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Exercícios de

2018, Elsevier Editora Ltda. Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei 9.610 de 19/02/1998. Nenhuma parte deste livro, sem autorização prévia por escrito da editora, poderá ser reproduzida ou transmitida sejam quais forem os meios empregados: eletrônicos, mecânicos, fotográficos, gravação ou quaisquer outros. ISBN: 978-85-352-8811-7 ISBN (versão digital): 978-85-352-8812-4 Copidesque: Edna Cavalcanti Revisão tipográfica: Hugo Corrêa Editoração Eletrônica: Thomson Elsevier Editora Ltda. Conhecimento sem Fronteiras Rua da Assembleia, n 100 6 andar Sala 601 20011-904 Centro Rio de Janeiro RJ Rua Quintana, 753 8 andar 04569-011 Brooklin São Paulo SP Serviço de Atendimento ao Cliente 0800 026 53 40 atendimento1@elsevier.com Consulte nosso catálogo completo, os últimos lançamentos e os serviços exclusivos no site www.elsevier.com.br Nota Muito zelo e técnica foram empregados na edição desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitação, impressão ou dúvida conceitual. Em qualquer das hipóteses, solicitamos a comunicação ao nosso serviço de Atendimento ao Cliente para que possamos esclarecer ou encaminhar a questão. Para todos os efeitos legais, a Editora, os autores, os editores ou colaboradores relacionados a esta obra não assumem responsabilidade por qualquer dano/ou prejuízo causado a pessoas ou propriedades envolvendo responsabilidade pelo produto, negligência ou outros, ou advindos de qualquer uso ou aplicação de quaisquer métodos, produtos, instruções ou ideias contidos no conteúdo aqui publicado. A Editora CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ S58e Silva, Irineu da Exercícios de topografia : teoria e prática de geomática / Irineu da Silva, Paulo César Lima Segantine. - 1. ed. - Rio de Janeiro : Elsevier, 2018. : il. ; 27 cm. ISBN 978-85-352-8811-7 1. Engenharia civil - Problemas, questões, exercícios. 2. Topografia. 3. Geomática. I. Irineu da Silva. II. Título. 17-45650 CDD: 624 CDU: 624

Os autores Irineu da Silva Doutor em Geociências pela Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suíça. Mestre em Engenharia de Transportes pelo Departamento de Engenharia de Transportes da Escola de Engenharia de São Carlos, USP. Engenheiro civil pela Escola de Engenharia de São Carlos, USP. Professor Associado do Departamento de Engenharia de Transportes da Escola de Engenharia de São Carlos, USP. Docente das seguintes disciplinas: graduação Geomática 1 e Geomática 2; e pós-graduação Fotogrametria Digital, Aplicações da Teoria dos Erros à Engenharia de Transportes, Teoria das Compensações Aplicações em Mensuração, Aplicações e Restrições de uso do Sistema de Posicionamento Global (GNSS) e Monitoramento de Obras de Engenharia Civil. Livros publicados: História dos Pesos e Medidas, duas edições (Editora da UFSCar, 2010), Topografia para Engenharia: Teoria e Prática de Geomática (Editora Elsevier, 2015) e Projeto Geométrico de Rodovias (Editora Elsevier, 2017). Paulo Cesar Lima Segantine Pós-doutorado na University of Maine (USA) e Pós-doutorado na Universidade do Minho (Portugal). Doutor em Engenharia de Transportes pela Escola Politécnica da USP. Mestre em Engenharia de Transportes pelo Departamento de Engenharia de Transportes da Escola de Engenharia de São Carlos, USP. Engenheiro civil pela Universidade Federal do Espírito Santo (UFES). Professor Associado do Departamento de Engenharia de Transportes da EESC, USP. Docente das seguintes disciplinas: graduação Geomática 1 e Geomática 2; e pós-graduação Técnicas de Mensuração aplicadas na Engenharia de Transportes, Sistema de Posicionamento Global: teoria e prática. Livros publicados: GPS: Sistema de Posicionamento Global (EESC-USP, 2005), Topografia para Engenharia: Teoria e Prática de Geomática (Editora Elsevier, 2015) e Projeto Geométrico de Rodovias (Editora Elsevier, 2017).

Agradecimentos A publicação de um livro de exercícios exige a cooperação de várias pessoas, sem as quais seria impossível produzir um material com a qualidade necessária para torná-lo uma obra de consulta e de formação técnica importante. Em função da necessidade de revisões exaustivas, é sempre um trabalho que necessita de diferentes pontos de vista e verificações cruzadas para eliminar erros de interpretação e de resultados. Neste sentido, a participação dos estudantes de mestrado e de doutorado da área de Geomática do Programa de Pós-graduação em Engenharia de Transportes do Departamento de Engenharia de Transportes da Escola de Engenharia de São Carlos (USP) foi fundamental para a elaboração desta obra. A todos, os nossos sinceros agradecimentos. Gostaríamos também de agradecer a todas as pessoas que incentivaram e nos deram suporte para que esta obra fosse viável. Em particular à Editora Elsevier pela confiança depositada na publicação desta terceira obra sob a sua supervisão. Finalmente, agradecemos aos nossos familiares que silenciosamente se furtam de nossas companhias sem perder o sorriso e as palavras de apoio, que tanto nos ajudam e nos incentivam a seguir em frente com os nossos sonhos. Os autores

Prefácio dos Autores Este livro é composto de Exercícios Resolvidos e Propostos relacionados com os conceitos apresentados na obra predecessora sobre o mesmo tema: Topografia para Engenharia: Teoria e Prática de Geomática, publicado pela Editora Elsevier, em 2015. A razão da publicação do conjunto das obras em dois volumes se dá em função da abrangência dos temas tratados e da quantidade de exercícios disponibilizados mais de 600 que dificultam a publicação em um único volume. Os Exercícios Resolvidos apresentam todas as formulações correspondentes, as sequências de cálculo e seus respectivos resultados para esclarecerem quaisquer dúvidas dos leitores. Os Exercícios Propostos foram elaborados com o intuito de auxiliar o leitor na comprovação do seu aprendizado com todos os resultados apresentados no final de cada capítulo. Quando necessário, os exercícios e suas soluções são comentadas para esclarecer o procedimento de cálculo adotado. A ordem, a sequência e o nível de dificuldade dos exercícios foram estabelecidos de maneira a orientar o leitor na aplicação dos conceitos estudados. Fundamentalmente, este é um livro que pode ser utilizado tanto como material de suporte aos cursos de Engenharia Civil, Arquitetura, Engenharia Cartográfica e Agrimensura e outros, como material de consulta técnica aos profissionais envolvidos com a área de Geomática. Sempre que possível, os Exercícios Resolvidos estão encadeados para auxiliarem o leitor na compreensão geral de um problema mais amplo. Por essa razão, e em função dos exercícios terem sido resolvidos em planilha eletrônica, pode haver diferenças de valores nos casos em que o leitor adotar soluções individuais ou outros meios de cálculo para esses exercícios. Da mesma forma, para auxiliar o leitor na verificação dos seus resultados, muitas vezes são adotadas quantidades de casas decimais inexpressivas para a indicação do valor calculado sem, contudo, comprometer os valores calculados. Os autores

Sumário Os autores... v Agradecimentos... vii Prefácio dos Autores... ix Capítulo 1: Conceitos gerais de geomática... 1 Exercícios Resolvidos... 1 1.1. Conceitos gerais... 1 Exercícios Propostos... 5 Respostas dos Exercícios Propostos... 8 Capítulo 2: Conceitos básicos de geomática... 9 Exercícios Resolvidos... 9 2.1. Operações com ângulos... 9 2.2. Escala... 21 Exercícios Propostos... 24 Respostas dos Exercícios Propostos... 28 Capítulo 3: Referências geodésicas e topográficas...31 Exercícios Resolvidos... 31 3.1. Conceitos teóricos... 31 3.2. Sistema geodésico de referência... 33 3.3. Sistemas de coordenadas... 36 3.4. Transformação de coordenadas... 41 3.5. Cálculos elipsoidais... 51 Exercícios Propostos... 57 Respostas dos Exercícios Propostos... 62 Capítulo 4: Direções e ângulos...67 Exercícios Resolvidos... 67 4.1. Conceitos teóricos... 67 4.2. Azimute e rumo... 70 4.3. Medições angulares... 72 Exercícios Propostos... 81 Respostas dos Exercícios Propostos... 86 Capítulo 5: Distâncias...87 Exercícios Resolvidos... 87 5.1. Conceitos básicos... 87 5.2. Distância esférica e elipsoidal... 92 5.3. Medição de distâncias... 99

xii EXERCÍCIOS DE TOPOGRAFIA Exercícios Propostos... 103 Respostas dos Exercícios Propostos... 105 Capítulo 6: Altimetria...107 Exercícios Resolvidos... 107 6.1. Nivelamento geométrico... 107 6.2. Nivelamento trigonométrico... 123 Exercícios Propostos... 128 Respostas dos Exercícios Propostos... 136 Capítulo 7: Representação do relevo...139 Exercícios Resolvidos... 139 7.1. Conceitos gerais... 139 Exercícios Propostos... 144 Respostas dos Exercícios Propostos... 149 Capítulo 8: Instrumentos topográficos...151 Exercícios Resolvidos... 151 8.1. Tipos de instrumentos... 151 8.2. Erros instrumentais... 153 Exercícios Propostos... 155 Respostas dos Exercícios Propostos... 158 Capítulo 9: Sistemas de projeção...159 Exercícios Resolvidos... 159 9.1. Projeções... 159 9.2. Cálculos na Projeção UTM... 161 Exercícios Propostos... 170 Respostas dos Exercícios Propostos... 173 Capítulo 10: Cálculos topométricos...175 Exercícios Resolvidos... 175 10.1. Cálculos topométricos no plano topográfico... 175 10.2. Cálculos topométricos envolvendo coordenadas UTM... 206 Exercícios Propostos... 218 Respostas dos Exercícios Propostos... 223 Capítulo 11: Apoio topográfico poligonais...225 Exercícios Resolvidos... 225 11.1. Conceitos gerais... 225 11.2. Cálculo e compensação de poligonais no plano topográfico... 227 11.3. Cálculo e compensação de poligonais no plano de projeção UTM... 239 Exercícios Propostos... 258 Respostas dos Exercícios Propostos... 262 Capítulo 12: Sistemas de posicionamento global por satélites...263 Exercícios Resolvidos... 263 12.1. Conceitos gerais... 263

SUMÁRIO xiii 12.2. Métodos de posicionamento... 266 Exercícios Propostos... 268 Respostas dos Exercícios Propostos... 271 Capítulo 13: Modelo numérico de terreno...273 Exercícios Resolvidos... 273 13.1. Conceitos gerais... 273 Exercícios Propostos... 275 Respostas dos Exercícios Propostos... 276 Capítulo 14: Levantamento de detalhes e locação de obras...277 Exercícios Resolvidos... 277 14.1. Conceitos gerais... 277 Exercícios Propostos... 281 Capítulo 15: Áreas...283 Exercícios Resolvidos... 283 15.1. Métodos geométricos de cálculo de áreas... 283 15.2. Métodos analíticos de cálculo de áreas... 286 15.3. Divisão de áreas... 288 Exercícios Propostos... 298 Respostas dos Exercícios Propostos... 301 Capítulo 16: Curvas horizontais e verticais...303 Exercícios Resolvidos... 303 16.1. Curva horizontal circular simples... 303 16.2. Curva horizontal com transição... 313 16.3. Curva vertical... 316 Exercícios Propostos... 320 Respostas dos Exercícios Propostos... 324 Capítulo 17: Cálculo de volumes...327 Exercícios Resolvidos... 327 17.1. Cálculo de volume a partir de seções transversais... 327 17.2. Cálculo de volume a partir de troncos de prismas... 338 Exercícios Propostos... 343 Respostas dos Exercícios Propostos... 347

CAPÍTULO 1 CONCEITOS GERAIS DE GEOMÁTICA Exercícios Resolvidos 1.1. Conceitos gerais Resolvido 1 Considerando que a Geomática é uma disciplina que se insere na área de estudo das ciências da Terra, denominada Geociências, defina o que é Geociências. Dá-se o nome de Geociências a qualquer uma das ciências relacionadas com o estudo do planeta Terra, tais como Cartografia, Geografia, Geologia, Geofísica, Oceanografia, Geodésia, Topografia, Astronomia, Meteorologia, entre outros. Resolvido 2 Entre as diversas ciências categorizadas como Geociências, a Topografia e a Geodésia possuem uma posição de destaque para a Engenharia Civil, pelo fato de serem áreas de conhecimento relacionadas com o mapeamento da Terra e, portanto, fundamentais para o desenvolvimento de projetos de engenharia. Neste sentido, descreva as principais diferenças entre essas duas ciências. Em termos práticos, tanto a Geodésia quanto a Topografia estão relacionadas com a descrição da Terra, seja de uma forma global ou como uma parcela da mesma. Podem ser consideradas duas ciências complementares, uma vez que a Geodésia se preocupa com a determinação do tamanho, da forma, dos modelos de representação da Terra e com a variação do seu campo gravitacional, aliado ao posicionamento preciso de pontos na sua superfície ou próximo a ela, enquanto a Topografia se preocupa com a descrição da forma, do posicionamento espacial relativo e com a representação de objetos artificiais ou naturais da superfície terrestre (relevo) ou próximos a ela. Resumidamente, pode-se dizer que a Geodésia se preocupa com o planeta Terra como um todo, enquanto a Topografia se preocupa com as irregularidades. Resolvido 3 Nas últimas décadas, vários profissionais relacionados com as Geociências passaram a adotar o termo Geomática para definir a sua área de atividades científicas. Neste contexto, explique o significado deste termo no campo das Geociências.

CAPÍTULO 2 CONCEITOS BÁSICOS DE GEOMÁTICA Exercícios Resolvidos 2.1. Operações com ângulos Resolvido 1 Expresse o valor angular 0,6 o em minutos sexagesimais. Um grau sexagesimal é igual a 60 minutos. Assim, 0, 6 o * 60 = 36 Resolvido 2 Expresse o valor angular 0,016 o em segundos sexagesimais. Um grau sexagesimal é igual a 3.600 segundos. Assim, 0, 016 o * 3. 600 = 57, 6 Resolvido 3 Expresse o valor angular 95,1245 em graus sexagesimais. Para a conversão de graus decimais para graus sexagesimais retém-se o valor inteiro do grau decimal, em seguida multiplica-se o valor decimal respectivo por 60, retém-se o valor inteiro do minuto e, finalmente, multiplica-se o valor decimal dos minutos por 60 para obter os respectivos valores em segundos. Assim, 95, 1245 o = 95 o + 0, 1245 o o 0, 1245 * 60 = 7, 4700' = 7' + 0, 4700' 0, 4700'* 60 = 28 "

CAPÍTULO 3 REFERÊNCIAS GEODÉSICAS E TOPOGRÁFICAS Exercícios Resolvidos 3.1. Conceitos teóricos Resolvido 1 De acordo com os conceitos sobre superfícies de referência geodésicas adotadas na Geomática, indique qual superfície corresponde a cada um dos números indicados na Figura 3.1. FIGURA 3.1 : Superfícies de referência geodésicas. 1 = Superfície topográfica (relevo do terreno) 2 = Superfície geoidal 3 = Superfície elipsoidal

CAPÍTULO 4 DIREÇÕES E ÂNGULOS Exercícios Resolvidos 4.1. Conceitos teóricos Resolvido 1 Em função do tipo de modelo funcional utilizado na Geomática para a determinação de coordenadas de pontos no espaço, os cálculos topométricos relacionados a ele são realizados baseando-se em dois tipos de ângulos. Indique quais são esses ângulos e a diferença entre eles. Para os propósitos da Geomática, as medições em campo e os respectivos cálculos topométricos são realizados em função de ângulos horizontais e ângulos verticais. Ângulo horizontal é definido como o ângulo diedro entre dois planos verticais que contêm duas direções espaciais quaisquer; e ângulo vertical é definido como a diferença entre as direções de duas retas não paralelas situadas em um mesmo plano vertical. Resolvido 2 Em função do tipo de trabalho a ser realizado em campo, o engenheiro pode utilizar dois tipos diferentes de ângulos verticais. Explique quais são eles e em quais situações ele deve optar pelo uso de um ou de outro. Para os propósitos da Geomática existem dois tipos de ângulos verticais: ângulo vertical de altura e ângulo vertical zenital. Ângulo vertical de altura é o ângulo gerado entre a direção de visada de um instrumento topográfico e a sua projeção no plano horizontal do observador. Ângulo vertical zenital é o ângulo gerado entre a direção de visada de um instrumento topográfico e a linha vertical do lugar passando pelo vértice da medição angular. A escolha do uso de um ou de outro tipo de ângulo vertical depende do trabalho a ser realizado. Nos casos em que se trabalha com determinações de rampas, como em redes de esgoto, traçados de rodovias e outros, pode ser mais interessante

CAPÍTULO 5 DISTÂNCIAS Exercícios Resolvidos 5.1. Conceitos básicos Resolvido 1 Para os cálculos topométricos da Geomática existem cinco tipos de distância que devem ser consideradas. Indique quais são elas: As cinco distâncias consideradas na Geomática são: Distância inclinada. Distância horizontal. Distância vertical. Distância esférica ou elipsoidal. Distância plana. Resolvido 2 Considerando os tipos de distâncias indicados no exercício resolvido anterior, explique a diferença entre distância horizontal e distância plana. Distância horizontal é a distância medida ou projetada sobre o plano perpendicular à vertical do lugar, na altitude onde se encontra instalado o instrumento topográfico, ou seja, é a distância contida no plano horizontal perpendicular à linha de prumo no local onde se encontra o instrumento. Por outro lado, distância plana é a distância determinada sobre um plano de projeção cartográfica, ou seja, é a distância obtida em função da projeção matemática da superfície elíptica da Terra sobre uma superfície plana. Pode-se dizer que a distância horizontal é uma distância física, enquanto a distância plana é uma distância algébrica (matemática).

CAPÍTULO 6 ALTIMETRIA Exercícios Resolvidos 6.1. Nivelamento geométrico Resolvido 1 A Altimetria é uma área de estudo da Geomática extremamente importante para as Geociências bem como para a engenharia em geral. É por intermédio de técnicas de altimetria que se determinam as diferenças de altura entre objetos na superfície terrestre. Neste sentido, defina o que é Altimetria. Dá-se o nome de Altimetria, em Geomática, à área de estudo acadêmico que trata dos métodos e das técnicas utilizados para a determinação de altitudes e/ou de alturas geométricas (elipsoidais) e suas diferenças, entre pontos na superfície terrestre ou próximo a ela. Resolvido 2 Considerando a definição de Altimetria apresentada no exercício resolvido anterior, indique qual o nome dado ao conjunto de operações de campo realizadas para a determinação de altitudes ou de diferenças de alturas entre objetos na superfície terrestre. Ao conjunto de operações de campo realizadas para a determinação de altitudes ou de diferenças de alturas entre objetos na superfície terrestre, dá-se o nome de levantamento altimétrico ou nivelamento. Resolvido 3 Considerando a definição de levantamento altimétrico apresentada no exercício resolvido anterior, indique quais são os métodos de nivelamento disponíveis atualmente para a determinação de diferenças de alturas entre objetos na superfície terrestre. Indique-os por ordem decrescente de precisão na diferença de altura determinada.

CAPÍTULO 7 REPRESENTAÇÃO DO RELEVO Exercícios Resolvidos 7.1. Conceitos gerais Resolvido 1 Considerando a importância da representação do relevo do terreno para a elaboração e implantação de projetos de engenharia, indique quais são os processos de representação de relevo utilizados na engenharia civil. A engenharia civil utiliza quatro processos de representação do relevo para os seus projetos. São eles: Representação do perfil do terreno. Representação por pontos cotados. Representação em curvas de nível. Representação por vista em perspectiva. Resolvido 2 A representação do relevo por intermédio de pontos cotados gera um conjunto de pontos com coordenadas ( X,Y,H ) conhecidas, porém, com muito pouca aplicação direta em projetos de engenharia. Desta forma, explique qual é a principal utilidade do conjunto de pontos cotados de uma superfície para os projetos de engenharia. O conjunto de pontos cotados de uma superfície do terreno é utilizado em projetos de engenharia, principalmente, como dados discretos para a geração de Modelos Numéricos do Terreno (MNT). Em casos especiais, em que o usuário não quer utilizar um MNT, ele tem sido utilizado para elaboração de mapas de declividade, traçado manual de perfis, curvas de nível e outros.

CAPÍTULO 8 INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS Exercícios Resolvidos 8.1. Tipos de instrumentos Resolvido 1 Entre os diversos instrumentos utilizados nas medições topográficas, o teodolito eletrônico e a estação total possuem posição de destaque. Nestes termos, indique a principal diferença entre eles com relação aos seus atributos para as medições de campo. Com relação aos atributos para as medições de campo, a principal diferença entre um teodolito eletrônico e uma estação total reside no fato de que o teodolito permite apenas a medição angular (direções horizontais e ângulos verticais), enquanto a estação total permite também medir distâncias por intermédio de um distanciômetro eletrônico instalado na sua luneta, além de outros atributos. Resolvido 2 Explique o significado de cada um dos termos indicados abaixo relativos ao uso de um instrumento topográfico. a) Estação. b) Nivelar o instrumento. c) Centrar o instrumento. d) Estacionar ou instalar o instrumento. e) Linha de visada. Estação : ponto materializado no terreno e sobre o qual se instala um instrumento topográfico. Nivelar o instrumento : procedimento realizado para posicionar o eixo vertical do instrumento em coincidência com a linha vertical do lugar. Centrar o instrumento : procedimento realizado para posicionar o eixo vertical do instrumento em coincidência com o ponto materializado no terreno.

CAPÍTULO 9 SISTEMAS DE PROJEÇÃO Exercícios Resolvidos 9.1. Projeções Resolvido 1 Considerando a importância das projeções cartográficas para a Geomática, explique o que é uma projeção cartográfica. Para a Geomática, uma projeção cartográfica (ou projeção geodésica) é a representação da superfície terrestre elipsoidal sobre uma superfície plana de projeção, ou seja, a transformação das coordenadas geodésicas ( φg, λ g ) para as coordenadas cartesianas planas (E,N). Resolvido 2 Em função de suas características geométricas projetivas, as projeções cartográficas podem ser classificadas de diferentes maneiras. Explique quais são as principais delas. Tipo de superfície de projeção : cilíndrica, cônica ou azimutal. Tipo de distorção geométrica : conforme, equivalente ou não mantém nenhuma característica geométrica (Afiláticas). Aspecto : normal, transversa ou oblíqua. Quanto à situação da superfície de projeção: tangente e secante. Resolvido 3 Considerando o tipo da superfície de projeção, explique o que é uma projeção cartográfica cilíndrica. Uma projeção cartográfica é considerada cilíndrica quando a superfície de projeção é um cilindro, ou seja, a superfície esférica da Terra é projetada sobre um cilindro tangente ou secante ao globo terrestre.

CAPÍTULO 10 CÁLCULOS TOPOMÉTRICOS Exercícios Resolvidos 10.1. Cálculos topométricos no plano topográfico Resolvido 1 Dadas as coordenadas cartesianas planas topográficas dos pontos (P1), (P2), (P3) e (P4) indicadas na Tabela 10.1, calcule os azimutes e as distâncias horizontais entre os pontos dos alinhamentos P1-P2, P1-P3, P1-P4, P3-P2 e P3-P4. TABELA 10.1 Coordenadas cartesianas planas topográficas dos pontos conhecidos. Ponto X [m] Y [m] P1 5.000,000 10.000,000 P2 5.845,000 10.175,000 P3 6.211,167 9.169,844 P4 4.773,746 9.339,945 Para o cálculo dos azimutes e das distâncias entre os pontos dos alinhamentos indicados é necessário, primeiramente, calcular as diferenças de coordenadas entre os pontos extremos dos alinhamentos. Assim, conforme indicado na Tabela 10.2, tem-se: TABELA 10.2 Diferenças de coordenadas. Alinhamento ΔX [m]δy [m] P1-P2 845,000 175,000 P1-P3 1.211,167-830,156 P1-P4-226,254-660,055 P3-P2-366,167 1.005,156 P3-P4-1.437,421 170,101