GERAÇÃO ESTOCÁSTICA DE SÉRIES DE PRECIPITAÇÃO COM CADEIAS DE MARKOV HÍBRIDA DE SEGUNDA ORDEM

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1 GERAÇÃO ESTOCÁSTICA DE SÉRIES DE PRECIPITAÇÃO COM CADEIAS DE MARKOV HÍBRIDA DE SEGUNDA ORDEM Jaildo Vieira Rocha Filho1* & Éber José de Andrade Pinto2 Resumo As séries sintéticas de precipitação são amplamente utilizadas em diversas áreas do conhecimento, especialmente na engenharia de recursos hídricos. Diante do cenário brasileiro atual, quando se observa um período de crise hídrica, a modelagem adequada de séries sintéticas de precipitação, em relação a sequências de dias secos torna-se ainda mais evidente. No presente trabalho, foi desenvolvido um gerador estocástico de precipitação bipartido no qual a ocorrência de precipitação é simulada a partir de uma cadeia de Markov de segunda ordem híbrida e a quantidade precipitada, por meio de uma distribuição exponencial mista com três parâmetros. O módulo de ocorrência proposto foi confrontado com outros modelos markovianos baseado no critério de informação de Bayes (BIC). Adicionalmente, tendo em vista a reprodução das estatísticas da série temporal observada inclusive em relação a longas sequências de dias secos, o modelo sugerido foi confrontado com um modelo markoviano de primeira ordem a partir de duas séries sintéticas. Os resultados foram satisfatórios, apesar da evidente dificuldade das cadeias de Markov em modelar longas sequências de dias secos durante os períodos chuvosos. Palavras-chave Gerador estocástico de precipitação; Cadeias de Markov; Sequência de dias secos. STOCHASTIC RAINFALL GENERATION WITH HYBRID SECOND ORDER MARKOV CHAINS Abstract Synthetic rainfall time series are widely used in various knowledge areas, especially in water resources. Brazil is currently undergoing a water crisis which exposes the need of modeling properly synthetic rainfall in relation to long dry spells. A two-part stochastic rainfall generator was developed, in which the occurrence model was based on hybrid second order Markov chain and the precipitation amount model was built employing mixed exponential distributions. The proposed occurrence model was contrasted to first and second order Markov chains based on Bayes information criterion (BIC). Additionally, in order to compare the statistical properties reproduction of the observed time series, particularly in long dry spells, two synthetic time series were generated employing the proposed occurrence model and the first order Markov chains model. Despite the difficulty of the Markov chains in modeling long dry spells, the results were satisfactory. Keywords Stochastic rainfall generator; Markov chains; Dry spells. 1 Aluno de mestrado do Programa de Pós-Graduação em Saneamento, Meio Ambiente e Recursos Hídricos (PPGSMARH), UFMG, Av. Antônio Carlos, 6627 Campus Pampulha, CEP , Belo Horizonte MG, jaivrf@ufmg.br 2 Professor adjunto da UFMG, Depto. de Engenharia Hidráulica e Recursos Hídricos, UFMG, Av. Antônio Carlos, Campus Pampulha, sala 4611, CEP , Belo Horizonte MG, eber@ehr.ufmg.br 1

2 INTRODUÇÃO As séries temporais observadas de precipitação, além de serem consideravelmente mais longas quando comparada com séries de descarga, tornam possível, de formar indireta, produzir estimativas de vazão. Adicionalmente, Wilks e Wilby (1999) evidenciam a notória importância de séries temporais desta variável para outras áreas de conhecimento a exemplo da agronomia, meteorologia e climatologia. Apesar de, geralmente, apresentar uma grande quantidade de observações, nas séries temporais de precipitação esta quantidade é restrita, tornando-as insuficientes para uma análise mais incisiva acerca de eventos de menor probabilidade de superação. Costa et al. (2015), no intuito de contornar tal limitação, sugere a utilização da geração estocástica de precipitação, tornando possível gerar séries sintéticas, semelhantes a séries temporais observadas, e tão longas quanto necessário. A geração estocástica de precipitação está intimamente relacionada com as características da precipitação. Neste sentido, os processos de precipitação com variações consideráveis no tempo e espaço são extremamente complexos. Adicionalmente, séries temporais de precipitação a nível diário são caracterizadas pela existência de muitos valores nulos (dias sem precipitação), pela propriedade persistência para os dias secos e chuvosos e pela variação sazonal, tanto para as quantidades precipitadas quanto para ocorrência de chuva. No contexto brasileiro, as observações das estações pluviométricas são predominantemente diárias. Srikanthan e McMahon (2001) mencionam que boa parte dos modelos que utilizam séries sintéticas de precipitação, a exemplo de modelos de chuva-vazão e de crescimento de culturas, utilizam, usualmente, dados de entrada a nível diário. Por isso, o presente estudo abordará apenas geradores estocásticos a nível diário. Além disso, considerando o período de enfrentamento de uma crise hídrica, este trabalho tem a finalidade de produzir séries sintéticas de precipitação a partir de uma cadeia de Markov (CM), de segunda ordem híbrida, e realizar uma investigação preliminar a fim de identificar se o modelo adotado é adequado para a geração estocástica de dados de precipitação de três localidades diferentes no estado de Minas Gerais. GERAÇÃO ESTOCÁSTICA DE PRECIPITAÇÃO Segundo Brissette et al. (2007), geradores estocásticos de precipitação são ferramentas de modelagem estocástica cuja a finalidade é produzir séries sintéticas semelhantes estatisticamente às séries de precipitação observadas. Em relação aos recursos hídricos, estas séries temporais produzidas podem ser utilizadas, por exemplo, para fornecer dados de entrada em modelos de chuva-vazão, na especificação de procedimentos operacionais em reservatórios de água, e na caracterização de secas ou estiagens. Adicionalmente, devido a grande influência da ocorrência de precipitação em relação a outras variáveis climáticas, Wilks e Wilby (1999) notam que a geração estocástica da precipitação é o processo chave na produção de outras séries sintéticas como temperatura máxima, temperatura mínima e radiação solar. O primeiro estudo que se tem notícia relacionado à geração estocástica de precipitação diária foi realizado por Quetelet (1852) apud Wilks e Wilby (1999). A investigação evidenciava a propriedade estatística de persistência tanto para dias chuvosos quanto para dias secos em Bruxelas, entre 1833 e Desde então, muitos estudos relativos a geração estocástica de precipitação foram produzidos tornando possível uma grande variedade de geradores. Devido a essa diversidade, Srikanthan e McMahon (2000) dividem os geradores estocásticos em quatro grupos: modelos bipartidos, matrizes de probabilidade de transição, séries temporais e modelos de reamostragem. 2

3 MODELOS BIPARTIDOS Devido ao processo relativamente simplificado de implementação, unido a resultados satisfatórios, os modelos bipartidos, segundo Srikanthan e McMahon (2000), são predominantes na geração estocástica de precipitação. Este grupo de geradores se caracterizam por modelarem, separadamente, a ocorrência de precipitação e a quantidade precipitada. Como abordado anteriormente, as precipitações apresentam diferentes características ao longo do ano. Por isso, a produção das séries sintéticas de precipitação nos modelos bipartidos são, usualmente, realizadas por meio de estimativas dos parâmetros para cada mês a partir da série observada. Módulo de ocorrência de precipitação Haberlandt et al. (2011) evidenciam que a modelagem de ocorrência das chuvas podem ser realizadas de duas formas: a partir de CM com dois estados chuva (1) e seco (0) e de processos de alternância de eventos com renovação. Segundo Srikanthan e McMahon (2000), a maioria dos modelos bipartidos, se limita à utilização cadeias de Markov. A equação 1 e 2 elucidam a premissa de um processo markoviano com dois estados de primeira e segunda ordem, respectivamente. 𝑃!" = 𝑃 𝑋! = 1 𝑋!!! = 0 𝑃!!" = 𝑃 𝑋! = 1 𝑋!!! = 0 𝑋!!! = 0 (1) (2) Onde as variáveis 𝑋 são os estados, que no caso dos modelos bipartidos representam a ocorrência ou não de chuva, os termos à esquerda são as probabilidades de transição para dias chuvosos, dado as observações precedentes no passo de tempo da variável 𝑋. Como pode ser inferido a partir das equações 1 e 2, a determinação de um estado futuro é associada a ordem da cadeia markoviana que indica a dependência dos dias precedentes. Considerando apenas dois estados é importante evidenciar a existência de quatro e oito probabilidades de transição para as cadeias de Markov de primeira e segunda ordem. A equação 3 e 4 explicitam a estimativa das probabilidades de transição de um dia chuvoso dado que os dias precedentes são secos para as CM com dois estados de primeira e segunda ordem, respectivamente. 𝑛!" 𝑛!! + 𝑛!" 𝑛!!" = 𝑛!!! + 𝑛!!" 𝑃!" = 𝑃!!" (3) (4) Onde 𝑛!" e 𝑛!!" são, respectivamente, os números de observações de transições de um e dois dias secos precedentes para um dia chuvoso. Através da equação 3 e 4 pode-se evidenciar que 𝑃!! é igual a 1 𝑃!" assim como 𝑃!!! = 1 𝑃!!". Desta forma, percebe-se que para a obtenção de todas probabilidades de transição é necessário apenas estimar as probabilidades de transição com estados antecedentes distintos. A modelagem da ocorrência de precipitação por meio de cadeias de Markov de ordem híbrida tem uma maior complexidade em sua forma. Em linhas gerais, a utilização deste tipo de cadeia consiste na utilização de ordens diferentes para um dado estado anterior, sendo que o estado precedente seco, usualmente, é modelado por uma ordem superior. Especificamente, as cadeias de Markov híbridas de segunda ordem, utilizam uma cadeia de primeira ordem para o dias precedentes 3

4 úmido e, no caso do dia precedente seco, uma cadeia de segunda ordem. Desta forma, é obtido um total de seis transições de probabilidade (𝑃!!, 𝑃!", 𝑃!"!, 𝑃!!", 𝑃!"", 𝑃!!! ). A modelagem estocástica a partir de cadeias de Markov com dois estados é realizada a partir da comparação de números pseudo-aleatórios (u) com a probabilidade crítica 𝑃!. A equação 5 explicita a obtenção de 𝑃! para CM híbrida de segunda ordem. Já a equação 6 é utilizada para a modelagem de ocorrência de precipitação. 𝑋!!! = 1 𝑃! = 𝑃!! 𝑃! = 𝑋!!! = 0 𝑒 𝑋!!! = 0 𝑃! = 𝑃!!" 𝑋!!! = 0 𝑒 𝑋!!! = 1 𝑃! = 𝑃!"! 1, 𝑠𝑒 𝑢! 𝑃! 𝑋! = 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 (5) (6) Wilks (1999), a partir de dados históricos, realizou um estudo utilizando o critério de informação de Bayes (BIC) para analisar o modelo mais adequado para ocorrência de precipitação, inclusive entre modelos de processos com alternância com renovação e cadeias de Markov. Segundo Wilks (2006), a equação 7 e 8 explicita o cálculo BIC e a função de máxima verossimilhança do modelo para o caso das cadeias de Markov. 𝐵𝐼𝐶 𝜃 = 2. 𝐿! + 𝑚. 𝑙𝑛 𝑛 (7) 𝑛!. 𝑙𝑛 𝑃! (8) 𝐿! =!!!! Onde 𝑚 é o número de parâmetros do modelo, 𝑛 é o tamanho da amostra, 𝐿! é a função de máxima verossimilhança do modelo, 𝑃! são as probabilidades de transição do modelo utilizado, e 𝑛! é o números de observações de transições de estado contidos na amostra. O modelo com o menor critério calculado é considerado como o mais adequado. A partir de seu estudo, Wilks (1999) evidencia que, em certas regiões, mais especificamente para a o oeste dos Estados Unidos, o uso de CM de primeira ordem não se mostra adequado. Já o uso de cadeias de Markov híbridas de segunda ordem, por sua vez, produziram melhores resultados para longas sequências de dias secos. Módulo de quantidade precipitada Nos modelos bipartidos o módulo de quantidade precipitada, usualmente, é de natureza paramétrica. Segundo Detzel (2009), comumente, são aplicadas distribuições de probabilidades do tipo gama, exponencial e exponencial mista. Ao utilizar trinta estações pluviométricas em diversas regiões dos Estados Unidos, Wilks (1999) verificou, a partir do critério de informação de Bayes, que a distribuição exponencial mista era mais adequada para modelar as quantidades precipitadas a nível diário. A função densidade de probabilidade da distribuição exponencial mista com três parâmetros é explicitada pela equação 9. 𝑓! 𝑥 = 𝛼. 𝑒!!.!! + 1 𝛼. 𝑒!!.!! (9) Onde 𝑋 é uma variável aleatória, 𝛼 indica a proporção da mistura de exponenciais e 𝜆! indicam os diferentes parâmetros das distribuições exponenciais que são combinadas para a produção da distribuição exponencial mista. Para a realização desta etapa do modelo, números pseudo-aleatórios são utilizados novamente para produzir uma variável aleatória de acordo com uma distribuição teórica de probabilidades adotada, a distribuição exponencial mista. 4

5 METODOLOGIA Inicialmente, através da Agência Nacional de águas ANA (2014) foram obtidos dados de três estações pluviométricas, cuja as informações estão dispostas na tabela 1. Com as séries temporais adquiridas, foram calculados todas probabilidades de transição de primeira, segunda e híbrida de segunda ordem. Fundamentado no trabalho de Wilks (1999) foi utilizado o critério de informação de Bayes para avaliar a ordem da cadeia de Markov mais adequada. Por fim, os valores obtidos do BIC para cada mês, por meio da equação 7 e 8, foram comparados. Tabela 1 Informações das estações pluviométricos utilizadas. Código Nome Latitude Longitude Itinga Ponte Nova do P. Lamounier -16:37:05-19:57:20-20:28:20-41:46:03-44:18:24-45:02:10 Altitude (m) Início 22/01/77 24/03/41 28/05/41 Série observada Fim Leituras ausentes 31/12/ /12/ /12/ Com a descrição dos modelos bipartidos foi desenvolvido um gerador estocástico à nível diário em linguagem R desenvolvido por R Core Team (2014). Neste gerador a ocorrência de precipitação é modelada, por meio, de cadeias de Markov híbrida de segunda ordem e a quantidade precipitada é modelada a partir da distribuição exponencial mista. Levando em conta a variação intra-anual da precipitação, a estimativas dos parâmetros do modelos foram estimados a nível mensal. No caso de cadeias de Markov híbridas de segunda ordem, a obtenção das probabilidades críticas necessita da estimativa de três parâmetros mensais (𝑃!!, 𝑃!"" 𝑃!"! ). Para a realização da modelagem de ocorrência de precipitação, evidenciadas na equação 5 e 6, são utilizadas as probabilidades de transição críticas. Em relação as estimativas dos parâmetros da distribuição exponencial mista (três parâmetros por mês), foi empregada a biblioteca Renext realizada por Deville e IRSN (2015) que fornece funções para estimar os parâmetros pelo método da máxima verossimilhança. Para a transformação do número pseudo-aleatório em variável aleatória distribuída de acordo com a exponencial mista foram utilizadas funções da mesma biblioteca já citada. No intuito de avaliar o modelo proposto em relação a reprodução das estatísticas dos dados observados a nível diário, mensal e anual (ano hidrológico) foi gerada uma série sintética com extensão de 1000 anos para a estação pluviométrica Ponte Nova do Paraopeba. Adicionalmente, foi produzida uma segunda série sintética, variando apenas o módulo de ocorrência de precipitação, neste caso, foi utilizado uma cadeia de Markov de primeira ordem. A produção da série sintética adicional tem o finalidade de comparar a produção de longas sequências de dias secos nos trimestres para o modelo com cadeias de Markov de primeira ordem () e cadeias de segunda ordem híbrida (). Os trimestres escolhidos para realização desta análise estão relacionados com as estações dos anos, ou seja, o trimestre dezembro, janeiro e fevereiro verão, março, abril e maio outono e assim por diante. No tópico seguinte são apresentados os resultados e as discussões. RESULTADOS E DISCUSSÕES Como descrito na metodologia foi realizado o cálculo do critério de informação de Bayes para as estações pluviométricas explicitadas na tabela 1. A tabela 2, por sua vez evidencia a cadeia de Markov mais adequada para modelar a ocorrência de precipitação para cada estação por mês de acordo com o critério de informação de Bayes. 5

6 Com um total de 20 meses, os resultados evidenciam uma preponderância das cadeias de Markov de primeira ordem () como a mais adequada para modelar a ocorrência de precipitação. Em segundo lugar, as cadeias de Markov híbrida de segunda ordem () prevalece em 12 meses. Por fim, as cadeias de segunda ordem (CM2) apresenta o menor valor de BIC para 4 meses. Vale observar que a prevalência do é majoritária de abril a agosto (nos meses mais secos do ano). Por outro lado nos meses mais úmidos verifica-se uma maior competitividade entre os modelos e. Tabela 2 Modelo markoviano ótimo para módulo de ocorrência de precipitação. Estação Jan CM2 Fev CM2 CM2 Mar CM2 Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Em seguida, foi produzida a série sintética de precipitação do modelo que utiliza cadeias híbridas de segunda ordem para estação Ponte Nova do Paraopeba. A tabela 3 evidencia os momentos centrais da precipitação diária, mensal e anual da série sintética gerada e observada. Tabela 3 Momentos centrais da precipitação diária, mensal e anual da série observada e simulada Precipitação diária Precipitação mensal Meses Média (mm) Variância (mm2) Assimetria Média (mm) Desvio padrão (mm) Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Anual 16,7 14,2 13,5 8,8 7,0 5,8 6,5 5,6 9,3 10,6 13,9 16,0 Sim. 16,5 14,1 13,5 8,7 6,8 5,8 6,7 5,4 9,4 10,7 13,8 16, ,5 62,1 60,4 67, ,1 63,8 61, ,02 1,91 2,49 2,41 2,71 2,70 1,55 2,32 2,30 2,34 2,10 1,95 Sim. 2,06 2,12 2,37 2,44 3,28 2,28 1,98 2,96 2,27 2,13 2,06 2, ,0 26,8 11,5 11,0 10,6 45, Sim ,9 26,2 11,7 11,3 10,5 46, ,7 97,9 95,0 45,2 24,9 17,5 19,9 17,3 39,8 66,6 87,1 118,3 221 Sim. 105,5 84,9 83,6 39,9 25,1 13,6 15,5 14,4 35,8 53,0 79,7 105,2 226 Como observado, os momentos centrais explicitados de precipitação diária apresentam grande semelhança entre os dados observados e a série sintética. Esta grande similaridade evidencia, de forma indireta, que o módulo de quantidade precipitada se mostra adequado e flexível para modelar os volumes precipitados para todos meses. Já a precipitação mensal apesar de exibir bons resultados para a média, o modelo com cadeias híbridas tende, a subestimar os momentos centrais de segunda ordem, que por sua vez, se assemelha a conclusões de outros autores como evidenciado por Srikanthan e McMahon (2000). Por fim, em relação a média e assimetria da precipitação anual bons resultados foram obtidos. Com a finalidade de evidenciar as diferenças entre cadeias markovianas, foi produzida a série sintética com emprego de cadeias de primeira ordem. Por apresentarem o mesmo módulo de quantidade precipitada, os resultados relacionados a precipitação diária apresentam resultados extremamente similares. A figura 1 evidencia a semelhança entre os modelos. Tal similaridade demonstra que a alteração nas cadeias de Markov não gerou uma melhora significativa em relação as variâncias mensais. 6

7 Figura 1 Precipitação mensal simulada e observada em Ponte nova do Paraopeba. Por outro lado, a figura 2 que ilustra através função acumulada de probabilidade empírica de sequências de dias secos superiores a 10 dias, para os trimestres DJF, MAM, JJA e SON, exibe uma melhoria do modelo markoviano de cadeias híbridas de segunda ordem em relação ao modelo de primeira ordem identificada nos trimestres de dezembro fevereiro e setembro-novembro. Apesar disso, deve-se salientar que no trimestre entre março e maio a mesma melhoria não é observada. Figura 2 Sequências secas superiores a 10 dias simuladas e observadas. Entretanto, é necessário observar que mesmo com duas séries sintéticas com comprimento de 1000 anos para o trimestre tanto de dezembro a fevereiro quanto o de março a maio ambos os modelos não superaram as sequências secas observadas em uma série com comprimento inferior a 65 anos. Por este motivo identifica-se que ambos os modelos apresentam dificuldades na produção de longas sequências de dias secos. CONCLUSÕES Os resultados obtidos a partir do modelo proposto com cadeias híbridas de segunda ordem são satisfatórios e indicam, preliminarmente, serem mais adequados para a modelagem estocástica de precipitação para alguns meses nas três localidades analisadas. Entretanto, apesar da semelhança entre os dados observados e produzidos, tendo em vista a dispersão da precipitação mensal nos 7

8 meses mais chuvosos, é necessário cautela no uso deste modelo e outros modelos markovianos na produção de séries sintéticas para estudos relacionados à segurança hídrica. Adicionalmente, ao observar a figura 1 percebe-se que no caso do trimestre relativo ao verão (DJF) é verificado que ambos os modelos tem a amplitude interquartil, AIQ, (3º quartil 1º Quartil) inferior a AIQ da precipitação observada. Ao relacionar tal ressalva com a figura 2 para o mesmo trimestre, onde os modelos estocásticos não superaram as sequências de dias secos observadas, temse o indício que a deficiência em reproduzir longas sequências de dias secos está vinculada a dispersão das precipitações a nível mensal. AGRADECIMENTO A FAPEMIG pelo financiamento do aluno bolsista e aos colegas de departamento (DEHR). REFERÊNCIAS ANA (2014). Agência Nacional de Águas: Sistema de Informações sobre Recursos Hídricos. Disponível em acessado em 02/04/2014. BRISSETTE, F. P.; KHALILI, M.; LECONTE, R (2007). Efficient stochastic generation of multisite synthetic precipitation data. Journal of Hydrology, Amsterdam, 345, pp COSTA, V; FERNANDES, W; NAGHETTINI, M. (2015). A Bayesian model for stochastic generation of daily precipitation using an upper-bounded distribution function. Stochastic Environmental Research and Risk Assessment, v. 29, n. 2, pp DEVILLE Y; IRSN (2015). Package Renext: Renewal method for extreme values extrapolation (Biblioteca em R). DETZEL, D. H. M. (2009). Geração de séries sintéticas de precipitação f. Dissertação de mestrado, Departamento de Engenharia Hidráulica e Saneamento, Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 197 p. HABERLANDT, U.; HUNDECHA, Y.; PAHLOW, M.; SCHUMANN, A. (2011). Rainfall generators for application in flood studies. In: Flood Risk Assessment and Management. Org. A. Schumann, ed. Springer, pp R CORE TEAM (2014). R: A language and environment for statistical computing. < >. R Foundation for Statistical Computing, Viena. SRIKANTHAN, R.; MCMAHON, T. A. (2000). Stochastic generation of climate data: a review. Report 00/16, CRC for Catchment Hydrology, Monash University, Melbourne, 34 p. SRIKANTHAN, R.; MCMAHON, T. A. (2001). Stochastic generation of annual, monthly and daily climate data: A review. Hydrology and Earth System Sciences, v. 5, n. 4, pp WILKS, D.S.; WILBY, R.L. (1999). The weather generation game: a review of stochastic weather models. Prog. Phys. Geograp. v. 23, n. 3, pp WILKS, D.S. (1999). Interannual Variability and extreme-value characteristics of several stochastic daily orecipitation Models, Agric. Forest Meteo. v.93, pp WILKS, D.S. (2006). Statistical methods in the atmospheric sciences. 2 ed. Academic Press, San Diego, 627 p. 8