ESTUDO COMPARATIVO DE MÉTODOS DE COMPRESSÃO DE MODELOS DE TERRENOS DIGITAIS ATRAVÉS DE SUPERFÍCIES TRIANGULARES

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1 ESTUDO COMPARATIVO DE MÉTODOS DE COMPRESSÃO DE MODELOS DE TERRENOS DIGITAIS ATRAVÉS DE SUPERFÍCIES TRIANGULARES Oliver Matias van Kaick 1 Hélio Pedrini 2 1 Universidade Federal do Paraná oliver@pet.inf.ufpr.br 2 Universidade Federal do Paraná helio@inf.ufpr.br RESUMO Com o crescimento de diversos campos do conhecimento em geoprocessamento, torna-se cada vez mais importante a visualização e armazenamento de grandes volumes de dados, representando terrenos. Para esse fim, são necessárias técnicas de compactação e representação mais eficientes, das quais uma muito utilizada é a representação por meio de superfícies poligonais, comumente formadas por um conjunto de triângulos. O propósito deste trabalho é descrever os principais métodos encontrados na literatura para a construção de malhas triangulares e realizar uma comparação entre eles. São apresentados métodos baseados em triangulações regulares, irregulares, e com subdivisão hierárquica. Várias amostras de imagens de terrenos são aproximadas utilizando os métodos estudados, e é comparada a qualidade dessas aproximações, o tempo de execução necessário para a construção das triangulações, e o número de pontos utilizado por cada método para a construção da malha, segundo uma certa taxa de erro. Palavras-chave: Superfícies Poligonais; Malhas Triangulares; Modelagem de Terrenos. ABSTRACT Due to the increase of several knowledge fields in geosciences, it becomes more and more important the visualization and storing of great volumes of data, representing terrains. For this purpose, it is fundamental the use of efficient compression and modeling techniques, such as the representation by means of polygonal surfaces, commonly formed by a set of triangles. The purpose of this work is to describe and compare the main methods encountered in literature for constructing triangular meshes. Regular, irregular, and hierarchical subdivision triangulation methods are

2 presented. Several terrain data sets are approximated using the studied methods. The quality of the approximations, execution time required for the triangular mesh construction, and the number of points used for each method, according to a tolerance ratio, are compared. Keywords: Polygonal Surfaces; Triangular Meshes; Terrain Modeling. 1. INTRODUÇÃO Técnicas recentes de aquisição de imagens multiespectrais têm permitido a representação de dados de terreno em resoluções cada vez mais altas. A utilização de estratégias eficientes para armazenamento, manipulação e visualização dos dados torna-se indispensável, particularmente quando a aplicação requer que as informações sejam processadas em tempo real. Exemplos de domínios de aplicações envolvendo grandes volumes de dados incluem sensoriamento remoto, sistemas de informação geográfica, exploração planetária, realidade virtual e visão computacional. Uma técnica comum para aproximação de superfícies utiliza uma malha poligonal, normalmente representada por um conjunto de triângulos. Tal malha é composta por um conjunto de pontos de elevação representativos da superfície e por um conjunto de triângulos, cuja união resulta em uma malha cobrindo todo o modelo original. Através dessa malha e um processo de interpolação, pode-se determinar o valor de todos os pontos do terreno original, segundo uma determinada tolerância máxima de erro, definida durante o processo de construção da malha. Dependendo da taxa de erro estabelecida, o número de pontos e triângulos utilizados para a representação da malha pode variar. Para uma taxa de erro baixa, o número de pontos e triângulos pode ser muito alto. No entanto, esse fator não depende apenas da tolerância estabelecida, mas também do modelo de malhas triangulares utilizado. Existem inúmeros métodos de construção de malhas triangulares, os quais podem gerar modelos apresentando diferentes conjuntos de pontos e triângulos, porém, com a mesma tolerância de erro. Esses modelos podem, basicamente, pertencer a três conjuntos diferentes: malhas regulares trianguladas, malhas com subdivisão hierárquica e malhas irregulares trianguladas. Este trabalho apresenta um estudo comparativo dos principais modelos de representação de superfícies de terrenos. Para esse fim, foram construídas malhas triangulares utilizando tais modelos, e as aproximações geradas foram comparadas sob vários aspectos quantitativos: número de pontos e triângulos utilizados segundo uma certa tolerância de erro pré-estabelecida; taxa de erro alcançada segundo um determinado número máximo de pontos que pode ser utilizado; tempo de execução requerido por cada método. Para a avaliação da taxa de erro, foram utilizadas

3 algumas métricas comumente utilizadas para avaliação da qualidade de uma aproximação em relação ao modelo original, como por exemplo, o erro máximo, a raiz do erro quadrático médio e o pico da relação sinal-ruído. Para a comparação das métricas, os diferentes métodos foram aplicados a um conjunto de imagens de terrenos apresentando topografia diversa, incluindo regiões planas, montanhosas e mistas. Este trabalho está estruturado da seguinte maneira. A seção 2 descreve os principais métodos de construção de malhas triangulares, bem como as principais características das triangulações geradas. A seção 3 descreve os resultados das comparações entre os métodos, mencionando quais os métodos mais eficientes. Finalmente, a seção 4 apresenta as conclusões. 2. MÉTODOS DE TRIANGULAÇÃO Basicamente, o que todos os métodos fazem é inserir pontos, conforme o seu modelo de triangulação, até que o erro máximo da aproximação esteja abaixo do valor requisitado, ou até que o número de pontos requerido seja inserido. O número de pontos utilizados não depende apenas da precisão especificada, mas também do modelo de malha utilizado. Por mais diferente que seja o modelo utilizado, as malhas devem possuir continuidade C 0, isto é, a borda de um triângulo, que não é uma borda do terreno, deve estar conectada à borda de outro triângulo. Dessa forma, superfícies sem falhas (cracks), como a vista na figura 01, são evitadas. FIGURA 01 - PROBLEMA QUE PODE OCORRER EM UMA TRIANGULAÇÃO: (a) VISÃO 2D; (b) VISÃO 3D. Um terreno é armazenado na forma de uma imagem digital, representada por uma função discreta, denotada f(x,y), que fornece um valor associado para cada ponto bidimensional. As dimensões da imagem são denotadas M e N, e a função retorna até L valores diferentes ( 0 f(x,y) < L). A aproximação é denotada g(x,y), e possui as mesmas dimensões que a imagem original.

4 Para verificar se a aproximação satisfaz o erro desejado, a cada inserção de pontos, normalmente utiliza-se a métrica do erro máximo (ME), uma vez que é rápida de ser calculada. Essa métrica representa a maior diferença absoluta entre a imagem original e a nova imagem. com (0 x < M ) e ( 0 y < N ) (01) Para verificar a qualidade final das aproximações geradas, são utilizadas métricas mais adequadas para a avaliação global, calculadas apenas no final da construção das triangulações, por serem mais custosas. Duas métricas que podem ser utilizadas são a raiz do erro quadrático médio (RMSE) e o pico da relação sinalruído (PSNR). Quanto menor o valor fornecido pelo RMSE, melhor é a aproximação gerada. Já para a métrica PSNR, a aproximação é melhor quanto maior o valor fornecido, que é medido em decibel (db). (02) (03) Nas seções seguintes são descritas as três principais categorias de métodos existentes para a construção de triangulações REGULAR O método regular consiste em utilizar pontos do terreno que estão separados por um intervalo especificado. Os pontos vizinhos são unidos e é construída uma triangulação, como a vista na figura 04 (b). Ao invés de atribuirmos a cada ponto escolhido o seu valor original, podemos atribuir-lhe um valor que represente a média ou mediana de uma pequena região quadrada do terreno, de forma que o ponto represente melhor a região à qual pertence. Como essa abordagem tende a ser custosa, uma alternativa é primeiramente aplicar um filtro de passa-baixa à imagem (Hamming, 1983), para que possíveis ruídos possam ser eliminados. Assim, quando os pontos forem selecionados, simplesmente tomando-os a intervalos uniformes, não serão escolhidos pontos desfavoráveis para a aproximação.

5 2.2. SUBDIVISÃO HIERÁRQUICA Os métodos de subdivisão hierárquica aproximam a imagem original através de uma divisão recursiva de uma superfície. As regiões da imagem que devem ser melhor aproximadas, porque possuem mais detalhes, podem ser subdivididas um maior número de vezes que as regiões menos detalhadas. Dos métodos de subdivisão hierárquica, um dos mais conhecidos e utilizados é o quadtree, em que cada superfície é subdividida em quatro novas superfícies quando necessário. Este é um método já conhecido do campo de processamento de imagens (Schalkoff, 1989), (Sonka et al., 1993), utilizado para compactação ou visualização de imagens em vários níveis de resolução. Ao se utilizar o método quadtree para criar uma malha triangular, é necessário encontrar uma forma correta de triangular as superfícies subdivididas, pois se apenas dividirmos as superfícies quadradas em triângulos, poderão aparecer falhas. Para a correta triangulação, foi proposta a quadtree restrita (Herzen & Barr, 1987), (Floriani et al., 1996), (Pajarola et al., 2002), que é triangulada segundo uma restrição nos níveis de subdivisão. Primeiramente, a quadtree corrente, vista na figura 02 (a), deve ainda ser dividida até que fique como em (b): duas superfícies vizinhas da quadtree não devem diferir em mais que um nível; isto é conhecido como a propriedade da quadtree restrita. Posteriormente, a quadtree é triangulada da seguinte maneira: para cada lado da superfície, se o vizinho possuir um nível maior, são criados dois triângulos. Se o vizinho possuir o mesmo nível, ou um nível menor, é criado apenas um triângulo. Dessa maneira, cada superfície será triangulada de quatro a até oito triângulos, como visto na figura 02 (c). FIGURA 02 TRIANGULAÇÃO QUADTREE RESTRITA IRREGULAR Para as triangulações irregulares, qualquer ponto pode ser escolhido para ser um vértice da triangulação, dessa maneira, as malhas construídas podem ser mais livres

6 e, assim, tendem a utilizar menos pontos. Exemplos desse tipo de triangulação podem ser vistos nas imagens (d), (e) e (f) da figura 04. Um dos métodos para construir uma malha irregular é o incremental, que inicia com uma aproximação baseada em apenas dois triângulos que cobrem o terreno inteiro e, depois, insere a cada iteração o ponto onde o erro avaliado é maior. O método termina quando o número máximo de pontos foi inserido, ou a precisão desejada foi alcançada (Garland & Heckbert, 1995). Quando um novo ponto é inserido, é necessário refazer a triangulação no local. É verificado a qual triângulo o ponto pertence, e são criadas novas arestas, formando assim novos triângulos, estendendo-as dos vértices do triângulo no qual o ponto está inserido, até o ponto em questão. O processo é visto na figura 03: em (a) o ponto P é inserido. Em (b) são criadas novas arestas a partir dos vértices do triângulo com o ponto P, formando três novos triângulos. FIGURA 03 RETRIANGULAÇÃO. Pode ser requerido que a triangulação construída satisfaça alguma propriedade desejada. Para reajustar as triangulações para respeitar a propriedade, podemos trocar a diagonal dos quadriláteros aos quais os novos triângulos pertencem. A triangulação de Delaunay pode ser utilizada como requisito, pois possui a propriedade de construir os maiores triângulos possíveis, todos aproximadamente equiláteros (O Rourke, 1993), o que é desejável, pois assim são evitados problemas de interpolação e artefatos visuais. Uma diagonal é trocada se mais de três pontos pertencem ao interior da circunferência que passa pelos três vértices de um novo triângulo. Um exemplo desse processo pode ser visto na figura 03: em (c) é verificado que o ponto P pertence ao interior da circunferência. Então, a diagonal do quadrilátero que contém os pontos é trocada em (d). No caso de ser utilizada uma triangulação diferente da Delaunay, algum teste também pode ser realizado depois da criação dos novos triângulos, para que as propriedades requeridas continuem existindo. Por exemplo, no caso da triangulação denominada de dependente dos dados, uma diagonal só será trocada por outra se com esta mudança o erro máximo no local diminuir. O outro método para a construção de triangulações irregulares é o baseado em extração de características (Heckbert & Garland, 1997), que primeiramente

7 seleciona um conjunto de pontos da imagem original, pontos considerados importantes para a aproximação, e depois cria uma malha triangular a partir deles, podendo ser uma triangulação de Delaunay. Primeiramente, deve ser atribuído um valor de importância a cada ponto. Este valor pode ser, por exemplo, a curvatura do ponto, calculada utilizando um filtro Laplaciano, ou alguma outra característica considerada adequada. Depois, os principais pontos são selecionados para construir a triangulação. Uma abordagem possível é escolher os pontos de maior importância, mas eliminar os pontos muito próximos uns dos outros. Outras abordagens adotadas são a distribuição do peso dos pontos segundo algum algoritmo conhecido, como por exemplo Floyd-Steinberg, utilizado em (Yang et al., 2001), ou a distribuição dos pontos segundo uma certa densidade, como em (Pedrini, 2001). 3. COMPARAÇÕES ENTRE OS MÉTODOS A seguir são comentados os testes realizados. Para a comparação foram utilizadas duas variantes dos métodos de triangulação regular: o método regular simples e o que atribui a média de uma região quadrada a cada ponto. Foram comparados ainda o método quadtree, e os métodos irregulares utilizando a construção incremental, com a triangulaçao de Delaunay e a dependente dos dados, e a construção por extração de características, selecionando os pontos pela curvatura, e distribuindo-os por densidade e pelo algoritmo de Floyd-Steinberg. As triangulações geradas pelos diversos métodos podem ser vistas na figura 04. Para a realização das comparações, os métodos foram aplicados a diversas amostras de terrenos, apresentando topografias diversas. A verificação de quais foram os melhores métodos foi realizada com base no número de pontos utilizados, o tempo de processamento, e a comparação entre as imagens originais e as aproximações, segundo as métricas anteriormente descritas: RMSE e PSNR. Foram executados dois tipos de comparações entre os métodos. Para a primeira comparação foi construída uma triangulação para cada método, segundo uma certa percentagem de pontos da imagem original. Para a segunda comparação, as triangulações foram construídas segundo uma certa taxa de erro a ser alcançada. A taxa de erro utilizada como parâmetro foi uma certa percentagem do valor máximo permitido para um ponto da imagem. Os experimentos foram realizados em um computador PC Pentium III 866MHz, com 1GByte de memória e sistema operacional Linux. Para a obtenção do tempo de execução de construção da malha triangular, foi utilizado o comando de sistema time, que retorna o tempo utilizado em segundos. Gráficos com os resultados obtidos para duas imagens de teste, denominadas de emory peak e cape flattery, são apresentados nas figuras 05 a 14. Os gráficos das figuras 05 a 08 e 11 a 14 representam as aproximações geradas por taxas de erro

8 especificadas, e as figuras 09 e 10 as aproximações por número de pontos utilizados, nesse caso apenas para a imagem emory peak. O método regular simples e o método que atribui a média de uma região a um ponto são chamados respectivamente de Reg e RegMean nos gráficos. O método irregular utilizando a triangulação de Delaunay é chamado de Delaunay, enquanto que o dependente dos dados é denominado DataDep. Os métodos irregulares por extração de características foram chamados de FlSt, quando a distribuição é realizada por Floyd-Steinberg, e Dens, quando é realizada por densidade. Esses dois métodos não foram comparados nas aproximações por taxas de erro, uma vez que é necessário saber previamente o número de pontos que devem ser utilizados. Pode ser observado que, apesar dos métodos que constroem a malha conforme o erro máximo respeitarem uma certa taxa de erro especificada, a qualidade das triangulações geradas diferiu muito de um método para outro. O método irregular, utilizando a triangulação de Delaunay, foi o que obteve os melhores resultados, utilizando poucos pontos, e apresentando um tempo de execução baixo. Já o método irregular utilizando a triangulação dependente dos dados apresentou um alto tempo de execução, e as aproximações geradas não foram satisfatórias, mesmo utilizando um grande número de pontos. Os métodos baseados em extração de características também não obtiveram resultados muito satisfatórios para diversas imagens, entretanto, o tempo de execução desses métodos não foi muito alto. O método quadtree obteve melhores resultados que todos os outros, inclusive o irregular por Delaunay, em várias aproximações por taxas de erro, no entanto, o número de pontos utilizados por esse método foi muito maior do que o necessário por todos os outros métodos. Quando limitado o número de pontos, as melhores aproximações foram sempre do método irregular por Delaunay. Os métodos regulares, como esperado, obtiveram as aproximações menos satisfatórias, mas também foram os que utilizaram menos pontos nas aproximações por erros, como visto nos gráficos de pontos utilizados. O tempo de execução desses métodos também foi baixo. Os resultados com as imagens de teste foram muito semelhantes uns aos outros, existindo certas variações nos tempos de execução. Também houve variações na qualidade das aproximações geradas, no entanto, não houve nenhuma diferença drástica entre um resultado e outro. Os métodos mais satisfatórios foram sempre aqueles pertencentes à mesma categoria, e os menos satisfatórios também. 4. CONCLUSÕES O propósito deste trabalho foi realizar uma série de comparações entre os principais métodos existentes para a construção de malhas triangulares, com o fim de representar terrenos. As comparações possibilitaram a distinção clara de quais

9 métodos são mais eficientes para a aproximação de terrenos, o método irregular por Delaunay e o método quadtree, e quais os menos eficientes, os métodos regulares e os métodos irregulares depedentes de dados e por extração de características. 5. REFERÊNCIAS FLORIANI, L. D.; MARZANO, P.; PUPPO, E. Multiresolution models for topographic surface description. The Visual Computer, v. 12, n. 7, p , GARLAND, M.; HECKBERT, P. S. Fast polygonal approximation of terrains and height fields. Relatório Técnico. CMU-CS , HAMMING, R. W. Digital Filters. Englewood Cliffs, Estados Unidos: Prentice- Hall, HECKBERT, P. S.; GARLAND, M. Survey of polygonal surface simplification algorithms. Relatório Técnico HERZEN, B. V.; BARR, A. H. Accurate triangulations of deformed, intersecting surfaces. ACM Journal Computer Graphics, v. 4, p , O'ROURKE, J. Computational Geometry in C. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, PAJAROLA, R.; ANTONIJUAN, M.; LARIO, R. QuadTIN: Quadtree based triangulated irregular networks. In Proceedings IEEE Visualization, p , PEDRINI, H. Modeling dense range images through fast polygonal approximations. In Proceedings of 11th International Conference on Image Analysis and Processing (ICIAP). Palermo, Itália: IEEE Computer Society Press, p , SCHALKOFF, R. J. Digital Image Processing and Computer Vision. John Wiley & Sons, Inc, SONKA, M.; HLAVAC, V.; BOYLE, R. Image Processing, Analysis and Machine Vision. Cambridge, Reino Unido: Chapman & Hall, 1993.

10 YANG, Y.; WERNICK, M. N.; BRANKOV, J. G. A fast adaptive accurate contentadaptive mesh generation. In Proceedings of IEEE International Conference on Image Processing, p , AGRADECIMENTOS Os autores gostariam de agradecer ao Programa Especial de Treinamento (PET) do Departamento de Informática da Universidade Federal do Paraná. As imagens de terrenos foram gentilmente cedidas pelo United States Geological Survey e pelo Nasa's Planetary Data System. FIGURA 04 PRINCIPAIS MODELOS DE TRIANGULAÇÃO. (a) Terreno original (b) Regular (c) Quadtree (d) Irregular por Delaunay (e) Irregular dependente dos dados (f) Irregular por extração de características

11 FIGURA 05 RMSE PARA APROXIMAÇÕES DA IMAGEM EMORY PEAK, VARIANDO AS TAXAS DE ERROS. FIGURA 06 PSNR PARA APROXIMAÇÕES DA IMAGEM EMORY PEAK, VARIANDO AS TAXAS DE ERROS.

12 FIGURA 07 PONTOS UTILIZADOS POR APROXIMAÇÕES DA IMAGEM EMORY PEAK, VARIANDO AS TAXAS DE ERROS. FIGURA 08 TEMPO DE EXECUÇÃO PARA APROXIMAÇÕES DA IMAGEM EMORY PEAK, VARIANDO AS TAXAS DE ERROS.

13 FIGURA 09 RMSE PARA APROXIMAÇÕES DA IMAGEM EMORY PEAK, VARIANDO O NÚMERO DE PONTOS UTILIZADOS. FIGURA 10 PSNR PARA APROXIMAÇÕES DA IMAGEM EMORY PEAK, VARIANDO O NÚMERO DE PONTOS UTILIZADOS.

14 FIGURA 11 RMSE PARA APROXIMAÇÕES DA IMAGEM CAPE FLATTERY, VARIANDO AS TAXAS DE ERROS. FIGURA 12 PSNR PARA APROXIMAÇÕES DA IMAGEM CAPE FLATTERY, VARIANDO AS TAXAS DE ERROS.

15 FIGURA 13 PONTOS UTILIZADOS POR APROXIMAÇÕES DA IMAGEM CAPE FLATTERY, VARIANDO AS TAXAS DE ERROS. FIGURA 14 TEMPO DE EXECUÇÃO PARA APROXIMAÇÕES DA IMAGEM CAPE FLATTERY, VARIANDO AS TAXAS DE ERROS.