MODELOS DEA APLICADOS AOS JOGOS PAN-AMERICANOS DE 2007

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1 MODELOS DEA APLICADOS AOS JOGOS PAN-AMERICANOS DE 2007 Fernanda Rodrigues dos Santos Curso de Engenharia de Produção - Universidade Federal Fluminense Av. dos Trabalhadores 420, , Volta Redonda, RJ fernanda.rsantos@yahoo.com.br Lidia Angulo Meza Dep. de Ciência dos Materiais Universidade Federal Fluminense Av. dos Trabalhadores 420, , Volta Redonda, RJ lidia_a_meza@pesquisador.cnpq.br RESUMO Apesar dos diversos jogos esportivos existentes atualmente, como as Olimpíadas, Mundiais e Pan-americanos, ainda não há um método oficial de classificação dos países participantes. O método usado atualmente e aceito universalmente é o chamado lexicográfico. A principal desvantagem deste método é sua supervalorização em relação à medalha de ouro. Este trabalho utiliza um enfoque de classificação que usa um modelo da Análise Envoltória de Dados (Data Envelopment Analysis DEA) com restrições aos pesos como uma forma para eliminar essas desvantagens. Este modelo é aplicado aos resultados dos jogos Pan-Americanos do Rio de Janeiro, ocorridos em 2007, e neste trabalho são discutidos seus resultados. Palavras-chave: Análise Envoltória de Dados, Jogos Pan-americanos, Esportes. Área de classificação principal: Análise Envoltória de Dados. ABSTRACT Although many sportive games exist nowadays, like Olympic Games, World Games and Pan-American s games, there still isn t an official ranking method for the participant countries. The often used method, which is universally accepted, is called lexicographic. The main disadvantage is the fact that it overvalues the gold medal. This paper uses a classification model that uses Data Envelopment Analysis DEA like method to eliminate these disadvantages. In this work, the proposed DEA model is applied to the Pan-American s Games in Rio 2007 and its results and comments are presented. Key-words: Data Envelopment Analysis, Pan-American s Games, Sports. Main Classification Area: Data Envelopment Analysis. 251

2 1. Introdução Os Jogos Pan-Americanos são a segunda competição poliesportiva mais importante do mundo, atrás apenas das Olimpíadas. A idéia de criar uma competição que envolvesse os países das Américas surgiu em 1932, durante os Jogos Olímpicos de Los Angeles, inspirada também pela realização, seis anos antes, dos primeiros Jogos Centro-americanos. Concebida por alguns representantes de países latino-americanos no Comitê Olímpico Internacional (COI), a proposta tinha o intuito de desenvolver o esporte e promover a amizade entre os países no continente. A realização do primeiro Congresso Esportivo Pan-americano, realizado em Buenos Aires, no ano de 1940, deu força ao projeto. No encontro, ficou decidido que a primeira competição seria realizada dentro de dois anos, na própria Argentina. Os planos, porém, tiveram que ser adiados. Vários países do continente participavam da segunda Guerra Mundial, como Brasil, EUA e Canadá. Somente em 1948, nos Jogos Olímpicos de Londres, o projeto do Pan-americano foi retomado. Durante o evento, membros americanos do COI se reuniram e oficializaram a realização do Pan-americano em Buenos Aires, cidade que tinha se oferecido para sediar a competição há mais de uma década. A edição ocorreu em 1951 e teve a presença de atletas de 21 países, com 18 modalidades. Competindo em casa, os argentinos venceram os Jogos, conquistando quase metade (46,9%) das medalhas de ouro em disputa. O Brasil se classificou em quinto lugar, com 32 medalhas, sendo 5 de ouro, 15 de prata e 12 de bronze Apesar da história do Pan ser marcada por constantes riscos de cancelamento, desde a edição de 1951 o evento jamais deixou de ser realizado. Três confusões: a transferência de sede da terceira edição dos Jogos, de Cleveland para Chicago, a falta de segurança da capital de Porto Rico, em 1979, e o atraso das obras em Santo Domingo, em Mesmo essas confusões não foram suficientes para cancelar as disputas mais importantes das Américas. Desde Cali, em 1971, procura-se estabelecer um rodízio entre as diversas partes do continente: primeiro, uma cidade do Sul abriga a competição, sendo seguida por uma do Norte e, por fim, da América Central. O Pan é realizado a cada quatro anos em uma cidade-sede escolhida pelos países membros da ODEPA (Organização Desportiva Pan-Americana). Atualmente, 42 nações fazem parte desta entidade, sendo que todos os países membros têm direito a um voto e quem já foi sede da competição vota duas vezes. Na tabela 1 são apresentadas as cidades onde os jogos foram sediados e o ano da realização. Os Jogos Pan-americanos foram crescendo de tamanho e importância a cada edição. Menos de cinqüenta anos após ter sido realizado pela primeira vez, o evento dobrou o número de países participantes, atletas e modalidades, tornando-se uma das principais competições do calendário esportivo mundial (Governo Federal, 2007). Realizado no ano anterior aos Jogos Olímpicos, maior evento esportivo do mundo, o Pan é a seletiva de algumas modalidades para as Olimpíadas. Entretanto, mesmo servindo de preparação olímpica, mantêm relativa autonomia em sua organização. A partir daí, tem-se uma idéia da importância dos Jogos Pan-Americanos para o mundo. Decorre disso também a importância de se buscar um método menos injusto para se classificar os países participantes. Tradicionalmente, é publicada uma tabela contendo os países ordenados através do número de medalhas de ouro, prata e bronze que seus atletas ganharam, tal como pode ser vista também em diferentes meios de comunicação. Este tipo de classificação é típico do método multicritério denominado lexicográfico (Pomerol e Barba-Romero, 2000) que, em função de sua ampla utilização e aceitação, tornou-se o método extra-oficial utilizado. Este método possui uma grande desvantagem: sua valorização exacerbada em relação à medalha de ouro. Nesse método, compara-se, primeiramente, o número de medalhas de ouro que cada país obteve. Em caso de empate, analisa-se o número de medalhas de prata. Caso ocorra um novo empate, o desempate ocorre comparando-se o número de medalhas de bronze de cada país. Usando um exemplo extremo para demonstrar o ponto negativo deste método, considera-se um país que tenha obtido 100 medalhas de bronze, zero de prata e zero de ouro. Esse país, no caso dos Jogos Pan-Americanos de 2007, usando o método lexicográfico, estaria em 24º lugar. No entanto, um país que tivesse ganhado uma única medalha de ouro, zero de prata e zero de bronze 252

3 ficaria em 20º lugar, ou seja, uma única medalha de ouro é suficiente para deixar um determinado país em uma situação melhor que um outro que possua cem medalhas de bronze. Do ponto de vista teórico, o método lexicográfico assume que o decisor tem a habilidade de ordenar cada critério de acordo com sua importância observada. Assim, o ranking depende do critério considerado como mais importante independente dos outros critérios. Em caso de empate, o ranking segue o segundo critério mais importante e assim por diante. No caso dos jogos panamericanos, o critério mais importante é o número de medalhas de ouro, o segundo mais importante refere-se ao número de medalhas de prata e o terceiro representa as medalhas de bronze. Neste artigo, é proposta uma nova forma de classificação, não só dos jogos panamericanos, mas também de outras competições. A nova forma de classificação esportiva proposta lança mão da metodologia DEA envolvendo restrições aos pesos das variáveis, com o objetivo de encontrar níveis de eficiência coerentes com o quadro de medalhas, diferenciando os pesos das variáveis envolvidas, no caso as medalhas de ouro, prata e bronze. Primeiramente, através dos quadros de medalhas de cada esporte, obtém-se uma eficiência para cada país naquele determinado esporte. A eficiência de cada país também é calculada para o Quadro Geral de medalhas, usando o total de medalhas de ouro, prata e bronze obtidas. Em seguida é utilizada a técnica avançada de DEA chamada avaliação cruzada (Soares de Mello et Al.,2007) e posteriormente comparamos com a Eficiência DEA obtida. Este método será melhor explicado na seção 3 deste artigo. Este artigo está organizado da seguinte forma: na seção 2 é feita uma apresentação dos modelos DEA e das restrições aos pesos das variáveis. Já na seção 3 é apresentado o modelo DEA utilizado para classificação dos países nos jogos. Os resultados são apresentados na seção 4. Finalmente, na seção 5 são apresentados os comentários finais deste trabalho. 2. Análise Envoltória de Dados (DEA) 2.1. Considerações Gerais A análise envoltória de dados - Data Envelopment Analysis (DEA) - (Charnes et Al., 1978) é um método não paramétrico utilizado para medir o desempenho de um conjunto de unidades organizacionais, empresas ou mais genericamente, unidades tomadoras de decisão, denominadas DMU Decision Making Units que se caracterizam por desempenhar tarefas semelhantes, diferindo apenas na quantidade de insumos e produtos gerados, ou como são denominados também, inputs e outputs. A metodologia DEA mensura a eficiência através da análise de comparação entre as DMUs envolvidas, o que significa que a eficiência de qualquer DMU poderá ser alterada, se do conjunto inicial for retirada ou incluída qualquer DMU eficiente. Por ser um método comparativo, a eficiência de determinada DMU é relativa às DMUs eficientes. Os modelos de DEA são orientados segundo o fim a que se destinam: quando se deseja manter as saídas constantes, enquanto variam-se os dados de entrada, tem-se o modelo com orientação input; no caso contrário, quando se deseja manter as entradas constantes ao se variar as saídas, tem-se o modelo com orientação output. A técnica de construção de fronteiras de produção e indicadores de eficiência produtiva relativa teve origem no trabalho de Farrel (1957) e foi generalizada por Charnes et al. (1978), no sentido de trabalhar com múltiplos insumos e múltiplos produtos. A eficiência relativa de uma DMU é definida como a razão entre a soma ponderada de produtos (outputs) e a soma ponderada dos recursos necessários para gerá-los (inputs). Os pesos são definidos através da solução do modelo DEA envolvido, desenvolvido por Charnes et al. (1978) ou Banker et al. (1984). O modelo de Charnes et al. é denominado modelo CCR e trabalha com retornos constantes de escala, já o modelo de Banker et al. também é conhecido por modelo BCC e é caracterizado por retornos variáveis de escala. Em ambos os modelos, nenhuma restrição aos pesos é considerada, exceto ser estritamente positivo Modelos DEA Clássicos Modelo CCR O modelo CCR (Charnes, Cooper e Rhodes, 1978), desenvolvido inicialmente com orientação a input, trabalha com retornos constantes de escala, isto é, qualquer variação nos 253

4 insumos (inputs) resulta em uma variação proporcional nos produtos (outputs). Em (1) é apresentado o modelo CCR, já normalizado, com orientação a output. Esta orientação é devida à necessidade de se aumentar os outputs mantendo constantes os inputs que será utilizado neste artigo. Min h o = r i= 1 v x Sujeito a s j= 1 s i io u y j jo = 1 u y j jk j= 1 i= 1 i, u j 0, i, v r v x j i ik 0, k Restrições aos Pesos A completa liberdade para determinação dos pesos, em alguns casos, leva a estimativas inapropriadas de eficiência. Podem ser atribuídos pesos tão baixos para alguns inputs ou outputs, que seria o mesmo que ignorá-los. Alternativamente, podem ser atribuídos pesos muito altos para inputs ou outputs, favorecendo excessivamente algumas DMUs. Algumas considerações referentes ao problema da flexibilidade na atribuição dos pesos: A flexibilidade nos pesos permite que as DMUs possam ter objetivos individuais e circunstâncias particulares, o que não condiz com o fato delas serem homogêneas na produção de mesmos outputs, utilizando mesmos inputs, variando apenas na quantidade de ambos; Em algumas situações, dispõe-se de informações significativas com respeito à importância dos insumos e dos produtos e sobre a relação entre as variáveis; Os especialistas, com freqüência, tem percepção a priori sobre DMUs eficientes e ineficientes. Diversas soluções vêm sendo desenvolvidas para minimizar os problemas de inconsistências, conseguindo de alguma forma, incorporar julgamentos de valor dos especialistas ao Modelo DEA, são elas: imposição de restrições diretas aos pesos; definições de regiões de segurança; restrições aos inputs e outputs virtuais e simulação de restrições por DMUs Artificiais (Allen et al, 1997; Gonçalves et al, 2004). Em algumas situações onde há valores de outputs indesejáveis, faz-se necessária uma intervenção, uma vez que uma DMU com output indesejável não pode ser considerada eficiente, situação esta que pode ocorrer devido à flexibilidade na determinação dos pesos inerente à modelagem DEA. No entanto, incluir apenas uma restrição para que essa DMU não seja eficiente não é suficientemente forte para gerar uma ordenação adequada entre as DMUs. É preciso considerar algo mais restritivo, por exemplo: nenhuma DMU com output indesejável pode ter eficiência superior a qualquer outra DMU com output aceitável. Neste tipo de situação é necessário lançar mão de ferramentas que assegurem a validade dos resultados, como por exemplo inserir restrições diretas aos pesos. A incorporação de julgamento de valor através de restrições aos pesos pode ser dividida em três grupos de métodos (Lins, Angulo-Meza, 2000): restrições diretas nos pesos (Dyson e Thanassoulis,1988); regiões de segurança (Thompson et al. 1990) e restrição nos inputs e outputs virtuais (Wong e Beasley, 1990). 3. Modelagem Conforme citado anteriormente, o modelo utilizado neste trabalho faz uso da modelagem DEA com restrições aos pesos das variáveis. O modelo aqui apresentado utilizado o método apresentado inicialmente por Branco da Silva e Soares de Mello (2005). Posteriormente, este enfoque foi ampliado por Soares de Mello et al (2007). Uma revisão de trabalhos envolvendo ranking, mas não necessariamente DEA, também pode ser verificada em Soares de Mello et al (2007). (1) 254

5 O objetivo do modelo DEA proposto é classificar os países de acordo com seu desempenho em cada esporte e no quadro geral, nos Jogos Pan-Americanos de Neste caso, tem-se um modelo DEA para cada esporte (41 esportes). As DMU s são definidas como sendo os países que ganharam pelo menos uma medalha em cada esporte. Como tem-se três tipos de medalhas (ouro, prata e bronze), tem-se 3 outputs para cada DMU, que correspondem exatamente ao número de medalhas obtido por um país em cada esporte. Como o objetivo é ordenar os países somente pelos seus resultados, ou seja, seus outputs, considerou-se o fato do país ter ganhado pelo menos uma medalha naquele esporte como o input da análise. Em outras palavras, a existência de cada DMU no conjunto analisado era seu próprio input, assumindo-se uma unidade constante como sendo o input para todas as DMUs em um contexto similar ao usado por Soares de Mello et al. (2000) e Soares de Mello et al. (2007). Devido à existência de um único input constante, usa-se o modelo DEA de retornos constantes de escala, modelo CCR (Charnes et al., 1978). Entretanto, é importante notar que a escolha entre os modelos BCC e CCR é, neste caso, indiferente, já que Lovell e Pastor (1999) provaram que, para modelos com input constante, os modelos BCC e CCR são equivalentes. O modelo apresentado por Soares de Mello et al. (2007) destaca que, obviamente, as medalhas conquistadas não possuem o mesmo nível de importância. Este fator reforça a incorporação de restrições aos pesos no modelo DEA proposto. Com o intuito de modelar tais restrições, pode-se usar o fato de que a medalha de ouro é, certamente, mais importante do que a de prata e que esta é mais importante do que a de bronze. No entanto, a diferença de importância entre esses tipos de medalhas não é equivalente. A diferença entre as medalhas de ouro e de prata é maior do que aquela existente entre as medalhas de prata e de bronze. O modelo DEA apresentado por Soares e Mello et al. (2007) com essas considerações e simplificações em função do input constante unitário é expresso em (2). Max h = μ y + μ y + μ y 0 o o0 p p0 b b0 Sujeito a μ o yo + μ y y k p p + μ k b bk 1, k = 1,..., n (2) μ μ 0,001 o p p μ μ 0,001 b μ 2μ + μ 0,001 o p μ 0, j = o, p b b j, No modelo apresentado em (2), h o corresponde à eficiência de cada país naquele determinado esporte, μ o representa o peso para medalhas de ouro, μ p para medalhas de prata e μ b para medalhas de bronze, n é: número de países que ganharam medalhas no esporte analisado. Observe que foi introduzido um valor de 0,001 na diferença dos pesos. Isto foi feito para se obter pesos diferentes entre as medalhas. Como são 41 esportes, aplica-se um modelo como o apresentado acima para cada país (DMU) que participa de cada esporte. Um dos quadros de medalhas utilizado encontra-se abaixo, na Tabela 2: Tabela 2 Quadro de medalhas do esporte Boxe. DMU País Ouro Prata Bronze Total A 1 Cuba B 2 Estados Unidos C 3 Porto Rico D 4 Brasil E 5 Colômbia F 6 México

6 G 7 Rep. Dominicana H 8 Venezuela I 9 Equador J 10 Argentina K 11 Canadá L 11 Guiana M 11 Jamaica N 11 Nicarágua Para a modelagem dos PPLs, considerou-se apenas a parte realçada de laranja da tabela 2, que representa o número total de medalhas conquistadas por cada país no Boxe. Não se considerou a distinção entre homens e mulheres, mas seu somatório para a quantidade final de medalhas. Como citado anteriormente, os outputs da análise são as quantidades de medalhas de ouro, prata e bronze ganhas por país num determinado esporte e o input é um valor unitário que significa que o país obteve ao menos uma medalha naquele esporte. Com esta modelagem, foi possível descobrir as eficiências e os pesos das medalhas de cada país em cada esporte, com a resolução do PPL mostrado em (2). Posteriormente, foi calculado o peso médio de cada medalha, ouro, prata e bronze, em cada esporte, para se calcular o Índice da Média Ponderada para cada país. O Índice Médio, aqui bordado, foi calculado apartir do peso médio das medalhas e uma multiplicação cruzada pelo número de medalhas ganho por cada país em um esporte. Assim, o peso médio da medalha de ouro é multiplicado pela quantidade de medalhas de ouro obtidas por um país num determinado esporte, e assim sucessivamente. O Índice Médio calculado para cada país por esporte, também foi calculado para o quadro geral de medalhas. Este procedimento será ilustrado na seção 4 deste artigo. Com a Eficiência DEA e o Índice Médio calculados, podemos estabelecer dois novos ranking para os jogos de 2007, tanto por esporte quanto para classificação final, e compará-los com o método lexicográfico. Isto é mostrado na próxima seção. 4. Resultados Como citado anteriormente, foi feita uma análise para cada esporte dos Jogos Panamericanos e também para o Quadro Geral de Medalhas (Governo Federal, 2007). A tabela 3 mostra os dados coletados, os resultados dos pesos, a eficiência e o índice médio de cada país para um determinado esporte. É válido ressaltar que estes dados foram coletados do site oficial dos jogos Pan-americanos do Rio de Janeiro, extraídos em setembro de Possíveis alterações podem ocorrer no quadro de medalhas, tanto geral como por esporte devido à transferências de medalhas por motivo de doping, por exemplo. Tabela 3 Resultados obtidos para o esporte Boxe. DMU País Outputs Pesos Eff DEA I MÉDIO y o y p y b o p b A Cuba ,200 0,001 0,000 1,000 1,000 B Estados Unidos ,126 0,124 0,123 0,499 0,489 C Porto Rico ,126 0,124 0,123 0,620 0,572 D Brasil ,126 0,124 0,123 0,988 0,881 E Colômbia ,182 0,090 0,000 0,272 0,248 F México ,126 0,124 0,123 0,249 0,241 G Rep. Dominicana ,126 0,124 0,123 0,495 0,444 H Venezuela ,126 0,124 0,123 0,248 0,226 I Equador ,126 0,124 0,123 0,369 0,316 J Argentina ,126 0,124 0,123 0,246 0,211 K Canadá ,126 0,124 0,123 0,123 0,105 L Guiana ,126 0,124 0,123 0,123 0,

7 M Jamaica ,126 0,124 0,123 0,123 0,105 N Nicarágua ,126 0,124 0,123 0,123 0,105 Média dos Pesos 0,135 0,113 0,105 Na tabela 3 pode-se evidenciar cada país (DMU) participante do esporte Boxe, seus outputs (quantidade de medalhas de ouro, prata, e bronze), os pesos destas medalhas, a Eficiência DEA calculada e o Índice médio obtido a partir da média ponderada dos pesos. Ao compararmos os resultados obtidos para o mesmo esporte por DEA com o resultado divulgado pela imprensa, podemos observar que não temos a mesma ordem de classificação dos países ganhadores de medalhas neste esporte, como é apresentado na tabela 4. Tabela 4 Resultado comparativo entre os métodos para o Boxe. Método Lexicográfico Modelo DEA Modelo pesos médios DEA País Nº Medalhas País Eff DEA País I MÉDIO 1 Cuba 8 1ºCuba 1,000 1ºCuba 1,000 2 Estados Unidos 4 2ºBrasil 0,988 2ºBrasil 0,881 3 Porto Rico 5 3ºPorto Rico 0,620 3ºPorto Rico 0,572 4 Brasil 8 4ºEstados Unidos 0,499 4ºEstados Unidos 0,489 5 Colômbia 2 5ºRep. Dominicana 0,495 5ºRep. Dominicana 0,444 6 México 2 6ºEquador 0,369 6ºEquador 0,316 7 Rep. 7ºColômbia 7ºColômbia Dominicana 4 0,272 0,248 8 Venezuela 2 8ºMéxico 0,249 8ºMéxico 0,241 9 Equador 3 9ºVenezuela 0,248 9ºVenezuela 0, Argentina 2 10ºArgentina 0,246 10ºArgentina 0, Canadá 1 11ºCanadá 0,123 11ºCanadá 0, Guiana 1 11ºGuiana 0,123 11ºGuiana 0, Jamaica 1 11ºJamaica 0,123 11ºJamaica 0, Nicarágua 1 11ºNicarágua 0,123 11ºNicarágua 0,105 Ao analisarmos os resultados dos dois primeiros métodos, podemos verificar que o Brasil melhora sua classificação em duas colocações quando é classificado por DEA. Isto se deve pelo fato de DEA considerar todas as medalhas ganhas e o peso de cada uma, e não classificar primeiramente pela quantidade de medalhas de ouro, seguida de prata e bronze. Podemos ver que os Estados Unidos caiu na sua classificação, de 2ª para 4ª posição, mesmo tendo mais medalhas de ouro que o Brasil. Isso se deve porque o Brasil tem mais medalhas (6 de bronze) do que os Estados Unidos. Por outro lado, o Equador consegue estabelecer-se na 6ª posição, ao ser classificado por DEA. O modelo dos pesos médios apresentou o mesmo resultado de classificação dos países que o modelo DEA. Isto pode ter ocorrido devido ao fato da média dos pesos ter sido calculada a partir dos resultados de DEA obtidos. Outras análises de comparação podem ser evidenciadas em outros esportes, como mostrado na tabela 5 abaixo. Tabela 5 Resultado comparativo entre os métodos para o Ciclismo. Método Lexicográfico Modelo DEA Modelo Pesos Médios DEA País Nº Medalhas País Eff DEA País I MÉDIO 1 Colômbia 10 1ºColômbia 1,000 1ºColômbia 1,000 2 Cuba 7 2ºCuba 0,996 2ºCuba 0,824 3 Estados Unidos 5 3ºVenezuela 0,990 3ºVenezuela 0,683 4 Canadá 3 4ºArgentina 0,596 4ºArgentina 0,

8 5 Argentina 6 5ºEstados Unidos 0,500 5ºEstados Unidos 0,500 6 Chile 2 6ºCanadá 0,499 6ºCanadá 0,384 7 Venezuela 10 7ºChile 0,498 7ºChile 0,325 8 Rep. Dominicana 1 8ºRep. Dominicana 0,395 8ºBrasil 0,231 9 Brasil 4 8ºBrasil 0,395 8ºMéxico 0,231 9 México 4 8ºMéxico 0,395 10ºRep. Dominicana 0, Trinidad e 11ºTrinidad e 1 0,099 11ºTrinidad e Tobago 0,058 Tobago Tobago 12 Uruguai 1 12ºUruguai 0,098 12ºUruguai 0,057 Nesta tabela pode-se observar que a Venezuela sobe 4 posições no ranking do Ciclismo ao ser classificada por DEA e os Estados Unidos e Canadá passam da 3ªe 4ª posição para a 5ª e 6ª devido ao mesmo motivo analisado anteriormente: o modelo DEA considera em seus cálculos da eficiência, todas as medalhas e seus respectivos pesos, e não somente a quantidade de medalhas de ouro, seguida de prata e bronze. O mesmo ocorre com a República Dominicana, Brasil e México, que passam a assumir a 8ª posição juntos devido ao empate de suas eficiências, embora não possuam ao mesmo número de medalhas. É importante observar que como no boxe, o modelo dos pesos médios apresentou o mesmo resultado de classificação que o modelo DEA, com a exceção da República Dominicana que passou a assumir a 9ª posição. O modelo dos pesos médios pode ser, neste caso, utilizado como forma de desempate entre os países que apresentarem empate na classificação pelo modelo DEA. Além disso, possui a vantagem de utilizar um conjunto de pesos únicos para as medalhas em um dado esporte, em diferença ao modelo DEA que calcula um conjunto de pesos para cada pais e para cada esporte. Para uma análise geral dos Jogos Pan-americanos, foi feita uma nova classificação também para a classificação geral apresentada pelos meios de comunicação. Para o cálculo da eficiência, foram utilizadas as mesmas variáveis, isto é, foram utilizadas como variáveis de saída (outputs) o total de medalhas de ouro, prata e bronze de cada país e como variável de entrada (input) a presença de determinado país nos jogos, como feito anteriormente para cada esporte. A tabela 6 apresenta a classificação geral, os dados coletados para os cálculos e os resultados encontrados para os pesos, a eficiência medida e o índice médio utilizando o modelo (2). Tabela 6 Resultados obtidos para o Quadro Geral. DMU País Outputs Pesos y o y p y b o p b Eff DEA I MÉDIO A Estados Unidos ,009 0,001 0,000 1,000 1,000 B Cuba ,009 0,001 0,000 0,590 0,567 C Brasil ,006 0,004 0,003 0,624 0,614 D Canadá ,006 0,004 0,003 0,519 0,507 E México ,006 0,004 0,003 0,269 0,261 F Colômbia ,006 0,004 0,003 0,189 0,185 G Argentina ,006 0,004 0,003 0,203 0,193 H Venezuela ,006 0,004 0,003 0,236 0,224 I Rep. Dominicana ,006 0,004 0,003 0,100 0,096 J Chile ,006 0,004 0,003 0,075 0,074 K Equador ,006 0,004 0,003 0,069 0,067 L Porto Rico ,006 0,004 0,003 0,066 0,063 M Jamaica ,007 0,003 0,000 0,038 0,037 N Guatemala ,006 0,004 0,003 0,027 0,027 O Bahamas ,006 0,004 0,003 0,024 0,023 P El Salvador ,006 0,004 0,003 0,032 0,030 Q Panamá ,007 0,003 0,000 0,011 0,009 R Antígua e Barbudas ,006 0,004 0,003 0,011 0,

9 S Antilhas Holandesas ,009 0,001 0,000 0,009 0,008 T Peru ,006 0,004 0,003 0,035 0,032 U Trinidad e Tobago ,006 0,004 0,003 0,011 0,010 V Uruguai ,006 0,004 0,003 0,009 0,008 W Ilhas Caimã ,006 0,004 0,003 0,004 0,003 X Nicarágua ,006 0,004 0,003 0,005 0,005 Y Barbados ,006 0,004 0,003 0,003 0,002 Z Dominica ,006 0,004 0,003 0,003 0,002 AA Granada ,006 0,004 0,003 0,003 0,002 AB Guiana ,006 0,004 0,003 0,003 0,002 AC Haiti ,006 0,004 0,003 0,003 0,002 AD Honduras ,006 0,004 0,003 0,003 0,002 AE Santa Lúcia ,006 0,004 0,003 0,003 0,002 AF Paraguai ,006 0,004 0,003 0,003 0,002 Média dos Pesos 0,006 0,003 0,002 A partir desta tabela, podemos comparar o resultado da classificação usando o modelo DEA para calcular as eficiências e o índice usando os pesos médios, com a classificação do método lexicográfico, da mesma forma que foi feito para cada esporte. No quadro de medalhas apresentado na tabela 7 pode-se observar as principais mudanças que estão grifadas em cores para mostrar a nova posição de determinado país nas duas novas classificações. Tabela 7 Resultado comparativo entre os métodos para o Quadro Geral de Medalhas. Método Lexicográfico Modelo DEA Modelo Pesos Médios DEA Posi Bronz Posi Posi Países Ouro Prata Total Países Eff ção e ção DEA Países ção 1 Estados Unidos Estados Unidos 1,000 1 Estados Unidos 1,000 2 Cuba Brasil 0,624 2 Brasil 0,614 3 Brasil Cuba 0,590 3 Cuba 0,567 4 Canadá Canadá 0,519 4 Canadá 0,507 5 México México 0,269 5 México 0,261 6 Colômbia Venezuela 0,236 6 Venezuela 0,224 7 Argentina Argentina 0,203 7 Argentina 0,193 8 Venezuela Colômbia 0,189 8 Colômbia 0,185 9 Rep. Dominicana Rep. Dominicana 0,100 9 Rep. Dominicana 0, Chile Chile 0, Chile 0, Equador Equador 0, Equador 0, Porto Rico Porto Rico 0, Porto Rico 0, Jamaica Jamaica 0, Jamaica 0, Guatemala Peru 0, Peru 0, Bahamas El Salvador 0, El Salvador 0, El Salvador Guatemala 0, Guatemala 0, Panamá Bahamas 0, Bahamas 0, Antígua e Barbudas Trinidad e Tobago 0, Antígua e Barbudas 0, Antilhas Holandesas Antígua e Barbudas 0, Trinidad e Tobago 0, Peru Panamá 0, Panamá 0, Trinidad e Tobago Antilhas Holandesas 0, Antilhas Holandesas 0, Uruguai Uruguai 0, Uruguai 0,008 I MÉDIO 259

10 23 Ilhas Caimã Nicarágua 0, Nicarágua 0, Nicarágua Ilhas Caimã 0, Ilhas Caimã 0, Barbados Barbados 0, Barbados 0, Dominica Dominica 0, Dominica 0, Granada Granada 0, Granada 0, Guiana Guiana 0, Guiana 0, Haiti Haiti 0, Haiti 0, Honduras Honduras 0, Honduras 0, Santa Lúcia Santa Lúcia 0, Santa Lúcia 0, Paraguai Paraguai 0, Paraguai 0,002 Como o modelo DEA é considerado apropriado para a classificação de países em jogos desportivos, um Ranking Final foi elaborado e calculado a partir do Índice Médio de Eficiência obtido por cada país em cada modalidade. Basicamente, os índices médios de eficiências obtidos em cada esporte por um país são somados. Após obter as somas, elas são normalizadas. Um ranking de paises é obtido utilizando estas somas normalizadas. Os resultados são comparados com os dados obtidos na Tabela 7 e com método Lexicográfico. Estes resultados se encontram na tabela comparativa, Tabela 8, e estão destacados em cores os principais países que ocupam posições diferentes nos dois ranking. A principal característica e vantagem do Ranking Final calculado por modalidade é que elimina a questão da ordenação pelo maior número de medalhas de ouro, prata e bronze e sim considera-se o Índice Médio de Eficiência obtida em cada modalidade para se calcular a eficiência geral dos países nos jogos, denominada Eficiência Normalizada. Tabela 8 Ranking Final dos países comparando os dois métodos. Método Lexicográfico Soma de Índices por Modalidade Σ Posição Países Ouro Prata Bronze Total Posição Países I MÉDIO E ff Normal 1 Estados Unidos Estados Unidos 29,005 1,000 2 Cuba Brasil 21,181 0,730 3 Brasil Canadá 18,456 0,636 4 Canadá Cuba 14,787 0,510 5 México Argentina 9,156 0,316 6 Colômbia México 8,967 0,309 7 Argentina Venezuela 7,004 0,241 8 Venezuela Colômbia 5,508 0,190 9 Rep. Dominicana Rep. Dominicana 3,959 0, Chile Chile 2,616 0, Equador Equador 2,439 0, Porto Rico Porto Rico 1,851 0, Jamaica Jamaica 1,357 0, Guatemala Guatemala 1,088 0, Bahamas Peru 0,946 0, El Salvador Nicarágua 0,853 0, Panamá Paraguai 0,665 0, Antígua e Barbudas El Salvador 0,562 0, Antilhas Holandesas Uruguai 0,353 0, Peru Antilhas Holandesas 0,346 0, Trinidad e Tobago Bahamas 0,192 0, Uruguai Trinidad e Tobago 0,182 0,

11 23 Ilhas Caimã Guiana 0,105 0, Nicarágua Antígua e Barbudas 0,089 0, Barbados Honduras 0,086 0, Dominica Panamá 0,075 0, Granada Haiti 0,064 0, Guiana Ilhas Caimã 0,021 0, Haiti Dominica 0,021 0, Honduras Granada 0,021 0, Santa Lúcia Santa Lúcia 0,021 0, Paraguai Barbados 0,020 0,001 A diferença entre as posições dos países das tabelas 7 e 8 se dá pelo fato do ranking da tabela 7 ser obtido usando um peso único por medalha, considerando todos os esportes. Já na tabela 8 a soma dos índices médios considera implicitamente pesos das medalhas diferentes para cada modalidade, e no final somam-se todas as eficiências de um determinado país. 5. Comentários Finais As mudanças de classificação de um método para o outro ocorrem em todos os 41 esportes analisados. Especificamente, nas tabelas 4 e 5 mostradas, Boxe e Ciclismo, pode-se evidenciar que o modelo DEA é mais benevolente em sua classificação que o método lexicográfico, do ponto de vista dos paises que não ganharam medalhas de ouro. Uma outra vantagem é que DEA apresenta os resultados para o conjunto de DMUs analisadas, neste caso para os países que ganharam medalhas naquele determinado esporte. Além disso, o modelo DEA não sobre avalia o valor da medalha de ouro, o que gera as diferenças nos resultados. O modelo dos pesos médios apresentou, em praticamente todos os esportes, o mesmo resultado de classificação que o modelo DEA. Isto pode ter ocorrido devido ao fato da média dos pesos ter sido calculada a partir dos resultados de DEA obtidos, o que tende a aproximar os resultados dos dois métodos. Desta forma, pode-se concluir que é preferível utilizar o ranking obtido utilizando os pesos médios e que pode ser útil também para evitar empates. Do anteriormente exposto pode-se dizer que os resultados mostram que o método DEA é indiscutivelmente mais apropriado para a classificação de países em jogos desportivos, visto que esse não inicia a classificação pelo maior número de medalhas de ouro, seguido de prata e bronze, mas sim por considerar todas as medalhas ganhas e o peso de cada uma seguindo as restrições impostas. Apesar de ser o método lexicográfico utilizado pela imprensa para elaboração de um ranking entre os países, o método lexicográfico pode ser considerado ultrapassado e a introdução de uma nova metodologia, como o método DEA aqui estudado, seria apropriado como uma forma de estabelecer um melhor posicionamento entre os países no quadro geral de medalhas ou por esporte sem causar discriminação, pelo fato de não ganhar nenhuma medalha de ouro mais muitas de prata ou bronze. Outras análises podem ser estudadas para aprimorar o modelo DEA e o enfoque de pesos médios. Uma proposta é introdução de indicadores econômicos no conjunto das variáveis, para tornar relevante a situação econômica dos países. Um exemplo de indicador seria o PIB, Produto Interno Bruto, que se fosse relevado na análise também causaria impacto à classificação. Este e outros indicadores podem ser introduzidos para se considerar e influenciar os investimentos em educação, social e desporto dos países participantes. Trabalho que utilizou índices sócioeconômicos na determinação do ranking foi Lins et al (2003). Referências Ali, A.I., Seiford, L.M. (1993). The mathematical programming approach to Efficiency Analysis. Em: Fried, H.O., Lovell, C.A.K., Schmidt,.S.S. (Eds). The measurement of Productive Efficiency. Oxford University Press, New York, pp

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