UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO STRICTO SENSU MESTRADO PROFISSIONAL EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO STRICTO SENSU MESTRADO PROFISSIONAL EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA UNIDADE DE ENSINO POTENCIALMENTE SIGNIFICATIVA PARA SUBSIDIAR O ESTUDO DE GEOMETRIA ANALÍTICA AUXILIADA PELO SOFTWARE GEOGEBRA GILNEI MENDES Vassouras 2015

GILNEI MENDES UNIDADE DE ENSINO POTENCIALMENTE SIGNIFICATIVA PARA SUBSIDIAR O ESTUDO DE GEOMETRIA ANALÍTICA AUXILIADA PELO SOFTWARE GEOGEBRA Produto da dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu Mestrado Profissional em Educação Matemática da Universidade Severino Sombra, como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Educação Matemática. Orientador: Profº Drº Carlos Vitor de Alencar Carvalho Vassouras 2015

Caro Professor, A elaboração desta Unidade de Ensino Potencialmente Significativa (UEPS), para o ensino da Geometria Analítica (GA), surgiu de uma inquietação profissional própria relativa à metodologia utilizada no processo de ensino de circunferência, elipse, hipérbole e parábola, que utilizei durante vários anos no exercício do magistério. Causava-me insatisfação os resultados obtidos com a aplicação de minhas avaliações. Com isso, pude perceber a ausência de aprendizagem significativa no ensino desses conteúdos de GA, concluindo que esses assuntos necessitavam de uma abordagem mais sistemática e detalhada. Diante disso, iniciei uma pesquisa a fim de verificar qual a metodologia mais adequada ao bom aproveitamento e que nos ajudasse a mitigar o ensino desses conteúdos matemáticos. Sendo assim, elaboramos esta UEPS com o intuito de trazer contribuições a professores e alunos em seus trabalhos de ensino e de aprendizagem relativos a esses institutos matemáticos. Saudações Gilnei Mendes

LISTA DE SIGLAS AS - Aprendizagem Significativa EM - Ensino Médio GA - Geometria Analítica IES - Instituições de Ensino Superior PCN - Parâmetros Curriculares Nacionais TIC - Tecnologias de Informação e Comunicação UEPS - Unidade de Ensino Potencialmente Significativa UFRGS - Universidade Federal do Rio Grande do Sul

LISTA DE APÊNDICES Apêndice A Pré-teste... 19 Apêndice B Conceitos sobre circunferência e cônicas... 20 Apêndice C Posições e equações da circunferência e cônicas... 24 Apêndice D Possibilidades de construções de circunferência no GeoGebra.. 42 Apêndice E Possibilidades de construções de elipse no GeoGebra... 44 Apêndice F Possibilidades de construções de hipérbole no GeoGebra... 46 Apêndice G Possibilidades de construções de parábola no GeoGebra... 49 Apêndice H Exercícios sobre circunferência... 52 Apêndice I Exercícios sobre elipse... 54 Apêndice J Exercícios sobre hipérbole... 56 Apêndice K Exercícios sobre parábola... 58 Apêndice L Avaliação... 60 Apêndice M Avaliação Mediada pelo Formulário do Google... 62 Apêndice N Avaliação da UEPS... 67

LISTA DE FIGURAS Figura 1 Principais elementos da circunferência... 20 Figura 2 Principais elementos da elipse... 21 Figura 3 Principais elementos da hipérbole... 22 Figura 4 Principais elementos da parábola... 23 Figura 5 Circunferência com centro na origem do plano cartesiano... 24 Figura 6 Circunferência com centro fora da origem do plano cartesiano... 25 Figura 7 Figura 8 Figura 9 Figura 10 Figura 11 Figura 12 Figura 13 Figura 14 Figura 15 Figura 16 Figura 17 Elipse de eixo maior horizontal com centro na origem do plano cartesiano.... 26 Elipse de eixo maior vertical com centro na origem do plano cartesiano.... 27 Elipse de eixo maior horizontal com centro fora da origem do plano cartesiano.... 28 Elipse de eixo maior vertical com centro fora da origem do plano cartesiano.... 29 Hipérbole com eixo real sobre o eixo x e centro na origem do plano cartesiano... 30 Hipérbole com eixo real sobre o eixo y e centro na origem do plano cartesiano... 31 Hipérbole com eixo real paralelo ao eixo x e centro fora origem do plano cartesiano.... 32 Hipérbole com eixo real paralelo ao eixo y e centro fora origem do plano cartesiano.... 33 Parábola com vértice na origem, eixo de simetria coincidente com o eixo y e concavidade voltada para cima.... 34 Parábola com vértice na origem, eixo de simetria coincidente com o eixo y e concavidade voltada para baixo... 35 Parábola com vértice na origem, eixo de simetria coincidente com o eixo x e concavidade voltada para direita... 36

Figura 18 Figura 19 Figura 20 Figura 21 Figura 22 Parábola com vértice na origem, eixo de simetria coincidente com o eixo x e concavidade voltada para esquerda... 37 Parábola com vértice fora da origem, eixo de simetria paralelo ao eixo y e concavidade voltada para cima... 38 Parábola com vértice fora da origem, eixo de simetria paralelo ao eixo y e concavidade voltada para baixo... 39 Parábola com vértice fora da origem, eixo de simetria paralelo ao eixo y e concavidade voltada para baixo... 40 Parábola com vértice fora da origem, eixo de simetria paralelo ao eixo x e concavidade voltada para direita.... 41 Figura 23 Identificação do usuário... 62 Figura 24 Questão 1 do formulário do Google... 63 Figura 25 Questão 2 do formulário do Google... 64 Figura 26 Questão 3 do formulário do Google... 65 Figura 27 Questão 4 do formulário do Google... 66

LISTA DE QUADRO Quadro 1 Sugestão de roteiro para o ensino de circunferência e cônicas...13

SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO... 10 2 IMPLEMENTAÇÃO COM RECURSOS DIDÁTICOS E METODOLÓGICOS... 12 3 UNIDADE DE ENSINO POTENCIALMENTE SIGNIFICATIVA... 15 3.1 ATIVIDADES INICIAIS... 15 3.2 SITUAÇÃO-PROBLEMA... 15 3.3 O PROCESSO DE ENSINO... 15 3.4 DIFERENCIAÇÃO PROGRESSIVA... 16 3.5 NOVA SITUAÇÃO-PROBLEMA EM NÍVEL MAIS ALTO DE COMPLEXIDADE.. 16 3.6 AVALIAÇÃO... 16 3.7 AVALIAÇÃO DA PRÓPRIA UEPS... 16 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS... 17 REFERÊNCIAS... 18 APÊNDICES... 19

1 INTRODUÇÃO Com o aumento da oferta de cursos superiores no País, houve uma democratização na forma de ingresso na maior parte das Instituições de Ensino Superior (IES), fazendo com que a figura do vestibular tradicional fosse derrogado em várias dessas instituições em prol de outras formas ingressos. Essa situação acentua-se, principalmente, nas instituições privadas de ensino superior, em que as seleções de novos candidatos nem sempre selecionam alunos com conhecimentos necessários, para que tenham condições de se manter em determinados cursos, por conta de uma formação anterior lacunosa. Algumas dessas IES, a fim de mitigar parte dessas dificuldades, oferecem nivelamento para alunos iniciantes. Todavia, o resultado esperado nem sempre fica a contento. Pois, parte dessas iniciativas, as aulas são oferecidas em horários incompatíveis com os vínculos empregatícios desses discentes. Diante dessa situação, realizou-se o estudo de várias metodologias de diferentes teóricos, para identificar qual o aporte pedagógico mais adequado para otimizar práticas do ensino e da aprendizagem, de forma a permear essas atividades de um embasamento teórico, metodológico e epistemológico, que ofereçam resultados mais satisfatórios frente a essa realidade enfrentada por professores e alunos. Para isso, adotamos a Aprendizagem Significativa desenvolvida, em meados de 1960, pelo teórico cognitivista, David Paul Ausubel. Esse autor destaca a importância de conhecimentos pré-existentes na estrutura cognitiva para ancoragem de novos conteúdos. Define que a assimilação desses novos conhecimentos correlaciona-se com uma estrutura cognitiva presente, facilitando o processo de aprendizagem. No sentido de confirmar essa teoria, bem como buscar efetividade na aprendizagem, buscou-se uma estratégia de ensino baseada em forma de UEPS, criada em 2011 pelo eminente pesquisador Marco Antônio Moreira, atualmente professor aposentado pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS). 10

Dessa forma, esta proposta ocupa-se da apresentação de uma Unidade de Ensino Potencialmente Significativa (UEPS) fundamentada na Aprendizagem Significativa 1 (AS), de forma a apresentar possibilidades de ensino com o objetivo de otimizar uma aprendizagem mais efetiva em substituição a aprendizagem mecânica 2 de forma exclusiva. 1 Aprendizagem significativa: aprendizagem com significado, compreensão, capacidade de explicar, de aplicar o conhecimento adquirido a novas situações; resulta da interação cognitiva não-arbitrária e não-literal entre conhecimentos prévios e novos conhecimentos; depende fundamentalmente de conhecimentos prévios que permitam ao aprendiz captar significados (em uma perspectiva interacionista, dialética, progressiva) dos novos conhecimentos e, também, de sua intencionalidade para essa captação. 2 Aprendizagem mecânica: é a memorização, sem significado, de informações a serem reproduzidas a curto prazo; aprender mecanicamente é simplesmente decorar. Do ponto de vista cognitivo, as informações são internalizadas praticamente sem interação com conhecimentos prévios. No cotidiano escolar, é a decoreba. 11

2 IMPLEMENTAÇÃO COM RECURSOS DIDÁTICOS E METODOLÓGICOS Com a crescente difusão de novas Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC), o ensino da Geometria vem sendo bastante influenciado no que tange ao processo de ensino e de aprendizagem. Pois, o desenvolvimento de softwares específicos permite a professores e alunos uma interação bem mais dinâmica comparada aos recursos tradicionais. Ademais, o uso planejado e otimizado dos recursos tecnológicos, além de gerar qualidade, precisão e celeridade no processo educacional, poderá oferecer um viés mais interpretativo ao aluno, segundo Gravina e Santarosa (1998, p.1): Os programas que fazem traduções entre diferentes sistemas de representação apresentam-se como potentes recursos pedagógicos, principalmente porque o aluno pode concentrar-se em interpretar o efeito de suas ações frente às diferentes representações, até de forma simultânea, e não em aspectos relativos à transição de um sistema a outro, atividade que geralmente demanda tempo. Entretanto, antes da utilização metodológica de softwares, faz-se necessário a identificação das competências e habilidades que devam ser alcançadas. Diante disso, com base nos documentos oficiais, que descrevem objetivos e conteúdos para o Ensino Médio, apresentaremos quais as habilidades e competências objetivadas no ensino da Geometria Analítica, conforme os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de Matemática. Resolver um problema identificando as variáveis envolvidas e as formas de resolução. Associar a linguagem algébrica e geométrica. Utilizar processos algébricos para resolver situações-problema e geometria plana. Esboçar determinada curva a partir de sua representação algébrica. Nesse sentido, esperamos que o conjunto de saberes adquiridos no ensino da Matemática possa ser utilizado não só na resolução de problemas estritamente matemáticos, mas também ampliados na análise de situações que venham a surgir 12

nas demais disciplinas, assumindo um caráter interdisciplinar, proporcionando ao aluno um pensamento matemático mais amplo. Diante disso, estaremos tratando o ensino da circunferência, da elipse, a hipérbole e parábola com detalhamento específico, que julgamos ser imprescindível a compreensão das relações existentes nesses institutos. Para isso, dividiremos nosso estudo conforme descrito no quadro 1. Quadro 1 - Sugestão de roteiro para o ensino de circunferência e cônicas CIRCUNFERÊNCIA ELIPSE HIPÉRBOLE PARÁBOLA 1) Apresentar os 1) Apresentar os 1) Apresentar os 1) Apresentar os elementos da elementos da elementos da elementos da circunferência que elipse que serão hipérbole que serão parábola que serão utilizados, de utilizados, de forma utilizados, de forma serão utilizados, forma direta, na direta e indireta, na direta indireta, na de forma direta e composição de suas composição de composição de indireta, na equações. suas equações. suas equações. composição de suas equações. 2) Identificar o valor 2) Identificar o 2) Identificar o valor 2) Apresentar a do raio e as valor dos semi- dos semi-eixos e relação coordenadas do eixos e da semi- da semi-distância matemática entre centro da distância focal da focal da hipérbole as coordenadas circunferência no elipse no plano no plano do foco, do plano cartesiano. cartesiano. cartesiano. vértice e da reta diretriz. 3) Conhecer a 3) Apresentar a 3) Apresentar a 3) Identificar a forma genérica da relação matemática relação matemática equação a reta equação reduzida e entre os semi-eixos entre os semi-eixos diretriz, as a equação geral da e a semi-distância e a semi-distância coordenadas do circunferência. focal da elipse. focal da hipérbole. vértice e do foco da parábola. 13

4) Substituir o valor 4) Identificar as 4) Identificar as 4) Relacionar as do raio e as coordenadas dos coordenadas dos posições das coordenadas do vértices, dos focos, vértices, dos focos, parábolas com centro na equação do centro e dos do centro e dos suas respectivas reduzida da pólos da elipse. pólos da hipérbole. equações. circunferência. 5) Desenvolver a 5) Conhecer a 5) Conhecer a 5) Conhecer a equação reduzida forma genérica da forma genérica da forma genérica da na equação geral da equação reduzida e equação reduzida e equação reduzida circunferência. da equação geral da equação geral e da equação da elipse. da hipérbole. geral da parábola. 6) Relacionar as 6) Relacionar as 6) Relacionar as posições das posições das posições das elipses com suas hipérboles com parábolas com respectivas suas respectivas suas respectivas equações. equações. equações. 7) Substituir o valor 7) Substituir o valor 7) Substituir o dos semi-eixos e as dos semi-eixos e as valor do coordenadas do coordenadas do parâmetro na centro na equação centro na equação equação da da elipse. da hipérbole. parábola. Fonte: o próprio autor 14

3 UNIDADE DE ENSINO POTENCIALMENTE SIGNIFICATIVA Esta UEPS, baseada nas lições de Moreira e mediada tecnologicamente pelo GeoGebra, pretende elevar a aprendizagem de circunferência e cônicas, sendo desenvolvida em 7 etapas sequenciais. Título: Unidade de Ensino Potencialmente Significativa para Subsidiar o Estudo de Geometria Analítica Auxiliada pelo Software GeoGebra. Objetivo: Otimizar o ensino e a aprendizagem de circunferência e cônicas. 3.1 ATIVIDADES INICIAIS Será proposto aos alunos um pré-teste, conforme descrito no apêndice A contendo assuntos necessários para garantir uma aprendizagem significativa no ensino de circunferência e cônicas. Esta atividade será desenvolvida em 2 aulas. 3.2 SITUAÇÃO-PROBLEMA A situação-problema consistirá na exposição dos conceitos e elementos da circunferência e cônicas, que será desenvolvida em 4 aulas. O Apêndice B contém a introdução dos assuntos supracitados. 3.3 O PROCESSO DE ENSINO O processo de ensino será desenvolvido em 8 aulas, abordando as diferentes posições e respectivas equações que cada um desses entes matemáticos podem ocupar no plano cartesiano, conforme o detalhamento no apêndice C. Além disso, será utilizado o software GeoGebra para os alunos poderem efetuar construções a fim 15

de garantir autonomia na aprendizagem da circunferência, elipse, hipérbole e parábola. Os apêndices D, E, F e G guiarão os alunos nesta tarefa. 3.4 DIFERENCIAÇÃO PROGRESSIVA Nesta etapa, o aluno determinará as coordenadas do centro e o valor do raio da circunferência, bem como as coordenadas dos pontos notáveis da elipse, hipérbole e parábola. Os apêndices H, I, J e K serão compostos por exercícios de fixação que possibilitarão a aprendizagem desses conteúdos, devendo esta atividade ser desenvolvida em 4 aulas. 3.5 NOVA SITUAÇÃO-PROBLEMA EM NÍVEL MAIS ALTO DE COMPLEXIDADE Tomando como base os apêndices H, I, J e K, o aluno determinará a equação reduzida da circunferência, da elipse, da hipérbole e da parábola, devendo ser desenvolvida em 4 aulas. 3.6 AVALIAÇÃO A fim de mensurar a aprendizagem, será proposto uma avaliação ao aluno contemplando exercícios mais complexos sobre circunferência e cônicas, explorando o domínio algébrico e geométrico. Esta avaliação encontra-se no Apêndice L ou no formulário eletrônico do Google detalhado no Apêndice M, disponível em <http://goo.gl/forms/tqlnveb29j>, devendo ser desenvolvida em 4 aulas. 3.7 AVALIAÇÃO DA PRÓPRIA UEPS Para avaliação desta própria UEPS, será fornecido ao estudante um questionário, conforme o apêndice N deste trabalho, que será respondido em 1 aula. 16

4 CONSIDERAÇÕES FINAIS A presente proposta procurou apresentar possibilidades de ensino e aprendizagem em substituição a práticas educacionais de pouca efetividade, valendose da indução de conhecimentos subsunçores para que haja acomodação de novos conhecimentos no processo de aprendizagem, de forma a apartar uma aprendizagem que seja puramente mecânica. Outra vertente foi a implementação tecnológica do GeoGebra, por conta da simplicidade de sua interface gráfica, bem como a concentração, num único ambiente, dos recursos algébricos e geométricos, contribuindo para uma aprendizagem mais autônoma. Dessa forma, esperamos que a elaboração desta UEPS, além de servir de apoio didático aos professores, atenda aos alunos que necessitem estudar circunferência e cônicas, facilitando o desenvolvimento de habilidades matemáticas e a efetivação de aprendizagem mais significativa. 17

REFERÊNCIAS AUSUBEL, D.P. Aquisição e Retenção de Conhecimentos: uma perspectiva cognitiva. 1 ed. Lisboa: Plátano, 2003. BRASIL. MEC. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática: Ensino Médio. Brasília: MEC/SEF, 2006. GRAVINA, M. A.; SANTAROSA, L. M. A Aprendizagem da Matemática em Ambientes Informatizados. IV Congresso RIBIE, p. 1-16. Brasília, 1998. HOHENWARTER, M. Geogebra: informações. 2007. Disponível em: <http//www.geogebra.org/help/docupt_br.pdf>. Acesso em: 27 dez. 2014. MOREIRA, M.A. Unidades de Ensino Potencialmente Significativas-UEPS, v. 6, 22p., 2011b. Disponível em: <http://moreira.if.ufrgs.br/uepsport.pdf>. Acesso em: 20 dez. 2014. SITES CONSULTADOS: <http://goo.gl/forms/tqlnveb29j>. Acesso em: 10 jan. 2015. 18

APÊNDICES Apêndice A Pré-teste 1. Desenvolva os seguintes produtos notáveis: a) (x + 1) 2 = b) (y 5) 2 = 2. Simplifique, se possível: a) 8 b) 60 3. Racionalize as frações abaixo: a) 3 5 b) 2 6 4. Calcule o valor do x nos seguintes triângulos retângulo: a) b) x 5 6 x 4 3 5. Calcule a distância entre os pontos (2, 1) e (0, 3). 19

Apêndice B Conceitos sobre circunferência e cônicas 1 Circunferência 1.1 Definição de circunferência É uma linha fechada em um plano, em que todos os pontos estão a uma mesma distância de um ponto fixo denominado centro. Cada segmento de reta com uma extremidade no centro e outra extremidade na circunferência é chamado raio. 1.2 Elementos principais Observe na figura 1 os principais elementos da circunferência. Figura 1 - Principais elementos da circunferência Fonte: o próprio autor C : centro r : raio da circunferência P : ponto genérico da circunferência 20

2 Elipse 2.1 Definição de elipse É o conjunto de todos os pontos em um plano cuja soma as distâncias a dois pontos fixos denominados focos é constante e igual ao eixo maior dessa elipse. 2.2 Elementos principais Observe na figura 2 os principais elementos da elipse. Figura 2 - Principais elementos da elipse Fonte: o próprio autor A 1e A 1: vértices ou extremidades do eixo maior B 1e 2 B : extremidades do eixo menor F1 e F 2 : focos O : centro 2a : medida do eixo maior 2 b : medida do eixo menor 2c : distância focal e : excentricidade (e = c a ) 21

3 Hipérbole 3.1 Definição de hipérbole É o conjunto de todos os pontos em um plano cuja diferença em módulo da distância de cada um deles aos focos é constante e igual ao eixo real ou transverso dessa hipérbole. 3.2 Elementos principais Observe na figura 3 os principais elementos da hipérbole Figura 3 - Principais elementos da hipérbole. Fonte: o próprio autor A1 e A 1 : vértices ou extremidades do eixo real ou transverso B : extremidades do eixo imaginário ou conjugado B 1e 2 F1 e F 2 : focos O : centro 2a : medida do eixo real ou transverso : medida do eixo imaginário ou conjugado 2b 2c : distância focal e : excentricidade (e = c a ) 22

4 Parábola 4.1 Definição de parábola É o conjunto de todos os pontos em um plano cuja distância a um ponto fixo denominado foco é igual à distância a uma reta dada denominada diretriz. 4.2 Elementos principais Observe na figura 4 os principais elementos da parábola Figura 4 - Principais elementos da parábola Fonte: o próprio autor F : foco FV : eixo de simetria (perpendicular à reta d) V : vértice D 1 e D 2 : pontos pertencentes à reta diretriz d : reta diretriz P 1 e P 2 : pontos pertencentes à parábola 23

Apêndice C Posições e equações da circunferência e cônicas 1 Posição e equações da circunferência 1.1 Circunferência com centro na origem do plano cartesiano, conforme figura 5. Figura 5 - Circunferência com centro na da origem do plano cartesiano Fonte: o próprio autor Equação reduzida da circunferência: ( x a)² ( y b)² r² Equação geral da circunferência: x ² y² r² 0 24

1.2 Circunferência com centro fora da origem do plano cartesiano, conforme figura 6. Figura 6 - Circunferência com centro fora da origem do plano cartesiano Fonte: o próprio autor Equação reduzida da circunferência: ( x a)² ( y b)² r² Equação geral da circunferência: x² y² 2ax 2by a² b² r² 0 25

2 Posições e equações da elipse 2.1 Elipse de eixo maior horizontal com centro na origem do plano cartesiano, conforme figura 7. Figura 7 - Elipse de eixo maior horizontal com centro na origem do plano cartesiano Fonte: o próprio autor x² y² Equação reduzida da elipse: 1 a² b ² 26

2.2 Elipse de eixo maior vertical com centro na origem do plano cartesiano, conforme figura 8. Figura 8 - Elipse de eixo maior vertical com centro na origem do plano cartesiano Fonte: o próprio autor Equação reduzida da elipse: x² y² b² a ² 1 27

2.3 Elipse de eixo maior horizontal com centro fora da origem do plano cartesiano, conforme figura 9. Figura 9 - Elipse de eixo maior horizontal com centro fora da origem do plano cartesiano Fonte: o próprio autor ( x xo )² ( y yo )² Equação reduzida da elipse: 1 a² b² 28

2.4 Elipse de eixo maior vertical com centro fora da origem do plano cartesiano, conforme figura 10. Figura 10 - Elipse de eixo maior vertical com centro fora da origem do plano cartesiano Fonte: o próprio autor ( x xo )² ( y yo)² Equação reduzida da elipse: 1 b² a² 29

3 Posições e equações da hipérbole 3.1 Hipérbole com eixo real sobre o eixo x e centro na origem do plano cartesiano, conforme figura 11. Figura 11 - Hipérbole com eixo real sobre o eixo x e centro na origem do plano cartesiano Fonte: o próprio autor Equação reduzida da hipérbole: x² y² a² b ² 1 30

3.2 Hipérbole com eixo real sobre o eixo x e centro na origem do plano cartesiano, conforme figura 12. Figura 12 - Hipérbole com eixo real sobre o eixo y e centro na origem do plano cartesiano Fonte: o próprio autor y² x² Equação reduzida da hipérbole: 1 a² b ² 31

3.3 Hipérbole com eixo real paralelo ao eixo x e centro fora origem do plano cartesiano, conforme figura 13. Figura 13 - Hipérbole com eixo real paralelo ao eixo x e centro fora origem do plano cartesiano. Fonte: o próprio autor ( x x )² ( y y0)² Equação reduzida da hipérbole: 0 1 a² b² 32

3.4 Hipérbole com eixo real paralelo ao eixo y e centro fora origem do plano cartesiano, conforme figura 14. Figura 14 - Hipérbole com eixo real paralelo ao eixo y e centro fora origem do plano cartesiano Fonte: o próprio autor ( y y )² ( x x0)² Equação reduzida da hipérbole: 0 1 a² b² 33

4 Posições e equações da parábola 4.1 Parábola com vértice na origem, eixo de simetria coincidente com o eixo y e concavidade voltada para cima, conforme figura 15. Figura 15 - Parábola com vértice na origem, eixo de simetria coincidente com o eixo y e concavidade voltada para cima Fonte: o próprio autor Equação reduzida da parábola: x² 4py ou x² y 4 p 34

4.2 Parábola com vértice na origem, eixo de simetria coincidente com o eixo y e concavidade voltada para baixo, conforme figura 16. Figura 16 - Parábola com vértice na origem, eixo de simetria coincidente com o eixo y e concavidade voltada para baixo. Fonte: o próprio autor Equação reduzida da parábola: x² 4 py ou x² y 4 p 35

4.3 Parábola com vértice na origem, eixo de simetria coincidente com o eixo x e concavidade voltada para direita, conforme figura 17. Figura 17 - Parábola com vértice na origem, eixo de simetria coincidente com o eixo x e concavidade voltada para direita Fonte: o próprio autor Equação reduzida da parábola: y² 4px ou y² x 4 p 36

4.4 Parábola com vértice na origem, eixo de simetria coincidente com o eixo x e concavidade voltada para esquerda, conforme figura 18. Figura 18 - Parábola com vértice na origem, eixo de simetria coincidente com o eixo x e concavidade voltada para esquerda Fonte: o próprio autor Equação reduzida da parábola: y² 4 px ou y² x 4 p 37

4.5 Parábola com vértice fora da origem, eixo d e simetria paralelo ao eixo y e concavidade voltada para cima, conforme figura 19. Figura 19 - Parábola com vértice fora da origem, eixo de simetria paralelo ao eixo y e concavidade voltada para cima. Fonte: o próprio autor Equação reduzida da parábola: ( x xo )² 4p( y yo ) ou y y 0 ( x xo )² 4 p 38

4.6 Parábola com vértice fora da origem, eixo de simetria paralelo ao eixo y e concavidade voltada para baixo, conforme figura 20. Figura 20 - Parábola com vértice fora da origem, eixo de simetria paralelo ao eixo y e concavidade voltada para baixo Fonte: o próprio autor Equação reduzida da parábola: ( x xo )² 4 p( y yo ) ou y y 0 ( x xo )² 4 p 39

4.7 Parábola com vértice fora da origem, eixo de simetria paralelo ao eixo x e concavidade voltada para direita, conforme figura 21. Figura 21 - Parábola com vértice fora da origem, eixo de simetria paralelo ao eixo x e concavidade voltada para direita. Fonte: o próprio autor Equação reduzida da parábola: y y )² 4p( x x ) ou ( o o x x 0 ( y yo )² 4 p 40

4.8 Parábola com vértice fora da origem, eixo de simetria paralelo ao eixo x e concavidade voltada para esquerda, conforme figura 22. Figura 22 - Parábola com vértice fora da origem, eixo de simetria paralelo ao eixo x e concavidade voltada para esquerda. Fonte: o próprio autor Equação reduzida da parábola: ( y yo )² 4 p( x xo ) ou x x 0 ( y yo )² 4 p 41

42 10 Apêndice D Possibilidades de construções de circunferência no GeoGebra Usando o software GeoGebra, construa a circunferência pelos métodos indicados. MÉTODOS ATIVIDADE PROPOSTA Barra de Ferramentas 1º) Selecione o botão ; Campo de Entrada 1º) Posicione o ponteiro do mouse sobre o Campo de Entrada; Construir uma circunferência de centro C(2, 3) e raio r = 2. 2º) Posicione o cursor do mouse, na Barra de Ferramentas, sobre o botão desejado; 3º) Observe a indicação a seguir 2º) Clique no esquerdo do mouse (configuração padrão) do Campo de Entrada, para ativar o cursor; 3º) Digite uma das sintaxes abaixo; (x-2)^2+(y-3)=2^2 ou (x-2) 2 +(y-3) 2 =2 2 ; 4º) Clique, com o botão esquerdo do mouse (configuração padrão), na Janela de Visualização, para definir o centro C (2, 3) e ; 4º) Após a digitação da sintaxe escolhida, aperte a tecla ENTER; 5º) Verifique se a circunferência desejada corresponde à figura abaixo.

43 desloque o mouse, em qualquer direção, para obter o raio r = 2; 5º) Após verificar se o raio está correto, confirme com mais um clique na Janela de Visualização; 6º) Verifique se a circunferência desejada corresponde à figura abaixo. 10

44 10 Apêndice E Possibilidades de construções de elipse no GeoGebra Usando o software GeoGebra, construa a elipse pelos métodos indicados. MÉTODOS ATIVIDADE PROPOSTA Barra de Ferramentas 1º) Selecione o botão ; Campo de Entrada 1º) Posicione o ponteiro do mouse sobre Campo de Entrada; Construir uma elipse de focos F1 ( 3, 0) e F2 (3, 0) e semi-eixo maior igual a 5. 2º) Posicione o cursor do mouse, na Barra de Ferramentas, sobre o botão desejado; 3º) Observe a indicação a seguir 2º) Clique no esquerdo do mouse (configuração padrão) do Campo de Entrada, para ativar o cursor; 3º) Digite uma das sintaxes abaixo; x^2/5^2+y^2/4^2=1 ou x 2 /5 2 +y 2 /4 2 =1 ; 4º) Clique, com o botão esquerdo do mouse (configuração padrão), na Janela de Visualização, para definir os focos F1 ( 3, 0) e F2 (3, 0) e desloque o mouse, na direção ; 4º) Após a digitação da sintaxe escolhida, aperte a tecla ENTER; 5º) Verifique se a elipse desejada corresponde à figura abaixo.

45 do eixo maior, para obter o semi-eixo maior igual a 5; 5º) Após verificar se dimensão do semi-eixo maior está correta, confirme com mais um clique na Janela de Visualização; 6º) Verifique se a elipse desejada corresponde à figura abaixo. 10

46 10 Apêndice F Possibilidades de construções de hipérbole no GeoGebra Usando o software GeoGebra, construa a hipérbole pelos métodos indicados. MÉTODOS ATIVIDADE PROPOSTA Construir uma hipérbole de focos F1 ( 3, 0) e F2 (3, 0) e semi-eixo real igual a 2. Barra de Ferramentas 1º) Para selecionar o botão da hipérbole, que se encontra no mesmo conjunto de botões da elipse, bastando clicar na seta inferior à direita para aparecer o conjunto das cônicas; Campo de Entrada 1º) Posicione o ponteiro do mouse sobre o Campo de Entrada; 2º) Clique no esquerdo do mouse (configuração padrão) do Campo de Entrada, para ativar o cursor; 3º) Digite uma das sintaxes abaixo; x ^2/ 2^2 y^2/ sqrt(5)^2 1 ou x 2 / 2 2 y 2 / sqrt(5) 2 1 ; 2º) Selecione o botão ; 4º) Após a digitação da sintaxe escolhida, aperte a tecla ENTER;

47 3º) Posicione o cursor do mouse, na Barra de Ferramentas, sobre o botão desejado; 5º) Verifique se a hipérbole desejada corresponde à figura abaixo. 4º) Observe a indicação a seguir: ; 5º) Clique, com o botão esquerdo do mouse (configuração padrão), na Janela de Visualização, para definir os focos F1 ( 3, 0) e F2 (3, 0) e desloque o mouse, na direção do eixo maior, para obter o semi-eixo real igual a 2; 6º) Após verificar se dimensão do semi-eixo real está correta, confirme com mais um clique na Janela de Visualização;

48 7º) Verifique se a hipérbole desejada corresponde à figura abaixo. 10

49 10 Apêndice G Possibilidades de construções de parábola no GeoGebra Usando o software GeoGebra, construa a parábola pelos métodos indicados. MÉTODOS ATIVIDADE PROPOSTA Construir uma parábola de foco F (0, 2) e reta diretriz de equação x = 1. Barra de Ferramentas 1º) Para selecionar o botão da parábola, que se encontra no mesmo conjunto de botões da elipse, bastando clicar na seta inferior à direita para aparecer o conjunto das cônicas ; Campo de Entrada 1º) Posicione o ponteiro do mouse sobre o Campo de Entrada; 2º) Clique no esquerdo do mouse (configuração padrão) do Campo de Entrada, para ativar o cursor; 3º) Digite uma das sintaxes abaixo; x ( y 2)^2/ 4 ou x ( y 2)² / 4 ; 2º) Selecione o botão ; 4º) Após a digitação da sintaxe escolhida, tecle ENTER;

50 3º) Posicione o cursor do mouse, na Barra de Ferramentas, sobre o botão desejado; 5º) Verifique se a parábola desejada corresponde à figura abaixo. 4º) Observe a indicação na figura a seguir ; 5º) Clique, com o botão esquerdo do mouse (configuração padrão), na Janela de Visualização e digite F=(0, 2), para definir o foco desejado; 6º) Após a digitação de F=(0, 2), tecle ENTER; 7º) Digite na Barra de Entrada a equação x = -1, referente à reta diretriz;

51 8º) Após a digitação de x = 1, tecle ENTER; 9º) Com o botão selecionado, dê um clique com o botão esquerdo do mouse no foco e depois na reta diretriz; 10º) Após esse clique, verifique se a parábola desejada corresponde à figura abaixo. 10

Apêndice H Exercícios sobre circunferência Considerando a circunferência, de centro O, representada nas figuras a seguir, determine as coordenadas do centro e o raio, considerando que os pontos M e N pertencem à circunferência. a) b) 52

c) d) 53

Apêndice I Exercícios sobre elipse Considerando as elipses representadas nas figuras a seguir, determine as coordenadas do centro, dos vértices e dos focos. a) b) 54

c) d) 55

Apêndice J Exercícios sobre hipérbole Considerando as hipérboles representadas nas figuras abaixo, determine as coordenadas do centro (O), dos vértices (A1 e A2) e dos focos (F1 e F2). a) b) 56

c) d) 57

Apêndice K Exercícios sobre parábola Considerando as parábolas representadas nas figuras abaixo, determine as coordenadas do vértice (V), do foco (F) e a equação da reta diretriz (d). a) b) 58

c) d) 59

Apêndice L Avaliação 1) Assinale a alternativa correspondente à equação reduzida da circunferência c2, que tangencia as circunferências c1 e c3, cujos raios medem 4 e 2, respectivamente, e estão centradas na origem do sistema cartesiano, conforme figura a seguir. a) (x - 3)² + (y - 3)² = 1 b) x² + (y - 3)² = 1 c) (x - 3)² + y² = 1 d) x² + y² = 1 e) x² + y² = 4 2) Os raios das circunferências c1 e c2 medem, respectivamente, 5 e 3 e centros localizados na origem do sistema cartesiano, conforme figura a seguir. Assinale a alternativa correspondente à equação reduzida da elipse (e), que tangencia essas circunferências nos pontos P e Q. a) x²/25 + y²/9 = 1 b) y²/25 + x²/9 = 1 c) x²/9 - y²/25 = 1 d) x²/25 - y²/9 = 1 e) x²/9 + y²/25 = 1 60

3) Os raios das circunferências c1 e c2 medem, respectivamente, 5 e 3 e possuem centros na origem do sistema cartesiano, conforme figura a seguir. Assinale a alternativa correspondente à equação reduzida da hipérbole (h), sabendo-se que seus vértices coincidem com as extremidades do diâmetro da circunferência c2, nos pontos R e S, e seus focos coincidem com as extremidades do diâmetro da circunferência c1, nos pontos P e Q. a) x²/9 + y²/16 = 1 b) y²/9 + x²/16 = 1 c) x²/9 - y²/16 = 1 d) x²/9 - y²/9 = 1 e) x²/16 - y²/9 = 1 4) Assinale a alternativa correspondente à equação reduzida da parábola (p), sabendo-se que sua reta diretriz (d), paralela ao eixo y, passa pelo foco F1 da elipse (e) com o foco F coincidente ao foco F2 dessa elipse, centrada na origem do sistema cartesiano, cujos eixos medem 10 e 8, conforme figura a seguir. a) x² = 12y b) x² = -12y c) y² = 12x d) y² = -12x e) x² = -16y 61 2

Apêndice M Avaliação Mediada pelo Formulário do Google Antes de iniciar a apresentação de tabulação dos resultados da Avaliação, descrita no apêndice L que será mediada tecnologicamente, relembramos que não houve a aplicação desta proposta. Todavia, consideramos oportuno exemplificar essa utilização para facilitar o entendimento dos recursos do Formulário do Google. 1. FORMULÁRIO DO GOOGLE Foi criado um formulário eletrônico contendo a identificação do usuário e as questões 1, 2, 3 e 4, que está baseado na avaliação disposta no Apêndice L, conforme figuras 23, 24, 25, 26 e 27. O formulário eletrônico está disponível em <http://goo.gl/forms/tqlnveb29j>. Figura 23 Identificação do usuário Fonte: o próprio autor 62

Figura 24 Questão 1 do formulário do Google Fonte: o próprio autor 63

Figura 25 Questão 2 do formulário do Google Fonte: o próprio autor 64

Figura 26 Questão 3 do formulário do Google Fonte: o próprio autor 65

Figura 27 Questão 4 do formulário do Google Fonte: o próprio autor Após o preenchimento dessas quatro questões, o usuário fará o envio de seu formulário, e as respostas estarão disponíveis para responsável pelo formulário. 66

Apêndice N Avaliação da UEPS 1) Assinale a fase que está cursando: Ensino Médio Ensino Superior Outros 2) Já conhecia uma UEPS? Sim Não 3) Qual o motivo que o levou a utilizar esta UEPS? Dificuldade na matéria Busca por um método de ensino diferente Preferência pela adoção de TIC na Educação Outros 4) Já conhecia o software GeoGebra? Sim Não 5) Com qual frequência utilizava/utiliza o software GeoGebra? Nunca Raramente Frequentemente 67

6) Ocorreu alguma dificuldade na sequência de etapas adotada para utilização do software GeoGebra na construção da circunferência e cônicas? Sim Não 7) Esta UEPS atendeu suas expectativas? Sim Não 8) Quais os pontos positivos desta UEPS? 9) Quais os pontos negativos desta UEPS? 10) Gostaria de fazer algum acréscimo nesta UEPS? Qual(is)? 68