de tensão em instalações internas e externas. Entre as vantagens dos reatores imersos em óleo estão incluídas: Não produz nenhum campo magnético que cause aquecimento ou forças magnéticas em reatores adjacentes, ou estruturas de metais no momento que o curto-circuito é produzido; Alta capacidade térmica. 1.5. - Descrição Geral: Características Principais: Os reatores são previstos para operação ao tempo(ar livre) nas indicadas nas especificações técnica mostradas na tabela 1.1. Tabela 1.1 Especificações técnicas do Reator Elétrico Trifásico Especificações Técnica N de Fases 3

Potência 30 MVAr Tensão Freqüência Normas de Referência Peso Total (com óleo) Transporte sem óleo Peso do Óleo Corrente Nominal 4 kv 60 Hz ABNT 63.00 kg 38.800 kg 17.700 kg Função: de curto-circuito. Os reatores são usados para compensação de reativos ou redução de corrente Classificação: Baseado na sua localização e uso, os reatores podem ser classificados em: Reator série; Reator shunt; Reator de aterramento ou bobina de supressão de arco; Reator de amortecimento para bancos de capacitores; Reator para filtros; Reator de núcleo saturado; Tipos: monofásico x trifásicos. A escolha entre reatores trifásicos e bancos de unidades monofásicas depende de estudos técnico econômicos, que devem considerar os fatores: Custos de investimentos; Confiabilidade necessidade de unidade reserva;

Limitações de transporte (peso e altura máxima); Limitações de capacidade de fabricação. Em geral, nos sistemas brasileiros, os reatores de alta tensão são formados por bancos de unidades monofásicas, em estrela aterrada. Os reatores de terciário são trifásicos, em estrela não aterrada. 1.5.3 - Partes Constituintes: Núcleo e Armaduras: O núcleo é constituído de chapas de aço-silício de grãos orientados, laminadas a frio, possuindo como características principais uma alta permeabilidade e baixas perdas específicas. A principal diferença em relação aos transformadores, é que as colunas com enrolamentos são laminadas em sentido radial e possuem entreferros. O fluxo nos entreferros é distorcido e a laminação radial garante que suas linhas estejam sempre contidas nos planos das lâminas, o que produz as perdas no ferro. Os entreferros provocam, ainda, o aparecimento de forças nas seções do núcleo, dando origem a vibrações, que são transmitidas ao tanque. A estrutura de sustentação do núcleo deve levar em conta estas forças e a possibilidade da ocorrência de ressonâncias. Enrolamentos: Os condutores utilizados são formados de cobre eletrolítico com cantos arredondados. Em função das necessidades definidas pelos valores das solicitações eletrodinâmicas calculadas nas condições de curto-circuito, podem ser utilizados condutores com vários graus de dureza e, conseqüentemente, com diferentes características mecânicas. Os enrolamentos dos reatores são semelhantes aos dos transformadores, podendo ser: em disco, em disco entrelaçado, helicoidal ou em camadas. Isolamento: O isolamento dos reatores é constituído basicamente de óleo e celulose (papel e

prespam) e sua estrutura é semelhante àquela do isolamento dos transformadores. Tanque e Conservador: Em chapas de aço ASTM-A36, com exceção das partes onde se torna necessário o uso de aço não-magnético para limitar sobre-aquecimentos localizados em presença de condutores de alta corrente. Sistema de resfriamento: O sistema de resfriamento utilizado é o mais simples para esta finalidade, utilizando radiadores com circulação natural de óleo e de ar. CAPÍTULO : FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.1 Magnetismo Segundo a História, a palavra magnetismo tem como origem Magnésia, nome de uma antiga cidade no continente asiático, de onde há registro da descoberta de um mineral que tinha a propriedade de atrair partículas de ferro. Tal minério é o óxido de ferro (Fe 3 O 4 ), chamado de magnetite (MARTIGNONI, 1977).

O fenômeno do magnetismo está estritamente ligado à eletricidade. Embora em um ímã comum possa parecer que funciona sem qualquer fonte de corrente elétrica considerando o aspecto atômico, ele se deve ao movimento de cargas elétricas. A mesma propriedade pode ser adquirida, por meio de tratamento especial, de maneira notável, pelo ferro, gusa e aço e, em pequena proporção, pelo níquel, cromo, etc. Estas propriedades particulares e todas as outras derivadas constituem o complexo dos fenômenos magnéticos. Chamam-se corpos magnéticos aos que podem adquirir propriedades magnéticas; corpos magnetizantes, magnetos ou imãs aqueles que já as possuem, por natureza ou por tratamentos especiais a que forem sujeitos. A propriedade do aço, de ficar magnetizado por muito tempo, torna possível a construção de imãs aptos ao estudo experimental das ações magnéticas. Ao ser encostado um destes imãs na limalha de ferro e depois retirado sem sacudi-lo, pode se observar que nas suas extremidades fica ligada uma notável quantidade de limalha, a qual vai diminuindo nas zonas centrais do magneto, até deixar uma zona completamente livre que é chamada linha neutra de acordo com a Fig..1 (MARTIGNONI, 1997). Figura.1 Comportamento de limalha de ferro após a retirada de um imã. A explicação desse fenômeno leva a concluir pela existência de um agente que atua sobre todos os corpos magnetizados, ou que podem assumir o estado magnético por indução, cuja essência consiste de um campo de forças denominado de campo magnético, o qual será mais tarde discutido neste capítulo.. - Eletromagnetismo A eletricidade e o magnetismo são aspectos do mesmo fenômeno, o eletromagnetismo. Uma característica que os distingue: no magnetismo não existe conceito

equivalente à carga elétrica, embora exista o conceito de pólo magnético com propriedades parecidas às da carga elétrica; enquanto na eletricidade existem cargas opostas, positivas e negativas, e partículas elementares portadoras dessas cargas, no magnetismo não há pólos magnéticos isolados nem partículas portadoras de pólos magnéticos. Dessa forma, quando um corpo está eletricamente carregado existe um campo elétrico ao seu entorno, da mesma forma que ao redor de um imã existe um campo magnético (GASPAR, 00). O formalismo do eletromagnetismo é extremamente simples e baseado principalmente nas quatro equações de Maxwell (BASTOS, 1996). Com isso, este trabalho parte dessa idéia, onde será apresentado o eletromagnetismo em poucas equações. sendo eles: Existem dois domínios no eletromagnetismo que incluem as equações de Maxwell, O domínio de alta freqüência, o qual trata de análise de ondas eletromagnéticas e a propagação de energia pelas mesmas (freqüências superiores a algumas dezenas de khz). O domínio das baixas freqüências que estuda a maior parte dos dispositivos eletromagnéticos como, por exemplo: Motores elétricos, relés, transformadores, reatores elétricos, disjuntores, e outros.(freqüência não superior a algumas dezenas de khz). Sendo este domínio considerado a situação quase - estácionária. Neste trabalho, será feito um estudo sobre o comportamento eletromagnético de um reator elétrico, o que circunscreve o interesse no domínio de baixas freqüências, ou seja, pelo eletromagnetismo aplicado à eletrotécnica clássica. A seguir, é mostrado um diagrama no qual o eletromagnetismo é dividido segundo os domínios apresentados, sendo este trabalho baseado nas teorias da magnetostática usando as equações de Maxwell. ELETROMAGNETISMO (eqs. Maxwell) ELETROMAGNETISMO Baixas Freqüências (Eletrotécnica) ELETROMAGNETISMO Altas Freqüências (Ondas) Eletrostática MAGNETISMO MAGNETOSTÁTICA MAGNETODINÂMICA

Fluxograma.1 Diagrama sobre a divisão do eletromagnetismo em domínio de baixas e altas freqüências. As equações de Maxwell são um grupo de equações diferenciais lineares sobre o tempo e o espaço aplicadas às grandezas ditas eletromagnéticas. A estas equações são atribuídos princípios baseados em experiências desenvolvidas sobre o assunto. Nas equações de Maxwell as grandezas eletromagnéticas usadas são: Campo Elétrico; Campo Magnético e Indução Magnética; Densidade superficial de Corrente; Permeabilidade magnética...1 - Campo Elétrico Campo elétrico é definido como sendo a região que envolve uma carga ou um conjunto de cargas Q sem movimento no espaço (BASTOS, 1996). O campo elétrico é uma grandeza vetorial e tem o caráter de um campo de vetores, como mostrado na Fig... Figura. Distribuição vetorial do campo elétrico envolvendo uma carga elétrica... - Campo Magnético O conceito de campo magnético surgiu com observações feitas em imãs, onde verificou - se que ao redor deles produziam se regiões que foram chamadas de campo magnético. As Figs..3a e.3b mostram o comportamento de limalhas de ferro espalhadas sobre folhas de papel que estão sobre imãs. Na Fig..3a tem-se o campo magnético gerado

por pólos opostos de um imã em forma de barra e na Fig..3b o campo é gerado por pólos opostos de dois imãs. Figura.3 a) Campo Magnético gerado por pólos opostos de um imã. b) Campo Magnético gerado por pólos de dois imãs. Portanto, com base nisso, define-se campo magnético como uma zona do espaço onde os corpos magnetizados tendem apresentar uma orientação fixa e determinada, revelando a existência de um campo especial de forças que age sobre os corpos magnetizados. A intensidade de campo magnético é, então, uma grandeza vetorial definida, em cada ponto, como a força que solicita uma massa magnética unitária colocada neste ponto. Neste trabalho será usado o conceito de campo magnético estacionário aplicado nas equações de Maxwell. A fonte de campo Magnético estacionário pode ser um imã permanente, um campo elétrico variando linearmente com o tempo, ou uma corrente contínua. No caso do imã permanente os parágrafos anteriores fazem uma breve explicação do seu comportamento. Já o campo elétrico não será aqui tratado. As relações dizem respeito ao campo magnético produzido por uma corrente....a - Cálculo do Campo Magnético (H) Produzido por uma Corrente Para determinação do campo magnético devido à corrente elétrica, foram estabelecidas várias leis muito importantes na física. Uma delas é chamada Lei de Biot Savart, também chamada de lei elementar de Laplace. Como explicação dessa Lei pode -se pensar num elemento diferencial de corrente como a pequena seção de um condutor filamentar, onde o condutor filamentar é o caso limite de um condutor cilíndrico de seção reta circular quando o raio tende a zero. Supondo-se para esse caso, que a corrente I esteja fluindo

em um vetor elementar diferencial de comprimento do filamento, dl, a lei experimental de Biot-Savart estabelece então que, em qualquer ponto P, a intensidade do campo magnético produzido por um elemento diferencial é proporcional ao produto da corrente pela magnitude do comprimento diferencial e pelo seno do ângulo que liga o filamento e a linha que conecta o filamento ao ponto P, onde o campo é desejado. Figura.4 A lei de Biot-Savart expressa a intensidade e campo magnético dh produzido por um elemento diferencial de corrente IdL. A intensidade do campo magnético é inversamente proporcional ao quadrado da distância do elemento diferencial ao ponto P. A direção da intensidade do campo magnético é normal ao plano que contém o filamento diferencial e a linha traçada do filamento ao ponto P. De duas normais possíveis, aquela que deve ser escolhida é a que estiver na direção dada pela regra da mão direita (ver Fig..5), aplicada de dl para a linha que liga com o filamento até o ponto P. P Figura.5 Direção do campo magnético usando a regra mão direita. Usando unidades SI, a constante de proporcionalidade é 1/4π. A lei de Biot- Savart pode ser representada usando a notação vetorial.

dh = IdL a X R 4πR (.1) As unidades da intensidade de campo magnético H são evidentemente amperé por metro, (A/m). A geometria está ilustrada na Fig..4. Os índices podem ser usados para indicar o ponto ao qual as quantidades das equações.1 e. se referem. Se localizar o elemento de corrente no ponto 1 e descrever o ponto P no qual o campo deve ser determinado como ponto, então: dh I dl Xa 1 1 R1 = (.) 4πR 1...b - Campo Magnético (H) em uma Espira Circular Supõe - se agora, de forma semelhante ao que foi tratado para definição de campo magnético, que a corrente percorra um condutor em forma de espira. Neste caso, para melhor compreender a distribuição das linhas de força do campo magnético, será considerado cada elemento infinitesimal do condutor da espira como sendo retilíneo, dessa forma serão usados os mesmos princípios antes mencionados. Aplicando a regra da mão direita a cada um destes elementos infinitesimais se verá que eles exercem ações magnéticas igualmente dirigidas em todos os pontos internos da espira, onde são dirigidos para cima. No interior da espira, sendo as ações magnéticas concordes, seus efeitos somam-se (MARTIGNONI, 1977). A Fig..6 mostra a distribuição das linhas num plano diametral de uma espira. Figura.6 Distribuição de linha de campo magnético no interior de uma espira.

...c - Campo Magnético (H) em um Solenóide Com base no que foi explanado para a distribuição de linhas de força do campo magnético produzido por uma espira circular, pode-se analisar o campo magnético para um solenóide, o qual é composto por espiras iguais e próximas umas das outras, coaxiais, percorridas por correntes de igual intensidade. A linha que une os centros dessas espiras constitui o eixo do solenóide. Como base de exemplo, será considerado o caso mais simples, que é constituído pelo solenóide retilíneo, indicado na Fig..7. H 1 H B Figura.7 Campo magnético para um solenóide retilíneo. Se o sentido das correntes, de igual intensidade, que atravessam as espiras é como indicado na Fig..7, o campo magnético, por ele produzido, é dirigido no sentido H em todos os pontos internos do solenóide e, no sentidos H1, oposto ao anterior, em todos os pontos externos. Aplicando-se a regra da mão direita a todos os elementos, observa-se que estes produzem linhas de forças, conforme indica a Fig..8. No espaço compreendido entre um elemento e o sucessivo atuam linhas de forças em sentidos contrários e, portanto, tendem a se anular. A distribuição das linhas de força procura abraçar o conjunto das espiras, conforme mostra a Fig..8. As linhas de forças produzidas pelos elementos diametralmente opostos, isto é, os representados em B, nos quais a corrente que se afasta do observador, tem sentido contrário ao das anteriores; porém, no interior do solenóide os sentidos de todas as linhas de forças são concordes.

Figura.8 Linhas de forças de campo nos espaços compreendidos entre as espiras. No interior de um solenóide existe um feixe de linhas paralelas que saindo de uma das extremidades voltam a entrar na extremidade oposta. O eixo do solenóide é uma única linha de força retilínea que se fecha no infinito. Invertendo a corrente em todos os circuitos do solenóide, a distribuição do campo magnético é a mesma, mas invertendo o sentido das linhas de forças....d -Campo Magnético e Vetor de Indução Quando um corpo de material magnético é colocado sob a ação de um campo magnético, este corpo magnetiza-se criando um campo próprio e maior que o já existente. Assim, as propriedades que fortalecem o campo magnético inicial são inerentes a cada corpo, variando de um para o outro, sendo notável nos materiais magnéticos (MARTIGNONI, 1977). A equação abaixo determina o valor do campo magnético resultante para a situação levantada acima. (.3) B = µh Imagine, por exemplo, um solenóide fechado, em anel, que produz no seu espaço interno vazio um campo magnético cuja intensidade é dada por: H = 4* π 10 NI l (.4)

Ainda no solenóide introduz-se um anel de ferro sob ação do campo inicial H que magnetiza-se e adquire uma determinada intensidade dada por: (.5) H1 = 4πJ Sendo J a densidade de corrente Dentro do solenóide existirá um campo resultante da sobreposição dos dois campos distintos dados: (.6) B = H + H1..3 Densidade Superficial de Corrente Supõe - se um fio condutor retilíneo e de seção S percorrido de forma uniforme por uma corrente I, no sentido indicado na Fig..9. u S I Figura.9 Condutor retilíneo percorrido por uma corrente. Define - se um vetor unitário u r perpendicular à seção S. A densidade superficial média de corrente atravessando a seção é dada por: r J = I S (.7) Pode - se definir então o vetor J r =como possuindo um módulo igual e de direção e sentido dados por u r

(.8) r J = J r u Desta maneira, o cálculo do fluxo J r =através de S fornece I, pois r r I J d s = (.9) S Sendo varia na seção S. d s r uma parcela elementar de superfície, pode - se aqui considerar que J..4 - Fluxo Magnético e Densidade de Fluxo Magnético No eletromagnetismo, o fluxo de campo magnético está relacionado ao número de linhas de campo magnético que atravessam determinada superfície de área S, como mostram as Figs..10 e.11. Assim, o fluxo que atravessa a superfície S é dado por: φ = S n H (.10) Figura.10 Fluxo magnético em uma superfície S plana.

Figura.11 Fluxo magnético em uma superfície S não plana. Quando S n representa a projeção da superfície sobre o plano perpendicular a H, tem - se: S n = S cos θ (.11) Logo, o fluxo magnético é expresso pela Eq (.1) baseado na Fig..11. φ = S H cos θ (.1)..5 - Permeabilidade Magnética Quando um corpo magnético é imerso em um campo magnético H, este produz um campo magnético resultante B, maior que o existente. Dessa forma, a relação entre B e H é chamada de permeabilidade magnética que é dada por:

B µ = H (.13) De acordo com (MARTIGNONI, 1977), a permeabilidade magnética é uma grandeza característica de cada material, pois indica a aptidão que um determinado material possui em reforçar um campo magnético inicial sendo: B = µh (.14) No caso do ar, gases e em todos materiais não magnéticos em que B = H, a permeabilidade é 1, já para os matérias magnéticos esse valor se eleva, como será mostrado na próxima secção...5.a - Permeabilidade Magnética dos Materiais Ferromagnéticos Para o caso de materiais ferromagnéticos, a relação entra B e H não é constante. Na prática, as propriedades magnéticas dos materiais ferromagnéticos são caracterizadas por meio de curvas de magnetização, traçadas tomando-se como ordenadas a indução magnética B, e como abscissas, a intensidade de campo H. Para uma série de pontos da curva de magnetização de determinado material, por meio da relação µ = B/H calcula-se a permeabilidade magnética correspondente. No caso dos solenóides em lugar da intensidade de campo H, tem - se a relação. (.15) H = 4π. 10 NI l

A tabela.1 mostra a relação µ = B/H para alguns materiais ferromagnéticos para o caso particular dos solenóides...6 - Forças Magnéticas Antes de explicar qualquer princípio sobre força magnética serão primeiramente definidas algumas regras que ajudarão a definir melhor o vetor força magnética...6.a - Regras para Determinar o Sentido das Forças a) Regra dos três dedos da mão direita Dispondo o indicador, o polegar e o médio da mão direita em ângulos retos entre si, colocando o indicador na direção do campo (fluxo) e o médio na direção da corrente, o polegar indica a força, de acordo com a Fig..1.

Figura.1 - Regra dos três dedos da mão direita. Tabela.1 Relação B e H para materiais ferromagnéticos. Ferro forjado e aço Ferro fundido Lâmina de ferro Lâmina de ferro com fundido normal silício *B **Aes B Aes B Aes B Aes

1000 0,7 1000 1000 0,45 1000 0,8 000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 1000 13000 14000 15000 16000 17000 18000 19000 0000 1000 000 0,9 1 1, 1,4 1,7,,7 3, 4 5 6, 8,5 1 0 35 60 100 160 50 400 750 000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 1000 *B = Indução magnética **Aes = Ampere-espiras 4,5 8 13 0 8 40 55 80 110 150 00 000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 1000 13000 14000 15000 16000 17000 18000 19000 0000 1000 000 3000 0,5 0,6 0,7 0,9 1,3 1,7,3 3,3 4,7 6,3 8 10,5 13,5 18 31 5 90 148 300 460 670 900 000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 1000 13000 14000 15000 16000 17000 18000 1 1,5 1,45 1,6 1,8,5 3,1 4 5 7 1 3 40 75 140 40 b) Regra da palma da mão direita Dispondo a mão direita com o polegar aberto e os outros dedos estendidos no sentido da corrente, o sentido da força eletromagnética é indicado pelo polegar, quando a mão é

colocada de maneira que a palma seja investida pelas linhas de força, como mostra a Fig..13. Figura.13 - Regra da palma da mão direita...6.b - Força Magnética sobre Correntes A corrente elétrica em um fio condutor é devida ao movimento dos elétrons. Logo, um fio conduzindo corrente deve estar sujeito a uma força elétrica. A Fig..14 ilustra este fato, mostrando três fios condutores colocados em uma região onde há um campo magnético saindo da página. Figura.14 Força Magnética sobre um fio.

Na primeira figura, da esquerda para a direita, a corrente é nula, não havendo, portanto, qualquer força sobre o fio. A aplicação da regra da mão direita mostra que a força nos dois casos seguintes deve ter o sentido indicado na Fig..14..6.c - Força Magnética Sobre Fios de Comprimento Infinitesimal Como um primeiro passo para uma análise quantitativa mais detalhada, em situações mais gerais, considera - se a força magnética sobre um fio de comprimento infinitesimal ds. Considerando o vetor ds r possuindo módulo ds e orientação dada pela corrente que está fluindo ao longo do fio, como indicado na Fig..15. Figura.15 - Força magnética sobre um segmento. A carga dq que passa através do segmento ds durante um intervalo do tempodt é (.16) dq = I dt onde é a corrente no fio. O vetor velocidade da carga dq é

r r ds v = dt (.17) Utilizando as duas equações acima, obtém-se para a força magnética que atua sobre o segmento infinitesimal r r r r ds r df = dqv B = (Idt) B dt (.18) Cancelando os fatores dq, tem-se finalmente: (.19) r r r df = Ids B Sabe-se que, em geral, o campo magnético B r assume diferentes valores em cada ponto do espaço e a forma do fio é representada por uma curva qualquer. A corrente I tem o mesmo valor em todos os pontos do espaço, já que a carga é conservada...6.d - Força Magnética sobre Fios Possuindo Correntes Complementando a explicação da secção deste capítulo a força resultante sobre o fio é obtida fazendo-se a soma vetorial de todas as forças infinitesimais, ou seja, integrando a Eq..19 sobre todos os pontos do fio. Como a corrente I tem o mesmo valor ao longo do fio, pode-se retirar da integral, obtendo: r F r r I (ds B B = ) fio (.0) Dependendo da forma do fio e da configuração de campo magnético, a integral acima pode ser calculada de maneira bastante simples. A situação mais simples possível consiste de um fio reto imerso em um campo magnético uniforme. Neste caso, B r pode ser retirado da integral na Eq..0, resultando em:

r r r r r F = I (ds) B = IL B fio (.1) Na expressão acima, usa-se fio r r ds = L, sendo L r um vetor orientado no sentido da corrente e possuindo o comprimento L do fio. Agora, será considerado um fio possuindo uma curvatura qualquer, imerso em um campo magnético uniforme, como está ilustrado na Fig..16. Figura.16 - Forca sobre um fio com qualquer curvatura. em: Novamente, o campo magnético na Eq..0 pode ser retirado da integral, resultando (.) r F B unif = I fio r r (ds) B A integral na equação acima é simplesmente uma soma vetorial dos infinitos vetores r infinitesimaisd s. Geometricamente, o vetor resultante é o que está indicado na Fig..16 orientado de a parab e formando um ângulo θ com a direção do campo magnético. Pode-se

concluir que a resolução do problema de um fio qualquer imerso num campo magnético uniforme é equivalente ao problema de um fio reto orientado de uma extremidade à outra do fio original. Denotando a integral na Eq.. por L r (ver Fig..16 ), tem-se: r F B unif v r = IL' B (.3) Usando a mesma abordagem acima, pode-se concluir facilmente que a força total sobre um fio formando uma curva fechada (espira), imerso em um campo r uniforme, é nula, uma vez que, neste caso, a resultante dos infinitos vetores d s é igual a zero...7 Exemplo de Cálculo da Força Magnética Um solenóide de geometria cilíndrica é mostrado na Fig..17. (a) Se a bobina de excitação for percorrida por uma corrente em regime permanente de cc, determine uma expressão para a força no êmbolo. (b) Para os valores numéricos I = 10A, N = 500espiras, g = 5mm, a = 0mm, b = mm e l = 40mm, qual é a magnitude da força? (c) Para uma corrente alternada de 10 A a 60 Hz, qual é a força instantânea.admita µ núcleo =.

µ= µ= Figura.17 Solenóide de geometria cilíndrica. Resolução Para o cálculo da força é necessário primeiramente calcular a indutância e relutância Indutância (L) Indutância (símbolo L) medida em "henry" cujo símbolo é H, é definida como o enlace de fluxo por unidade de corrente. No caso de um solenóide pode ser calculado por:

N L = R (.4) N L = R πµ 0alc N = alg + bc k 1 k g + k 3 Onde k πµ alc, k al, k 3 bc 1 0 N Relutância (R ).6 Para o solenóide do problema em questão a relutância pode ser definida pela equação R T = R g + R s (.5) Sendo: R T R g R s = Relutância Total = Relutância do Entreferro = Relutância da Luva g R = µ πc (.6) Onde + b 0 µ 0 π b c = a al F A expressão da força sendo a corrente contínua pode ser então obtida pela equação: e = (.7) 1 I L g

I k 1k Fe = (k g + k ) (.8) 3 Onde o sinal de negativo indica que a força tende a diminuir o entreferro. Se o solenóide for percorrido por uma corrente alternado de 10 A (eficaz) a 60 Hz. A variação da corrente no tempo pode ser definida pela equação.9. i(t) = I (.9) p cos( f r π t) i(t) = I p cos( 60 π t) I p = I rms (.30) Sendo: t = Tempo em segundo; fr = Freqüência da rede elétrica (60 Hz); I = Valor de pico da magnitude de corrente em A; p I = Valor rms da magnitude de corrente em A. rms Substituindo a equação.9 em.31 tem-se: i(t) = I rms cos( 60 π t) (.31) i(t) = 10 cos( 60 π t) Dessa forma, a força instantânea pode ser então calculada pela substituição da Eq..31 na Eq..8.

(i(t)) k 1k Fe = (k g + k ) (.3) F Comentários: e 3 (10 cos10πt) k 1k 100k 1k = = cos 10πt (N) (k g + k ) (k g + k ) 3 3 A equação da força instatânea pode ser também escrita através da eq..33 F 1 100k 1k (k g + k 1 100k 1k cos( π.60 t) + (k g + k e = 3 ) 3 ) (.33) F e 100k 1k 100k 1k = cos( π 10 t) + (k g + k 3 ) (k g + k 3 ) (.34) A Eq..36 foi obtida usando as seguintes relações trigonométricas: cos( A (.35) + B) = cos(a) cos(b) sen(a) sen(b) sen (A) + cos (A) = 1 (.36) Sendo A=B, e substituindo os valores de A em B na Eq..38 tem-se: cos( A (.37) + A) = cos(a) cos(b) sen(a) sen(a) cos(a) = cos (A) sen (A) (.38) Substituindo a Eq..38 na Eq..40, obtém-se:

cos(a) 1 cos (A) = + (.39) cos( π 10) cos ( π 60) = + (.40) 1 Com isso, a equação para o calculo da força instantânea passa a ter uma freqüência de 10Hz e não mais de 60Hz, além da soma de uma parcela constante, pois quando a função cosseno é elevada a quadrado, seu valor negativo torna-se positivo, logo seus valores de picos máximo e mínimo oscilarão sobre a parcela constante mostrada na Eq..40. Uma outra forma de explicar essa formulação é através de gráficos. A função da corrente na Eq..3 foi plotada em função do tempo como mostra a Fig..18 (a), através desse gráfico verifica-se que valores de pico máximo e mínimo oscilam sobre o eixo das Abscissas. A Fig..18 (b), mostra o espectro de freqüência da função na freqüência de 60Hz. Na Fig..18(c) a função da corrente foi quadrada, nesse gráfico os valores de pico mínimo tornaram-se positivos, e o valor médio dos picos máximos e mínimos é parcela constante da Eq..4 multiplicada pela amplitude ao quadrado. A Fig..18(d) mostra o espectro do sinal, cuja freqüência é de 10Hz.

Figura.18 Gráfico da corrente elétrica variando no tempo e o espectro de freqüência. Fazendo uma análise nas Fig..18(a) e Fig..18(d), verifica-se que no primeiro gráfico a período T 1 = T, e freqüência f 1 = f, no segundo gráfico quando a função foi T quadrada o valor do período passou a ser T 1 =, conseqüentemente a freqüência f assume uma valor de f T 1 = T f = f 1 = T T = =. 1 T f 1 1 1 1 f = = = = f T T T

No exemplo em questão, como a freqüência da corrente é de 60Hz, e em virtude da força ser proporcional ao quadrado da corrente sua freqüência será de 10Hz (ver Fig..18(d))..3 - Magnetostática O campo magnético pode ter origem no movimento de cargas elétricas, corrente elétrica, ou em materiais com propriedades ferromagnéticas (ver Fig.19). A magnetostática estuda os fenômenos magnéticos não variáveis no tempo. Figura.19- Origem do campo magnético: (1) Corrente; () Imã permanente..3.1 - As Equações de Maxwell no Eletreomagnetismo As quatro equações de Maxwell são as seguintes: r r r r roth = J + D / t (.41) r div B = 0 (.4) r r rote = B / t (.43) divd r = ρ (.44) Aqui neste trabalho, serão tratadas essas equações no domínio de baixas freqüência, r r ou seja, para os c asos estáticos onde, D / t = 0. Além disso, na magnetostática não há

r variação temporal da grandeza B / t = 0. Assim, as quatro equações de Maxwell se resumem para o caso particular da magnetostática nas Equações mostradas logo a seguir..3. - As Equações de Maxwell na Magnetostática r r.3..a - A Equação r o th = r J Esta equação indica qualitativamente e quantitativamente a formação de H r de J r, sendo sua expressão sob a forma integral igual a: r o th d s = S r r r S r J d s r (.45) Sendo S uma superfície, H r o campo magnético e J r a densidade de corrente. Utilizando o teorema de Stokes, o lado esquerdo da expressão fica sendo: r o th d s = S (.46) r r r r H L ( S ) d L r em que L(S) é a linha que limita a superfície S. O lado direito de Eq..8 representa o fluxo do vetor J r através de S, o que é a corrente de condução I atravessando S. Obtém-se então: r H L ( S ) r d L = I (.47) que indica que a circulação de H r ao longo de um caminho L(S), que envolve uma seção S, r r r r o th J é igual à corrente atravessando esta seção. A equação de Maxwell = escrita sob a forma acima é conhecida como Lei de Ampère. A aplicação desta equação no caso de um fio infinito percorrido por uma corrente I pode ser visualizada na Fig..9.

simplesmente: Figura.0 - Fio infinito percorrido por uma corrente. Escolhendo como seção S, o círculo de raio R, a aplicação da Lei de Ampère é r H r d L = I L 1 (.48) sendo, H r e d L r transforma em um produto de módulos vetores colineares e de mesmo sentido, o produto escalar HdL r r H d L se. Como, por uma questão de homogeneidade, H é idêntico em todos os pontos de L 1, H não depende de L 1 e a integração fica sendo: H L 1 dl = I (.49) e H = I / π R Vale salientar que a lei de Ampère, originando de uma equação de Maxwell, é sempre válida, porém, sua aplicabilidade nem sempre é factível. r r r Um aspecto também importante da equação ro th = J, aparece quando aplica - se o divergente de ambos os seus lados. Obtém-se div J r = 0, que é a equação da continuidade elétrica na qual a corrente que entra em um volume é a mesma que sai deste volume.

.3..b - A Equação B = 0 div r Esta equação tem um sentido que é análogo à equação div J r = 0, com a diferença que neste caso, é o fluxo magnético que é conservativo. Nota-se que esta equação não indica propriamente a maneira como é formado, r r r ao contrário da equação ro th = J. No entanto, a condição de fluxo conservativo deve ser conhecida. r r r.3..c - A Equação ro te = 0 Esta equação, no caso particular de formação de campo elétrico E r devido à variação temporal de r r r ro te = δ B / δ t, indica que não há B r B r. Isto não significa que não haja campo elétrico no domínio do estudo do problema magnetostático em questão. As três equações acima constituem o bloco principal da magnetostática. Podemos r r r atribuir à lei de Ampère, oriunda de ro th = J um certo destaque em relação as outras duas equações, tendo em vista que ela associa o campo H r a sua fonte geradora J r. CAPITULO 3: MODELAGEM NUMÉRICA