Representação Matemática de Sólidos

Transcrição

1 Representação Matemática de Sólidos Altamir Dias 1 DEPTO. DE ENGENHARIA MECÂNICA Universidade Federal de Santa Catarina POSMEC PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

2 1 RMSol. - Geometria Sólida Construtiva (CSG)

3 RMSol. - Geometria Sólida Construtiva (CSG) Definição Um modelo CSG é baseado na noção topologica de que objetos físicos podem ser divididos em um conjunto de primitivas (elementos básicos) que se combinados seguindo uma ordem e certas regras formam o objeto. as primitivas são consideradas CSG válidos; elas tem um conjunto de superfícies orientadas e fechadas; as superfícies são combinadas via processo de determinação de faces, arestas e vértices; só que são objetos diferentes de B-rep - não armazenam explicitamente faces, arestas e vértices; precisa calculá-las toda vez que necessita delas;

4 RMSol. - Geometria Sólida Construtiva (CSG) Existem dois esquemas principais para CSG: baseado em conjuntos regulares r-sets - primitivas sólidas limitadas; baseado em sim-espaços - não r-sets; alguns modeladores CSG permitem usar as duas propostas; Modeladores CSG dependem de semi-espaços, que formam a base para gerar primiticas sólidas limitadas; O esquema baseado em primitivas limitadas é mais conciso;

5 RMSol. - Geometria Sólida Construtiva (CSG) A base de dados do modelo CSG armazena também topologia e geometria; a topologia é criada via operações regularizada que combina as primitivas; a validade reduz a verificar as primitivas usadas; geralmente pela verificação do padrão sintático usado - o modelo CSG usa uma linguagem de construção que precisa ser usado corretamente pelo usuário na construção do modelo; a geometria armazenada inclui: parâmetros de configuração do modelo; transformações de corpo rígido; faces, vértices e arestas não são armazenados - precisam ser calculados toda vez que for necessário. a estrutura de dados da representação CSG é baseada em grafos e árvores;

6 RMSol. - Geometria Sólida Construtiva (CSG) Um grafo é definido como um conjunto de nós conectado por ramos ou linhas; são nós: {A,B,C,D,C,E,F,G} e são ramos os pares ordenados {{A,B},{A,C},{B,C},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E}} note que os pares não estão ordenados.

7 RMSol. - Geometria Sólida Construtiva (CSG) Dígrafos ou grafo direto é um grafo ordenado; eles são representado por setas dando a direção de ordenacão; ou seja: os ramos tem direção; cada nó tem: um grau de entrada: número de ramos que entram nele; e um grau de saída: número de ramos que saem dele. e pertence a um caminho (que é a sequência de nós quando se vai do nó n para o nó m.

8 RMSol. - Geometria Sólida Construtiva (CSG) O caminho pode ser cíclico ou acíclico; e o grafo também pode ser cíclico ou acíclico; grafos cíclicos também sào chamados de redes; grafos acíclicos são chamados de árvores; árvore: é um grafo dag - grafo direto acíclico que é composta por: uma raiz: um nó único com grau de entrada zero e grau de saída um; todos os outros nós tem grau de entrada e saída igual a um 1.

9 RMSol. - Geometria Sólida Construtiva (CSG) Os nós da árvore podem ter ancestral e descendentes; o nó raiz é o único que só tem descendentes; as árvores podem ser gerais ou binárias árvores gerais um nó pode ter mais que dois descendentes; as árvores binárias são aquelas cujos nós tem somente dois descendentes ; nós que não tem descendentes são chamados de folhas (grau de saída zero);

10 a estrutura de dados de CSG é relacionada a grafos e árvores;

11 Um grafo representando o sólido da figura anterior:

12 grafos tem uma estrutura suscinta para representar um modelo sólido; é considerado desejável e eficiente para a edição de modelos; não desejável para cálculos geométricos; os ciclos significam nós compatilhados que estabelecem relações de vizinhanças das primitivas sólidas; este compartilhamento nao é armazenado explicitamente no grafo; Uma outra proposta de manipular dados CSG é árvore árovres podem ser geradas pelos grafos através da cópia de nós compartilhados e pela avaliação de palavras de construção do modelo sólido; alguns modeladores como CSG usam grafos como estrutura primária e árvore como estrutura derivada para outras operações de modelagem.

13 Uma árvore invertida gerada a partir do grafo representando o sólido da figura anterior:

14 O número total de nós na árvore CSG é diretamente relacionada ao número de primitivas que o sólido é decomposto; isso decide o número de operações booleanas requeridas para a construção; se um sólido tem n primitivas, haverá (n 1) operações booleanas para (2n 1) nós; o ideal é obter árvores balanceadas para operações em aplicaçoes como sombreamento, análise e cálculo de propriedades mecânicas. uma árvore balanceada é definida como aquela cujos subárvores direita e esquerda tem igual número de nós: n L + n R = 2n 2 o nó raiz não é incluido a árvore é perfeita quando n L n R = 0.

15 Uma árvore desbalanceada

16 algoritmos de aplicativos precisam percorrer a árvore CSG ir de um nó para outro; percorrer árvores de maneira ordenada fornece meios de armazenar a estrutura de dados; não existe uma forma natural de seguimento de percurso na árvore; diferentes ordens são possíveis; existem três formas de percurso de árvore; os métodos são recursivos, tal que numa árvore binária pode-se partir da raiz e ir ordenamente no nó da esquerda e direita respectivamente; Os três métodos são: em pré-ordem; em ordem; em pós-ordem. métodos derivados chamados desistemas reversos CAE/CAD/CAM podem I imitar estes

17 Percorrer uma árvore em préordem, segue-se o seguinte procedimento: 1 visite a raiz; 2 percorra a árvore da esquerda em pré-ordem; 3 percorra a árvore da direita em pré-ordem.

18 Percorrer uma árvore em ordem, segue-se o seguinte procedimento: 1 percorra a árvore da esquerda em ordem; 2 visite a raiz; 3 percorra a árvore da direita em ordem.

19 Percorrer uma árvore em pós-ordem, segue-se o seguinte procedimento: 1 percorra a árvore da esquerda em pós-ordem; 2 percorra a árvore da direita em pós-ordem. 3 visite a raiz;

20 Questão: qual é a forma desejável para armazenar a árvore? Numa expressão aritmética A + (B + C)D, a melhor forma é a árvore em pós-ordem, pois a expressão deve ser percorrida da esquerda para a direita e ser ordenada deevido ao paranteses e da ordem das operações; precisa-se usar, o conceito de pilha, LIFO (last-in, first out); este exercício racional pode ser extendido para árvore: alguns comandos de composição do modelo precisam ser percorridos da esquerda para a direita e podem conter paranteses; aí, o método pós-ordem pode ser uma boa escolha: o problema é que a raiz fica com uma numeração alta, então a solução seria usar a pós-ordem reversa.

21 Método de pós-ordem reversa usada no PADL-2:

22 A primitivas sólidas limitadas são as entidades básicas dos modelos CSG; Elas são formas paramétricas contendo dois conjuntos de dados geométricos: parâmetros de configuração - (ex:bloco (w,h,d); parâmetros de transformação de corpo rígido - (posicionamento da primitiva relativa ao MCS). cada primitiva vista como um objeto paramétrico corresponde a uma família de peças; a entrada do usuário é verificada se um objeto válido está sendo definido. a escolha do parâmetro de configuração define o tamanho; os parâmetro de transformação o posicionamento/orientação.

23 matematicamente cada primitiva é um conjunto de pontos regular de coordenadas ordenadas (x, y, z). Bloco: {(x,y,z) : 0 < x < w; 0 < y < h; 0 < z < d} Cilindro: {(x,y,z) : x 2 + y 2 < r 2, e0 < z < h} Cone: {(x,y,z) : x 2 + y 2 < [(r/h)z] 2, e0 < z < h} Esfera: {(x,y,z) : x 2 + y 2 + z 2 < r 2 } Cunha: {(x,y,z) : 0 < x < w; 0 < y < h; 0 < z < d, eyw + xh < hw} Toróide: {(x,y,z) : (x 2 + y + z 2 r 2 2 r 2 1 )2 < 4r 2 2 (r 2 1 z2 )}

24 Veja que estas equações são definições de semi-espaços:

25 Existe algumas representações alternativas, alguma com pouco ou nenhum dado; são chamadas de representação de entrada de dados e conveniente para entradas do usuário; outras são muito descritivas e com uma série de dados redundantes e não servem e nem convenientes para execução computacional; são chamadas de representações internas dados redundantes sâo faces, arestas, vértices e normais as superfícies que sâo armazenadas junto com semi-espaços;

26 Estrutura de dados - incluindo dados redudantes

27 As superfícies, faces e arestas que um modelador sólido pode fornecer estão diretamente relacionado aos semi-espaços que o esquema do modelador utiliza as equações de semi-espaços definem por sí só as superfícies do esquema ou modelador: superfície plano: S = {(x,y,z) : z = 0} superfície cilíndrico: S = {(x,y,z) : x 2 + y 2 = r 2 } superfície esférico: S = {(x,y,z) : x 2 + y 2 + z 2 = r 2 } superfície cônico: S = {(x,y,z) : x 2 + y 2 = [(tanα/2z] 2 } superfície toroidal: S = {(x,y,z) : (x 2 + y 2 + z 2 r 2 2 r 2 1 )2 = 4r 2 2 (r 2 1 z)}

28 As superfícies sâo infinitas e as intersecções conduzem a arestas infinitas a solução é classificar as arestas usando a algoritmo de classificação de membros para classificar que pedaço da curva pertence às primitivas e dentro do sólido As faces sâo primitivas selecionadas tal que as fronteiras de qualquer primitiva possa ser representada pela união de um número finito de faces depois de posicionadas apropriadamente no espaço;

29 Equações de faces: face plana: F = {(x,y,z) : 0 < x < w, 0 < y < h, e z = 0} face plana triangular: F = {(x,y,z) : 0 < x < w, 0 < y < h, e yw + xh < hw} face disco: F = {(x,y,z) : x 2 + y 2 < r 2, e z = 0} face esférica: F = {(x,y,z) : x 2 + y 2 + z 2 = r 2 } face cônica: F = {(x,y,z) : x 2 + y 2 = [(tanα/2z] 2, e 0 < z < h} face toroidal: F = {(x,y,z) : (x 2 + y 2 + z 2 r 2 2 r 2 1 )2 = 4r 2 2 (r 2 1 z)} A primitiva face é um subconjunto das superfícies F S.

30 As primitivas arestas são selecionads tal que a fronteira de qualquer face seja representada pela união de um número finito de arestas depois de posicionado apropriadamente no espaço; a aresta é finita ou uma região limitada da curva (que pode ser ilimitada ou disjunta); a aresta é obtida pelo cálculo de intersecção das superfícies do esquema CSG; podem ser curvas ou silhuetas (cilindro, esfera ou cone) na superfícies quadráticas: intersecção com planos gera as arestas; o que geralmente complica a intersecção de superfícies é a posição e orientação no espaço: uma solução: calcular a intersecção na posição padrão e depois aplicar as transformações de posicionamente e orientação;

31 Intersecção entre superfícies é fundamental para modelagem geométrica; ela define o domínio e os limites do modelador; para executar operações booelanas automaticamente, eficientemente e não-ambiguamente é preciso a descrição precisa da curva de intersecção; é preciso saber que pares de superfícies produzem a curva; Embora o problema de intersecção de superfície já tenha sido exposto, pode-se explorar o caso de intersecção com superfícies quadráticas: Ax 2 +By 2 +Cz 2 +2Dxy +2Eyz +2Fxz +2Gx +2Hy +2Jz +K = 0 (1)

32 A equação quadrática pode ser reescrita na forma matricial como: F(x,y,z) = V T QV = 0 (2) onde V é igual: A D F G D B E H F E C J G H J K A matriz Q define as diferentes superfícies quadráticas: superfície plana:

33 A matriz Q: superfície cilindrica: superfície esférica: r r 2

34 A matriz Q: superfície cônica: r 0 h Os coeficientes da matriz Q dependem da posição e orientação da superfície (as equações acima são válidas para o MCS); Em geral: Q = T T QT em que T é a matriz de transformação de corpo rígido.

35 A intersecção entre duas superfícies quadráticas pode ser escrita como: V T (Q 1 Q 2 )V = 0 gera uma curva infinita; para determinar o limite da curva para o sólido pode-se parametrizar a curva de intersecção em termos de u e v; por exemplo: achar a intersecçào entre um cilindro e uma superfície quadrática qualquer: um cilindro na posição padrão a equação paramétrica é conhecida e pode-se assumir que V = [ r cosu r sinu ] T v. Usando a equação de intersecção resulta em: a(u)v 2 + b(u)v + c(u) = 0 cuja solução é conhecida e u pode ser investigado por b 2 (u) 4a(u)c(u).

36 As operações de construção de modelos no esquema CSG é dado via operadores booleanos regularizados: união ( ), intersecção ( ) e diferença ( ); Diferentemente dos operadores de Euler, os operadores de conjuntos regularizados não são baseados em equações: as operações e propriedades dependem da teoria de conjunto e do conceito de fechamento; são operadores de nível mais alto do que os operadores de Euler; se as primitivas são válidas e as operações são regularizadas, então a topologia do sólido resultante é sempre válida.

37 Podem ser usados outros operadores como Assemble e Glue - eles operam sobre sólidos, mas não combinam sólidos; quase todos os sistemas CAE/CAD/CAM oferecem operadores booleanos, explícitos ou implícitos; as operações booleanas parecem as mesmas para todos os modeladores sólidos: o que as diferencia é o algoritmo de operação de conjuntos que depende do esquema de representação suportada; sem se fixar no esquema de representação o algoritmo implementado deve calcular a fronteira do sólido desejada; os operadores booleanos são chamados de junção de fronteiras no esquema B-rep e cálculo de fronteira no esquema CSG;

38 seja a operação to tipo A < OP > B, onde A e B são primitivas e < OP > é um operador regularizado de conjuntos; CSG usa algoritmos incremental e não incremental para avaliar as suas fronteiras não-incremental: somente a fronteria dos sólido final é calculada; incremental: avalia a fronteira dos sólidos intermediários O algoritmo incremental: este algoritmo é do tipo junção de fronteira usado pelos modeladores B-rep; serviria para um conversor de representação CSG para B-rep. é mais usados que o não incremental devido a eficiência computacional na edição, manipulação, exibição e seccionamento de sólidos.

39 Um sistema CSG implementado requer ferramentas de intersecção aresta/sólido um algoritmo de classificação de membro M[X,S]; um algoritmo de combinação dos membros classificados. usa-se o paradigma divide-conquer e critério de classificação por vizinhança. o paradigma divide-conquer substitui o mecanismo de ray-tracing por arestas de um dado sólido; classifica-se aresta contra o sólido e é equivalente a classificar a aresta contra a sub-árvore da direita ou da esquerda;

40 O conceito de vizinhança é usado para resolver as ambiguidades on/on quando combina-se segmentos numa dada clasificação; são usadas também para converter CSG em B-rep; a ambiguidade aparece quando os sólidos são tangentes.

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42 Define-se o conceito de vizinhança N(P, S) - vizinhança de um ponto P com um sólido S. é definido como a intersecção de uma esfera, com raio R, centrada em P, com sólido; Pode-se generalizar a função de classificação de membros M[X, S] para incluir também informação de vizinhança; Vizinhança de pontos: se ele está no interior ou exterior é facilmente representado por cheio ou vazio: classificado N como: [ 1,0,1]; É preciso tratar o caso N = 0:

43 Pontos sobre um fonteira de um sólido pode estar em três casos: 1 Um ponto pode estar no interior de uma face do sólido o caso de vizinhança pode ser representado usando o sinal da normal a face ou superfície 2 o ponto pode estar sobre uma aresta: assumindo que a aresta é compartilhada por duas faces, os sinais da normal e da tangente das faces podem representar a visiznhaça 3 o ponto pode estar sobre um vértice: geralmente um vértice é compartilhado por três faces: a vizinhaça e mais complexa e difícil de ser manipulado

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45 Com todas as ferramentas na mão pode-se desenvolver um algoritmo CSG baseando em operações de conjuntos; 1 executar S = A < OP > B e classificar as faces com respeito a S, usando o paradigma divide e conquiste e classificando face/sólido; 2 combinar as classificações usando < OP > para obter o sólido S; a classificação fornece parcelas de A e B que estão em S; baseia-se no fato de que b(a < OP > B) (ba bb), onde b é a fronteira; as classificações faces/sólidos são mais complexas, e podem ser substituidas por classificação aresta/sólido; implica que a classificação de faces pode ser feita indiretamente via aresta/sólido; usa-se um conjunto de arestas tentativas (t-aresta), que podem ser arestas que já estão em A e B, ser arestas cruzadas ou

46 gerais O esquema CSG é um tipo de representação poderosa; é fácil para produzir primitivas e operações booleanas; é conciso e requer espaço mínimo para armazenar a definição de sólidos; é lento para reconstruir o modelo, já que precisa construir a fronteira do sistema; bom para conversão em B-rep e compete com a representação B-rep; uma desvantagem: representar sólidos esculturados e semi-espaços...