MODELOS PARA ANÁLISE DE PILARES MISTOS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

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1 MODELOS PARA ANÁLISE DE PILARES MISTOS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ALUNO: FERNANDO DINIZ QUEIROZ ORIENTADOR: GÍLSON QUEIROZ

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS ESCOLA DE ENGENHARIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE ESTRUTURAS "MODELOS PARA ANÁLISE DE PILARES MISTOS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS" Fernando Diniz Queiroz Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia da Universidade Federal de Minas Gerais, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de "Mestre em Engenharia de Estruturas". Comissão Examinadora: Prof. Dr. Gilson Queiroz DEES-UFMG - (Orientador) Prof. Dr. Fernando Amorim de Paula DEES-UFMG Prof. Dr. Ricardo Hallal Fakury DEES-UFMG Prof. Dr. Sebastião Arthur Lopes de Andrade PUC-RJ Belo Horizonte, 6 de fevereiro de 003

3 AGRADECIMENTOS A Deus, pela oportunidade dada. Ao meu orientador, Gílson Queiroz, pela confiança, amizade e sabedoria. A CAPES e, posteriormente, a USIMINAS, pela bolsa de estudos. A meus familiares, pelo apoio e incentivo. A Joélma, pela compreensão, paciência e carinho. A todos os professores, funcionários e colegas do Departamento de Engenharia de Estruturas da Universidade Federal de Minas Gerais, pela agradável convivência durante a realização deste trabalho.

4 Sumário Lista de Figuras... Lista de Tabelas... Simbologia... Resumo... Abstract... i iv v viii ix 1 Introdução Estruturas mistas considerações iniciais Sistemas estruturais mistos aço-concreto - definições e conceitos iniciais Motivação... 3 Objetivo e Metodologia Objetivo Metodologia Apresentação Descrição da ferramenta computacional Pilares Mistos e Estruturas Mistas em Geral Considerações iniciais Pilares mistos aço-concreto Estudos relativos a pilares mistos aço-concreto Estudos relativos a pilares mistos revestidos de concreto Estudos relativos a pilares mistos preenchidos com concreto... 19

5 3.3.3 Estudos relativos a pilares mistos revestidos e preenchidos com concreto Resumo de ensaios experimentais relativos a pilares mistos açoconcreto Estudos relativos a novas estruturas mistas aço-concreto Normas Relativas a Pilares Mistos Aço-Concreto Considerações iniciais Abordagem conforme NBR 1433 (1999) Considerações adicionais ao item Análise estrutural Pilares indeslocáveis Efeito da força cortante na seção transversal de um pilar misto Cisalhamento longitudinal em um pilar misto Resistência à força normal de compressão e à flexão composta Abordagem conforme AISC-LRFD (1999) Considerações adicionais ao item Cisalhamento na superfície de contato aço-concreto, fora das regiões de introdução de carga Resistência à força cortante Resistência à força normal de compressão Resistência à flexão-composta Abordagem conforme Eurocode 4 (199) Considerações adicionais ao item Análise estrutural Pilares indeslocáveis Efeito da força cortante na seção transversal de um pilar misto Resistência ao cisalhamento Resistência à força normal de compressão e à flexão composta... 53

6 5 Considerações sobre a Teoria da Plasticidade Considerações iniciais Análises linear e não-linear Análise linear Análise não-linear Espaço de tensões de Haigh-Westergaard Critério de escoamento para materiais independentes da pressão hidrostática Principais critérios Critério de falha para materiais dependentes da pressão hidrostática Principais critérios Plasticidade de materiais perfeitamente plásticos Critério de carregamento e descarregamento Regra de fluxo Relação incremental constitutiva na forma geral Plasticidade de materiais encruáveis Critério de carregamento e descarregamento Regras de encruamento Relação incremental constitutiva na forma geral Metais Concreto Descrição do material e de seu comportamento Modelagem do concreto Critério de colapso (ou critério de falha) Modelagem plástica da fase de encruamento do concreto Modelagem plástica da fase de amolecimento do concreto Considerações sobre o Programa ANSYS Considerações iniciais... 76

7 6. Apresentação do programa Descrição geral Elementos finitos utilizados no trabalho Modelagem de materiais Solução numérica Pós-processamento Formulação do elemento de concreto Comportamento linear Comportamento não-linear Fissuração Esmagamento Amolecimento Caracterização do material concreto Modelo constitutivo e critério de ruptura Considerações finais Aplicação do Método dos Elementos Finitos à Análise de Sistemas Estruturais Considerações iniciais Análises de estruturas de concreto Análises de pilares mistos aço-concreto Análises de estruturas mistas em geral Análises de outros sistemas estruturais Análise Numérica de Pilares Mistos Aço-Concreto pelo Método dos Elementos Finitos Considerações iniciais Modelos de pilares mistos submetidos à flexo-compressão, utilizando-se o elemento SOLID45 para o concreto

8 8..1 Escolha da relação entre a resistência à tração (f t ) e a resistência à compressão (f c ) do concreto Dados inicias Resistência nominal da seção mista pela NBR1433 (1999) Análise da seção mista pelo Método dos Elementos Finitos, utilizando-se o programa ANSYS (versão 5.7) Resistência nominal do pilar misto, considerando-se o fenômeno de flambagem Modelos de pilares mistos submetidos à flexo-compressão, utilizando-se o elemento SOLID65 para o concreto Dados inicias Resistência nominal da seção mista pelo Eurocode 4 (199) Análise da seção mista e obtenção da curva de interação para flexo-compressão pelo Método dos Elementos Finitos, utilizando-se o programa ANSYS (versão 5.7) Resistência do pilar misto, considerando-se o fenômeno de flambagem Modelos de pilares mistos submetidos à compressão ou tração pura, utilizando-se o elemento SOLID65 para o concreto Comentários gerais Discussão sobre os parâmetros estudados Resultados dos modelos com plasticidade do concreto (MISO) para compressão e tração (modelos [1] e []) Resultados dos modelos sem plasticidade do concreto para compressão e tração (modelos [3] e [4]) - esmagamento do concreto habilitado Modelo de pilar circular preenchido com concreto Modelo Resistência nominal da seção mista à plastificação total pela força normal (N pl,r ), com base na NBR 1433 (1999) Resultados

9 9 Conclusões e Recomendações Conclusões Modelos de pilares mistos submetidos à flexo-compressão, utilizando-se o elemento SOLID45 para o concreto Modelos de pilares mistos submetidos à flexo-compressão, utilizando-se o elemento SOLID65 para o concreto Modelos de pilares mistos submetidos à compressão ou tração pura, utilizando-se o elemento SOLID65 para o concreto Modelo de pilar circular preenchido com concreto Recomendações para novas pesquisas Referências Bibliográficas

10 i Lista de Figuras Capítulo 3 FIGURA 3.1 Principais tipos de pilares mistos aço-concreto: (a) totalmente revestido; (b) parcialmente revestido; (c) preenchido de seção retangular; (d) preenchido de seção circular FIGURA 3.- Curvas de flambagem baseadas nas normas EC4 e AISC-LRFD... 8 FIGURA 3.3 Pilares mistos preenchidos com concreto, de seção circular: (a) solução típica; (b) solução com dois perfis concêntricos FIGURA 3.4 Viga mista aço-concreto-aço: (a) forma típica do elemento misto aço-concreto-aço; (b) elemento misto com conectores de cisalhamento Capítulo 4 FIGURA 4.1 Diagrama simplificado de interação força normal-momento fletor NBR 1433 (1999) FIGURA 4. Diagrama simplificado de interação força normal-momento fletor Eurocode 4 (199) Capítulo 5 FIGURA Forma geral da superfície de falha para um material dependente da pressão hidrostática: (a) meridianos; (b) seção desviadora... 6 FIGURA 5. Superfície de falha para o critério de Drucker-Prager: (a) plano meridiano ( θ =0º); (b) seção desviadora na origem (plano π ) FIGURA 5.3 Características gerais da superfície de falha: (a) meridianos da superfície de falha; (b) seções em planos desviadores Capítulo 6 FIGURA 6.1-Elemento SOLID65 do ANSYS... 80

11 ii FIGURA 6. Superfície de falha no espaço de tensões principais para estados de solicitação biaxial ou aproximadamente biaxial FIGURA 6.3- Modelo de William-Warnke: (a) meridianos de tensão e compressão; (b) seção genérica em um plano desviador Capítulo 8 ft FIGURA 8.1 Cones de Drucker-Prager para diferentes razões : fc f t 1 ft 1 (a) = ; (b) =... f c 0 f c FIGURA 8. Geometria e carregamento do pilar misto (dimensões em mm) FIGURA 8.3 Diagrama simplificado de interação força normal-momento fletor 117 FIGURA 8.4 Modelo de elementos finitos: (a) Elementos de concreto; (b) Elementos de aço FIGURA 8.5 Força normal N (kn)x Deslocamento U x (cm) FIGURA 8.6 Deformações do concretoε z para (a) N= 751,6 kn; (b) N = 937,04 kn FIGURA 8.7 Tensões no concreto σ z para (a) N = 751,6 kn; (b) N = 937,04 kn FIGURA 8.8 Tensões no aço σ z para (a) N = 751,6 kn; (b) N = 937,04 kn... 1 FIGURA 8.9 Força normal N (kn) X Deslocamento U x (cm) (análise de ª ordem) FIGURA 8.10 Deformações e tensões no concreto para N = 110 kn: (a) Deformaçõesε z ; (b) Tensões σ z FIGURA 8.11 Tensões no aço σ z para N = 110 kn FIGURA 8.1- Carregamento e geometria do pilar misto (dimensões em mm) FIGURA Diagramas tensão-deformação: (a) concreto; (b) aço estrutural; (c) aço da armadura FIGURA 8.14 Modelo de elementos finitos: (a) Elementos de concreto; (b) Elementos de aço

12 iii FIGURA 8.15 Curvas de interação força normal (N)-momento fletor (M) FIGURA 8.16 Deformações e tensões no concreto para N = 1080 kn e M = 5400 kn.cm: (a) Deformaçõesε x ; (b) Tensões σ x FIGURA 8.17 Deformações e tensões no aço para N = 1080 kn e M = 5400 kn.cm: (a) Deformaçõesε x ; (b) Tensões σ x FIGURA 8.18 Deformações ε x na alma do perfil de aço para N = 1080 kn e M = 5400 kn.cm FIGURA 8.19 Força normal N (kn) X Deslocamento U y (cm) (e =,143 cm) FIGURA 8.0 Curvas de interação e curva advinda da análise de ª ordem (e =,143 cm) FIGURA 8.1 Força normal N (kn) X Deslocamento U y (cm) (e = 1, cm) FIGURA 8. Curvas de interação e curvas advindas das análises de ª ordem (e =,143 cm; e = 1, cm) FIGURA 8.3 Fluxograma dos modelos estudados FIGURA 8.4 Força normal (kn) X Deformaçãoε x : (a) compressão (modelo [1]); (b) tração (modelo []) FIGURA 8.5 Detalhe do decaimento na tração (modelo []) FIGURA 8.6 Força normal (kn) X Deformaçãoε x : (a) compressão (modelo [3]); (b) tração (modelo [4]) FIGURA 8.7 Detalhe do decaimento na tração(modelo [4]) FIGURA 8.8 Geometria do pilar misto preenchido com concreto (dimensões em mm) FIGURA 8.9 Modelo de elementos finitos: (a) Elementos de concreto; (b) Elementos de aço FIGURA 8.30 Força normal (kn) X Deformação axialε z FIGURA 8.31 Deformações e tensões no concreto para N = 1799 kn: (a) Deformações ε z ; (b) Tensõesσ z FIGURA 8.3 Deformações e tensões no aço para N = 1799 kn: (a) Deformações ε z ; (b) Tensõesσ z FIGURA 8.33 Tensões: (a) radial no concreto; (b) circunferencial no aço

13 iv Lista de Tabelas Capítulo TABELA.1 Descrição do computador Capítulo 3 TABELA 3.1 Resumo de ensaios experimentais Capítulo 8 TABELA 8.1 Dados relativos à FIG TABELA 8. Dados relativos à FIG TABELA 8.3 Pontos da curva de interação TABELA 8.4 Pontos da curva de interação (incluindo análise numérica)

14 v Simbologia A a,a c, As = áreas das seções transversais do perfil de aço, do concreto e da armadura, respectivamente; b = largura da seção de aço; = largura da seção de concreto do pilar misto; b c C ijkl = tensor de rigidez elasto-plástico; C m = coeficiente definido no item 5.6 da NBR 8800 (1986); C r = média da distância da face comprimida à armadura longitudinal nesta face e da distância da face tracionada à armadura longitudinal nesta face; c x, c y = espessura da seção de concreto nas direções x e y da seção transversal do pilar, respectivamente; c 1, c, c 3 = coeficientes numéricos, iguais, respectivamente, a 1,0, 0,85 e 0,4 para tubos preenchidos por concreto e 0,7, 0,6 e 0, para perfis I totalmente envolvidos por concreto; d = altura da seção de aço ou diâmetro do perfil tubular de aço; [ D ] = matriz tensão-deformação; c D = matriz constitutiva do concreto; e E, E (EI) e f c c = excentricidade da força axial aplicada; = módulos de elasticidade do aço e do concreto, respectivamente; = rigidez efetiva à flexão; = resistência média do concreto à compressão; f ck = resistência característica do concreto à compressão; f y, f ys = resistências ao escoamento do perfil de aço e da armadura longitudinal, respectivamente; f t = resistência média do concreto à tração; f tk = resistência característica do concreto à tração;

15 vi f( σ ij ) g( σ ij ) = superfície de escoamento; = superfície potencial plástica; = altura da seção de concreto do pilar misto; = distância da linha neutra plástica ao centro de gravidade da seção; = largura da seção mista perpendicular ao plano de flexão; = largura da seção mista paralela ao plano de flexão; h c h n h 1 h I a,is, Ic = momentos de inércia das seções transversais do perfil, da armadura e do concreto não-fissurado, respectivamente, em relação ao eixo de flexão analisado; I 1 = primeiro invariante do tensor de tensões; J, J 3 = segundo e terceiro invariantes do tensor desviador ou anti-esférico de tensões; k = parâmetro de encruamento; KL = comprimento efetivo de flambagem; M pl,rd = resistência de cálculo da seção mista à plastificação total pelo momento fletor, com N Sd igual a zero ou igual a N c ; N c = resistência da seção de concreto à plastificação total pela força normal; = carga de flambagem elástica por flexão; N e N G, Sd = parcela permanente ou quase permanente de Sd N pl,r N ; = resistência nominal da seção mista à plastificação total pela força normal; (determinado conforme N pl,rd com os coeficientesϕ a, ϕ c e ϕ s iguais a 1); N pl,rd N Rd = resistência de cálculo da seção mista à plastificação total pela força normal; = resistência de cálculo do pilar misto à compressão axial; N Sd = força normal de cálculo; r m = raio de giração relevante do perfil de aço, porém, no caso de perfil I totalmente envolvido por concreto, não menos do que 0,3 vezes a dimensão da seção no plano de flambagem; t = espessura do perfil tubular de aço; t f = espessura da mesa; = espessura da alma; t w R V i = razão entre o volume do material i de reforço e o volume total do elemento;

16 vii α = 0,85 para perfis I parcialmente ou totalmente envolvidos por concreto e 1,0 para tubos preenchidos com concreto; β = razão entre a altura (h) e a largura (b) de um perfil tubular de aço; β c e β t = coeficientes de transferência de cisalhamento; γ c = peso específico do concreto ; coeficiente de segurança igual a 1,35; δ δ ij ε = razão de contribuição do aço; = delta de Kronecker; = deformação; λ ξ ρ = parâmetro de esbeltez; = fator de confinamento; = fator de redução devido à flambagem, dado pela NBR 8800 (1986), função da curva de flambagem e do parâmetro de esbeltez λ ; σ ij = o tensor de tensões em um determinado ponto de um corpo; σ 1, σ e σ 3 = tensões principais em um determinado ponto de um corpo; ν = coeficiente de Poisson; φ a, φ c, φ s = coeficientes de segurança dos materiais aço estrutural, concreto e armadura iguais a 0,9, 0,7 e 0,85, respectivamente; χ = fator de redução devido à flambagem, dado pelo Eurocode 3 (199), função da curva de flambagem e do parâmetro de esbeltez λ.

17 viii Resumo Este trabalho consiste de um estudo numérico de pilares mistos aço-concreto, por meio do Método dos Elementos Finitos, com o objetivo de expor e discutir os aspectos envolvidos na modelagem, incluindo itens relativos aos modelos constitutivos dos materiais. A modelagem do elemento estrutural é feita com a utilização do programa comercial ANSYS, versão 5.7. As alternativas oferecidas por este software comercial, algumas limitações do mesmo, além das dificuldades de modelagem encontradas durante a pesquisa, são enfatizadas ao longo do trabalho, principalmente as relacionadas com a não-linearidade do material inerente ao concreto armado. Busca-se representar numericamente o comportamento de pilares mistos aço-concreto parcialmente revestidos submetidos à flexocompressão, além de possibilitar a comparação dos resultados numéricos obtidos com normas de dimensionamento, tais como a NBR 1433 (1999) e o AISC-LRFD (1999). Outras modelagens em elementos finitos são também desenvolvidas e analisadas, como as de pilares mistos aço-concreto parcialmente revestidos submetidos à compressão ou à tração pura (com o objetivo de identificar alguns fatores importantes durante a análise numérica) e a de um pilar misto aço-concreto preenchido, de seção circular, submetido à compressão pura. São apresentados ainda conceitos da teoria da plasticidade utilizados ao longo do trabalho, além de uma ampla revisão bibliográfica, com respeito ao estado da arte dos estudos numérico-experimentais de estruturas mistas em geral, principalmente de pilares mistos aço-concreto. Palavras-chave: estruturas mistas, pilares mistos aço-concreto, análise numérica.

18 ix ABSTRACT This work consists of a numerical study of steel-concrete composite columns using the Finite Element Method. The objective of the study is to present and discuss the aspects related to the modeling including items concerning the constitutive models of the materials. The analysis are performed using the finite element software ANSYS, version 5.7. The main capabilities provided by this software and some limitations related to their applications are discussed. Besides that, some difficulties found during the research and related to the modeling and solution of the finite element models are emphasized along the paper, mainly the ones related to the inherent nonlinearity of the reinforced concrete material. It is tried to represent the behavior of steel-concrete partially encased composite columns subjected to combined compression and flexure and, moreover, to compare the numerical results from the finite element analysis with the ones of design codes, for instance: NBR 1433 (1999) and AISC-LRFD (1999). Other finite element models are also developed and analyzed, as the models of steel-concrete partially encased composite columns subjected to axial compression or axial traction (in order to identify some important factors in the numerical analysis) and the model of a steel-concrete filled composite column, with circular-cross section shape, subjected to axial compression. In addition to the numerical analysis, the main concepts of the theory of plasticity used in this work are reviewed. It is also presented a vast review of the research carried out on composite structures, mainly steel-concrete composite columns, with emphasis on experimental and numerical work. Keywords: composite structures, steel-concrete composite columns, numerical analysis.

19 1 1 INTRODUÇÃO 1.1 Estruturas mistas considerações iniciais Duas construções marcaram o início da utilização de estruturas mistas no mundo: uma ponte em Iowa e a edificação Methodist Building, em Pittsburg, ambos nos Estados Unidos, em Foram utilizadas vigas de aço de perfil I, revestidas de concreto. Desde então, duas importantes características deste tipo de estrutura, a proteção contra o fogo e contra o processo de corrosão, foram percebidas. Porém, estudos mais específicos a respeito de elementos estruturais mistos só começaram no século seguinte, em 1914, na Inglaterra. Na década de 30, já haviam sido estabelecidos alguns métodos de dimensionamento de vigas mistas aço-concreto. Somente após aproximadamente vinte anos (década de 50) os sistemas estruturais mistos foram introduzidos no Brasil.

20 Em relação a pilares aço-concreto, os primeiros a serem estudados foram os de perfil de aço revestido de concreto. Posteriormente, outros tipos de pilares mistos foram surgindo e sendo pesquisados, como os tubos preenchidos com concreto. 1. Sistemas estruturais mistos aço-concreto - definições e conceitos iniciais Denomina-se sistema misto aço-concreto aquele em que um perfil de aço e o concreto funcionam em conjunto. Geralmente, em sistemas mistos o concreto é armado. Como exemplos de sistemas mistos pode-se citar: pilares, vigas, lajes e ligações mistas. Uma estrutura mista é caracterizada por um conjunto de sistemas mistos. Já estrutura híbrida é usualmente considerada como a resultante da união de elementos de aço, concreto armado e mistos. Para que haja a formação de um sistema misto é necessário que haja uma interação entre o perfil de aço e o concreto. A maneira pela qual esta interação ocorre pode ser dividida em três categorias principais: interação mecânica (conectores, mossas, ressaltos, entre outros), interação por atrito e interação por simples aderência e repartição de cargas. De acordo com Queiroz et al. (001), este último modo de interação ocorre principalmente em pilares mistos submetidos à compressão axial. Forças longitudinais de cisalhamento devem ser desenvolvidas na interface aço-concreto para que o comportamento do conjunto possa se estabelecer. Geralmente, as normas relativas ao dimensionamento de estruturas mistas não levam em consideração a aderência natural entre o perfil de aço e o concreto armado. Portanto, há casos em que se torna necessário o uso de elementos complementares na interface para garantir este trabalho conjunto, ou seja, para garantir que realmente um sistema misto seja formado. Estes elementos complementares são os conectores de cisalhamento, as mossas, etc.

21 3 Quanto ao grau de interação entre o perfil de aço e o concreto, há três possibilidades: a) Interação completa (ou total) Nesta categoria de interação, os esforços de cisalhamento são totalmente transferidos do aço para o concreto. Assim, aço e concreto comportam-se como um único elemento, do ponto de vista de deformações, caso se assuma que os conectores têm rigidez e resistência infinitas. As tensões desenvolvidas em cada material dependem dos respectivos diagramas tensão-deformação. b) Sem interação Neste caso, não há interação alguma entre o aço e o concreto. Ambos os materiais comportam-se independentemente, descaracterizando a ação mista. Não há conectores unindo os elementos. Pode ocorrer escorregamento acentuado na superfície de contato entre o aço e o concreto, devido aos comportamentos individuais. c) Interação parcial Esta categoria de interação situa-se em um nível intermediário entre os casos apresentados anteriormente. A interligação existe, mas não é suficientemente rígida ou resistente. Há um deslizamento relativo entre as superfícies do perfil de aço e do concreto, porém inferior ao que ocorreria se não houvesse qualquer ação mista. O diagrama de deformações apresenta duas linhas neutras, com as posições dependentes do grau de interação entre os elementos de aço e de concreto. 1.3 Motivação e justificativa Nos últimos vinte anos a construção mista tem se desenvolvido bastante. Cada vez mais as vantagens das estruturas mistas têm se sobreposto às das estruturas de concreto armado e às das estruturas de aço. Os pilares mistos desempenham um papel fundamental neste tipo de

22 4 construção. De acordo com Zandonini (1994), os sistemas estruturais mistos têm sido cada vez mais utilizados, principalmente devido a alguns aspectos como: a) Diminuição dos custos inerentes de produção e maior disponibilidade de perfis tubulares de aço e conectores metálicos, devido a avanços tecnológicos nestas áreas; b) Os elementos mistos necessitam de uma seção transversal menor para um determinado esforço solicitante, em comparação com seções equivalentes de aço ou concreto, e com isso possibilitam maiores espaços livres em projetos de engenharia/arquitetura; c) Avanços tecnológicos que possibilitam a obtenção de aços e concretos de alta resistência, assim como processos construtivos mais otimizados. Nesta dissertação desenvolve-se um estudo numérico de pilares mistos aço-concreto, por meio do Método dos Elementos Finitos. Este estudo é muito importante para se entender o comportamento deste tipo de elemento estrutural submetido a determinadas condições de carregamento, além de possibilitar a comparação dos resultados numéricos obtidos com normas de dimensionamento, tais como NBR 1433 (1999) e AISC-LRFD (1999). A seguir, são apresentados três pontos que motivaram o desenvolvimento deste plano de trabalho: I) Pilares mistos e estruturas mistas em geral tendem a ter uso crescente Sistemas mistos são empregados na construção de pontes e edificações. A utilização de sistemas mistos fornece maior variedade de opções entre as soluções em concreto armado e as soluções em aço. Além disso, os sistemas mistos possibilitam maior liberdade arquitetônica e podem resultar em ganhos financeiros. Em relação ao concreto armado, podem-se citar como vantagens obtidas através do emprego de sistemas mistos:

23 5 Possibilidade de dispensa de fôrmas e escoramentos; Aumento da precisão dimensional da construção; Redução do peso próprio e do volume da estrutura. Já em relação ao aço, tem-se, por exemplo: Redução das proteções contra incêndio e corrosão; Redução considerável do consumo de aço estrutural. II) Todo o conhecimento a respeito de pilares mistos vem de ensaios experimentais Um modelo confiável de elementos finitos pode, portanto, permitir uma redução substancial do número de ensaios necessários. Para qualquer tipo de estrutura, quanto mais complexa for sua geometria, mais necessária se torna uma análise numérica para a obtenção da solução desejada. Já foi comprovado que investigações experimentais são demoradas, dispendiosas e, para certos casos, até mesmo impraticáveis. O Método dos Elementos Finitos tornou-se nos últimos anos uma ferramenta poderosa e muito útil na análise e solução de diversos problemas no ramo da engenharia. Abdollahi (1994) ressalta o fato de que, à medida que as técnicas de construção vão ficando mais complexas, maior ênfase é dada ao uso de técnicas analíticas avançadas nas pesquisas universitárias sobre engenharia civil. O uso adequado de métodos e modelos numéricos pode ser de grande valia no entendimento do comportamento e resposta de estruturas complexas submetidas a uma variedade imensa de carregamentos. Como resultado, o Método dos Elementos Finitos tem se firmado como uma das ferramentas mais importantes e poderosas para análises estruturais. O desenvolvimento deste método tem sido também auxiliado pelo crescimento exponencial das facilidades computacionais, além de um maior acesso a estes recursos.

24 6 Porém, a etapa experimental é também muito importante em qualquer estudo realizado. É a partir de resultados confiáveis de ensaios que os modelos numéricos são validados. Portanto, as análises experimental e numérica são dois processos complementares para o desenvolvimento e entendimento de um determinado fenômeno. Como os trabalhos de pesquisa no ramo da engenharia estrutural estão relacionados a problemas cada vez mais complexos, torna-se necessário que haja uma abordagem conjunta, numérica e experimental, para um entendimento correto e completo do comportamento de uma certa estrutura. Nethercot (00) destaca que a união entre estas abordagens é de importância fundamental no melhoramento dos métodos de dimensionamento. Foi demonstrado pelo autor, por meio de quatro tópicos de pesquisa distintos, que a natureza complementar entre teoria (incluindo análises numéricas) e ensaios experimentais é essencial para se compreender um fenômeno estrutural complexo. III) Grandes divergências entre os critérios das normas aplicáveis a pilares mistos, principalmente entre AISC-LRFD (1999) e Eurocode 4 (199) base da NBR Pode-se mostrar, como no capítulo 8, que as duas normas mencionadas conduzem a resultados bem diferentes quando aplicadas ao mesmo sistema estrutural.

25 7 OBJETIVO E METODOLOGIA.1 Objetivo Este trabalho tem como meta o desenvolvimento de modelos de elementos finitos que representem o comportamento de pilares mistos parcialmente revestidos, incluindo: excentricidade da carga, curvatura inicial, fissuração e esmagamento (deformação limite), considerando seção de aço classe (compacta). A modelagem do elemento estrutural é feita com a utilização do software comercial ANSYS, versão 5.7. Este programa fornece ao usuário uma enorme variedade de opções, no que se refere aos tipos de elementos finitos e às alternativas relativas ao comportamento dos materiais que se deseja estudar, como por exemplo: comportamento elástico, elastoplástico, viscoso, etc. Sabe-se que no Brasil ainda há certos obstáculos a um maior desenvolvimento e utilização de sistemas mistos, inclusive pilares mistos. Pode-se destacar, por exemplo, o

26 8 conservadorismo de alguns profissionais da construção civil. Tal fato se deve, provavelmente, à falta de um conhecimento mais profundo do comportamento de tais sistemas mistos. O estudo numérico realizado neste trabalho procura expor e discutir os aspectos envolvidos na modelagem de pilares mistos pelo Método dos Elementos Finitos, incluindo itens relativos aos modelos constitutivos dos materiais, suas propriedades e características. As alternativas oferecidas pelo software comercial utilizado para realizar o estudo desejado, algumas limitações do mesmo neste aspecto, além das dificuldades de modelagem encontradas durante a pesquisa, são enfatizadas ao longo do trabalho. Busca-se ainda a representação do comportamento de pilares mistos aço-concreto parcialmente revestidos submetidos à flexo-compressão, assim como contribuir para um desenvolvimento ainda maior deste tipo de construção mista no Brasil. Outros modelos de elementos finitos são também desenvolvidos e analisados, como os de pilares mistos aço-concreto parcialmente revestidos submetidos à compressão ou à tração pura (este último, apenas para conclusões sobre os problemas numéricos), e de um pilar misto aço-concreto preenchido, de seção circular, submetido à compressão pura. A validação dos modelos desenvolvidos, realizada através da comparação dos resultados numéricos obtidos com as normas NBR 1433 (1999) e AISC-LRFD (1999), pode resultar em redução de custos considerável, relativos a ensaios experimentais. Em resumo, com este trabalho procura-se expor algumas potencialidades e dificuldades relativas à utilização do Método dos Elementos Finitos na representação de pilares mistos aço-concreto.. Metodologia Durante o desenvolvimento deste trabalho, diversas etapas foram realizadas. A primeira fase do estudo constou da realização de uma vasta pesquisa bibliográfica sobre o comportamento de pilares mistos, inclusive modelos numéricos dos mesmos. Além disso,

27 9 pesquisou-se uma vasta gama de projetos e exemplos relativos ao uso do ANSYS na resolução de estruturas mistas, não somente no Brasil, mas também em todo o mundo. Foram ainda objetos de estudo os principais métodos de dimensionamento de pilares mistos aço-concreto, como os apresentados na NBR 1433 (1999), no AISC-LRFD (1999) e no Eurocode 4 (199). A próxima etapa foi a familiarização com o sowftware de elementos finitos ANSYS. Nesta fase, diversos modelos foram desenvolvidos e analisados, seguindo-se um grau de dificuldade hierárquico. Os resultados obtidos por tais modelos foram aferidos em relação a resultados conhecidos a priori. Opções para a modelagem e caracterização dos materiais foram então sendo assimiladas e seu uso aprimorado. Um estudo da teoria da plasticidade também é de suma importância para o entendimento do comportamento de qualquer estrutura submetida a cargas além do limite elástico do material do qual ela é composta. Portanto, a terceira etapa refere-se a um estudo aprofundado desta teoria. A quarta etapa pode ser considerada como um complemento da primeira fase (revisão bibliográfica) e caracterizou-se pelo estudo sobre sistemas mistos em geral e pilares mistos em particular. Durante esta fase, foram observadas e documentadas novas tendências mundiais relativas a estruturas mistas em geral..3 Apresentação O trabalho é dividido em 9 capítulos. Esta divisão foi escolhida de modo que a abordagem dos assuntos a serem expostos fosse realizada de uma maneira seqüencial, na qual os primeiros capítulos auxiliam no entendimento dos capítulos seguintes. No capítulo 3 são abordados os principais tipos de pilares mistos, assim como suas principais características. Em seguida é feita uma exposição de diversos estudos experimentais e de análises relativas ao comportamento e dimensionamento de pilares

28 10 mistos aço-concreto. Além disso, são comentados alguns novos elementos estruturais mistos e/ou compostos, utilizados e/ou pesquisados no mundo. No quarto capítulo foi feito um resumo da abordagem de diversas normas técnicas no que se refere ao dimensionamento de pilares mistos. Um comentário dos principais pontos relativos à teoria da plasticidade, incluindo análise dos materiais aço e concreto, é o escopo do capítulo 5. No sexto capítulo são abordados os itens fundamentais do programa comercial ANSYS utilizados neste trabalho, entre eles os elementos finitos representativos dos materiais aço e concreto armado, modelos constitutivos destes materiais, métodos de modelagens possíveis, além dos principais recursos numéricos disponíveis neste software para análises não lineares. O capítulo 7 contém uma apresentação dos trabalhos realizados nos últimos anos no mundo, relativos ao uso do Método dos Elementos Finitos na análise e resolução de estruturas mistas e estruturas de concreto, principalmente com o auxílio do programa ANSYS. Os principais modelos de pilares mistos desenvolvidos nesta pesquisa são objeto do capítulo 8. São comentadas passo a passo as opções escolhidas durante a modelagem. Além disso, são apresentados os resultados relativos aos modelos desenvolvidos e são feitas comparações destes resultados com as normas de dimensionamento NBR 1433 (1999) e AISC-LRFD (1999). O nono capítulo trata das conclusões finais da pesquisa e apresenta algumas sugestões para pesquisas futuras na área de modelagem de pilares mistos pelo Método dos Elementos Finitos.

29 11.4 Descrição da ferramenta computacional Ao longo deste trabalho diversas análises numéricas são realizadas, com a utilização do programa comercial ANSYS. O computador usado para desenvolver tais estudos é descrito na TAB..1: TABELA.1 Descrição do computador Descrição do computador utilizado Processador Pentium III Velocidade 1000 MHz Sistema Operacional Microsoft Windows 000 Disco Rígido 18,6 Gb Memória RAM 54 Mb

30 1 3 PILARES MISTOS E ESTRUTURAS MISTAS EM GERAL 3.1 Considerações iniciais O presente capítulo tem dois objetivos principais. O primeiro é a definição de pilares mistos aço-concreto e de seus principais tipos. O segundo é a apresentação de diversos estudos experimentais e de análises relativas ao comportamento e ao dimensionamento de pilares mistos aço-concreto. Algumas estruturas mistas atualmente pesquisadas e/ou desenvolvidas serão também apresentadas. Com base nesta abordagem será possível ter-se uma idéia do estado da arte do estudo e da aplicação de estruturas mistas em diversos países. 3. Pilares mistos aço-concreto Pilar misto aço-concreto é uma peça sujeita a esforços de compressão ou flexo-compressão, caracterizada pela ação conjunta dos elementos que a constituem (perfil de aço e concreto). Para que a ação mista ocorra, não pode haver deslizamento relativo considerável na superfície de contato entre o perfil e o concreto. Os pilares mistos podem ser preenchidos

31 13 com concreto (seção tubular circular ou retangular) ou revestidos total ou parcialmente por concreto (perfil de aço envolvido pelo concreto). A FIG. 3.1 ilustra os principais tipos de pilares mistos. bc cx b cx b=bc x tf tw d cy hc x tw tf cy d=hc y y (a) (b) b1 t d t t x b x y (c) y (d) FIGURA 3.1 Principais tipos de pilares mistos aço-concreto: (a) totalmente revestido; (b) parcialmente revestido; (c) preenchido de seção retangular; (d) preenchido de seção circular Como exemplo de vantagens relativas ao uso de pilares mistos aço-concreto em relação ao uso de pilares de aço, tem-se: (i) grande economia de materiais, (ii) maior capacidade de resistência ao fogo e à corrosão e (iii) maior capacidade de carga devido à ação mista e ao confinamento do concreto, no caso de pilares preenchidos. Como exemplo de vantagens relativas ao uso de pilares mistos aço-concreto em relação ao uso de pilares de concreto, tem-se: (i) menor seção transversal e maior relação resistência/peso próprio, (ii) boa ductilidade para suportar solicitações cíclicas e repetidas, (iii) economia de tempo de construção e (iv) maior capacidade de carga devido à ação mista e ao confinamento do concreto, no caso de pilares preenchidos.

32 14 No dimensionamento de pilares mistos são considerados os momentos fletores advindos de imperfeições iniciais (curvaturas e excentricidades) não previstas. Estes momentos e também aqueles já previstos na análise (associados a translações dos nós ou a cargas transversais ao eixo do pilar) são modificados pelos efeitos de segunda ordem (efeitos da força normal de compressão na estrutura deformada). 3.3 Estudos relativos a pilares mistos aço-concreto Estudos relativos a pilares mistos revestidos de concreto Jones e Rizk (1963) estudaram o comportamento de pilares mistos totalmente revestidos, motivados na época pela construção de novos prédios na Universidade de Leeds, Inglaterra. Diversos pilares mistos foram ensaiados, tendo como algumas das variáveis analisadas o comprimento do pilar, as dimensões da seção transversal e a quantidade de armadura. Os resultados relativos à resistência última foram comparados com algumas normas de dimensionamento. Concluiu-se que, realmente, o revestimento do perfil de aço pelo concreto contribui muito para a capacidade de carga, se comparado com um pilar de aço. Virdi e Dowling (1973) realizaram uma série de 9 ensaios experimentais de pilares mistos aço-concreto totalmente revestidos, com seção quadrada e perfil H de aço. O carregamento aplicado consistia de flexão biaxial e carga axial de compressão. O comprimento do pilar e as excentricidades da carga aplicada foram variados. Desenvolveu-se ainda um método analítico para obtenção das cargas de colapso dos pilares, considerando os efeitos de tensões residuais no perfil de aço e da falta de prumo inicial do pilar na determinação da resistência. Sabe-se que as tensões residuais não dependem somente do tamanho e forma do perfil, mas também de seu processo de fabricação. Os resultados obtidos mostraram que há uma perda de resistência para maiores comprimentos do pilar e para maiores excentricidades de carga. Roik e Bergmann (1990) propuseram um método de dimensionamento de pilares mistos aço-concreto de seção assimétrica, baseado no método simplificado de cálculo de pilares

33 15 mistos de seção simétrica do EC4. É possível aplicar o método desenvolvido nos casos de carga axial de compressão e flexo-compressão. Para verificar as expressões obtidas, foram realizados ensaios experimentais e os resultados mostraram boa correlação com o método proposto. Resultados de ensaios experimentais de pilares mistos aço-concreto parcialmente revestidos, submetidos a cargas cíclicas e dinâmicas, foram apresentados por Elnashai et al. (1991). Algumas particularidades foram incluídas nestes pilares. Uma delas foi a adição de novas barras transversais de armadura com o objetivo de inibir a flambagem local para grandes deslocamentos, além de aumentar a interação entre os materiais aço e concreto. Os modelos mostraram acréscimo de ductilidade e capacidade de absorção de energia. Mirza e Skrabek (1991) pesquisaram a influência de vários fatores na resistência de pilares mistos curtos totalmente revestidos, de seção quadrada. Entre estes fatores, tem-se a resistência do concreto, a razão de contribuição do aço, a excentricidade da carga, a resistência do aço, as dimensões transversais do concreto e do aço e a localização do perfil e da armadura. Os três primeiros fatores citados exerceram maior influência na resistência última dos 16 pilares mistos ensaiados. Dois valores de esbeltez foram usados: 0 e 1,9. Foram utilizadas as seguintes razões entre as excentricidades das cargas aplicadas e a dimensão da seção quadrada do pilar (provocando momento em torno do eixo de maior inércia da seção de aço): 0,05 ; 0,1 ; 0,15 ; 0, ; 0,5 ; 0,3 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,7 ; 0,8 ; 1,0 ; 1,5 ;,0 ; 4,0 e (flexão pura). Mirza e Skrabek (199), em seu estudo de pilares mistos totalmente revestidos, perceberam que a esbeltez do pilar, a razão de contribuição do aço e a excentricidade da carga exerceram enorme influência na resistência dos pilares mistos esbeltos de seção quadrada ensaiados. As mesmas razões entre as excentricidades aplicadas e a dimensão da seção relacionadas acima foram consideradas. No que se refere aos valores de esbeltez considerados, estes foram:,1 ; 33 ; 66 e 100. Hunaiti e Fattah (1994) realizaram ensaios experimentais de 19 pilares mistos aço-concreto parcialmente revestidos, submetidos à carga axial excêntrica ao longo do eixo de maior inércia, com o objetivo de estudar a capacidade de carga deste tipo de pilar. As variáveis

34 16 analisadas foram: a excentricidade da carga aplicada, a razão entre as excentricidades nas extremidades do pilar e o efeito da resistência do concreto. Foi feita ainda uma comparação dos resultados experimentais com os previstos pela norma BS 5400 (1979), com relação à capacidade de carga dos pilares. Os resultados calculados pela norma foram mais precisos nos casos de excentricidades iguais nas extremidades dos pilares e para concreto de alta resistência. O comportamento estrutural e a resistência última de pilares mistos aço-concreto totalmente revestidos, de seção quadrada, foram pesquisados por Mirza et al. (1996) por meio de 16 ensaios experimentais. Estes pilares eram esbeltos e foram submetidos a diferentes combinações de carga axial e transversal. As tensões no perfil de aço e as deformações no concreto foram medidas e o mecanismo de falha do pilar identificado. Foi observado que, para cargas estáticas, a condição de aderência na interface dos conectores de cisalhamento com o concreto ao seu redor tinha pouca influência na resistência última atingida pelos pilares. Além disso, foi desenvolvido um modelo de elementos finitos para os pilares mistos em questão, com auxílio do programa ABAQUS (versão 4.8), e os resultados comparados com as previsões das normas ACI-318 (1995) e EC4(199) e com os obtidos experimentalmente. As normas estimaram satisfatoriamente a resistência última obtida nos ensaios e o modelo numérico apresentou resultados muito bons tanto para a resistência última quanto para o comportamento carga-deslocamento, comparando-se com os observados nos ensaios. Uma análise numérico-experimental de pilares mistos aço-concreto totalmente revestidos foi feita por Muñoz e Hsu (1997a). Os pilares ensaiados foram submetidos à flexão biaxial e a cargas de compressão, em curvatura simples, e tinham a seção transversal quadrada. Foram analisados os efeitos da excentricidade da carga axial, comprimento efetivo do pilar, diferentes propriedades do concreto e do aço, e os comportamentos carga-deslocamento e momento-curvatura até ser atingida a carga última do pilar misto. Observou-se que os principais fatores que influenciaram na resistência e na curvatura dos pilares ensaiados foram a resistência última do concreto e sua correspondente deformação máxima de compressão.

35 17 Muñoz e Hsu (1997b) realizaram um estudo numérico e propuseram uma equação interativa para o cálculo da capacidade de carga última de pilares mistos aço-concreto totalmente revestidos, curtos ou longos. Esta equação é baseada numa função matemática contínua que representa o diagrama de interação momento-força normal. As seções transversais dos pilares foram retangulares e quadradas e as solicitações analisadas consistiam de carga axial e flexão uniaxial ou biaxial. A equação proposta satisfaz os princípios fundamentais do equilíbrio, compatibilidade de deformações e estabilidade estrutural, além de levar em consideração efeitos de segunda ordem para os pilares esbeltos. Os resultados numéricos foram comparados com valores obtidos em diversos ensaios experimentais e com as normas American Concrete Institute (ACI-199) e American Institute of Steel Construction (AISC, 1986). A resistência nominal de pilares mistos aço-concreto obtida por meio das normas de dimensionamento não é igual à resistência real dos mesmos. Esta variabilidade na resistência é causada, entre outros fatores, por variações nas resistências do aço e do concreto, nas dimensões das seções de concreto e de aço e na localização da armadura e do perfil de aço no pilar (no caso de pilares revestidos de concreto). Porém, as normas levam em consideração esta variabilidade por meio dos coeficientes de segurança. A determinação da variabilidade da resistência é de importância fundamental para se estabelecerem critérios seguros nas normas de dimensionamento de pilares mistos. Mirza (1998) desenvolveu um estudo estatístico com pilares mistos aço-concreto totalmente revestidos, para investigar a variabilidade da resistência última destes pilares. Os resultados indicaram que a esbeltez do pilar, a excentricidade da carga e a relação A. f / s y Ac. f ck influenciaram na distribuição probabilística da resistência dos pilares mistos, tanto curtos quanto esbeltos. Uma comparação entre as normas de dimensionamento ACI-318 (1999) e AISC-LRFD (1993), para pilares mistos aço-concreto totalmente revestidos, foi feita por Weng e Yen (00). Seus objetivos foram investigar as diferenças entre as duas abordagens e avaliar a precisão destes dois métodos na determinação da resistência dos pilares, comparando-se os resultados obtidos com 78 ensaios experimentais realizados por diferentes autores. As principais conclusões foram as seguintes:

36 18 a) Em geral, a partir da comparação com os resultados experimentais, a norma ACI- 318 foi mais precisa do que o AISC-LRFD na determinação da resistência dos pilares; b) Por meio da observação dos modos de ruptura ou falha dos pilares, foi possível perceber que o método de compatibilidade de deformações do ACI-318 foi capaz de descrever com maior realismo o comportamento dos pilares mistos revestidos do que o método de transformação da seção recomendado pelo AISC-LRFD; c) Para taxas de aço entre % e 1%, a resistência prevista pela norma ACI-318 é mais precisa do que o AISC-LRFD; d) Os resultados estatísticos demonstraram que a relação entre a capacidade de carga prevista pelo ACI e a obtida pelos ensaios possui um valor médio maior (0,9) e um coeficiente de variação menor do que a relação calculada utilizando-se a capacidade de carga prevista pelo AISC-LRFD. A norma ACI-318 segue os mesmos procedimentos da análise de pilares de concreto armado. Enquanto a norma AISC-LRFD é recomendada para seções mistas simétricas, o ACI-318 é recomendada tanto para seções simétricas quanto não-simétricas. A seguir será feita uma apresentação resumida da abordagem do ACI-318 para pilares mistos açoconcreto revestidos. - Resistência à compressão uniaxial: P P n = 0,8.P o (3.1) = f f + f, (3.) ' o 0,85. c.a c + yr.a r y.a s onde: P n = resistência nominal à compressão;

37 19 P o = capacidade teórica do pilar submetido à compressão uniaxial; ' f c = resistência à compressão do concreto; A c, A r, respectivamente; A s = áreas do concreto, da armadura longitudinal e do perfil de aço, f yr, f y = resistências ao escoamento da armadura longitudinal e do perfil de aço, respectivamente. - Efeito de segunda ordem: A norma exige que todos os pilares sejam calculados como viga-coluna, transferindo tanto forças cortantes quanto momentos fletores nos nós. Os pilares devem ser dimensionados com as cargas majoradas e momentos advindos de uma análise de segunda ordem. - Comportamento à flexo-compressão: A abordagem para a determinação da resistência com base na interação entre carga axial e momento fletor para pilares mistos revestidos é essencialmente a mesma dos pilares de concreto armado. Ela é baseada numa análise de compatibilidade de deformações no estado limite para o desenvolvimento de uma relação interativa carga axial-momento fletor. Entre algumas hipóteses assumidas nesta análise, tem-se: as seções planas permanecem planas, a máxima deformação de compressão do concreto é 0,003, o concreto à tração e o encruamento do perfil de aço e da armadura são desprezados Estudos relativos a pilares mistos preenchidos com concreto Pilares mistos aço-concreto preenchidos foram ensaiados por Furlong (1967) e um método alternativo para a determinação da carga axial última foi proposto. pilares de seção circular e 17 de seção quadrada foram ensaiados para diversas cargas axiais, que se mantiveram constantes enquanto momentos aplicados cresciam até que os pilares não mais resistissem à carga axial. Mais 8 pilares de seção circular e 5 de seção quadrada foram

38 0 ensaiados à compressão axial. Como variáveis da análise podem ser citadas a espessura e o comprimento dos tubos, o limite de escoamento do aço, a quantidade de armadura longitudinal e a resistência do concreto. Um ano mais tarde, Furlong (1968) apresentou resultados de 50 ensaios de pilares mistos aço-concreto preenchidos, com o objetivo de determinar a rigidez e a capacidade de carga de cada um. 1 pilares tinham seção circular e 9, quadradas. Entre as variáveis estudadas estavam a rigidez à flexão (EI), a aderência entre o perfil de aço e o concreto e a excentricidade da carga axial. Foram ainda propostas fórmulas para a rigidez efetiva e para a resistência do pilar misto. Knowles e Park (1969) realizaram um estudo teórico-experimental de pilares mistos açoconcreto preenchidos, de seções circular e quadrada. Cargas axiais centradas e excêntricas foram aplicadas. Foi verificado que, em certos ensaios, o concreto aumentou de volume de forma repentina para um certo valor da deformação longitudinal de compressão, e isto causou uma pressão interna no tubo de aço. O tubo de aço, por sua vez, provocou uma tensão de confinamento no concreto e este, então, teve a sua capacidade de carga axial de compressão aumentada. Nove pilares mistos aço-concreto preenchidos e de seção retangular foram ensaiados por Shakir-Khalil e Mouli (1990). Um grupo de pilares foi submetido à carga axial e outro à flexão biaxial. Também foram ensaiados pilares só de aço para efeito de comparação de resistências. Todos os resultados obtidos foram comparados com as normas BS 5950 (1985) e BS 5400 (1979). Foi mais uma vez comprovado que há um aumento da capacidade de carga dos tubos de aço quando são preenchidos por concreto. Verificou-se que tal ganho depende das características do aço e do concreto utilizados, da dimensão da seção de aço, do comprimento do pilar, do plano de flexão e da excentricidade da carga axial de compressão aplicada. Por exemplo, a resistência relativa entre o pilar misto e o pilar de aço cresce quando são utilizados concretos de maior resistência e maiores dimensões da seção de aço. Porém, esta resistência relativa é influenciada de maneira adversa quando são utilizados aços de maior resistência e pilares de maior comprimento.

39 1 Uma investigação a respeito dos pilares mistos aço-concreto preenchidos, de seção circular, foi feita por Prion e Boehme (1994), por meio de 6 ensaios experimentais. Os tubos de aço eram finos (1,7mm de espessura e 15mm de diâmetro) e o concreto era de alta resistência. Variou-se a resistência característica à compressão do concreto de 73 a 9 MPa. Os carregamentos aplicados foram: compressão pura, diversas combinações de carga axial e momento fletor e flexão pura, sendo que três das amostras foram submetidas a carregamento cíclico. Especial atenção foi dada ao nível de ductilidade que tais pilares podem alcançar. Os autores comentam que, apesar das vantagens que este tipo de pilar oferece, seu uso ainda é restrito devido ao alto custo das ligações viga-pilar e à falta de procedimentos eficientes de construção. Um método de dimensionamento de ligações entre vigas de aço e pilares mistos açoconcreto preenchidos, de seção circular, foi objeto de pesquisa de Azizinamini et al. (1995). A norma base utilizada foi o AISC-LRFD (1986). A ligação consistia na passagem completa da viga de aço pelo pilar. Shakir-Khalil e Al-Rawdan (1996) apresentaram um resumo dos ensaios experimentais de 15 pilares mistos aço-concreto preenchidos, de seção retangular. Os pilares tinham comprimentos de 3, 4 e 5 m, aproximadamente, e foram submetidos à flexão uniaxial em relação aos eixos principais de maior e menor inércias. Foram consideradas as seguintes excentricidades das cargas aplicadas: 6, 15, 45 e 75 mm ao longo do eixo principal de menor inércia, e 30 mm ao longo do eixo principal de maior inércia. Os resultados experimentais foram comparados com as previsões da norma BS 5400 (1979) e demonstraram que tais previsões são não-conservativas para o caso de flexão em torno do eixo principal de menor inércia da seção. Além disso, os resultados obtidos nos ensaios são também comparados com os advindos da análise numérica dos pilares mistos via programa comercial ABAQUS (versão 5.4). Foram previstas pelo método numérico as cargas de falha destes pilares e as relações carga-deslocamento até e após a ruptura dos mesmos. Kitada (1998) descreveu o estado da arte de pilares mistos aço-concreto preenchidos, utilizados como elementos estruturais para pontes de cais no Japão. Ele ainda comenta a

40 diferença entre os modos de flambagem local de pilares de aço e de pilares mistos. Considerando-se a ductilidade dos pilares como a razão entre o deslocamento na carga última e o deslocamento na carga de escoamento, foi constatado que a ductilidade de uma amostra de pilar misto de seção retangular era pequena se comparada com a de um pilar de seção circular. Uy (1998) pesquisou o fenômeno da flambagem local, e o comportamento após este fenômeno, de chapas finas de aço em pilares mistos aço-concreto preenchidos, de seção quadrada. Pilares mistos de chapas finas, neste caso, são aqueles dimensionados para considerar o efeito benéfico que o concreto propicia com relação à flambagem local das chapas de aço. Este tipo de pilar misto tem sido amplamente usado em edifícios altos, para resistir tanto a cargas verticais, quanto laterais. O autor ainda destaca algumas das vantagens relacionadas aos pilares mistos preenchidos, entre elas a capacidade do perfil de aço resistir a uma considerável parcela de carga durante a construção (antes do preenchimento com concreto), além do mesmo servir como fôrma para o concreto, e a menor quantidade de aço necessária, pois o concreto é dimensionado para resistir à maior parcela de carga axial de compressão. Conclui comentando que ganhos econômicos podem ser obtidos por meio de análise adequada do fenômeno da flambagem local das chapas de aço. Com base em relações constitutivas dos materiais, Brauns (1999) realizou uma análise do estado de tensões em pilares mistos aço-concreto preenchidos, de seção circular, levando-se em consideração que o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do concreto dependem do nível de tensão. Foi observado que o efeito de confinamento ocorre para um nível alto de tensões, no momento em que o perfil de aço está tracionado e o concreto comprimido, transversalmente. Os pilares mistos aço-concreto preenchidos, de seção circular, têm a resistência do concreto aumentada pelo efeito de confinamento. Porém, ao mesmo tempo, há uma redução da resistência axial da seção de aço.

41 3 Liang e Uy (000) descreveram o efeito de confinamento em pilares mistos preenchidos, submetidos à carga axial. De acordo com eles, em pilares circulares o tubo de aço geralmente provoca um confinamento do concreto, podendo haver assim um aumento da resistência do pilar misto. Também de acordo com Shanmugam e Lakshmi (001), para o caso de pilares de seções retangulares e quadradas, o efeito de confinamento do concreto é limitado às bordas da seção e é muito pequeno, podendo ser desprezado no dimensionamento. Kato (1996) complementa que, para o caso de pilares circulares, o efeito de confinamento depende da relação entre as resistências do aço e do concreto e da relação entre as rigidezes dos mesmos. Uy (001) realizou um grande número de ensaios de pilares mistos aço-concreto preenchidos, de seção quadrada. Este tipo de pilar tem sido muito usado nos últimos anos em projetos de edifícios altos, uma vez que eles são consideravelmente mais econômicos do que os convencionais pilares de aço. Além disso, o autor destaca que estes pilares mistos apresentam vantagens também sobre os pilares de concreto armado, como por exemplo, a possibilidade de se utilizar uma porcentagem maior de armadura na seção. Em construções em que é fundamental maior área livre, necessitando-se assim de pilares de dimensões menores, pode-se utilizar este tipo de pilar com aço de alta resistência. Nos ensaios experimentais realizados, usou-se aço de alta resistência e os pilares foram solicitados por forças axiais centradas e excêntricas. Beutel et al. (001) destacaram a tendência atual de se utilizar a construção mista açoconcreto em edifícios altos, principalmente devido às vantagens estruturais e econômicas deste tipo de construção. Destacaram também que pilares mistos aço-concreto preenchidos têm a capacidade de suportar grandes cargas axiais com excepcional ductilidade. Beutel et al. (001) e Beutel et al. (00) apresentam um estudo experimental de ligações entre pilares mistos circulares preenchidos com concreto e vigas de aço, submetidas a carregamentos monotônico e cíclico, respectivamente. Foi comentado que, apesar de recentes eventos sísmicos terem comprovado que o método de dimensionamento existente, relativo a cargas sísmicas, é seguro, ainda é necessária uma pesquisa maior em diversos itens, particularmente na área de ligações. Em muitas estruturas, são exatamente as ligações

42 4 viga-pilar que fornecem a elas a rigidez lateral requerida e são estas ligações que exercem papel essencial no comportamento de edificações durante eventos de natureza sísmica. Han (00) investigou experimentalmente 4 pilares mistos aço-concreto preenchidos, de seção retangular, e submetidos à carga axial. Os principais parâmetros estudados foram o fator de confinamento,ξ, e a razão entre a altura do tubo de aço (h) e a largura do mesmo (b), β, apresentados a seguir: Onde: f ck = resistência característica do concreto à compressão; A s. f y ξ = (3.3) A. f c ck h β =, (3.4) b A, c A s = áreas das seções transversais do concreto e do tubo de aço, respectivamente. Os resultados obtidos foram comparados com as normas AISC-LRFD (1994), AIJ (1997), EC4 e GJB (001). Os ensaios indicaram que os parâmetros ξ e β tinham grande influência tanto na capacidade de carga à compressão quanto na ductilidade. A capacidade de carga prevista pelas normas mostrou-se conservadora, sendo que a GJB foi a que mais se aproximou dos resultados experimentais. A seguir apresenta-se o método de cálculo da capacidade da seção de pilares mistos de seção retangular preenchidos com concreto, submetidos à compressão axial, pela norma GJB N uo fscy.a sc = (3.5) Em que ( f y e fck em N/mm ): f scy 1,1 + B. ξ + C. ξ ). = ( f (3.6) ck f y B = 0, , (3.7)

43 5 f C = -0,077 0 sc s ck + c 0,016 (3.8) A = A + A (3.9) Um estudo numérico-experimental de pilares mistos aço-concreto preenchidos, de seção quadrada, foi feito por Varma et al. (00). Foram estudados os efeitos da relação larguraespessura do perfil de aço, da resistência ao escoamento do aço do perfil e do nível de carga axial na resistência, na rigidez e na ductilidade dos pilares mistos. 16 ensaios foram realizados, sendo 8 com carregamento monotônico e 8 com carregamento cíclico. Os resultados indicaram que o carregamento cíclico não influenciou muito na rigidez e na resistência dos pilares, em comparação com o carregamento monotônico. Porém, o carregamento cíclico resultou num decréscimo mais rápido da resistência a momento, no comportamento após a carga de pico. Vrcelj e Uy (00) desenvolveram um método de dimensionamento para se incorporar o efeito da flambagem local na determinação da carga de flambagem global de pilares mistos aço-concreto preenchidos esbeltos, de seção quadrada. Com base em um modelo numérico calibrado por diversos ensaios experimentais, realizou-se um estudo paramétrico para se avaliar a importância da esbeltez do pilar, da relação largura-espessura das chapas de aço e das resistências do aço e do concreto no comportamento dos pilares. As cargas de flambagem destes pilares foram então comparadas com aquelas em que a flambagem local foi desprezada. Constatou-se que o segundo e o terceiro fatores citados são os mais importantes. A partir disto, foi estabelecido um procedimento para se determinar um fator de redução da resistência à flambagem global, devido à flambagem local da seção de aço. Este fator mostrou-se útil na implementação de normas internacionais existentes, como, por exemplo, o EC4, no que se refere à consideração do efeito combinado das flambagens local e global na obtenção da resistência deste tipo de pilar misto, submetido a carregamento axial.

44 Estudos relativos a pilares mistos revestidos e preenchidos com concreto Kato (1996) analisou diversas curvas de flambagem relativas a pilares mistos aço-concreto preenchidos, de seção circular e quadrada, e revestidos, de seção H, a partir de ensaios experimentais. Foi proposto, então, um novo método de cálculo, baseado no EC4 (ENV ) para a determinação da resistência à flambagem deste pilares mistos, exposto a seguir. - Pilares mistos aço-concreto preenchidos: N N c = g.n y (3.10) y A s. f y + β.a c. f c + A r. = f (3.11) 1,1, para pilares mistos de seção circular β = 1,0, para pilares mistos de seção quadrada ( 1 C) yr g = B.1 (3.1) 1+ 0,34.(λ 0,) + λ B = (3.13).λ C = (B.λ) (3.14) λ = K.L π A s. f y E.I s + β.a. f + E c c.i c c (3.15) - Pilares mistos aço-concreto revestidos: N y A s. f y + 0,8.A c. f c + A r. = f (3.16) yr λ = K.L π A s. f y E.I + 0,8.A. f s + E c c.i c c + A. f + E.I r r yr, (3.17) Onde: N c = Resistência à flambagem de pilares axialmente solicitados; N y = Resistência da seção mista à plastificação total pela força normal;

45 7 λ = esbeltez relativa; E, E = módulos de elasticidade do aço e do concreto, respectivamente; c I s, I r, I c = momentos de inércia das seções do perfil de aço, da armadura e do concreto, respectivamente. Lundberg e Galambos (1996) compararam a capacidade de carga de pilares mistos açoconcreto prevista pela norma AISC-LRFD (1993) com aproximadamente 300 resultados experimentais disponíveis. Dois tipos de pilares foram estudados: preenchidos, de seções circular e retangular, e revestidos. Foi constatado que o método de dimensionamento da norma é conservativo. Os estudos realizados por Liew et al. (1998) demonstraram que os resultados do dimensionamento de pilares mistos aço-concreto pelas normas EC4 (199), BS 5400 (1979) e AISC-LRFD (1993) não convergem necessariamente para um mesmo valor. Tal fato pode ser atribuído aos diferentes valores dos coeficientes de ponderação da resistência e da solicitação e às considerações de dimensionamento relativas à deformação lenta, excentricidade da carga, etc. Wang (1999) realizou uma série de ensaios de pilares mistos aço-concreto preenchidos, de seção retangular, e revestidos. O carregamento aplicado nos pilares foi carga axial excêntrica. O objetivo principal da pesquisa foi a proposição de um novo método de dimensionamento de pilares mistos esbeltos, baseado na norma BS 5950 (1990). Além disso, foi feita uma comparação entre os resultados das normas EC4 (199), BS 5950 (1990), da nova metodologia desenvolvida e dos ensaios experimentais. Foi observado que os três métodos de cálculo são conservativos e possuem precisão semelhante. Os resultados dos ensaios demonstraram que, principalmente no caso dos pilares preenchidos, o método do EC4 resulta em um dimensionamento mais seguro e preciso do que o método do BS 5400, no que se refere às resistências dos pilares mistos esbeltos. Saw e Liew (000) compararam as abordagens das normas EC4 (199), BS 5400 (1979) e AISC-LRFD (1993), levando em consideração alguns parâmetros de dimensionamento, as

46 8 resistências nominais previstas pelas mesmas e as resistências previstas a partir de alguns ensaios experimentais. Foram estudados pilares mistos totalmente e parcialmente revestidos de seção I e pilares mistos preenchidos com concreto. Os principais resultados obtidos deste estudo foram: a) Para pilares mistos revestidos de concreto, a maior resistência à solicitação axial foi obtida pela norma AISC-LRFD. Este fato já era de se esperar, pois a curva de flambagem desta norma está mais próxima da curva a do EC4 (FIG. 3.); b) As curvas de interação para flexo-compressão apresentaram a menor discrepância, entre as normas analisadas, no caso de pilares mistos preenchidos de seção retangular; c) A norma BS 5400, comparada com o EC4, resulta em maior aumento da resistência do concreto devido ao efeito de confinamento, para baixos valores de esbeltez. d) Todas as três normas conduziram a valores conservativos para a resistência dos pilares mistos e mostraram boa conformidade com resultados experimentais; e) A norma EC4 foi considerada como a mais adequada devido a sua simplicidade e ampla faixa de aplicação. χ 1.0 curva a curva b curva c AISC LRFD (Linha pontilhada) λ FIGURA 3.- Curvas de flambagem baseadas nas normas EC4 e AISC-LRFD

47 Resumo de ensaios experimentais relativos a pilares mistos aço-concreto A TAB. 3.1 apresenta um resumo das principais características de algumas pesquisas experimentais realizadas em todo o mundo, relativas a pilares mistos aço-concreto. Para cada pesquisa, indica-se a fonte de referência, o tipo de pilar considerado (preenchido ou revestido), a forma da seção transversal mista (retangular, quadrada ou circular), o tipo de solicitação aplicada ao pilar, o número de ensaios realizados e os principais parâmetros estudados. 3.4 Estudos relativos a novas estruturas mistas aço-concreto Um novo tipo de pilar misto preenchido, composto de concreto e de fibras de plástico foi estudado por Mirmiran e Shahawy (1996). O aço usado, no caso clássico de pilares mistos aço-concreto preenchidos, é agora substituído por uma casca de fibras, podendo esta última ser de dois tipos: uma camada interna de fibras longitudinais juntamente com um conjunto externo de fibras circunferenciais, ou um tubo composto por uma camada de fibras longitudinais, localizado entre dois conjuntos de fibras circunferenciais. As principais vantagens deste tipo de construção são a enorme resistência e ductilidade obtidas, adicionalmente a uma excelente durabilidade. O novo tipo de pilar proposto é ideal para ambientes corrosivos e zonas sísmicas. Elchalakani et al. (00) apresentaram um estudo experimental sobre um novo tipo de pilar misto aço-concreto. O pilar é composto por dois tubos de aço concêntricos (o externo de seção circular e o interno, de seção quadrada) e concreto entre os dois (FIG. 3.3b). Tal sistema possui maior estabilidade global do que um pilar misto preenchido típico, de seção circular. Outras vantagens podem ser observadas, entre elas uma maior rigidez à flexão, boa estabilidade local gerada pela interação entre os dois elementos de aço e o concreto, menor peso, boas características de amortecimento, assim como bom desempenho sob cargas cíclicas. Recentes pesquisas no Japão recomendaram o uso deste tipo de pilar em autoestradas e construções de viadutos. Uma fórmula para a obtenção da resistência à compressão axial do elemento misto é ainda apresentada neste estudo.

48 30 (a) (b) FIGURA 3.3 Pilares mistos preenchidos com concreto, de seção circular: (a) solução típica; (b) solução com dois perfis concêntricos Subedi e Coyle (00) estudaram um novo tipo de estrutura mista, denominado viga mista aço-concreto-aço. Tal viga consiste de duas chapas de aço relativamente finas com um núcleo de concreto, formando uma espécie de estrutura sanduíche. A aplicação do novo tipo de elemento misto é vasta, incluindo túneis submersos, pontes e paredes de cisalhamento para grandes edificações. Para um uso eficiente deste elemento misto é fundamental uma interação completa entre as chapas e o concreto, aumentando-se com isso as capacidades de cisalhamento e flexão da seção. A FIG. 3.4 representa este tipo de construção mista. Chapa de aço Interface aço-concreto Núcleo de Concreto Chapa de aço (a) Conector de cisalhamento soldado numa chapa (b) FIGURA 3.4 Viga mista aço-concreto-aço: (a) forma típica do elemento misto açoconcreto-aço; (b) elemento misto com conectores de cisalhamento

49 31 TABELA 3.1 Resumo de ensaios experimentais Referência País Ano Tipo de pilar misto Forma da seção Tipo de solicitação Número de 1 Jones, R. e Rizk, A.A. Reino Unido Stevens, R.F. Reino Unido 3 Furlong, R. W. Estados Unidos 4 Furlong, R. W. Estados Unidos 5 Knowles, R.B. e Park, R. 6 Neogi, P.K. et al. 7 Drysdale, R.G. e Huggins, M.W. 8 Virdi, K.S. e Dowling, P.J. 9 Anslijn, R e Janss, J. Nova Zelândia Reino Unido 1963 Totalmente revestido 1965 Totalmente revestido Parâmetros analisados ensaios Retangular Axial excêntrica 8 Comprimento e dimensões da seção do pilar, quantidade de armaduras longitudinal e lateral utilizada. Retangular e quadrada 1967 Preenchido Quadrada e circular 1968 Preenchido Quadrada e circular 1969 Preenchido Quadrada e circular Axial excêntrica 11 Excentricidade da carga aplicada (ao longo do eixo principal menor), resistências do aço e do concreto, dimensão da seção do pilar. Axiais concêntrica e excêntrica Axiais concêntrica e excêntrica Axiais concêntrica e excêntrica 5 Espessura e comprimento dos tubos de aço, resistências do aço e do concreto, quantidade de armadura longitudinal. 50 Rigidez à flexão (EI) do pilar, aderência entre o perfil de aço e o concreto, excentricidade da carga axial. 8 Esbeltez do pilar, resistências do aço e do concreto Preenchido Circular Axial excêntrica 18 Razão diâmetro-espessura do perfil, razão comprimento efetivo do pilar diâmetro do perfil, excentricidade da carga aplicada e resistências do aço e do concreto. Canadá 1971 Preenchido Quadrada Axial excêntrica 58 Resistências do aço e do concreto, seqüência e duração do carregamento, excentricidade. Reino 1973 Totalmente Quadrada Axial excêntrica 9 Comprimento dos pilares, excentricidade em Unido revestido relação a ambos os eixos principais. Bélgica 1974 Totalmente Retangular revestido e quadrada Axial excêntrica 30 Comprimento efetivo do pilar, esbeltez relativa, resistências do aço e do concreto, dimensões do perfil de aço e da seção do pilar.

50 3 TABELA 3.1 Resumo de ensaios experimentais (continuação) Referência País Ano Tipo de Forma da Tipo de Número Parâmetros analisados pilar misto seção solicitação de ensaios 10 Matsui, C. et al. Japão 1979 Totalmente Quadrada Axial excêntrica 4 Comprimento efetivo, esbeltez relativa do 11 Task Group 0, SSRC Estados Unidos 1 Morino, C. et al. Japão 1984 Totalmente revestido 13 Roik, K. e Schwalbenhofer, K. 14 Shakir-Khalil,H. e Zeghiche, J. 15 Shakir-Khalil,H. e Mouli, M. 16 Elnashai, A.S. et al. Alemanha 1989 Reino Unido Reino Unido Reino Unido revestido 1979 Preenchido Circular Momentos uniaxiais em relação a ambos eixos principais e axial concêntrica Totalmente revestido pilar, resistências do aço e do concreto. 63 Dimensões do perfil de aço, comprimento efetivo do pilar, esbeltez relativa do pilar, resistências do aço e do concreto. Quadrada Axial excêntrica 40 Excentricidade da carga de compressão aplicada (em relação a ambos os eixos principais), resistências do aço e do concreto, razão entre as excentricidades aplicadas e a dimensão da seção do pilar, entre outros. Quadrada Axial excêntrica 7 Excentricidade da carga aplicada (produzindo flexão uniaxial ou biaxial), resistências do aço e do concreto, dimensão da seção do pilar Preenchido Retangular Axial excêntrica 7 Resistências do aço e do concreto, razão entre as excentricidades da força de compressão aplicada (relativas aos eixos principais da seção) e as dimensões (largura e comprimento) do perfil de aço Preenchido Retangular Axiais concêntrica e excêntrica 1991 Parcialmente revestido Quadrada Cíclica e dinâmica 9 Excentricidade em relação a ambos os eixos principais da seção, dimensões do perfil de aço, resistências do aço e do concreto. 6 Tipo de carregamento e percentagem de carga axial aplicada.

51 33 TABELA 3.1 Resumo de ensaios experimentais (continuação) Referência País Ano Tipo de pilar misto Forma da seção Tipo de solicitação Número de 17 Mirza, S.A. e Skrabek, B.W. 18 Ge, H.e Usami, T. 19 Mirza, S.A. e Skrabek, B.W. 0 Rangan, B.V. e Joyce, M. 1 Hunaiti, Y.M. e Fattah, B.A. Prion, H.G.L. e Boehme, J. 3 Ricles, J.M. e Paboojian, D. 4 Wium, J.A. e Lebet, J.P. 5 Boyd, P.F. et al. Canadá 1991 Totalmente revestido Japão 199 Preenchido Quadrada Cíclica de compressão Canadá 199 Totalmente revestido Parâmetros analisados ensaios Quadrada Axial excêntrica 16 Resistências do aço e do concreto, razão de contribuição do aço, razão entre as excentricidades aplicadas e a dimensão da seção do pilar, esbeltez do pilar. 6 Razão largura-espessura do perfil de aço, utilização ou não de enrijecedores no perfil. Quadrada Axial excêntrica Resistências do aço e do concreto, razão de contribuição do aço, razão entre as excentricidades aplicadas e a dimensão da seção do pilar, esbeltez do pilar. Austrália 199 Preenchido Circular Axial excêntrica 9 Excentricidade da carga aplicada, comprimento efetivo do pilar. Jordânia 1994 Parcialmente Retangular Axial excêntrica 19 Excentricidade da carga aplicada (ao longo do revestido eixo principal maior), resistência do concreto, entre outros. Canadá 1994 Preenchido Circular Axial excêntrica 6 Resistências do aço e do concreto, tipo de carregamento (desde compressão axial pura até flexão pura), comprimento do pilar. Estados Unidos África do Sul, Suíça Estados Unidos 1994 Totalmente revestido 1994 Totalmente revestido Quadrada Sísmica 8 Grau de confinamento do concreto, mecanismo de resistência à cisalhamento, resistências do aço e do concreto. Quadrada Axial concêntrica (aplicada somente na seção de aço) 1995 Preenchido Circular Axial concêntrica e lateral cíclica 7 Espessura do revestimento de concreto, dimensão da seção transversal do aço, deformação lenta do concreto, entre outros. 5 Razão diâmetro-espessura do tubo de aço, conectores de cisalhamento, resistências do aço e do concreto.

52 34 TABELA 3.1 Resumo de ensaios experimentais (continuação) Referência País Ano Tipo de pilar misto Forma da seção Tipo de solicitação Número de ensaios Parâmetros analisados 6 Mirza, S.A. Canadá 1996 Totalmente Quadrada Axial concêntrica e 16 Excentricidade, resistências do aço e do et al. 7 Shakir- Khalil, H. e Al-Rawdan, A. 8 Muñoz, P.R. e Hsu,C.T.T. 9 Wang, Y.C. e Moore, D.B. Reino Unido Estados Unidos Reino Unido revestido transversal concreto Preenchido Retangular Axial excêntrica 15 Comprimento efetivo dos pilares, excentricidade da carga aplicada, resistências do aço e do concreto Totalmente revestido Quadrada Axiais concêntrica e excêntrica 4 Excentricidade da carga axial de compressão aplicada, comprimento efetivo do pilar, resistências do aço e do concreto Preenchido Retangular Axial excêntrica 10 Excentricidades ao longo de ambos os eixos principais da seção. 30 Uy, B. Austrália 1998 Preenchido Quadrada Compressão axial 10 Dimensões da seção, tensão residual e método de carregamento (em toda a seção mista ou somente no perfil de aço). 31 Nakanishi, K. et al. 3 Wang, Y.C. Reino Unido 33 Wang, Y.C. Reino Unido 34 Varma, A.H. et al. Japão 1999 Preenchido Quadrada Sísmica 8 Tipo da seção transversal, resistências do aço e do concreto, período natural de vibração Totalmente Quadrada Axial excêntrica 7 Excentricidade em relação aos dois eixos revestido principais da seção, resistências do aço e do Estados Unidos concreto Preenchido Retangular Axial excêntrica 8 Excentricidade em relação aos dois eixos principais da seção, resistências do aço e do concreto. 000 Preenchido Quadrada Axial concêntrica 4 Razão largura-espessura do perfil de aço, resistência do aço.

53 35 TABELA 3.1 Resumo de ensaios experimentais (continuação) Referência País Ano Tipo de pilar misto Forma da seção Tipo de solicitação Número de ensaios Parâmetros analisados 35 Uy, B. Austrália 001 Preenchido Quadrada Axiais concêntrica e excêntrica 13 Largura externa da seção do pilar, razão entre a largura interna da seção do pilar e a espessura do tubo de aço, resistência do concreto. 36 Han, L.H. China 00 Preenchido Retangular Axial concêntrica 4 Razão entre a altura e a largura da seção de 37 Varma, A.H. et al. Estados Unidos 00 Preenchido Quadrada Axial concêntrica constante combinada com carregamento monotônico de flexão, axial concêntrica constante combinada com carregamento cíclico de flexão. aço, fator de confinamento. 16 Espessura do tubo de aço, razão larguraespessura do tubo de aço, resistência do aço, valor da carga axial aplicada.

54 36 4 NORMAS RELATIVAS A PILARES MISTOS AÇO-CONCRETO 4.1 Considerações iniciais Neste capítulo são abordadas de maneira resumida algumas das normas mais importantes e mais utilizadas para cálculo de pilares mistos aço-concreto. São elas: NBR 1433 (1999), AISC-LRFD (1999) e Eurocode 4 (199). A abordagem feita por estas normas considera algumas limitações em comum, tais como: - são previstos três tipos de pilares mistos: perfil I totalmente envolvido por concreto, perfil I parcialmente envolvido por concreto (exceto AISC-LRFD) e tubo de aço (seção retangular ou circular) preenchido por concreto; - somente seções mistas duplamente simétricas são analisadas, e estas devem ser constantes ao longo do comprimento do pilar; - a solicitação considerada é a flexão oblíqua composta, ou seja, força normal de compressão atuando em conjunto com momentos relativos a ambos os eixos de simetria do perfil de aço;

55 37 - consideram-se nos cálculos os momentos fletores advindos de imperfeições iniciais (curvaturas e excentricidades) não previstas. Estes momentos e também aqueles já previstos na análise (associados a translações dos nós ou a cargas transversais ao eixo do pilar) são modificados pelos efeitos de segunda ordem (efeitos da força normal de compressão na estrutura deformada); - admite-se que as seções planas permanecem planas e que ocorra interação completa entre aço e concreto até a plastificação total da seção; - na análise de sistemas estruturais, os pilares mistos devem ser considerados no regime elástico, mesmo que a análise da estrutura seja elasto-plástica ou rígido-plástica. Os efeitos de segunda ordem devem sempre ser levados em conta, tanto na barra, quanto na estrutura como um todo. 4. Abordagem conforme NBR 1433 (1999) 4..1 Considerações adicionais ao item Esta norma é baseada no Eurocode 4 (199); - A área da seção transversal da armadura longitudinal utilizada no cálculo da resistência do pilar misto deve se encontrar dentro do intervalo de 0,3% a 4% da área da seção transversal do concreto. Caso o limite superior de 4% seja ultrapassado, somente 4% da área da seção transversal do concreto devem ser utilizados nos cálculos, para a área da seção transversal da armadura. 4.. Análise estrutural A rigidez do pilar é a rigidez efetiva à flexão (EI) e, definida por: Ec ( EI) e = EaIa + EsIs + 0,8.. Ic γc (4.1)

56 38 Onde: Ea, Es, Ec = módulos de elasticidade do aço do perfil, do aço da armadura e do concreto, respectivamente; Ia, Is, Ic = momentos de inércia das seções transversais do perfil, da armadura e do concreto não-fissurado, respectivamente, em relação ao eixo de flexão analisado; γ c = coeficiente de segurança igual a 1,35. Caso efeitos de longa duração devam ser levados em consideração, deve-se modificar o valor de E c na fórmula acima para E c : 0,5. NG, Sd E c = Ec. 1 (4.) NSd Onde: N Sd = força normal de cálculo; N G, Sd = parcela permanente ou quase permanente de Sd N. Além disso, imperfeições geométricas e estruturais devem ser levadas em conta na análise Pilares indeslocáveis Apesar dos nós serem indeslocáveis, é necessário considerar imperfeições entre os mesmos, como por exemplo, curvatura inicial e excentricidade da carga. Além disso, efeitos de ª ordem entre os nós devem também ser analisados. Por exemplo, se um pilar submetido à flexo-compressão possuir uma curvatura inicial, os efeitos de ª ordem devem ser considerados inclusive sobre esta curvatura. Nas curvas de flambagem usadas, a curvatura inicial e o efeito de ª ordem nesta curvatura já estão incluídos nos coeficientes ρ. Entretanto, o efeito de ª ordem local (entre os nós do pilar) nos momentos fletores Cm aplicados deve ser determinado, utilizando-se para isso o coeficiente da NBR. Nsd 1 Ne

57 39 Onde: C m = coeficiente definido no item 5.6 da NBR 8800 (1986); N e = carga de flambagem elástica por flexão. ( m C e Ne são relativos ao eixo de flexão considerado). Para obter o efeito de ª ordem, de forma aproximada, dentro do comprimento do pilar misto, basta multiplicar este coeficiente pelo maior momento fletor obtido na análise da estrutura Efeito da força cortante na seção transversal de um pilar misto Normalmente, a solicitação é considerada totalmente aplicada na seção metálica, seguindose as recomendações da NBR 8800 (1986). Porém, pode-se também dividir seu efeito, por meios adequados, entre o aço e o concreto, atendendo-se à NBR 8800 (1986) e à NBR 6118 (1978). Do lado da segurança, despreza-se a contenção da(s) alma(s) do perfil de aço pelo concreto Cisalhamento longitudinal em um pilar misto Fora das regiões de introdução de carga, a distribuição de tensões de cisalhamento na interface aço/concreto pode ser determinada com base nas propriedades elásticas da seção não-fissurada, levando-se em consideração os efeitos da seqüência de construção e da deformação lenta. Caso as tensões de cálculo excedam as resistências de cálculo, correspondentes ao atrito e à aderência, devem ser utilizados conectores de cisalhamento para o excesso. Quando os conectores são instalados na alma de um perfil I parcialmente ou totalmente envolvido por concreto, a expansão lateral do concreto comprimido pelos conectores é contida pelas mesas do perfil, ocasionando forças de atrito que se somam à resistência do conector. Esta resistência adicional não é prevista pela norma NBR 1433.

58 40 Normalmente, fora das regiões de introdução de carga, a aderência entre o aço e o concreto é suficiente para resistir às tensões de cisalhamento longitudinais. Nas regiões de introdução de carga (ligações com vigas, bases, emendas, topo), forças e momentos aplicados por barras ou placas ligadas às extremidades de um pilar misto, ou entre tais extremidades, devem ser distribuídas entre o aço e o concreto levando-se em consideração a resistência ao cisalhamento na interface dos dois elementos. Devem ser previstos conectores de cisalhamento nas regiões de mudança de seção e nas regiões de introdução de carga, quando as resistências de cálculo à tensão de cisalhamento forem excedidas. As tensões de cisalhamento devem ser obtidas com base na variação dos esforços solicitantes dentro do comprimento de introdução de carga, a partir da teoria plástica. Se as cargas forem aplicadas somente na seção de concreto, devem ser levados em conta os valores resultantes de uma análise elástica considerando-se deformação lenta e retração Resistência à força normal de compressão e à flexão composta a) Resistência da seção à plastificação total A resistência de cálculo da seção mista à plastificação total pela força normal é dada por: N A. f φ. A. f + φ. α. A. f + φ. pl, Rd a a y c c ck s = (4.3) s ys Onde: A a,a c, As = áreas da seções transversais do perfil de aço, do concreto e da armadura, respectivamente; f y, f ys = limites de escoamento dos aços do perfil e da armadura, respectivamente; f ck = resistência característica do concreto à compressão; φ, φ, φ = coeficientes de segurança dos materiais aço estrutural, concreto e armadura a c s iguais a 0,9, 0,7 e 0,85, respectivamente;

59 41 α = 0,85 para perfis I parcialmente ou totalmente envolvidos por concreto e 1,0 para tubos preenchidos com concreto. Para tubos de seção circular preenchidos com concreto, pode-se levar em consideração o aumento de resistência do concreto devido ao confinamento, desde que certas condições com respeito aos valores de λ (parâmetro de esbeltez) e de M sd / N sd (para flexão composta) sejam verificadas. b) Razão de contribuição do aço (δ ) Denomina-se razão de contribuição do aço a relação entre as resistências de cálculo da seção de aço e da seção mista, para o estado limite de plastificação total por força normal. Este valor deve ficar entre 0, e 0,9. ( φ. A. f ) a a y δ = (4.4) N pl, Rd c) Parâmetro de esbeltez ( λ ) O parâmetro de esbeltez deve ser igual ou inferior a,0. 1 N pl, R λ = (4.5) Ne Onde: (EI) (KL) e Ne = π. (4.6) N pl,r = resistência nominal da seção mista à plastificação total pela força normal; (determinado conforme N pl,rd com os coeficientesφ a, φ e φ iguais a 1) c s

60 4 N e = carga de flambagem elástica por flexão; KL = comprimento efetivo de flambagem; (EI) e = rigidez efetiva à flexão. d) Imperfeições da barra As imperfeições da barra podem ser levadas em conta utilizando-se as curvas de flambagem da NBR 8800, 1986, citadas abaixo: Curva a, para perfis tubulares preenchidos com concreto; Curva b, para perfis I total ou parcialmente revestidos de concreto, para flambagem em torno do eixo principal de maior inércia do perfil; Curva c, para perfis I total ou parcialmente revestidos de concreto, para flambagem em torno do eixo principal de menor inércia do perfil. e) Resistência do pilar à compressão axial A resistência de cálculo do pilar misto à compressão uniaxial, levando-se em conta a flambagem, é dada por: N = ρ (4.7) Rd.Npl, Rd Onde: ρ = fator de redução devido à flambagem, dado pela NBR 8800 (1986), função da curva de flambagem e do parâmetro de esbeltez λ. f) Resistência à flexão composta

61 43 Quando um pilar misto está submetido à flexo-compressão, utiliza-se o diagrama de interação mostrado na FIG. 4.1: NSd Npl,Rd NRd NSd B A C Nc Nn M'NRd MNRd MRd M pl,rd MRd FIGURA 4.1 Diagrama simplificado de interação força normal-momento fletor NBR 1433 (1999) Esta figura é uma simplificação da curva representativa dos pares força normal-momento fletor, os quais provocam, em conjunto, a plastificação da seção. As variáveis envolvidas são: N Sd = força normal de cálculo; M Rd = resistência de cálculo a momento fletor do pilar sujeito a N Sd ; M (N - N ) = (4.8) (N - N ) pl, Rd. pl, Rd Sd M Rd = Mpl, Rd. µ d pl, Rd c N pl,rd = resistência de cálculo da seção mista à plastificação total pela força normal; N Rd = resistência de cálculo do pilar misto à compressão axial; M pl,rd = resistência de cálculo da seção mista à plastificação total pelo momento fletor, com N Sd igual a zero ou igual a N c ;

62 44 N c = resistência de cálculo da seção de concreto à plastificação total pela força normal; N c = φ c.α.a c.f ck (4.9) M NRd = momento devido à atuação de N Rd na imperfeição inicial do pilar, incluindo efeito de segunda ordem, considerado implicitamente por meio das curvas de flambagem; M (N - N ) = (4.10) (N - N ) pl, Rd. pl, Rd Rd M NRd = Mpl, Rd. µ k pl, Rd c N n = valor da força normal para o qual se admite momento devido à imperfeição inicial do pilar igual a zero; M1 1 + M Nn = N Rd. (4.11) 4 M 1 /M = relação entre o menor e o maior momentos na extremidade do pilar, positiva para curvatura reversa; deve-se tomar M 1 /M = -1 quando o momento em alguma seção intermediária for superior em valor absoluto a M 1 e M, e também no caso de balanços. No ponto A da FIG. 4.1 tem-se que N Sd = N Rd, ou seja, o pilar misto não resiste a nenhum momento adicional a M NRd. Para qualquer valor de N Sd entre N n e N Rd, admite-se uma redução linear do valor de M NRd, de modo que para o ponto B tem-se: MNRd. (NSd - Nn) M NRd = (4.1) (NRd - Nn) O trecho BC corresponde ao acréscimo de momento que se pode aplicar no pilar:

63 45 K.M Sd M Rd M NRd (4.13) Onde: Cm K = 1 Nsd 1 Ne (4.14) M Sd = momento fletor de cálculo, incluindo efeitos de segunda ordem e imperfeições iniciais de montagem. A NBR 1433 utiliza um coeficiente de segurança na expressão acima: K.M Sd 0,9.(M Rd M NRd ) (4.15) Logo, a partir das expressões acima, tem-se: Mpl, Rd. µ k (NSd - N n) K.MSd 0,9. Mpl, Rd. µ d - (4.16) (NRd - N n) µ k (N (N Sd - N n) Rd - N n) K. M + (0,9.M Sd pl,rd ) µ d (4.17) Notas: Se N Sd for inferior a N n, a primeira parcela da expressão (4.17) á nula; Qualquer um dos coeficientes µ k e µ d deve ser tomado igual a 1 quando for maior do que 1; Para o caso de momentos fletores atuando nos dois planos principais do pilar, a expressão (4.17) é expandida como mostrado abaixo, devendo a

64 46 primeira parcela ser obtida em cada um dos dois planos, tomando-se o maior dos dois resultados obtidos: µ k (N (N Sd - N n) Rd - N n) Kx. Mx, Sd + (0,9.Mx, pl, Rd Ky. My, Sd + ) (0,9.My, pl, Rd µ d ) (4.18) Em qualquer situação deve-se ter N Sd igual ou inferior a N Rd em ambos os planos principais, mesmo quando, em um deles, M Sd for nulo. g) Determinação de M pl,rd e da posição da linha neutra plástica Para a determinação da linha neutra plástica, estabelece-se que a força resultante das tensões normais (N Sd ) é igual a zero. Uma vez localizada a linha neutra plástica, pode-se obter a resistência de cálculo ao momento fletor M pl,rd. 4.3 Abordagem conforme AISC-LRFD (1999) Considerações adicionais ao item 4.1 K.L - O índice de esbeltez λ = deve ser igual ou inferior a 00, onde: rm r m = raio de giração relevante do perfil, porém, no caso de perfil I totalmente envolvido por concreto, não menos do que 0,3 vezes a dimensão da seção no plano de flambagem; - Não é abordado o caso de pilares mistos com perfil I parcialmente revestidos por concreto; -A área da seção transversal do perfil I ou do tubo de aço não pode ser inferior a 4% da área total da seção transversal mista; - A resistência característica do concreto à compressão dever estar na faixa de 0,7 MPa a 55,1 MPa para concreto normal e deve ser igual ou superior a 7,6 MPa para concreto com agregados leves;

65 47 - Os limites de escoamento do aço estrutural e do aço da armadura devem ser de no máximo 380 MPa Cisalhamento na superfície de contato aço-concreto, fora das regiões de introdução de carga Se a relação entre a força normal de compressão de cálculo e a resistência de cálculo correspondente for inferior a 0,3, o número necessário de conectores pode ser obtido considerando-se o pilar misto como se fosse uma viga mista, isto é, considerando se uma força normal igual a zero e mantendo-se o momento fletor. Se esta relação for igual ou superior a 0,3, não é necessário o uso de conectores Resistência à força cortante Normalmente, a solicitação é considerada como sendo totalmente aplicada na seção metálica. Porém, pode-se também dividir seu efeito, por meios adequados, entre o aço e o concreto. Do lado da segurança, despreza-se a contenção da(s) alma(s) do perfil de aço pelo concreto Resistência à força normal de compressão A resistência de cálculo à força normal de compressão é dada por φ c N R, onde: φ c = coeficiente de segurança = 0,85; N R = A a F cr (4.19) Para λc 1,5 : F θ cr = (0,658 ). fmy (4.0)

66 48 Para λ c> 1,5 : F 0,877 θ cr =. fmy (4.1) Em que: θ = (λc) (4.) KL fmy λc =. π.r m Em 1 (4.3) As Ac f my = fy + c1. fys. + c. fck. (4.4) Aa Aa E m Ac = Ea + c3.e c. (4.5) Aa Onde: KL = comprimento de flambagem do pilar; r m = raio de giração relevante do perfil de aço, porém, no caso de perfil I totalmente envolvido por concreto, não menos do que 0,3 vezes a dimensão da seção no plano de flambagem; A a, A c, A s = áreas das seções transversais do perfil de aço, do concreto e da armadura, respectivamente; f y, f ys = limites de escoamento dos aços do perfil e da armadura, respectivamente; f ck = resistência característica do concreto à compressão; E a = módulo de elasticidade do aço do perfil; E c = módulo de elasticidade do concreto;

67 49 c 1, c, c 3 = coeficientes numéricos, iguais, respectivamente, a 1,0, 0,85 e 0,4 para tubos preenchidos por concreto e 0,7, 0,6 e 0, para perfis I totalmente envolvidos por concreto Resistência à flexão-composta Se uma força normal de compressão e momentos fletores em relação a ambos os eixos principais do perfil I estiverem atuando no pilar misto, as seguintes condições devem ser respeitadas: NSd Se 0, φc.nr : NSd φc.n R 8 Mx, +. 9 ( φb.m Sd x, pl My, +, R) ( φb.my, Sd pl 1,0, R) (4.6) NSd Se < 0, : φc.nr NSd. φc.n R Mx, + ( φb.m Sd x, pl My, +, R) ( φb.my, Sd pl 1,0, R) (4.7) Onde: N Sd = força normal de compressão de cálculo; φ b = coeficiente de segurança da resistência ao momento fletor = 0,9; M x,sd e M y,sd = momentos fletores de cálculo, incluindo efeitos de segunda ordem e imperfeições; na determinação dos efeitos de segunda ordem por métodos aproximados, as cargas críticas de flambagem elástica devem ser obtidas pela expressão abaixo: A a. fmy = (4.8) Ncr ( λc )

68 50 M x,pl,r e M y,pl,r = resistências últimas aos momentos fletores correspondentes, na ausência de força normal, determinadas com base na distribuição plástica de tensões na seção transversal mista; considera-se apenas o concreto comprimido, com uma tensão de 0,85. f ck, o perfil e as barras da armadura sujeitos às tensões de escoamento correspondentes, tanto na NSd região comprimida quanto na tracionada. Se 0, 3, não é necessário o uso de φc.nr NSd conectores para desenvolver o comportamento misto, mas se < 0, 3, devem ser φc.nr NSd usados conectores da mesma forma que para = 0. φc.nr 4.4 Abordagem conforme Eurocode 4 (199) Considerações adicionais ao item Os efeitos de deformação lenta e retração do concreto devem ser considerados se houver uma probabilidade dos mesmos reduzirem significativamente a estabilidade estrutural; - O aumento de resistência da armadura produzido pelo concreto que a envolve (tension stiffening), entre fissuras, pode ser levado em consideração; - A área da seção transversal da armadura longitudinal utilizada no cálculo da resistência do pilar misto não deve ser menor do que 0,3% e nem maior do que 4% da área da seção transversal do concreto Análise estrutural A rigidez do pilar é a rigidez efetiva à flexão (EI) e, definida por: ( EI ) e = EaIa + EsIs + 0,8. Ecd. Ic (4.9) Onde:

69 51 E cm E cd = (4.30) γc E cm = módulo secante do concreto, de acordo com o item do Eurocode 4; γ c = 1,35 Caso efeitos de longa duração devam ser levados em consideração, deve-se modificar o valor de E cd na fórmula (4.9) para E c : 0,5. NG, Sd E c = Ecd. 1 (4.31) NSd Ecd - conforme (4.30); N G, Sd e Sd N - ver item 4..; Além disso, imperfeições geométricas e estruturais devem ser levadas em conta na análise Pilares indeslocáveis Vide item Efeito da força cortante na seção transversal de um pilar misto Normalmente, a solicitação é considerada totalmente aplicada na seção metálica. Porém, pode-se também dividir seu efeito, por meios adequados, entre o aço e o concreto Resistência ao cisalhamento

70 5 A resistência ao cisalhamento deve ser garantida pela aderência e pelo atrito na superfície de contato ou por meios mecânicos, utilizando-se conectores de cisalhamento, de modo que nenhum deslizamento significativo entre os elementos de aço e de concreto ocorra. A parcela da resistência de cálculo ao cisalhamento devida à aderência a ao atrito deve ser tomada igual a: para seções mistas totalmente revestidas por concreto: 0,3 MPa; para seções preenchidas por concreto: 0,4 MPa; para mesas em seções mistas parcialmente revestidas por concreto: 0, MPa; para almas em seções parcialmente revestidas por concreto: Resistência à força normal de compressão e à flexão composta a) Resistência da seção à plastificação total A resistência de cálculo da seção mista à plastificação total pela força normal é dada por: N A f γ ( α f γ ) A f γ a. y. ck s. sk pl, Rd = + Ac + (4.3) Ma c s Onde: α = 0,85 para seções revestidas por concreto e 1,0 para seções preenchidas com concreto; γ Ma, γ c, γ s = coeficientes de segurança dos materiais correspondentes, no estado limite último: 1,10, 1,5, 1,15, respectivamente. Para tubos de seção circular preenchidos com concreto, pode-se levar em consideração o aumento de resistência do concreto devido ao confinamento, desde que certas condições com respeito aos valores de λ (parâmetro de esbeltez) e da relação M Sd /N Sd (para flexão composta) sejam verificadas.

71 53 b) Razão de contribuição do aço (δ ) Denomina-se razão de contribuição do aço a relação entre as resistências de cálculo da seção de aço e da seção mista, para o estado limite de plastificação total por força normal. Este valor deve ficar entre 0, e 0,9. ( Aa. fy γa. ) δ = (4.33) Npl, Rd Sendo: γ a =1,10. c) Parâmetro de esbeltez ( λ ) O parâmetro de esbeltez deve ser inferior ou igual a,0: 1 Npl, R λ = (4.34) Ncr Onde: (EI) e Ncr = π. (4.35) (Lfl ) L fl = comprimento de flambagem de acordo com o item da norma; N pl,r = valor de N pl,rd calculado considerando-se os coeficientes de segurança iguais a 1. d) Imperfeições da barra

72 54 As imperfeições dentro do comprimento do pilar devem ser levadas em consideração para o cálculo das forças internas e momentos, partindo-se das seguintes curvas: Curva a, para perfis tubulares preenchidos com concreto; Curva b, para perfis I total ou parcialmente revestidos de concreto, para flambagem em torno do eixo principal de maior inércia do perfil; Curva c, para perfis I total ou parcialmente revestidos de concreto, para flambagem em torno do eixo principal de menor inércia do perfil. e) Resistência do pilar à compressão axial A resistência de cálculo do pilar misto à compressão uniaxial, levando-se em conta a flambagem, é dada por: N = χ (4.36) Rd.Npl, Rd Onde: χ = fator de redução devido à flambagem, dado pelo Eurocode 3 (199), função da curva de flambagem e do parâmetro de esbeltez λ. f) Resistência à flexão composta Quando um pilar misto está submetido à flexo-compressão, utiliza-se um diagrama de interação análogo ao do item f. Toda a análise segue também os passos do referido item.

73 55 Flexão em torno de um só eixo principal (FIG. 4.) NSd Npl,Rd 1 d D B E A C n 0 k d 1 MRd M pl,rd FIGURA 4. Diagrama simplificado de interação força normal-momento fletor Eurocode 4 (199) χ NSd d = (4.37) pl, Rd N Portanto, χ representa a força normal de cálculo na figura acima. d O ponto A na curva de interação representa a falha do pilar submetido à carga axial χ..n pl,rd, na ausência de qualquer momento aplicado. Logo, o pilar misto não resiste a nenhum momento adicional a µ. M k pl,rd (devido às imperfeições iniciais). No caso M =M 1 (momentos na extremidade, produzindo curvatura simples), assume-se que ocorra uma variação linear do momento fletor associada à imperfeição inicial, ou seja, o momento fletor de segunda ordem sendo proporcional à carga axial. Logo, para uma carga axial mais χ baixa..n d pl, Rd, o valor do momento fletor devido à carga axial é o correspondente ao trecho DE. Neste caso, a resistência a momento fletor é a correspondente ao trecho DC, e a resistência adicional EC esta disponível para resistir a um momento aplicado.

74 56 O momento fletor de segunda ordem relacionado a uma determinada carga axial diminui à medida que a relação M /M 1 decresce. Portanto, pode-se considerar uma nova ordenada como sendo: χn 1 M / M 1 = χ., para 4 χ χ d (4.38) Pode-se considerar χ..n n pl, Rd como sendo o valor da força normal abaixo do qual pode ser desprezado o momento fletor associado à imperfeição inicial. A resistência a momento fletor, então, cresce de EC para BC. A resistência a momento fletor é obtida da seguinte forma: M = 0,9. µ Rd.Mpl, Rd (4.39) Onde: µ χ χ d n = µ µ. (4.40) d k χ χ n Os valores de χ e χ. d µ e µ são obtidos da curva de interação para os respectivos valores de d k Pelo Eurocode, M 1 /M = relação entre o menor e o maior momentos na extremidade do pilar, negativa para curvatura reversa. Flexão em torno de ambos eixos principais Para o caso de flexão biaxial, as condições para verificação são as seguintes:

75 M y, Rd 0,9. µ. My, pl, Rd 57 = (4.41) y M Z, Rd 0,9. µ. MZ, pl, Rd = (4.4) z M y, Sd MZ, + µ. My, pl, Rd. MZ, y µ z Sd pl, Rd 1,0 (4.43) Observação: Deve-se verificar também o efeito da força normal isolada. µ eµ são y z determinados de forma análoga aµ (4.40), sendo que o momento devido à imperfeição inicial pode ser considerado em apenas um dos planos de flexão (o que der resultado mais desfavorável) na expressão (4.43).

76 58 5 CONSIDERAÇÕES SOBRE A TEORIA DA PLASTICIDADE 5.1 Considerações iniciais A teoria da plasticidade representa uma extensão necessária da teoria da elasticidade e sua aplicação está relacionada à análise de tensões e deformações da estrutura tanto no regime plástico quanto no elástico. Ela fornece uma estimativa mais real da capacidade de carregamento de estruturas e propicia melhor entendimento da reação dos elementos estruturais às forças externas. Quanto maior o conhecimento a respeito das relações tensãodeformação que ocorrem em um determinado sistema estrutural, mais preciso será o dimensionamento e mais adequada será a estrutura. O trabalho presente tem como objetivo final o desenvolvimento e a análise de modelos de elementos finitos de pilares mistos aço-concreto. Nesta análise, há a preocupação de como se comporta tal elemento estrutural até que este atinja sua carga última, tanto em termos de tensões, como de deformações e deslocamentos. Portanto, um bom entendimento da teoria da plasticidade, assim como sua correta aplicação nestes modelos numéricos, são essenciais.

77 59 Neste capítulo será feito um breve resumo dos principais tópicos da teoria da plasticidade que serão importantes para um melhor entendimento de capítulos posteriores. 5. Análises linear e não-linear 5..1 Análise linear Para que uma análise linear possa ser realizada e propicie um resultado adequado, é necessário que três condições sejam satisfeitas: a) Validade da Lei de Hooke (comportamento linear do material); b) Mudança de geometria desprezível após a deformação da estrutura (todas as respostas podem ser determinadas com base na geometria inicial ou indeformada); c) Não ocorrência de mudança de status, isto é, condições de vinculação, constituição da estrutura, etc. Como conseqüência da validade das condições para análise linear, o princípio da superposição de efeitos é válido, isto é, a ordem de aplicação dos carregamentos não afeta o resultado da análise realizada. 5.. Análise não-linear Uma análise não-linear deve ser feita quando pelo menos uma das condições anteriores não for atendida. Pode-se classificar uma análise não-linear em dois grupos principais: a) Não-linearidade física: O material não obedece à Lei de Hooke em toda a extensão da solicitação;

78 60 b) Não-linearidade geométrica: Há possibilidade de ocorrer de duas formas grandes deslocamentos (mais comum em análises estruturais) e grandes deformações. Como conseqüência da não validade das condições para análise linear, o princípio da superposição de efeitos não é válido, isto é, a ordem de aplicação dos carregamentos afeta o resultado da análise realizada. 5.3 Espaço de tensões de Haigh-Westergaard O estudo da teoria da plasticidade e dos critérios de falha é facilitado pelo uso de uma representação geométrica tridimensional do estado de tensões num determinado ponto. A esta representação dá-se o nome de espaço de tensões de Haigh-Westergaard e sua aplicação é limitada a materiais isotrópicos. Este espaço define o estado de tensões em cada ponto e tem como eixos coordenados as tensões principais atuantes neste ponto, interessando somente os valores das mesmas e não suas direções dentro do corpo (devido à isotropia). As coordenadas de Haigh-Westergaard são funções da tensão hidrostática, da tensão de cisalhamento octaédrica e das tensões desviadoras. 5.4 Critério de escoamento para materiais independentes da pressão hidrostática O critério de escoamento define o limite elástico de um material submetido a um determinado estado de tensões. Para materiais isótropos e independentes da pressão hidrostática, como os metais, por exemplo, a função de escoamento pode ser representada por: f (J,J3,k1,k,...) = 0, (5.1) onde: J e J 3 são o segundo e terceiro invariantes do tensor desviador ou anti-esférico de tensões e k 1, k, etc., são constantes do material determinadas experimentalmente.

79 Principais critérios a) Critério de Tresca: Foi o primeiro critério de escoamento proposto para metais sujeitos a um estado qualquer de tensões. De acordo com esse critério, o escoamento ocorre no momento em que a máxima tensão de cisalhamento num determinado ponto atinge um determinado valor crítico (metade da tensão de escoamento na tração uniaxial). No espaço de Haigh- Westergaard, a superfície de escoamento é um prisma de base hexagonal cujo eixo coincide com o eixo hidrostático; b) Critério de von Mises: Embora o critério da máxima tensão de cisalhamento (Tresca) seja simples, ele não considera nenhuma influência das tensões principais intermediárias. O critério de von Mises estabelece que o escoamento se iniciará quando a tensão de cisalhamento octaédrica igualar um determinado valor crítico, função da tensão de escoamento no cisalhamento puro. No espaço de Haigh-Westergaard, a superfície de escoamento é um cilindro cujo eixo coincide com o eixo hidrostático. 5.5 Critério de falha para materiais dependentes da pressão hidrostática O comportamento de diversos materiais não-metálicos, como por exemplo, solos, rochas e concreto, é caracterizado pela dependência da pressão hidrostática. A forma geral da superfície de colapso é dada por: f (I1,J,J3,k1,k,...) = 0 (5.) ou f ξ, ρ, θ,k,k,...) 0, (5.3) ( 1 = onde I 1 é o primeiro invariante do tensor de tensões e ξ, ρ e θ são as coordenadas de Haigh-Westergaard.

80 6 Esta superfície no espaço tridimensional pode ser descrita pela sua seção transversal por um plano desviador e por dois de seus meridianos. A FIG. 5.1 representa a forma geral da superfície de falha para um material isotrópico. Meridiano de tração F 1 =0 c t 0 =60 F F 3 Meridiano de compressão (a) (b) FIGURA Forma geral da superfície de falha para um material dependente da pressão hidrostática: (a) meridianos; (b) seção desviadora Principais critérios a) Critério da tensão máxima de tração (Rankine): O material falha no momento em que a maior tensão de tração atinge a resistência à tração do mesmo. É principalmente utilizado no estudo de materiais frágeis. Muitos materiais nãometálicos apresentam um comportamento muito diferente à tração e à compressão. O concreto, por exemplo, tem uma resistência à compressão muito maior do que à tração. Assim sendo, quando submetido a confinamento e carregamento de compressão, ele pode até apresentar um comportamento dúctil; já quando submetido a tensões de tração, o concreto apresenta uma ruptura frágil, brusca. Portanto, de acordo com Chen e Han (1987), para muitos materiais deste tipo pode ser interessante associar o critério de Rankine com o de von Mises ou de Tresca, por exemplo, para melhor representar seu comportamento.

81 63 b) Critério de Mohr-Coulomb: Pode ser considerado como sendo uma generalização do critério de Tresca. O critério de falha de Mohr-Coulomb considera que a tensão de cisalhamento limite num determinado plano é função da tensão normal no mesmo plano, função esta determinada experimentalmente. No espaço de Haigh-Westergaard, a superfície de falha é uma pirâmide (devido à dependência da pressão hidrostática) de base hexagonal não regular cujo eixo coincide com o eixo hidrostático. c) Critério de Drucker-Prager: Pode ser considerado como uma generalização do critério de von Mises, acrescentando-se a consideração do efeito da pressão hidrostática. No espaço de Haigh-Westergaard, a superfície de falha é um cone (devido à dependência da pressão hidrostática) cujo eixo coincide com o eixo hidrostático. A superfície de falha tem a sua forma caracterizada por: f (I1,J ) = α. I1 + J k = 0 (5.4) ou f ( ξ, ρ) = 6. α. ξ + ρ. k = 0, (5.5) onde α e k são constantes do material. Quando α é zero, as superfícies de Drucker-Prager e de von Mises coincidem. A FIG. 5. representa o critério de Drucker-Prager no espaço das tensões principais. 5.6 Plasticidade de materiais perfeitamente plásticos Na prática não existe nenhum material que não sofra o processo de encruamento (ou amolecimento). Porém, para alguns materiais a idealização de um comportamento elásticoperfeitamente plástico pode ser extremamente vantajosa, principalmente em análises estruturais mais complexas. Num comportamento perfeitamente plástico a tensão não varia com a deformação, após o início do escoamento. A superfície de escoamento no espaço de tensões é considerada imutável, fixa.

82 64 F1 =.k o k Øt 3." o Ø c o =.k F F3 (a) (b) FIGURA 5. Superfície de falha para o critério de Drucker-Prager: (a) plano meridiano (θ =0º); (b) seção desviadora na origem (plano π ) Critério de carregamento e descarregamento Seja f(σ ij ) a função ou superfície de escoamento (também denominada de função ou superfície de carga) e σij o tensor de tensões em um determinado ponto do corpo. Tem-se: a) Critério de carregamento: f f(σ ij,k) = 0 e df =.dσ ij = 0 (5.6) σ ij b) Critério de descarregamento: f f(σ ij,k) = 0 e df =.dσij < 0 (5.7) σ ij 5.6. Regra de fluxo A regra de fluxo define, no caso de materiais perfeitamente plásticos, a direção do vetor correspondente à parte plástica do tensor dos incrementos de deformação total p dε ij. Ou seja, ela define a relação entre as componentes deste vetor. Há dois tipos de regra de fluxo:

83 65 a) Não-associativa: A superfície potencial plástica, g( σ ), é diferente da superfície de escoamento, f( σ ). ij p g dε ij = dλ., g f (5.8) σ ij ij b) Associativa: A superfície potencial plástica, g( σ ), coincide com a superfície de escoamento, f( σ ). É utilizada para metais em geral. ij p f dε ij = dλ., g = f (5.9) σ ij ij Nas relações acima, d λ é um escalar infinitesimal. O vetor p dεij é sempre normal à superfície potencial plástica Relação incremental constitutiva na forma geral dσ ij E υ. E f =. dε ij +. dε kk. δ ij dλ. Cijkl. 1+ υ (1 + υ).(1. υ) σ kl, (5.10) onde δ ij é o delta de Kronecker e C ijkl o tensor de rigidez elasto-plástico. 5.7 Plasticidade de materiais encruáveis Para o estudo de materiais encruáveis, é fundamental a definição do termo superfície de carregamento. Esta é a superfície de escoamento subseqüente para um material deformado elasto-plástico, que define a fronteira ou contorno da região elástica atual. Seja um espaço de tensões relativo a um determinado ponto do material. Se o estado de tensões crescer até que o ponto que o representa neste espaço de tensões atinja a superfície de escoamento inicial e continuar crescendo, haverá deformações tanto plásticas quanto elásticas. A cada etapa de deformação plástica, uma nova superfície de escoamento se formará. Caso o estado de tensões seja alterado de modo que o ponto que o representa no espaço de tensões se mova para dentro da nova superfície de escoamento, então só haverá deformações

84 66 elásticas. Logo, pode-se concluir que o comportamento tensão-deformação de materiais encruáveis é dependente do caminho de carregamento, ou seja, da seqüência em que este carregamento é aplicado. As superfícies de carregamento podem ser expressas em função do estado atual de tensões e deformações plásticas, como abaixo: P ij ε ij f ( σ,, k) = 0, (5.11) onde k é denominado parâmetro de encruamento. As componentes de um vetor unitário n tensões são definidas por: n f ij f normal à superfície de carregamento no espaço de f σ ij = f f σ kl σ kl 1 (5.1) Critério de carregamento e descarregamento A partir das definições anteriores, os critérios de carregamento podem ser então definidos. a) Critério de carregamento: f p f = 0 e n. > 0, então dε 0 (5.13) ij dσ ij ij b) Critério de descarregamento: f p f = 0 e n. < 0, então dε 0 (5.14) ij dσ ij ij = c) Critério de carregamento neutro: f p f = 0 e n. = 0, então dε 0 (5.15) ij dσ ij ij =

85 Regras de encruamento A regra de encruamento define como a superfície de escoamento se modifica durante o processo de fluxo plástico, e também define como variam algumas propriedades do material durante o fluxo plástico. A forma geral da função de carregamento pode ser apresentada como: P ij P = ij ij p f ( σ, ε, k) F( σ, ε ) k ( ε ) = 0 (5.16) ij Desta forma, o parâmetro de encruamento k representa o tamanho da superfície de escoamento, enquanto a função F( σ, ε ) define a forma da mesma. ij P ij Materiais encruáveis perdem a isotropia durante as deformações plásticas (exceto se o encruamento for isotrópico). Devido à perda desta propriedade, a superfície de escoamento não pode mais ser representada no espaço de Haigh-Westergaard, mas sim, no espaço de nove dimensões. Diversas regras de encruamento já foram propostas, destacando-se: a) Encruamento isotrópico: F( σ ) k ( ε ) = 0 (5.17) ij p Somente o tamanho da superfície de escoamento ou de carregamento varia. Se for utilizado o critério de von Mises, tem-se: 3 f ( σ ij, k) = sij sij σ e ( ε p ) = 0 (5.18) b) Encruamento cinemático: P f ( σ, ε ) = F( σ α ) k = 0 (5.19) ij ij ij ij

86 68 Somente a posição da superfície de escoamento ou de carregamento varia (sofre translação no espaço de tensões). O parâmetro de encruamento agora é constante. Se for utilizado o critério de von Mises, tem-se: f = 3 ( s ij ) ( ij ij ) o 0 = ij α s α σ, (5.0) onde αij são as coordenadas do centro da superfície de escoamento. Neste tipo de regra de encruamento é preciso ainda que se defina a direção na qual ocorrerá a taxa de translação da superfície de escoamento, dα. Pode-se aplicar para este fim a regra de Prager ou a regra de Ziegler (vide Chen e Han (1987)), por exemplo. ij c) Encruamento misto: P f ( σ, ε, k) F( σ α ) k ( ε ) = 0 (5.1) ij ij = ij ij p A posição e o tamanho da superfície de escoamento variam Relação incremental constitutiva na forma geral A partir do exposto, pode-se determinar a relação incremental tensão-deformação na sua forma geral, com base na regra de fluxo, tipo de superfície de escoamento e regra de encruamento. 5.8 Metais Alguns metais podem ser considerados como elásticos-perfeitamente plásticos, como por exemplo, o aço estrutural comum. Este tipo de aço apresenta fluxo plástico sob um estado constante de tensões. Porém, os metais mais comuns devem ser modelados com base na teoria da plasticidade de materiais encruáveis. Podem-se citar como exemplos o alumínio e o cobre.

87 69 O efeito da pressão hidrostática no escoamento e na deformação plástica é insignificante. Tal fato implica que a mudança volumétrica plástica não é significativa, mesmo para grandes deformações plásticas. Comparações com dados experimentais mostraram que os critérios de Tresca e de von Mises com ou sem encruamento são os mais adequados para análise de metais. 5.9 Concreto A análise de estruturas de concreto tem sido feita principalmente com base na teoria da elasticidade associada a fórmulas empíricas desenvolvidas a partir de diversos ensaios experimentais. O resultado deste tipo de análise, no que diz respeito ao dimensionamento de estruturas de concreto, tem se mostrado eficaz e também necessário, por razões práticas. Contudo, nos últimos anos tem ocorrido um imenso avanço na área computacional, com o aparecimento de máquinas mais potentes e velozes. No âmbito da engenharia estrutural, as análises numéricas, principalmente as relacionadas ao Método dos Elementos Finitos, têm se mostrado ferramentas poderosas para uma análise mais completa de estruturas em geral. A modelagem do material concreto, incluindo seu comportamento durante a deformação até a falha (colapso), está cada vez mais preciso com o uso do Método dos Elementos Finitos e através de análise inelástica incremental. Características do material, como fissuração, esmagamento e amolecimento, e até aderência entre o concreto e a armadura, no caso do estruturas de concreto armado, são agora possíveis de se modelar com certa precisão, graças a pesquisas realizadas atualmente no mundo inteiro Descrição do material e de seu comportamento O concreto é um material heterogêneo e possui vasta aplicação no ramo da construção civil. A partir da definição de Ribeiro et al. (000), o concreto é composto por três compostos fundamentais: cimento, agregados e água. Aditivos podem ser adicionados à mistura para melhorar o desempenho do concreto num determinado item. Os agregados se subdividem em duas categorias: graúdo (brita) e miúdo (areia). Denomina-se argamassa à mistura contendo cimento (aglomerante), água e agregado miúdo. O traço do concreto (proporção

88 70 entre seus constituintes) deve ser estudado de modo a atender à resistência, à durabilidade e à trabalhabilidade desejáveis do mesmo. Apesar da complexa natureza constitutiva do concreto, nos estudos sobre a modelagem numérica deste material ele é usualmente considerado, de forma simplificada, um meio contínuo homogêneo e inicialmente isotrópico. O concreto possui uma relação tensão-deformação não-linear, podendo ainda ser caracterizado como um material frágil. Tal comportamento se deve à evolução de micro e macrofissuras no corpo do material à medida que o carregamento é aplicado. Sabe-se que mesmo na ausência de carregamento, o concreto já possui um número considerável de microfissuras em seu interior, principalmente na interface da argamassa com as britas. Estas microfissuras aparecem com os efeitos da deformação lenta, segregação e expansão térmica do cimento, por exemplo. Três fases podem ser distinguidas numa curva característica tensão de compressãodeformação uniaxial do concreto. A primeira etapa corresponde à faixa de tensão até aproximadamente 30% da resistência máxima à compressão do concreto, onde as microfissuras já existentes antes da aplicação do carregamento permanecem praticamente inalteráveis. É uma fase praticamente elástica linear. Acima deste valor de tensão, conhecido como limite de elasticidade, até uma tensão de aproximadamente 75% da resistência máxima, as fissuras começam a aumentar de número, comprimento e largura e, posteriormente, começam a aparecer fissuras na argamassa. Porém, a propagação de fissuras é estável. Com isso, o comportamento não-linear do material se estabelece. Esta é a segunda etapa, onde a curva tensão-deformação apresenta um aspecto curvo. A terceira e última etapa (acima da tensão de 75% da resistência máxima) caracteriza-se pelo início da propagação instável de fissuras no concreto. O colapso do concreto se inicia com o surgimento de um maior número de fissuras na argamassa que, posteriormente, unem-se às fissuras na interface da argamassa com o agregado graúdo, formando zonas de dano interno. Finalmente, fissuras aparecem na direção paralela à da aplicação da carga, resultando na falha do concreto. As etapas descritas também são observadas qualitativamente em outros casos de carregamento.

89 71 O concreto à tração apresenta uma resistência baixa e seu comportamento é frágil. Um dos motivos para tal fato pode ser atribuído à redução da faixa de tensões relacionada à propagação estável de fissuras no concreto, em relação ao seu comportamento à compressão. Além disso, a interface entre a argamassa e o agregado graúdo possui uma resistência à tração muito menor do que a da argamassa. Com base em ensaios experimentais, percebeu-se que o concreto moderadamente confinado, sujeito à compressão, apresenta, em termos qualitativos, as mesmas três etapas já apresentadas para o caso uniaxial, ou seja, as fases linearmente elástica, inelástica e de deformações localizadas. Além disso, percebeu-se que o concreto apresenta uma certa ductilidade quando está sujeito a uma pressão de confinamento adicionada à carga de compressão. Também por meios de estudos experimentais relacionando a deformação volumétrica do concreto com um estado de compressão uniaxial ou biaxial, verificou-se que o concreto apresenta decréscimo de volume até aproximadamente 75 a 90% da tensão última de compressão. Posteriormente, a tendência é revertida e começa a haver um acréscimo de volume do concreto. O acréscimo de volume corresponde à fase em que se percebe um aumento considerável de fissuras na argamassa, isto é, corresponde ao início da fase de propagação instável de fissuras. Outro importante aspecto no comportamento do concreto é o fenômeno do amolecimento. Numa curva uniaxial tensão-deformação, este fenômeno é representado pelo ramo descendente da mesma após a tensão de pico. Nesta fase, a distribuição de deformações não é mais contínua. O ramo descendente da curva tensão-deformação não pode ser interpretado como uma propriedade do material e sim como uma propriedade do modelo estrutural. O concreto é sujeito ainda ao fenômeno de degradação da rigidez, quando submetido a cargas cíclicas. Tal comportamento é mais perceptível após a carga de pico e é relacionado a alguns tipos de dano, como por exemplo, microvazios e microfissuras no concreto.

90 7 Por fim, o concreto apresenta certas propriedades reológicas, isto é, propriedades que variam com o tempo. Como exemplos, podem ser citados a retração, o inchamento e a deformação lenta do concreto. De acordo com Süssekind (1979), a retração é um fenômeno independente do carregamento aplicado e pode ser definida como a deformação causada pela perda por evaporação de água quimicamente dissociada do concreto quando em contato com o ar. Ocorre então uma redução do volume da peça de concreto, podendo gerar tensões que causem fissuras no concreto. Já o fenômeno de inchamento é o inverso da retração. Quando uma peça de concreto é mergulhada na água, o concreto absorve parte dela, aumentando de volume. Quando determinadas regiões do concreto estão sujeitas a um carregamento de compressão por um grande período de tempo, ocorre o fenômeno da deformação lenta, ou seja, uma redução do volume destas regiões Modelagem do concreto Como já comentado, a maior parte dos modelos de concreto faz uso de uma abordagem macroscópica do mesmo. A abordagem feita pela teoria da plasticidade encontra-se neste caso. Diversas relações matemáticas para representar a relação macroscópica tensãodeformação do concreto foram desenvolvidas nestes últimos anos. A teoria clássica da plasticidade foi desenvolvida para representar o comportamento de metais. Apesar do concreto comprimido, analisado macroscopicamente, apresentar certas similaridades com os metais, principalmente na fase antes do colapso, é necessário que sejam modificadas algumas características fundamentais desta teoria clássica para que o novo modelo plástico seja adequado para este tipo de material. Tal modelo constitutivo deve ser capaz de representar o comportamento do concreto não só antes (encruamento), como também após (amolecimento) sua falha. Adicionalmente, este modelo plástico precisa incluir uma condição de resistência última (condição de colapso), além de uma superfície de escoamento inicial, de uma regra de encruamento e de uma regra de fluxo. Também é necessário incluir a baixa resistência à tração, com a formação de fissuras.

91 Critério de colapso (ou critério de falha) A forma geral da superfície de colapso do concreto pode ser expressa por: f (I1, J, J 3) = 0 (5.) A forma explícita da função é obtida por meio de ensaios experimentais. Devido a sua dependência da pressão hidrostática, a superfície de colapso do concreto apresenta meridianos curvos. Um carregamento puramente hidrostático de compressão não pode causar a falha do concreto. A forma da seção em um plano desviador é aproximadamente triangular para tensões de tração e tensões baixas de compressão e muda para seções quase circulares à medida que as tensões de compressão aumentam. A FIG. 5.3 ilustra os aspectos gerais da superfície de colapso do concreto. σ 1 Meridiano de Cisalhamento s Meridiano de Compressão c θ=60 θ=30 ρ s ρ t ρ c Meridiano de Tração t σ σ 3 (a) (b) FIGURA 5.3 Características gerais da superfície de falha: (a) meridianos da superfície de falha; (b) seções em planos desviadores Com base nestas características principais da superfície de colapso do concreto diversos critérios de falha foram propostos, sendo classificados pelo número de constantes do material (parâmetros) presentes na expressão. Os critérios de von Mises (1 parâmetro), Bresler-Pister (3 parâmetros), Hsieh-Ting-Chen (4 parâmetros), e William-Warnke (5

92 74 parâmetros) são alguns exemplos. O último é o mais usado como critério de colapso para o concreto. Ele é comentado em maiores detalhes no capítulo Modelagem plástica da fase de encruamento do concreto Diversos modelos do concreto que levam em consideração o efeito de encruamento já foram desenvolvidos nestes últimos anos. Porém, um dos mais utilizados é o modelo proposto por Chen, A e Chen, W (1975). Algumas características principais de um modelo plástico do concreto são: a) A superfície de escoamento inicial não pode ser considerada como tendo a mesma forma, proporcionalmente reduzida, da superfície de falha do concreto, pois tal fato pode conduzir a um valor excessivo (em caso de tensão de tração) e a um valor reduzido (em caso de tensão de compressão com confinamento) para a deformação plástica; b) O tamanho e a forma das superfícies subseqüentes de escoamento devem mudar de maneira contínua durante o processo de encruamento, desde a superfície inicial de escoamento até a superfície de colapso do concreto. Han e Chen (1985) e Han e Chen (1987) apresentam uma regra de encruamento não-uniforme para representar tal comportamento. Esta regra de encruamento não é isotrópica; c) Deve-se utilizar uma regra de fluxo não-associativa para se levar em conta o comportamento de redução/expansão volumétrica durante a deformação plástica. A regra associativa pode levar a uma expansão volumétrica exagerada para o concreto Modelagem plástica da fase de amolecimento do concreto A fase de amolecimento é caracterizada por uma inclinação negativa da tangente ao diagrama tensão-deformação uniaxial. No caso de estados triaxiais de tensões, a abordagem

93 75 mais usual é uma análise conjunta entre a teoria da plasticidade, caracterizando a deformação plástica, e a teoria da fratura, caracterizando a degradação da rigidez. Este último fenômeno é considerado como sendo causado principalmente pelas microfissuras. A formulação desenvolvida num espaço de deformações, ao invés do espaço de tensões, tem se mostrado uma ferramenta eficaz na combinação destas duas teorias.

94 76 6 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PROGRAMA ANSYS 6.1 Considerações iniciais O ANSYS é um programa comercial desenvolvido pela empresa norte-americana Swanson Analysis System Inc para análise de problemas diversos por meio do Método dos Elementos Finitos. Periodicamente, o ANSYS sofre atualizações, incluindo melhorias em determinados aspectos do programa, assim como é feito na maioria dos softwares comerciais de dimensionamento de estruturas. Atualmente ele se encontra na versão 6.1. Porém, os modelos desenvolvidos neste trabalho foram feitos com a versão Apresentação do programa 6..1 Descrição geral O ANSYS permite a modelagem e a solução de problemas em diversas áreas. São possíveis análises de problemas estruturais, térmicos (transferência de calor), eletro-magnéticos e

95 77 fluido-dinâmicos, bem como a interação de alguma destas áreas em um problema multidisciplinar. No campo estrutural são possíveis análises estáticas, dinâmicas, de estabilidade de estruturas, entre outras. Além disso, podem ser feitas abordagens nãolineares, tanto físicas quanto geométricas. O programa oferece ainda uma interface gráfica com o usuário auto-explicativa, que facilita muito o pré e o pós-processamento dos modelos. Este é um ponto fundamental para que se possa desfrutar das facilidades que o programa oferece. Em engenharia estrutural, assim como em qualquer outro ramo, é essencial que os analistas conheçam o tipo e/ou a magnitude do resultado a ser obtido com a análise feita em qualquer programa numérico. Torna-se extremamente perigoso, além de inútil, uma análise equivocada de resultados numéricos, ou mesmo modelos erroneamente realizados. Gendron (1997) ressalta, como desvantagem do programa ANSYS, o fato de ele necessitar de um grande espaço em disco para efetuar análises estáticas. O autor alerta que, apesar dos programas comerciais atuais oferecerem uma interface gráfica poderosa e facilidades quanto à modelagem de estruturas, é fundamental o conhecimento do Método dos Elementos Finitos para que se possa ter segurança quanto aos resultados numéricos obtidos. Poole et al. (001) fazem uma descrição detalhada das implementações que o ANSYS tem feito ao longo de seus mais de 30 anos de história, relativas aos métodos para a solução de sistemas de equações. Em análises não-lineares, tanto geométricas quanto físicas (relativas ao comportamento tensão-deformação dos materiais), os autores ressaltam o desafio e a dificuldade de se criarem novos métodos iterativos para a solução dos modelos numéricos, devido a sistemas mal condicionados. 6.. Elementos finitos utilizados no trabalho O ANSYS dispõe de uma vasta biblioteca de elementos finitos. Estes podem ser unidimensionais, como os elementos de barra, bidimensionais, como os elementos de placas e cascas, e tridimensionais, como os elementos sólidos. Neste trabalho são utilizados três tipos de elementos finitos no processo de modelagem dos pilares mistos aço-concreto:

96 78 SHELL43, SOLID45 e SOLID65. A seguir serão abordadas sucintamente as características principais destes elementos. O elemento finito SHELL43 é bidimensional e apropriado para modelar cascas. Ele é definido por quatro nós, quatro espessuras e pelas propriedades ortotrópicas do material. O elemento pode ter espessura variável, sendo que neste caso ela é assumida como variando suavemente na superfície do elemento. O SHELL43 possui seis graus de liberdade em cada nó (três translações e três rotações em torno dos eixos coordenados). Foram implementados neste elemento a plasticidade e os efeitos de deformação lenta e stress stiffening (aumento de rigidez causada pela presença de tensões de tração), além de serem possíveis análises nos regimes de grandes deslocamentos e grandes deformações. Neste trabalho, o elemento foi utilizado na modelagem de chapas de extremidade, como também das chapas correspondentes à alma e às mesas do perfil de aço dos pilares mistos aço-concreto. O elemento SOLID45 é adequado para modelagem de componentes tridimensionais. Este elemento finito é definido por oito nós com três graus de liberdade cada um (três translações na direção dos eixos coordenados) e pelas propriedades ortotrópicas do material. Assim como o SHELL43, este elemento incorpora a plasticidade e os efeitos de deformação lenta e stress stiffening, além de permitir análises nos regimes de grandes deslocamentos e grandes deformações. Neste trabalho, o elemento foi utilizado na modelagem do concreto nos pilares mistos. O elemento SOLID65 é o elemento finito ideal para a modelagem do material concreto, pois ele é capaz de representar o fenômeno de fissuração em regiões tracionadas e de esmagamento em regiões comprimidas. Assim como o SOLID45, é um elemento finito tridimensional de oito nós com três graus de liberdade cada um (três translações na direção dos eixos coordenados), com propriedades isotrópicas do material. Além do concreto, pode-se também representar com este elemento materiais geológicos, como rochas, assim como outro material qualquer que tenha baixa resistência à tração e alta resistência à compressão. É ainda possível representar o concreto armado e outros materiais

97 79 compostos reforçados, como os de fibra de vidro. Isto se deve à possibilidade de inclusão de barras de reforço no interior do elemento (no caso do concreto armado, barras de armadura). É possível utilizar até três direções de barras de reforço, com materiais diferentes, em cada elemento finito. A orientação de cada barra é estabelecida por meio de dois ângulos (coordenadas polares) a partir do sistema de coordenadas do elemento. As barras, por sua vez, devem ser consideradas como diluídas no elemento, e não como discretas, e permitem levar em conta efeitos de deformação lenta e de plasticidade. Porém, elas não incluem a capacidade de absorver esforços cisalhantes, somente uniaxiais. O programa considera aderência total entre o aço da armadura e o concreto. A geometria, a localização dos nós e o sistema de coordenadas do elemento estão representados na FIG O elemento SOLID65 permite a inclusão de propriedades não-lineares do material e os efeitos mais importantes implementados no elemento são: fissuração (em até três direções ortogonais entre si), esmagamento, plasticidade e deformação lenta (fluência). É possível considerar os efeitos atuando simultaneamente em uma análise ou optar por uma combinação mais adequada dos mesmos. Como o elemento é não-linear, deve-se adotar uma solução iterativa e o carregamento deve ser aplicado de maneira gradual, principalmente quando os efeitos de esmagamento e fissuração estiverem incluídos, de modo que as solicitações internas sejam transferidas adequadamente. Uma discussão mais detalhada a respeito da formulação do elemento finito SOLID65 é feita no item Modelagem de materiais Para a representação de um determinado material em um modelo de elementos finitos, o ANSYS oferece uma ampla possibilidade de escolha referente a modelos constitutivos e até permite que, em certos casos, seja feita uma combinação de modelos para a caracterização de um material. Para uma completa definição do material, devem-se fornecer ainda as propriedades elásticas e inelásticas (caso necessário) dos mesmos.

98 80 5 P 4 O 6 Z M L x z θ N (armadura) φ y 3 K X Y I J 1 FIGURA 6.1-Elemento SOLID65 do ANSYS Para o caso de análises estruturais, o programa oferece, por exemplo, as opções de análises lineares e não-lineares, levando-se em consideração plasticidade, fluência e viscoplasticidade, entre outras. É possível trabalhar com materiais isotrópicos, ortotrópicos e anisotrópicos. Dentre as opções implementadas no programa para comportamento plástico de materiais, algumas podem ser destacadas, como: encruamento cinemático bilinear, encruamento cinemático multilinear, encruamento isotrópico bilinear, encruamento isotrópico multilinear e modelo de Drucker-Prager. Com exceção do último modelo, todos os citados consideram critério de escoamento de von Mises e regra de fluxo associativa. Os modelos que assumem encruamento isotrópico desconsideram o efeito Bauschinger, pois a superfície de carregamento simplesmente se expande uniformemente com o aumento da deformação plástica. Já o encruamento cinemático considera tal efeito. O modelo constitutivo de Drucker-Prager utiliza a superfície de escoamento relacionada ao critério de mesmo nome e assume que o material seja elástico-perfeitamente plástico. A regra de fluxo pode ser associativa ou não. É necessário fornecer três parâmetros: a coesão, o ângulo de atrito interno e o ângulo de dilatância. Caso o ângulo de dilatância tenha o

99 81 mesmo valor que o de atrito interno, a regra de fluxo será associativa. Assim sendo, no espaço de tensões, o fluxo plástico ocorrerá na direção normal à superfície de escoamento (ou superfície de potencial plástico, neste caso). Caso o ângulo de dilatância seja menor do que o de atrito interno, a regra de fluxo será não-associativa Solução numérica As análises de pilares mistos aço-concreto realizadas neste trabalho são não-lineares. Portanto, é de suma importância a capacidade do programa solucionar este tipo de problema, evitando dificuldades de convergência numérica. O ANSYS disponibiliza alguns recursos numéricos que podem ser utilizados nas análises realizadas. São quatro as opções de análise: estática com pequenos deslocamentos e/ou deformações (análise estática linear), estática com grandes deslocamentos e/ou deformações (análise estática não-linear), transiente com pequenos deslocamentos e/ou deformações (análise transiente linear) e transiente com grandes deslocamentos e/ou deformações (análise transiente não-linear). Nas análises não-lineares é importante aplicar a carga (em termos de forças ou deslocamentos) lentamente, de modo que os esforços sejam corretamente transferidos para a estrutura. O programa permite que se escolha o número de passos de carga (load steps), assim como o número de sub-incrementos de carga (substeps) dentro de cada passo de carga e o número de iterações de equilíbrio em cada passo de carga. A matriz de rigidez pode ser tratada de três modos distintos durante uma solução numérica, pelos processos: Newton-Raphson pleno (ou completo), Newton-Raphson modificado e método da matriz de rigidez inicial. No primeiro método, a matriz de rigidez é atualizada a cada iteração de equilíbrio; já no segundo, ela é atualizada a cada sub-incremento de carga (substep); no último processo ela permanece constante para todas as iterações de equilíbrio. É possível escolher o modo de resolução das equações não-lineares, como por exemplo, métodos diretos ou iterativos. Alguns outros recursos numéricos, como o line search (usado com o método de Newton-Raphson), adaptive descent (usado com o método de Newton-

100 8 Raphson pleno) e o método do comprimento do arco estão disponíveis para auxiliarem em problemas de convergência numérica, porém nem sempre tais recursos podem ser utilizados simultaneamente. O recurso adaptive descent é muito utilizado em análises não-lineares complexas e permite, em muitos casos, uma convergência mais rápida da solução. A escolha de um critério de convergência apropriado para finalizar as iterações de equilíbrio é uma etapa fundamental para uma solução incremental eficiente. O programa continuará a fazer iterações de equilíbrio até que o critério de convergência seja satisfeito ou até que o número máximo de iterações pré-estabelecido seja alcançado. O programa permite que este critério de convergência possa ser baseado em critérios de forças, momentos, deslocamentos ou rotações, por meio da comparação entre uma norma do vetor de resíduos do modelo estudado e um valor de referência multiplicado por uma tolerância. São três os tipos de norma de vetor usados para a verificação de convergência: a primeira realiza a verificação de cada grau de liberdade do modelo separadamente, a segunda é baseada na soma dos valores absolutos dos resíduos e a terceira corresponde à raiz quadrada da soma dos quadrados dos resíduos. Neste trabalho foi utilizado o terceiro tipo de norma mencionado Pós-processamento O programa permite uma imensa variedade de opções no que se refere ao item pósprocessamento. Uma vez que a solução do modelo tenha terminado, é possível visualizar no modelo os resultados relativos às distribuições de tensões, deformações, deslocamentos, entre outros, para cada passo de carga, assim como obter listagens dos respectivos valores. Com base nestes resultados, gráficos tensão-deformação e força-deslocamento podem ser traçados. Soluções nos nós e nos elementos são disponíveis. É possível ainda fazer operações matemáticas com os resultados advindos da solução numérica. No caso do elemento usado para o concreto, por exemplo, podem ser feitos gráficos de fissuração e esmagamento nos elementos do modelo. O programa permite ainda a visualização dos resultados em diversos sistemas de coordenadas, como por exemplo, o cartesiano, o

101 83 cilíndrico e o esférico. Estes são somente alguns exemplos dos recursos disponibilizados pelo ANSYS. 6.3 Formulação do elemento de concreto O ANSYS dispõe de um elemento finito próprio para a modelagem de estruturas de concreto armado, o SOLID65. Este modelo para o concreto é próprio para caracterizar falhas de materiais frágeis. Uma abordagem inicial já foi feita no item 6.., porém neste momento apresentar-se-á com maior detalhe sua formulação pelo Método dos Elementos Finitos Comportamento linear A matriz tensão-deformação[ D ] para uma relação constitutiva ortotrópica, pode ser definida de maneira geral como sendo a soma das matrizes constitutivas do concreto e do aço separadamente, ou seja: Nr Nr R c R r [ D] = 1 Vi. [ D ] + Vi.[ D ] i, (6.1) i= 1 i= 1 onde: N r = número de materiais de reforço; R V i = razão entre o volume do material i de reforço e o volume total do elemento. A matriz constitutiva do concreto c D é obtida restringindo-se a equação (6.1) para materiais isotrópicos.

102 84 [ ] + =.ν) ( ν) ( ν) ( ν) (1 ν ν ν ν) (1 ν ν ν ν) (1.ν) ν).(1 (1 E D c (6.) Onde: ν = o coeficiente de Poisson do concreto; E = módulo de Young, ou módulo de elasticidade, do concreto. Uma hipótese assumida pelo programa é que o material é considerado como sendo inicialmente isotrópico. Já a matriz constitutiva do material de reforço i (armadura para o concreto armado) é mais simples, pois tal material só é solicitado uniaxialmente. Logo, no sistema de coordenadas da armadura (índice r), tem-se: [ ] = E D r i i r (6.3) Onde: i = índice da armadura (ou material de reforço); r i E = módulo de Young, ou módulo de elasticidade, da armadura i.

103 85 Como o sistema de coordenadas neste caso é local e, portanto, cada armadura tem o seu próprio, para se obter a matriz constitutiva da armadura i no sistema de coordenadas do elemento, deve-se utilizar uma matriz de rotação baseada nos co-senos diretores da armadura em questão. Estes co-senos diretores relacionam o sistema de coordenadas local da armadura ao sistema de coordenadas do elemento Comportamento não-linear Se o modelo analisado for submetido a um determinado carregamento e a solução for baseada unicamente na região elástica da resposta tensão-deformação do material, então este será considerado como linearmente elástico e a abordagem a ser seguida foi exposta acima. Caso a fissuração e/ou esmagamento do concreto devam ser incluídos na análise, então as matrizes constitutivas devem ser ajustadas correspondentemente. Os itens seguintes (6.3.3) e (6.3.4) abordam sucintamente como é feita a modelagem para os casos de fissuração e esmagamento Fissuração O fenômeno da fissuração pode ocorrer em até três direções ortogonais em cada ponto de integração. A fissuração no programa ANSYS é implementada com um modelo de fissuras dispersas, ou seja, a fissura é modelada através de uma modificação nas relações tensãodeformação. Isto é feito através da introdução de um plano de menor resistência na direção normal à face da fissura. Outras propriedades do material que podem ser fornecidas são os coeficientes de transferência de cisalhamento, tanto para fissuras fechadas como abertas. Estes coeficientes representam a perda de resistência a cisalhamento ao longo da fissura, para cargas posteriores à de fissuração. A condição da fissura (aberta ou fechada) em um certo ponto de integração é obtida com base numa determinada deformação, denominada deformação de fissuração.

104 86 Barbosa (1997) alerta para o fato de que, como se trata de um modelo de fissuras dispersas, a energia de fraturamento associada ao critério de ruptura não é levada em consideração. Tal fato pode levar os resultados obtidos a dependerem da malha considerada. O ANSYS ainda oferece uma ferramenta para acelerar a convergência da solução do problema não-linear, quando ocorre uma fissuração. O artifício utilizado é uma relaxação da tensão de tração, que é utilizada em conjunto com a técnica adaptive descent. Após a solução ter convergido para o estado de material fissurado, a rigidez na direção normal à fissura se anula Esmagamento O material é considerado como esmagado em um certo ponto de integração quando, neste local, ele sofre colapso por compressão uniaxial, biaxial ou triaxial. Considera-se que o esmagamento é o fenômeno de completa perda da integridade estrutural do material, sendo desprezada sua contribuição no ponto de integração esmagado, para a rigidez do elemento. Em outras palavras, ao ser atingida a superfície de ruptura do material em um determinado ponto de integração, este ponto é considerado esmagado e as tensões se anulam bruscamente, perdendo o material sua resistência Amolecimento O fenômeno do amolecimento do concreto, ocorrido após ter sido atingida a superfície de falha, não foi implementado no elemento finito SOLID65 e em nenhum outro elemento disponível na biblioteca do ANSYS, apesar de já existir uma grande quantidade de publicações em todo o mundo apresentando modelos numéricos incluindo tal comportamento.

105 Caracterização do material concreto Oito constantes podem ser utilizadas para caracterizar o material concreto, cinco delas para definir sua superfície de ruptura (itens a, c, d-f, e-f). Cada uma destas constantes pode ser definida em até seis temperaturas diferentes. São elas: a) Resistências à tração e à compressão (valores a serem obrigatoriamente fornecidos pelo usuário); b) Coeficientes de transferência de cisalhamento; c) Resistência à compressão biaxial; d) Resistência à compressão biaxial para um estado de compressão biaxial superposto a uma certa pressão hidrostática; e) Resistência à compressão para um estado de compressão uniaxial superposto a uma certa pressão hidrostática; f) Estado hidrostático de tensões referente às duas resistências anteriores (itens d e e). Os valores assumidos pelo programa para as constantes que não necessitam ser obrigatoriamente fornecidas (itens c a f) são válidos somente para estados de pressão hidrostática baixos. É ainda possível desconsiderar a capacidade de esmagamento ou a capacidade de fissuração do material em uma determinada análise Modelo constitutivo e critério de ruptura Como já comentado, o modelo para o concreto é próprio para caracterizar falhas de materiais frágeis. Portanto, o programa assume que o material se comporta elasticamente

106 88 até o momento em que sua superfície de falha é atingida. Então, o material falha bruscamente. A superfície de ruptura é definida pelo critério de William-Warnke. O programa permite que se utilize um modelo de comportamento plástico em conjunto com o modelo do concreto. Caso a superfície de escoamento se encontre no interior da superfície de falha, ocorrerá um comportamento tensão-deformação não-linear antes da superfície de falha ser atingida. O cálculo de tensões devido a esta não-linearidade, assim também como para o caso da fluência ser considerada, é feito antes da verificação de fissuração e esmagamento do material. O critério de falha do concreto submetido a um estado de tensões multiaxial pode ser representado pela relação: F f c S 0, (6.4) onde: F = função dependente do estado de tensões principais; S = superfície de falha (ruptura) expressa em termos do estado de tensões principais e em termos das constantes a, c, d, e e f, definidas no item 6.3.6; f c = resistência à compressão uniaxial do concreto. Se a inequação (6.4) for satisfeita, ocorrerá esmagamento ou fissuração do material. Ocorrerá fissuração se qualquer uma das tensões principais for de tração e esmagamento se todas estas tensões forem de compressão. As funções F e S são obtidas pelo ANSYS com base em quatro regiões relacionando as tensões principais σ 1, σ e σ 3, sendo σ 1 σ σ 3. Em cada uma delas, F e S são caracterizadas por funções independentes. Os domínios delimitadores da superfície de falha do concreto são:

107 89 a) 0 σ 1 σ σ 3 : As três tensões principais são de compressão. Se o critério de ruptura (6.4) for satisfeito, o material é considerado esmagado naquele ponto; b) σ 1 0 σ σ 3 : Duas tensões principais são de compressão e uma de tração; c) σ 1 σ 0 σ 3 : Duas tensões principais são de tração e uma de compressão; d) σ σ 0 : As três tensões principais são de tração. σ 1 3 Para os casos b), c) e d), se o critério de ruptura (6.4) for satisfeito, ocorrerá fissuração em planos perpendiculares às direções das tensões principais quando for atingida a superfície de ruptura. A FIG. 6. representa a superfície de falha de William-Warnke no espaço de tensões principais para estados de solicitação biaxial ou aproximadamente biaxial. Para a construção da curva considera-se que as tensões principais não-nulas mais significativas sejam as correspondentes às direções x e y, ou seja, σ xp e σ yp, respectivamente. Três casos podem ocorrer em um determinado ponto, referentes às condições: pequena, σ zp nula, σ zp negativa e σ zp positiva e pequena. É possível perceber que, caso as tensões σ xp e σ yp sejam negativas e a tensão principal na direção z, σ zp será por fissuração numa direção perpendicular à direção de negativa e pequena, então a ruptura será por esmagamento., seja positiva e pequena, então a ruptura σ zp. Porém, se σ zp for nula ou

108 90 σ yp σ yp σ xp σ yp σxp f c Fissuração σ yp f t Fissuração σxp f t σzp> 0 (Fissuração) σ xp Fissuração σ yp σ xp σ zp = 0 (Esmagamento) σzp< 0 (Esmagamento) f c FIGURA 6. Superfície de falha no espaço de tensões principais para estados de solicitação biaxial ou aproximadamente biaxial De acordo com Chen e Han (1987), o modelo de William-Warnke é caracterizado por cinco parâmetros, seus meridianos de tração e compressão são curvos e podem ser expressos por parábolas da forma: σ σ = ρ + ρ (6.5a) m a 0 + a1. t a. m b 0 + b1. ρ c + b. t = ρ (6.5b) c O valor σm representa a tensão média ou hidrostática, ρ t e ρ c são as componentes de tensão perpendiculares ao eixo hidrostático para valores θ (variável de Haigh-Westergaard) iguais a 0º e 60º, respectivamente. Os valores dos parâmetros a i e b i (i = 0,1,) podem ser obtidos por ensaios experimentais. Porém, como ambos os meridianos devem interceptar o eixo hidrostático no mesmo ponto ( ρ t = ρ c =0), tem-se que a 0 = b 0. Uma vez determinados os meridianos, uma certa seção transversal pode ser obtida conectando-se os meridianos por

109 91 curvas elípticas apropriadas. Considerando-se todas as tensões ( σ m, ρ t, ρ c ) normalizadas em relação a f c nas relações (6.5a) e (6.5b), a FIG. 6.3 representa os meridianos de tensão e compressão da superfície de William-Warnke, assim como um esboço de uma seção genérica em um plano desviador. f ' c 6 5 Meridiano de compressão θ = 60 σ 1 Curva Elíptica 4 θ = 0 t θ 3 Meridiano de tração c 1 σ σ σm f ' c (a) (b) FIGURA 6.3- Modelo de William-Warnke: (a) meridianos de tensão e compressão; (b) seção genérica em um plano desviador Na FIG. 6.3, o raio ρ(θ) delimitador da elipse da seção desviadora pode ser obtido com base na simetria da seção em θ =0º e θ =60º e é expresso por:. ρc.( ρc ρt ).cosθ + ρ.(. ρ ρc ). 4.( ρc ρt ).cos θ + 5. ρt 4. ρt. ρc ρ( θ) = (6.6) 4.( ρ ρ ).cos θ + ( ρ. ρ ) c c t t c t As relações (6.5a), (6.5b) e (6.6) definem completamente a superfície de ruptura de William-Warnke. Em resumo, o programa considera que o material concreto comporta-se elasticamente até a superfície de ruptura (William-Warnke). Esta é, por sua vez, somente uma superfície que

110 9 define o colapso do material (por esmagamento ou fissuração) e não um modelo constitutivo. Caso se adicione um modelo plástico nesta análise, o concreto passa agora a ter possibilidade de se comportar plasticamente. Então, as seguintes possibilidades de colapso num determinado ponto submetido a um certo estado de tensões crítico são possíveis: esmagamento ou fissuração sem ter ocorrido plastificação, plastificação sem esmagamento e fissuração (desativando-se estas duas possibilidades) e plastificação seguida de esmagamento ou fissuração. 6.4 Considerações finais O ANSYS é um programa de elementos finitos amplamente utilizado em todo o mundo, apresentando uma variedade enorme de opções em termos de elementos, modelagem de materiais, recursos numéricos e opções de pós-processamento. Apesar disso, ainda existem inúmeras limitações quanto ao comportamento de certos elementos finitos, principalmente no âmbito da convergência numérica. Em problemas não-lineares, a eficácia e a rapidez da solução numérica assumem um papel primordial na análise. Neste trabalho, em muitas situações foram observadas dificuldades de convergência da solução numérica durante as análises de pilares mistos, principalmente quando o elemento de concreto SOLID65 foi utilizado.

111 93 7 APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS À ANÁLISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 7.1 Considerações iniciais O presente capítulo tem como objetivo principal a apresentação de exemplos de aplicação do Método dos Elementos Finitos a estruturas mistas e a estruturas de concreto. Muitas aplicações e pesquisas discutidas a seguir, tanto nacionais quanto internacionais, foram feitas com o auxílio de programas comerciais (principalmente o ANSYS) desenvolvidos com base no Método dos Elementos Finitos. Comentários, sugestões e hipóteses assumidas pelos autores destas pesquisas, quanto ao processo de modelagem das diferentes estruturas, podem ser úteis para estudos numéricos futuros. Especial atenção é dada à modelagem de estruturas de concreto, pois este material é fundamental para o desenvolvimento de modelos representativos de estruturas mistas aço-concreto. A partir desta apresentação é possível ter-se uma idéia do estado da arte da aplicação de recursos numéricos a diversos problemas estruturais.

112 94 7. Análises de estruturas de concreto Baber (1991) comentou a respeito das dificuldades numa modelagem precisa do material concreto, principalmente devido a suas diferentes propriedades na tração e na compressão e ao seu comportamento não-linear desde aproximadamente o início da curva tensãodeformação. Em muitos modelos de elementos finitos para estruturas de concreto armado é necessário o uso de técnicas numéricas avançadas com o objetivo de se reduzir o tempo de processamento e aumentar a estabilidade no processo de convergência, principalmente quando o fenômeno de fissuração é considerado. De acordo com Foster (199), quando são utilizados modelos de materiais com comportamento altamente não-linear, dificilmente a convergência é obtida quando não se usam os métodos conhecidos como aceleradores de convergência. Ele verifica ainda que os métodos Newton-Raphson e Newton-Raphson modificado podem se tornar ineficientes na medida em que o grau de não-linearidade do modelo aumenta. Para vencer tal problema, é sugerido o uso do método chamado comprimento do arco (arc-length). Abdollahi (1996a) estudou alguns aspectos relativos a aplicações do Método dos Elementos Finitos em estruturas de concreto armado. De acordo com ele, a modelagem do fenômeno da fissuração por meio de fissuras discretas, adotada em diversos modelos numéricos, tem a vantagem de ser capaz de representar a descontinuidade nas estruturas de concreto, que tal fenômeno provoca. O autor sugere ainda o uso do método line search para vencer as oscilações de convergência da solução que podem ocorrer, por exemplo, quando há um aumento da região na qual as fissuras se propagam. Ele acrescenta o fato de ser essencial, para um programa de elementos finitos, a oferta de uma ampla e confiável gama de opções para os critérios de convergência. Estes últimos são fundamentais para a resolução de problemas não-lineares. A fissuração é um dos fatores principais causadores do comportamento não-linear das estruturas de concreto. Sabe-se que o desenvolvimento e a propagação de fissuras, devido à

113 95 baixa resistência à tração do concreto, é uma das diferenças mais importantes entre a aplicação do Método dos Elementos Finitos para estruturas de concreto armado e para estruturas de aço. Por este motivo, diversos modelos numéricos têm sido desenvolvidos nestas últimas décadas com o fim de se caracterizar mais apropriadamente este fenômeno. Abdollahi (1996b) comprovou que uma das causas da falta de estabilidade em análises numéricas utilizando o Método dos Elementos Finitos em estruturas de concreto armado é relacionada aos procedimentos de modelagem (ou caracterização) do fenômeno de fissuração, principalmente no caso de modelos de fissuras dispersas. Ele recomenda que um elemento tridimensional seja utilizado para representar o material concreto e que o método de Newton-Raphson modificado seja usado quando da inclusão do fenômeno da fissuração. Uma análise das dificuldades envolvidas na elaboração e aplicação de modelos constitutivos para o concreto, com base no Método dos Elementos Finitos, foi feita por Barbosa (1997). São apresentados resultados relativos a diversas análises numéricas de vigas e lajes de concreto armado, utilizando o programa ANSYS (versão 5.3). Nos modelos de viga (bi-apoiada com carga distribuída), por exemplo, foram consideradas diferentes combinações quanto ao modelo de plasticidade adotado para o concreto (von Mises, Drucker-Prager ou nenhum), quanto à retenção (parcial ou total) de resistência a cisalhamento, quanto ao modelo do material aço (elástico ou elastoplástico), quanto à consideração ou não dos fenômenos de fissuração e de esmagamento do concreto, quanto ao tipo de modelo a ser empregado (tridimensional ou bidimensional) e quanto ao tipo de representação da armadura do concreto (dispersa ou discreta). Os melhores resultados foram obtidos para os modelos sólidos em que as seguintes características foram assumidas: von Mises como modelo plástico do concreto, coeficientes de transferência de cisalhamento iguais a unidade e modelo elastoplástico do aço. Nestes modelos, a capacidade de esmagamento do concreto não foi considerada. O autor ainda apresenta as principais características do comportamento do material concreto e comenta como estas influenciam na elaboração de modelos constitutivos deste material. São enfatizadas as dificuldades numéricas observadas durante a aplicação de modelos de concreto, decorrentes principalmente da não-linearidade do material, incluindo notas sobre critérios de convergência. Devido a este fato, diversas análises dos mesmos problemas foram realizadas

114 96 no ANSYS, adotando-se diferentes combinações entre algoritmos para solução não-linear, número de iterações, aceleradores de convergência e critérios de convergência. O autor verifica ainda que o modelo de armadura dispersa apresenta maiores vantagens do que o discreto, pois fornece os mesmos resultados para um número menor de elementos finitos e possibilita maior liberdade para a discretização. Shayanfar et al. (1997) apresentaram um estudo a respeito da influência das dimensões do elemento finito em análises não-lineares de estruturas de concreto. O efeito do tamanho do elemento em diversos aspectos comportamentais de estruturas de concreto armado foi discutido, incluindo as características carga-deslocamento e carga-deformação, padrão de fissuração e carga última. Um novo modelo para representar a armadura de estruturas de concreto armado e protendido, em análises não-lineares com elementos finitos, foi apresentado por Arafa e Mehlhorn (1998). De acordo com esta técnica, a armadura principal é representada por um modelo discreto independente da malha de elementos finitos de concreto. Já a armadura secundária (estribos, por exemplo) é representada por um modelo disperso. Além disso, um elemento de contato com diferentes condições de aderência é usado para representar a interface entre o concreto e o aço. Os resultados de análises com elementos finitos são aproximações, sendo então fundamental o controle do erro do processo numérico. Como o erro exato não é conhecido, deve-se estimá-lo. Lackner e Mang (1998) discutem um método para estimativa do erro incremental em análises bidimensionais de estruturas de concreto, incluindo o efeito de amolecimento causado pela fissuração do concreto. Um modelo tridimensional de elementos finitos não-linear utilizando o ANSYS (versão 5.6.) foi feito por Bessason e Sigfússon (001) com o objetivo de obter curvas cargadeformação de paredes diafragma de concreto armado para diferentes disposição das armaduras. Estas curvas foram então utilizadas em análises não-lineares de um edifício residencial típico de um andar sob o efeito de terremoto. Edifícios como esse são muito

115 97 comuns em South Iceland Lowland, região que sofre constantes abalos sísmicos. Os efeitos de deformação lenta, retração e mudança de temperatura influenciam a resposta não-linear do concreto armado, porém, podem ser desprezadas para análises com cargas sísmicas de curta duração. No modelo desenvolvido, foi considerada uma aderência perfeita entre a armadura e o concreto. Para representar o material concreto, o elemento SOLID65 foi empregado e a armadura considerada diluída nos elementos. Os coeficientes de transferência de cisalhamento usados foram 1,0 para o estado de fissuras fechadas e 0,1 para fissuras abertas. Os autores verificaram que é possível simular com certa precisão toda a curva carga-deformação, incluindo sua parte elástica, o início da fissuração, o esmagamento e o escoamento da armadura. Todavia, a determinação da carga última foi difícil, pois ela depende da regra de encruamento, do critério de convergência e do método iterativo considerados. O método de Newton-Raphon foi utilizado, assim como o critério de convergência com base em deslocamentos. Fanning (001) realizou uma modelagem não-linear de vigas de concreto armado e concreto protendido, com o uso do programa ANSYS (versão 5.5). Comentários a respeito de considerações e estratégias utilizadas na modelagem foram também feitos. É sugerida a aplicação de deslocamentos para a aplicação do carregamento nos modelos de elementos finitos, a fim de se facilitar a convergência numérica. A força de protensão foi modelada por meio da aplicação de uma deformação inicial nos elementos que representam os cabos de protensão, em uma etapa de carregamento preliminar. Além disso, os resultados numéricos obtidos foram comparados com dados experimentais, relativos às respostas carga-deslocamento das vigas e à carga última. Bicanic et al. (1993) também recomendam a introdução do carregamento por meio da imposição de deslocamentos (controle de deslocamentos), pois além de se facilitar o processo de convergência numérica, evita-se a possibilidade da matriz de rigidez tornar-se singular em algum ponto do diagrama cargadeslocamento. Alguns aspectos relacionados à modelagem numérica tridimensional de estruturas de concreto armado pelo Método dos Elementos Finitos foram analisados por Gomes e Awruch (001). Para eles, problemas como a aderência entre a armadura e o concreto não

116 98 estão ainda completamente resolvidos, principalmente quando o modelo de armadura dispersa é utilizado. É possível simular a armadura numa estrutura tridimensional de concreto armado de três formas: por um modelo discreto, por um modelo embutido e por um modelo disperso. De acordo com os autores, o último modelo citado é mais apropriado para estruturas de casca ou placa, onde se pode representar um conjunto de armaduras como uma camada cuja área da seção transversal seja equivalente à das barras. Para o caso em que o espaçamento da armadura não é uniforme e as barras têm áreas transversais muito diferentes, por exemplo, os outros modelos são mais adequados. A formulação relativa ao modelo discreto é muito limitada para modelos tridimensionais, pois as barras são geralmente modeladas como elementos de treliça ao longo dos nós dos elementos de concreto. Tal fato pode levar a um tempo computacional mais elevado devido a um refinamento desnecessário da malha de elementos finitos de concreto e até a erros numéricos causados por elementos muito distorcidos. Já o modelo de armadura embutida não restringe a escolha da malha de elementos. O aço é representado como um elemento, geralmente uniaxial, embutido em um elemento de concreto, admitindo-se que os deslocamentos de ambos os elementos sejam coincidentes. É possível a modelagem de armaduras em qualquer direção, até curvas. O comportamento à flexão de vigas de concreto armado submetidas a uma pré-tensão foi pesquisado por Padmarajaiah e Ramaswamy (00). O concreto era de alta-resistência e as vigas eram reforçadas por fibras de aço. No modelo tridimensional de elementos finitos feito com o auxílio do programa ANSYS (versão 5.5), as fibras de aço ao longo do comprimento da viga foram modeladas por elementos de treliça e o concreto pelo elemento SOLID65. Utilizou-se a simetria do modelo. Os coeficientes de transferência de cisalhamento foram variados de 0,1 a 0,5 (para fissuras abertas) e de 0,7 a 0,9 (para fissuras fechadas). Paula et al. (00) desenvolveram dois modelos de elementos finitos, para uma viga e uma laje de concreto armado, utilizando o programa ANSYS (versão 5.7). A viga estudada era simplesmente apoiada e submetida a cargas concentradas eqüidistantes dos apoios. Já a laje era quadrada, apoiada nas quatro bordas e submetida a uma carga concentrada no seu

117 99 centro. Os modelos foram tridimensionais e o elemento escolhido para representar o material concreto foi o SOLID65, sendo sua capacidade de esmagamento desabilitada e usando von Mises como critério de escoamento. A armadura foi considerada dispersa e o mesmo critério de escoamento do concreto foi empregado. Ambos materiais foram especificados como elasto-plásticos. O algoritmo da rigidez inicial, a convergência com base na norma de deslocamentos e o acelerador de convergência line search foram adotados. Os resultados numéricos foram comparados com outros disponíveis na literatura e também com resultados experimentais. Os autores comentam que ainda não há um modelo constitutivo completo para o material concreto armado, apesar dos resultados obtidos terem sido muito bons. Faz-se necessária uma pesquisa maior e interrelacionamento entre os ramos da teoria da plasticidade, teoria do dano e mecânica da fratura. 7.3 Análises de pilares mistos aço-concreto Bradford e Gilbert (1990) desenvolveram um estudo analítico-computacional de pilares mistos aço-concreto totalmente revestidos submetidos à carga excêntrica, de modo a incluir os efeitos de deformação lenta, retração, fissuração e não-linearidade geométrica. É ainda proposto um método de cálculo para se obter a carga máxima de serviço de pilares esbeltos, excentricamente solicitados. El-Tawil et al. (1995) desenvolveram um programa de computador para modelar pilares mistos aço-concreto totalmente revestidos, pelo Método dos Elementos de Fibra (fiber element method). De acordo com este método, a seção transversal mista do pilar é discretizada em pequenas regiões (fibras) e a cada uma delas é associado um modelo constitutivo de um dado material. No caso, há quatro modelos possíveis: um para o concreto confinado, um para o concreto não-confinado, um para a armadura e um para a chapa de aço. Os modelos constitutivos são baseados principalmente na relação tensãodeformação no sentido longitudinal de cada um dos materiais. Cada uma das pequenas regiões discretizadas representa uma fibra do material na direção longitudinal ao longo do pilar. Os pilares foram analisados à flexão uniaxial e biaxial. As resistências obtidas por

118 100 meio do estudo numérico foram comparadas com as normas ACI-318 (199) e AISC- LRFD (1993). Foi verificado que, de maneira geral, o ACI-318 retrata o comportamento dos pilares mistos de maneira mais real do que o AISC-LRFD. Porém, a precisão relativa dos resultados previstos depende da razão entre as resistências do aço e do concreto e da esbeltez do pilar. Além disso, constatou-se que para ambos, pilares curtos e esbeltos, as resistências previstas pelo ACI-318 foram aproximadamente 9% contra a segurança, em comparação com os resultados numéricos. Para pilares curtos, as resistências previstas pelo AISC-LFRD foram até 41% conservadoras, também em comparação com os resultados do modelo numérico. Alostaz e Schneider (1996) apresentam um estudo numérico, baseado no Método dos Elementos Finitos, de uma variedade de detalhes relativos a ligações envolvendo pilares mistos aço-concreto preenchidos, de seção circular. A análise realizada é importante na verificação de ligações adequadas para zonas sísmicas. O modelo tridimensional foi desenvolvido por meio do programa ABAQUS (versão 5.4). Utilizou-se o critério de escoamento de von Mises e a regra de fluxo de Prandtl-Reuss para os elementos de aço. Comportamento geométrico não-linear foi considerado para os elementos de concreto e de aço. Um modelo de fissuras dispersas foi empregado na análise. Tal modelo não tem a capacidade de prever micro-fissuras individuais, porém ele altera a rigidez e a resistência associadas a cada ponto de integração. Duas abordagens distintas foram testadas para a modelagem da interface concreto-perfil de aço do pilar. Na primeira foi utilizado um elemento de interface característico do programa (apresentou alguns problemas de convergência) e na segunda uma fina camada de elementos de concreto, só que com resistência e rigidez pequenas (apresentou melhores resultados). Os autores comentam que, entre outras vantagens sobre um pilar de concreto armado de seção equivalente, o pilar misto preenchido de seção circular apresenta maior rigidez, resistência e ductilidade. Além disso, devido ao confinamento do concreto ao longo do pilar, seu desempenho para cargas sísmicas também é melhor. Porém, eles ponderam que o uso deste tipo de pilar é limitado, devido à complexa natureza das ligações viga-pilar e pequena experiência de construção (na época). Comentário semelhante foi feito por Prion e Boehme (1994).

119 101 O Centro de Pesquisa Estrutural do Departamento de Transporte da Flórida, Estados Unidos, desenvolveu um projeto de pesquisa relativo à análise e modelagem de pilares mistos aço-concreto preenchidos e de pilares de concreto confinados por camadas externas circulares de fibras. Tal trabalho pode ser encontrado em Shahawy et al. (1998). É comentado que a camada externa de fibras caracteriza-se por uma grande resistência, pequeno peso próprio e resistência à corrosão, podendo ser adicionada ao pilar de concreto sem aumento significativo da seção transversal. Tanto fibras de carbono quanto de vidro têm sido utilizadas na prática, apesar das primeiras serem mais caras. Já foi verificado que o comportamento do concreto é muito diferente quando confinado por um material elastoplástico (o aço, por exemplo) e quando confinado por materiais linearmente elásticos, como as fibras. Caso os mesmos modelos numéricos de pilares mistos aço-concreto preenchidos sejam utilizados para se estimar a resistência dos pilares reforçados por fibras, pode-se obter uma resistência maior do que a real e um dimensionamento contra a segurança. Os objetivos principais do projeto são: (i) investigação do comportamento à compressão axial de amostras de pilares de concreto confinados por camadas de fibras de carbono, com base em ensaios experimentais previamente realizados pelo departamento e (ii) comparação dos resultados experimentais com um modelo de elementos finitos, assumindo o modelo de plasticidade de Drucker-Prager e regra de fluxo não-associativa. O programa de análise numérica utilizado foi o ANSYS (versão 5.3) e adotou-se o elemento SOLID65 para se representar o material concreto. A aplicação do carregamento no modelo foi feita a partir da imposição de deslocamentos. El-Tawil e Deierlein (1999) desenvolveram um modelo de elementos de fibra de pilares mistos curtos aço-concreto totalmente revestidos. Neste modelo considerou-se o comportamento inelástico do aço e do concreto, incluindo os efeitos de confinamento do último, e assumiu-se que seções planas permanecem planas, o que implica na total compatibilidade entre os elementos de aço e de concreto na seção transversal mista. O objetivo era investigar a resistência e a ductilidade dos pilares em função de alguns parâmetros, como a relação entre a área de aço e a área total da seção mista, a resistência nominal do concreto à compressão e o confinamento do concreto por uma armadura especifica para ações sísmicas. Os valores obtidos foram comparados com as previsões das

120 10 normas ACI-318 (1995), AISC-LRFD (1993) e AISC Seismic Provisions (1997) e evidenciaram diferenças quanto aos resultados previstos pelas duas normas, ACI-318 e AISC-LRFD. Nardin (1999) realizou um estudo numérico-experimental de pilares mistos aço-concreto preenchidos, a fim de investigar seu comportamento e alguns parâmetros que o influenciam, tais como a forma da seção transversal e a espessura do perfil de aço. Aspectos normativos e principais características deste tipo de pilar são comentados e é feita uma descrição dos componentes (materiais aço e concreto) e do comportamento geral da seção mista (flambagem, retração, ductilidade, aderência, etc). Os pilares ensaiados foram submetidos à compressão axial. Foram consideradas seções quadradas, circulares e retangulares, preenchidas com concreto de alta resistência (50 MPa). A ruptura dos pilares ocorreu pelo esmagamento do concreto, com posterior flambagem local do perfil em diversos pontos. A análise numérica foi feita utilizando-se o programa ANSYS (versão 5.4), para seções quadradas, sendo a avaliação e a calibração dos modelos feita com base nos ensaios. Os pilares preenchidos modelados foram submetidos à compressão axial e fenômenos importantes, tais como fluência e retração do concreto bem como aderência entre os elementos de aço e concreto, não foram considerados. O elemento usado para representar o material concreto foi o SOLID45 e o modelo constitutivo adotado foi multilinear isotrópico. No caso do aço, um modelo constitutivo bilinear isotrópico foi assumido (comportamento elasto-plástico perfeito). Ambos os materiais (aço e concreto) foram considerados isotrópicos e adotou-se, também para ambos, a superfície de escoamento de von Mises. O carregamento foi aplicado nos modelos através da imposição de deslocamentos e os pilares foram considerados engastados na base e articulados no topo (conforme ensaios experimentais realizados). Foram obtidos resultados relativos à distribuição de tensões axiais no aço e no concreto, além de deformações axiais e transversais também em ambos os materiais. Os modelos de seção circular não foram feitos, devido a dificuldades relativas ao processo de modelagem. Uma análise teórico-numérica utilizando o Método dos Elementos Finitos foi feita por Liang e Uy (000) para estudar o comportamento pós-flambagem de chapas de aço em

121 103 pilares mistos aço-concreto preenchidos, de seção quadrada. Foram investigados os efeitos de imperfeições geométricas iniciais (através da aplicação de uma pequena pressão lateral na superfície das chapas), tensões residuais (tratadas como uma pré-carga) e relação largura-espessura no comportamento pós-flambagem destas chapas. São comentadas as vantagens dos pilares mistos aço-concreto preenchidos, de seção quadrada, entre elas o aumento da ductilidade do concreto e o aumento da resistência à flambagem local das chapas de aço, devido à restrição das mesmas pelo núcleo de concreto. Além disto, há redução de custos e maior rapidez de construção. Por exemplo, durante a construção de edifícios altos, os tubos de aço podem ser preenchidos por concreto em níveis mais baixos enquanto os elementos de aço são montados em níveis mais elevados. Uma análise numérico-experimental de pilares mistos aço-concreto preenchidos, de seção quadrada, foi feita por Varma et al. (000). As 4 amostras ensaiadas eram compostas de concreto de alta resistência (110,4 MPa) e tubos de aço de 305 mm. Duas resistências nominais dos perfis de aço foram utilizadas, 317 MPa e 55 MPa, assim como duas relações largura-espessura, 3 e 48. A análise numérica foi feita a partir do desenvolvimento de modelos de elementos finitos das amostras ensaiadas, com o auxílio do programa comercial ABAQUS. Foram considerados no modelo a flambagem local do perfil de aço, o confinamento do concreto e a ação mista entre o tubo de aço e o núcleo de concreto. Resultados numéricos foram comparados com dados experimentais e mostraram boa conformidade. Um modelo de elementos finitos foi desenvolvido por Han (001) com o intuito de se calcular campos de temperatura de pilares mistos aço-concreto preenchidos, de seções quadradas e circulares, submetidos a fogo. A partir do modelo teórico desenvolvido, é possível calcular as deformações e a resistência do pilar sob condição de incêndio. Os resultados obtidos foram comparados com ensaios experimentais e mostraram-se bem precisos. A influência de parâmetros como a esbeltez e as dimensões dos pilares mistos na sua resistência ao fogo foi considerável. Porém, outros fatores, como por exemplo, a relação entre a área de aço e a área de concreto, a excentricidade da carga e as resistências do concreto e do aço não influíram muito na resistência ao fogo dos pilares.

122 Análises de estruturas mistas em geral Elnashai e Elghazouli (1993) e Elghazouli e Elnashai (1993) desenvolveram um modelo não-linear para a análise de pórticos mistos aço-concreto submetidos a cargas cíclicas. O estudo teve como base um programa comercial de elementos finitos e foram considerados não-linearidades geométricas e o comportamento inelástico dos materiais. Além disso, o efeito de confinamento do concreto e da flambagem local do perfil de aço também foram incluídos. O modelo proposto foi calibrado e comparado com dados experimentais de ensaios com cargas cíclicas realizados em um novo tipo de pilar misto parcialmente revestido. Com base no modelo numérico, realizou-se um estudo paramétrico destes novos pilares com o objetivo de investigar sua ductilidade. Até alguns anos atrás, a maior parte dos estudos a respeito do comportamento de ligações mistas e do desempenho de pórticos mistos era feita em laboratório, com ensaios experimentais. Nethercot e Ahmed (1996) descreveram a aplicação do programa comercial ABAQUS (versão 5.3.1) na análise de ligações mistas e pórticos mistos, incluindo o tratamento dos efeitos de resistência parcial e ligação semi-rígida. Tal abordagem provou ser de grande importância para a análise de diversos fatores que influenciam no comportamento das ligações como, por exemplo, o efeito da razão força cortante-momento, que não poderia ser determinado somente a partir de ensaios experimentais. Além disso, devido ao enorme número de variáveis que afetam o comportamento de uma ligação mista (viga de aço, pilar, tipo de carregamento, número de linhas de parafusos, tipo e quantidade de conectores de cisalhamento, etc) não seria economicamente viável o estudo do problema somente com ensaios experimentais. Com base numa abordagem via Método dos Elementos Finitos é ainda possível a obtenção da história carga-deformação para cada um dos elementos considerados. Um novo método numérico para avaliar o comportamento mecânico de ligações a cisalhamento em estruturas mistas aço-concreto foi proposto por Kalfas e Pavlidis (1997). A abordagem proposta foi baseada no Método dos Elementos Finitos e levou em consideração o comportamento linear e não-linear dos materiais. A partir da análise

123 105 numérica foi possível obter curvas força-deslocamento relativas aos conectores de cisalhamento. Resultados numéricos foram comparados com dados experimentais e mostraram boa conformidade. Migliozzi (1997) realizou um estudo numérico de ligações parcialmente rígidas viga-pilar em pórticos, utilizando o programa comercial ANSYS (versão 5.3). Uma parte da análise foi sobre ligações mistas aço-concreto e foram comparados aspectos econômicos de ambos os tipos de construção (mista e não mista), partindo-se dos resultados numéricos obtidos. Foi enfatizado o fato de que qualquer modelagem de sistemas estruturais começa com uma representação adequada de seus componentes. Isto permite que uma representação mais realista da estrutura seja feita e, por conseguinte, dimensionamentos mais econômicos e seguros sejam desenvolvidos. Nos modelos numéricos utilizou-se um elemento de mola não-linear para representar as ligações parcialmente rígidas. O comportamento não-linear destas ligações (ou a sua curva momento-rotação) pode ser representado por este elemento de mola. Efeitos de segunda ordem também foram incluídos. Vigas mistas aço-concreto têm sido amplamente utilizadas, principalmente em pontes e construções de edifícios. Um elemento essencial em uma viga mista é a ligação a cisalhamento entre a viga de aço e a laje de concreto. É esta ligação que garante a ação conjunta de ambos os materiais, ou seja, a ação mista da viga. Não é possível realizar um ensaio experimental que englobe as numerosas variáveis que podem influenciar o comportamento de um conector de cisalhamento. Portanto, Oguejiofor e Hosain (1997) utilizaram o ANSYS para prever a capacidade de carga de tais conectores. Schiller et al. (1997) desenvolveram a formulação de um modelo tridimensional de elementos finitos de pórticos mistos compostos de pilares mistos aço-concreto preenchidos, de seção quadrada ou retangular, e de vigas de aço em perfil I laminado. Esta formulação foi verificada a partir de um grande número de ensaios experimentais. O modelo do pilar misto preenchido inclui o deslizamento entre o aço e o concreto, além do comportamento não-linear dos materiais e todas as não-linearidades geométricas. A partir da formulação proposta, é possível conduzir estudos paramétricos para se determinar a importância de

124 106 certos fatores no comportamento dos pilares mistos, tais como a geometria da seção transversal, por exemplo. Além disso, a resistência última, a ductilidade e os comportamentos monotônico e cíclico dos pórticos também podem ser avaliados por meio deste modelo proposto. Foi demonstrado que o deslizamento entre o aço e o concreto nos pilares mistos influencia pouco a resposta global dos pórticos mistos. Com base em estudos de simulações numéricas do comportamento não-linear de estruturas mistas aço-concreto, Menrath et al. (1998) apresentaram novos modelos constitutivos para o concreto e os elementos da interface. É feita uma análise numérica, via Método dos Elementos Finitos, de vigas mistas aço-concreto compostas por uma laje de concreto acima de uma viga de aço, cujos elementos são ligados na interface por conectores. Veljkovic (1998) desenvolveu um estudo numérico-experimental do comportamento de lajes mistas aço-concreto. Utilizou um programa comercial de elementos finitos para modelar uma laje mista em duas dimensões. Nas simulações numéricas, a não-linearidade dos materiais e um modelo de fissuras discretas do concreto foram incluídos. Neste modelo, a fissura é modelada como uma descontinuidade geométrica e a fissuração ocorre ao longo de um caminho pré-estabelecido: ao longo dos lados dos elementos. No estudo paramétrico feito, a principal variável estudada foi a transferência do cisalhamento horizontal entre a fôrma de aço e o concreto. Os resultados obtidos demonstraram a importância da fissuração do concreto, pois ela influencia muito a distribuição do cisalhamento horizontal entre ambos os materiais. Um conjunto de universidades e instituições na Inglaterra (University of Edinburgh, Imperial College of Science, Technology and Medicine, British Steel, Building Research Establishment e Steel Construction Institute) desenvolveu um projeto de pesquisa com o objetivo de realizar ensaios experimentais de pórticos mistos aço-concreto submetidos à condição de incêndio e, assim, desenvolver um método de dimensionamento. O estudo em questão pode ser encontrado em Usmani et al. (000). A análise de tais estruturas sob fogo é um problema altamente não-linear e complexo no ramo da termo-mecânica e, portanto, foi necessário o uso de um programa de elementos finitos, no caso o ABAQUS, para se

125 107 modelar as vigas, lajes e pilares. Os princípios e objetivos básicos do projeto foram: (i) a identificação e representação adequada dos principais mecanismos de carregamento; (ii) a representação precisa da rigidez da estrutura e das restrições; (iii) a avaliação da influência de algumas variáveis importantes nos modelos feitos, por meio de um estudo parametrizado; (iv) validação qualitativa e quantitativa dos modelos por resultados experimentais e (v) consistência dos resultados numéricos com os princípios mecânicos e estruturais fundamentais. São apresentados e comentados os passos essenciais na construção de qualquer modelo de elementos finitos, como a discretização da estrutura em elementos finitos, os tipos de elementos e modelos dos materiais utilizados, as condições de contorno, a aplicação do carregamento e a escolha do tipo de análise a ser desenvolvida. Em relação aos modelos dos materiais, foi incluída na análise a degradação das propriedades do concreto e do aço com a temperatura. Além disso, é ressaltado que, em problemas estruturais que consideram a ação de temperaturas elevadas, é importantíssimo que seja considerada a não-linearidade geométrica. A Universidade de Helsinki (Technische Universität Helsinki), Finlândia, iniciou no ano de 1999 uma pesquisa composta de ensaios experimentais e modelagem numérica de elementos de aço submetidos a temperaturas elevadas, assim como da modelagem de estruturas mistas aço-concreto sob condição de incêndio. Modelos de materiais sob a ação de fogo, baseados em ensaios experimentais, foram utilizados para se determinar a capacidade de carga de estruturas em condição de incêndio. Mäkeläinen et al. (001) apresentam um relatório que discute um método desenvolvido para a análise de pórticos de aço e pórticos mistos aço-concreto expostos a um incêndio localizado. Modelos numéricos foram feitos com base no programa comercial de elementos finitos ABAQUS (versão 5.7). Outra possibilidade proposta foi a utilização simultânea de dois programas comerciais, no caso o ANSYS e o ABAQUS. Ao longo do relatório são apresentados e discutidos alguns modelos de elementos finitos, tais como: viga mista aço-concreto (modelo tridimensional), pórtico de aço (modelo bidimensional), viga de aço (modelo bidimensional) e pórtico misto aço-concreto (modelo tridimensional). Foi destacado o fato de que quando um elemento estrutural está submetido a um aumento considerável de temperatura, como o que ocorre no caso de incêndios, seu comportamento sofre a influência dos elementos ao seu redor

126 108 pertencentes à estrutura como um todo, que podem estar ou não submetidos ao fogo. Além disso, o comportamento estrutural do sistema como um todo é geralmente melhor do que o de um elemento estrutural isolado, devido à redistribuição de solicitações, por exemplo. A importância de uma análise via Método dos Elementos Finitos reside neste fato. Como Usmani et al. (000) já comentaram, estudos que incluem cargas térmicas geralmente fazem com que a análise numérica se torne altamente não-linear, pois nestes casos as propriedades dos materiais dependentes da temperatura devem ser consideradas, assim como os efeitos de segunda ordem induzidos pela expansão térmica. Foi ainda destacada a importância de terem sido realizadas análises com um grau de complexidade crescente, pois o sistema final desejado é bastante complexo. Deste modo, erros em geral são evitados e a influência de cada variável no comportamento da estrutura é mais bem avaliada. 7.5 Análises de outros sistemas estruturais Al-Oraimi e Seibi (1995) promoveram um trabalho experimental com concreto de alta resistência reforçado por fibras de vidro e fibras naturais (folhas de palmeira). Foi observado que as fibras naturais exibiram uma resposta semelhante à das fibras de vidro, no que se refere ao melhoramento das propriedades mecânicas e resistência ao impacto do concreto. Um modelo bidimensional de viga de concreto foi feito utilizando-se o ANSYS (versão 5.0) para se estudar o comportamento à flexão do concreto reforçado por fibras. Bahaari e Sherbourne (1996) e Sherbourne e Bahaari (1996) desenvolveram um modelo de elementos finitos utilizando o ANSYS (versão 4.4) para estudar o comportamento de ligações parafusadas entre vigas com chapas de extremidade e pilares de aço. Nesta pesquisa, constatou-se a importância do uso de pequenos passos de carga em casos em que há não-linearidade física, com o propósito de se caracterizar a história de carregamento real. Foi ainda pesquisado o comportamento interativo entre a mesa e a chapa de extremidade nas ligações. Além disso, foi destacado o fato de que uma das vantagens de se utilizar um modelo de elementos finitos ao invés de um modelo matemático ou mecânico é a possibilidade que o primeiro nos dá de monitorar facilmente e de maneira completa o comportamento força-deslocamento.

127 109 Materiais na forma sanduíche são atualmente utilizados na engenharia civil e na indústria, especialmente nos campos de transporte (automotivo, aeronáutico, naval e ferroviário). Uma estrutura sanduíche é composta de três camadas, duas delas rígidas que trabalham como membranas, e uma central mais espessa, caracterizada por baixas rigidez e densidade e submetida em geral a solicitações transversais de cisalhamento. Manet (1998) usou diferentes modelos de elementos finitos utilizando o ANSYS (versão 5.) para obter deslocamentos e tensões em vigas sanduíche simplesmente apoiadas, submetidas a uma pressão uniforme. Cada viga era composta de duas camadas externas de alumínio e de uma camada central, cujo material variou de uma viga para outra. Mais de 50% das pontes nos Estados Unidos foram construídas antes de Atualmente, o estado de conservação destas estruturas não é bom, surgindo então a necessidade de se desenvolver métodos seguros e econômicos para repará-las e aumentar a sua vida útil. Tedesco et al. (1999) apresentam uma análise, por meio de um programa comercial de elementos finitos, do reforço externo de uma ponte de concreto armado por laminados de fibras de plástico. Estudos estáticos e dinâmicos foram conduzidos para as condições antes e após o reforço. Tais laminados têm sido muito usados em obras de reparação, substituindo as tradicionais chapas de aço, devido ao seu fácil manuseio, resistência à corrosão, pequeno peso próprio e alta resistência. Uma série de problemas de natureza não-linear relacionados a estruturas de aço, analisados e resolvidos pelo Método dos Elementos Finitos, foi apresentada por Vasek (1999). Os estudos foram feitos com o auxílio do programa ANSYS e todos são caracterizados por não-linearidades da geometria e dos materiais. Entre as análises realizadas, tem-se o estudo do comportamento de vigas I com imperfeições na alma. O autor ressalta o fato de que as análises via elementos finitos são cada vez mais necessárias e importantes para a resolução de problemas complexos (com imperfeições na geometria, por exemplo). As ligações parafusadas, de acordo com Bahaari e Sherbourne (000), especialmente as que envolvem chapas de extremidade, têm sido amplamente utilizadas na prática, pois elas necessitam de menor supervisão e menor tempo de montagem do que as ligações soldadas.

128 110 Porém, o comportamento estrutural de tais ligações, assim como seu dimensionamento, são relativamente complexos, principalmente nos casos em que grandes esforços estão envolvidos. Os autores estudaram, via Método dos Elementos Finitos, o comportamento de ligações parafusadas de chapas de extremidade com mesas de pilares de aço. A partir da análise numérica tridimensional feita com o auxílio do ANSYS (versão 4.4), é possível observar a interação entre a chapa e a mesa, além da distribuição de tensões e deslocamentos. Kermanidis et al. (000) realizaram uma análise numérica, usando o programa ANSYS, do estado de tensões em ligações parafusadas de chapas, submetidas a um carregamento incremental de tensão no plano das chapas. O estudo feito é tridimensional e um modelo para representar a progressão do dano (fratura) foi incorporado à analise pelo ANSYS, através de uma rotina. Tal modelo tem como objetivo a implementação de uma análise de falha e degradação das propriedades dos materiais. A ligação consistia de duas chapas, sendo uma de alumínio e outra de um laminado composto, feito de camadas de fibras unidirecionais. Os contatos entre as chapas, entre o parafuso e as chapas e entre o parafuso e o furo também foram modelados, por meio de elementos de contato. A resistência última da ligação pôde então ser obtida, assim como uma representação precisa do campo de tensões desenvolvido ao redor do parafuso. Duas universidades americanas (California Polytechnic State University e Oregon State University) financiadas pelo Departamento de Transportes de Oregon e pela Administração das Rodovias Federais, desenvolveram um projeto em 001 que consistia no desenvolvimento de modelos lineares e não-lineares de elementos finitos para a análise de uma ponte de concreto armado que tinha sido reforçada por laminados de fibras. Kachlakev et al. (001) apresentam este projeto. Os programas comerciais de elementos finitos SAP000 e ANSYS (versão 5.5), este último principalmente, foram utilizados para modelar algumas vigas (semelhantes às vigas transversais da ponte em questão) nas situações antes e depois do reforço por fibras. Modelos de elementos finitos para a ponte também foram desenvolvidos e analisados, para ambas as situações acima. Para o caso das vigas, foram realizados ensaios experimentais em escala real e os resultados foram comparados com os

129 111 numéricos. Já os resultados dos modelos de elementos finitos da ponte foram comparados com medições in-situ realizadas na estrutura, porém somente para respostas após o reforço da mesma. Tanto nos ensaios quanto nos modelos numéricos das vigas, estas foram divididas em dois grupos: as vigas reforçadas por fibras de carbono e as reforçadas por fibras de vidro. Nas análises feitas pelo ANSYS adotou-se o modelo de fissuras dispersas e utilizou-se o elemento SOLID46 para modelar os compostos de fibras e o elemento SOLID65 para modelar o concreto, sendo sua capacidade de esmagamento desconsiderada devido a problemas numéricos. A armadura foi representada por um modelo discreto (elemento LINK8). O modelo do aço da armadura foi assumido como sendo bilinear isotrópico (elástico-perfeitamente plástico) e o do concreto como sendo multilinear isotrópico. Foi considerada aderência total entre os elementos da armadura (LINK8) e do concreto (SOLID65) e entre estes últimos e os elementos dos compostos de fibras (SOLID46). Para tal, os nós dos respectivos elementos foram compartilhados. Karadelis e Omair (001) realizaram uma análise elasto-plástica de uma ligação entre um perfil de aço de seção quadrada e uma chapa de aço, utilizando o programa ANSYS (versão 5.5). O modelo desenvolvido foi tridimensional, incluía não-linearidade geométrica (possibilidade de ocorrência de grandes deslocamentos) e o encruamento considerado foi o isotrópico.

130 11 8 ANÁLISE NUMÉRICA DE PILARES MISTOS AÇO-CONCRETO PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 8.1 Considerações iniciais O presente capítulo tem como objetivo principal a modelagem de pilares mistos açoconcreto através do programa de elementos finitos ANSYS (versão 5.7). Diversos modelos são apresentados e discutidos, no que se refere à forma de modelagem, critérios de convergência adotados, modelos constitutivos e tipos de elementos finitos utilizados para caracterizar os materiais (aço e concreto armado), forma de aplicação do carregamento, consideração ou não de fenômenos como fissuração e esmagamento do concreto, entre outros. A flambagem (ou instabilidade global) dos pilares é analisada em alguns modelos. Na interface aço-concreto os nós de ambos os materiais coincidem, ou seja, a aderência entre ambos é assumida como sendo total. Apesar do deslizamento relativo entre o aço e o concreto não ter sido considerado na modelagem, sabe-se que as tensões de cisalhamento na interface são importantes na determinação da necessidade ou não do uso de conectores, levando-se em consideração a resistência fornecida por atrito e aderência.

131 Modelos de pilares mistos submetidos à flexo-compressão, utilizandose o elemento SOLID45 para o concreto Neste item são apresentados modelos de pilares mistos aço-concreto parcialmente revestidos submetidos a um carregamento combinado de compressão e flexão, sendo o material concreto armado modelado pelo elemento elasto-plástico SOLID45 do ANSYS. Este elemento finito não é capaz de representar os fenômenos de fissuração e esmagamento do concreto. As armaduras (longitudinais e transversais) do concreto armado também não podem ser modeladas por meio deste elemento. Dois tipos de análise incremental são feitos: a) Análise considerando somente a não-linearidade física. As tensões últimas do aço e do concreto resultantes do estudo numérico são comparadas com as tensões obtidas por meio da plastificação total da seção, desprezando-se o concreto tracionado; b) Análise considerando tanto a não-linearidade física quanto a geométrica. A resistência do pilar misto é comparada com a prevista pela NBR 1433 (1999) Escolha da relação entre a resistência à tração (f tk ) e a resistência à compressão (f ck ) do concreto Nos exemplos analisados utiliza-se uma resistência à tração do concreto quatro vezes menor do que sua resistência à compressão. A necessidade de uma relação tão alta entre as resistências à tração e à compressão pode ser explicada através do cone de Drucker-Prager no espaço de tensões de Haigh-Westergaard. Dois cones correspondentes a duas diferentes razões entre as resistências à tração e à compressão do concreto estão mostrados na FIG Nota-se que na FIG. 8.1a o cone é muito aberto para f tk =f ck /0, o que não permite um bom resultado na análise numérica quando se utiliza o critério de falha de Drucker-Prager, devido a efeitos irreais de confinamento. Tais efeitos correspondem a grandes resistências à compressão em uma das direções principais com baixíssimas tensões de compressão nas

132 114 outras duas direções. Logo, deve-se aumentar a razão entre as resistências a fim de que melhores resultados sejam obtidos (FIG. 8.1b). (a) f f tk ck = 1 0 (b) f f tk ck 1 = 4 FIGURA 8.1 Cones de Drucker-Prager para diferentes razões f f tk ck 8.. Dados inicias Nos itens a seguir, os dados comuns aos pilares analisados são: E υ f y aço aço = 0500 kn/cm = 0,3 = 5 kn/cm E υ concreto concreto = 00 kn/cm = 0, f f ck tk = kn/cm = 1 4 f ck = 0,5 kn/cm Um esboço da geometria do pilar misto, assim como do carregamento aplicado, são mostrados na FIG Resistência nominal da seção mista pela NBR 1433 (1999) Neste exemplo a flambagem não é considerada. a) Resistência do concreto à plastificação total pela força normal (N c ) N c = A c.f ck (8.1)

133 115 Onde: N c = resistência da seção de concreto à plastificação total pela força normal; A c = área da seção transversal do concreto; f ck = resistência do concreto à compressão. Tem-se: A = (0.0).(0.0,8) - (18,4.0,8) = c 353,3 cm N c = 353,3. N c = 707 kn b) Resistência da seção mista à plastificação total pelo momento fletor (M pl,r ) Nas expressões a seguir: d = altura da seção de aço; b = largura da seção de aço; t f = espessura da mesa; t w = espessura da alma. M Z pl,r 0,8 Z a = 0.0,8.(0 0,8) + (0.0,8). = Z c = ,91 = 165,088 cm 4 Supondo que a linha neutra plástica corte a alma: h a n f ck = (Za - Zan ). f y + (Zc - Zcn ). (8.) tw = b. t f.( d t f ) + ( d. t f ). (8.3) 4 Z c 374,91 cm 3 b. d = Z a (8.4) 4 = N (8.5) c [.b. f +. t.(. f f )] ck w y ck

134 h n = = 4,5061cm [ ,8.(.5 ) ] 0.0,8 Como h n < = 9, cm, então a linha neutra plástica corta a alma (OK) Z an = t w.( h ) (8.6) n Z = 0,8.(4,5061) = 16,439 an cm 3 Z cn = ( b t w ).( h ) (8.7) n Z = (0 0,8).(4,5061) = 389,8548 cn cm 3 Logo, M pl,r = (374,91 16,439).5 + (165, ,8548). M = 1000 kn.cm pl, R NOTA: o ponto N s =N c, M R =M pl,r corresponde ao ponto A da curva simplificada de interação momento fletor-força normal, da NBR 1433 (FIG. 8.3). c) Tensões σ e σ no topo do pilar, correspondentes ao par N a b c e M pl,r (FIG. 8.) - Propriedades geométricas das chapas de extremidade do pilar (no modelo de elementos finitos são usados os planos médios das chapas): A = 0.19, = 384 cm 0.(19,) W = = 19 cm 6 3 Então: N M c pl, R σ a, b = m = m (8.8) A W

135 117 σ a = 6,46 kn/cm (tração) σ b = 10,14 kn/cm (compressão) σ σ σ σ Vistas laterais Seção A_A Perspectiva do pilar FIGURA 8. Geometria e carregamento do pilar misto (dimensões em mm) NS Nc A M pl,r MR FIGURA 8.3 Diagrama simplificado de interação força normal-momento fletor 8..4 Análise da seção mista pelo Método dos Elementos Finitos, utilizando-se o programa ANSYS (versão 5.7) a) Modelo

136 118 Utilizam-se elementos de casca elasto-plásticos SHELL43 para representar a seção de aço. Para tais elementos é adotado o critério de escoamento de von Mises com encruamento isotrópico. O aço é considerado como material elástico com encruamento linear, com módulo tangente igual a 1/10000 do módulo elástico, para evitar problemas numéricos relacionados a um fluxo de escoamento irrestrito. Para os elementos SOLID45 usados para o concreto, é adotado o critério de Drucker- Prager, sendo sua superfície circunscrita à superfície hexagonal de Mohr-Coulomb. Considera-se o concreto como material elástico-perfeitamente plástico. A regra de fluxo aplicada a ambos os materiais (aço e concreto) é a associativa. De acordo com a teoria da plasticidade, determinam-se as constantes c e φ, do critério de Mohr-Coulomb: o φ = 36,8699 c = 5 MPa = 0,5 kn/cm f ck 1+ senφ m = = 4 = (8.9) f 1 senφ tk f.c.cosφ = = ck 1 sen (8.10) φ Neste modelo somente é considerada a não linearidade física; a simetria em relação aos planos XY e XZ é levada em consideração na construção do mesmo (FIG. 8.). O carregamento (força normal e momento fletor) é aplicado por meio de uma carga trapezoidal distribuída no topo do pilar, com valores finais baseados nas tensões σ a e σ b determinadas anteriormente. A excentricidade (relação M/N = M pl,r /N c = 14,47 cm) é suposta constante e a força normal é considerada variando de 0,5. N c até 1,6.N c. Os incrementos de força normal aplicados são obtidos com base em uma progressão

137 119 geométrica de razão menor que 1. A FIG. 8.4 mostra o modelo de elementos finitos utilizado, composto de 048 elementos SOLID45 e 640 elementos SHELL43. (a) Elementos de concreto (b) Elementos de aço FIGURA 8.4 Modelo de elementos finitos b) Resultados - Variação do deslocamento horizontal máximo com a força normal excêntrica, para H = 60 cm (FIG. 8.) De acordo com a FIG. 8.5, o pilar entra em colapso para uma força normal excêntrica da ordem de 950 kn. A TAB. 8.1 apresenta a lista de dados a partir dos quais a FIG. 8.5 foi gerada, sendo N = 937,04 kn o último valor da força normal para o qual houve convergência na análise. FIGURA 8.5 Força normal N (kn)x Deslocamento U x (cm)

138 10 TABELA 8.1 Dados relativos à FIG. 8.5 N (kn) Ux (cm) N (kn) Ux (cm) 176,64 0,118978E ,6 0,81066E-01 38,55 0,130E-01 8,73 0, ,19 0,311637E ,19 0, ,55 0,395158E ,04 0, ,17 0,550187E-01 - Deformações e tensões no concreto para forças normais de 751,6 kn (passo 6) e 937,04 kn (passo 9) Os resultados apresentados a seguir são relativos à seção do pilar contida no plano de simetria XY (vide FIG 8.). As deformações do concreto na FIG. 8.6a correspondem à força N = 751,6 kn (passo de carga 6), próxima à resistência teórica (707 kn). Pode ser observado que as deformações de compressão do concreto estão dentro dos limites previstos na NBR 6118 (1978), de 0,% a 0,35%. Na FIG. 8.6b são mostradas as deformações do concreto correspondentes a N = 937,04 kn (passo 9), último valor para o qual houve convergência. As deformações de compressão obtidas (ε máx 1,70%) estão bem acima dos limites previstos. As tensões no concreto na FIG. 8.7a correspondem à força N = 751,6 kn. Já é possível perceber um efeito de confinamento do concreto na região próxima à junção da alma com a mesa do perfil de aço; a tensão de compressão atinge aproximadamente 4,7 kn/cm (acima do valor f ck = kn/cm ). Na FIG. 8.7b são apresentadas as tensões no concreto correspondentes a N = 937,04 kn e pode ser notado um grande efeito de confinamento (tensões da ordem de 10 vezes o valor de f ck vide Chen e Han (1987)).

139 11 (a) (b) FIGURA 8.6 Deformações do concretoε z para (a) N= 751,6 kn; (b) N = 937,04 kn (a) (b) FIGURA 8.7 Tensões no concreto σ z para (a) N = 751,6 kn; (b) N = 937,04 kn Como já comentado, o modelo utilizado nesta análise não prevê fissuração nem esmagamento do concreto, pois o elemento usado para representar o concreto foi o SOLID45. Por isso, a análise feita pelo ANSYS conduziu a deformações finais (passo de carga 9) muito acima daquelas permitidas pela NBR Logo, a carga de colapso da seção mista deve ser considerada como sendo aquela correspondente à situação em que as deformações do concreto estão dentro dos limites estabelecidos pela norma.

140 1 - Tensões no aço para forças normais de 751,6 kn (passo 6) e 937,04 kn (passo 9) Estas tensões são mostradas na FIG. 8.8a e na FIG. 8.8b, respectivamente, notando-se que no passo de carga 6 as tensões máximas de tração e compressão estão próximas do limite de escoamento do aço (5 kn/cm ), confirmando a carga de colapso baseada no concreto. O critério de von Mises foi atendido mesmo no passo 9. (a) (a) (b) (b) FIGURA 8.8 Tensões no aço σ z para (a) N = 751,6 kn; (b) N = 937,04 kn 8..5 Resistência do pilar misto, considerando-se o fenômeno de flambagem Estuda-se um pilar bi-rotulado de altura H = 6000 mm. a) Resistência nominal à compressão do pilar misto (N R ) pela NBR 1433 (1999) Nas expressões a seguir: A a = área do perfil de aço; A c = área da seção de concreto; I a = momento de inércia da seção de aço; I c = momento de inércia da seção de concreto.

141 13 N pl, R A a. f y + α.a c. = f (8.11) ck A = (0.0,8). + (18,4.0,8) = a A = c 353,3 cm 46,7 cm f y = 5 kn cm α = 0,85 f ck = kn cm N R pl, = 46, ,85.353,3. = 1769 kn I c (0 0,8).(18,4) = 1 3 = 9967 cm 4 I a 3 3 ( 0,8) 18,4 ( 18,4) 4 = 0 + (0.0,8). + 0,4. + 0,8 = 3366 cm 1 1 (EI) e = E Ic c E a. I a + 0,8.. γ c (8.1) Considerando γ c = 1,35: 00 (EI) e = , = 1, kn.cm A carga de flambagem de Euler é (considerando-se o pilar bi-rotulado): N e π.( EI) e = (8.13) ( k. L) N e.( ) = π (1.600) = 48 kn

142 14 Então: N pl, R 1769 λ = = = 0,887 0,89 (8.14) N e 48 Na curva b da NBR 8800 (1986), obtém-se o coeficiente ρ : ρ = 0, 670 A resistência à compressão do pilar misto é, portanto: N ρ., = 0, (8.15) R = N pl R N R = 1185 kn É assumida uma excentricidade e (imperfeição inicial) igual ao comprimento do pilar dividido por 80. Este valor para a imperfeição é menor do que o estabelecido pelo Eurocode 4 (199): comprimento do pilar e = 10 Isto é feito porque a imperfeição considerada neste exemplo (excentricidade constante da força normal) é mais desfavorável do que a prevista pelo Eurocode (curvatura do pilar). Logo, 600 cm Momento fletor M e = =,143 cm = =,143 cm 80 Força normal N b) Análise pelo ANSYS Os dados de entrada são os mesmos descritos no item 8..4, alterando-se apenas a altura H, a excentricidade e a faixa de variação da força normal excêntrica, agora de 0,5. N R até 1,1. N R. O modelo de elementos finitos é composto de 880 elementos SOLID45 e 147 elementos SHELL43.

143 15 c) Resultados - Variação do deslocamento horizontal máximo com a força normal excêntrica De acordo com a FIG. 8.9, a resistência do pilar misto é aproximadamente 1100 kn, muito próxima do valor previsto pela NBR 1433 ( N R = 1185 kn ). A TAB. 8. apresenta a lista de dados a partir dos quais a FIG. 8.9 foi gerada. FIGURA 8.9 Força normal N (kn) X Deslocamento U x (cm) (análise de ª ordem) TABELA 8. Dados relativos à FIG. 8.9 N (kn) Ux (cm) N (kn) Ux (cm)

144 16 - Deformações e tensões no concreto para força normal de 110 kn (passo 15) Os resultados apresentados a seguir são relativos à seção do pilar contida no plano de simetria XY (vide FIG. 8.). As deformações do concreto na FIG. 8.10a correspondem à força N = 110 kn (passo de carga 15), próxima à resistência teórica (1185 kn). Pode ser observado que as deformações de compressão do concreto estão dentro dos limites previstos pela NBR 6118 (1978), de 0,% a 0,35%. Na FIG. 8.10b são apresentadas as tensões no concreto correspondentes a N = 110 kn. Pode ser percebido um pequeno efeito de confinamento do concreto na região próxima à junção da alma com a mesa do perfil de aço, pois a tensão de compressão atinge aproximadamente,5 kn/cm (acima do valor = kn/cm f ck ). Mais uma vez é importante ressaltar que o modelo utilizado nesta análise não prevê fissuração nem esmagamento do concreto, pois o elemento usado para representar o concreto foi o SOLID45. Apesar disto, a deformação máxima do concreto obtida pelo ANSYS (passo de carga 15) está abaixo do limite permitido pela NBR (a) Deformaçõesε z (b) Tensões σ z FIGURA 8.10 Deformações e tensões no concreto para N = 110 kn

145 17 - Tensões no aço para força normal de 110 kn (passo 15) Estas tensões são mostradas na FIG. 8.11, notando-se que a tensão máxima de compressão está próxima do limite de escoamento do aço (5 kn/cm ). FIGURA 8.11 Tensões no aço σ z para N = 110 kn 8.3 Modelos de pilares mistos submetidos à flexo-compressão, utilizandose o elemento SOLID65 para o concreto Neste item são apresentados modelos de pilares mistos aço-concreto parcialmente revestidos submetidos a um carregamento combinado de compressão e flexão, sendo o material concreto armado modelado pelo elemento SOLID65 do ANSYS. Este elemento finito é capaz de representar os fenômenos de fissuração e esmagamento do concreto, assim como as armaduras (longitudinais e transversais) do concreto armado. Dois tipos de análise incremental são feitos: a) Análise considerando somente a não-linearidade física. As tensões últimas do aço e do concreto resultantes do estudo numérico são comparadas com as tensões obtidas por meio da plastificação total da seção, desprezando-se o concreto tracionado;

146 18 b) Análise considerando tanto a não-linearidade física quanto a geométrica. A resistência do pilar misto é comparada com a prevista pela NBR 1433 (1999) e pelo AISC-LRFD (1999) Dados inicias Nos itens a seguir, os dados comuns aos pilares analisados são: E υ f y aço aço = 0500 kn/cm = 0,3 = 5 kn/cm Es = 0500 kn/cm υ s = 0,3 f y s = 50 kn/cm E υ f ck f tk concreto concreto = 885 kn/cm = 0, = kn/cm = 0,1547 kn/cm NOTAS: - Observar que neste caso o valor de f tk usado é mais real do que o considerado quando da utilização do SOLID45, que foi 1/4 f ck (item 8..). Isto se deve ao fato da superfície de William-Warnke ser mais adequada para prever o confinamento do concreto; - O índice s refere-se às propriedades do aço da armadura do concreto armado, composta de 4 φ 8.0 mm. A obtenção da resistência à tração e do módulo de elasticidade do concreto é feita a partir da norma EC4 (199), como a seguir: 3 γ c = 4 kn/m η = 1,0 γ c η = 0,3 + 0,7 (8.16) 4 3 f = 0,1.( ) η. (quantil de 5%) (8.17) tk f ck f tk == 0,1.(0) 3.1 = 1,547 MPa γ c 9500.( 8) E concreto = f ck + 4 (8.18) E concreto = (0 + 8).1 = 885 kn/cm

147 19 Um esboço da geometria do pilar misto analisado nos exemplos, assim como do carregamento aplicado ao sistema, são mostrados na FIG σ σ σ σ Vistas laterais Seção A_A Perspectiva do pilar FIGURA 8.1- Carregamento e geometria do pilar misto (dimensões em mm) 8.3. Resistência nominal da seção mista pela NBR 1433 (1999) e pelo AISC-LRFD (1999) Neste exemplo a flambagem não é considerada. a) Resistência do concreto à plastificação total pela força normal (N c ) N c = A c.f ck. α (8.19) Onde: α = 0,85 Tem-se: π.(0,8) A c = (0,8.0).(0.0,8) - (19,.0,8) - 4 = 4 366,6 cm N c = 366,6..0,85 N c = 63,3 kn

148 130 b) Resistência da seção mista à plastificação total pelo momento fletor (M pl,r ) M pl, R = M M (8.0) máx,r n,r M M máx,r n,r fck. α = Zpa. f y + Zps. fys + Zpc (8.1) fck. α = Zpan. f y + Zpsn. fys + Zpcn (8.) tw Z pa = ( h. t f ). + b. t f.(h - t f ) (8.3) 4 Z ps 4 = A. ei (8.4) si i = 1 Z pc b. h = - Zpa - Zps (8.5) 4 0,8 Zpa = (0,8.0,8) ,8.(0,8 0,8) = 393,780 cm 4 Como π.(0,8) A = si 4 ei = 7,5 cm, tem-se: 3 Z π.(0,8) = (4).(7,5) 4 ps = 15,0796 cm 3 0.(0,8) Zpc = - 393,780-15,0796 = 1754,394 4 cm 3 Supondo que a linha neutra plástica corte a alma ( h n h tf ): A sn = 0 (soma das áreas da armadura dentro da região de altura.h n ) h n N c Asn.(. fy s fck. α) = (8.6).b. f. α +. t.(. f f. α) ck w y ck

149 131 63,3 h n = = 4,901cm.0..0,85 +.0,8.(.5.0,85) Como 0,8 h n < 0,8 = 9,6 cm e h n < 7,5 cm, a linha neutra plástica corta a alma e não há barras de armadura dentro da região de altura.h n. Z pan = t w.( h ) (8.7) n Z pan = 0,8.(4,901) = 14,740 cm 3 Z psn 4 = Asni. ezi (8.8) i = 1 Z psn = 0 Z pcn = b. h - Z - Z (8.9) n pan psn Z pcn = 0.(4,901) 14,740 = 353,375 cm 3 Logo,.0,85 = 14, ,375 M n, R = M 668,4 kn.cm.0,85 = 393, , ,394 máx, R = M pl, R = 1088,4 668,4 M = 1140 kn.cm pl, R 1088,4 kn.cm

150 13 NOTA: a título de comparação, é feito o cálculo da resistência da seção mista à plastificação total pelo momento fletor (M pl,r ), com base no método simplificado do AISC- LRFD (1999). M (h.c ) h A. f r w y n = Mp = Z. fy +.A r. fyr +.Aw. fy 3 1,7. f c.h (8.30) 1 Onde: A w =19,.0,8 = 15,36 cm Z = Z pa = 393,780 cm 3 C r =,5+0,4 =,9 cm h 1 = 0 cm h = 0,8 cm f y = 5 kn/cm A r = π (0,8) =,0106 cm f yr = 50 kn/cm f =.α =.0,85 = 1,7 kn/cm c fck Logo, Mn = Mp = kn.cm (próximo do valor de M pl,r obtido pela NBR 1433) c) Resistência da seção mista à plastificação total pela força normal de compressão (N pl,r ), com base na NBR 1433 (1999) N pl, R A a. f y + α.a c. f ck + A s. = f (8.31) ys A =.(0.0,8) + (19,.0,8) = a A = s,01cm A = 366,6 cm c 47,36 cm

151 133 f f y ys = 5 kn = 50 kn cm cm α = 0,85 f ck = kn cm Então: N pl, R = 1908 kn d) Obtenção da curva de interação força normal (N)-momento fletor (M) Com base nas normas NBR 1433 (1999) e AISC-LRFD (1999) são calculados diversos pontos da curva de interação força normal-momento fletor do pilar misto em questão. Os pontos dados na TAB. 8.3 são obtidos com base nos valores de M pl,r, N pl,r e N c já determinados, isto é: M N N pl,r c pl,r = 1140 kn.cm = 1908 kn = 63,3 kn As curvas de interação das normas mencionadas são apresentadas a seguir: - Curva de interação pelo AISC-LRFD N Para 0, : N pl,r N N pl,r 8 M + = 1 (8.3) 9 M pl,r

152 134 N Para < 0, : N pl,r N.N pl,r M + = 1 (8.33) M pl,r - Curva de interação pela NBR 1433 Obtida pela equação de interpolação linear: M pl,r.(n pl,r N) M = (8.34) N N pl,r c TABELA 8.3 Pontos da curva de interação NBR 1433 (1999) AISC-LRFD (1999) N (kn) M (kn.cm) N (kn) M (kn.cm) No item mais duas colunas serão acrescentadas a esta tabela, contendo os dados obtidos via análise numérica com o ANSYS. Os pontos obtidos serão também apresentados em forma de gráfico.

153 Análise da seção mista e obtenção da curva de interação para flexo-compressão pelo Método dos Elementos Finitos, utilizando-se o programa ANSYS (versão 5.7) a) Modelo Utilizam-se elementos de casca elasto-plásticos SHELL43 para representar a seção de aço. Para tais elementos é adotado o critério de escoamento de von Mises com encruamento isotrópico. O aço é considerado como material elástico com encruamento linear, com módulo tangente igual a 1/10000 do módulo elástico, para evitar problemas numéricos relacionados a um fluxo de escoamento irrestrito. Tanto o aço dos perfis metálicos quanto o da armadura são modelados, sendo que o primeiro possui uma resistência ao escoamento de f y = 5 kn cm e o segundo de f ys = 50 kn cm. Para os elementos SOLID65 usados para o concreto armado, utiliza-se um material com encruamento isotrópico multi-linear (MISO), assumindo-se uma resistência do concreto de 0,85.() = 1,7 kn cm (correspondente a uma deformação de 0,%). No diagrama tensãodeformação adota-se um aumento adicional total de 0,05 kn cm na tensão, até a deformação de 0,4%, para que sejam evitados problemas relacionados ao fluxo de escoamento irrestrito. São considerados os valores de 0, e 0,6 para os coeficientes de transferência de cisalhamento do material concreto, para fissuras abertas e fechadas, respectivamente. Neste tipo de comportamento (MISO), o critério de escoamento é o de von Mises. A capacidade de esmagamento do elemento de concreto é desabilitada. As curvas tensão-deformação dos aços (perfil e armadura) e do concreto são mostradas na FIG Neste modelo somente é considerada a não linearidade física; a simetria do modelo estrutural em relação ao plano YZ (FIG. 8.1) é levada em consideração na construção do mesmo, sendo H = 60 cm.

154 136 (a) (b) (c) FIGURA Diagramas tensão-deformação: (a) concreto; (b) aço estrutural; (c) aço da armadura. As armaduras longitudinal e transversal utilizadas são: - Longitudinal (direção x, conforme FIG. 8.1): 4 φ 8.0 mm; - Transversal (direções y e z, conforme FIG. 8.1): φ cm. Para a determinação dos pontos da curva de interação força normal-momento fletor, o carregamento é aplicado por meio de uma carga trapezoidal distribuída numa chapa de aço no topo do pilar. As tensões correspondentes à carga distribuída são:

155 137 N M c pl, R σ a, b = m (8.8) A W Onde as propriedades geométricas das chapas de extremidade do pilar são: A = 0.0 = 400 cm 0.(0) W = = 1333,3 cm 6 3 NOTA: a planicidade da chapa de extremidade é garantida pelo comando CERIG, que gera uma região com movimento de corpo rígido. Devido a dificuldades de convergência, encontradas principalmente nos casos em que a tração causada pelo momento no pilar é considerável, o carregamento é aplicado em duas etapas distintas. A primeira etapa é caracterizada pela aplicação de passos incrementais de força normal de compressão, até que o valor final desejado para esta força seja atingido. Na etapa posterior, o momento fletor é aplicado, também em passos incrementais, mantendo-se a força normal final constante. Os incrementos de força normal aplicados são de 10 kn e os de momento fletor, de 100 kn. Somente para o caso referente ao ponto (N;M)=(0;M) é usado um incremento para momento fletor de 30 kn, exatamente pelas dificuldades de convergência já anteriormente expostas. A FIG mostra o modelo de elementos finitos utilizado, composto de 19 elementos SOLID65 e 160 elementos SHELL43. (a) Elementos de concreto (b) Elementos de aço FIGURA 8.14 Modelo de elementos finitos Nas diversas análises realizadas para a determinação de alguns pontos da curva de interação, dois critérios de convergência foram utilizados: um baseado em forças e outro

156 138 baseado em momentos. A norma do vetor para a verificação de convergência é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos resíduos. O critério baseado nos momentos mostrouse mais adequado para as análises numéricas correspondentes a pontos com força normal pequena e, conseqüentemente, momento fletor grande. b) Resultados - Curva de interação força normal (N)-momento fletor (M) Com base nas normas NBR 1433 (1999) e AISC-LRFD (1999) foram calculados diversos pontos da curva de interação do pilar misto estudado, conforme apresentado no item Estes pontos são mais uma vez mostrados na TAB. 8.4, em conjunto com os valores obtidos pela análise numérica via programa ANSYS (coluna ANSYS ). As deformações de compressão do concreto nestes pontos ficaram acima dos limites previstos pela NBR 6118 (1978), de 0,% a 0,35%. Portanto, outros cinco pontos são considerados a partir do ANSYS, desta feita observando-se os limites de deformação do concreto previstos na norma (coluna ANSYS Limitação de deformações ). TABELA 8.4 Pontos da curva de interação (incluindo análise numérica) NBR 1433 (1999) AISC-LRFD (1999) ANSYS ANSYS Limitação de deformações N (kn) M (kn.cm) N (kn) M (kn.cm) N (kn) M (kn.cm) N (kn) M (kn.cm) Na FIG são mostradas quatro curvas de interação, obtidas com base em ambas as normas e por meio da análise via Método dos Elementos Finitos. É possível notar que a curva do ANSYS com limitação das deformações do concreto encontra-se bem próxima da

157 139 curva da norma AISC-LRFD. A curva da NBR 1433, em comparação com as demais curvas, resulta em valores menos conservativos para o par força normal-momento fletor. Como já comentado, para pequenos valores de força normal aplicada, o processo de convergência numérica tornou-se mais difícil (trecho tracejado nas curvas do ANSYS). Tal fato pode ser explicado observando-se que, para a faixa de força normal aplicada em questão, o momento fletor provoca tração em uma região considerável da seção transversal. O elemento finito utilizado para representar o concreto armado não se comporta tão bem nesta situação. Portanto, o útimo ponto obtido pelo ANSYS (N;M) = (0;8550), com limitação de deformações do concreto, está aquém do esperado (0;1140). A resistência da seção mista à plastificação total pelo momento fletor puro (M pl,r ) obtida pelo ANSYS e pelas normas diferem, por conseguinte, de 5%. Curvas de interação NxM N (kn) NBR 1433 AISC-LRFD ANSYS M (kn.cm) ANSYS - Limitação de Deformações FIGURA 8.15 Curvas de interação força normal (N)-momento fletor (M) - Deformações e tensões no concreto e no aço Os resultados apresentados a seguir são relativos à seção do pilar contida no plano de simetria YZ (FIG. 8.1) e correspondem ao ponto (N;M) = (1080;5400), escolhido arbitrariamente.

158 140 As deformações do concreto são mostradas na FIG. 8.16a. Pode-se observar que as deformações de compressão do concreto estão dentro dos limites previstos pela NBR 6118 (1978), de 0,% a 0,35%. Na FIG. 8.16b são apresentadas as tensões no concreto. Pode-se perceber que a tensão de compressão máxima é de aproximadamente 1,7 kn/cm (igual à resistência última do concreto considerada na análise numérica). As FIG. 8.17a e FIG. 8.17b mostram as deformações e as tensões no aço, respectivamente. Com base nas tensões no aço mostradas na FIG. 8.17b, nota-se que a tensão máxima de compressão está próxima do limite de escoamento do aço (5 ocorreu escoamento na tração. kn/cm ) e que ainda não (a) Deformaçõesε x (b) Tensões σ x FIGURA 8.16 Deformações e tensões no concreto para N = 1080 kn e M = 5400 kn.cm

159 141 (a) Deformaçõesε x (b) Tensões σ x FIGURA 8.17 Deformações e tensões no aço para N = 1080 kn e M = 5400 kn.cm Os valores de deformações na alma do perfil de aço são apresentados na FIG FIGURA 8.18 Deformações ε x na alma do perfil de aço para N = 1080 kn e M = 5400 kn.cm Resistência do pilar misto, considerando-se o fenômeno de flambagem Estuda-se um pilar bi-rotulado de altura H = 6000 mm.

160 14 a) Resistência nominal à compressão do pilar misto (N R ) pela NBR 1433 (1999) (EI) e = E I c E a. I a + Es. I s + 0,8.. γ c c (8.35) Onde: I s = π.(0,8) 4 4 (7,5) = 113 cm 4 I c 3 (0 0,8).(19,) = I s 1 = 111 cm 4 I a 3 3 ( 0,8) 19, ( 19,) 4 = 0 + (0.0,8). + 0,4 + 0,8 = 3674 cm 1 1 γ c = 1, (EI) e = 0500.(3674) (113) + 0,8 111 = 1, kn.cm A carga de flambagem de Euler é (considerando-se um pilar engastado na base e livre na outra extremidade, com metade da altura do pilar bi-rotulado): N e π.( EI) e = (8.13) ( k. L) N e.( ) = π (.300) = 654 kn Então: N pl, R 1908 λ = = = 0,848 0,85 (8.14) N e 654 Na curva b da NBR 8800 (1986), obtém-se o coeficiente ρ : ρ = 0, 695

161 143 A resistência à compressão do pilar misto é, portanto: N ρ., = 0, (8.15) R = N pl R N R = 136 kn NOTA: a título de comparação, é feito o cálculo da resistência à compressão do pilar misto (N R ), com base no método simplificado do AISC-LRFD (1999). N R = F (8.36) A a. cr Onde: A a = área da seção do perfil de aço; F cr = tensão de flambagem. Raio de giração da seção mista: r m 0,3.0,8 = 6,4 cm I a 3674 = = 8,81cm A a 47,36 r m = 8,81cm Tensão de escoamento equivalente: As Ac f = + + my f y c1. f ys c. f ck (8.37) Aa Aa f my π.(0,8) 366,6 = 5 + 0, ,6.(.0,85) = 34,38 kn/cm 47,36 47,36 NOTA: utiliza-se o valor de f ck. α no lugar de f ck, para que a resistência do pilar obtida pela norma possa ser comparada com a resistência via análise numérica, onde também se usa f. α. ck

162 144 Módulo de elasticidade equivalente: 366,6 E m = ,.885 = 47,36 Ac E = + m E a c3. E c (8.38) Aa 4966 kn/cm Parâmetro de esbeltez equivalente: KL f my λ c =. r (8.39) π m E m λ c 600 =.8,81 π 34, = 0,804 Como λ = 0, 804<1,5 : c F = 0,658 θ. (8.40) cr f my θ = ( λc ) (8.41) θ = (0,804) = 0, Então: F (0,658) 0, cr =.34,38 = 6,3 kn/cm Logo, N R = 47,36.(6,3) = 14 kn (valor um pouco menor do que o obtido pela NBR 1433). É assumida uma excentricidade e (imperfeição inicial) igual ao comprimento do pilar dividido por 80. Este valor para a imperfeição é menor do que o estabelecido pelo Eurocode 4 (199):

163 145 comprimento do pilar e = 10 Isto é feito porque a imperfeição considerada neste exemplo (excentricidade constante da força normal) é mais desfavorável do que a prevista pelo Eurocode (curvatura do pilar). Logo, e = 600 cm 80 =,143 cm Momento fletor Força normal = M N =,143 cm A título de comparação, também é analisada uma excentricidade e (imperfeição inicial) igual ao comprimento do pilar dividido por 500. Logo, e = 600 cm 500 = 1, cm Momento fletor Força normal = M N = 1, cm b) Análise pelo ANSYS Os dados de entrada são os mesmos descritos no item Usa-se um incremento da força normal de 10 kn. Portanto, com base neste passo de carga, a força normal e o momento fletor aplicados no pilar misto crescem proporcionalmente, numa razão de e =,143 cm. Durante a análise numérica, utiliza-se um critério de convergência baseado nos momentos, com a norma de vetor para a verificação de convergência correspondente à raiz quadrada da soma dos quadrados dos desequilíbrios. O modelo de elementos finitos é composto de 960 elementos SOLID65 e 736 elementos SHELL43.

164 146 c) Resultados - Resistência à força normal, com excentricidade e =,143 cm As resistências do pilar misto estimadas pelas normas NRB 1433 (1999) e AISC-LRFD (1999), levando-se em conta o fenômeno de flambagem, são comparadas com a obtida via análise numérica pelo Método dos Elementos Finitos. De acordo com a FIG. 8.19, a resistência do pilar misto é aproximadamente 1080 kn (último passo de carga convergido). As deformações de compressão do concreto estão dentro dos limites previstos pela NBR 6118 (1978), de 0,% a 0,35%. Os erros relativos entre este valor e os previstos pelas normas estão mostrados abaixo. A norma AISC-LRFD apresenta uma resistência mais próxima da obtida pela análise numérica. -ANSYS ( N R = 1080 kn ) e NBR 1433 ( N R = 136 kn ): 18,6%; -ANSYS ( N R = 1080 kn ) e AISC-LRFD ( N R = 14 kn ): 13,0% FIGURA 8.19 Força normal N (kn) X Deslocamento U y (cm) (e =,143 cm)

165 147 A FIG. 8.0 reúne as curvas de interação força normal-momento fletor já discutidas com uma curva ( ª ordem e=,143 cm ) baseada numa análise de segunda ordem, relacionando a força normal aplicada (N) com o momento igual ao produto N.(e+Uy), ou seja, com o produto desta força axial pela soma da excentricidade com o deslocamento horizontal obtido no topo do pilar misto. Nesta curva, portanto, o fenômeno de grandes deslocamentos é levado em consideração na análise numérica. Observa-se que o limite de resistência à flambagem corresponde a um ponto, definido pelo par (N;M), praticamente sobre a curva de interação do AISC-LRFD. Curvas de interação NxM e curva advinda da análise de flambagem NBR N (kn) AISC-LRFD ANSYS ª ordem e=,143 cm M (kn.cm) ANSYS - Limitação de Deformações FIGURA 8.0 Curvas de interação e curva advinda da análise de ª ordem (e =,143 cm) - Resistência à força normal, com excentricidade e = 1, cm A título de comparação, os mesmos resultados do item anterior são agora apresentados para uma excentricidade de 1, cm. De acordo com a FIG. 8.1, a resistência do pilar misto é aproximadamente 100 kn (último passo de carga convergido). As deformações de compressão do concreto estão dentro dos limites previstos pela NBR 6118 (1978), de 0,% a 0,35%. Os erros relativos

166 148 entre este valor e os previstos pelas normas estão mostrados abaixo. Novamente, a norma AISC-LRFD apresenta uma resistência mais próxima da obtida pela análise numérica. -ANSYS ( N R = 100 kn ) e NBR 1433 ( N R = 136 kn ): 9,5%; -ANSYS ( N R = 100 kn ) e AISC-LRFD ( N R = 14 kn ): 3,4% FIGURA 8.1 Força normal N (kn) X Deslocamento U y (cm) (e = 1, cm) A FIG. 8. reúne todas as curvas previamente apresentadas (FIG. 8.0) com a curva correspondente à análise de segunda ordem com excentricidade de e = 1, cm.

167 Curvas de interação NxM e curvas advindas da análise de flambagem NBR 1433 AISC-LRFD N (kn) ANSYS ª ordem e=,143 cm M (kn.cm) ª ordem e=1, cm ANSYS - Limitação de Deformações FIGURA 8. Curvas de interação e curvas advindas das análises de ª ordem (e =,143 cm; e = 1, cm) 8.4 Modelos de pilares mistos submetidos à compressão ou tração pura, utilizando-se o elemento SOLID65 para o concreto Comentários gerais Neste item são apresentados modelos de pilares mistos aço-concreto parcialmente revestidos submetidos ao caso particular de compressão ou tração pura, com o objetivo de identificar alguns fatores importantes durante a análise numérica. Com isto, pode-se fornecer subsídios para futuras análises envolvendo o elemento de concreto SOLID65. Os modelos estudados apresentam uma vasta combinação de hipóteses quanto à modelagem e à caracterização dos materiais. Alguns dos itens analisados são: - Modelo de plasticidade adotado para o concreto (Drucker-Prager, multi-linear isotrópico- MISO ou nenhum);

168 150 - Capacidade de esmagamento do concreto; - Estribos; - Coeficientes de transferência de cisalhamento ( β c e - Número de passos de carga. β t ); Na FIG. 8.3 são apresentados em forma de fluxograma os diversos casos analisados. Todos os modelos são derivados de modelos padrão iniciais, um para os pilares comprimidos e outro para os tracionados. Os quadros com destaque em negrito nos fluxogramas correspondem aos casos analisados. Algumas características dos modelos padrão são as mesmas discutidas no item 8.3.3, isto é, caracterização dos materiais, desabilitação da capacidade de esmagamento do elemento SOLID65, modelo de plasticidade adotado para o concreto (MISO), resistência do concreto igual a 0,1547 kn/cm, armaduras longitudinal e transversal utilizadas, entre outras. A geometria dos modelos de elementos finitos é exatamente igual à definida no item 8.3.3, inclusive a altura H do pilar ( = 60 cm). Porém, a chapa de extremidade não é modelada, pois a aplicação do carregamento é feita por meio da imposição de deslocamentos no topo do pilar. O modelo de elementos finitos é composto de 19 elementos SOLID65 e 144 elementos SHELL43. O caso do concreto considerado como material com encruamento isotrópico multi-linear já foi discutido no item Porém, para o caso de se assumir o critério de Drucker-Prager, considera-se o concreto como material elástico-perfeitamente plástico e as constantes de Mohr-Coulomb são calculadas conforme item Quanto aos coeficientes de transferência de cisalhamento, são usadas três possibilidades: ( β =0,6 ; β =0,), ( β =0,8 ; t β =0,1) ou ( β =1 ; β =1). Para os modelos padrão, adotou-se o último destes casos. c t c t c Em todas as análises é utilizado o critério de convergência baseado em forças, com a norma de vetor para a verificação de convergência correspondente à raiz quadrada da soma dos quadrados dos resíduos.

169 151 PILAR MISTO COMPRESSÃO TRAÇÃO COMPRESSÃO (padrão) f t =0,1547 f c = D.P. f t =0,5 f c = SEM ESTRIBO MISO SEM SIMETRIA À PARTE f c =1,7 β t = 0, β c = 0,6 β t = 0, β c = 0,6 Modelo [1] SEM PLASTICIDADE f t =0,1547 f c =1,7 SEM PLASTICIDADE f t =0,1547 f c = Modelo [3] PLASTICIDADE SEM ESTRIBO f t =0,1547 f c = FIGURA Fluxograma dos modelos estudados Nota: o símbolo [] se refere ao número do modelo analisado nos itens e

170 15 COMPRESSÃO (padrão) SIMETRIA D.P. MISO f t =0,1547 f c = f t =0,5 f c = TRAÇÃO (padrão) D.P. À PARTE SEM ESTRIBO β t = 0, β c = 0,6 SIMETRIA À PARTE f c =1,7 β t = 0, β c = 0,6 β t = 0, β c = 0,6 Modelo [] β t = 0,1 β c = 0,8 SEM PLASTICIDADE f t =0,1547 f c =1,7 β t = 0, SEM PLASTICIDADE f t =0,1547 f c = β t = 0, β c = 0,6 β c = 0,6 FIGURA Fluxograma dos modelos estudados (continuação) Modelo [4]

171 153 TRAÇÃO (padrão) TRAÇÃO (padrão) D.P. SIMETRIA f t =0,1547 f c = D.P. SEM SEM MISO PLASTICIDADE PLASTICIDADE β t = 0, β c = 0,6 SEM ESTRIBO f t =0,1547 f c = f t =0,1547 f c =1,7 β t = 0, f t =0,1547 f c = β t = 0, β t = 0, β c = 0,6 SEM PLASTICIDADE β t = 0, β c = 0,6 β c = 0,6 β c = 0,6 FIGURA Fluxograma dos modelos estudados (continuação)

172 154 Os passos de carga (ou melhor, incrementos de deslocamentos) são aplicados no pilar de modo que os fenômenos de escoamento do aço (armadura ou perfil) e esmagamento ou fissuração do concreto sejam devidamente caracterizados, tanto no caso de peças comprimidas quanto tracionadas. Para os modelos de pilares mistos aço-concreto submetidos à compressão pura, os passos de carga são: (0,0003).(60 cm) 15 passos de 5 Para os casos D.P. ou sem plasticidade + Compressão 7 passos de (0,0003).(60 cm) Outros casos :10 passos de (0,0003).(60 cm) Em todos os modelos deste caso é aplicado um deslocamento final no pilar (comprimento de 60 cm) de 0,18 cm, provocando uma deformação total de 0,3%. Para os modelos de pilares mistos aço-concreto submetidos à tração pura, os passos de carga são: -5 (5,4.10 ).(60 cm) 6 passos de 5 Tração + -3 (1,.10 ).(60 cm) 10 passos de 5 Em todos os modelos deste caso é aplicado um deslocamento final no pilar (comprimento de 60 cm) de 0,1479 cm, provocando uma deformação total de 0,465%.

173 Discussão sobre os parâmetros estudados Com base nos diversos modelos de pilares mistos analisados via Método dos Elementos Finitos, cada um contendo uma diferente combinação de características e hipóteses de modelagem, algumas observações podem ser feitas: a) Observações gerais - O processo de convergência tornou-se mais fácil quando o carregamento foi aplicado ao modelo através da imposição de deslocamentos (controle de deslocamentos); - Um critério de convergência compatível com o tamanho do passo de carga deve ser adotado; - Não foi preciso aumentar a relação entre as resistências à tração e à compressão do concreto a fim de que houvesse convergência numérica (como foi para o elemento SOLID45 - vide item.8..1). b) Observações para pilares submetidos à compressão pura - Nos casos onde foi utilizado encruamento multi-linear isotrópico (MISO), a capacidade de esmagamento do concreto foi desprezada. Tal procedimento permitiu eliminar problemas de convergência no início do carregamento; - A fim de que seja obtido um comportamento mais real da peça estrutural, os aços do perfil e da armadura deveriam ter a deformação de escoamento menor do que a deformação de esmagamento do concreto. Nos casos estudados, as deformações de escoamento dos aços ( ε y ) e de esmagamento do concreto ( ε esm. ) são:

174 156 Aço f y Perfil : ε y = = E a f Armadura : ε = ys E ys a = = 1, =, Para os casos D.P. ou sem plasticidade (com esmagamento habilitado) : 4 = 6,93.10 f ck 885 εesm. = = E c 1,7 4 = 5,89.10 Concreto 885 Para o caso MISO (com esmagamento desabilitado) : 3 εesm. =.10 (deformação correspondente ao início do escoamento) Para os modelos do caso MISO, tanto os aços do perfil e da armadura quanto o concreto conseguem escoar. Nos outros casos, o esmagamento do concreto ocorre antes do escoamento do aço. c) Observações para pilares submetidos à tração pura - A definição de parâmetros de transferência de cisalhamento ( β C e β t ) mostrou-se necessária para todos os casos, exceto nos modelos em que a plasticidade não foi considerada; - Para que o comportamento dos materiais ao longo do processo de carregamento fosse mais detalhadamente caracterizado, foram utilizados passos de carga refinados até logo após a deformação de início de fissuração do concreto. A partir deste ponto, o tamanho dos passos de carga foi aumentado e a análise foi feita até logo após o ponto correspondente à deformação de escoamento da armadura; Nos casos estudados, as deformações de escoamento dos aços ( ε y ) são as mesmas calculadas anteriormenete e a deformação de fissuração do concreto ( ε fis. ) é:

175 157 Concreto : ε f 0, fis. = tk = = 5, E c O uso de estribos foi muito importante para as análises onde o concreto foi considerado como material com encruamento multi-linear isotrópico (MISO). Estas armaduras também são necessárias para análises que utilizam o critério de Drucker-Prager (D.P.). Já no caso de modelos em que o fenômeno da plasticidade não foi levado em consideração, os estribos não influenciaram na solução numérica; - O efeito de enrijecimento da armadura produzido pelo concreto que a envolve (tension stiffening) foi observado Resultados dos modelos com plasticidade do concreto (MISO) para compressão e tração (modelos [1] e []) Os modelos [1] e [] são mencionados no fluxograma ilustrado na FIG. 8.3, e referem-se aos modelos de pilar misto submetidos à compressão e à tração pura, respectivamente, com dados de entrada padrão (conforme já definido). Porém, nestes modelos adotam-se coeficientes de transferência de cisalhamento iguais a ( β =0,6 ; β =0,). c t a) Resistência nominal da seção mista à plastificação total pela força normal de compressão (N pl,r ), com base na NBR 1433 (1999) N = f f + f (8.31) pl, R A a. y + α.a c. ck A s. ys Com base nos dados e valores já calculados do item 8.3., tem-se: A = a A = s A = c 47,36 cm,01cm 366,6 cm f y = 5 kn cm

176 158 f ys = 50 kn cm α = 0,85 f ck = kn cm Então: N pl, R = 1908 kn N pl, R (ANSYS) = 1999 kn (erro relativo: 4,8%) b) Resistência nominal última da seção mista à força normal de tração N tração = 47,36.(5) + N tração = 185 kn,01.(50) N tração (ANSYS) = 1367 kn (erro relativo: 6,4%) c) Variações da força normal com a deformação As variações da força normal com a deformação estão ilustradas na FIG. 8.4a e na FIG. 8.4b, para pilares comprimidos e tracionados, respectivamente. A FIG. 8.5, que é uma ampliação da região junto à origem da FIG. 8.4b, mostra em detalhe o decaimento da força de tração, devido à fissuração do concreto, e também o fenômeno tension stiffening, devido ao qual a rigidez da barra tracionada com o concreto não fissurado é notadamente superior à rigidez após a fissuração do concreto. Força prevista antes do decaimento: A ε ε fis. f ys = ε fis. a. f y + A c. f tk + A s. ε y ys 5, ,.10 5,36.10, = 47,36.(5) + 366,6.(0,1547) +,01.(50) 3 3 = 110,9 kn Força obtida no ANSYS antes do decaimento: 93,4 kn, para uma deformação de 4,3.10-5

177 159 Decaimento total previsto: A c.f tk = 366,6.(0,1547) = 56,7 kn Decaimento total obtido no ANSYS: 9,7 kn NOTA: para obter maior precisão seria necessário refinar ainda mais os passos de carga e/ou o modelo de elementos finitos e/ou o critério de convergência. (a) (b) FIGURA 8.4 Força normal (kn) X Deformaçãoε x : (a) compressão (modelo [1]); (b) tração (modelo []) FIGURA 8.5 Detalhe do decaimento na tração (modelo [])

178 Resultados dos modelos sem plasticidade do concreto para compressão e tração (modelos [3] e [4]) esmagamento do concreto habilitado Os modelos [3] e [4] são mencionadas no fluxograma ilustrado na FIG. 8.3, e referem-se aos modelos de pilar misto submetidos à compressão e à tração pura, respectivamente. Nestes casos não é adotado um modelo de plasticidade para o concreto e a resistência à compressão do mesmo é de kn/cm. Para o modelo de pilar tracionado, os coeficientes de transferência de cisalhamento para fisssuras abertas e fechadas são 0, e 0,6, respectivamente. a) Resistência nominal da seção mista à plastificação total pela força normal de compressão (N pl,r ), com base na NBR 1433 (1999) N R pl, = 47,36.(5) +,01.(50) N pl, R = 185 kn N pl, R (ANSYS) = 1305 kn (erro relativo: 1,6%) O concreto sofre esmagamento antes do escoamento do aço; portanto, não contribui para a resistência última. b) Resistência nominal última da seção mista à força normal de tração N tração = 47,36.(5) + N tração = 185 kn,01.(50) N tração (ANSYS) = 1371 kn (erro relativo: 6,7%)

179 161 c) Variações da força normal com a deformação As variações da força normal com a deformação estão ilustradas na FIG. 8.6a e na FIG. 8.6b, para pilares comprimidos e tracionados, respectivamente. A FIG. 8.7, que é uma ampliação da região junto à origem da FIG. 8.6b, mostra em detalhe o decaimento da força de tração, devido à fissuração do concreto e o fenômeno tension stiffening. Na FIG. 8.6a nota-se o decaimento da força de compressão devido ao esmagamento do concreto. A seguir determinam-se os decaimentos na compressão e na tração. - Compressão: Força prevista antes do decaimento: A f ε esm. a. y + A c. ck + A s. ε y f f ys ε ε esm. ys 6, ,.10 6,93.10, = 47,36.(5) + 366,6.() +,01.(50) 3 3 = 1434 kn Força obtida no ANSYS antes do decaimento: 91,1 kn, para uma deformação de 4,.10-4 Decaimento total previsto: A f = 366,6.() = 733, kn c. ck Decaimento total obtido no ANSYS: 390,8 kn NOTA: para obter maior precisão seria necessário refinar ainda mais os passos de carga e/ou o modelo de elementos finitos e/ou o critério de convergência. - Tração: Força prevista antes do decaimento: A ε fis. a. f y + A c. f tk + A s. ε y f ys ε ε fis. ys 5, ,.10 5,36.10, = 47,36.(5) + 366,6.(0,1547) +,01.(50) 3 3 = 110,9 kn Força obtida no ANSYS antes do decaimento: 93,4 kn, para uma deformação de 4,3.10-5

180 16 Decaimento total previsto: A c.f tk = 366,6.(0,1547) = 56,7 kn Decaimento total obtido no ANSYS: 36,9 kn NOTA: para obter maior precisão seria necessário refinar ainda mais os passos de carga e/ou o modelo de elementos finitos e/ou o critério de convergência. (a) (b) FIGURA 8.6 Força normal (kn) X Deformaçãoε x : (a) compressão (modelo [3]); (b) tração (modelo [4]) FIGURA 8.7 Detalhe do decaimento na tração (modelo [4])

181 Modelo de pilar circular preenchido com concreto Modelo Neste item é apresentado o desenvolvimento de um modelo de pilar misto preenchido com concreto, de seção circular, submetido à compressão pura. A modelagem deste pilar, em termos da geometria, é um pouco mais complexa do que a de pilares revestidos. No que se refere às condições assumidas no modelo, estas são as mesmas do item Isto vale tanto para os modelos dos materiais, quanto para a desabilitação da capacidade de esmagamento do elemento SOLID65 e a resistência do concreto à tração tomada igual a 0,1547 kn/cm. As considerações adotadas diferentes do item são as seguintes: resistência à compressão do concreto igual a 1,7 kn/cm, ausência de armaduras no concreto, coeficientes de transferência de cisalhamento para o material concreto assumidos iguais à unidade e aplicação do carregamento feita por meio da imposição de deslocamentos no topo do pilar (na direção longitudinal z). O pilar circular analisado está submetido à compressão axial. A representação da seção do pilar modelado é feita na FIG A FIG. 8.9 mostra o modelo de elementos finitos utilizado, composto de 1980 elementos SOLID65 e 360 elementos SHELL43. A simetria do pilar em relação ao plano XY é levada em consideração, sendo o comprimento do H modelo do pilar misto de = 30 cm. y z y 10 cm x H x CH FIGURA 8.8 Geometria do pilar misto preenchido com concreto (dimensões em mm)

182 164 (a) Elementos de concreto (b) Elementos de aço FIGURA 8.9 Modelo de elementos finitos 8.5. Resistência nominal da seção mista à plastificação total pela força normal (N pl,r ), com base na NBR 1433 (1999) N pl, R A a. f y + α.a c. f ck + A s. = f (8.31) ys D e = 0,8 cm (diâmetro externo do pilar conforme FIG. 8.8) D i = 19, cm (diâmetro interno do pilar conforme FIG. 8.8) π.( D ) A a = e D i = 4 π.( D ) A c = i = 4 50,3 cm 89,5 cm (8.4) (8.43) A s = 0 f y = 5 kn cm α = 1,0 f ck = 1,7 kn cm

183 165 Logo: N pl, R = 1750 kn NOTA: a NBR 1433 permite que o aumento da resistência do concreto pelo efeito de confinamento seja considerado, desde que o parâmetro de esbeltez seja menor ou igual a 0,5, conforme verificado a seguir. (EI) e = + + E I c E a. I a Es. I s 0,8.. γ c c (8.35) Onde: E a =0500 kn/cm E c =885 kn/cm I a. = π [(0,8) (19,) ] = 517 cm I a. 4 4 = π ( De Di ) (8.44) 64 I c. = π (19,) 64 γ c = 1,35 4 = 6671cm 885 (EI) e = 0500.(517) + 0, = 1,35 4 I. 4 c D i = π ( ) (8.45) kn.cm A carga de flambagem de Euler é (considerando-se o pilar engastado na base e livre na outra extremidade): N e π.( EI) e = (8.13) ( k. L)

184 166 KL =.30 = 60 cm N e.( ) = π (.30) = 1778 kn Então: N pl, R 1750 λ = = = 0,1007 <0,5 (8.14) N e 1778 Logo, o efeito de confinamento pode ser levado em consideração no cálculo da resistência da seção mista à plastificação total pela força normal. N t f η f ys (8.46) y pl, R =.A a. f y + A c. f ck. 1 + η1 + A s. D e f ck Onde: t = espessura do tubo = 0,8 cm (FIG. 8.8) Momento fletor aplicado: M s = 0 η 1 = η10 e η = η0 η = 4,9 18,5. λ + 17.( λ) = 3,09 0 (OK!) (8.47) 10 > η = 0,5.(3 +. λ) 0,800 (8.48) 0 = Então: N pl, R N pl, R = = 0,8.(50,3).(5) + (89,5).1, , kn 0,8 0,8 5 1,7 NOTA: a título de comparação, é feito o cálculo desta resistência com base no método simplificado do AISC-LRFD (1999).

185 167 As Ac f = + + my f y c1. f ys c. f ck (8.37) Aa Aa Onde: c = 0,85 f my 89,5 = 5 + 0,85.1,7 = 50,3 33,3 kn/cm Logo, N A. f pl, R = a my (8.49) N pl, R = = 50,3.(33,3) 1675 kn (valor um pouco menor do que o obtido pela NBR 1433) Resultados Os resultados apresentados nos itens b) até d) são relativos à seção do pilar contida no plano de simetria XY (FIG. 8.8). a) Variação da deformação do pilar com a força normal De acordo com a FIG. 8.30, a resistência da seção mista à plastificação total pela força normal é aproximadamente 1799 kn (último passo de carga convergido). Os erros relativos entre este valor e os previstos pelas normas NBR 1433 (1999) e AISC-LRFD (1999) estão mostrados abaixo. A norma brasileira apresenta um resultado mais próximo da análise numérica, para o caso em que o confinamento do concreto não é considerado. Se este for considerado, a norma americana apresenta um resultado mais próximo da análise numérica. -ANSYS ( N R ( N pl, R = 1750 kn ):,8%; pl, = 1799 kn ) e NBR 1433 sem confinamento do concreto

186 168 -ANSYS ( N R ( N pl, R = 391kN ): 4,8%; -ANSYS ( N R pl, = 1799 kn ) e NBR 1433 com confinamento do concreto pl, = 1799 kn ) e AISC-LRFD ( N pl, R = 1675 kn ): 7,4% FIGURA 8.30 Força normal (kn) X Deformação axialε z b) Deformações e tensões no concreto para força normal de 1799 kn As deformações e tensões no concreto correspondentes à força de 1799 kn (último passo de carga convergido) estão mostradas na FIG. 8.31a e na FIG. 8.31b, respectivamente. Pode-se perceber que tanto a distribuição de deformações quanto a de tensões são uniformes no concreto. O valor da deformação é de 0,058, possível de ocorrer com o concreto confinado, como mostrado na FIG. 8.31a. Já no caso das tensões, observa-se que o valor obtido é próximo da resistência à compressão do concreto (f ck =1,7 kn/cm ). Para a análise numérica, como já comentado, adotou-se no diagrama tensão-deformação deste material um aumento adicional total de 0,05 problemas relacionados ao fluxo de escoamento irrestrito. kn cm na resistência, para que fossem evitados

187 169 (a) Deformações ε z (b) Tensõesσ z FIGURA 8.31 Deformações e tensões no concreto para N = 1799 kn c) Deformações e tensões no aço para força normal de 1799 kn As deformações e tensões no aço correspondentes à força de 1799 kn (último passo de carga convergido) estão mostradas na FIG. 8.3a e na FIG. 8.3b, respectivamente. Pode-se perceber que tanto a distribuição de deformações quanto a de tensões são também uniformes na seção de aço. O valor da deformação é de 0,058, como mostrado na FIG. 8.3a. Já no caso das tensões, observa-se que o valor obtido é próximo da tensão de escoamento do aço (f y = 5 kn/cm ). d) Tensões no concreto e no aço para força normal de 1799 kn, nas direções radial e circunferencial, respectivamente As tensões no concreto e no aço estão mostradas na FIG. 8.33a e na FIG 8.33b, respectivamente, no sistema de coordenadas cilíndricas. As tensões mostradas (compressão no concreto e tração no aço) demonstram um pequeno efeito de confinamento; salienta-se que, no início do carregamento, ocorre tendência de afastamento entre o aço e o concreto, uma vez que o coeficiente de Poisson do aço (0,3) é maior do que o do concreto (0,).

188 170 (a) Deformações ε z (b) Tensõesσ z FIGURA 8.3 Deformações e tensões no aço para N = 1799 kn (a) (b) FIGURA 8.33 Tensões: (a) radial no concreto; (b) circunferencial no aço