REVISÃO DOS MÉTODOS TOTAIS DE SELEÇÃO DE VARIÁVEIS EM DEA

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1 REVISÃO DOS MÉTODOS TOTAIS DE SELEÇÃO DE VARIÁVEIS EM DEA Luis Felipe Aragão de Castro Senra, MSc. ELETROBRAS Luiz Cesar Nanci, MSc. UFF - Universidade Federal Fluminense cnanci@predialnet.com.br Lídia Angulo Meza, DSc. UFF - Universidade Federal Fluminense lidia@metal.eeimvr.uff.br RESUMO Historicamente, uma fragilidade clássica da DEA tem sido a sua baixa capacidade de ordenar as DMUs, dado que ao descrever-se um modelo com diversas variáveis em relação ao número de DMUs, muitas DMUs são classificadas como eficientes, colocando em xeque a sua capacidade de ordenação. Com o passar dos anos, vários têm sido os métodos de seleção de variáveis que, de alguma forma, têm tentado superar essa fragilidade. Eles consideram como norte, limitar o número de variáveis, Inputs e Outputs, como uma estratégia de ao mesmo tempo, manter uma relação causal entre o modelo e a realidade e atingir uma boa ordenação. Serão aqui revisados dois destes métodos. Palavras-Chave: Pesquisa Operacional, DEA, Seleção de variáveis ABSTRACT A DEA classical fragility has been its low ability to sort DMUs, so, when describing a model with diverse variable in relation to the number of DMUs, many DMUs are classified as efficient. Over the years, several have been the methods of variable s election. They consider as north, to limit the number of variable, Inputs and Outputs, as a strategy of at the same time, keep a casual relation between the model and reality and to reach a good sorting. This work will make a review about two of these methods. Keywords: Operational Research, DEA, Variable Selection 1. INTRODUÇÃO Toda organização tem como objetivo principal realizar suas atividades de maneira eficiente, isto é, procurar produzir o máximo de produtos, com o mínimo de insumos usados. Contudo, a avaliação da eficiência é um problema difícil de resolver, especialmente quando são considerados múltiplos inputs (insumos) e múltiplos outputs (produtos) no processo de produção das organizações. Entre as propostas para abordar este problema, na literatura econômica encontram-se os trabalhos de DEBREU (1951), FARRELL (1957) e FARRELL e FIELDHOUSE (1962), porém, estas propostas não conseguiram ser implementadas. No ano de 1978, baseados nos trabalhos de DEBREU (1951) e FARRELL (1957), Charnes, Cooper e Rhodes (CHARNES et al., 1978) propuseram uma técnica de programação linear para medir a eficiência das unidades organizacionais que usam múltiplos inputs para produzir múltiplos outputs. Esta nova abordagem foi denominada de Análise Envoltória de Dados (CHARNES et al., 1982), mais conhecida como DEA (abreviação do inglês Data Envelopment Analysis) e as unidades avaliadas foram denominadas de DMUs (abreviação do inglês Decision Making Units). DEA calcula a eficiência de um conjunto de DMUs observadas, comparando-as entre si; por este motivo, a medida de eficiência obtida é uma medida de eficiência relativa. As DMUs do conjunto

2 analisado devem ser unidades similares, isto é, cada DMU deve consumir os mesmos inputs para produzir os mesmos outputs, variando só as quantidades consumidas e produzidas por cada uma. Usando as DMUs com as melhores práticas observadas, DEA constrói uma fronteira de produção empírica, também denominada de fronteira eficiente. Segundo a distância de cada DMU à fronteira, DEA fornece uma medida de eficiência comparada que determina a proporção em que devem ser reduzidos todos os inputs, ou aumentados todos os outputs, para alcançar a fronteira eficiente. Ano após ano, esse método vem recebendo contribuições e sendo desenvolvido por diversos cientistas por todo o globo. Sua aceitação surge em razão da sua principal característica: objetividade. Como é um método que em sua essência não precisa de um decisor, ele não é afetado pela sua subjetividade, disponibilizando resultados puros. Historicamente, uma fragilidade clássica da DEA tem sido a sua baixa capacidade de ordenar as DMUs, dado que, ao descrever-se um modelo com diversas variáveis em relação ao número de DMUs, muitas DMUs são classificadas como eficientes, colocando em xeque a sua capacidade de ordenação e análise. Com o passar dos anos, vários têm sido os métodos de seleção de variáveis que, de alguma forma, têm tentado superar essa fragilidade. Eles consideram como norte, limitar o número de variáveis, Inputs e Outputs, como uma estratégia de ao mesmo tempo, manter uma relação causal entre o modelo e a realidade e atingir uma boa ordenação. Dado que todo modelo é uma tentativa de descrever idealizadamente uma realidade, o seu maior desafio tem sido definir quais são as variáveis que devem ser selecionadas e quais são dispensáveis, para que o modelo continue descrevendo de forma fidedigna esta realidade. Este artigo tem por objetivo revisar o Método Multicritério Total e o Método Multicritério Total Simplificado, esmiuçando a teoria pura que serve de sustentação para os métodos de seleção. 2. MÉTODOS DE SELEÇÃO DE VARIÁVEIS Os métodos de seleção de variáveis têm como sustentação a idéia de que em todo modelo no qual a problemática da ordenação torna-se crítico, pode ser selecionado um número reduzido de inputs e outputs, que representem adequadamente a relação causal e que não atribuam eficiência unitária a um número demasiado de DMUs. Tem-se como axioma básico dos métodos de seleção o seguinte pré-suposto: Dado um modelo de n variáveis, existe um modelo reduzido de x variáveis que mantendo a relação causal do modelo completo, apresenta uma melhor capacidade de ordenação das DMUs, sendo x < n. É importante perceber que os resultados apresentados pelos métodos de seleção serão sempre modelos compostos por apenas algumas das variáveis existentes no modelo completo de n variáveis, entretanto não devem ser encarados como resultados de um modelo de x variáveis, mas sim como resultados otimizados do modelo de n variáveis, posto que, estas x variáveis foram eleitas levando em consideração os dados disponíveis sobre todas as n variáveis. A técnica dos métodos de seleção não é defender que a modelagem proposta inicialmente com n variáveis esteja equivocada e propor um novo rearranjo das variáveis originais, mas sim, apresentar um resultado otimizado, que considerando todas as variáveis originais, apresente uma boa relação causal e uma alta capacidade de discriminação entre as DMUs, ou seja, resultados com maiores possibilidades de análise e ainda assim representativos. Portanto, tais métodos defendem que há modelos simplificados que tornam-se suscetíveis a uma melhor análise um modelo com problemas de ordenação. A pergunta que deve ser respondida neste caso é: quais variáveis devem ser selecionadas? Responder esta pergunta é o objetivo principal dos métodos de seleção de variáveis em DEA. 399

3 3.1. Breve histórico Método Multicritério O Método Multicritério (SOARES DE MELLO et al e 2004) pode ser considerado o primeiro método de seleção de variáveis que tem como objetivo melhorar a ordenação de modelos em DEA. Primeiro método da família de métodos multicritério teve como ponto de partida o Método I-O Stepwise (ESTELLITA LINS, ANGULO MEZA, 2000), impondo-lhe diversas modificações, tanto no critério de seleção, quanto nas regras de partida e parada Método Multicritério Combinatório Inicial O Método Multicritério Combinatório Inicial (SENRA, SOARES DE MELLO, 2004; SENRA et al, 2004B) é o segundo método da família multicritério. Dado que a principal característica da DEA é a sua objetividade, este método insere duas importantes alterações no Método Multicritério para Seleção de Variáveis no sentido de retirar-se a subjetividade inerente à escolha humana. O método mantém o equilíbrio entre eficiência média e capacidade de discriminação, característica marcante desta família Método Multicritério Combinatório por Cenários O Método Multicritério Combinatório por Cenários (SENRA et al, 2004B) insere mais uma alteração ao método original. Em continuidade ao desenvolvimento feito no Método Combinatório Inicial, este método elimina a regra de parada. 3. MÉTODOS TOTAIS Sempre citados nos artigos do tema, eram considerados impossíveis de serem colocados em prática, sendo apenas um grande referencial teórico. Os Métodos Totais de Seleção de Variáveis podem ser considerados como uma revolução no pensamento teórico que sempre norteou o desenvolvimento dos Métodos de Seleção. Ao contrário dos métodos anteriores, que eram apenas aperfeiçoamentos em pontos específicos, os Métodos Totais sugerem um novo pensar da teoria, eles deixam de lado os desenvolvimentos anteriores e se constroem a partir da teoria pura levando a um questionamento dos principais tópicos referentes aos Métodos de Seleção. - Análise do Axioma Geral dos Métodos de Seleção Considerando um modelo de n variáveis, sendo n i inputs e n o outputs, existem z combinações possíveis destas variáveis (cenários), partindo desde pares input-output até o modelo com todas as variáveis, passando por modelos com duas variáveis, três variáveis e ect. Destes z cenários, o Axioma Geral determina que existe um, que ao mesmo tempo terá uma melhor capacidade de ordenação e manterá a relação causal. Portanto, dois são os tópicos destacados no Axioma Geral: manter a relação causal e melhorar a capacidade de ordenação. Manter a relação causal significa demonstrar que mesmo tendo limitado o número de variáveis o novo cenário pode ser considerado como uma boa aproximação do modelo completo. Esta relação é medida pela eficiência média das DMUs de cada cenário, sendo que quanto mais a eficiência média de um cenário se aproximar da eficiência média do modelo completo, mais estará demonstrando que mantém uma boa relação com a realidade. A capacidade de ordenação é colocada em xeque quando várias DMUs empatam em eficiência. Este empate faz com que não seja possível ordenar as DMUs de forma satisfatória. Levando em consideração que exceto as DMUs que formam a fronteira de eficiência, é raríssimo que duas DMUs empatem em eficiência, foca-se todas as atenções nas DMUs da fronteira de eficiência. 400

4 Sendo assim, uma cenário terá uma boa capacidade de ordenação se possuir poucas DMUs com eficiência unitária. Portanto, a função de um modelo de seleção é identificar qual dos z cenários tem, ao mesmo tempo, um números reduzido de DMUs na fronteira e uma eficiência média próxima da eficiência média do modelo completo. - Selecionando o cenário ótimo Considerando que se tem disponível uma lista de todos os cenários possíveis e que se sabe o número de DMUs na fronteira e a eficiência média de cada cenário, surge uma pergunta: como selecionar o cenário ótimo? Diante destas informações pode-se enunciar os Axiomas de Seleção : 1- Dentre dois cenários com o mesmo número de DMUs na fronteira, o melhor é aquele que apresenta a maior eficiência média 2- Dentre dois cenários com a mesma eficiência média o melhor é aquele que apresenta o menor número de DMUs na fronteira 3- Se dois cenários apresentam a mesma eficiência média e o mesmo número de DMUs na fronteira o melhor é aquele que apresenta o maior número de variáveis Sendo assim, respeitando o primeiro axioma de seleção, pode-se comparar todos os cenários que apresentam o mesmo número de DMUs na fronteira, selecionando-se apenas o melhor deles, aquele que tiver a maior eficiência média. Como resultado desta primeira seleção tem-se uma nova lista de cenários com apenas os melhores cenários, como por exemplo, o quadro 1. Quadro 1: exemplo de lista DMU na Eficiência Fronteira Média 2 0, , , , ,998 Analisando o exemplo acima, percebe-se que, como era de se esperar, a eficiência média aumenta com o maior número de DMUs na fronteira. Este exemplo expõe muito bem a relação contraditória existente nos métodos de seleção: cenários com poucas DMUs na fronteira têm eficiências médias baixas e por conseqüência têm baixa relação causal, em contrapartida, cenários com eficiências médias altas tendem a ter muitas DMUs na fronteira. Portanto, é necessário criar uma normalização, para que os valores sejam comparáveis e, assim, identificar-se qual cenário apresenta o melhor equilíbrio entre o numero de DMUs na fronteira e a eficiência média. Seguindo este caminho, existe uma primeira pergunta a ser respondida: o que é um cenário com boa capacidade de ordenação? Segundo o que foi anteriormente exposto, é um cenário que tem poucas DMUs na fronteira. Entretanto é necessário que seja especificado poucas em relação a o que? Considerando o exemplo do quadro 1, pode-se afirmar que 6 DMUs são poucas se o modelo conta com 100 DMUs ao todo, entretanto não se pode afirmar o mesmo se o modelo contar com apenas 8 DMUs. Portanto, a resposta das perguntas deve ser: um cenário tem boa capacidade de ordenação, se, em relação ao total de DMUs do modelo, apresenta poucas DMUs na fronteira. Sendo assim, em uma escala linear de 0 a 1, um cenário teria capacidade de ordenação 0 se todas as DMUs estivessem na fronteira e teria 1 se tivesse apenas uma DMU na fronteira. 401

5 Continuando o mesmo desenvolvimento teórico, um cenário teria uma boa relação causal se tivesse uma eficiência média próxima da eficiência alcançada no modelo completo. Portanto, em uma escala linear de 0 a 1, um cenário teria relação causal 1 se tivesse a mesma eficiência média do modelo completo e receberia 0 aquele cenário que apresentou a menor eficiência média de todos os cenários. De posse destas duas normalizações, pode-se unificá-las através de simples média aritmética, tendo por conseqüência uma escala com valores variando entre 0 e 1, sendo que quanto melhor é um cenário, maior o valor recebido por ele. 3.1 Método Multicritério Total Citado em três artigos, SENRA, SOARES DE MELLO (2004), SENRA et al, (2004A) e SENRA et al, (2004B), foi desenvolvido em SENRA (2004) e adota uma aproximação diferente de todos outros e é também o que leva ao melhor grupo de variáveis. Entretanto, por testar todas as alternativas, é praticamente inviável o seu cálculo para modelos minimamente complexos. Ele modifica completamente a lógica de seleção de variáveis, pois não utiliza a metodologia de inserção de variáveis, eliminando as regras de partida, de continuação e de parada, podendo ser considerado um método exaustivo total. São eliminadas as três regras, pois não existe um grupo inicial de variáveis, não serão inseridas novas variáveis e o método não tem um ponto de parada. Ele se baseia na comparação de todas as combinações possíveis entre todas as variáveis, sejam combinações dois a dois, três a três ou n a n. Mesmo possuindo o algoritmo mais simples de todos, tem um custo de cálculo, por vezes proibitivo. Para se ter uma idéia deste custo, utilizando este método para resolver um modelo de apenas três inputs e dois outputs é necessário testar vinte e um cenários e o simples adicionar de um output ao modelo faria com que o número de cenários a serem testados salta-se para quarenta e nove, sendo que modelos minimamente complexos, por exemplo, de cinco inputs por cinco outputs, é difícil até de precisar quantos seriam os cenários necessários. O método pode ser descrito pelo algoritmo da figura 1 e detalhado a seguir: Figura 1: Algoritmo do Método Multicritério Total 1. Calcular a eficiência média para cada possibilidade de combinação de variáveis. 2. Calcular o número de DMUs na fronteira de eficiência em cada um dos cenários. 3. Normalizar as escalas, calculando S EF e S DIS. S EF é a normalização da eficiência média de cada alternativa da etapa 1; é atribuído o valor de 1 a alternativa com maior eficiência média e 0 para a alternativa com menor eficiência média, as demais alternativas recebem notas proporcionalmente as suas eficiências médias. Já o S DIS é a normalização da etapa 2, é atribuído o valor de 1 a alternativa com apenas uma DMU na fronteira e o para a alternativa que presente todas as DMUs na fronteira, as demais alternativas recebem notas proporcionalmente ao número de DMUs na fronteira. 4. Fazer a média aritmética de S EF e S DIS. É feita a média aritmética dos valores de S EF e S DIS, de tal forma que cada alternativa tenha agora um valor S. 5. Escolher o cenário que tiver o maior valor de S. No caso de empate, considera-se a que tem maior S DIS. 402

6 3.2 Método Multicritério Total Simplificado O Método Multicritério Total Simplificado foi desenvolvido em SENRA (2004). Tem como objetivo único desenvolver um método que encontre os bons resultados do Método Multicritério Total e o baixo custo de cálculo da metodologia de inserção de variáveis. Pode-se dizer que este método é o Método Combinatório por Cenários com as alterações inseridas pelo Método Combinatório Total quanto ao critério de seleção. A metodologia de inserção de variáveis tem como base a idéia de que os melhores cenários de três variáveis serão formados com as variáveis do melhor par input-output, e que os melhores cenários de quatro variáveis serão formados com as variáveis do melhor cenário com três variáveis, e assim, por diante. Esta forma de selecionar cenários, objetiva limitar o número de cenários a serem testados, testando apenas aqueles que tem maior probabilidade de serem o cenário ótimo. O fato de se normalizar a escala apenas uma vez, ao invés dos métodos originários e derivados que o faziam a cada inserção de uma nova variável, faz com que sejam necessárias algumas mudanças na dinâmica do Método Multicritério Combinatório por Cenários. Tem-se agora uma primeira etapa que objetiva definir as escalas de normalização que serão utilizadas durante todo o método. São testados todos os cenários de par input-output e também o cenário completo. Para definirem-se as escalas são necessários quatro posições o 0 e o 1 do S DIS e o 0 e o 1 do S EF. As posições S DIS 0, S DIS 1 são definidas em relação ao número total de DMUs existentes no modelo. A posição S EF 1 é definida pelo cenário completo e a posição S EF 0 é definida pelo cenário par input-output que tenha a menor eficiência média. Tendo sido estabelecidas as escalas de S EF e S DIS, é calculado o índice S pela média aritmética dos valores de S EF e S DIS. Dentre os cenários de pares, é selecionado aquele que tenha maior S e a ele são inseridas uma a uma todas as variáveis restantes. Estes trios são normalizados tendo por base a escala definida inicialmente e dentre eles é selecionado o trio de maior S e assim sucessivamente, até que os cenários de n-1 variáveis tenham sido testados. Compara-se então o S dos cenários testados; dentre estes, é escolhido como o melhor cenário aquele que possua o maior S. O método pode ser descrito pelo algoritmo da figura 2 e detalhado a seguir: Figura 2: Algoritmo do Método Multicritério Total Simplificado 1. Calcular a eficiência média para cada possibilidade de par input-output inicial e para o cenário completo. 403

7 2. Calcular o número de DMUs na fronteira de eficiência em cada um dos cenários.. 3. Normalizar as escalas, calculando S EF e S DIS. S EF é a normalização da eficiência média de cada alternativa da etapa 1. Já o S DIS é a normalização da etapa Calcular a média aritmética de S EF e S DIS. É feita a média aritmética dos valores de S EF e S DIS, de tal forma que cada alternativa tenha agora um valor S. 5. Escolher o par inicial. O cenário par input-output que tiver o maior valor de S será o par inicial. No caso de empate, considera-se a que tem maior S DIS. 6. Calcular a eficiência média para cada variável acrescentada. Utilizando como base o cenário escolhido anteriormente é calculada a eficiência média ao se inserir cada variável ainda não utilizada. 7. Calcular o número de DMUs na fronteira de eficiência em cada uma das alternativas calculadas na etapa Calcular S EF e S DIS tendo como base os valores definidos na etapa Fazer a média aritmética de S EF e S DIS. É feita a média aritmética dos valores de S EF e S DIS, de tal forma que cada alternativa tenha agora um valor S. 10. Escolher o cenário que tenha maior valor de S. 11. Verificar se o número de variáveis é igual a n-1 variáveis. Se não, deve-se reiniciar o processo na etapa 6. Caso contrário, escolher dos cenários testados aquele que tenha o maior valor de S. 4. CONCLUSÃO Sendo este o primeiro trabalho que detalhou a teoria dos Métodos de Seleção os frutos foram muitos. Foi possível no transcorrer deste trabalho fazer um breve histórico dos métodos, analisar de forma profunda o Axioma Geral, enunciar os Axiomas de Seleção e revisar os Métodos Totais. Tendo como objetivo revisar os Métodos Totais, adotou-se como estratégia expor um pequeno estudo da teoria pura a ser aplicada. Esta revisão não só dos Métodos totais, mas também da teoria base de todos os métodos, foi muito importante para esclarecer duvidas sobre o tema e fortalecer a base teórica que da sustentação aos Métodos de Seleção de Variáveis. Destaca-se também, que novos estudos na área podem ser feitos, sobremodo no tipo de escala utilizada na normalização. AGRADECIMENTOS Ao CNPq pelo apoio financeiro, por meio do edital universal, processo / REFERÊNCIAS CHARNES, A.; COOPER, W. W.; RHODES, E. Measuring the Efficiency of Decision Making Units. European Journal of Operational Research v. 2, pp CHARNES, A. et al. A Multiplicative Model for Efficiency Analysis. Socio-Economic Planning Sciences v. 16, n. 5, pp DEBREU, G. The Coefficient of Resource Utilization. Econometrica v. 19, n. 3, pp ESTELLITA LINS, M. P. E.; ANGULO MEZA, L. Análise Envoltória de Dados: e perspectivas de integração no ambiente do Apoio à Decisão. Rio de Janeiro. Editora da COOPE/UFRJ FARRELL, M. J.; The Measurement of Productive Efficiency. Journal of Royal Statistical Society Series A v.120, n. 3, pp

8 FARRELL, M. J.; FIELDHOUSE, M. Estimating Efficient Production Functions under Increasing Returns to Scale. Journal of Royal Statistical Society Series A v. 125, pp SOARES DE MELLO et al. Selección de variables para el incremento del poder de discriminacion de los modelos DEA. Revista Epio, Escuela de Perfeccionamiento En Investigacion Operativa. Buenos Aires:, n SOARES DE MELLO et al. Método Multicritério para Seleção de Variáveis em Modelos DEA, Revista de Pesquisa Naval. Rio de Janeiro SENRA, L. F. A. C. Métodos de Seleção de Variáveis em DEA: Estudo de Caso no Setor Elétrico Brasileiro, Dissertação - Universidade Federal Fluminense. Mestrado em Engenharia de Produção SENRA, L. F. A. C.; NANCI, L. C.; SOARES DE MELLO, J. C. C. B. Métodos Totais de Seleções de Variáveis em DEA In: SPOLM Simpósio de Pesquisa Operacional e Logística da Marinha, Niteroi. Anais do SPOLM A SENRA, L. F. A. C.; NANCI, L. C.; SOARES DE MELLO, J. C. C. B. Comparação de Métodos de Seleções de Variáveis em DEA In: XXXVI SBPO - Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, São João del Rei. Anais do XXXVI SBPO. 2004B. SENRA, L. F. A. C.; SOARES DE MELLO, J. C. C. B. Análise da eficiência de atendimento de empresas do setor elétrico brasileiro In: IO XI Congresso da APDIO. Porto. Atas do IO p