Geração de Dados para Análise em Elementos Finitos Baseado em Geometria

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1 Geração de Dados para Análise em Elementos Finitos Baseado em Geometria Fábio Gonçalves Teixeira José Luís Farinatti Aymone Grupo de Pesquisa Virtual Design, Programa de Pós-Graduação em Design Universidade Federal do Rio Grande do Sul Copyright 2007 Society of Automotive Engineers, Inc ABSTRACT This work presents a methodology for data generation for Finite Element analysis systems based on model geometry. The goal is to link the non geometric data with the geometric model allowing mesh generation to use these data as parameters. This methodology needs a geometric modeler and a mesh generator with specific characteristics. The geometric modeler must be object-oriented in order to apply non geometric data, such as boundary conditions and materials, as properties of geometric models. The mesh generator should use geometric and non geometric data together to generate meshes with complete data set for Finite Elements analysis. Moreover, the mesh generator should be automatic enough to avoid user intervention during data generation. The proposed methodology is implemented in a pre-processor system with especially developed modeling and mesh generation algorithms. Some practical examples are presented to show the potential of proposed methodology. RESUMO Este trabalho apresenta uma metodologia para a geração de dados para sistemas de análise por Elementos Finitos baseado na geometria dos modelos. O objetivo é vincular os dados não geométricos ao modelo geométrico e não à malha, a qual passa a utilizar estes dados como parâmetros de geração. Esta metodologia necessita um modelador geométrico e um gerador de malhas com características específicas. O modelador geométrico deve ser orientado a objetos para permitir que os dados não geométricos, como condições de contorno e materiais, sejam aplicados como propriedades dos modelos geométricos. O gerador de malhas deve utilizar em conjunto os dados geométricos e os não geométricos para gerar as malhas com os dados completos para a análise por Elementos Finitos. Além disso, o gerador de malhas deve ser automático, de forma que pouca ou nenhuma intervenção do usuário seja necessária durante a geração da malha. A metodologia proposta está implementada em um sistema pré-processador com algoritmos de modelagem e geração de malha que foram especialmente desenvolvidos para este fim. Alguns exemplos práticos são apresentados para demonstrar o potencial da metodologia proposta. INTRODUÇÃO Os modernos processos de projeto envolvidos no design industrial incluem a modelagem digital 3D para a concepção, representação e simulação de componentes de produtos. Dentre os diversos tipos, a simulação estrutural assume importância fundamental, pois os aspectos estruturais estão diretamente relacionados com a viabilidade, a segurança e a durabilidade do produto. Simulações estruturais, normalmente, são feitas com códigos computacionais baseados no Método dos Elementos Finitos [1], os quais utilizam modelos virtuais que contêm os dados geométricos da peça, as propriedades físicas dos materiais empregados e as condições de vínculo e cargas aos quais a peça está submetida. O conjunto de dados de um modelo deve refletir com precisão a situação a ser simulada. Assim, a geração de dados constitui a etapa mais crítica e demorada em um processo de simulação estrutural. A principal razão para isto é que a geração de dados necessita da intervenção humana. Este aspecto implica na necessidade de um sistema computacional de modelagem interativa com uma interface amigável e, ao mesmo tempo, poderoso e robusto para atender às necessidades de geração de dados para a análise de Elementos Finitos. Os softwares comerciais possuem alto custo de licença e manutenção e, na grande maioria dos casos, possuem arquitetura fechada, o que dificulta ou inviabiliza o seu uso para a pesquisa científica onde seja necessária a geração ou publicação de dados não disponíveis no pacote de software. Alguns permitem algum tipo de customização, porém não disponibilizam acesso ao seu núcleo para que alterações 1

2 realmente importantes sejam feitas. Assim, uma instituição de pesquisa que trabalha com o desenvolvimento de códigos de análise por elementos finitos deve ter a sua disposição ume sistema de modelagem e geração de dados flexível e aberto, a fim de suportar novas implementações quando necessário. Um modelo de análise de Elementos Finitos contém dados geométricos, a malha propriamente dita com seus nós e elementos, e não geométricos, como as propriedades dos materiais, as restrições nodais e as cargas. Os dados não geométricos são vinculados à malha como propriedades de nós e elementos. A geração automática de malhas facilita bastante o processo de geração de dados geométricos. No entanto, devem haver processos igualmente eficientes para a geração de dados não geométricos, preferencialmente de forma integrada à geração de dados geométricos. É neste contexto que se insere este trabalho. Foi desenvolvido um pré-processador, o T-CADE [2], para a geração de modelos de elementos finitos, o qual realiza a geração da malha e dos dados não geométricos vinculados a ela de forma integrada. O sistema trabalha a partir de um modelo geométrico de superfícies paramétricas recortadas sobre o qual são atribuídos como propriedades os materiais, as restrições de movimento e as cargas. Estas propriedades são vinculadas a diferentes partes do modelo (arestas, faces, superfícies) e, quando a malha é gerada, assume as propriedades do modelo geométrico. Esta metodologia facilita muito o processo interativo de geração de dados. geométricos como curvas e superfícies [4]. O uso de representações paramétricas é uma importante ferramenta na modelagem geométrica tridimensional, facilitando a simulação e a análise de problemas de projeto de Engenharia, aliando robustez, versatilidade e precisão geométrica. As representações paramétricas de curvas, em geral, utilizam pontos de controle e funções de peso (blending functions) que estabelecem relações de proporcionalidade entre os mesmos através de um único parâmetro (t). As representações consistem de 3 equações, uma para cada dimensão (x, y e z). Para este trabalho, foram implementados quatro tipos de curvas paramétricas: Reta, Arco/Círculo, Spline e Polilinhas. Regradas O T-CADE conta com uma interface gráfica que permite a modelagem iterativa de curvas e superfícies. O programa utiliza um poderoso algoritmo para a determinação de interseções de superfícies, permitindo o recorte de superfícies para a construção de modelos complexos. A geração de malhas sobre as superfícies recortadas é feita através de um processo que leva em conta as curvaturas locais das superfícies, possibilitando uma geração adaptativa em recortes arbitrários de superfícies de curvaturas variáveis. O sistema teve toda a sua arquitetura projetada com orientação a objetos [3], o que facilita o processo de atribuição de propriedades ao modelo geométrico. Coons Sweep Revolução Loft Neste trabalho, são abordados os principais conceitos envolvidos no desenvolvimento do T-CADE, incluindo a sua interface e os principais algoritmos geométricos desenvolvidos para a modelagem curvas e superfícies paramétricas, como o algoritmo de interseção de superfícies, o algoritmo de geração de malhas e os algoritmos para a atribuição de dados aos objetos geométricos. CURVAS E SUPERFÍCIES PARAMÉTRICAS As representações paramétricas constituem uma forma robusta para a representação computacional de objetos Figura 1. Superfícies implementadas no T-CADE. A representação paramétrica de superfícies é uma alternativa extremamente prática e conveniente para aplicação computacional. De forma idêntica à representação paramétrica de curvas, as superfícies são representadas por equações paramétricas independentes para cada dimensão. Neste caso, o espaço paramétrico é bidimensional. Esta forma de representação relaciona dois espaços: o espaço paramétrico (bidimensional) e o espaço real (tridimensional). No espaço paramétrico, a superfície é um quadrado com uma unidade de lado. No espaço real, a superfície assume 2

3 forma descrita nas equações paramétricas, mas seu domínio permanece quadrilátero. Uma maneira usual de fugir dessa limitação é recortar a superfície, criando subdomínios de contornos arbitrários, incluindo linhas internas e furos. As superfícies recortadas (trimmed surfaces) apresentam como propriedades funções que definem as linhas de recorte (trimming lines). Essas funções devem ser definidas no espaço paramétrico e podem ser obtidas a partir da interseção entre superfícies ou inseridas pelo usuário a fim de representar determinadas geometrias. No T-CADE, foram desenvolvidas e implementadas representações de superfícies paramétricas de domínios quadriláteros que são utilizadas na geração de modelos geométricos para análise ou simulação de problemas de projeto de Engenharia. As superfícies implementadas são dos seguintes tipos: Planas, Regradas, Revolução, Coons, Loft e Sweep (Fig.1). Estas superfícies sempre utilizam linhas paramétricas em sua definição e também para a definição de linhas de recorte. INTERSEÇÕES DE SUPERFÍCIES A determinação de interseções entre superfícies consiste em um dos temas mais importantes na modelagem geométrica computacional de superfícies e sólidos, com aplicações em computação gráfica e no projeto assistido por computador (CAD e CAE), destacando-se: a geração de malhas de Elementos Finitos em cascas e sólidos, representação B-Rep a partir de CSG, determinação de silhuetas de superfícies, operações booleanas entre sólidos, construção de superfícies de concordância, determinação de caminhos de ferramentas (CAM), detecção de interferências e colisões. As técnicas de determinação de interseção têm especial importância no design de produtos, principalmente nas indústrias automobilística, aeroespacial, naval e metalmecânica, onde se utiliza intensivamente a simulação computacional nas etapas de projeto, na manufatura e análise de desempenho de componentes. O método de interseção proposto e implementado no T-CADE utiliza uma abordagem divide and conquer [5] subdivisão adaptativa em função da curvatura local das superfícies. As superfícies são subdivididas em etapas sucessivas até que não existam trechos com curvatura superior a um determinado limite. Desta forma, é possível reduzir o problema de interseção, localmente, ao caso de interseção entre dois planos. A grande vantagem deste método é a total independência de tipo e forma das superfícies, assim como da forma e complexidade das linhas de interseção. Estes fatores são importantes para garantir a robustez e generalidade do método, características fundamentais em CAGD. A velocidade de processamento, que é apontada como uma característica negativa deste tipo de método [6], pode ser otimizada com a utilização de critérios adequados na subdivisão, na computação de interferências e na determinação dos pontos de interseção. No entanto, o uso exclusivo de subdivisão adaptativa não garante um nível de precisão adequado e, tão pouco, uniforme ao longo das linhas de interseção. Este problema torna-se mais crítico quando as superfícies envolvidas possuem curvatura variável, o que é comum em diversos tipos de superfícies. Tais limitações são resolvidas utilizando um algoritmo que realiza um refinamento dos resultados, garantindo uma precisão elevada e uniforme ao longo de todas as linhas de interseção obtidas. Este algoritmo obtém os pontos das linhas de interseção mapeados em coordenadas paramétricas sobre as duas superfícies envolvidas com uma precisão de relativa às dimensões das mesmas. Esta é uma contribuição importante deste trabalho, pois definindo as linhas de interseção no espaço paramétrico, é possível definir subdomínios sobre as superfícies, o que irá facilitar o processo de geração de malha em recortes das superfícies. O algoritmo completo desenvolvido neste trabalho consiste de quatro etapas consecutivas e complementares: 1. Subdivisão adaptativa As duas superfícies são subdivididas em trechos quase planos, analisando-se as interferências dos volumes envolventes dos mesmos; 2. Interseção entre trechos São calculados os segmentos de interseção no espaço 3D real que correspondem a uma aproximação inicial das linhas de interseção; 3. Refinamento dos resultados Refinam-se os resultados em um processo iterativo que faz o mapeamento no espaço paramétrico das superfícies; 4. Reordenação e parametrização dos segmentos Conectam-se os segmentos consecutivos para criar linhas contínuas de interseção, as quais são parametrizadas. SUBDIVISÃO ADAPTATIVA A subdivisão adaptativa implementada utiliza uma estrutura de quadtrees não uniformes para subdividir as superfícies em função das curvaturas locais. O objetivo é chegar a trechos planos o suficiente para determinar os pontos de interseção através da interseção entre dois planos (trecho a trecho). O processo de subdivisão é iterativo e orientado pelas interferências dos volumes envolventes (bounding volumes) dos trechos de cada superfície e pela curvatura local das superfícies. O processo é realizado no espaço paramétrico, mas é governado por parâmetros do espaço real. O algoritmo de subdivisão utiliza uma estrutura de dados que armazena os trechos de superfície com seus volumes envolventes. A cada iteração, esta estrutura de dados é atualizada em função da verificação de interferências entre os volumes envolventes das duas 3

4 superfícies e das subdivisões decorrentes da curvatura local da superfície. A Figura 2 apresenta como o processo de subdivisão trabalha no espaço paramétrico e no espaço 3D, simultaneamente. Espaço paramétrico Espaço 3D Figura 2. Subdivisão adaptativa INTERSEÇÃO ENTRE TRECHOS Nesta etapa, determinam-se os segmentos das linhas de interseção no espaço 3D através da interseção dos trechos das duas superfícies correspondentes às células vinculadas. Os trechos são subdivididos em triângulos, aproximando localmente as superfícies por regiões planas. Assim, o cálculo dos segmentos de interseção é feito determinando-se as interseções entre os triângulos (dois a dois) dos trechos vinculados das duas superfícies (Fig.3a). z L x L y L V 1 T 1 P 2 P 1 V 3 T 2 (a) Interseção de dois triângulos (b) Linha de interseção sem gaps Segmento Válido V 2 Figura 3. Interseção entre trechos A subdivisão do domínio obtida na etapa anterior não é uniforme, podendo conter células com diferentes números de células adjacentes (vizinhas). Se a divisão em triângulos não for feita com uma topologia adequada, poderão ocorrer falhas (gaps) ao longo da linha de interseção, como a que aparece na Figura 3b. O padrão de divisão em triângulos irá depender da topologia da quadtree de cada superfície, de tal forma que se garanta a continuidade das linhas de interseção. REFINAMENTO DOS RESULTADOS A precisão dos pontos de interseção resultantes do processo de subdivisão e interseção de triângulos não é uniforme e haveria um grande custo computacional se a tolerância angular fosse excessivamente reduzida. Utilizou-se um processo de refinamento que garante uniformidade e a precisão requerida nos pontos de interseção. O algoritmo de refinamento desenvolvido é do tipo Newton-Raphson e utiliza as direções das tangentes das duas superfícies para incrementar a precisão dos pontos de interseção obtidos. O processo é baseado no trabalho de Houghton et al. [5], mas, ao contrário deste, determina os pontos em coordenadas paramétricas sobre as duas superfícies. A precisão é da ordem da dimensão máxima das superfícies envolvidas. Os pontos são mapeados em coordenadas paramétricas, através de um algoritmo especialmente desenvolvido, que obtém resultados com um erro máximo de em coordenadas absolutas. REORDENAÇÃO E PARAMETRIZAÇÃO DOS SEGMENTOS O objetivo desta etapa é transformar o conjunto de segmentos em um conjunto ordenado de pontos sucessivos que definem linhas contínuas. As conectividades dos segmentos são analisadas para determinar as extremidades das linhas de interseção e para identificar os segmentos adjacentes. Isto já permite determinar alguns aspectos da topologia das linhas de interseção. Linhas abertas possuem duas extremidades e linhas fechadas não possuem extremidades. As extremidades são utilizadas para iniciar o processo de montagem das linhas. Nas curvas fechadas os pontos iniciais são escolhidos arbitrariamente. Depois da reordenação, as curvas são definidas por um conjunto ordenado de pontos, o qual define um conjunto de segmentos retos nos espaços paramétricos das duas superfícies. Entretanto, esta não é a melhor representação para uma manipulação eficiente das curvas de interseção como objetos geométricos. Uma representação paramétrica tipo f(t) é muito mais apropriada. Esta representação é obtida utilizando as distâncias reais entre os pontos para definir coordenadas paramétricas dos pontos em função do comprimento total da curva. Como no espaço 3D a curva é única, é possível utilizar a mesma representação paramétrica da curva para as duas superfícies. EXEMPLOS A Figura 4 apresenta uma série de exemplos com geometrias e parametrizações diversas, onde 4

5 foi determinada a linha de interseção. É possível observar que as linhas de interseção apresentam diferentes topologias, algumas com vários pontos de singularidade. O erro relativo em todos os exemplos é inferior a As curvas de interseção obtidas nos espaços paramétricos das duas superfícies são utilizadas para manipular a geometria das superfícies através de subdomínios. Desta forma, é possível construir modelos complexos unindo recortes de superfícies. GERAÇÃO AUTOMÁTICA DE MALHA O objetivo nesta etapa é gerar malhas de elementos triangulares sobre retalhos de superfícies paramétricas que podem ter contornos arbitrários, permitindo o modelamento de superfícies complexas. O algoritmo proposto neste trabalho é do tipo Frontal (advancing front) e utiliza uma malha de fundo (backgrownd mesh), construída através de subdivisões recursivas, para regular o tamanho dos elementos em função da curvatura local das diferentes regiões da superfície. A escolha de um método tipo Frontal é devida, principalmente, à característica deste tipo de método de permitir a construção de malhas em domínios com contornos arbitrários, como os que ocorrem após a determinação das linhas de interseção entre duas superfícies. O algoritmo utiliza tolerâncias angulares aplicadas aos vetores normais das curvas e da superfície, de modo a levar em conta as curvaturas locais, tanto na discretização do contorno, como na geração da malha de fundo. O algoritmo está organizado em cinco etapas: 1. Determinação de subdomínios; 2. Discretização do contorno; 3. Geração da malha de fundo, para estabelecer o tamanho dos elementos, em função da curvatura e do contorno, através da subdivisão do domínio; 4. Geração da malha não estruturada com o método Frontal; 5. Suavização da malha. DETERMINAÇÃO DE SUBDOMÍNIOS A malha é gerada sobre todo o domínio ou em subdomínios de uma superfície paramétrica, que podem ser resultados de interseções entre superfícies, ou mesmo, definidos pelo usuário. Um subdomínio é sempre definido no espaço paramétrico e pode ser composto por até três classes de linhas: linhas de contorno, linhas de furos e linhas internas. Figura 4. Exemplos de interseção de superfícies com o algoritmo proposto. Uma linha de contorno é um conjunto de segmentos conectados que define as fronteiras de um subdomínio sobre a superfície. A malha se propaga do contorno para dentro do subdomínio. Um furo é conjunto de segmentos conectados pelas extremidades que forma uma região interna a um contorno. Neste caso, a malha propaga-se para fora da linha de furo. Linhas internas são conjuntos de segmentos conectados formando linhas abertas ou fechadas e são sempre internas aos subdomínios. Na prática, as linhas internas servem para forçar a criação de nós em posições específicas como regiões de interface entre superfícies e zonas onde há condições de contorno determinadas, como vínculos e carregamentos. 5

6 A Figura 5 mostra a interface para a definição de domínios do T-CADE. O usuário pode criar vários subdomínios em uma mesma superfície através da interface, onde são definidas as linhas, que devem ser definidas de forma hierárquica. Figura 7. Discretização das linhas de contorno. Figura 5. Interface para a definição de domínios. DISCRETIZAÇÃO DO CONTORNO As linhas de contorno devem ter uma discretização adequada para que um bom desempenho do algoritmo de geração de malha e para garantir a qualidade dos elementos, principalmente daqueles próximos ao contorno. O algoritmo de discretização do contorno leva em conta a curvatura das linhas do contorno variando o comprimento dos segmentos de contorno. Por outro lado, é importante que as variações de comprimento sejam suaves para evitar transições abruptas, o que também iria repercutir na qualidade da malha gerada. Figura 6. Subdivisão de linhas curvas. A discretização do contorno é feita através de subdivisões sucessivas até que a tolerância angular entre as tangentes a curva seja satisfeita e que não haja nenhum segmento com comprimento maior que o tamanho máximo predefinido. O resultado do algoritmo de subdivisão é um conjunto de parâmetros t no espaço paramétrico das linhas, os quais correspondem a pontos no espaço paramétrico da superfície (u, v). A Figura 6 mostra o esquema de subdivisão do contorno e a Figura 7 apresenta a discretização do contorno para uma superfície tipo Coons. MALHA DE FUNDO - Um algoritmo para geração de malhas não estruturadas deve conter mecanismos que garantam a qualidade da malha e, ao mesmo tempo, levem em conta propriedades geométricas do domínio, controlando o tamanho de elementos. Alguns algoritmos utilizam funções matemáticas que definem a distribuição de densidade de elementos ao longo do domínio [7]. No entanto, em domínios complexos, torna-se inviável definir funções explícitas para a densidade nodal. Neste caso, é mais prático o uso de malhas de fundo, que definem a densidade nodal diretamente sobre o domínio. As malhas de fundo podem ser definidas pelo usuário [8] ou geradas automaticamente. Outros trabalhos [9 e 10] utilizam malhas de fundo baseadas numa triangulação tipo Delaunay. O trabalho de Miranda e Martha [11] utiliza uma malha de fundo tipo quadtree gerada com base na curvatura da superfície e obtém ótimos resultados. Este tipo de malha é muito eficiente para controlar o tamanho dos elementos em função da geometria da superfície. Esta razão, aliada ao fato de um algoritmo de subdivisão deste tipo já estar implementado para o algoritmo de interseção de superfícies, foram determinantes na escolha deste tipo de malha de fundo para a implementação neste trabalho. A geração da quadtree é feita com base em alguns critérios sugeridos por [11] e em critérios originais definidos com a experiência da implementação. A malha de fundo é gerada no espaço paramétrico, mas utiliza características geométricas da superfície 3D para controlar o processo. A profundidade inicial da quadtree é determinada em função das dimensões reais da superfície e de um tamanho máximo de elementos. Como o espaço paramétrico é sempre 1x1, há a necessidade de ajustar a grade da quadtree para que esta reflita as proporções reais da superfície. Assim a quadtree gerada apresenta-se como uma grade inicial nxm, conforme as proporções reais da peça. A consideração deste fator permite a geração de uma malha de fundo que irá contribuir para a geração de uma malha suave sobre a superfície, refletindo a geometria local e globalmente. 6

7 A Figura 8 apresenta um exemplo com a malha de fundo gerada, mostrando o resultado no espaço paramétrico e no espaço 3D. Isto ocorre devido à restrição, introduzida no algoritmo, que torna os novos segmentos adicionados ao Front inativos até que o nível (ou geração) de segmentos atual seja totalmente processado. A partir daí, toda a nova geração de segmentos do Front é ativada e o processo recomeça. Isto garante uniformidade na propagação do Front. Se, ao contrário, todos os segmentos do Front fossem mantidos ativos desde a sua criação, a propagação se daria de forma aleatória, criando situações onde são gerados elementos excessivamente distorcidos. A Figura 10 apresenta a malha ao final do processo de avanço de fronteira. Espaço paramétrico Espaço 3D Figura 8. Geração da malha de fundo. GERAÇÃO DA MALHA - O algoritmo de geração de malha parte de um Front inicial e se propaga até preencher todo o subdomínio. A partir do Front, são gerados Elementos com novos Nós ou com Nós do próprio Front, de tal forma que os segmentos do Front formem lados dos Elementos que serão criados. Toda vez que um Elemento novo é gerado, o Front é atualizado e o processo continua até que Front esteja vazio. O algoritmo inicia pelo segmento de menor comprimento no Front [8]. Em seguida, uma série de verificações é realizada para determinar como será criado um Elemento a partir do segmento escolhido, podendo-se criar um novo Nó ou utilizar um Nó existente no Front ou ambos. Espaço Paramétrico Espaço 3D Figura 10. Malha gerada. SUAVIZAÇÃO DA MALHA Após uma geração de malha não estruturada, é necessário realizar algum tipo de suavização para que a malha final tenha uma qualidade adequada à aplicação a que se destina. A suavização Laplaciana é a forma mais usual para melhorar a qualidade de malhas não estruturadas, reposicionando cada nó de tal forma que este passe a ser o centróide do polígono formado pelos nós vizinhos. Neste trabalho, optou-se por utilizar a forma modificada do operador Laplaciano que utiliza um fator que relaciona as medidas do espaço real e do espaço paramétrico [11], o que evita distorções, pois o processo é aplicado no espaço paramétrico. A Figura 11 mostra a malha suavizada. Espaço Paramétrico Espaço 3D Figura 11. Malha a pós a suavização laplaciana. Figura 9. Advanced Front. A Figura 9 apresenta uma seqüência de imagens com a configuração do Front ao longo do processo de geração da malha. Pode-se observar que o Front avança por camadas. EXEMPLOS Nesta seção, é apresentada uma série de exemplos para mostrar a eficiência do algoritmo em criar malhas de qualidade em diversas situações. Além da qualidade geral da malha, que pode ser avaliada pelo seu aspecto visual, também são utilizados parâmetros de forma que foi introduzido em [8]. 7

8 Foram geradas malhas com diferentes tamanhos máximos de elemento (L) e tolerâncias angulares (A) para verificar se a qualidade geral da malha se mantinha acima do mínimo aceitável, mesmo em situações críticas (ex. L alto e A baixo). Outro aspecto avaliado é capacidade de criar malhas de qualidade em domínios recordados, com furos e linhas internas. L=0,5 - A=5 Figura 14. Malha sobre recortes de superfícies. L=0,3 - A=3 Figura 12. Malhas sobre superfície Coons. A Figura 12 apresenta a mesma malha da Figura 11 com diferentes tamanhos de elementos e tolerâncias angulares. É possível observar que a malha é refinada nas regiões onde há mais curvatura. Apesar da grande diferença nos tamanhos dos elementos, há uma transição suave ao longo da malha, o que torna as distorções mínimas. A Figura 15 apresenta alguns exemplos de malhas sobre superfícies planas cujas linhas de recorte foram definidas pelo usuário. É possível observar que o algoritmo para geração de malhas é muito eficiente também no controle de malhas planas com contornos curvos, concentrando a malha onde há maior curvatura das linhas de contorno. As Figuras 13 e 14 mostram exemplos de malhas geradas sobre recortes obtidos a partir da interseção entre superfícies. Estes exemplos mostram que é possível gerar modelos complexos a partir de superfícies utilizando o algoritmo de interseção e a definição de subdomínios sobre os quais devem ser geradas malhas. Espaço Paramétrico Espaço 3D Figura 13. Malha sobre recortes de superfícies. Figura 15. Malhas sobre superfícies planas em com recortes arbitrários 8

9 As malhas geradas são sensíveis às curvaturas das superfícies e dos contornos dos subdomínios. É possível gerar malhas em mais de um subdomínio em cada superfície, o que aumenta o potencial de geração do programa. A qualidade de todas as malhas apresentadas nos exemplos é excelente, com médio 0,95 em todos os Exemplos apresentados. ATRIBUIÇÃO DE PROPRIEDADES A atribuição de materiais e propriedades é feita diretamente ao modelo geométrico baseado em superfícies paramétricas. Assim, no momento da geração da malha os elementos da malha herdam as propriedades da superfície de origem. As propriedades podem ser os materiais com suas constantes físicas e propriedades geométricas, como espessura ou a seção de um elemento de barra. As propriedades referentes a materiais e geometrias são encapsuladas em uma propriedade abstrata que divide os objetos (superfícies) em categorias e recebe o nome de Classes de Objetos. Assim, superfícies pertencentes à mesma Classe têm as mesmas propriedades. Superfícies pertencente a classes distintas têm diferentes propriedades. As classes servem, além de organizar a atribuição de propriedades, para organizar os modelos de forma hierárquica, uma vez que podem haver classes derivadas em um número praticamente ilimitado de níveis. A Figura 16 apresenta a interface do T-CADE com a caixa de lista de Classes de Objetos na forma de uma árvore hierárquica. Materiais Espessura Seção Figura 17. Interface para a definição de classes. Uma classe é atribuída a uma superfície selecionandose a superfície com um clique e classe na caixa de lista. A Figura 18 mostra duas superfícies com duas classes de materiais diferentes, o que pode ser observado pela cor dos objetos. Figura 16. Interface para atribuição de Classes. Um material pode ser facilmente definido através da interface que define as Classes. É possível criar novos materiais, definindo-se o nome, a cor e o valor das constantes físicas, como módulos de elasticidade, Poisson e peso específico. Da mesma forma, uma nova categoria de propriedades geométricas pode ser criada a partir da interface de definição de Classes. Na interface para a definição de propriedades, o usuário pode escolher o tipo, espessura ou seção. A Figura 17 apresenta os três estados que a interface para a definição e edição de classes pode assumir. Figura 18. Atribuição de classes aos objetos. Após a geração das malhas, as propriedades são herdadas pelas malhas, as quais passam a ser representadas com as mesmas cores das superfícies. A Figura 19 apresenta as malhas geradas sobre as superfícies da Figura 18 após os recortes definidos pelas linhas de interseção. Como o programa é orientado a objetos, se a Classe é modificada, as propriedades da malha são atualizadas de forma automática, sem a necessidade de se gerar novamente a malha. Este processo torna a atribuição de propriedades uma etapa muito simples e rápida na geração dos dados para análise de elementos finitos. 9

10 Figura 19. Malha com as classes herdadas. ATRIBUIÇÃO DE VÍNCULOS E CARGAS A atribuição de vínculos e cargas segue um procedimento semelhante ao adotado na atribuição de classes de propriedades. Em uma primeira etapa, é necessário definir categorias de vínculos e cargas. Depois, é possível atribuir estas categorias diretamente à superfícies, linhas e pontos de superfícies. Quando a malha é gerada, os nós e elementos pertencentes a regiões com vínculos e cargas herdam estes atributos da superfície sobre a qual foram gerados. A Figura 20 apresenta as interfaces para a criação de vínculos e cargas. Na interface de vínculos, é necessário definir aqueles graus de liberdade livres ou impedidos ou eventuais deslocamentos prescritos. Na interface de carga, que é a mesma para carga concentrada, distribuída em linha e superficial, deve-se definir um rótulo, um valor nominal e o vetor direção para orientar a carga. A Figura 21 apresenta uma malha com a representação de nós vinculados (em vermelho) e nós carregados (em azul) após a geração da malha. Figura 21. Malha com representação de vínculos e cargas. CONSIDERAÇÕES FINAIS A abordagem adotada neste trabalho de geração de dados para análise de elementos finitos baseado na geometria mostrou-se muito eficiente para a rápida geração de dados. A implementação do T-CADE permite a modelagem de problemas complexos em um tempo bastante reduzido. O T-CADE é uma plataforma de desenvolvimento para técnicas de pré e pós-processamento. Nas próximas etapas serão implementadas melhorias na interface para agilizar ainda mais o processo de geração de dados, como recursos mais sofisticados de visualização e interação, além de representações mais detalhadas dos atributos sobre a malha. AGRADECIMENTOS À FAPERGS (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul) pelo apoio financeiro (Editais ARD e PROAPP 2004). SOBRE O AUTOR Vínculos Cargas Autor Principal: Fábio Gonçalves Teixeira Doutor em Engenharia Mecânica pelo PROMEC da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) em 2003, mestre em Engenharia Civil pelo PPGEC da UFRGS em 1991 e graduado em Engenharia Mecânica pela UFRGS em Professor do Programa de Pós-Graduação em Design e do Departamento de Design e Expressão Gráfica da UFRGS. Figura 20. Malha com as classes herdadas. As principais áreas de pesquisa em que atua são: simulação numérica, computação gráfica, geração de malha, 10

11 modelagem geométrica, visualização científica, design virtual e design instrucional. International Meshing Roundtable, Sandia National Laboratories ( 2002) pp Endereço para correspondência: Fábio Gonçalves Teixeira, Núcleo de Pesquisa Virtual Design, Departamento de Design e Expressão Gráfica, Faculdade de Arquitetura, Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Av. Osvaldo Aranha, 99 sala 408, CEP: , Porto Alegre RS Brasil. fabiogt@ufrgs.br Web site: REFERÊNCIAS [1] Zienkiewicz, O.C. e Taylor, R.L. Finite Element Method:Volume 1, The Basis. 5th edition, Vol 1, Butterworth-Heinemann., [2] Teixeira, F.G. Modelamento Paramétrico e Geração de Malha em Superfícies para Aplicações em Engenharia. Tese de Doutorado, PROMEC/ UFRGS, Porto Alegre, [3] Coad, P. e Nicola, J. Object-Oriented Programming. Pearson Education; 1 edition, [4] Farin, G. Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design. Academic Press, Boston, third edition, [5] Houghton, E.G., Emnett, R.F., Factor, J.D. e Sabharwal, C.L. Implementation of a divide-andconquer method for intersection of parametric surfaces, Computer Aided Geometric Design, V. 2 (1985) pp [6] Andrade, L.N. Traço de interseção de superfícies com passos circulares. Tese de Doutorado, FEEC, Unicamp, Campinas, [7] Lau, T.S e L.o. SH,. Finite element mesh generation over analytical curved surfaces. Computer & Structures, V. 59: 2 (1996) pp [8] Lee C.K. e Hobbs R.E. Automatic adaptive finite element mesh generation over arbitrary twodimensional domain using advancing front technique. Computer & Structures, V. 71 (1999) pp [9] Owen, S.J. e Saigal, S. Surface mesh sizing control, International Journal in Numerical Methods in Engineering, V. 47 (2000) pp [10] Canann, S.A., Liu, Y.C. e Mobley, A.V. Automatic 3D Surface Meshing to Address Today s Industrial Needs. Finite Elements in Analysis and Design, V. 25 (1997) pp [11] Miranda, A.C.O. e Martha, L.F. Mesh generation on high-curvature surfaces based on background quadtree structure. In: Proceedings of 11 th 11