DETECÇÃO DE ESTRUTURAS DE MODELOS ARMAX POLIOMIAIS: A TAXA DE REDUÇÃO DE ERRO MULTI-OBJETIVO (MERR) Samir Angelo Milani Martins, Erivelton Geraldo epomuceno, Márcio Falcão Santos Barroso Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais - Av. Antônio Carlos 6627, 3270-90 Belo Horizonte, MG, Brasil GCoM Grupo de Controle e Modelagem, Departamento de Engenharia Elétrica Universidade Federal de São João del-rei, Praça Frei Orlando 70 - Centro, 36307-352 São João del-rei, Minas Gerais, Brasil Emails: sammartins@ufmg.br, nepomuceno@ufsj.edu.br, barroso@ufsj.edu.br Abstract This work presents a new approach to structure detection in ARMAX polynomial models - The Multi-objective Error Reduction Ratio (MERR). It is shown how to obtain a Pareto curve, composed by models with different structures considering several informations of the system. As a case-study, a DC-DC buck converter was identified, and the models were validated using dynamic and static indexes, overcoming the ERR approach (Error Reduction Ratio). It is noteworthy the innovative purpose of the presented technique, once it quantifies the contribution of each regressor aiming each information of the system. Keywords ARMAX models, multi-objective system identification, structure detection, MERR. Resumo O presente trabalho apresenta uma nova abordagem para detecção de estruturas de modelos AR- MAX polinomiais - a taxa de redução de erro multi-objetivo (MERR). É mostrado como obter uma fronteira de soluções eficientes, formada por modelos com estruturas distintas(pareto de estruturas) considerando diferentes informações A técnica apresentada foi aplicada na identificação de um conversor CC-CC buck e mostrou-se satisfatória à luz índices estáticos e dinâmicos, suplantando a ERR (taxa de redução de erro). Por fim, ressalta-se o caráter inovador da técnica, que quantifica a contribuição de cada regressor, mediante representação de diversas características do sistema modelado. Palavras-chave MERR. Modelos ARMAX, identificação multi-objetivo de sistemas, detecção de estruturas, Introdução A Identificação de Sistemas é um ramo consideravelmente antigo e relevante da ciência. É a área do conhecimento que estuda maneiras de modelar e analisar sistemas na tentativa de encontrar algum padrão em observações (Billings, 980; Aguirre, 2007). Para se identificar um sistema, é necessário propor um modelo que consiga descrever as mais diversas características do mesmo. Define-se modelo como o conjunto de hipóteses sobre a estrutura ou comportamento de um sistema físico. Do lado matemático, um modelo nada mais é do que uma abstração de um sistema real expresso por meio de equações. a Engenharia, essas técnicas podem ser empregadas na identificação de vários sistemas, como na identificação de aquecedores elétricos, conversores CC-CC, sistemas químicos, e em outras áreas, como sistemas biológicos, econômicos e outros ramos da ciência. A literatura está repleta de técnicas de Identificação de Sistemas (Martins et al., 20; epomuceno et al., 2007; Johansen, 996). São utilizadas várias representações matemáticas e computacionais, entre elas, pode-se citar as Redes eurais, Lógica Fuzzy, Modelos ARMAX (onlinear AutoRegressive Moving Average model with exogenous input), Modelo Baseado em Indivíduos. A representação ARMAX polinomial possui como pontos positivos o fato de permitir, com relativa facilidade, a incorporação de informações que se tem a priori do sistema no modelo. Tais informações (curva estática, estabilidade de pontos fixos e ganho estático, por exemplo) podem não estar contidas nos dados dinâmicos. Sendo assim, o acréscimo dessas informações pode aumentar significativamente a qualidade do modelo, no que se refere à robustez e representatividade A partir de trabalhos de Johansen (996) e colaboradores, a área de identificação de sistemas começou a se preocupar com a possibilidade de utilizar informações auxiliares sobre o sistema e não apenas dados na identificação de sistemas. Dessa preocupação, surge uma nova técnica, chamada de Identificação Multi-objetivo de Sistemas (IMS) (Martins et al., 20; epomuceno et al., 2007; Barroso et al., 2007). Contudo, tradicionalmente, o uso de informações auxiliares se dá exclusivamente na consolidada etapa de estimação dos parâmetros do modelo, sendo que as principais técnicas de detecção de estruturas, etapa ainda em aberto, são mono-objetivo. O propósito deste trabalho é apresentar o desenvolvimento da taxa de redução de erro multiobjetivo (MERR, do inglês Multi-objective Error

Reduction Ratio), técnica multi-objetivo de determinação de estruturas de modelos ARMAX polinomiais. Tal técnica é vista como uma expansão da consagrada técnica mono-objetivo taxa de redução de erro(err - Error Reduction Ratio). Dessa forma, é apresentada uma metodologia para obtenção de estruturas que possuem compromisso com outras informações acerca do sistema, que não somente dinâmica. O restante do artigo está organizado da seguinte forma. a seção 2 são abordados os conceitos preliminares. A seção 3 apresenta a metodologia para o desenvolvimento da MERR e consequente obtenção dos resultados. A análise e discussão dos resultados são tratados pela seção 4. a seção 5 é apresentada a conclusão, além de propostas para futuras pesquisas. 2 Conceitos Preliminares 2. Identificação de Sistemas Para se identificar um sistema, é necessário a realização de 5 principais etapas, a seguir apresentadas (Ljung, 987). Teste Dinâmico e Coleta de Dados. Escolha da Representação Matemática a ser Utilizada. Determinação da Estrutura do Modelo. Estimação dos Parâmetros. Validação dos Modelos. Uma vez obtido um modelo, é necessário verificar se o mesmo apresenta as principais características Sendo assim, diferentes técnicas de validação de modelos serão utilizadas no contexto desse trabalho. As técnicas de validação podem depender da aplicação do modelo e da quantidade de informações disponíveis sobre o sistema real. o escopo deste trabalho, utilizou-se as seguintes abordagens para validação:. Predição livre do modelo. 2. Representatividade da característica estática 3. Erro quadrático médio estático e dinâmico (RMSE - Root Mean Squared Error). O índice RMSE, quando normalizado, pode ser expresso por: RMSE = k= [y(k) ŷ(k)]2, () k= [y(k) ȳ]2 sendo ŷ(k) a simulação livre do sinal para o caso dinâmico e o valor estático de saída para o caso estático e ȳ é o valor médio do sinal medido y(k). Este índice mede o erro em uma unidade de medida coerente com os dados reais (epomuceno et al., 2007). Geralmente, consideram-se bons modelos aqueles que apresentam índice RMSE normalizado menor que a unidade. Isto significa que, em média, o erro quadrático apresentado pelo modelo é menor que o erro quadrático dado pela média da série temporal. 2.2 Modelos ARMAX Polinomiais Modelos ARMAX (Billings, 980) descrevem sistemas não-linares por meio de equações de diferença, relacionando a saída atual em combinação das saídas e entradas passadas. Pode ser utilizada para problemas de controle onde o pricipal objetivo é encontrar uma descrição simples para o sistema. Em particular, o modelo AR- MAX polinomial pode ser representado como: y(k) = F l [y(k ),, y(k n y ), (2) u(k ), u(k n u ), e(k ),, e(k n e )] + Ξ(k), em que y(k) é a saída, u(k) é a entrada exógena, e e(k) é o sinal de ruído. Ξ(k) representa o erro de predição. n y, n u, e n e são as ordens da saída, da entrada exôgena e do ruído, geralmente modelado por um processo de média móvel. este trabalho, os parâmetros do modelo foram estimados via mínimos quadrados estendidos em que o ruído é modelado por um processo média móvel (MA), estimado pelo resíduo. Tal estimador foi utilizado visando evitar a polarização na estimação dos parâmetros. A função F l pode representar uma grande variedade de funções, incluindo funções lineares. este artigo, F l é restrita a funções polinomiais não-lineares. 2.3 Conversor CC-CC Buck Um sistema eletrônico de potência conhecido como conversor CC-CC buck foi utilizado como sistema-teste da técnica aqui desenvolvida. O conversor CC-CC buck (Figura ), como o próprio nome sugere, é um conversor CC-CC abaixador de tensão, que produz um valor médio de tensão na saída inferior ao valor médio de tensão de entrada. Pode ser controlado por dispositivo de comutação do tipo MOSFET ou IGBT através do controle da razão cíclica. Para o sistema estudado foi utilizando um MOSFET IRF840. A razão cíclica e definida como a razão entre o tempo que o interruptor se encontra em condução e o período de comutação. Como sinal de chaveamento, utilizouse um sinal persistentemente excitante PRBS (do inglês Pseudo Random Binary Signal ou Sinal Binário Pseudo Aleatório), com o qual se espera que

o sistema apresente na saída sua dinâmica nãolinear. + Vd - 24V S G D IRF840 D L 2mH C 22uF Figura : Conversor CC-CC buck. 3 Metodologia 3. Definição do Problema O problema pode ser exemplificado como a representatividade estática e dinâmica de um modelo junto a um sistema. Suponha um sistema que apresente comportamento estático afim e dinâmico não-linear. Um modelo com estrutura não-linear seria sobre-parametrizado do ponto de vista estático, ao passo que um modelo com estrutura afim seria sub-parametrizado à luz de seu comportamento dinâmico. Claramente observa-se um comportamento conflitante entre os objetivos em questão (erros estático e dinâmico), sendo este o caso do sistema aqui estudado e apresentado. A partir daí surge a definição de um problema de otimização multi-objetivo. As soluções eficientes do problema são conhecidas como o conjunto Pareto-ótimo e consistem de cada ponto da curva apresentada na Figura 2. São as melhores soluções possíveis de serem obtidas. ão há como definir a priori, a partir das avaliações dos funcionais, se existe uma solução melhor que outra. M R 20R mento perante as diversas características Em geral, deseja-se minimizar simultaneamente erros estático e dinâmico. É difícil obter um modelo capaz de minimizar simultaneamente tais erros pois os mesmo são, em geral, conflitantes. O que se têm é um problema de otimização multi-objetivo e consequentemente um conjunto de soluções eficientes, que compõem o Pareto-ótimo. A abordagem multi-objetivo é feita em geral durante a etapa de determinação dos parâmetros do modelo (Martins et al., 20; epomuceno et al., 2007; Barroso et al., 2007). Recentemente, trabalhos como (Martins et al., 20; Barbosa, 200) utilizaram de abordagens multiobjetivo para determinação de estruturas de modelos ARX polinomiais. Contudo, tais trabalhos não permitem a quantificação da contribuição individual de cada regressor quanto da representatividade de uma determinada característica do sistema. Além disso, é importante deixar claro que técnicas baseados em erros dinâmicos um passo à frente apresentam fragilidade, uma vez que tendem a apresentar os termos de y(k n) para pequenos valores de n com maiores índices (como o índice ERR), uma vez que é o mais apto a explicar o valor de y(k) (Bonin et al., 200). Outrossim, tais técnicas se preocupam somente na fidelidade do modelo à característica dinâmica do sistema, fazendo com que o modelo seja de caráter local e de limitada aplicabilidade. 3.2 A Taxa de Redução de Erro Multi-objetivo (MERR) Modelos ARMAX polinomiais possuem como característica a se destacar a fácil extração de informações acerca do sistema, estimadas pelo modelo. Informações como curva estática, pontos fixos, ganhos estáticos e estabilidade podem ser extraídas do modelo, de forma estimada em função dos parâmetros do modelo: Objetivo 2 M 2 M 3 M 4 y q = ŷ q + ξ q, (3) y q = ψ q ˆθ + ξq, Objetivo Figura 2: Problema de otimização bi-objetivo com objetivos conflitantes. Os modelos M e M 4 apresentação as soluções individuais dos objetivos e 2, ao passo que os modelos M 2 e M 3 são modelos intermediários pertinentes à curva. o âmbito da Engenharia Elétrica, mais especificamente em Identificação de Sistemas, desejase obter um modelo que tenha bom comporta- sendo y q a informação do sistema (dados dinâmicos de saída, ponto fixo, curva estática, ganho estático), ŷ q o valor da informação estimada pelo modelo, ˆθ o vetor de parâmetros estimados, ψ q a matriz de informações e ξ q o erro de estimação da informação. Utilizando algoritmos de ortogonalização (neste trabalho foram utilizadas transformações de HouseHolder), pode-se obter um modelo estimador auxiliar em que os regressores pertinentes Veja em (epomuceno et al., 2007) exemplos de como estimar algumas informações em função dos parâmetros

a cada informação ψ q são ortogonais sobre as informações y q, formando uma base ortogonal às informações y q = ĝ j Ω j q + ξ q, (4) j= em que Ω j q é o j-ésimo regressor ortogonal à informação y q, ĝ j o parâmetro ortogonal a ele associado e n θ o número de regressores candidatos. A partir daí, pode-se definir a variância afim (ou variância auxiliar) composta pelo erro de estimação, como sendo: var[ξ q ] = lim yq T y q j= ĝ j 2 Ω jt q Ω j q, (5) Uma vez que pode-se distribuir a variável ω e que o limite da soma é igual à soma dos limites, a parcela: lim + + lim ω ω z pode ser reescrita como: lim ω q yq T y q q= y T y ĝ 2 j Ω jt j= yz T y z j= ĝ j 2 Ω jt z ω q ĝ 2 j Ω jt q q= j= Ωj Ω j z Ω j q (8),. (9) sendo var[ξ q ] a variância correspondente à q-ésima informação afim do sistema e o operador T correspondente à transposição do vetor. Considerando que nenhum termo fosse acrescentado ao modelo, a variância afim da i-ésima informação auxiliar seria exatamente igual ao quadrado da informação A cada termo acrescido ao modelo, a variância afim decresce um valor de ĝj 2 Ω jt q Ω j q, sendo Ω j q o regressor ortogonal inserido e ĝ j seu respectivo parâmetro. Ressalta-se que pode-se tomar a equação (5) como um problema de otimização mono-objetivo em que o objetivo (função custo a ser otimizada) a ser minimizado é a variância afim. Objetivando o desenvolvimento de uma técnica multi-objetivo, pode-se trabalhar com a combinação ponderada convexa de diferentes informações auxiliares do sistema utilizando pesos diferentes (ω,,ω z ), tal que z q= ω z =, sendo z o número de informações a serem incorporadas). esse sentido, tem-se: ω var[ξ ] + + ω z var[ξ z ] = (6) ω lim y T y ĝ 2 j Ω jt Ωj j= + + ω z lim yz T y z ĝ 2 j Ω jt z j= Rearranjando a equação (6), tem-se; ω var[ξ ] + + ω z var[ξ z ] = (7) lim ω y T y ĝ 2 j Ω jt Ωj + + lim ω z j= yz T y z j= ĝ j 2 Ω jt z Ω j z Ω j z.. A variância multi-objetivo composta pelas variâncias das informações do modelo, apresentada na equação (6), pode ser reescrita como: ω q var[ξ q ] = (0) q= lim ou ainda: ω q yq T y q q= ω q ĝ 2 j Ω jt q q= j= ω q var[ξ q ] = () q= lim q= ω q yq T y q ĝ 2 j Ω jt q j= Ω j q Ω j q,, em que z é o número de informações auxiliares A redução no valor da variância multiobjetivo pode ser normalizada com relação ao erro quadrático médio do sinal multi-objetivo composto pela combinação convexa das informações a serem incorporadas. Sendo assim, define-se a taxa de redução de erro multi-objetivo (MERR - Multiobjective Error Reduction Ratio), dada pela inclusão do j-ésimo regressor como sendo: MERR j = ĝj 2 z q= ω qω j q, z q= ω qω j q z q= ω qy q, z q= ω. (2) qy q O operador, é o operador produto interno. Pode-se quantificar em porcentagem a contribuição de cada regressor ao representar diferentes informações do sistema em questão. Para se fazer estimativas dos parâmetros representados em base ortogonal ĝ j, pode-se proceder da seguinte forma:

ĝ j = z q= ω qω j q, z q= ω qy q z q= ω qω j q, z q= ω qω j q, j =,,n θ, (3) que nada mais é que o método dos mínimos quadrados aplicado à combinação linear convexa dos regressores ortogonais às informações. Destaca-se que os modelos pertinentes à curva Pareto-ótima são obtidos por meio da variação de ω q, q =,, z. Um ponto importante a ser ressaltado é que considerando apenas uma informação a ser incorporada na equação (2) e se esta informação for a informação referente aos dados dinâmicos, a técnica retorna exatamente à ERR (taxa de redução de erro). este caso haveria apenas um peso (ω = ) e somente dados dinâmicos estariam envolvidos no processo. Por fim tem-se que a técnica apresentada pode ser utilizada quando da inclusão de informações acerca de pontos fixos, curva estática, ganho estático e demais informações que puderem ser escritas em forma de erro, em função dos parâmetros do modelo. Por questão de espaço, no presente trabalho somente será apresentado um exemplo de incorporação da curva estática em conjunto com dados dinâmicos, na identificação de um conversor CC-CC buck. 3.3 Análise da Técnica apresentada - MERR Após ser apresentada a técnica de taxa de redução de erro multi-objetivo, várias análises podem ser feitas. A começar, uma vez que se trata de um problema multi-objetivo onde os objetivos foram combinados de forma ponderada, pode-se retornar exatamente à taxa de redução de erro. Para tal, basta que o peso referente aos dados dinâmicos seja de valor unitário, e os demais pesos nulos. A ERR é amplamente conhecida, estudada e validada na área de Identificação de Sistemas. Por outro lado, variando os pesos associados às informações, podem ser obtidos modelos pertinentes ao conjunto de soluções eficientes, que incorporam diversas características Este conjunto de soluções eficientes também é conhecido de Pareto-ótimo, onde estão contidas todas as soluções não suplantadas por outras do problema de otimização multi-objetivo. Ressalta-se também que a diferente combinação dos pesos pode gerar soluções não eficientes, suplantadas por outras. Uma vez que estas não representam fielmente o sistema, devem ser descartadas e não fazem parte do conjunto Pareto-ótimo. A multi-objetividade da técnica apresentada é importante, pois em certos casos somente a utilização de dados dinâmicos não é suficiente para a obtenção da estrutura adequada de um modelo. Ademais, alguns sistemas apresentam limitações na coleta de dados dinâmicos ou ruído nos mesmos, problemas que podem ser minimizados com o desenvolvimento desta técnica que torna o modelo mais global. A partir daí surge um novo problema, conhecido como problema da decisão, que consiste em escolher um modelo, dentre os apresentados pela taxa de redução de erro multi-objetivo para representar o sistema em questão. a literatura existem diversas técnicas para o critério de decisão. (epomuceno et al., 2007) apresenta uma técnica de decisão baseada na mínima norma dos objetivos normalizados. Dessa forma, garante-se um compromisso mútuo entre os objetivos considerados no problema. Vale observar que apesar de várias técnicas, a escolha do modelo a ser utilizado pode ser objetivada pela aplicação em questão. Do ponto de vista computacional, a técnica apresenta um baixo custo. Poucos recursos computacionais são necessários para sua implementação. Ressalta-se o caráter multi-objetivo inovador da técnica apresentada, uma vez que as principais técnicas de detecção de estruturas de modelos ARMAX polinomiais presentes na literatura, são de caráter mono-objetivo. As poucas técnicas multi-objetivos não se mostram capazes de quantificar a contribuição de cada regressor ao explicar diferentes características Todos os processos foram simulados via software MATLAB R, utilizando um laptop da marca ASUS R com 4Gb de memória RAM, processador Intel core i3 à 2,27 GHz, executando sistema operacional Windows 7 Home Premium R. Utilizouse 2 como máximo atraso para regressores de entrada, saída e máximo grau de não-linearidade. 4 Resultados e Discussão o presente trabalho, além dos dados dinâmicos, foram incorporados dados estáticos teóricos do conversor CC-CC buck, que podem ser dado pela equação 4: ȳ = 4 3 v d v d 3 ū (4) em que v d = 24 Volts, ū e ȳ são a entrada e saída em regime permanente A entrada foi variada de 0 a 0 Volts, em um total de 84 pontos. Os testes dinâmicos podem ser vistos pelas Figuras 3 e (4), sendo os dados pontilhados utilizados para identificação e os dados em linha contínua utilizados para validação. Foram obtidos modelos considerando ω d = [0,; 0,3; 0,7; 0,9] e, consequentemente, ω s = [0,9; 0,7; 0,3; 0,], sendo que foram incorporadas informações estáticas e dinâmicas ponderadas por ω s e ω d, respectivamente. Os modelos serão denominados de MERR i, sendo i o número do modelo (posição dos vetores ponderações ω d e ω s ).

Figura 3: Testes dinâmicos: dados de saída. Tabela : Taxa de Redução de Erro Monoobjetivo - ERR. ERR Regressor ERR (%) y(k-) 99,9860 y(k-2) 0,040465 y(k ) 2 0,005679 u(k ) 2 0,040 y(k 2) 2 0,000065 y(k-2)y(k-) 0,00073 C 0,00028 u(k-)y(k-) 0,000605 u(k-) 0,000596 Figura 4: Testes dinâmicos: dados de entrada. As estruturas obtidas para i =,2 foram as mesmas. Contudo, destaca-se que não necessariamente os regressores para estes modelos apresentaram a mesma taxa de redução de erro multiobjetivo, pois foram obtidos por meio de diferentes ponderações. Deste modo, obteve-se um conjunto de 3 modelos com estruturas diferentes, a seguir apresentados. Ressalta-se que o critério de informação de Akaike foi aplicado para determinar o número de regressores que devem ser inseridos no modelo resultando em 9 regressores, e que o modelo dado para ω d = e ω s = 0 (ERR) também foi obtido, para comparação. Tabela 2: Taxa de Redução de Erro Multi-objetivo - MERR. MERR Regressor MERR (%) y(k-) 99,850869 y(k-2) 0,48949 u(k-) 0,000036 C 0,000063 u(k-2) 0,00000 y(k 2) 2 0,00000 y(k-2)y(k-) 0,00000 y(k ) 2 0,000003 u(k-2)y(k-2) 0,000002 y MERR 3(k) = 0,4849y(k ) (7) +0,546y(k 2) 3,0944u(k ) 2 +0,350u(k 2) 2 +,244u(k 2)u(k ) + 4,0006 0,7677u(k ) +0,7952u(k )y(k ) 0,3438u(k 2)y(k 2) y ERR (k) = 0,6867y(k ) (5) 0,3253y(k 2) 0,008y(k ) 2 2,8685u(k ) 2 0,0404y(k 2) 2 +0,0593y(k 2)y(k ) + 4,0007 +0,653u(k )y(k ) +3,2458u(k ) y MERR,2(k) =,668y(k ) (8),554y(k 2) 2,340u(k ) +3,9972 2,8396u(k 2) 0,0744y(k 2) 2 +0,59y(k 2)y(k ) 0,0863y(k ) 2 +0,2078u(k 2)y(k 2) y MERR 4(k) = 0,0396y(k ) (6),0472y(k 2) + 4,0005 5,6780u(k ) + 9,3834u(k 2) 2,033u(k 2) 2 +0,5945u(k )y(k ) +0,052y(k 2) 2 0,8788u(k ) 2 As Tabelas, 2, 3, 4 e 5 representam os regressores obtidos para os modelos e suas respectivas taxas de redução de erro multi-objetivo As Figuras 5 e 6 apresentam o comportamento estático e dinâmico dos modelos e Já a Figura 7 apresenta o plano composto pelos índices RMSE estático e dinâmico. Vale ressaltar os índices foram obtidos via dados de validação.

Tabela 3: Taxa de Redução de Erro Multi-objetivo - MERR 2. MERR 2 Regressor MERR (%) y(k-) 99,820737 y(k-2) 0,7474 u(k-) 0,000856 C 0,00604 u(k-2) 0,00000 y(k 2) 2 0,000008 y(k-2)y(k-) 0,000037 y(k ) 2 0,000076 u(k-2)y(k-2) 0,000045 Figura 5: Comportamento estático dos modelos e Tabela 4: Taxa de Redução de Erro Multi-objetivo - MERR 3. MERR 3 Regressor MERR (%) y(k-) 99,899770 y(k-2) 0,064284 u(k ) 2 0,00337 u(k 2) 2 0,005358 u(k-2)u(k-) 0,0006 C 0,000807 u(k-) 0,009267 u(k-)y(k-) 0,0005 u(k-2)y(k-2) 0,000323 Figura 6: Comportamento dinâmico dos modelos e,2 ERR BI 3 ERR BI 4 ERR BI Figura 7: Índice RMSE estático e dinâmico dos modelos. ERR Tabela 5: Taxa de Redução de Erro Multi-objetivo - MERR 4. MERR 4 Regressor MERR (%) y(k-) 99,93069 y(k-2) 0,042932 C 0,00233 u(k-) 0,07904 u(k-2) 0,00003 u(k 2) 2 0,000057 u(k-)y(k-) 0,00063 y(k 2) 2 0,00035 u(k ) 2 0,00029 Observa-se claramente que os objetivos em questão são conflitantes. Por outro lado, consegue-se modelos que apresentam uma grande melhoria quanto da representação estática, sob a pena de uma pequena piora na representação dinâmica ou até mesmo sem nenhuma perda dinâmica (modelo MERR 4 ). Com isso, pode-se concluir que há informações nos dados estáticos relevantes para a obtenção da estrutura do modelo. Além disso, devido a obtenção do modelo MERR 4 que suplanta o modelo ERR, conjectura-se que há informação acerca do comportamento dinâmico do modelo nos dados estáticos teóricos. Ponto extremamente relevante é que, a luz dos índices RMSE, o modelo obtido pela clássica técnica ERR encontra-se dominado, ou seja, existem modelos que possuem melhor comportamento dinâmico e estático simultaneamente. Isso pode ser explicado, uma vez que o algoritmo ERR é sub-

Tabela 6: Validação dos modelos. O sub-índice s refere-se a estático, ao passo que o sub-índice d se refere a dinâmico. ERR MERR 4 MERR 3 MERR 2, RMSE s,5824,4959,493 0,4930 RMSE d 0,3004 0,2935 0,3545 0,4802 ótimo. Por fim, atenta-se ao fato que técnicas multiobjetivo tendem a aumentar a robustez e globalidade do modelo, o que é extremamente importante em problemas de identificação e controle robusto. 5 Conclusões Foi apresentada o desenvolvimento da taxa de redução de erro multi-objetivo (MERR), técnica utilizada para detecção de estruturas de modelos ARMAX polinomiais. Em geral, o que se tem na literatura são técnicas mono-objetivo de detecção de estruturas, sendo que tais técnicas não levam em consideração informações que se tem a priori Foram obtidos um conjunto de modelos, estáveis, que representam bem o sistema em questão. Observou-se também uma grande melhora na representação da característica estática Ademais, tais modelos mostram-se mais globais e robustos, por possuírem informações da estática Como pesquisas futuras, pretende-se fazer uma adaptação ao índice AIC, de forma que o mesmo leve em conta não somente o objetivo de minimizar o erro dinâmico, mas também outras características relevantes Ademais, pretende-se incorporar um maior número de informação durante a etapa de detecção de estruturas, via taxa de redução de erro multi-objetivo. Agradecimentos Os autores agradecem à Fapemig, CPq, Capes e à Universidade Federal de São João del-rei, pelo apoio financeiro. Referências Aguirre, L. A. (2007). Introdução à Identificação de Sistemas: Técnicas lineares e nãolineares aplicadas a sistemas reais, Editora da UFMG. 3 a edição. Aguirre, L. A., Rodrigues, G. G. e Jácome, C. R. F. (998). Identificação de sistemas nãolineares utilizando modelos narmax polinomiais uma revisão e novos resultados, SBA Controle & Automação 9(2): 90 06. Barbosa, A. M. (200). Técnicas de otimização biobjetivo para a determinação da estrutura de modelos narx, Master s thesis, Universidade Federal de Minas Gerais. Barroso, M. F. S., Takahashi, R. e Aguirre, L. (2007). Multi-objective parameter estimation via minimal correlation criterion, Journal of Process Control 7(4): 32 332. Billings, S. A. (980). Identification of nonlinear systems - a survey, IEE Proceedings-D Control Theory and Applications 27(6): 272 285. Bonin, M., Seghezza, V. e Piroddi, L. (200). ARX model selection based on simulation error minimisation and LASSO, IET Control Theory and Applications 4(7): 57 68. Fung, R.-F., Hsu, Y.-L. e Huang, M.-S. (2009). System identification of a dual-stage xy precision positioning table, Precision Engineering 33(): 7 80. Johansen, T. A. (996). Identification of nonlinear systems using empirical data and prior knowledge - an optimization approach, Automatica 32(3): 337 356. Johansen, T. A. e Babuska, R. (2003). Multiobjective identification of Takagi-Sugeno fuzzy models, IEEE Transactions on Fuzzy Systems (6): 847 860. Ljung, L. (987). System Identification: Theory for the User., Prentice-Hall, London. Martins, S. A. M., Braga, D. C. S., epomuceno, E. G., Gomes, T. V. e Reis, M. L. F. (2009). Investigation of the static curve information for multiobjective system identification, Journal of Computational Interdisciplinary Sciences (2): 49 57. Martins, S. A. M., epomuceno, E. G. e Figueiredo, J. P. (20). Detecção de estruturas de modelos narmax polinomiais: uma abordagem inteligente multi-objetivo., Anais do X Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, pp. 320 325. epomuceno, E. G., Takahashi, R. H. C. e Aguirre, L. A. (2007). Multiobjective parameter estimation for non-linear systems: affine information and least-squares formulation, International Journal of Control 80(6): 863 87. Pardalos, P. M., Steponavice, I. e Zilinskas, A. (20). Pareto set approximation by the method of adjustable weights and successive lexicographic goal programming, Optimization Letters pp. 4.