Determinação do Fator de Segurança em Estabilidade de Taludes utilizando Análise Limite e Programação Cônica de Segunda Ordem

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1 Luis Fernando Chahua Cruz Determinação do Fator de Segurança em Estabilidade de Taludes utilizando Análise Limite e Programação Cônica de Segunda Ordem Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio. Orientador: Eurípedes do Amaral Vargas Jr. Co-orientador: Luiz Eloy Vaz Rio de Janeiro Julho de 2013

2 Luis Fernando Chahua Cruz Determinação do Fator de Segurança em Estabilidade de Taludes utilizando Análise Limite e Programação Cônica de Segunda Ordem Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil do Centro Técnico Científico da PUC-Rio Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada. Eurípedes do Amaral Vargas Jr. Orientador Departamento de Engenharia Civil PUC-Rio Luiz Eloy Vaz Co-orientador Universidade Federal Fluminense UFF Tacio Mauro Pereira de Campos Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio André Maués Brabo Pereira Universidade Federal Fluminense UFF José Eugênio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico - PUC-Rio Rio de Janeiro, 22 de Julho de 2013

3 Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador. Luis Fernando Chahua Cruz Graduou-se em Engenharia Civil pela Universidade Nacional de Engenharia (Lima Perú) em Desenvolveu projetos de Engenharia Geotécnica nas empresas Cesel S.A. e Knight Piésold Consulitng no período Ingressou no mestrado na PUC- Rio em 2011, atuando nas linhas de pesquisa de Geomecânica Computacional e Geotecnia Ambiental. Ficha Catalográfica Chahua Cruz, Luis Fernando Determinação do Fator de Segurança em Estabilidade Taludes utilizando Análise Limite e Programação Cônica de Segunda Ordem / Luis Fernando Chahua Cruz; orientador: Eurípedes do Amaral Vargas Jr.; co-orientador: Luiz Eloy Vaz. Rio de Janeiro: PUC, Departamento de Engenharia Civil, v., 182 f.: il. ; 29,7 cm 1. Dissertação (mestrado) Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil. Inclui referências bibliográficas. 1. Engenharia civil Teses. 2. Análise Limite. 3. Programação Cônica da Segunda Ordem. 4. Estabilidade de Taludes. 5. Elementos Finitos. 6. Fator de Segurança I. Vargas Jr., Eurípedes do Amaral. II. Vaz, Luiz Eloy. III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV. Título. CDD:624

4 A Deus, a meus pais, e a toda minha família pelo grande amor e apoio que deram na minha vida.

5 Agradecimentos Agradeço a Deus em primeiro lugar por me dar a alegria de viver esta nova experiência em minha vida, e porque sem ajuda dele nada acontece. A meus orientadores Eurípedes do Amaral Vargas Jr. e Luiz Eloy Vaz, pela orientação, amizade, confiança e conhecimentos transmitidos durante o período de trabalho, e por incentivar-me sempre continuar e não desistir até o final do trabalho. Muito obrigado por seu apoio e compreensão. A meu pai Donato e minha mãe Maria pelo amor e por me haver ensinado que a chave de todo sucesso esta na perseverança e esforço, e as minhas irmãs Geraldine e Claudia pelo amor e apoio em todo momento. Ao amore de minha vida Martha, por seu amor, compreensão e carinho e por ser meu apoio incondicional a pesar da distancia durante este tempo. A meus amigos da PUC-Rio: Gustavo, Raul, Jefferson, Freddy E., Freddy A., Juan, Lizardo, Rossio, Lidia, Phillip, Julio, Nilthson, Frank, Gary, Cesar, Ricardo, Renzo, Yeny, Perlita pela amizade e confiança durante estes semestres de estudo, sempre estarão presentes em minha memória e coração. Aos professores Tacio e André que participaram na banca examinadora pelas sugestões feitas que serviram para melhorar a qualidade desta dissertação. Ao Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio pela infraestrutura e apoio, em especial à secretaria de pós-graduação Rita por sua atenção e disponibilidade. À PUC-Rio, à CAPES e à FAPERJ, pelos auxílios concedidos, sem os quais este trabalho não poderia ter sido realizado.

6 Resumo Cruz, Luis Fernando Chahua; Vargas Jr, Eurípedes do Amaral; Vaz, Luiz Eloy. Determinação do Fator de Segurança em Estabilidade de Taludes utilizando Análise Limite e Programação Cônica de Segunda Ordem. Rio de Janeiro, p. Dissertação de Mestrado. Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. O presente trabalho tem como principal objetivo mostrar a aplicabilidade prática da análise limite pelo método de elementos finitos na avaliação de problemas de estabilidade de talude, sendo este colocado como um problema de programação matemática, no qual se precisa realizar um processo de otimização para a solução do problema. Apresenta-se um método para obter a solução do problema de estabilidade de taludes utilizando para isso a programação matemática, e fazendo ênfase na utilidade da programação cônica da segunda ordem (SOCP). Inicialmente faz uma revisão das formulações da análise limite, via o método de elementos finitos, encontradas na literatura existente. A seguir é descrita a formulação da análise limite numérica partindo do principio do trabalho virtual para sua formulação, e utilizando a ferramenta dos elementos finitos para realizar a implementação numérica. São propostas diferentes formas de trabalhar com o critério de resistência do material, sendo a de melhor desempenho, em termos de tempo de processamento a forma cônica quadrática que permite acoplar a programação cônica da segunda ordem (SOCP) na ferramenta numérica. É acoplada a técnica da redução dos parâmetros de resistência do material com a finalidade de encontrar o fator de segurança da estrutura do talude (FS). Finalmente são apresentados exemplos de validação e aplicação, os quais permitem visualizar a eficiência da ferramenta desenvolvida em termos de tempo de processamento ao utilizar a programação cônica da segunda ordem (SOCP). Os resultados sugerem viabilidade da utilização da técnica estudada na solução de problemas relacionada à estabilidade de taludes. Palavras-chave Análise limite; programação cônica da segunda ordem; estabilidade de taludes; elementos finitos; fator de segurança.

7 Abstract Cruz, Luis Fernando Chahua; Vargas Jr, Eurípedes do Amaral; Vaz, Luiz Eloy. Determination of Safety Factor in Slope Stability using Limit Analysis and Second Order Conic Programming. Rio de Janeiro, p. M.Sc. Dissertation Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. The main objective of this work is to show the practical applicability of limit analysis by finite element method in the evaluation of slope stability problems, and this placed as a mathematical programming problem, which you need to perform an optimization process to solve the problem. We present a method to obtain the solution of the problem of slope stability using for this mathematical programming, and making emphasis on the usefulness of the second order conic programming (SOCP). Initially, a review of formulations Limit Analysis via Finite Element Method, found in the existing literature. Then is described the Numerical Limit Analysis formulation starting from virtual work principle their formulation, and using Finite Element Method as a tool to carry out the numerical implementation. We propose different ways of working with the yield criterion of the material, being the best performing in terms of processing time the conic quadratic form that allows to coupling to the second order conic programming (SOCP) in numerical implementation. It is coupled to the technique of reducing the strength parameters of the material in order to find the safety factor of the slope of the structure (FS). Finally, examples are presented for validation and application, which allow you to view the efficiency of the developed implementation in terms of processing time with the use of second order conic programming (SOCP). The results suggest the feasibility of using the technique studied in the solution of problems related to Slope Stability. Keywords Limit analysis; second order conic programming; slope stability; finite elements; safety factor.

8 Sumário 1 Introdução Relevância e Justificativa da Pesquisa Estado da Arte Objetivo Estrutura do trabalho 31 2 Análise Limite em Geotecnia Considerações do Problema da Análise Limite Considerações da Plasticidade Perfeita Considerações de Escoamento Considerações sobre a Lei de Fluxo Campos Admissíveis Campo de Tensão Estaticamente Admissível Campo de Velocidade Cinematicamente Admissível Principio do Trabalho Virtual Teoremas da Análise Limite Teorema de Limite Inferior Teorema de Limite Superior Critérios de Escoamento Critério de Mohr-Coulomb Critério de Druker-Prager Formulações Variacionais do Problema de Análise Limite Formulação Estática Formulação Cinemática Formulação Mista Programação Matemática Função Lagrangeana Dualidade Condições de Ótimo 60

9 2.8. Otimização Convexa Otimização Cônica Conjunto de Cones Programação Cônica da Segunda Ordem (SOCP) Algoritmos e Software para SOCP Exemplo de Aplicação de Progrmação Conica utilizando o programa Mosek 67 3 Implementação das Ferramentas Numéricas Formulação Numérica da Análise Limite pelo Método de Elementos Finitos Condição de Equilíbrio Discretização Espacial Integração Espacial Condição de Contorno Condição de Escoamento Critério de Mohr-Coulomb na forma Cônica Quadrática Critério de Drucker-Prager na forma Cônica Quadrática Ferramentas de Otimização Programa de Otimização Mosek Estrutura do Problema de Otimização Cônica (Mosek) Descrição geral do Problema de Otimização Cônica (Mosek) Otimizador do Matlab (fmincon) Aplicação dos otimizadores ao problema de Análise Limite Problema de Análise Limite na forma convencional Problema de Análise Limite na forma cônica quadrática Estimativa do valor inicial Cálculo do Fator de Segurança Implementação Numérica 99 4 Exemplos de Validação e Aplicação Exemplos de Validação Validação 1:Talude Infinito Validação 2: Talude Homogêneo. 115

10 Validação 3: Talude Homogêneo - Caso Tridimensional (3D) Exemplos de Aplicação Aplicação 1: Talude Homogêneo com Fundação Talude Homogêneo de Solo com Atrito Alto e Coesão Baixa Talude Homogêneo de Solo com Coesão Alta e Atrito Baixo Aplicação 2: Talude de Material Heterogêneo Aplicação 3: Talude Infinito com Percolação Aplicação 4: Talude Natural com Fluxo em Regime Transiente Aplicação 5: Talude Confinado 3D Conclusões e Sugestões Conclusões Sugestões 175 Referências Bibliográficas 177

11 Lista de Figuras Figura Queda de blocos e fragmentos (Varnes, 1978). 26 Figura Tombamento de colunas de rocha (Skinner, B.J.; Porter, S.C. 1992). 26 Figura Tipos de escorregamentos (a) Traslacional (b) Rotacional (Skinner, B.J. & Porter, S.C, 1992). 27 Figura Tensões cisalhantes mobilizadas frente à resistência ao cisalhamento. 28 Figura Deslizamentos ocorridos na região serrana de Rio de Janeiro. 29 Figura Modelo elastoplástico. 34 Figura 2.2 Curva de tensão deformação para materiais rígido plásticos. 35 Figura Superfície de escoamento no espaço de tensões principais. 36 Figura Superfície de escoamento e o vetor de deformação plástica. 38 Figura Superfícies de Escoamento no espaço das tensões principais: a) Drucker-Prager e Von Misses b) Mohr-Coulomb e Tresca. 43 Figura Aproximação da superfície de escoamento de Drucker- Prager para Mohr Coulomb caso 3D. (Chen e Liu, 1990) 45 Figura Região Viável do problema. 55 Figura Busca da solução ótima para o problema. 56 Figura Ponto de Sela da Função Lagrangeana (Zörnig, 2011). 58 Figura (a) Elemento Quadrilateral, (b) Elemento Hexaédrico 74 Figura Superfície de escoamento e o vetor de deformação plástica. 79 Figura Variação do fator de colapso (λ) com o fator de redução (FR). 99

12 Figura Discretização feita com gerador de malha. 100 Figura Talude Infinito. 102 Figura Malhas de elementos finitos (a) 100 elementos, (b) 200 elementos, (c) 300 elementos, (d) 500 elementos. 103 Figura Variação do tempo de cálculo para diferentes números de elementos empregados pelos otimizadores. 105 Figura Variação do fator de colapse com o fator de redução da resistência (100 elementos) com FS= Figura Variação do fator de colapse com o fator de redução da resistência (200 elementos) com FS= Figura Variação do fator de colapse com o fator de redução da resistência (300 elementos) com FS= Figura Variação do fator de colapse com o fator de redução da resistência (500 elementos) com FS= Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (100 elementos) com FS= Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (200 elementos) com FS= Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (300 elementos) com FS= Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (300 elementos) com FS= Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (100 elementos) com FS= Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (200 elementos) com FS= Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (300 elementos) com FS= Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (500 elementos) com FS= Figura Variação do tempo de cálculo do fator de segurança com o número de elementos empregado pelos otimizadores. 114 Figura Mecanismo de ruptura obtido com os vetores das velocidades de deformação. 115

13 Figura Talude homogêneo com um ângulo de inclinação de o, Ф=20 o, c = 0.05 H γ 115 Figura Mecanismo de ruptura do exemplo de Griffiths (1999). 116 Figura Malha de elementos finitos do talude com 200 elementos. 116 Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência. Com o FS= Figura Mecanismo de ruptura obtido com os vetores de velocidade de deformação. 118 Figura Malha de elementos finitos 3D com 600 elementos. 119 Figura Malha de elementos finitos 2D com 100 elementos. 119 Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência. Com o FS= Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência. Com o FS= Figura Geometria do talude de solo granular e as condições de contorno. 123 Figura Malha de elementos finitos a) 80 elementos, b) 220 elementos, c) 525 elementos, d) 811 elementos. 123 Figura Variação do tempo de cálculo para diferente número de elementos empregado pelos otimizadores. 125 Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (80 elementos). Com o FS= Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (220 elementos). Com o FS= Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (525 elementos). Com o FS= Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (811 elementos). Com o FS= Figura Mecanismo de ruptura obtido com o campo de velocidade de deformação. 129 Figura Malha de elementos finitos e condições de contorno no programa Plaxis (808 elementos). 129

14 Figura Curva do fator de redução do programa (ΣMsf) versus deslocamentos nodais. FS= Figura Mecanismo de ruptura obtido pelo campo de deslocamentos obtido na análise elastoplástica. 130 Figura Geometria do talude de solo argiloso e as condições de contorno. 131 Figura Malha de elementos finitos a) 100 elementos, b) 220 elementos, c) 525 elementos, d) 820 elementos. 132 Figura Variação do tempo de calculo para diferente número de elementos empregado pelos otimizadores. 133 Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (100 elementos). Com o FS= Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (220 elementos). Com o FS= Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (525 elementos). Com o FS= Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (820 elementos). Com o FS= Figura Mecanismo de ruptura obtido com o campo de velocidade de deformação. 137 Figura Malha de elementos finitos e condições de contorno no programa Plaxis (544 elementos). 137 Figura Curva do fator de redução do programa (ΣMsf) versus deslocamentos nodais. FS= Figura Mecanismo de ruptura obtido pelo campo de deslocamentos obtido na análise elastoplástica. 138 Figura Geometria e condições do contorno do talude com material heterogêneo. 139 Figura Malha de elementos finitos do problema de talude heterogêneo (864 elementos). 139 Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (864 elementos). Com o FS= Figura Mecanismo de ruptura do talude com as velocidades de deformação. 141

15 Figura Malha de elementos finitos e condições de contorno no programa Plaxis. 142 Figura Curva do fator de redução do programa (ΣMsf) versus deslocamentos nodais. FS= Figura Mecanismo de ruptura obtido pelo campo de deslocamentos obtido da análise elastoplástica. 143 Figura Geometria do talude do solo. 145 Figura Curva característica do solo residual. 145 Figura Frente de avanço no perfil do solo 146 Figura Malha de elementos Finitos (500 elementos) para uma profundidade de infiltração h=0.00 m. 147 Figura Malha de elementos Finitos (500 elementos) para uma profundidade de infiltração h=0.30 m. 148 Figura Malha de elementos Finitos (500 elementos) para uma profundidade de infiltração h=0.50 m. 148 Figura Malha de elementos Finitos (500 elementos) para uma profundidade de infiltração h=0.80 m. 149 Figura Malha de elementos Finitos (500 elementos) para uma profundidade de infiltração h=1.00 m. 149 Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (prof. infiltração = 0.00 m). Com o FS= Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (prof. infiltração = 0.30 m). Com o FS= Figura Variação do Fator de colapso com o fator de redução da resistência (prof. infiltração = 0.50 m). Com o FS= Figura Variação do Fator de colapso com o fator de redução da resistência (prof. infiltração = 0.80 m). Com o FS= Figura Variação do Fator de colapso com o fator de redução da resistência (prof. infiltração = 1.00 m). Com o FS= Figura Variação do fator de Segurança (FS) com a profundidade de infiltração. 155 Figura Regime permanente com fluxo paralelo ao plano de inclinação do talude. 156

16 Figura Variação do Fator de colapso com o fator de redução da resistência (Regime Permanente). Com o FS= Figura Caso de estudo da zona Montanhosa de Mettman Ridge (Borja, 2011) 158 Figura Curva k(ψ) da Hidráulica típica de um solo 159 Figura Curva característica C(ψ) típica de um solo 160 Figura (a) Poropressões no talude após 24 h (1 dia) de chuva com taxa de 6mm/h (b) Zona crítica do talude. 162 Figura (a) Poropressões no talude após 25.7 h (1.07 dia) de chuva com taxa de 40mm/h (b) Zona crítica do talude. 163 Figura Malha de elementos Finitos com 808 elementos. 165 Figura Variação da Carga de colapso com o fator de redução da resistência (t=0.0 horas). Com o FS= Figura Variação da Carga de colapso com o fator de redução da resistência (t=24.0 horas). Com o FS= Figura Variação da Carga de colapso com o fator de redução da resistência (t=25.7 horas). Com o FS= Figura Malha de elementos finitos (3300 elementos). 169 Figura Variação do Fator de colapso com o fator de redução da resistência. Com o FS= Figura 4.83 Distribuição das velocidades de deformação (a) Vista tridimensional, (b) Vista da secção. 171

17 Lista de Tabelas Tabela 1.1 Fatores deflagradores dos movimentos de massa. (Varnes, 1978) 28 Tabela Classificação dos Problemas de Programação Matemática 56 Tabela Coordenadas paramétricas dos pontos de integração e fatores de ponderação para o elemento quadrilateral de 4 nós. 78 Tabela Coordenadas paramétricas dos pontos de integração e fatores de ponderação para o elemento hexaédrico de 8 nós. 78 Tabela Fatores de colapso obtidos com otimizador do Matlab utilizando programação na forma convencional. 104 Tabela Fatores de colapso obtidos com otimizador do Matlab utilizando programação na forma cônica quadrática. 104 Tabela Fatores de colapso obtidos com otimizador do Mosek utilizando programação na forma cônica quadrática. 104 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 100 elementos). 106 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 200 elementos). 106 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 300 elementos). 106 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 500 elementos). 106 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 100 elementos). 108 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 200 elementos). 108 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 300 elementos). 109

18 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 500 elementos). 109 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 100 elementos). 111 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 200 elementos). 111 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 300 elementos). 111 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 500 elementos). 112 Tabela Cálculo do fator de colapso utilizando os otimizadores do Matlab e do Mosek. 117 Tabela Resultados da Análise Limite. 117 Tabela Resultados da Análise Limite 3D. 120 Tabela Resultados da Análise Limite 2D. 121 Tabela Fatores de colapso obtidos com otimizador do Matlab utilizando programação na forma convencional. 124 Tabela Fatores de colapso obtidos com otimizador do Matlab utilizando programação na forma cônico quadrática. 124 Tabela Fatores de colapso obtidos com otimizador do Mosek utilizando programação na forma cônico quadrática. 124 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 80 elementos). 126 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 220 elementos). 126 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 525 elementos). 126 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 811 elementos). 126 Tabela Fatores de colapso obtidos com otimizador do Matlab utilizando programação na forma convencional. 132 Tabela Fatores de colapso obtidos com otimizador do Matlab utilizando programação na forma cônico quadrática. 132

19 Tabela Fatores de colapso obtidos com otimizador do Mosek utilizando programação na forma cônico quadrática. 133 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 100 elementos). 134 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 220 elementos). 134 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 525 elementos). 134 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 820 elementos). 135 Tabela Propriedades dos solos. 140 Tabela Resultados da Análise Limite. 140 Tabela Variação do Fator de Segurança com a profundidade de Infiltração. 147 Tabela Resultados da Análise Limite para uma profundidade de infiltração de 0.00 m. 150 Tabela Resultados da Análise Limite para uma profundidade de infiltração de 0.30m. 150 Tabela Resultados da Análise Limite para uma profundidade de infiltração de 0.50 m. 151 Tabela Resultados da Análise Limite para uma profundidade de infiltração de 0.80 m. 151 Tabela Resultados da Análise Limite para uma profundidade de infiltração de 1.00 m. 152 Tabela Resultados da Análise Limite no caso do fluxo em regime permanente. 157 Tabela Resultados da Análise Limite para t = 0.0 horas. 166 Tabela Resultados da Análise Limite para t = 24.0 horas. 166 Tabela Resultados da Análise Limite para t = 25.7 horas. 166 Tabela Resultados dos Fatores de Segurança. 168 Tabela Resultados da Análise Limite 3D. 170

20 Lista de Símbolos σ 0 ε Tensão de escoamento. Deformação Plástica. e ε Deformação Elástica. p ε Deformação Plástica. E F(σ) Modulo de Young. Superfície ou critério de escoamento. ε Taxa ou velocidade de deformação total. e ε Taxa ou velocidade de deformação elástica. p ε Taxa ou velocidade de deformação plástica. Dp ω φ Dissipação plástica por unidade de volume. Fator de proporcionalidade. Ângulo de atrito do material. c K α p q σ x σ y τ xy V St f T η λ σ u Coesão do material. Parâmetro do material. (Critério de Drucker-Prager) Parâmetro do material. (Critério de Drucker-Prager) Tensão media. Tensão cisalhante máxima. Tensão Normal segundo o eixo x Tensão Normal segundo o eixo x Tensão Cisalhante no plano xy Volume ocupado por um corpo de material rígido-plástico ideal. Fronteira ou contorno. Forças de volume aplicadas no domínio. Forças aplicadas no contorno do sistema. Vetor normal à superfície. Fator do colapso do sistema. Campo de tensões. Campo de velocidades.

21 s v x h(x) c(x) L(x,λ,µ) λ k Fatores de Plastificação. Vetor das variáveis de folga. Vetor das variáveis. Função das restrições de igualdade. Função das restrições de desigualdade. Função Lagrangeana. Multiplicadores de Lagrange associados às restrições de igualdade. µ Multiplicadores de Lagrange associados às restrições de l σ T desigualdade. Vetor do campo de tensões. Operador diferencial do equilibro estático. Operador diferencial das relações de compatibilidade. epi f Epígrafe da função f. κ { û } Conjunto chamado cone. Campo de Velocidades Nodais. { σ } Vetor de Campo de Tensões { σ } { ε } [ ] N u [ ] N σ [ B ] Vetor de Campo de Tensões Nodais. Vetor de Campo de deformações. Matriz de interpolação de velocidades. Matriz de interpolação de tensões. Matriz de relação de deformação deslocamento. e Ω e Domínio elementar. Montagem da matriz ou vetor global. r, s, t Coordenadas paramétricas dos elementos. ρ D, d c l, c u Variáveis no espaço cônico quadrático. Matriz e vetor de transformação no espaço cônica quadrática. Limite inferior e superior das restrições. x l, T c, x u c f Limite inferior e superior das variáveis. Vetores de com elementos constantes.

22 κ t Cone na forma quadrática ou um cone rotativo. κq κ * Cone Dual. Aeq,beq A,b c(x),ceq(x) lb,ub B e Cone quadrático de segunda ordem. Matriz e vetor das restrições lineares de igualdade do problema. Matriz e vetor das restrições lineares de desigualdade do problema. Vetores das restrições de igualdade e desigualdade não linear do problema. Vetores dos limites inferiores e superiores. Matriz de relação da deformação e deslocamento do elemento e. K e Matriz de rigidez do elemento e. A e C e i i i Área do elemento. Matriz constitutiva para o estado plano de deformações no elemento e. r, s, t Pontos de Gauss do elemento paramétrico. W W, W ri, Fatores de ponderação. si ti J e d fo Matriz Jacobiana do elemento. Vetor dos deslocamentos a nível global. Vetor das forças nodais. K Matriz de rigidez a nível global. C Coesão reduzida. red φ Ângulo de atrito reduzido. red FR FS γ Fator de redução. Fator de segurança. Peso específico do solo. β H ΣMsf c ', φ ' τ Ângulo de inclinação do talude. Profundidade Vertical do solo. Fator de redução do programa Plaxis. Parâmetros efetivos de resistência do solo saturado. Tensão cisalhante

23 σ Tensão normal líquida atuante ( u ) a n ( uw) b φ c ap u Sucção mátrica. a Parâmetro que quantifica um aumento na resistência devido a um aumento na sucção mátrica. Coesão aparente do solo não saturado. γ Peso específico saturado do solo. sat γ n Peso específico inicial do solo. γ Peso específico da água. w j x j y ψ k(ψ) C(ψ) Componente horizontal da força de percolação. Componente vertical da força de percolação. Carga de pressão do solo. Condutividade Hidráulica do material. Capacidade de retenção específica g, Sr Grau de saturação do solo. gr gs a n χ Grau de saturação residual. Grau de saturação máximo. Parâmetro relacionado com a pressão de entrada do ar. Parâmetro empírico que define a forma da curva. Parâmetro de Bishop.

24 Lista de Abreviaturas MEF MDF MED PPTM SOCP PL PNL PQ PC PP PD FS FR 2D 3D Método dos Elementos Finitos. Método das Diferencias Finitas. Método dos Elementos Discretos. Princípio do Trabalho Plástico Máximo. Programação Cônica de Segunda Ordem. Programação Linear. Programação Não Linear. Programação Quadrática. Programação Cônica. Problema Primal. Problema Dual. Fator de Segurança. Fator de Redução. Bidimensional. Tridimensional.

25 1 Introdução 1.1. Relevância e Justificativa da Pesquisa Os desastres naturais são hoje uns dos grandes problemas sócio-econômicos mundiais. Dentre os fenômenos que mais se destacam, se podem citar os terremotos, inundações e movimentos de massa. Estes fenômenos são objeto de interesse de grande parte de pesquisadores, planejadores e administradores públicos, pois acabam atingindo instalações importantes de infra-estrutura para um país como, por exemplo: oleodutos, gasodutos, aquedutos, estradas, linhas de transmissão, complexos industriais etc., bem como populações de centros urbanos. Os fenômenos naturais como a chuva, terremotos, furações ou o vento, podem causar desastres quando superam certo limite de normalidade, medido geralmente através de um parâmetro. Os movimentos de massa são fenômenos naturais, atuantes na modificação do relevo de áreas montanhosas, os quais estão associados a vários fatores naturais que atuam nessas áreas os quais criam instabilidade nos taludes existentes. Com a ocupação humana dessas regiões esses processos naturais podem ser influenciados pela ação antrópica e sua ocorrência pode ser desastrosa, causando perdas de vidas humanas e prejuízos financeiros. Atualmente a maioria dos esforços está centrada na análise de estabilidade, a qual deve ser contemplada desde vários pontos de vista, como são as possíveis rupturas globais, as quais envolvem o talude todo, as possíveis rupturas profundas e os deslocamentos superficiais. A instabilidade de taludes se traduz em uma série de movimentos que podem ser classificados baseados em distintos critérios.

26 26 Queda de blocos e partículas Ocorrem quando uma massa de solo ou de rocha deslocado do maciço por intemperismo caem por ação da gravidade. Uma queda de blocos é assim definida por uma ação de queda livre a partir de uma elevação, com ausência de superfície de movimentação. Figura Queda de blocos e fragmentos (Varnes, 1978). Tombamento São movimentos geralmente associados à rocha, mas pode ocorrer em solos também, este movimento consiste na rotação para frente de uma das placas de rocha ou solo em torno a um eixo determinado. Nestes movimentos não se desenvolvem movimentos com cisalhamento interno. Figura Tombamento de colunas de rocha (Skinner, B.J.; Porter, S.C. 1992). Escorregamento Movimentos que envolvem deformações e deslocamentos ao longo de uma superfície de ruptura bem definida. Neste caso, desenvolvem-se movimentos com cisalhamento interno onde o centro de gravidade da massa em movimento se desloca para baixo e para fora do talude devido à ação da gravidade, as velocidades nestes movimentos podem variar desde uma velocidade media ou

27 27 moderada até velocidades altas, a superfície de ruptura pode ter diferentes geometrias de acordo com o tipo de material presente no talude. Tal superficie pode ser rotacional quando os movimentos ocorrem numa superfície de ruptura circular em materiais homogêneos, ou translacional quando o movimento esta associado a uma superfície de ruptura planar e ocorre quando há um contraste de resistência e permeabilidade entre os materiais. Este movimento é comum em solos residuais anisotrópicos. A superficie de ruptura também pode ser do tipo composto quando está associado a superfícies que tem qualquer forma. Este tipo é característico em solos residuais, geralmente ocorre em materiais heterogêneos e anisotrópicos. (a) (b) Figura Tipos de escorregamentos (a) Traslacional (b) Rotacional (Skinner, B.J. & Porter, S.C, 1992). Corridas São formas rápidas de escoamento, com velocidades altas (maiores de 10 km/h), é gerada pela a perda de atrito interno no solo em virtude da destruição de sua estrutura em presença de água em excesso provocando a fluidificação. Este processo de fluidificação pode ser causado por: - Adição de água em areias. - Ações das solicitações dinâmicas. - Processo de amolgamento no caso de argilas sensitivas. A instabilidade do talude será deflagrada quando as tensões cisalhantes mobilizadas se igualarem à resistência ao cisalhamento como se pode ver na Figura 1.4. esta condição pode ser atingida com o aumento das tensões cisalhantes mobilizadas ou pela redução da resistência. Varnes (1978) divide os mecanismos deflagradores em dois grupos. A tabela 1.1 propõe uma classificação adaptada.

28 28 Figura Tensões cisalhantes mobilizadas frente à resistência ao cisalhamento. Tabela 1.1 Fatores deflagradores dos movimentos de massa. (Varnes, 1978) Ação Aumento de solicitação Redução da resistência Fatores Remoção de massa (lateral ou de base) Sobrecarga Solicitações dinâmicas Pressões Laterais Características inerentes ao material (geometria, estruturas, etc.) Mudanças ou fatores variáveis Fenômenos geológicos/antrópicos -Erosão. -Escorregamentos. -Cortes. -Peso de água da chuva, neve, granizo. -Acumulo de material. -Peso da vegetação. -Construção de estruturas, aterros, etc. -Terremotos, ondas, vulcões, etc. -Explosões, tráfego, sismos induzidos. -Águas em trincas. -Congelamento. -Material expansivo. Características geomecânicas do material, tensões Intemperismo: redução na coesão, ângulo de atrito Variação das poropressões. O Brasil, devido às condições climáticas e grandes maciços montanhosos ao longo do seu litoral, está muito susceptível à ocorrência dos movimentos de massa. Além da frequência elevada devido às condições naturais, ocorre também um grande número de acidentes associados à atuação antrópica nas vertentes.

29 29 Uma das atuações antrópicas que mais preocupam, no Brasil, é a ocupação irregular das encostas por favelas, que acabam fazendo cortes nos taludes e desmatamentos, propiciando uma maior susceptibilidade à ocorrência dos movimentos de massa. Recentes acontecimentos como os deslizamentos que ocorreram na região serrana de Rio de Janeiro (Figura 1.5), tragédia que se abateu sobre esta região não foi um caso isolado ou fortuito. Eventos semelhantes sempre ocorreram na Serra do Mar, que se estende do Rio de Janeiro e Espírito Santo até Santa Catarina. O mecanismo desses deslizamentos segue sempre um padrão conhecido e anunciado, no qual se tem a saturação do solo provocada por chuvas contínuas, seguida por curtos períodos de intensa precipitação pluviométrica, causando inundações e os movimentos de massas conhecidos como corridas de detritos e lama ou corridas, este foi o caso da Região Serrana do Rio de Janeiro no ano 2011 onde a chuva castigou as Regiões de Teresópolis, Petrópolis e Nova Friburgo. Figura Deslizamentos ocorridos na região serrana de Rio de Janeiro. Então do ponto de vista geotécnico existe a necessidade de conhecer o comportamento das estruturas geotécnicas frente à ação dos diferentes fatores mencionados anteriormente. Esta necessidade tem levado os engenheiros a realizar simulações geotécnicas usando programas especializados que são desenvolvidos a partir da solução das equações matemáticas que governam o problema. Muitos destas ferramentas existentes atualmente usam formulações numéricas como: Método dos Elementos Finitos (MEF), Método das Diferencias Finitas (MDF), Método dos Elementos Discretos (MED), os quais permitem

30 30 conhecer resultados de interesse para os engenheiros geotécnicos como o campo de tensões, velocidades, deslocamentos, fator de segurança da estrutura, e propagação de fissuras em maciços rochosos Estado da Arte Os problemas de estabilidade dos taludes têm sido resolvidos, tradicionalmente, pelo método do equilíbrio limite (Chen, 1975). No método do equilíbrio limite, assume-se uma superfície de ruptura de forma simples que pode ser planar, circular, espiral logarítmica fazendo, ainda, hipóteses sobre a distribuição de tensões ao longo da superfície hipotética de ruptura (Chen, 1975). Desta maneira, o problema é resolvido pela estática, buscando a posição mais crítica da superfície de ruptura. A solução destes problemas pode também ser obtida via Análise Limite o qual esta baseada nos teoremas limites da plasticidade (Drucker et. al., 1952). Os métodos da análise limite possuem uma base sólida, fundada em preceitos rigorosos da teoria matemática da plasticidade (Chen, 1975). Os problemas de estabilidade de talude podem ser formulados via análise limite, permitindo a sua solução pelo MEF, conferindo à técnica generalidade e flexibilidade para tratamento de condições de contorno, geometria e carregamentos complexos. A programação matemática tornou-se uma ferramenta muito útil para a solução do problema de análise de limite, utilizando diferentes técnicas de programação para o desenvolvimento de tais problemas. As diferentes ferramentas numéricas utilizam otimizadores que ajudam a diminuir o tempo de processamento, tornando-se desta forma computacionalmente eficiente. Atualmente vários pesquisadores estão fazendo uso da técnica de programação conhecida como Programação Cônica de Segunda Ordem (SOCP, por suas siglas em inglês) a qual se mostra vantajosa quando é acoplada com otimizadores comerciais. Um dos principais algoritmos de SOCP é desenvolvido por Andersen et. al. (2003), o qual tem sido implmentado no software Mosek (Mosek ApS, 2012), que mostrou-se vantajoso, devido que consideráveis problemas de grande escala utilizando este otimizador foram resolvidos com uma rapidez notável como

31 31 é mostrado nos trabalhos de Makrodimopoulos e Martin (2005, 2006); Krabbenhoft, Lyamin e Sloan (2006) Objetivo O objetivo principal deste trabalho é aplicação das formulações da Análise Limite usando a ferramenta numérica do MEF no Problema de Estabilidade de Talude, e seu uso para a determinação do fator de segurança, acoplando a esta ferramenta as técnicas de programação matemática, sendo uma delas a técnica de SOCP. De acordo com o objetivo principal descrito, foram estabelecidos os seguintes objetivos específicos: Difundir as técnicas da análise limite para estudo de problemas de estabilidade de taludes, estudando alguns casos para ver seu apropriado uso. Fazer uso da programação matemática para desenvolver a ferramenta numérica usando o MEF que permita encontrar o fator de segurança ao colapso das estruturas geotécnicas via análise limite. Mostrar que problema de análise limite em materiais geotécnicos, pode ser formulado como um problema SOCP. Estudar a eficiência da formulação e dos algoritmos do problema da determinação do fator de segurança de um talude via problema de otimização cônica quadrática. Mostrar o uso do método de redução da resistência do material para encontrar o fator de segurança (FS) das estruturas geotécnicas. Propor algumas sugestões para futuras pesquisas na aplicação da análise limite para a avaliação do fator de segurança do problema de estabilidade de taludes Estrutura do trabalho Este trabalho está dividido em cinco capítulos, iniciando com este capítulo introdutório (Capítulo 1), seguido do Capítulo 2, onde se faz uma revisão

32 32 bibliográfica da formulação do problema da análise limite, das considerações realizadas para o desenvolvimento da solução deste problema. Os teoremas de limite superior e inferior também são apresentados neste capitulo. Além disso, são incluídos neste capítulo os principais critérios de escoamento utilizados nos materiais geotécnicos. Também se revisa dentro deste capítulo alguns aspectos da programação cônica e seu uso no problema da análise limite. No Capítulo 3 é descrita a ferramenta numérica baseada na formulação numérica de análise limite pelo MEF a qual é utilizada para o estudo da estabilidade do talude. Além disso, é apresentado como o problema de análise limite, no estudo de estabilidade de taludes pode ser colocado como um problema de programação matemática o qual pode ser resolvido utilizando a técnica de programação cônica da segunda ordem. Neste capítulo apresenta-se como a técnica de redução da resistência do material é acoplada à ferramenta dos elementos finitos para obter o fator de segurança da estrutura do talude. No capítulo 4, apresentam-se alguns exemplos de validação e aplicação, onde se mostra o uso da ferramenta numérica implementada no problema de estabilidade de taludes via análise limite. Nos casos analisados fazem-se comparações na eficiência do algoritmo usando a formulação na forma convencional, na forma cônica quadrática, e usando o código comercial de otimização Mosek (Mosek ApS, 2012). Desta maneira compara-se a eficiência em termos de tempo de processamento da ferramenta implementada ao colocar o problema em diferentes formas. No capítulo 5, apresentam-se as conclusões e as sugestões para próximos trabalhos relacionados a este trabalho de dissertação.

33 2 Análise Limite em Geotecnia 2.1. Considerações do Problema da Análise Limite A importância da determinação de cargas de colapso de uma estrutura para seu dimensionamento é incontestável. Nos últimos anos, a precisão dessa determinação melhorou significativamente com o rápido desenvolvimento de meios computacionais, tornando as análises mais realísticas o aperfeiçoamento e o aumento da complexidade dos modelos de análise. Os problemas de estabilidade em meios geológicos como, por exemplo, aqueles relacionados à determinação da capacidade de carga em fundações, ou a determinação do fator de colapso ou fator de segurança em estabilidade de taludes e estabilidade de escavações subterrâneas são em geral tratados através de procedimentos numéricos, dentre os quais se tem os de análise elastoplástica que são os mais comumente utilizados. Alternativamente, podem-se utilizar procedimentos baseados nas teorias de estado limite, dentre as quais se destacam o equilíbrio limite, de utilização corrente na geotecnia, e a análise limite, baseada nos chamados teoremas dos limites superior e inferior da teoria da plasticidade. A teoria da plasticidade dos solos e o conceito do equilíbrio do limite plástico, desenvolvido em 1773 por Coulomb deram origem à teoria da plasticidade dos metais que teve impulso entre 1950 e 1960, quando foram incluídos os conceitos da lei de fluxo e a relação tensão-velocidade de deformação (Chen, 1975). Os conceitos da análise limite evoluíram até a década dos anos 50 em diferentes áreas da engenharia. Drucker e Prager (1952), num estudo sobre materiais plásticos com a lei de escoamento de Mohr-Coulomb, definiram os limites superior e inferior para a carga de colapso. Existem três considerações importantes dentro da teoria da plasticidade: consideração de plasticidade perfeita, considerações sobre Escoamento, considerações sobre a Lei de Fluxo.

34 Considerações da Plasticidade Perfeita Em muitas situações práticas, supõe-se que o material apresenta um efeito de endurecimento, isto é, o seu diagrama uniaxial tensão deformação após o ponto de plastificacão pode ser aproximado por uma linha reta horizontal como se apresenta na Figura 2.1. Assim, supõe-se que a deformação plástica ocorre sob um nível constante de tensão como é mostrado na curva tensão-deformação quando a tensão atinge o valor de σ 0. Este comportamento é chamado de comportamento elástico perfeitamente plástico. Figura Modelo elastoplástico. Para tensões suficientemente pequenas satisfazendo σ < σ 0, o material se comporta elasticamente. As deformações elásticas são obtidas através da lei de Hooke como se apresenta na Equação (2.1). e σ ε = (2.1) E onde σ 0 é a tensão de escoamento, elasticidade longitudinal ou módulo de Young do material. e ε é a deformação elástica e E é o modulo de Quando a tensão atinge o valor de σ 0 pode-se observar fluxo plástico livre sob tensão constante, durante este fluxo não há incremento da tensão. Com um só

35 35 valor da tensão (σ) pode haver vários valores de deformações associados. Após um descarregamento, uma quantidade de deformação permanece no material, esta deformação é conhecida como deformação plástica p ε. Durante certo processo de carregamento, a deformação total no material pode ser expressa, considerando-se a hipótese de pequenas deformações, pela soma da deformação elástica Selvadurai, 2002). e ε e da deformação plástica ε ε + ε p ε (Davis & e p = (2.2) No método da análise limite se faz a consideração de que o material no colapso se comporta como um material rígido plástico, o qual está mostrado na Figura 2.2. O material rígido plástico é hipoteticamente um solido que não sofre deformações quando está atuando sobre ele uma tensão menor do que a tensão de escoamento, neste caso as características de elasticidade, endurecimento e amolecimento são ignoradas. Figura 2.2 Curva de tensão deformação para materiais rígido plásticos Considerações de Escoamento Para caracterizar o comportamento rígido plástico de um material, pressuposto na definição do problema, se introduz a definição do denominado critério de escoamento ou também conhecida na Teoria de Plasticidade como superfície de escoamento ou função de escoamento. Esta superfície de escoamento (F) é definida através de uma função escalar do tensor das tensões (σ), que delimita os estados de tensão considerados admissíveis. A superfície de escoamento pode ser interpretada como: para um

36 36 determinado estado de tensões dentro da superfície, só acontecem deformações elásticas; se o estado de tensões alcança a superfície ocorrem deformações elásticas e plásticas (Figura 2.3). A superfície de escoamento é convexa, e a posição do estado de tensões em relação a esta superfície implica um determinado comportamento, que é da seguinte maneira: Estado de tensões: Estado de tensões: Estado de tensões: F(σ) < 0; o material tem comportamento elástico. F(σ) = 0; ocorre fluxo plástico. F(σ) > 0; estado de tensões excluído. De acordo com os comportamentos anteriormente descritos para um material perfeitamente plástico, a função de escoamento (F) depende somente do conjunto de componentes de tensões (σ) e não de componentes de deformações (ε). Portanto, a função de escoamento é fixa no espaço de tensões, ou seja, a superfície de escoamento deverá permanecer inalterada ao longo de toda história do carregamento; e o fluxo plástico ocorre quando a função de escoamento (F) é igual à zero. Figura Superfície de escoamento no espaço de tensões principais.

37 Considerações sobre a Lei de Fluxo Como se revisou na seção a deformação total no material pode ser expressa, considerando-se a hipótese de pequenas deformações, pela soma da e p deformação elástica ( ε ) e a deformação plástica ( ε ) de acordo com a Equação 2.2. De fato, pode-se afirmar que a deformação plástica num ponto de um sólido exibindo um comportamento perfeitamente plástico é a priori indefinida e não limitada. Deste modo, torna-se mais adequado exprimir a relação constitutiva em termos da taxa de deformação ou velocidade de deformação. onde: e p = ε + ε ε (2.3) ε : Taxa ou velocidade de deformação total. e ε : Taxa ou velocidade de deformação elástica. p ε : Taxa ou velocidade de deformação plástica A taxa ou velocidade de deformação elástica e as tensões estão relacionadas somente através da lei de Hooke. A velocidade de deformação plástica depende do estado de tensões (Chen e Liu, 1990). A taxa ou velocidade de deformação plástica tem relação com o Princípio do Trabalho Plástico Máximo (PTPM), o qual estabelece que considerando um estado de tensão admissível (σ), e uma taxa de deformação plástica ( ε ), gerada nesse estado de tensão, verifica-se a seguinte relação: * ( * ) * σ F σ 0, σ F ( σ) 0, ( σ σ ) ε 0 (2.4) p p O PTPM é também muitas vezes observado como consequência do Postulado de Estabilidade de Drucker (Kachanov, 1996; Lubliner, 1990). Da aplicação do PTPM resultam três consequências relevantes: A taxa de deformação plástica tem de ser orientada segundo uma normal exterior à superfície de escoamento.

38 38 A superfície de escoamento define obrigatoriamente um espaço das tensões admissíveis convexo. A dissipação plástica por unidade de volume, Dp, definida pelo produto interno das tensões pela taxa de deformação plástica, p p Dp ( σ, ε ) = σ. ε (2.5) pode passar a ser expressa como uma função unívoca da taxa de deformação plástica, desde que seja conhecida a função de escoamento. Então, no caso dos materiais estáveis a taxa de deformação plástica tem uma direção normal ou perpendicular à superfície de escoamento (Figura 2.4). Figura Superfície de escoamento e o vetor de deformação plástica. A introdução de uma nova grandeza que traduza a lei de fluxo plástico na função de escoamento (F) permite estabelecer a seguinte relação com as componentes da taxa das deformações plásticas (Davis & Selvadurai, 2002):

39 39 onde: p F ( σ ) ε = ω, ω R + (2.6) σ p ε : Velocidade de deformação plástica. σ ω : Campo de Tensões. : Fator de proporcionalidade (escalar) Campos Admissíveis Campo de Tensão Estaticamente Admissível Define-se um campo de tensão estaticamente admissível quando cumpre as seguintes condições: Satisfaz as condições de equilíbrio no volume. Satisfaz as condições de contorno. Satisfaz um critério de escoamento Campo de Velocidade Cinematicamente Admissível Define-se um campo de velocidade cinematicamente admissível quando cumpre as seguintes condições: Satisfaz as condições de contorno em termos de velocidades. Satisfaz as condições de compatibilidade em termos de deformação Principio do Trabalho Virtual O principio do trabalho virtual pode ser usado para tratar problemas de colapso de estruturas com materiais geotécnicos. Este principio é uma expressão de trabalho equilibrado e pode ser aplicado tanto a corpo rígidos como a corpos deformáveis.

40 40 a) Corpos rígidos: se um corpo rígido está em equilíbrio, o trabalho realizado por todas as forças ativas para um deslocamento virtual, compatíveis com as condições de contorno, deve ser zero (Lancellota, 1995). b) Corpos deformáveis: se uma estrutura está em equilíbrio, o trabalho realizado pelas forças externas para um campo de deslocamento virtual dado, compatível com condições de fronteira, deve ser igual ao trabalho interno feito pelas tensões nas deformações virtuais compatíveis com o deslocamento virtual dado (Lancellota, 1995) Teoremas da Análise Limite A Análise Limite é baseada em dois teoremas da plasticidade, conhecidos como Teoremas dos Limites Superior e Inferior, demonstrados por Drucker et al. (1952). Para a demonstração dos teoremas da Análise Limite, são necessárias as seguintes hipóteses (Chen, 1975): O comportamento plástico do material é perfeitamente ou idealmente plástico, ignorando o endurecimento ou amolecimento do material, dessa forma a superfície de escoamento é fixa. Não existem deformações elásticas e a deformação total é igual à deformação plástica. A superfície de escoamento é convexa e as taxas de deformação plástica são deduzidas da função de escoamento através da lei de fluxo associado. As mudanças na geometria no corpo são consideradas insignificantes quando o carregamento atinge o carregamento limite ou carga de colapso. Portanto o princípio de trabalho virtual pode ser aplicado. A seguir são apresentados os enunciados dos teoremas da Análise Limite, sem suas demonstrações, que podem ser encontradas, em Chen (1975) e Drucker et. al. (1952).

41 Teorema de Limite Inferior Se um campo de tensões distribuído em todo o corpo pode ser construído, satisfazendo as condições de equilíbrio com as cargas no contorno e no domínio e não viola o critério de escoamento, então, o campo das tensões é estaticamente admissível e a carga correspondente é um limite inferior da carga de colapso Teorema de Limite Superior Se um mecanismo compatível de deformação plástica satisfaz as condições de compatibilidade em velocidades no contorno e a lei de fluxo associado, então, o campo das velocidades é cinematicamente admissível e os carregamentos superficiais e as cargas de volume, determinados pela igualdade da taxa do trabalho externo com a taxa a dissipação interna, serão iguais ou maiores que a carga limite verdadeira, o fator de colapso assim obtido será um limite superior ao fator de colapso real Critérios de Escoamento Entre os critérios de escoamento que serão utilizados neste trabalho temos os critérios de escoamento de Mohr Coulomb (caso 2D) e o critério de escoamento de Drucker-Prager (caso 2D e 3D) Critério de Mohr-Coulomb Um dos critérios de escoamento mais simples e mais utilizado na modelagem do comportamento mecânico de materiais geotécnicos é o de Mohr- Coulomb. Este critério é usado para a modelagem do problema da análise limite neste trabalho. O critério de escoamento de Mohr-Coulomb pode ser escrito (Lambe e Whitman, 1969), na condição de deformação plana, usando a convenção de sinais de resistência dos materiais, na forma.

42 42 q = psenφ + ccosφ (2.7) onde φ: ângulo de atrito do material. c: coesão do material. p: tensão media. q: tensão cisalhante máxima. Os parâmetros de resistência do material (c e φ) podem ser obtidos de ensaios apropriados de laboratório ou de campo. Agora em termos das tensões principais (σ 1 e σ 3 ), tem-se 1 σ x σ y 2 q = ( σ 1 σ 3) = ( ) + τ p = ( σ 1 + σ 3) = ( σ x + σ y ) xy (2.8) onde σ x, σ y e τ xy e são componentes de tensão no sistema de referência do problema. A substituição da Equação (2.8) na Equação (2.7) conduz ao resultado: F( σ ) φ = ( σ x σ y) + 4τ xy [2c cosφ ( σ x + σ y) sen ] (2.9) Observa-se que o critério de escoamento de Mohr-Coulomb impõe uma relação não linear nas componentes de tensão Critério de Druker-Prager No caso de problemas tridimensionais pelo método dos elementos finitos (MEF), os autores, normalmente, preferem empregar os critérios Drucker- Prager ou Von Misses em lugar dos critérios de Tresca ou Mohr-Coulomb (Chen & Liu, 1990). O critério de escoamento de Drucker e Prager (1952) pode ser colocado sob a forma: F ( σ ) J + αi K (2.10) = 2 1

43 43 Onde F: Função de escoamento. I 1 : Primeiro invariante do tensor de tensões. J 2 : Segundo invariante do tensor de tensões. α,k: Parâmetros do material. A superfície de escoamento Drucker-Prager é uma superfície cônica que em comparação com o critério de Mohr Coulomb ou Tresca, é uma superfície continua sem arestas ou descontinuidades, como se pode ver na Figura 2.5: (a) (b) Figura Superfícies de Escoamento no espaço das tensões principais: a) Drucker-Prager e Von Misses b) Mohr-Coulomb e Tresca. Dado que o critério de escoamento de Mohr Coulomb tem singularidades ou arestas, que dificulta seu uso em análise numérica, os autores preferem utilizar em caso de problemas tridimensionais o critério de Drucker-Prager o qual tem uma superfície continua que é muito vantajosa quando para as implementações numéricas de formulações do MEF (Owen & Hinton, 1980). Os parâmetros K e α podem ser obtidos do critério de Mohr Coulomb para o caso 3D, utilizando aproximações para os casos de compressão e tração (Figura 2.6) O caso da compressão se atinge quando a superfície de escoamento de Drucker Prager esta circunscrita à superfície de escoamento de Mohr Coulomb

44 44 para o caso 3D, onde os parâmetros são calculados utilizando os parâmetros de do critério de Mohr Coulomb. α = 2senφ 3(3 senφ) (2.11) K = 6c cosφ 3(3 senφ) (2.12) O caso da tração se atinge quando a superfície de escoamento de Drucker Prager passa através dos vértices da superfície de escoamento de Mohr Coulomb para o caso 3D, cone médio na Figura 2.6, onde os parâmetros são calculados utilizando os parâmetros de do critério de Mohr Coulomb. α = 2senφ 3(3 + senφ) (2.13) K = 6c cosφ 3(3 + senφ) (2.14) onde : c e φ são os parâmetros de resistência do material. No caso 2D, no qual são estudados problemas em estado plano de deformações, os parâmetros α e K do critério de Drucker-Prager são aproximados pelas Equações (2.15) e (2.16) (Chen e Liu, 1990). α = tanφ tan φ (2.15) K = 6c tan φ (2.16)

45 45 Circunscrito Drucker-Prager Mohr-Coulomb Inscrito Drucker-Prager Medio Drucker-Prager Eixo Hidrostático Figura Aproximação da superfície de escoamento de Drucker-Prager para Mohr Coulomb caso 3D. (Chen e Liu, 1990) 2.6. Formulações Variacionais do Problema de Análise Limite Entre uns dos principais objetivos da Análise Limite esta determinar a carga que leva ao colapso as estruturas geotécnicas. Quando se tem determinado o fator de colapso (λ) o fator de segurança (FS) na estrutura pode ser obtido através do método de redução da resistência do material. O problema de Análise Limite pode ser definido tendo em conta as condições de equilíbrio, do critério de escoamento, da consistência cinemática e a lei de fluxo associada, integrando todas estas condições, da seguinte maneira: Seja: V : Volume ocupado por um corpo de material rígido-plástico ideal. S t : Fronteira ou contorno de V Define-se: f em V (Domínio) t em S t (Contorno)

46 46 Deve-se encontrar: λ, σ, u, ε, Sujeito as seguintes restrições Restrição de Equilíbrio T σ = λ f, em V σ η = λt, em S t (2.17) Restrição do Critério de Escoamento F(σ ) 0, em V (2.18) Restrição de Compatibilidade Cinemática = u ε, em V u = 0, em S u (2.19) Restrição da Lei de Fluxo: ε = σ p F = 0, se F (σ ) < 0 0, se F (σ ) = 0 (2.20) Onde: f : Forças de massa aplicadas no domínio. t : Forças aplicadas no contorno do sistema. η : Vetor normal à superfície St. λ : Fator do colapso do sistema. σ : Campo de tensões. u : Campo de velocidades. ε p : Taxas de velocidades plásticas. : Fatores de Plastificação. : Operador diferencial do equilibro estático.

47 47 A solução do problema consiste na solução do sistema de Equações (2.17) (2.20). Muitas vezes encontrar a solução deste sistema de equações não é trivial, já que o sistema é um conjunto de expressões de igualdade e desigualdade não linear. Este sistema de equações pode ser resolvido utilizando técnicas matemáticas no qual, pode-se tratar o sólido que é um meio contínuo, como um meio discretizado com a finalidade de poder aplicar as soluções numéricas no meio discretizado que se aproximem à solução real no meio contínuo. Uma das técnicas é o MEF no qual a aproximação do fator de colapso melhora a medida que a malha utilizada na discretização é mais refinada. Existem formulações existentes as quais foram já estudadas em anteriores trabalhos de pesquisa, no qual utilizaram o MEF e as técnicas de Programação Matemática como ferramenta numérica para obtenção da solução do sistema. Estas formulações dependendo da gênese da qual estão sendo geradas podem ser classificadas como estática, cinemática ou mista. Estas formulações podem ainda ser classificadas em fortes ou fracas: Formulação Forte: Quando o modelo respeita o cumprimento estrito das condições impostas pelos teoremas da Análise Limite. Formulação Fraca: Quando as condições são satisfeitas através do principio dos trabalhos virtuais. Esta apresentação não pretende efetuar um relato exaustivo de todas as formulações existentes, mas antes fornecer uma ideia dos trabalhos considerados mais marcantes neste domínio, bem como das tendências atuais de evolução das formulações Formulação Estática Esta formulação deriva puramente da aplicação do Teorema do Limite Inferior, neste caso as equações de compatibilidade cinemática não são satisfeitas. O primeiro trabalho usando esta formulação e elementos finitos foi apresentado por Lysmer (1970), onde desenvolve problemas de deformação plana e utilizando o critério de Mohr-Coulomb. Recorrendo a um elemento triangular de tensão

48 48 (com um campo de aproximações linear) e a uma linearização da superfície de escoamento, descrita por uma circunferência no espaço das tensões (x,y), com x = σ x σ y e y = 2τ xy, através de um polígono de 12 lados, a abordagem utilizada resulta num problema de otimização linear, resolvido através do algoritmo Simplex (Nocedal e Wright, 1999). Uma variante desta formulação estática forte foi proposta por Bottero et al (1980), Sloan (1987) e Assadi e Sloan (1991). A principal diferença desta variante é que estes autores consideram como variáveis primárias o campo de tensões nodais, a diferença de Lysmer (1970) que considera como tensões nodais as tensões normais às faces atuantes nos nós. A restrição de escoamento utilizada foi o critério de Mohr Coulomb linearizado, com um polígono inscrito de 18 lados e a função objetivo a otimizar considera a orientação e o comprimento da aresta onde atuam as cargas variáveis. O problema de programação linear foi colocado da seguinte forma: Maximizar c T σ (2.21) Sujeito à: D 1σ = b 1 D σ 2 b 2 (2.22) onde: D 1 : Somatória das matrizes dos coeficientes da equação de equilíbrio nos nós, nas faces entre elementos adjacentes e nas faces dos elementos de contorno com tensões prescritas. D 2 : Somatória da matriz de coeficientes resultado da linearização do critério de escoamento em cada nó. b 1 : Somatória dos vetores de coeficientes com forças aplicadas nos nós, dos vetores com coeficientes nulos resultado da aplicação das equações de equilíbrio nas faces entre elementos adjacentes, vetores com forças (normal e cisalhante) aplicadas nos contornos com tensões prescritas. b 2 : Somatória dos vetores de coeficientes resultado da linearização da tensão de escoamento em cada nó.

49 49 No trabalho de Lyamin e Sloan (2002), os autores apresentam uma variante da formulação proposta por Sloan (1987a). O novo modelo, ao invés de uma linearização da superfície de escoamento, apenas executa uma suavização da superfície junto de zonas com singularidades, seguindo a estratégia delineada por Abbo e Sloan (1995). Surge, consequentemente, um problema de minimização nao-linear que os autores resolvem com base num algoritmo Quase-Newton com deflexão. Zouain et al. (1993) tecem considerações sobre o modo de obter a correspondente formulação de limite inferior, utilizando algoritmos baseados em problemas de programação não linear (PNL). Andersen e Cristiansen (1995), Pastor et al (2003) desenvolveram trabalhos utilizando o algoritmo de pontos interiores para sua aplicação a problemas de programação linear a grande escala. Para resolver o problema de otimização resultante, o autor recorre a uma biblioteca de otimização comercial denominada MINOS (Murtagh e Saunders, 1982). Makrodimopoulos e Martin (2006) desenvolvem algoritmos baseados na técnica de programação cônica de segunda ordem (SOCP), colocando a função de escoamento como uma restrição cónica quadrática, e utilizando um otimizador de grande escala como o Mosek (Mosek ApS, 2012) resolvem problemas relacionados a materiais com coesão e atrito Formulação Cinemática Esta formulação é derivada do teorema do limite superior (cinemático). Neste caso as condições cinemáticas são satisfeitas, e as condições de equilíbrio não são garantidas necessariamente. Existem na literatura inúmeras propostas alternativas de formulações fortes de limite superior. Estas apresentam, no entanto, uma característica comum: a utilização de elementos finitos com funções de aproximação polinomiais de grau reduzido, produzindo campos de taxas de deformação constantes ou de variação linear no domínio dos elementos. O motivo para tal reside na dificuldade em impor, de uma forma exata, a lei de escoamento plástico associada para os critérios de escoamento habitualmente adotados (Zhu e Michalowski, 2005).

50 50 Entre um dos trabalhos desenvolvidos se tem o de Sloan (1987b) onde o meio contínuo é discretizado em elementos triangulares com as velocidades nodais variando linearmente em cada elemento. A lei de fluxo associado as velocidades nas descontinuidades e no contorno são utilizadas na formulação da restrição de igualdade. Neste caso a função objetivo consiste em minimizar a energia dissipada pela distorção volumétrica dos elementos mais a energia dissipada nas descontinuidades. Além disso, este algoritmo usa variáveis de folga para transformar as restrições de desigualdade em restrições de igualdade. Este problema é colocado na forma de programação linear, já que é uma extensão da formulação estática realizada por Lysmer (1970), e é formulado da seguinte forma. Minimizar Sujeito à: T T T c1 u+ c2 + c3 γ s (2.23) v 11 u+ A12 γ b1 A = 2 u + I γ b 2 A = A 3 u = b 3 A 4 u = b 4 γ, s 0 (2.24) Onde: b 1 = b2 = b3 = c3 = 0 A 11: Somatória das matrizes com as constantes das funções de interpolação. A 12: Somatória das matrizes com as constantes dos hiperplanos das funções de escoamento A 2 : Somatória das matrizes com os sinais das orientações nas descontinuidades A 3 : Somatória com os sinais da orientação do ângulo de atrito da descontinuidade. A 4 : Somatória das matrizes unitárias referente à imposição das condições de contorno em velocidade.

51 51 c 1 : Somatória dos vetores cujos elementos estão em função da energia de dissipação da descontinuidade o qual considera o comprimento, o sinal da face e a coesão do segmento descontínuo. c 2 : Somatória dos vetores cujos elementos estão em função da energia de dissipação volumétrica nos triângulos o qual considera o ângulo de atrito, coesão e a área do elemento. s : Vetor das variáveis de folga. v Jiang (1995) e Antão (1997) desenvolveram uma formulação que foi a continuação do trabalho de Gennouni e Le Tallec (1982). Esta formulação elimina as descontinuidades do modelo através da substituição de uma lei rígido-plástica por uma lei de regularização tipo Norton-Hoff, no cálculo da dissipação plástica. São utilizadas duas aproximações distintas: a primeira interpola linearmente o campo das velocidades e a segunda aproxima o campo da taxa das deformações, considerado constante no domínio dos elementos. Através do método do Lagrangeano aumentado é imposta a compatibilidade entre as aproximações dos diferentes campos. Recorrendo a uma variante do algoritmo de Uzawa com relaxações, a solução do problema não linear (PNL) de otimização resultante da formulação é obtida. O referido algoritmo permite que no trabalho de Antão (1997), a não linearidade seja tratada localmente através de uma minimização quadrática, sucedida por uma projeção da solução sobre a superfície que delimita o espaço da taxa das deformações normais. A utilização de programação cônica de segunda ordem (SOCP) no desenvolvimento de formulações fortes de limite superior é igualmente relatada nos trabalhos de Makrodimopoulos e Martin (2005 e 2007), para problemas de deformação plana, utilizando elementos sub-paramétricos triangulares de três nós de deformação linear. Li e Yu (2005) desenvolveram uma formulação com base numa função de escoamento genérica para materiais friccionais, a qual permite modelar, entre outros, os critérios de Mohr-Coulomb e de Drucker-Prager. Recorrendo a um elemento finito quadrilátero isoparamétrico, o modelo cinemático é derivado resultando num problema de otimização não linear. Analogamente ao modelo anterior, os autores convertem o problema original com restrições num problema

52 52 de otimização sem restrições utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange. O processo iterativo de resolução assume que todos produzem dissipação. A identificação de elementos que não apresentam dissipação no final de uma dada iteração (sendo por isso a sua expressão da dissipação não diferenciavel) é realizada através de uma estratégia passo a passo. Para proceder à iteração seguinte introduz-se uma restrição no modelo, com base no método das penalidades, por forma a que a dissipação nestes elementos conserve um valor praticamente nulo Formulação Mista Neste tipo de formulação a solução é procurada com aproximações nos campos estático e cinemático, onde o campo de tensões e o campo de velocidades são interpolados no interior do elemento. Anderheggen e Knöpfel (1972) apresentaram esta formulação mista utilizando o princípio das tensões virtuais para discretizar a equação da taxa de dissipação interna. A função de escoamento é linearizada através de hiperplanos. Christiansen (1981) faz uma caracterização matemática do problema do colapso, usando o MEF, onde emprega elementos quadrilaterais com interpolação bilinear no campo de velocidades, e no campo de tensão a interpolação é bilinear ou de tensão constante. Utiliza uma aproximação poliédrica da superfície de escoamento de Von Mises para obtenção de um problema de Programação Linear (PL). Casciaro e Cascini (1982) utilizaram o princípio do cálculo variacional misto para resolver o problema da análise limite, no qual os campos de tensões e velocidades foram obtidos da condição de estacionaridade de um funcional tipo Hellinger-Reissner definido de forma apropriada. Com o problema colocado dessa forma e através de uma discretização conveniente do meio contínuo, a solução é reduzida a um processo de minimização sem restrição para um problema de programação não linear (PNL). Nesta formulação satisfaz a condição de escoamento e as equações de consistência cinemática, no entanto, as condições de equilíbrio e a lei de fluxo são satisfeitas aproximadamente.

53 53 Pontes (1993) apresentou a aplicação de um algoritmo de programação matemática não-linear (PNL) denominado algoritmo de pontos interiores, para resolver problemas de análise limite. Este algoritmo originalmente desenvolvido por Herskovits (1989) baseia-se em um algoritmo tipo Newton que resolve as equações que representam as condições de Kuhn-Tucker do problema de programação matemática gerado. Neste estágio da evolução da formulação numérica através dos trabalhos virtuais, Faria (1992) e Araujo (1997) aplicam esta técnica a vários problemas de geotecnia, os quais são cuidadosamente estudados e validados com soluções analíticas. O problema de otimização é resolvido por meio da programação linear (PL) linearizando a restrição de escoamento de Mohr Coulomb da mesma forma que na formulação de Lysmer (1970). Farfán (2000) utilizou a formulação mista utilizando o principio dos deslocamentos virtuais. O meio contínuo neste trabalho é considerado como um meio continuo de Cosserat. A aplicação da metodologia da formulação mista e da discretização do meio em uma malha de elementos finitos nos contínuos de Cosserat (2D) fornece problemas de programação linear (PL) e nos contínuos convencionais (2D e 3D), problemas de programação não-linear (PNL). Carrión (2004) testou a eficiência de otimizadores para problemas de programação não linear (PNL) como LANCELOT, LINGO, MINOS e conclui que o otimizador MINOS se torna mais eficiente para a otimização não linear de problemas decorrentes de análise limite. Carrión (2009) implementa um otimizador baseado no método quase-newton de pontos interiores no qual é acoplado no programa da análise limite GEOLIMA (Carrión, 2004) utilizado para resolver problemas de grande escala em estruturas geotécnicas reais, tais como, barragem de terra e barragem de rejeito.

54 Programação Matemática O problema de análise limite numérica como foi visto na seção anterior constitui geralmente um problema de programação matemática com restrições de igualdade e desigualdade, onde o objetivo consiste em minimizar ou maximizar uma determinada expressão, denominada função objetivo, e satisfazer simultaneamente um conjunto de restrições de igualdade e desigualdade. As variáveis incógnitas nessas funções são denominadas variáveis de projeto. Estes problemas de programação matemática tratam da análise e resolução de problemas de otimização segundo a forma: Minimizar (ou Maximizar): f(x), x R n Sujeito a: h k (x) = 0 k=1...m (2.25) c l (x) < 0 l=1...p (2.26) Onde: x : Vetor das variáveis. f(x) : Função objetivo. h(x) e c(x) : Funções das restrições de igualdade e desigualdade respectivamente. As funções ƒ(x), h(x) e c(x) são funções contínuas em R n e qualquer ponto, definido pelo vetor x. Um ponto que satisfaça todas as restrições (igualdade e desigualdade) é denominado de ponto viável e o espaço ou região que contém todos os pontos que satisfaçam todas as restrições é conhecido como região viável. Uma restrição de desigualdade define uma fronteira que divide o R n em uma região viável e outra inviável. O seguinte exemplo apresenta um problema de programação linear (PL) no qual apresenta restrições de desigualdade. Maximizar: Z = 11x x 2 Sujeito a: x 1 + 4x x 1 + 2x x 1, x 2 0

55 55 Na Figura 2.7, a região sombreada representa a região viável do problema que está delimitada pelas restrições do problema. Quando um ponto está sobre esta fronteira, a restrição é dita ativa; quando um ponto está no interior da região viável, a restrição está inativa e, quando um ponto está fora desta região, a restrição está violada. Para uma solução gráfica desse problema que pode ser obtida facilmente para problemas de duas variáveis de projeto, deve-se inicialmente representar a região viável. Em seguida traçam-se superfícies paralelas à função objetivo. São traçadas diversas paralelas a ela no sentido crescente da função objetivo (maximização da função), como na Figura 2.8. O ponto ótimo é o ponto onde a superfície de maior valor possível tangencia a região viável. Restrições ativas Região Viável Com restrições inativa Figura Região Viável do problema.

56 56 Figura Busca da solução ótima para o problema. Os problemas de programação matemática podem ser classificados de acordo com suas características da função objetivo e das funções de restrição. A Tabela 2.1 mostra esta classificação. Tabela Classificação dos Problemas de Programação Matemática Função Objetivo Restrições Programação Linear Linear Linear (PL) Linear Não-Linear Não Linear (PNL) Quadrática Linear Quadrática (PQ) Não Linear Não-Linear Não Linear (PNL) Função Lagrangeana Define-se uma função formada pelo somatório da função objetivo e as funções de restrições de igualdade e desigualdade multiplicadas por uns fatores denominados de multiplicadores de Lagrange. Esta função constituída por este somatório é denominado função Lagrangeana associada:

57 57 Onde: m L( x, λ, µ ) = f ( x) + λ h ( x) + µ c ( x) (2.27) k k = 1 λ : Multiplicadores de Lagrange associados às restrições de igualdade. k µ l : Multiplicadores de Lagrange associados às restrições de desigualdade. k p l= 1 l l Dualidade Com a finalidade de introduzir o conceito de Dualidade, revisa-se o seguinte exemplo. Considerando o seguinte problema de programação matemática: Minimizar f(x) Sujeito a: g(x) 0 (2.28) A função lagrangeana aplicada a este problema fica da seguinte forma L(x,u)= f(x)+u T g(x) x R n, u R m (2.29) Na função L R m+n, existe um ponto (x*,u*) R m+n com u* 0, este ponto é denominado ponto de sela da função lagrangeana L(x,u), se: L (x*,u*)= max L(x*,u ) u R m + = min L(x,u*) x R n (2.30) Isto é, o ponto (x*,u*) maximiza a função L se x=x* for fixo e minimiza esta função se u=u* for fixo (Zörnig, 2011). Um ponto de sela (x*,u*) T = (2,1) T, é ilustrado geometricamente na Figura 2.9 para o caso de m=1, n=1.

58 58

59 59 Minimizar: f(x), x R n Sujeito a: h k (x) = 0 k=1...m (2.32) c l (x) < 0 l=1...p (2.33) e sua respectiva função lagrangeana (função convexa): m L( x, λ, µ ) = f ( x) + λ h ( x) + µ h ( x) (2.34) k= 1 k k onde λ, µ são vetores que correspondem aos multiplicadores de Lagrange associados às restrições. Seu problema dual (PD) é dado por: p l= 1 l l Maximizar: L ( x, λ, µ ) L ( x, λ, µ ) Sujeito a: = 0 x λ 0 k=1...m (2.35) µ 0 l=1...p (2.36) As soluções dos problemas primal e dual se relacionam da seguinte forma: Sejam as funções f e g i do problema primal (PP) continuamente diferenciáveis e convexas. Seja x* um ponto ótimo regular do problema primal. Temos: (i) O problema dual (PD) tem uma solução ótima nos pontos (λ, µ) (ii) Os valores ótimos do problema primal (PP) e o problema dual (PD) são idênticos. Este tipo de formulação alternativa (dual) é de grande vantagem por reduzir em certos casos o número das restrições e o estudo dos vetores duais (λ, µ) é importante na análise de sensibilidade do problema. O uso da teoria de dualidade é muito importante para os problemas da Análise Limite, porque ele permite determinar o campo de velocidades, que descrevem o mecanismo de colapso, como solução dual do campo de tensões. Este problema é conhecido também como propriedade de dualidade estático-cinemático dos meios contínuos, definido como:

60 60 f = σ (2.37) Onde: f : Vetor de forças externas. T ε = u (2.38) σ : Vetor do campo de tensões. ε : Vetor do campo de deformações. u: Vetor do campo de velocidades de deformação. : Operador diferencial do equilibro estático. T : Operador diferencial das relações de compatibilidade Condições de Ótimo Para que a solução x* seja um mínimo local do problema enunciado nas Equações (2.25) e (2.26) é necessário que esta atenda as condições de 1ª ordem, também chamadas de condições de Kuhn-Tucker, que são obtidas partindo da função Lagrangeana: Minimizar: f(x), x R n Sujeito a: h k (x) = 0 k=1...m (2.39) c l (x) < 0 l=1...p (2.40) A função Lagrangeana associada é dada por: m L( x, λ, µ ) = f ( x) + λ h ( x) + µ c ( x) (2.41) k= 1 k k p l= 1 l l As condições necessárias (condições de primeira ordem) de KKT são dadas pelas seguintes expressões: L ( x*, λ*, µ *) = 0 x (2.42) g m p * * * * * = k hk + µ l cl k= 1 l= 1 λ k=1...m; l=1...p (2.43)

61 61 h k ( x*) = 0 k=1...m (2.44) c l ( x*) 0 l=1...p (2.45) λ valor k=1...m (2.46) * k µ * l 0 l=1...p (2.47) * * λ kh k = 0 k=1...m (2.48) * * µ = 0 l=1...p (2.49) l c l Os conceitos de programação matemática como as condições de otimalidade e a teoria de dualidade, são aproveitados neste trabalho para obter os resultados do problema de análise limite, utilizando ferramentas de otimização colocadas de diferentes formas com a finalidade de testar a eficiência de cada um delas. No caso do problema da análise limite para estruturas geotécnicas o significado dos multiplicadores de Lagrange têm grande importância, aqueles que estão associados às restrições de igualdade são as velocidades de deformação nodais no colapso, o qual mostra o mecanismo de falha da estrutura, e aqueles que estão associados às restrições de desigualdade são os fatores de plastificação presentes na estrutura Otimização Convexa Um conjunto é convexo se e somente se ele contém todo o segmento unindo dois dos seus pontos. Além disso, a função f : D R, é convexa se e apenas se o seu domínio D e sua epígrafe, definida por epi f = {( x, t) x D e f ( x) r } (2.50) são dois conjuntos convexos. O problema padrão de otimização convexa trata da minimização de uma função convexa em um conjunto convexo, e pode ser escrita como se segue:

62 62 Minimizar f ( ) para n x R Sujeito a: 1 x x S (2.51) Onde n S R é um conjunto convexo fechado e f R 1 é uma função convexa definida em S. A convexidade tanto da função objetivo f 1 e a região viável S desempenha um papel muito importante, desde que é responsável por duas seguintes propriedades: Algum ótimo local do problema da Equação (2.51) é também um ótimo global, o qual implica que o mínimo da função objetivo é único. (Glineur, 2001) Existe um problema dual convexo fortemente relacionado com a Equação (2.51). Ou seja, o par de problemas que consistem em um problema de otimização convexa e sua dupla satisfaz uma propriedade de dualidade fraca (o valor objetivo de qualquer solução viável para um desses problemas fornece um limite sobre o valor objetivo ótimo para o problema dual) e, sob certas condições, uma propriedade de dualidade forte (igualdade e realização dos valores objetivos ideais para os dois problemas). (Glineur, 2001) Notamos que a função objetivo f 1 pode ser assumida como linear com algumas perdas de generalidade, portanto pode-se definir esta como: ^ f 1 (x) = c T x usando um vetor c R n. Com efeito, pode-se ver que o problema da Equação (2.51) é equivalente ao seguinte problema com um objetivo linear: Minimizar t ^ Sujeito a: ( x, t) S (2.52) Onde n+1 S R é adequadamente definido: n S = {( x, t) x R R x S e f1 ( x) t} (2.53)

63 63 A equivalência decorre do fato de que a definição da restrição necessariamente satisfeita com a igualdade a qualquer solução ótima (x*, t*), ou seja, tem-se que t* = f 1 (x*). Além disso, este problema convexo é equivalente, uma vez que S é a epígrafe da função convexa f 1, então tem-se que: ^ S é Minimizar c T x para Sujeito a: n x R x S (2.54) Agora pode-se especificar os dados do problema (2.51), isto é, como se pode descrever sua função objetivo e o conjunto viável. Enquanto a especificação da função objetivo é facilmente feita através do fornecimento do vetor c, descrevendo o conjunto viável S, que é responsável da estrutura do problema (2.54), pode ser feito de várias maneiras. A maneira tradicional de proceder de uma otimização não linear é fornecer uma lista de restrições convexas que definem S, isto é: S = { x R n f ( x) 0 i I = { 1,2,.., m } } (2.55) i Onde as m funções f i : R n R são convexas. Isto garante a convexidade de S, como uma interseção dos conjuntos convexos, e o problema (2.48) transforma-se: Minimizar c T x Sujeito a: ( x) 0 f i i I = { 1,2,..., m} (2.56) A Equação (2.56) é a formulação mais comumente encontrada de um problema de otimização convexa. No entanto, uma forma muito mais elegante para descrever a região viável consiste na definição de S como a intersecção de um cone convexo e um subespaço afim, o que leva a otimização cônica.

64 Otimização Cônica Nos últimos anos, uma significante quantidade de trabalhos está dedicada à programação cônica, tendo como um dos primeiros trabalhos o desenvolvido por Lobo et al. (1998), onde mostrou o algoritmo de programação cônica de segunda ordem (SOCP) para a solução de diferentes problemas em distintas áreas da engenharia. Embora a programação cônica esteja relativamente bem estabelecida, são poucas as aplicações feitas no campo da plasticidade apesar de seu evidente uso nos problemas em superfícies de escoamento com presença de singularidades. Entre as aplicações na última década pode-se mencionar os trabalhos de Makrodimopoulos e Martin (2005) nos quais se aplicou o uso da programação cônica de segundo ordem (SOCP) para alguns problemas tradicionalmente complexos. Outras aplicações em problemas de menor complexidade também foram bem sucedidas, tais como Gilbert e Tyas (2003), Makrodimopoulos (2006); Bisbos et al. (2005). Krabbenhoft, et. al. (2006) apresentam aplicações para problemas de plasticidade, mostrando a utilidade da técnica de programação cónica e sua aplicação nos critérios de resistência de Drucker-Prager, Mohr- Coulomb e Nielsen. Um dois principais algoritmos de programação cônica de segunda ordem (SOCP) é o desenvolvido por Andersen et al. (2003), o qual tem sido implementado no programa Mosek (Mosek ApS, 2012), que é um pacote comercial para problemas de otimização a grande escala e mostrou um grande desempenho na solução destes problemas Conjunto de Cones Um conjunto κ é chamado um cone se x κ e γ 0, γx κ. Seu cone dual κ* é definido como: x T y 0 x κ y κ* (2.57) Se κ = κ* então o cone é auto-dual. Por exemplo, o conjunto R + ={ x : x 0} é um cone auto-dual.

65 65 O cone quadrático de segunda ordem qual tem a forma apresentada na Equação (2.58). onde x 2 : d =[ x 2... x d ] T. κ = {x R d : x d x x 0} (2.58) 2: 1, 1 Outro interessante exemplo auto-dual é o cone quadrático rodado que é apresentado na Equação (2.59). κ = {x R d 2 : x d x x, x, x 0} (2.59) 3: Pode ser demonstrado que o cone rodado pode ser transformado para um cone quadrático através de uma transformação linear. (Andersen et. al., 2003) Programação Cônica da Segunda Ordem (SOCP) A programação cônica da segunda ordem (SOCP, por suas siglas em inglês) também referida na literatura como otimização cônica quadrática, envolve um problema de otimização da seguinte forma: Minimizar: c T x Sujeito a: Ax =b (2.60) x i κ i i [1,..N ] onde: x = [x 1... x N ] R n, x i R di, A R mxn, b R m, c R n, κ i são os cones quadráticos ou cones quadráticos rotativos. O problema dual correspondente ao problema de programação cônica das Equações (2.60) é: Maximizar: b T y Sujeito a: A T y + s = c (2.61) s i κ i i [1,..N ] Onde y R m, s R n, s i R di. O ponto ótimo deve satisfazer as seguintes condições (Andersen et. al., 2003; Tsuchiya, 1997):

66 66 Ax =b A T y + s = c x i κ i i [1,..N ] (2.62) s i κ i i [1,..N ] X i S i e i =0 i [1,..N ] Onde X i, S i d i di R e e i = [ ] T d i R. As matrizes X i e S i são dadas por mat(t i x i ) e mat(t i s i ), respectivamente onde T i =I di para um cone quadrático e a função mat é definida de acordo com Makrodimopoulos e Martín (2005) como: u1 mat(u)= u2: d u u I T 2: d 1 d 1 (2.63) As equações (2.60) e (2.61) mostram que SOCP pode ser considerado uma generalização da programação linear (PL). As restrições de igualdade primal e dual são as mesmas que na programação linear (PL). As restrições são cônicas e são versões generalizadas das restrições de não negatividade na programação linear (PL) onde x i 0, s i 0 e a condição de complementaridade é uma versão generalizada deste na programação linear (PL) onde x i s i = 0, o qual corresponde para T i = 1 e e i =1 (Makrodimopoulos e Martín, 2005). SOCP também engloba vários importantes classes de otimização não linear como casos especiais. Isto inclui a minimização da soma das normas, programação quadrática convexa, e programação linear com restrições quadráticas (Makrodimopoulos e Martín, 2005) Algoritmos e Software para SOCP Como é no caso da programação linear (PL), problemas de grande escala podem ser resolvidos efetivamente usando algoritmos de problemas primal-dual, baseados no método dos pontos interiores. Na realidade, tem sido demonstrado que esta abordagem mantém a sua eficiência teórica quando estes problemas são generalizados da programação linear para a programação cônica. Devido a estes

67 67 motivos, o algoritmo de pontos interiores para SOCP está recebendo uma considerável atenção nos anos recentes. No presente, o algoritmo que esta liderando a atenção dos pesquisadores que trabalham na área de otimização, é aquele desenvolvido por Andersen et. al (2003) que foi implementado em Mosek (Mosek ApS, 2012), e provou ser altamente robusto e eficiente em uma variedade de testes em independentes áreas de pesquisa. Alguns exemplos de problemas que Mosek pode resolver são: Problemas de programação linear (PL). Problema de programação quadrática (PQ). Problemas de programação cônica (PC) Problemas Mistos inteiros. Para o presente trabalho se faz uso do programa Mosek, para a solução do problemas na forma cônica quadrática Exemplo de Aplicação de Progrmação Conica utilizando o programa Mosek A seguir é apresentado um exemplo de aplicação de maneira de mostrar as condições do problema dentro do programa. Minimizar x 5 + x 6 Sujeito a: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =1 x 1, x 2, x 3, x 4 0 (2.64) x 5 (x x 2 3 ) 1/2 x 6 (x x 2 4 ) 1/2 O problema envolve algumas restrições lineares e duas restrições cônicas quadráticas, então, neste caso se tem um problema de programação cônica de segunda ordem, onde parte das restrições tem a forma de um cone quadrático. Quando é utilizado o programa Mosek as restrições lineares, que devem ser especificadas como se fosse um problema de programação linear. As restrições

68 68 cônicas devem ser especificadas usando um vetor que receba os tipos de cones que estão sendo usados no processo de otimização. A especificação da parte linear do problema é especificada da seguinte forma: Como se pode ver, a matriz das restrições de igualdade é especificada na forma esparsa e são colocados os mesmos valores nos limites superior e inferior, aqueles valores das variáveis que não tem especificados os limites estão sendo consideradas como podendo tomar valores infinitos negativos e positivos. Deve-se definir um vetor ou arranjo linear para armazenar as restrições cônicas, o que é feito da seguinte maneira: Precisa-se especificar o tipo de cone que será utilizado na otimização, ou seja, deve-se especificar se o cone é do tipo cônico quadrático ou do tipo rotativo. No caso de se utilizar o tipo de cone cônico quadrático deve-se especificar no programa o cone como MSK_CT_QUAD ; e no caso de utilizar o cone cônico rotativo deve-se especificar o cone como MSK_CT_RQUAD. Então, no exemplo, tem-se que:

69 69 Onde os números dentro dos vetores são os sub-índices das variáveis que estão implicadas nas restrições cônicas. Finalmente utiliza-se o comando mosekopt, para realizar o processo de otimização. No seguinte capítulo se mostrará como as condições do problema de análise limite são utilizadas de maneira de poder fazer uso da programação cônica quadrática, e desta forma fazer uso desta técnica no algoritmo de solução, além disso se faz uma breve explicação do algoritmo que utiliza o programa Mosek para resolver o problema de otimização.

70 3 Implementação das Ferramentas Numéricas O Método de Análise Limite tem como objetivo encontrar a carga de colapso de uma estrutura, como foi revisado no capitulo anterior, o qual pode ser estudado como um problema de programação matemática. Esta solução deverá ser encontrada utilizando um processo iterativo no qual as restrições de igualdade e desigualdade do problema sejam respeitadas usando para isso algoritmos de otimização matemática, e usando o MEF como ferramenta para a formulação numérica do problema de Análise Limite. No MEF (Desai 1979; Bathe, 1982; Zienkiewicz e Taylor, 1989), o meio continuo é dividido em sub-regiões, chamadas elementos. Esses elementos são ligados entre si através de pontos situados em suas arestas e vértices, chamados nós. As variáveis de interesse e as propriedades do meio são definidas, no interior do elemento, pela interpolação de seus valores nodais utilizando-se funções préestabelecidas chamadas funções de interpolação ou de base. O MEF apresenta maior flexibilidade em descrever geometrias multidimensionais com contornos e cargas irregulares em comparação ao Método das Diferenças Finitas (MDF). O MEF tem maior facilidade na inclusão das propriedades em um meio não homogêneo. Na área de análise de estruturas, a formulação do MEF pode ser feita a partir do Principio da Mínima Energia Potencial Total, do Método de Resíduos Ponderados ou do Principio Trabalho Virtual. Ele usa conceitos de discretização do contínuo e de matriz de interpolação que fornece os deslocamentos em um ponto no interior do elemento em função de seus deslocamentos nodais. O termo discretização se refere a um modelo com um número finito de incógnitas para a análise de meios contínuos em contraposição a uma análise como a feita pela Teoria de Elasticidade que usam funções contínuas como solução.

71 Formulação Numérica da Análise Limite pelo Método de Elementos Finitos Neste trabalho é usada a formulação classificada como mista fraca. A formulação se baseia no princípio dos deslocamentos virtuais, o qual estabelece que, para qualquer pequeno movimento cinematicamente admissível, o trabalho das forças externas será igual ao trabalho das forças internas, além disso, considera-se que os elementos são de tensão constante Condição de Equilíbrio Na formulação mista fraca a condição de equilíbrio é garantida pelo principio do trabalho virtual. Este principio estabelece que, para qualquer campo de velocidades cinematicamente admissível, o trabalho das forças internas é igual ao trabalho das forças externas. Para o caso em estudo que é a estabilidade de taludes, as forças externas estão representadas pelo peso próprio do material, as quais atuam como forças que fazem um desequilíbrio na estrutura do solo. As forças internas são geradas pelo estado de tensão presente no corpo do solo. Dessa forma o princípio de deslocamentos virtuais é formulado da forma apresentada na Equação (3.1): Trabalho interno: δ ε { σ } V T dv (3.1) onde: δ ε Trabalho externo: δ u λ{ Fo} : Campo de velocidade de deformação. δ u : Campo de velocidades. Fo : Vetor de Força de Volume σ : Campo de Tensões. λ : Fator do colapso do sistema. V T dv

72 72 Aplicando-se a Equação (3.1) a um elemento e considerando, da teoria dos elementos finitos, que existe uma matriz de interpolação (N) que relaciona os campos de velocidades com os campos de velocidades nodais, e uma matriz que relaciona o campo de velocidade de deformação com o campo de velocidades nodais conhecida como matriz de compatibilidade cinemática (B), desse modo tem-se, para cada elemento finito: T δ u. = δû T T { } [ N ] T u δ. ε = { δû} T [ B] T (3.2) { } = { N } σ σ σ T Onde: { û } : Campo de Velocidades Nodais. { σ } : Campo de Tensões { σ } : Campo de Tensões Nodais. { ε } : Campo de velocidade de deformação. [ N u] : Matriz de interpolação de velocidades. [ N σ ] : Matriz de interpolação de tensões. [ B ] : Matriz de compatibilidade cinemática. Substituindo as Equações (3.2) nas Equações (3.1), tem-se a seguinte igualdade: T T T T { û} [ B] [ N ]{ σ } dv = λ { δû} [ Nu ] { Fo} V δ σ dv (3.3) V Fatorizando: T T T { û} ( [ B] [ N ]{ σ} dv λ( [ Nu ] { Fo} dv ) = 0 δ σ (3.4) V Como os deslocamentos virtuais ({ δ û} ) são arbitrários diferentes de zero, pode-se obter: V

73 73 V σ u (3.5) V T T [ B] [ N ]{ σ} dv λ [ N ] { Fo} dv = 0 Considerando a matriz de equilíbrio G como: V T [ B] [ N ] dv = [G] σ (3.6) Considerando o caso de estabilidade de taludes em encostas, só a força de volume devido ao peso próprio material foi considerada na implementação. O vetor de forças externas aplicadas fica da seguinte forma: = [ ] T N { Fo } f 0 dv (3.7) V u Com a discretização via Elementos Finitos, a Equação (3.5) pode ser reescrita na forma: ]{ σ } = λ 0 [ G f (3.8) A Equação (3.8) é a condição de equilíbrio para um elemento, que tem como incógnitas as componentes de tensão no elemento e o vetor das forças equivalentes nodais. Quando os elementos são considerados de tensão constante a matriz N σ é igual à matriz identidade I. Nesse caso, as Equações (3.6) e (3.8) ficam da seguinte forma: V T [ B] dv = [G] (3.9) ]{ } λ 0 [ G σ = f (3.10) Discretização Espacial Na discretização espacial foram utilizados dois tipos de elementos: o elementos isoparamétrico quadrilateral de quatro nós (Q4) em 2D e o elemento isoparamétrico hexaédrico de oito nós (BRICK8) em 3D (Bathe, 1982; Zienkiewwicz e Taylor, 1989), os quais são mostrados no plano paramétrico na Figura 3.1 (a) e (b):

74 74 (a) (b) Figura (a) Elemento Quadrilateral, (b) Elemento Hexaédrico As funções de interpolação para os elementos usados na implementação, no caso de elemento de elemento quadrilateral de quatro nós: 1 1 N1 = (1 r)(1 s) N2 = (1 + r)(1 s) N 3 = (1 + r)(1 + s) N 4 = (1 r)(1 + s) 4 4 (3.11) As funções de interpolação no caso de elemento hexaédrico de oito nós, são as seguintes 1 1 N1 =.(1 r)(1 s)(1 t) N2 = (1 + r)(1 s)(1 t) 8 8 N 1 1 = (1 + r)(1 + s)(1 ) N4 = (1 r)(1 + s)(1 t) t 1 1 N 5 = (1 r)(1 s)(1 + t) N 6 = (1 + r)(1 s)(1 + t) N 7 = (1 + r)(1 + s)(1 + t) N 8 = (1 r)(1 + s)(1 + t) 8 8 (3.12) sendo r, s e t as coordenadas paramétricas dos elementos.

75 75 As Equações (3.6) para a matriz de equilíbrio G e as Equações (3.7) para o vetor f 0 referente à estrutura global podem ser obtidas como indicado a seguir, onde a matriz e o vetor para cada elemento passam a ser denominados G e e fe 0 : onde: [ B ] e e [ G ] = [ G ] = dω (3.13) e { 0 e e e e Ω T [ ] T { e N Fo } e f 0 } = { fe } = dω (3.14) e e Ω e Ω : representa o domínio elementar. e : representa a montagem da matriz ou vetor global. Fazendo uso da integração numérica de acordo com o tipo de elemento utilizado, a matriz G e e o vetor fe 0 podem ser reescritos da seguinte forma: onde: e T = [ Be Je e = [ ] T { e N Fo } [ G ] ] drdsdt (3.15) { fe 0 } J drdsdt (3.16) e r, s e t: são as coordenadas paramétricas dos elementos. J e : Matriz Jacobiana do elemento e. e Fo : Vetor de forças de corpo no elemento e. e A matriz que relaciona deformação com deslocamento para o elemento e [ B e] pode ser escrita em função das derivadas das funções de interpolação em relação das coordenadas globais, da seguinte forma: N x N [ Be ] = y N z Nn x N n y Nn z (3.17)

76 76 O determinante da matriz Jacobiana do elemento e ( e J ) pode ser interpretado como um fator de escala entre o sistema cartesiano global e o sistema paramétrico local de coordenadas. A matriz Jacobiana, relaciona as derivadas em relação às coordenadas no sistema local com derivadas em relação às coordenadas no sistema global: [ ] = = z y x t z t y t x s z s y s x r z r y r x z y x J t s r e (3.18) Nos elementos isoparamétricos, as funções de forma, responsáveis pelo mapeamento das coordenadas globais nas suas equivalentes paramétricas e viceversa, são as próprias funções de interpolação, assim: = = n i Ni xi x 1. = = n i Ni yi y 1. = = n i Ni zi z 1. (3.19) Então: = = n i i xi r N r x 1 = = n i i xi s N s x 1 = = n i i xi t N t x 1 (3.20) Segue-se raciocínio análogo para as coordenadas globais nos eixos y e z. Desta forma, a matriz [B e ] pode ser definida como: [ ] = t N t N s N s N r N r N J B n n n e e ] [ (3.21)

77 77 De acordo com isso a matriz G e e o vetor fe 0 são obtidos pela integração numérica das Equações (3.15) e (3.16) Integração Espacial A integração da matriz G e e do vetor fe 0 não pode ser feita analiticamente, então adotou-se a quadratura de Gauss para sua avaliação numérica. Na quadratura de Gauss, a função a ser integrada é avaliada em determinados pontos, chamados pontos de integração ou pontos de Gauss. A integração é feita através da soma ponderada dos valores assumidos pela respectiva função nestes pontos de integração. n f ( x) dx = Wif ( xi) (3.22) i= 1 Onde f(x) é a função cuja integral se deseja avaliar, W i são os pesos de ponderação e x i são os pontos onde a função é avaliada. Na quadratura de Gauss os valores dos pontos de integração correspondem as raízes dos polinômios de Legendre. Os pontos de integração, assim como os fatores de ponderação, são determinados de maneira de maximizar a precisão da técnica de integração. A integração numérica pode apresentar elevado custo computacional, devido ao número de vezes que cada matriz deve ser avaliada. Como a integração numérica pode introduzir uma nova fonte de erro na solução do problema, o número de pontos de integração deve ser o mínimo necessário, de modo a preservar a ordem de grandeza do erro de discretização (Zienckiewicz e Taylor, 1989). Neste trabalho, a integração do elemento quadrilateral de 4 nós foi feita com 4 pontos de integração e do elemento hexaédrico de 8 nós com 8 pontos de integração. As tabelas 3.1 e 3.2 apresentam os pontos de integração (Pontos de Gauss) e os respectivos fatores de ponderação.

78 78 Tabela Coordenadas paramétricas dos pontos de integração e fatores de ponderação para o elemento quadrilateral de 4 nós. Pontos de Fator de Ponderação Integração i r i s i W ri W si Tabela Coordenadas paramétricas dos pontos de integração e fatores de ponderação para o elemento hexaédrico de 8 nós. i Pontos de Integração Fator de Ponderação r i s i t i W ri W si W ti A integração das Equações (3.15) e (3.16) e a montagem das matrizes elementares, resultando na matriz global, produz um sistema de equações, onde as incógnitas são as tensões e o fator de colapso, este sistema de equações esta dado pela Equação (3.10) apresentada na formulação pelo MEF.

79 Condição de Contorno Para que a solução forme um sistema de equações, precisam ser fornecidas as condições de contorno para a solução do problema. Como se pode ver na Figura 3.2, deve-se especificar os nós e suas direções de velocidade prescritas nulas. Condições de contorno Velocidades prescritas nulas Figura Superfície de escoamento e o vetor de deformação plástica. Determinadas as direções de velocidades prescritas nulas, deve-se eliminar as correspondentes linhas na matriz G e no vetor f 0 na Equação (3.10) Condição de Escoamento Sabendo-se que para que o estado de tensão na solução da Equação (3.10) seja considerado admissível, que é uns dos requisitos do teorema de limite inferior, deve-se garantir que este satisfaça o critério de escoamento, ou seja, F(σ) < 0 (3.23) O estado de tensões deve ser garantido em todos os elementos que conformam a malha de elementos finitos do problema, o critério de escoamento do material deve ser satisfeito. F(σ) i <0 para i=1...n (3.24)

80 80 onde n é o número de elementos que compõem a malha de elementos finitos. No caso de problemas 2D os critérios de escoamento usados foram o critério de Mohr Coulomb e Drucker-Prager, e no caso de problemas 3D o critério utilizado foi o critério de escoamento de de Drucker-Prager. Estes critérios de escoamento foram colocados de duas formas, para cada caso, a primeira forma é a forma convencional, ou seja, aquelas apresentadas nas Equações (2.9) e (2.10) do capitulo dois; a segunda forma é usando uma transformação de maneira a colocar estas restrições na forma cônica quadrática de segunda ordem Critério de Mohr-Coulomb na forma Cônica Quadrática De acordo com a revisão bibliográfica, para estado plano de deformações, o critério de Mohr-Coulomb pode ser expresso na forma da Equação (25) 2 2 ( σ x σ y) + 4τ xy + ( σ x + σ y) senφ 2c cosφ 0 (3.25) Mais adiante se vão usar expressões matriciais onde será útil o vetor de tensões σ como definido a seguir: [ σ ] T x σ y τ xy i σ = para i=1...n (3.26) onde c é a coesão e φ é o ângulo de atrito, n é o numero de elementos da malha de elementos finitos. Adotando a seguinte notação, 1 σ m = ( σ x + σ y ), sij = σ ij σ mδ (3.27) ij 2 σ σ σ xx yy xy = = = σ σ τ x y xy (3.28) onde δ é o delta de Kronecker, σ m é a tensão media, s ij são os componentes do tensor desviador.

81 81 Substituindo a Equação (3.28) na Equação (3.27), tem-se sxx syy sxy = σx σm = σy σm (3.29) = τxy Então substituindo as Equações (3.29) na Equação (3.25), o critério de escoamento toma uma forma mais simples: 2 2 sxx + sxy + σmsenφ c cosφ 0 (3.30) Com a introdução de uma variável auxiliar denominada z, esta restrição pode ser transformada como uma restrição linear acoplada com uma restrição cônica quadrática: z = k aσm (3.31) 2 2 s + s z xx xy onde: a= sen φ e k = c cosφ Definindo-se o vetor s como: s = [ σ ] T m sxx sxy i i=1...n (3.32) onde n é o numero de elementos da malha de elementos finitos. Este vetor s esta relacionado com o vetor σ através de uma matriz Q, tal que: σ = Q.s onde Q = (3.33) 0 0 1

82 82 Considerando a inversa da matriz Q para relacionar os componentes de s e σ, substituindo os valores de a, k, z no vetor s e introduzindo um novo vetor s 2, tem-se a seguinte relação: s 2 z senφ senφ 0 σ x c cosφ 1 = sxx = σ y + 0 (3.34) 2 sxy τ x 0 y Finalmente introduz-se um novo vetor ρ, tal que: [ ρ ] T 1 ρ2 ρ3 i ρ =, para i=1...n ρ = 2. s 2 (3.35) Então substituindo a Equação (3.35) na Equação (3.34) tem-se que: ρ = D σ + d (3.36) onde: senφ senφ 0 D = 1 1 0, ccosφ d = 0, 0 ρ κq, κq = { ρ R 3 ρ 1 ρ + } ρ3 (3.37) κq é o cone quadrático de segunda ordem. As Equações (3.36) e (3.37) mostram a restrição do critério de escoamento de Mohr Coulomb, na forma cônica quadrática de segunda ordem que é usada para o algoritmo de programação cônica quadrática de segunda ordem (SOCP). A matriz de transformação D é não singular para φ>0 (Krabbenhoft, Lyamin e Sloan, 2006).

83 Critério de Drucker-Prager na forma Cônica Quadrática O critério de Drucker-Prager pode ser utilizado como critério de escoamento para problemas em 2D e 3D. Este critério de acordo com a revisão bibliográfica tem a seguinte forma: J2 + ασ m k 0 (3.38) Onde J 2 é o segundo invariante do tensor desviador, σ m tensão média, α e k são os parâmetros do material de acordo com o critério de resistência de Drucker-Prager. Em seguida mostra-se como a Equação (3.38) pode ser reescrita na forma cônica quadrática para os casos 2D e 3D: a. Caso 2D 1 σ m = ( σ x + σ y ), sij = σ ij σ mδ (3.39) ij 2 σ σ σ xx = yy = xy = σ σ τ x y xy (3.40) onde δ é o delta de Kronecker, σ m é a tensão média, sij são os componentes do tensor desviador. Substituindo a Equação (3.40) na Equação (3.39), tem-se: sxx syy sxy = σx σm σ σ = y m (3.41) = τxy Sabe-se que: J 1 2 s s ij = (3.42) 2 ji expressão: Então, substituindo os sub-índices na Equação (3.42), tem-se a seguinte

84 J 2 = sxx + s yy + sxy (3.43) 2 2 Agora sabe-se das equações (3.39) e (3.41) que: s = (3.44) xx s yy Então substituindo as Equações (3.43) e (3.44) na Equação (3.38) para o caso 2D, o critério de escoamento toma uma forma mais simples: 2 2 sxx + sxy + ασ m k 0 (3.45) Com a introdução de uma variável auxiliar denominada z, esta restrição pode ser transformada numa restrição do tipo cônica quadrática: z = k ασm s 2 xx + s 2 xy z (3.46) Agora construindo o seguinte vetor denominado s: s = [ σ ] T m sxx sxy i para i=1...n (3.47) Onde n é o numero de elementos da malha de elementos finitos. O vetor s está relacionado com o vetor σ através de uma matriz Q, tal que: σ = Qs onde Q = (3.48) Considerando a inversa da matriz Q para relacionar os componentes de s e σ, e introduzindo um novo vetor s 2 tem-se a seguinte relação:

85 85 s 2 z = sxx = sxy 1 2 α 1 0 α σ x k 0 σ y τ x 0 y (3.49) Finalmente introduz-se uma nova variável ρ, tão que: [ ρ ] T 1 ρ2 ρ3 i ρ =, para i=1...n ρ = 2s 2 (3.50) onde: Substituindo a Equação (3.50) na Equação (3.49) tem-se que: α α 0 D = 1 1 0, k d = 0, 0 ρ = D σ + d (3.51) ρ κq, κq = { ρ R 3 ρ 1 ρ + } ρ3 (3.52) κq é o cone quadrático de segunda ordem. As Equações (3.51) e (3.52) mostram a restrição do critério de escoamento de Drucker-Prager na forma cônica quadrática de segunda ordem para o caso 2D, que é usada para o algoritmo de programação cônica quadrática da segunda ordem (SOCP).

86 86 b. Caso 3D 1 σ m = ( σ x + σ y + σ y ), sij = σ ij σ mδ ij 3 [ σ ] T x σ y σ z τ xy τ xz τ yz i σ = para i=1...n σ σ σ xx = yy = zz = σ σ σ x y z σ σ σ xy = xz = yz = τ τ τ xy xz yz (3.53) (3.54) onde δ é o delta de Kronecker, Substituindo a Equação (3.54) na Equação (3.53), tem-se: sij são os componentes do tensor desviador. s xx s yy s zz σ σ = x m s xy = τ xy = σ y σ m xz xz σ σ = z m s yz = τ yz s = τ (3.55) Agora sabe-se que: 1 J. 2 = 2 s ij s (3.56) ji Substituindo os sub-índices na Equação (3.56), tem-se a seguinte expressão: J 2 = s xx + s yy + s zz + s xy + s xz + s yz (3.57) A Equação (3.38) pode ser reduzida de maneira a poder colocar a expressão na forma cônica quadrática da segunda ordem (Makrodimopoulos e Martin, 2005), utilizando as seguintes expressões: s = s + s ) (3.58) zz ( xx yy J 2 = y (3.59)

87 87 = yz xz xy yy xx s s s s s y (3.60) Com a introdução de uma variável auxiliar denominada z e as Equações (3.58), (3.59) e (3.60), a restrição do critério de escoamento de Drucker-Prager pode ser transformada como uma restrição linear acoplada com uma restrição cônica quadrática: m k z ασ = z y Agora introduzindo o seguinte vetor denominado s 3 : [ ] T i yz xz xy yy xx m s s s s s s σ = 3 para i=1...n (3.62) Onde n é o numero de elementos da malha de elementos finitos. Este vetor s 3 esta relacionado com o vetor σ através de uma matriz Q, tal que: Q 3 s 3 = σ onde = Q (3.63) Considerando a inversa da matriz Q 3 para relacionar os componentes de s 3 e σ, e substituindo os valores de a, k, z no vetor s e introduzindo uma nova variável ρ tem-se a seguinte relação: (3.61)

88 88 ρ = D σ + d (3.64) Onde: α α α D = , k 0 0 d =, (3.65) ρ κq, κq = { ρ R 6 ρ 1 ρ + + } ρ3 + ρ 4 + ρ5 ρ 6 κq é o cone quadrático de segunda ordem. As Equações (3.64) e (3.65) mostram a restrição do critério de escoamento de Drucker-Prager, na forma cônica quadrática de segunda ordem para o caso 3D, que é usada para o algoritmo de programação cônica quadrática da segunda ordem (SOCP) Ferramentas de Otimização A solução do problema pela Análise Limite consiste em determinar o campo de estado de tensões correspondentes ao valor λ que maximiza as cargas aplicadas na estrutura, de maneira que o estado de tensões satisfaça à condição de equilíbrio e ao critério de escoamento, ou seja, seja estaticamente admissível. O problema pode ser colocado na forma do seguinte problema de programação matemática. Maximizar: λ Sujeito a: [ G] { } λ f0 σ = (3.66) F(σ) < 0 (3.67) O problema é resolvido via o uso de algoritmos de programação matemática. Com a finalidade de desenvolver diferentes rotinas para a solução do

89 89 problema de programação matemática, foi escrito um código de programação utilizando o programa MATLAB R2009, no qual foram utilizados dois otimizadores acoplados ao programa: Programa de Otimização Mosek O programa de otimização Mosek, desenvolvido por Andersen et. al (2003), é um pacote comercial utilizado para problemas de otimização de grande escala. O programa Mosek pode resolver as diferentes classes de problemas de otimização, tais como problemas de otimização linear, quadrática, cônica, e mistos integrados. Com efeito, Mosek inclui os seguintes otimizadores: Problemas de programação linear (PL). Problema de programação quadrática (PQ). Problemas de programação cônica quadrática. Problemas Mistos integrados. O otimizador Mosek tem suporte nativo para muitas linguagens diferentes de programação, tais como: C/C++, Java, MATLAB Toolbox,.NET (C#/Visual basic), Python. Dois tipos diferentes de otimizadores estão disponíveis, o padrão é um método de pontos interiores e outro o método simplex: a. Otimizador de Ponto Interior É o otimizador padrão do programa, onde se cria a partir de formulação do problema padrão de otimização (para os tipos de problemas que o programa resolve) um sistema de equações chamado Homogeneus Self- Dual Model ou modelo homogêneo, o qual é estabelecido impondo as condições de otimilidade do problema, e que é resolvido finalmente utilizando o algoritmo de otimização de pontos interiores no problema primal-dual. Este otimizador é utilizado para solução de problemas de otimização linear, cônica, quadrática.

90 90 b. Otimizador Simplex Usa um método diferente que permite explorar uma estimativa inicial para a solução ideal para reduzir o tempo de solução. Dependendo do problema, pode ser mais rápido ou mais lento para obter uma estimativa inicial. Quando se utiliza o otimizador simplex, pode ser possível a reutilização de uma solução existente e, consequentemente, reduzir o tempo de solução de forma significativa. A forma que é de muito proveito é a forma da programação cônica de segunda ordem (Cônica Quadrática). Com a finalidade de aplicar este programa de otimização no presente trabalho se revisa a seguir a estrutura e a descrição que o programa utiliza quando realiza a otimização na forma cônica de segunda ordem Estrutura do Problema de Otimização Cônica (Mosek) O programa Mosek, formula o problema na seguinte forma: Minimiza Sujeito a: Onde: c l, x l, T c x + l l c f c c Ax u (3.68) x x u x κ c u : limite inferior e superior das restrições. x u : limite inferior e superior das variáveis. A : Matriz de coeficientes constantes. T c, f c : Vetores com elementos constantes. x : variáveis do problema. κ : cone convexo. x

91 91 Seguinte, definição: Onde: R é um conjunto: n t κ = { x R : x κ, t = 1,2,... m} κ = { x R n } t t κ t é um cone na forma quadrática ou um cone rotativo. Uma variável é um membro padrão do conjunto R, a menos que ela pertença a um cone específico Descrição geral do Problema de Otimização Cônica (Mosek) Para resolver problemas de otimização, o programa utiliza a teoria da dualidade que liga o problema primal e seu correspondente dual. Devido às fortes relações entre estes dois problemas, os métodos modernos de pontos interiores resolvem simultaneamente os dois problemas fazendo uso de informações de um para ajudar o progresso na outra. Primal min c T x x s. t.: Ax = b x κ Dual T max y, s b x T s. t.: A y + s = c m s κ*, y R (3.69) Aqui κ *, denota o cone dual do cone κ. Portanto pode-se empregar o método eficiente do pontos interiores simétrico primal-dual (Nesterov e Todd, 1997; 1998). O objetivo então é resolver o modelo homogêneo dual do problema da Equação (3.69). Então pode-se escrever: z ( x, τ, y, s, k) S = R introduzindo: n m n = + R+ R R+ R+ e r ( z) = Ax bτ p r ( z) = A d r ( z) = c g µ ( z) = ( x T T T y s + cτ x + b T y k s + τk) /( ν + 1) (3.70)

92 Agora colocando z = ( x, τ, y, s, k ) S como ponto inicial, e assumindo que θ é uma variável escalar. Tem-se o seguinte problema: Minimizar (z, θ) θµ ( z 0 ) Sujeito a: 0 Ax bτ = θrp ( z ) T 0 A y s + cτ = θrd ( z ) T T 0 c x + b y k = θrg ( z ) 0 T 0 T rp ( z ) y rd ( z ) x + rg ( z ( x, τ ) 0,( s, k) 0 0 ) τ = θµ ( z ) 0 (3.71) A solução para o sistema de Equações (3.71) fornece uma ótima solução para o problema de otimização cônica original. A solução é encontrada fazendo uso do algoritmo de pontos interiores (Skajaa, et. al., 2012; Andersen et. al.,2003) Otimizador do Matlab (fmincon) O programa MATLAB tem entre suas ferramentas, um comando para resolver problemas de otimização, chamado fmincon. Utiliza-se esse comando para encontrar a solução deste tipo de problema. Esta ferramenta determina as variáveis do problema que minimizam uma função objetivo e que satisfazem as restrições lineares e não lineares. O problema é colocado da forma da Equação (3.72) Onde: x min x f ( x) s. t.: c( x) 0 ceq( x) = 0 Ax b Aeq x = 0 lb x ub : Vetor das Variáveis do problema. f (x) : Função objetivo. (3.72) Aeq, beq : Matriz e vetor das restrições lineares de igualdade do problema.

93 93 A, b : Matriz e vetor das restrições lineares de desigualdade do problema. c (x), ceq (x) : Vetores das restrições de igualdade e desigualdade não linear do problema. lb, ub : Vetores dos limites inferiores e superiores. Deve-se criar um arquivo com uma função escalar que representa a função objetivo, além disso, deve-se ter uma função onde armazenar as restrições de igualdade e desigualdade não linear. Com esta estrutura realizada, a ferramenta fmincon, faz a minimização da função objetivo, utilizando um ponto inicial, que é colocado pelo usuário. Recomenda-se que este valor inicial deve ser definido por um valor tão próximo quanto possível da solução de maneira a acelerar a convergência do algoritmo. Caso exista uma técnica de busca inteligente para um valor inicial de um dado problema, essa técnica deve ser usada. O programa tem entre seus algoritmos para realizar o processo de otimização o algoritmo de pontos interiores. O usuário pode fazer uso da forma esparsa das matrizes A e Aeq com a finalidade de reduzir o tempo e a memória computacional durante o processo de otimização Aplicação dos otimizadores ao problema de Análise Limite Para a solução do problema de analise de estabilidade via análise limite utilizando a programação matemática, se faz uso dos otimizadores do programa comercial Mosek e o próprio otimizador do Matlab (fmincon). Com a finalidade de ver a eficiência do algoritmo com as diferentes formas de colocar a função de escoamento, o problema é analisado de diferentes formas Problema de Análise Limite na forma convencional Neste caso se trabalha com o sistema de equações que fica como produto da aplicação do teorema de trabalho virtual, e que é apresentando nas equações.

94 94 Neste problema as restrições de desigualdade estão dadas pelas funções de escoamento que dependem do tipo de critério de resistência. Este sistema é como seguir: Maximizar: λ Sujeito a: [ G] { } λf0 σ = (3.73) F(σ) < 0 (3.74) Este sistema é equivalente ao seguinte: Minimizar: - λ Sujeito a: [ G] { } λf0 σ = (3.75) F(σ) < 0 (3.76) Como pode-se ver este problema corresponde a um problema de otimização na forma padrão, no qual se tem restrições lineares, e as restrições tornam-se não lineares, constituindo portanto um problema de programação não linear. Este problema é analisado utilizando-se a ferramenta de otimização do programa Matlab (fmincon), o qual pode resolver este tipo de problemas Problema de Análise Limite na forma cônica quadrática. Neste caso deve-se realizar uma mudança na forma convencional do problema, de forma que as restrições de desigualdade dadas pelas funções de escoamento do critério de resistência fiquem na forma cônica quadrática. Com essa finalidade se utiliza as transformações realizadas na seção 3.1.5, onde em todos os casos se tem que a transformação das variáveis de tensões do problema se relaciona com as variáveis de uma função cônica da seguinte forma: ρ = D σ + d (3.77) Dessa maneira a restrição de desigualdade que é mostrada na Equação (3.76) fica na forma cônica quadrática, onde a função de escoamento é agora função de uma nova variável chamada ρ. Então substituindo a Equação (3.77) nas Equações (3.75 e 3.76), tem-se o seguinte:

95 95 Minimizar: - λ 1 1 Sujeito a: [ G ][ D] { } f + [ G ][ D] d Onde κ é o cone quadrático. ρ = λ (3.78) 0 ρ κ (3.79) Este problema está colocado na forma cônica quadrática, o qual pode ser resolvido utilizando o otimizador do programa comercial Mosek transformando o problema utilizando a equação (3.78) e utilizando as novas variáveis. Este problema é também analisado com o uso do otimizador do Matlab (fmincon), tendo que fazer uma transformação na função de armazenamento das restrições não lineares de maneira que fique como a Equação (3.79) e das equações de equilíbrio utilizando a Equação (3.78) Estimativa do valor inicial. Como já mencionado, o algoritmo de otimização melhora seu desempenho quando uma boa estimativa é feita para o vetor inicial das variáveis. Uma boa estimativa para as tensões como valores iniciais é obtida com a solução da análise linear elástica da estrutura. Essa opção tem se mostrado como um ponto inicial adequado para conseguir uma boa convergência do problema numérico. Para se obter essa solução, resolve-se o problema como indicado a seguir. Caso do Estado Plano de Deformações (2D) Utilizando o método de elementos finitos (MEF) para estruturas de comportamento linear elástico, pode-se obter a matriz de rigidez de um elemento como: Onde: [ ] T B [ ][ ] e Ce Be e [ K ] = da (3.80) e B e : Matriz de relação da deformação e deslocamento do elemento e. K e : Matriz de rigidez do elemento e. e A : Área do elemento e. e A C e : Matriz constitutiva para o estado plano de deformações no elemento e.

96 96 Esta matriz constitutiva é escrita da seguinte forma no caso de estado plano de deformações: Onde: 1 v Ee C = ve (1 + v )(1 2 ) e ve 0 [ ] e e v e 1 v 0 e ve 2 E e : módulo de Young ou modulo elástico do material do elemento e. v e : módulo de Poisson do material do elemento e. (3.81) A integração da matriz definida na Equação (3.81), é feita, como já foi mostrado, utilizando a integração nos pontos de Gauss ] [ e ng K = [ B r T, s )] [ C ][ B ( r, s )] 1 e ( det( J ( r, s )) W W (3.82) i i i e e i i e i i r si Onde: r i, s i : Pontos de Gauss do elemento paramétrico. W, W ri s i : Fatores de ponderação. J e : Matriz Jacobiana do elemento e. a matriz de rigidez na forma global K é obtida a partir da montagem das matrizes de rigidez de cada elemento. De acordo com o Método dos Elementos Finitos os deslocamentos nodais são calculados da seguinte forma: onde: d : Vetor dos deslocamentos a nível global fo : Vetor das forças nodais. K : Matriz de rigidez a nível global. 1 { d} [ K ] { fo} = (3.83)

97 97 Finalmente são calculadas as deformações e as tensões no elemento e utilizando as seguintes equações: { ( r, s) } = [ B ( r, s) ]{ d } ε (3.84) e { ( r, s) } [ C ]{ ε ( r, s) } e e e e e σ = (3.85) Onde d e são os deslocamentos nodais do elemento e extraídos do vetor dos deslocamentos globais d. Os pontos onde se devem avaliar as deformações e as tensões são nas coordenadas paramétricas r = 0, s = 0. Já que os elementos são considerados de tensão constante, então as tensões são colocadas no centroide do elemento. A inicialização do valor do fator de colapso para os casos estudados foi de λ = 1, não tendo este valor muita influência no resultado final. Caso do Análise Tridimensional (3D) Para o caso da analise tridimensional o ponto inicial é calculado da mesma forma do que no caso de estado plano de deformações, a diferença aqui é a matriz constitutiva deve mudar para o caso tridimensional da seguinte forma: onde: 1 v Ee C e = ve (1 + v )(1 2 ) e ve 0 e v e 1 v 0 e ve 2 E e : modulo de Young ou modulo elástico do material do elemento e. v e : modulo de Poisson do material do elemento e. (3.86) A integração da matriz da matriz de rigidez do elemento é feita utilizando a integração nos pontos de Gauss. ] [ e ng B T ( (3.87) K = [ ] [ ][ ] e ri, si, ti ) C e Be ( ri, si, ti ) det( Je( ri, si, ti)) Wr W i s W i t i 1

98 98 onde: r, s, t : Pontos de Gauss do elemento paramétrico. i ri i i W, W, W : Fatores de ponderação. si ti J e : Matriz Jacobiana do elemento e. Baseado na teoria da elasticidade são calculados os deslocamentos, as deformações e as tensões de forma similar do que no caso 2D Cálculo do Fator de Segurança Em 1975, Zienkiewicz propõe que o fator de segurança (FS) usado nas aplicações geotécnicas pode ser calculado pelo incremento das cargas externas ou pela redução da resistência através do método de elementos finitos (MEF). No presente trabalho utiliza-se a técnica da redução da resistência para encontrar o fator de segurança (FS), no qual se aplica um fator de redução (FR), aos parâmetros de resistência do solo: c c red = (3.88) FR tan φ φ red = arctan( ) (3.89) FR onde: c: Coesão do material. φ : Ângulo de atrito do material. c red : Coesão reduzida. φ red : Ângulo de atrito reduzido. FR: Fator de redução. No método de Análise Limite, o fator de segurança (FS) é obtido utilizando a técnica da redução da resistência, no qual o fator de colapso (λ) é obtido via programação matemática para diferentes valores do fator de redução (FR), e o fator de segurança é aquele fator de redução que corresponde ao fator de colapso

99 99 (λ=1.0). A Figura 3.3, mostra a variação do fator de colapso (λ) com o fator de redução da resistência (FR), onde o fator de segurança (FS) é o fator de redução para o qual o fator de colapso é um (λ=1.0). Figura Variação do fator de colapso (λ) com o fator de redução (FR) Implementação Numérica Baseado na metodologia explicada foi desenvolvido uma ferramenta numérica no programa Matlab versão R2009b e em linguagem C. Este código foi feito num computador com processador Intel Core i3 de 2.13 GHz de velocidade e memória RAM 3.00 GB. Para execução do programa criou-se arquivos de entrada no formato Neutral File (.nf), estes arquivos contém: Coordenadas nodais. Matriz de incidência nodal. Nós com campos de velocidade prescritos (Condições de contorno). Propriedades dos materiais e outros parâmetros necessários para a simulação. Estes arquivos são gerados depois de fazer a discretização da estrutura geotécnica. Para a discretização da estrutura, foram utilizados geradores de malha. Os programas utilizados para gerar a malha foram o GID versão e o Mtool 5.1 desenvolvido na TeCGraf-PUC-Rio. Os elementos utilizados para a geração

100 100 da malha foram: elemento quadrilateral de 4 nós (Q4) em aplicações 2D e o elemento hexaédrico de 8 nós (BRICK8) em aplicações 3D. Figura Discretização feita com gerador de malha. Com estes arquivos criados é feita a leitura de dados para o problema. Em seguida, se faz uso do método dos elementos finitos utilizando o programa Matlab para obter as informações necessárias para a formulação do problema. Vetores de força, a matriz de rigidez, a matriz de relação de relação deformação-deslocamento, vetor de forças nodais, etc. Montagem das matrizes e vetores a nível global. Imposição das condições de contorno. Geração do sistema de equações utilizando a condição de equilíbrio e desigualdades utilizando as condições de escoamento. Uma vez montado o sistema a ser resolvido utilizam-se os otimizadores MOSEK e do próprio Matlab (fmincon) para obter a solução do problema de análise limite primal e do correspondente problema dual. No trabalho estes otimizadores foram testados utilizando a forma de programação não linear convencional e a programação cônica, da seguinte maneira: Otimizador do Matlab (fmincon), com as condições do problema na forma da programação convencional não linear, ou seja, utilizando as Equações (3.75) e (3.76), e utilizando o processo de minimização. Neste caso foi

101 101 necessário criar dois arquivos, um deles para o armazenamento da função objetivo, e o segundo para o armazenamento das restrições de desigualdade (critérios de escoamento). Otimizador do Matlab (fmincon), com as condições do problema na forma da programação cônico quadrática, ou seja, utilizando as Equações (3.78) e (3.79), e utilizando o processo de minimização. Neste caso foi necessário criar dois arquivos, um deles para o armazenamento da função objetivo, e o segundo para o armazenamento das restrições de desigualdade (critérios de escoamento). Otimizador do programa comercial Mosek, com as condições do problema na forma da programação cônico quadrática, ou seja, utilizando as Equações (3.78) e (3.79), e utilizando o processo de minimização. Neste caso a rotina de otimização foi implementada no código principal do programa. Deve-se ressaltar que uma rotina externa foi implementada para se obter o valor do ponto inicial das variáveis do problema conforme a metodologia descrita na seção O cálculo do fator de segurança (FS) é realizado construindo-se a curva que relaciona o fator de colapso obtido ao final do problema com o fator de redução imposto, de acordo com a metodologia descrita na seção 3.3.

102 4 Exemplos de Validação e Aplicação 4.1. Exemplos de Validação Na literatura pesquisada, se encontraram alguns exemplos para fazer a validação da ferramenta implementada. O primeiro exemplo para a validação compara o fator de segurança obtido de forma analítica com o obtido de forma numérica para o caso de um talude infinito. A seguir é feita a análise de estabilidade para o caso estudado por Griffiths (1999) que utilizou a análise elastoplástica em estado plano de deformações (2D) para a determinação do fator de segurança. Este valor do fator de segurança é obtido também via Análise Limite para ser comparado com o obtido no trabalho de Griffiths. Finalmente a validação da ferramenta em 2D é utilizada para validar a aplicação em 3D mediante um análise de estabilidade de taludes em estado plano de deformações, para o qual é de se esperar que o fator de segurança obtido mediante a Análise 2D e 3D sejam similares ou próximos Validação 1:Talude Infinito O valor do fator de segurança utilizando a ferramenta desenvolvida é comparado com a solução analítica para o caso de um talude infinito (Figura 4.1), definida pela Equação (4.1) (Das, 2001): Figura Talude Infinito.

103 103 c tanφ FS = + (4.1) γ H cos 2 β tan β tan β Onde: c : Coesão φ : Ângulo de atrito γ : Peso específico do solo β : Ângulo de inclinação do talude H : Profundidade Vertical do solo Os dados utilizados para este exemplo foram: uma inclinação ( β ) de 30 o, uma profundidade vertical (H) de 3 metros, o peso específico (γ) do solo é 17.5 kn/m 3, a coesão (c) é de 30 kn/m 2, e o ângulo de atrito (φ) de 10 o. O critério de resistência utilizado é o de Mohr Coulomb. O comprimento inclinado do talude é considerado como 50 metros com o propósito de que a relação comprimento/profundidade do solo seja maior do que 10 e dessa forma simular o efeito do talude infinito no exemplo. Com a finalidade de testar a eficiência dos otimizadores para determinar o fator de colapso foram utilizadas quatro malhas geradas com o programa de geração de malha GID utilizando os elementos quadrilaterais de quatro nós. Essas malhas são apresentadas na Figura 4.2. (a) (b) (c) (d) Figura Malhas de elementos finitos (a) 100 elementos, (b) 200 elementos, (c) 300 elementos, (d) 500 elementos.

104 104 Nos contornos laterais e na base do talude foram impostas as condições de contorno de velocidade prescritas nulas. Foram utilizados os otimizadores do programa comercial Mosek na forma cônica quadrática e o otimizador do Matlab (fmincon) na forma cônica quadrática e na forma convencional com a finalidade de testar a eficiência que cada um apresenta para encontrar o fator de colapso. Os resultados desta comparação são resumidos na seguinte tabela: Tabela Fatores de colapso obtidos com otimizador do Matlab utilizando programação na forma convencional. Nro. c (Kpa) φ Fator de Colapso Nro. de Tempo (º) Elementos (λ) Iterações (s) Tabela Fatores de colapso obtidos com otimizador do Matlab utilizando programação na forma cônica quadrática. Nro. c (Kpa) φ (º) Fator de Colapso Nro. de Tempo Elementos (λ) Iterações (s) Tabela Fatores de colapso obtidos com otimizador do Mosek utilizando programação na forma cônica quadrática. Nro. c (Kpa) φ Fator de Colapso Nro. de Tempo (º) Elementos (λ) Iterações (s)

105 105 Dos valores obtidos pode-se ver que o valor do fator de colapso (λ) obtido nas três diferentes formas é bastante parecido para o número de elementos correspondente. O valor do fator de colapso tem tendência a ser menor quando se aumenta o número de elementos em todos os casos. O tempo que precisa o otimizador do Matlab (fmincon) quando usa a critério de resistência na forma convencional ou na forma cônica quadrática é bem maior do que aquele que precisa o otimizador do programa Mosek quando usa o critério de resistência na forma cônica quadrática. O tempo para encontrar o fator de colapso utilizando o otimizador do Matlab varia exponencialmente quando se incrementa o número de elementos, enquanto que o otimizador do programa Mosek utiliza um tempo muito pequeno (fração de segundo) para o cálculo do fator de colapso, com pouca dependência em relação ao número de elementos, como mostra a Figura 4.3. Similarmente, o número de iterações é bem menor quando se utiliza o otimizador do Mosek do que quando se utiliza o otimizador do Matlab (fmincon). Numero de Elementos Figura Variação do tempo de cálculo para diferentes números de elementos empregados pelos otimizadores. O calculo do fator de segurança é obtido utilizando a técnica de redução da resistência do material para cada um dos casos analisados:

106 106 Resultados obtidos com Análise Limite utilizando otimizador do Matlab, com o critério de resistência na forma convencional. Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 100 elementos). φ φ red c (kpa) (º) Fator de Redução c red (kpa) ( o ) Fator de Colapso Tempo (s) Σ Total Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 200 elementos). φ φ red c (kpa) (º) Fator de Redução c red (kpa) ( o ) Fator de Colapso Tempo (s) Σ Total Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 300 elementos). φ φ red c (kpa) (º) Fator de Redução c red (kpa) ( o ) Fator de Colapso Tempo (s) 30, , , , Σ Total Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 500 elementos). φ φ red c (kpa) (º) Fator de Redução c red (kpa) ( o ) Fator de Colapso Tempo (s) Σ Total

107 107 Figura Variação do fator de colapse com o fator de redução da resistência (100 elementos) com FS= Figura Variação do fator de colapse com o fator de redução da resistência (200 elementos) com FS= Figura Variação do fator de colapse com o fator de redução da resistência (300 elementos) com FS= 1.70.

108 108 Figura Variação do fator de colapse com o fator de redução da resistência (500 elementos) com FS= Como se pode ver os valores do fator de segurança obtidos neste caso variam entre 1.66 a O valor tem tendência a diminuir quando o número de elementos vai incrementando. Resultados obtidos com Análise Limite utilizando o otimizador do Matlab, com o critério de resistência na forma cônica quadrática. Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 100 elementos). φ φ red c (kpa) (º) Fator de Redução c red (kpa) ( o ) Fator de Colapso Tempo (s) Σ Total Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 200 elementos). φ φ red c (kpa) (º) Fator de Redução c red (kpa) ( o ) Fator de Colapso Tempo (s) Σ Total

109 109 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 300 elementos). φ φ red c (kpa) (º) Fator de Redução c red (kpa) ( o ) Fator de Colapso Tempo (s) Σ Total Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 500 elementos). φ φ red c (kpa) (º) Fator de Redução c red (kpa) ( o ) Fator de Colapso Tempo (s) Σ Total A variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência e o correspondente valor do fator de segurança pode ser visualizada nos seguintes gráficos: Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (100 elementos) com FS= 1.73.

110 110 Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (200 elementos) com FS= Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (300 elementos) com FS= Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (300 elementos) com FS= 1.67.

111 111 Como se pode ver os valores do fator de segurança obtidos neste caso variam entre 1.67 a O valor tem tendência a diminuir quando o número de elementos vai incrementando. Resultados obtidos com Análise Limite utilizando o otimizador do Mosek, com o critério de resistência na forma cônica quadrática. Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 100 elementos). φ φ red c (kpa) (º) Fator de Redução c red (kpa) ( o ) Fator de Colapso Tempo (s) Σ Total 1.12 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 200 elementos). φ φ red c (kpa) (º) Fator de Redução c red (kpa) ( o ) Fator de Colapso Tempo (s) Σ Total 1.94 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 300 elementos). φ φ red c (kpa) (º) Fator de Redução c red (kpa) ( o ) Fator de Colapso Tempo (s) Σ Total 3.75

112 112 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 500 elementos). φ φ red c (kpa) (º) Fator de Redução c red (kpa) ( o ) Fator de Colapso Tempo (s) Σ Total 4.35 A variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência e o correspondente valor do fator de segurança pode ser visualizada nos seguintes gráficos: Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (100 elementos) com FS= Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (200 elementos) com FS= 1.72.

113 113 Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (300 elementos) com FS= Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (500 elementos) com FS= Como se podem ver os valores do fator de segurança obtidos neste caso variam entre 1.66 a O valor tem tendência a diminuir quando o número de elementos vai incrementando. Comparações Nos três casos analisados pode-se ver que o fator de segurança obtido tem uma variação similar, sendo esta variação entre 1.66 e Estes valores mostram que o fator de segurança varia em relação ao número de elementos da malha de elementos finitos considerada para a análise.

114 114 Utilizando a Equação (4.1) o fator de segurança (FS) calculado para o talude infinito é de Verifica-se então que os valores obtidos pelo método da análise limite são próximos ao valor obtido pela solução analítica com uma diferença que varia entre 1.8 a 7.3%. O tempo de cálculo que utiliza cada otimizador para encontrar o fator de segurança (FS) para um dado número de elementos é mostrado na Figura 4.16, na qual se pode apreciar que quando se utiliza o otimizador do Matlab (fmincon) com o critério de resistência na forma convencional e na forma cônica quadrática, este tempo cresce exponencialmente em relação ao incremento do número de elementos. Porém, quando se utiliza o otimizador do programa Mosek o tempo utilizado para determinar o fator de segurança é muito menor variando este entre 1.12 a 4.35 segundos. Nesse caso, o tempo de processamento é proporcional ao número de elementos da malha. Pode-se dizer então que o otimizador do programa Mosek torna-se relativamente cada vez mais eficiente à proporção que se aumenta o número de elementos da malha. Numero Numero de de Elementos Elementos Figura Variação do tempo de cálculo do fator de segurança com o número de elementos empregado pelos otimizadores. O mecanismo de ruptura obtido pelo campo das velocidades de deformação via solução do problema dual é mostrado na Figura 4.17, o qual é concordante com as condições do problema.

115 115 Figura Mecanismo de ruptura obtido com os vetores das velocidades de deformação Validação 2: Talude Homogêneo. Este exemplo é inspirado num exemplo apresentado por Griffiths (1999), no seu artigo Slope Stability by Finite Elements, no qual considerou um talude com a geometria que se apresenta na Figura 4.18 considerando um solo que possui coesão e atrito, no qual as propriedades geotécnicas consideradas foram as seguintes: ângulo de atrito (φ) de 20 o, Coesão (c) de 0.05 Hγ sendo γ o peso específico do solo e H a altura do talude que é mostrada na Figura Figura Talude homogêneo com um ângulo de inclinação de o, Ф=20 o, c = 0.05 H γ

116 116 O fator de segurança obtido com a análise elastoplástica realizada por Griffiths (1999), é de 1.40 utilizando 1000 iterações para o cálculo deste resultado e o mecanismo de ruptura obtido na sua análise é mostrado na Figura Figura Mecanismo de ruptura do exemplo de Griffiths (1999). Com a finalidade de validar a ferramenta implementada para o caso do talude homogêneo, é realizada a análise de estabilidade do talude, utilizando a metodologia da análise limite e utilizando a técnica da redução da resistência para determinar o fator de segurança (FS). A discretização é feita utilizando elementos quadrilaterais de quatro nós Q4, utilizando como gerador de malha o programa GID (Figura 4.20). Figura Malha de elementos finitos do talude com 200 elementos. Na geometria do talude com altura (H) do talude de 10 metros, os parâmetros do solo utilizados para a análise de estabilidade de talude foram: peso específico (γ) de 18 kn/m 3, ângulo de atrito (φ) de 20 o, Coesão (c) de 9 kn/m 2. As condições de contorno são as mesmas consideradas na Figura O critério de resistência utilizado na análise é de Mohr-Coulomb.

117 117 Inicialmente se faz um teste do fator de colapso de maneira de poder fazer uma comparação dos tempos e das iterações utilizando o algoritmo junto com o otimizador do Matlab (fmincon) com o critério de resistência na forma convencional e na forma cônico quadrática e o algoritmo junto com o otimizador do programa Mosek com o critério de resistência na forma cônica quadrática acoplada no algoritmo desenvolvido, obtendo os resultados mostrados na Tabela 4.16, para um fator de redução da resistência igual a um (FR = 1): Tabela Cálculo do fator de colapso utilizando os otimizadores do Matlab e do Mosek. Otimização c (Kpa) φ (º) Forma Convencional (Matlab) Forma Cônica Quadrática (Matlab) Forma Cônica Quadrática (Mosek) Fator de Colapso Nro. De Iterações Tempo (s) Em todos os casos o fator de colapso é bastante próximo, mas o tempo e o número de iterações que precisa o algoritmo utilizando o otimizador do Mosek na forma cônica quadrática são muito menores do que nos outros casos. O programa Mosek é utilizado para fazer a análise limite. A técnica da redução dos parâmetros de resistência do solo é utilizada para o cálculo do fator de segurança. A Tabela 4.17 mostra os valores dos fatores de colapso (λ) obtidos para diferentes valores de fatores de redução dos parâmetros de resistência (FR) e a Figura 4.21 mostra a variação do fator de colapso (λ) com os fatores de redução da resistência (FR): φ Tabela Resultados da Análise Limite. φ red c (kpa) (º) Fator de Redução c red (kpa) ( o ) Fator de Colapso Tempo (s) Σ Total 3.24

118 118 Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência. Com o FS= De acordo com o gráfico o fator de segurança (FS) é de 1.41, que é muito próximo ao valor determinado por Griffiths (1999) com uma diferença de 0.71%. O tempo utilizado na análise para obtenção do fator de colapso é de 3.24 segundos O mecanismo de ruptura obtido pelo campo de velocidades de deformação é mostrado na Figura 4.22, o qual é parecido àquele obtido pelo método de elementos finitos (MEF) feito por Griffiths (1999). Figura Mecanismo de ruptura obtido com os vetores de velocidade de deformação.

119 Validação 3: Talude Homogêneo - Caso Tridimensional (3D) Com a finalidade de validar o programa para a análise em 3D, é analisado o problema de estabilidade do talude em estado plano de deformações, para o qual é obtido o fator de segurança mediante a análise 3D e 2D. Os dois fatores de segurança (FS) devem ser similares ou próximos. A Figura 4.23 mostra a geometria do talude onde a inclinação do talude é de 30 o, a discretização é feita com o gerador de malha GID , utilizando elementos hexaédricos de 8 nós (BRICK8), utilizando 600 elementos na malha de elementos finitos. A Figura 4.24 mostra a discretização feita para o mesmo talude para o caso 2D, no qual se utilizaram 100 elementos quadrilaterais de quatro nós Q4 20 m 15 m 13 m 6 m 3 m Figura Malha de elementos finitos 3D com 600 elementos. Figura Malha de elementos finitos 2D com 100 elementos.

120 120 Os parâmetros do solo considerados na análise foram: peso específico (γ) de 17 kn/m 3, ângulo de atrito (φ) de 5 o, coesão (c) de 30 kn/m 2. O critério de resistência utilizado é de Drucker-Prager para os casos 3D e 2D. Quando se analisa o caso 3D, deve-se levar em conta que para que este cumpra com a condição de estado plano de deformação, os nós na fronteira paralelos ao plano yz sejam restringidos na direção do eixo x. Nos outros nós do correspondente aos contornos as velocidades são restringidas nos três eixos. O programa Mosek com o critério de resistência na forma cônica quadrática é utilizado na rotina para fazer a análise e a técnica da redução dos parâmetros de resistência do solo é utilizada para a obtenção do fator de segurança. A Tabela 4.18 mostra os valores dos fatores de colapso (λ) obtidos para diferentes valores de fatores de redução dos parâmetros de resistência (FR): c (kpa) φ (º) Tabela Resultados da Análise Limite 3D. c red (kpa) φ red ( o ) Fator de Redução Fator de Colapso Tempo (s) Σ Total 7.39 A figura 4.25 mostra a variação do fator de colapso (λ) com os fatores de redução da resistência (FR). O valor do fator de segurança obtido via análise limite é de 1.27 e o tempo que a ferramenta utilizou para a obtenção do fator de segurança é de 7.39 segundos.

121 121 Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência. Com o FS= A seguir, este mesmo problema é analisado em 2D, para o qual é considerada a discretização que se mostra na Figura Nessa análise, consideram-se as mesmas propriedades do solo usadas no caso 3D. O critério de escoamento considerado também é o mesmo, ou seja, o critério de Drucker- Prager. Utiliza-se o otimizador do programa Mosek para realizar a análise, considerando o critério de resistência na forma cônica quadrática. A Tabela 4.19 mostra os valores dos fatores de colapso (λ) obtidos para diferentes valores de fatores de redução dos parâmetros de resistência (FR): c (kpa) φ (º) Tabela Resultados da Análise Limite 2D. c red (kpa) φ red ( o ) Fator de Redução Fator de Colapso Tempo (s) Σ Total 2.16 A Figura 4.26 mostra a variação do fator de colapso (λ) com os fatores de redução da resistência (FR). O valor do fator de segurança obtido via análise limite é de 1.23 e o tempo que a ferramenta utilizou para a obtenção do fator de segurança é de 2.16 segundos.

122 122 Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência. Com o FS= Os valores dos fatores de segurança obtidos via análise limite, para o caso 3D (FS=1.27) e 2D (FS=1.23) são próximos, com uma diferença de 3.25% Exemplos de Aplicação Aplicação 1: Talude Homogêneo com Fundação Como exemplo de ilustração, dois casos de taludes homogêneos com fundação são apresentados. O primeiro caso corresponde a um solo de material granular e o segundo caso corresponde a um solo de material argiloso. O mecanismo de ruptura e o fator de segurança destas análises são comparados com aqueles obtidos pelo programa de elementos finitos Plaxis 2D (Brinkgreve et. al., 2010) que utiliza análise elastoplástica para a formulação do problema. Estes exemplos também servem para fazer a comparação da eficiência da ferramenta desenvolvida em termos do tempo de análise. Deve se ter em conta neste exemplo que os parâmetros utilizados são valores para testar o algoritmo e não valores de ensaios de laboratório Talude Homogêneo de Solo com Atrito Alto e Coesão Baixa A Figura 4.27 apresenta a geometria do problema de talude para solo com atrito alto e coesão baixa e as condições de contorno consideradas na análise. As

123 123 propriedades do material considerado na análise são: peso específico (γ) de 18 kn/m 3, ângulo de atrito (φ) de 30 o e coesão (c) de 5 kn/m 2. O critério de ruptura utilizado é o de Mohr-Coulomb e o problema é analisado pelo método da análise limite. Figura Geometria do talude de solo granular e as condições de contorno. O meio contínuo para análise do problema é discretizado por uma malha de elementos finitos quadrilaterais de quatro nós Q4 (Figura 4.28), utilizando o programa GID Com a finalidade de comparar a eficiência dos otimizadores do programa Mosek e Matlab, são consideradas 4 malhas de elementos finitos com 80, 220, 525 e 811 elementos respectivamente. (a) (b) (c) (d) Figura Malha de elementos finitos a) 80 elementos, b) 220 elementos, c) 525 elementos, d) 811 elementos.

124 124 São realizados testes de tempo de processamento com os diversos otimizadores para determinar o fator de colapso, utilizando o critério de resistência na forma convencional e na forma cônica quadrática. O primeiro teste é realizado usando um fator da resistência (FR) de 1.5 para o cálculo do fator de colapso para as diversas malhas apresentadas na figura Os resultados deste teste são mostrados nas Tabelas 4.20, 4.21 e Tabela Fatores de colapso obtidos com otimizador do Matlab utilizando programação na forma convencional. φ Nro. c Fator de Fator de Nro. de Tempo Elementos (Kpa) (º) redução Colapso Iterações (s) Tabela Fatores de colapso obtidos com otimizador do Matlab utilizando programação na forma cônico quadrática. φ Nro. c Fator de Fator de Nro. de Tempo Elementos (Kpa) (º) redução Colapso Iterações (s) Tabela Fatores de colapso obtidos com otimizador do Mosek utilizando programação na forma cônico quadrática. φ Nro. c Fator de Fator de Nro. de Tempo Elementos (Kpa) (º) redução Colapso Iterações (s) Dos valores obtidos pode-se ver que o valor do fator de colapso (λ) obtido nas três diferentes formas é bastante parecido para o número de elementos correspondente. Este valor do fator de colapso tem tendência a ser menor quando se incrementa o número de elementos em todos os casos. O tempo requerido pelo otimizador do Matlab quando usa a critério de resistência na forma convencional

125 125 ou na forma cônica quadrática é bem maior do que aquele utilizado pelo otimizador do programa Mosek quando se usa o critério de resistência na forma cônica quadrática. O tempo para encontrar o fator de colapso (λ) utilizando o otimizador do Matlab varia exponencialmente quando se incrementa o número de elementos da malha, enquanto o otimizador do programa Mosek utiliza um tempo muito pequeno, praticamente independente do número de elementos da malha para o cálculo do fator de colapso (λ) como mostra a Figura Similarmente, o número de iterações se mantém praticamente constante e independente do tamanho da malha quando se utiliza o otimizador do Mosek enquanto esse número cresce significativamente com o tamanho da malha quando se utiliza o otimizador do Matlab. Numero de Elementos Figura Variação do tempo de cálculo para diferente número de elementos empregado pelos otimizadores. Como o otimizador do programa Mosek acoplado à ferramenta desenvolvida se torna mais eficiente, então a análise de estabilidade do talude é realizada pelo método de análise limite com o uso deste otimizador. Além disso, utiliza-se a técnica da redução da resistência para o cálculo do fator de segurança (FS). Quatro malhas diferentes são empregadas de maneira a visualizar a tendência dos resultados com a variação do número de elementos. As tabelas 4.23, 4.24, 4.25 e 4.26 apresentam os resultados da análise limite.

126 126 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 80 elementos). φ φ red c (kpa) (º) Fator de Redução c red (kpa) ( o ) Fator de Colapso Tempo (s) Σ Total 2.84 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 220 elementos). φ φ red c (kpa) (º) Fator de Redução c red (kpa) ( o ) Fator de Colapso Tempo (s) Σ Total 2.80 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 525 elementos). φ φ red c (kpa) (º) Fator de Redução c red (kpa) ( o ) Fator de Colapso Tempo (s) Σ Total 3.07 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 811 elementos). φ φ red c (kpa) (º) Fator de Redução c red (kpa) ( o ) Fator de Colapso Tempo (s) Σ Total 3.96

127 127 As Figuras 4.30, 4.31, 4.32 e 4.33 apresentam a variação do fator de colapso (λ) com fator de redução da resistência (FR) e o fator de segurança obtido. Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (80 elementos). Com o FS=1.77. Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (220 elementos). Com o FS=1.74.

128 128 Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (525 elementos). Com o FS=1.71. Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (811 elementos). Com o FS=1.70. Pode-se ver que o fator de segurança varia entre 1.70 e 1.77, este valor tem tendência a diminuir quando a malha é mais refinada, além disso, os tempos requeridos pelo método da análise limite variam entre 2.84 e 3.96 segundos. O mecanismo de ruptura é obtido através do campo de velocidades de deformação como mostrado na Figura 4.34.

129 129 Figura Mecanismo de ruptura obtido com o campo de velocidade de deformação. A seguir, este problema é analisado com o programa comercial de elementos finitos Plaxis 2D (Brinkgreve et. al., 2010). A malha de elementos finitos e as condições de contorno utilizadas nessa análise são apresentadas na Figura Os elementos utilizados pelo programa são do tipo triangular de 15 nós (T15). Para esta análise são considerados os mesmos parâmetros dos materiais adotados anteriormente. Figura Malha de elementos finitos e condições de contorno no programa Plaxis (808 elementos). Para obter o fator de segurança com este programa é realizada uma análise elastoplástica. Escolhe-se inicialmente um o mais pontos da malha na região onde se supõe que ocorra o colapso. Traça-se então uma curva que relaciona o deslocamento nodal deste ponto da malha versus o fator de redução da resistência cuja notação no programa é com as siglas ΣMsf. O valor do fator de segurança é definido no ponto no qual o deslocamento nodal toma um valor assintótico, o valor de redução da resistência no programa Plaxis (ΣMsf) nesse ponto representa o valor do fator de segurança da estrutura do talude.

130 130 A curva do deslocamento nodal e os fatores de redução do programa, ΣMsf, são apresentados na Figura Figura Curva do fator de redução do programa (ΣMsf) versus deslocamentos nodais. FS=1.65. O fator de segurança (FS) obtido com o programa Plaxis é 1.65, utilizando um tempo de 22 segundos para a análise elastoplástica. Este resultado difere dos resultados obtidos pelo método da análise limite entre 3.0 a 7.3%. A diferença vai diminuindo quando se aumenta o número de elementos da malha na Análise Limite. O tempo de processamento requerido pela análise limite é menor do que o necessário para a análise elastoplástica com o programa Plaxis 2D (Brinkgreve et. al., 2010). O mecanismo de ruptura obtido pelo campo de deslocamentos é apresentado na Figura 4.37 Figura Mecanismo de ruptura obtido pelo campo de deslocamentos obtido na análise elastoplástica.

131 131 O mecanismo de ruptura obtido via análise elastoplástica com o programa Plaxis 2D (Brinkgreve et. al., 2010) e aquele obtido via análise limite são qualitativamente similares e correspondem ao mecanismo de ruptura típico em materiais com baixa coesão onde a superfície de ruptura se caracteriza por ser superficial Talude Homogêneo de Solo com Coesão Alta e Atrito Baixo Na Figura 4.38 apresenta-se a geometria do problema de talude para solo com coesão alta e atrito baixo e as condições de contorno consideradas para análise. As propriedades do material considerado na análise são: peso específico (γ) de 17 kn/m 3, ângulo de atrito (φ) de 4 o, coesão (c) de 25 kn/m 2. O critério de ruptura utilizado é o de Mohr-Coulomb. O problema é analisado pelo método da análise limite. Figura Geometria do talude de solo argiloso e as condições de contorno. O meio contínuo para análise do problema é discretizado com uma malha de elementos finitos quadrilaterais de quatro nós Q4 (Figura 4.39) utilizando o programa GID Com a finalidade de comparar a eficiência dos otimizadores do programa Mosek e Matlab, quatro diferentes 4 malhas de elementos finitos são consideradas com 100, 220, 525 e 820 elementos, respectivamente.

132 132 (a) (b) (c) (d) Figura Malha de elementos finitos a) 100 elementos, b) 220 elementos, c) 525 elementos, d) 820 elementos. É realizado um teste do tempo de processamento que utiliza os diversos otimizadores apresentados previamente para determinar o fator de colapso (λ). O critério de resistência é utilizado tanto na forma convencional quanto na forma cônica quadrática. Este teste é realizado usando um fator de redução (FR) da resistência de 1.0 para todos os casos, nas Tabelas 4.27, 428 e 4.29, são mostrados os resultados do teste realizado. Tabela Fatores de colapso obtidos com otimizador do Matlab utilizando programação na forma convencional. φ Nro. Elementos c (Kpa) (º) Fator de redução Fator de Colapso Nro. de Iterações Tempo (s) Tabela Fatores de colapso obtidos com otimizador do Matlab utilizando programação na forma cônico quadrática. φ Nro. Elementos c (Kpa) (º) Fator de redução Fator de Colapso Nro. de Iterações Tempo (s)

133 133 Tabela Fatores de colapso obtidos com otimizador do Mosek utilizando programação na forma cônico quadrática. φ Nro. Elementos c (Kpa) (º) Fator de redução Fator de Colapso Nro. de Iterações Tempo (s) Dos valores obtidos pode-se ver que o valor do fator de colapso obtido para as três diferentes formas são bastante parecidos para o número de elementos correspondente. Este valor do fator de colapso tem tendência a ser menor quando se incrementa o número de elementos em todos os casos. O tempo gasto pelo otimizador do Matlab (fmincon) quando usa a critério de resistência na forma convencional ou na forma cônica quadrática é bastante maior do que aquele utilizado pelo otimizador do programa Mosek quando se usa o critério de resistência na forma cônica quadrática. O tempo para encontrar o fator de colapso utilizando o otimizador do Matlab varia exponencialmente quando se incrementa o número de elementos. O otimizador do programa Mosek utiliza um tempo muito pequeno para o cálculo do fator de colapso como mostra a Figura 4.40, variando pouco com o tamanho da malha. Similarmente, o número de iterações tem o mesmo comportamento que o tempo de processamento. Numero de Elementos Figura Variação do tempo de calculo para diferente número de elementos empregado pelos otimizadores.

134 134 Como o otimizador do programa Mosek acoplado à ferramenta desenvolvida torna o processo mais eficiente, a análise de estabilidade do talude é realizada pelo método de análise limite com o uso deste otimizador. Além disso, utiliza-se a técnica da redução da resistência para o cálculo do fator de segurança (FS). Quatro diferentes malhas são utilizadas de maneira a visualizar a tendência dos resultados com a variação do número de elementos. As Tabelas 4.30, 4.31, 4.32 e 4.33 apresentam os resultados da análise limite. Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 100 elementos). φ φ red c (kpa) (º) Fator de Redução c red (kpa) ( o ) Fator de Colapso Tempo (s) Σ Total 2.82 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 220 elementos). φ φ red c (kpa) (º) Fator de Redução c red (kpa) ( o ) Fator de Colapso Tempo (s) Σ Total 3.07 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 525 elementos). φ φ red c (kpa) (º) Fator de Redução c red (kpa) ( o ) Fator de Colapso Tempo (s) Σ Total 3.28

135 135 Tabela Resultados da Análise Limite (Malha com 820 elementos). φ φ red c (kpa) (º) Fator de Redução c red (kpa) ( o ) Fator de Colapso Tempo (s) Σ Total 3.61 As Figuras 4.41, 4.42, 4.43 e 4.44 apresentam a variação do fator de colapso (λ) com fator de redução da resistência (FR) e o fator de segurança obtido. Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (100 elementos). Com o FS= Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (220 elementos). Com o FS= 1.46.

136 136 Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (525 elementos). Com o FS= Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (820 elementos). Com o FS= Pode-se ver que o fator de segurança (FS) varia entre 1.44 e Este valor tem tendência a diminuir quando a malha é mais refinada. Além disso, os tempos requeridos pelo método da análise limite variam entre 2.82 e 3.61 segundos. O mecanismo de ruptura é obtido através do campo de velocidades de deformação. Este campo é mostrado na Figura 4.45.

137 137 Figura Mecanismo de ruptura obtido com o campo de velocidade de deformação. A seguir, este problema é analisado com o programa comercial de elementos finitios Plaxis 2D (Brinkgreve et. al., 2010)., cuja malha de elementos finitos e as condições de contorno são apresentadas na Figura Os elementos utilizados pelo programa são do tipo triangular de 15 nós (T15). Para esta análise são considerados os mesmos parâmetros dos materiais anteriormente definidos. Figura Malha de elementos finitos e condições de contorno no programa Plaxis (544 elementos). A análise elastoplástica desenvolvida pelo programa Plaxis 2D (Brinkgreve et. al., 2010), permite obter a curva do deslocamento nodal e o fator de redução do programa (ΣMsf), com o qual se pode obter o fator de segurança. Esta curva é apresentada na Figura 4.47.

138 138 Figura Curva do fator de redução do programa (ΣMsf) versus deslocamentos nodais. FS=1.42. O fator de segurança (FS) obtido com o programa Plaxis é 1.42, utilizando um tempo de processamento de 16 segundos para a análise elastoplástica. Este resultado difere dos resultados obtidos pelo método da Análise Limite entre 1.4 a 4.2%. A diferença vai diminuindo à proporção que o número de elementos da malha de análise limite aumenta. O tempo de processamento requerido pela análise limite é menor do que o necessário para a análise elastoplástica. O mecanismo de ruptura obtido pelo campo de deslocamentos é apresentado na Figura 4.48 Figura Mecanismo de ruptura obtido pelo campo de deslocamentos obtido na análise elastoplástica. O mecanismo de ruptura obtido via análise elastoplástica com o programa Plaxis e aquele obtido via Analise Limite são qualitativamente similares e correspondem ao mecanismo de ruptura típico em solos com coesão alta e atrito baixo onde a superfície de ruptura se caracteriza por ser profunda.

139 Aplicação 2: Talude de Material Heterogêneo Os casos mais comuns que se apresentam na realidade são taludes com materiais heterogêneos. O seguinte exemplo envolve um talude com duas camadas de solo de materiais diferentes, nomeadamente, granular (areia e pedregulho argiloso), no qual a camada superior é menos resistente do que o material da camada inferior. A Figura 4.49 mostra a geometria do talude e as condições de contorno consideradas para o problema. Figura Geometria e condições do contorno do talude com material heterogêneo. A malha de elementos finitos utilizada para o problema é obtida com o gerador de malha do programa Mtool 5.1 do Tecgraf/Puc-Rio, utilizando 864 elementos do tipo quadrilateral de quatro nós (Q4) e 924 nós. A Figura 4.50 mostra a discretização do meio contínuo realizada. Figura Malha de elementos finitos do problema de talude heterogêneo (864 elementos).

140 140 O critério de resistência utilizado nesta análise é o de Mohr Coulomb e as propriedades dos materiais utilizados para a análise são apresentadas na Tabela Tabela Propriedades dos solos. Camada Tipo de Solo Coesão Ângulo de Peso Específico (kn/m 2 ) atrito ( o ) (kn/m 3 ) Superior Areia Inferior Pedregulho Argiloso Como visto nos exemplos de validação e no exemplo precedente, o otimizador do programa Mosek apresenta a melhor eficiência computacional em termos de tempo de processamento. Com base nessa constatação, este exemplo é realizado utilizando o método de análise limite com o critério de resistência na forma cônica quadrática empregando o otimizador do programa Mosek, e o fator de segurança (FS) é obtido utilizando a técnica da redução da resistência. Os resultados da análise limite são mostrados na Tabela Tabela Resultados da Análise Limite. Parâmetros dos Solos Areia Pedregulho Argiloso c 1 φ 1 c 2 φ Fator de redução c 1red φ 1red c 2red φ 2red Fator de Colapso Tempo (s) Σ Total 3.63 A Figura 4.51 apresenta a variação do fator de colapso (λ) em função do fator de redução (FR). O fator do valor de segurança (FS) obtido é de 1.43, e o tempo empregado pela ferramenta desenvolvida é de 3.63 segundos.

141 141 Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (864 elementos). Com o FS= A Figura 4.52 apresenta o mecanismo de ruptura no talude através do campo de velocidades de deformação. Pode-se ver que o colapso do talude ocorre na zona da camada superior onde às propriedades do solo são menores. Figura Mecanismo de ruptura do talude com as velocidades de deformação. A seguir o problema é analisado através da análise elastoplástica do programa Plaxis. A discretização do meio contínuo é feita utilizando 820 elementos de o tipo triangular de 15 nós (T15). A figura 4.53 mostra a discretização e as condições de contorno impostas no programa Plaxis (Brinkgreve et. al., 2010).

142 142 Figura Malha de elementos finitos e condições de contorno no programa Plaxis. A análise elastoplástica desenvolvida pelo programa Plaxis 2D (Brinkgreve et. al., 2010), permite obter a curva do deslocamento nodal e fator de redução do programa (ΣMsf), com o qual pode-se obter o fator de segurança, esta curva é apresentada na Figura Figura Curva do fator de redução do programa (ΣMsf) versus deslocamentos nodais. FS=1.38. O fator de segurança (FS) obtido com o programa Plaxis é 1.38, utilizando um tempo de 56 segundos para a análise elastoplástica. Este resultado difere dos resultados obtidos pelo método da análise limite em 3.6% e o tempo de processamento requerido pela análise limite é menor do que o necessário para a análise feita pelo programa Plaxis 2D (Brinkgreve et. al., 2010). O mecanismo de ruptura obtido pelo campo de deslocamentos é apresentado na Figura 4.55.

143 143 Figura Mecanismo de ruptura obtido pelo campo de deslocamentos obtido da análise elastoplástica. O mecanismo de ruptura obtido via análise elastoplástica com o programa Plaxis 2D (Brinkgreve et. al., 2010) e aquele obtido via análise limite, são qualitativamente similares. Em ambos os casos pode-se apreciar que o movimento ocorre através do solo de menor resistência ou seja na camada superior Aplicação 3: Talude Infinito com Percolação Nos solos do estado do Rio de Janeiro é comum encontrar problemas nas encostas devido à presença de percolação ou infiltração de água no solo. Antes da ocorrência da infiltração da água, o solo se encontra em estado parcialmente saturado no qual existe um potencial matricial ou sucção mátrica que decorre das forças de capilaridade e de adsorção originadas da interação entre a matriz do solo e a água. Em solos não saturados, em resposta aos fenômenos capilares devido à tensão superficial da água, ocorre a formação de meniscos, nos quais a água se encontra em uma pressão inferior do que a pressão do ar (Reichardt e Timm, 2004). Nesse caso é criada então uma coesão aparente no solo. Com base no conceito de variáveis de tensão, Fredlund et. al. (1978) propuseram uma expressão para a resistência ao cisalhamento (τ ) para solos não saturados apresentada na Equação (4.2). τ σ φ b = c' + ( n ua) tan ' + ( ua uw) tan (4.2) φ

144 144 onde: c ', φ ' : Parâmetros efetivos de resistência do solo saturado. ( σ ua ) : Tensão normal líquida. n ( u uw) : Sucção mátrica. a b φ : Parâmetro que quantifica um aumento na resistência devido a um incremento na sucção mátrica. Define-se então uma variável conhecida como coesão aparente. Essa variável é definida pela Equação (4.3). c ap b = c' + ( ua uw) tanφ (4.3) onde c ap é a coesão aparente do solo não saturado. Fisicamente a coesão aparente pode ser visualizada como uma resistência à tração do solo não saturado. É de se esperar que a coesão aparente cresça com o aumento da sucção até um determinado limite a partir do qual a mesma fique constante (De Campos, 1997). O parâmetro da coesão efetiva ( c ') é resultado da linearização de resultados em ensaios envolvendo solos que na realidade apresentam envoltórias não lineares. Abstraindo deste fato, a coesão efetiva esta relacionada à existência de uma resistência à tração do solo saturado que pode ser propiciada pela ocorrência de cimentação em solos sedimentares ou residuais (De Campos, 1997). Com este breve preâmbulo da teoria da resistência em solos parcialmente saturados, agora o exemplo de aplicação consiste em analisar um talude infinito de solo residual não saturado cuja geometria é mostrada na Figura 4.56 cuja inclinação (β) é de 30º e a profundidade do solo é de 1m, as propriedades do solo residual são: Coesão efetiva (c )de 4 kn/m 2, ângulo de atrito (φ )de 34 o, peso específico do solo em estado natural inicial (γ n ) de 18 kn/m 3, parâmetro φ b de 15 o, peso específico do solo em estado saturado (γ sat) de 20 kn/m 3, porosidade de 0.5, grau de saturação inicial (S t ) de 60%.

145 145 Rocha Fraturada Figura Geometria do talude do solo. Para obter a sucção mátrica inicial do solo deve-se utilizar a relação entre a sucção e a saturação do solo, esta relação esta dada pela curva característica do solo ou curva de retenção. Na Figura 4.57 se mostra a curva característica do solo. Com os dados fornecidos sabe-se que o teor de umidade volumétrica inicial é 0.30 e a carga de sucção mátrica inicial u u ) é de 2m. ( a w Figura Curva característica do solo residual. Para isso, calculam-se os fatores de segurança para distintos valores da frente de avanço da água. Na Figura 4.58 se pode ver o caso geral quando ocorre uma frente de avanço da infiltração no solo.

146 146 Figura Frente de avanço no perfil do solo Neste caso é possível demonstrar que o fator de segurança (FS) é dado pela Equação (4.4): b 2 c' + ( ua uw) tanφ + ( γ sat x γ n ( z x)) cos β tanφ' FS = (4.4) ( γ x + γ ( z x)) cosβ senβ sat n Onde: c ', φ ' : Parâmetros efetivos de resistência do solo saturado. ( u uw ) a : Sucção mátrica do solo. b φ : Parâmetro que quantifica um aumento na resistência devido a um aumento na sucção mátrica. γ sat : Peso específico saturado do solo. γ n : Peso específico inicial do solo. x : Frente de avance vertical da água devido à infiltração. Deve-se ter em conta que quando a frente de umedecimento atinge a profundidade total do solo, deve-se considerar segundo a equação 4.3 que a sucção mátrica é zero, devido a que o perfil do solo se encontra saturado. A expressão 4.3 é utilizada para determinar, o fator de segurança no início, e quando a frente de umedecimento está a uma profundidade vertical de 0.30, 0.50, 0.80 e 1.00 m. Os resultados são mostrados na Tabela 4.36.

147 147 Tabela Variação do Fator de Segurança com a profundidade de Infiltração. Etapa da Infiltração Profundidade vertical x (m) Fator de Segurança (FS) Sem Infiltração Avanço da Infiltração no solo Infiltração na superfície rochosa O fator de segurança (FS) para estabilidade de talude deste solo é obtido utilizando a análise limite. A análise é feita com uma malha de elementos finitos com 500 elementos do tipo quadrilateral de quatro nós Q4, obtido com o gerador de malha do programa Mtool 5.1 (Tecgraf/Puc-Rio). Nas Figuras 4.59 e 4.63 apresentam-se as malhas utilizadas na análise para as profundidades do frente de umedecimento, respectivamente. Em todos os casos as condições de contorno de velocidade nula são impostas nos nós localizados nas zonas laterais e na zona da base da estrutura do talude. Figura Malha de elementos Finitos (500 elementos) para uma profundidade de infiltração h=0.00 m.

148 148 Figura Malha de elementos Finitos (500 elementos) para uma profundidade de infiltração h=0.30 m. Figura Malha de elementos Finitos (500 elementos) para uma profundidade de infiltração h=0.50 m.

149 149 Figura Malha de elementos Finitos (500 elementos) para uma profundidade de infiltração h=0.80 m. Figura Malha de elementos Finitos (500 elementos) para uma profundidade de infiltração h=1.00 m. Utiliza-se o método de análise limite com o critério na forma cônica quadrática empregando o otimizador do programa Mosek para a análise e o fator de segurança (FS) é obtido utilizando a técnica da redução da resistência.

150 150 Se utilizaram os parâmetros de resistência de coesão efetiva ( c ') de 4 kn/m 2, ângulo de atrito ( φ ' ) de 34 o, sucção mátrica inicial u u ) de ( a w kn/m 2 (correspondente à 2m de carga de pressão negativa inicial) e parâmetro b φ =15 o. Nas tabelas 4.37 e 4.38 estão apresentados os resultados da análise limite para diversos valores da profundidade de infiltração (h). Tabela Resultados da Análise Limite para uma profundidade de infiltração de 0.00 m. Parâmetros do solo b c ' φ ' ( u (kn/m 2 ) ( o a u w ) tanφ ) (kn/m 2 ) Fator de Fator de Tempo redução Colapso (s) Σ Total 1.83 Tabela Resultados da Análise Limite para uma profundidade de infiltração de 0.30m. Parâmetros do solo b c ' φ ' ( u (kn/m 2 ) ( o a u w ) tanφ ) (kn/m 2 ) Fator de Fator de Tempo redução Colapso (s) Σ Total 1.57

151 151 Tabela Resultados da Análise Limite para uma profundidade de infiltração de 0.50 m. Parâmetros do solo b c ' φ ' ( u (kn/m 2 ) ( o a u w ) tanφ ) (kn/m 2 ) Fator de Fator de Tempo redução Colapso (s) Σ Total 1.81 Tabela Resultados da Análise Limite para uma profundidade de infiltração de 0.80 m. Parâmetros do solo b c ' φ ' ( u (kn/m 2 ) ( o a u w )tanφ ) (kn/m 2 ) Fator de Fator de Tempo redução Colapso (s) Σ Total 1.75

152 152 Tabela Resultados da Análise Limite para uma profundidade de infiltração de 1.00 m. Parâmetros do solo c ' φ ' (kn/m 2 ) ( o ) Fator de Fator de Tempo redução Colapso (s) Σ Total 1.81 As Figuras 4.64, 4.65, 4.66, 4.67 e 4.68 apresentam a variação do fator de colapso (λ) com fator de redução da resistência (FR) e o fator de segurança obtido. Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (prof. infiltração = 0.00 m). Com o FS= 2.43.

153 153 Figura Variação do fator de colapso com o fator de redução da resistência (prof. infiltração = 0.30 m). Com o FS= Figura Variação do Fator de colapso com o fator de redução da resistência (prof. infiltração = 0.50 m). Com o FS= 2.37.

154 154 Figura Variação do Fator de colapso com o fator de redução da resistência (prof. infiltração = 0.80 m). Com o FS= Figura Variação do Fator de colapso com o fator de redução da resistência (prof. infiltração = 1.00 m). Com o FS= 1.69.

155 155 Comparando os resultados obtidos pelo método da análise limite e pela solução analítica (Equação 4.4), pode-se ver que os resultados são próximos. O tempo de análise necessário para obter os resultados da análise limite numérica varia entre 1.57 a 1.83 segundos. Na figura 4.69, pode-se ver que quando a profundidade de infiltração varia o fator de segurança também varia proporcionalmente para os pontos avaliados. Pode-se ver uma correspondência na variação do fator de segurança em ambos os métodos. Pode-se dizer que devido à proximidade dos resultados do fator de segurança o plano potencial de ruptura se encontra na zona da interface entre o solo e a rocha impermeável. Figura Variação do fator de Segurança (FS) com a profundidade de infiltração. Para o caso de tempos maiores do que o correspondente à profundidade de infiltração de h = 1.00 m, ocorre no talude um regime permanente (Figura 4.70) no qual as tensões são afetadas pela poropressão presente no solo. Este caso de regime permanente cria no talude um gradiente hidráulico dada pelo seno do ângulo de inclinação do talude. A resistência ao cisalhamento (τ ) no plano da interface solo-rocha é dada pela seguinte equação: τ = c' + ( σ U ) tanφ' (4.5) c ', φ ' : Parâmetros efetivos de resistência do solo saturado. n ( σ n U) : Tensão efetiva atuante no plano de ruptura.

156 156 Figura Regime permanente com fluxo paralelo ao plano de inclinação do talude. É possível demonstrar que o fator de segurança neste caso esta dado pela seguinte equação: 2 c' + ( γ sat γ w) z cos β tanφ ' FS = (4.6) γ z cosβ senβ sat c ', φ ' : Parâmetros efetivos de resistência do solo saturado. γ sat, γ w :Peso específico saturado e peso específico da água respectivamente. Substituindo os valores dos parâmetros efetivos e dos pesos específicos do solo na equação 4.6, o fator de segurança obtido é de Para se obter o fator de segurança via análise limite é incorporado as forças de corpo que representam as forças de percolação cujas componentes por unidade de volume horizontal ( j x ) e vertical ( j ) da força de percolação estão em função y do ângulo de inclinação ( β ) e peso especifico da água ( γ w ), e estão dadas pelas seguintes equações: j j x y = senβ cosβ γ (4.7) w w 2 = sen β γ (4.8) Segundo estas equações a componente horizontal da força de percolação por unidade de volume ( j x ) é 4.24 kn/m 3 e a vertical ( j y ) é 2.45 kn/m 3. Na tabela

157 são apresentados os resultados do fator de colapso (λ) calculado via análise limite usando o critério de resistência na forma cônica quadrática. Tabela Resultados da Análise Limite no caso do fluxo em regime permanente. Parâmetros dos Solos c ' (kn/m 2 ) φ ' ( o ) Fator de Fator de redução Colapso (λ) Tempo (s) Σ Tempo Total 1.77 A Figura 4.71 apresenta a variação do fator de colapso (λ) com fator de redução da resistência (FR) e o fator de segurança obtido. Figura Variação do Fator de colapso com o fator de redução da resistência (Regime Permanente). Com o FS= O fator de segurança (FS) via análise limite é de 1.16, que é próximo ao obtido pela Equação (4.5) para o caso de regime permanente. O tempo necessário para o processo de otimização foi de 1.77 segundos.

158 Aplicação 4: Talude Natural com Fluxo em Regime Transiente Este exemplo de aplicação corresponde a uma encosta natural localizada na zona montanhosa de Mettman Ridge ao Norte de Coos Bay na Coordilhera da Costa do Estado Norteamericano do Oregon que é mostrada na Figura Este caso foi estudado por R. Borja (2011) utilizando um modelo hidromecânico com deformação contínua, onde se tem uma encosta composta de material coluvionar muito raso com uma espessura de 1.0 até 2.0 m derivado do intemperismo da rocha fresca, a inclinação média do talude é de 39.4 o. Para o modelagem foi considerada uma chuva variável com uma taxa de precipitação de 6 mm/h durante 24 h seguida de uma chuva de 40 mm/h durante 1.7 h. O material inicialmente se encontra em estado não saturado com uma sucção inicial de kpa. Figura Caso de estudo da zona Montanhosa de Mettman Ridge (Borja, 2011) Uma análise de fluxo transiente é realizada com a finalidade de obter as poropressões dentro na estrutura do solo após o tempo que interagem com as taxas de infiltração impostas (24 h e 25.7 h). Para esta análise é utilizado um programa comercial de elementos finitos Feflow 6.1 para a simulação de fluxo subsuperficial com o qual se resolve a equação de Richards (1931) que governa o

159 159 fluxo de um fluido em meios porosos parcialmente saturados e que é dado pela Equação (4.9) pelo método de elementos finitos: ψ ψ ψ C( ψ ) = k( ψ ) + k( ψ )( + 1) (4.9) t x x z z Onde: ψ: Carga de pressão do solo. k(ψ) : Condutividade Hidráulica do material. x,z : Sistema de coordenadas horizontal e vertical. C(ψ): Capacidade de retenção específica que é a relação entre o grau de saturação ou teor de umidade do solo com a carga de pressão. As funções k(ψ) e C(ψ), presentes na Equação (4.9) precisam ser conhecidas para a solução da equação de Richards. A curva condutividade hidráulica do material que varia de acordo com a carga de pressão presente no material tem o aspecto representado na Figura Figura Curva k(ψ) da Hidráulica típica de um solo A segunda propriedade importante que se precisa conhecer para a solução da equação de Richards é curva de retenção do solo ou curva característica do solo (Figura 4.74), que é a relação existente entre a saturação e sucção presente no solo.

160 160 Figura Curva característica C(ψ) típica de um solo Entre os modelos matemáticos existentes para representar a curva características C(ψ), o mais usado é o modelo de Van Genuchten (1980), que propõe a seguinte equação para a curva característica do solo: [ ( ) ] n + a m g( ψ ) = gr + ( gs gr) 1 ψ (4.10) Onde: g : Grau de saturação do solo. gr: Grau de saturação residual. gs: Grau de saturação máximo. a: Parâmetro relacionado com a pressão de entrada do ar. n: Parâmetro empírico que define a forma da curva. m = (n-1)/n A condutividade hidráulica o modelo de Van Genuchten (1980) pode então ser obtida pela expressão (4.11) em função de θ (ψ ) que relaciona a variação do grau de saturação do solo: k( ψ ) [ ] 1/ m m 1 (1 θ 2 = k 1 / 2 ) s θ, g( ψ ) gr θ ( ψ ) = (4.11) gs gr

161 161 Onde k s é a condutividade hidráulica no caso do solo saturado, para o material de estudo os parâmetros que foram considerados de acordo com Borja (2006), são os seguintes: - Condutividade hidráulica saturada (k s ) de cm/s - Grau de saturação residual (gr) de 0.32, - Grau de saturação máximo (gs) de 1.00, - Parâmetro (a) de 0.25 cm -1, - Parâmetro (n) de 3, - Porosidade do solo é Na análise são utilizados elementos triangulares para a malha de elementos finitos. Nos nós na superfície do talude são impostas as condições de contorno de taxas de precipitação de 6 mm/h entre 0 ate 24 horas e de 40 mm/h entre 24 horas (1 dia) ate 25.7 horas (1.07 dias). Além disso, coloca-se uma condição de superfície livre ( seepage conditions ) com a condição de que a carga hidráulica máxima seja a própria carga de elevação. A condição inicial para toda a camada do talude foi uma pressão negativa ou sucção de -1,50 kpa aplicada em todos os nós no tempo zero da simulação. Com esta informação foi realizada a análise de fluxo transiente. O tempo de processamento para realizar a simulação foi de 2h 25min, obtendo-se as cargas de pressão ou poropressões na camada do solo coluvionar. Nas figuras 4.75 e 4.76 são mostradas as distribuições destas poropressões em toda a estrutura do solo da encosta e são mostradas as zonas críticas no talude após o analise de fluxo transiente. Pode-se ver que as poropressões máximas nos dois casos estão localizadas entre 15 e 20 metros medidos horizontalmente do ponto mais baixo do perfil do talude, que estão na ordem de 2.36 kpa depois de 24 horas e de 4.18 kpa depois de 25.7 horas.

162 162 (a) (b) Figura (a) Poropressões no talude após 24 h (1 dia) de chuva com taxa de 6mm/h (b) Zona crítica do talude.

163 163 (a) (b) Figura (a) Poropressões no talude após 25.7 h (1.07 dia) de chuva com taxa de 40mm/h (b) Zona crítica do talude.

164 164 Após a análise de fluxo transiente se realiza o análise de estabilidade do talude via análise limite. Neste caso se utiliza o critério de resistência de Mohr Coulomb em termos das tensões efetivas, tendo em conta o efeito das poropressões devido ao processo de infiltração. É necessário realizar um artifício nas condições da formulação do equilíbrio (condição estática) com a finalidade de melhorar o processo de otimização. Com essa finalidade, são modificadas as equações de equilíbrio no espaço das tensões do critério de Mohr-Coulomb na forma cônica quadrática como é mostrado na Equação (3.79), que são utilizadas nos exemplos de aplicação precedentes. Além disso, é incluído um vetor de forças horizontais (f h ) nas equações de equilíbrio de forma a tornar mais estável a solução numérica do problema. A formulação usada é dada por: Minimizar: - λ 1 1 Sujeito a: [ G ][ D ] { } = f + λ f + [ G ][ D] d ρ (4.12) 0 h ρ κ (4.13) Onde: D, d : Matriz e vetor de transformação no espaço cônico quadrático. [G]: Matriz de equilíbrio. f 0 : Vetor das forças de volume devido às forças de gravidade. f h : Vetor de forças estabilizantes horizontais. λ : Fator de amplificação das forças iniciais ρ : Variáveis das tensões na forma cônica quadrática. Como se pode ver é criado um vetor de forças horizontais associada a um fator de colapso (λ) que deve ser minimizado em cada etapa da análise. Em cada etapa, o fator de redução (FR) é aumentado. A solução é encontrada quando o fator de colapso (λ) é igual à zero para um dado valor do fator de redução (FR). Os parâmetros de tensão efetiva utilizados para análise de estabilidade são os seguintes: coesão efetiva (c ) de 4 kn/m 2, ângulo de atrito (φ ) de 40 o, peso específico do solo em estado natural (γ n ) de 16.0 kn/m 3, força de volume

165 165 horizontal (γ h ) de 0.15 kn/m 3, uma sucção inicial (u a -u w ) de kpa, o parâmetro que quantifica um aumento na resistência devido a um aumento na b sucção ( φ ), é definido por Borja (2011) substituindo o parâmetro de Bishop (1959), presentado na equação 4.14, pelo grau de saturação do material: b χ = tanφ (4.14) tanφ' Onde χ é o parâmetro de Bishop. O valor do parâmetro b φ que corresponde à sucção inicial no solo de kpa, é o. O critério de resistência utilizado é o de Mohr-Coulomb. Para discretização do meio continuo foi realizada a geração da malha de elementos finitos utilizando o programa GID , utilizando 808 elementos do tipo quadrangular de 4 nós (Q4). Figura Malha de elementos Finitos com 808 elementos.

166 166 As poroporessões obtidas para cada tempo de análise são acopladas à análise limite. São criados arquivos de saída em formato neutral file (.nf) para exportar os resultados do programa Feflow 6.1. As localizações das poropressões exportadas correspondem aos centroides de cada elemento da malha criada com o programa GID , os resultados obtidos pela análise limite são apresentados nas tabelas 4.43, 4.44 e 4.45: c (kpa) φ (º) Tabela Resultados da Análise Limite para t = 0.0 horas. Fator de Redução c red (kpa) φ red ( o ) Fator de Colapso Carga de Colapso (kn/m 3 ) Tempo (s) Σ Total 2.69 c (kpa) φ (º) Tabela Resultados da Análise Limite para t = 24.0 horas. Fator de Redução c red (kpa) φ red ( o ) Fator de Colapso Carga de Colapso (kn/m 3 ) Tempo (s) Σ Total 1.79 c (kpa) φ (º) Tabela Resultados da Análise Limite para t = 25.7 horas. Fator de Redução c red (kpa) φ red ( o ) Fator de Colapso Carga de Colapso (kn/m 3 ) Tempo (s) Σ Total 1.75

167 167 As Figuras 4.78, 4.79 e 4.80 apresentam a variação do fator de colapso (λ) com fator de redução da resistência (FR) e o fator de segurança (FS) obtido em cada caso, os tempos que se utilizaram para as análises foram de 2.69, 1.79, 1.75 segundos respectivamente. Figura Variação da Carga de colapso com o fator de redução da resistência (t=0.0 horas). Com o FS= Figura Variação da Carga de colapso com o fator de redução da resistência (t=24.0 horas). Com o FS=

168 168 Figura Variação da Carga de colapso com o fator de redução da resistência (t=25.7 horas). Com o FS= Existe uma diminuição do fator de segurança de 1.43 no instante inicial para 1.24 (13.2%) no tempo de horas e para (24.1%) no tempo de 25.7 devido ao efeito da poropressão criado ao longo do tempo durante o processo de infiltração devido à chuva na zona montanhosa de Mettman Ridge. Os resultados obtidos através de equilíbrio limite por Borja (2011) utilizando os métodos de Bishop (1955) e Spencer (1967) são apresentados na tabela 4.46 e são comparados com os resultados deste exemplo. Pode-se ver que os valores dos fatores de segurança (FS) obtidos pelos métodos de equilíbrio limite utilizados por Borja (2011) são muito similares àqueles obtidos pelo método de análise limite, com o algoritmo implementado. Tabela Resultados dos Fatores de Segurança. Tempo Equilíbrio Limite (horas) R. Borja (2012) Bishop Spencer Análise Limite

169 Aplicação 5: Talude Confinado 3D Nesta aplicação mostra a utilidade do método da análise limite para problemas geotécnicos tridimensionais (3D), neste é analisado um problema do talude confinado, este caso é diferente do caso de estado plano de deformações pelas condições de confinamento que se impõe à estrutura. Esta condição não é possível ser representada através de uma analise em estado plano de deformação (2D) sendo necessário utilizar uma análise tridimensional (3D). A geometria da estrutura é a mesma do exemplo de validação 4.1.3, a figura 4.70 mostra a malha de elementos finitos obtida com o gerado de malha do programa GID , a malha esta conformada por 3300 elementos do tipo hexaédrico de 8 nós (BRICK 8). Os parâmetros do solo considerados na análise foram: γ = 17 kn/m 3, ângulo de atrito (φ )=5 o, coesão (c)= 30 kn/m 2. E o critério de resistência utilizado foi de Drucker-Prager. Figura Malha de elementos finitos (3300 elementos). É utilizado o programa Mosek com o critério de resistência na forma cônica quadrática e a técnica da redução dos parâmetros de resistência do solo é utilizada para a obtenção do fator de segurança. Neste exemplo as condições de contorno de velocidade prescrita nula nas três direções são aplicadas nos nós de todas as faces do solo com exceção da face da superfície do talude e da superfície superior

170 170 da estrutura. A tabela 4.42 mostra os valores dos fatores de colapso (λ) obtidos para diferentes valores de fatores de redução dos parâmetros de resistência (FR): c (kpa) φ (º) Tabela Resultados da Análise Limite 3D. c red (kpa) φ red (º) Fator de Redução Fator de Colapso Tempo (s) Σ Total A figura 4.82 mostra a variação do fator de colapso (λ) com os fatores de redução da resistência (FR). O valor do fator de segurança obtido via analise limite foi de 1.60, o tempo que a ferramenta utilizou para a obtenção do fator de segurança é de segundos (1.32 minutos). Figura Variação do Fator de colapso com o fator de redução da resistência. Com o FS= A Figura 4.83 apresenta a distribuição das velocidades de deformação que formam o mecanismo de ruptura no talude em vista tridimensional e em secção.

171 171 Secção (a) (b) Figura 4.83 Distribuição das velocidades de deformação (a) Vista tridimensional, (b) Vista da secção. Pode-se ver que neste caso, o fator de segurança é maior do que no caso da análise de talude 3D considerando o estado plano de deformação. Este fato é devido a que neste exemplo as condições de velocidade nulas impostas no contorno nas faces laterais da estrutura do talude implicam em uma resistência nas paredes laterais o qual simula o efeito do confinamento lateral do talude.