Enunciado do problema: Calcule o valor de e, base dos logaritmos neplerianos, usando a série infinita abaixo

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1 Mais alguns exercícios em pseudocódigo Enunciado do problema: Calcule o valor de e, base dos logaritmos neplerianos, usando a série infinita abaixo e 1 =1+ 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! + = 1 i=0 i!. Imprima passo a passo da soma e compare com o valor obtido com o uso de uma calculadora. Descrição do problema: Aqui faremos uso do pseudocódigo que fizemos anteriormente. Formalmente isto é um exemplo muito simples do que é chamado de reutilização de código. No entanto, observe que usaremos o cálculo do fatorial como parte do que foi solicitado. O conceito que exercitaremos aqui é o de uso de uma variável acumuladora, ou seja, uma variável que terá seu valor alterado de maneira sistemática por adição de valores. Uma questão importante: em geral as linguagens de programação não se preocupam em limpar as posições de memória para as quais reserva (ou aloca) espaço para as variáveis. Portanto, antes de usar uma variável é bom que a ela seja atribuído um valor que faça sentido no uso que ela terá. Voltando ao problema! Observe que o somatório acima é infinito. Obviamente teremos que determinar um número máximo de elementos do somatório se queremos um resultado numérico. No pseudocódigo abaixo denominaremos como ntermos este valor máximo. Como temos um somatório, usaremos aqui a letra s para simbolizar este valor. Usaremos ainda as mesmas variáveis que foram necessárias para o cálculo do fatorial. Observe ainda que será necessário que tenamos um contador de número de termos da série definida acima. Dito isto, o pseudocódigo fica assim PROGRAMA e INTEIROS i, j, n, ntermos REAIS fat, s ntermos 15 s 1 j 1 ENQUANTO (j <= ntermos) FAÇA fat 1 n j i 1 ENQUANTO (i <= n) FAÇA fat fat * i i i + 1 FIM ENQUANTO s s + 1.0/fat j j + 1 FIM ENQUANTO IMPRIMA O valor de e com, n, termos =, s PARE FIM

2 Comentários sobre o pseudocódigo: Observe que aqui a variável fat foi definida como REAL, ou seja, um número de ponto flutuante pois ela será empregada para gerar uma aproximação de um número real que é a base dos logaritmos neplerianos. Observe também que tomei a liberdade de inicializar s como 1 pois nosso algoritmo de fatorial não gera naturalmente o fatorial de zero. Enunciado do problema: Dado dois vetores de ponto flutuante (REAL em FORTRAN, float em C, etc.) de n posições, determine o produto escalar dos mesmos. Descrição do problema: Observe que este é um exercício de uso da estrutura de dados denominada vetor, que é um caso especial de arranjo homogêneo. Isto significa que teremos um arranjo de informações de mesmo tipo. No caso desde problema serão todos do tipo ponto flutuante. Em inglês é comum o uso da palavra array para arranjo homogêneo. O que chamaremos vetor aqui será a estrutura de dados e não o vetor matemático. Assim, necessitamos especificar o tamanho do vetor, ou seja, o número de elementos que pediremos ao sistema operacional para reservar para nosso programa para que façamos o que desejamos. Cada um dos elementos do vetor será acessado por um índice como é comum na notação matemática. No entanto, este índice será expresso de forma diferente. Em FORTRAN temos a equivalência abaixo v i = 9 e v(i) = 9. No problema apresentado nós propositalmente confundiremos os termos mas observe que, no entanto, podemos ter a estrutura de dados vetor com tipo caractere que não tem o menor sentido sob o ponto de vista matemático mas tem sentido como estrutura de dados. Da matemática se temos dois vetores de dimensão n, o produto escalar destes vetores é dado por n u v= u i v i. 1 Observe que o cálculo é efetivamente um somatório o que faz deste exercício uma variação do anterior. Para não complicar muito o uso e análise do pseudocódigo, faremos a atribuição de valores no próprio corpo do mesmo. Aqui também introduziremos um outro comando de pseudocódigo denominada FAÇA. Este comando é muito comum nas mais variadas produz um esquema de geração de uma contagem onde especificamos o início e fim da contagem de forma mais limitada que o DOWHILE. No entanto, este tipo de contagem é tão útil que foi a primeira estrutura de repetição criada no FORTRAN de continua existindo, de diferentes formas, em outras linguagens. Para ilustrar, mostraremos dois trechos de pseudocódigo equivalentes usando um pedaço do pseudocódigo do fatorial como exemplo: i 1 ENQUANTO (i <= n) FAÇA fat fat * i i i + 1 FIM ENQUANTO é equivalente a FAÇA i 1 ATÉ n fat fat * i Observe que a escrita é mais sintética, embora mais limitada pois a condição lógica do

3 ENQUANTO permite que se componha testes adicionais, coisa que o FAÇA não permite. Além disto, em geral, em FORTRAN e algumas outras linguagens este comando só permite uso de INTEIROS. A estrutura no pseudocódigo é a que se segue: PROGRAMA prod_escalar INTEIROS i, n REAL v(4), u(4), prodesc n 3 v(1) 1.0 v(2) 2.0 v(3) -1.0 u(1) 1.0 u(2) -3.0 u(3) 1.0 prodesc 0.0 FAÇA i 1 ATÉ n prodesc prodesc + v(i) * u(i) IMPRIMA O produto escalar dos vetores dados =, prodesc PARE FIM Algumas observações: Aqui chamaremos pela primeira vez uma questão importante sobre ao uso de algoritmos que é o custo computacional. De maneira ainda pouco precisa, chamaremos de custo computacional de o número de operações que um algoritmo faz para chegar ao resultado final. O motivo de escrevermos que esta definição é imprecisa ficará evidente em breve quando virmos que um algoritmo pode ter um número mínimo e um número máximo de operações dependendo da massa de dados de entrada. No caso deste nosso exemplo, produto escalar, observe que o número de operações que fazemos é proporcional ao número de elementos dos vetores. Basta seguir o programa para ver que faremos n somas e n multiplicações se estivermos fazendo o produto escalar de vetores de dimensão n. Diremos que o número de operações é precisamente este n somas e multiplicações. Mais a frente usaremos uma notação mais comum chamada O (se pronuncia notação o grande). Nela escreveremos que este algoritmo é de ordem O(n).

4 Enunciado do problema: Dado um vetor de inteiros de n posições, determine o maior valor do vetor. Descrição do problema: Observe que este é um exercício um pouco mais complexo de uso de vetores. A intenção é exercitar um procedimento muito comum no desenvolvimento de programas, ou seja, fazer comparações entre os elementos de uma massa de dados de forma a criarmos alguma forma de hierarquia que seja útil a nós. O caso da ordenação é bem óbvia pela quantidade de artefatos que temos em nossa vida de informações colocadas em alguma ordem, como dicionários, numeração de documentos, numeração de prédios em ruas, apartamentos em prédios, etc. A ordenação facilita a recuperação de informações. Aqui faremos uma versão bem simples para entender alguns dos elementos que envolvem alguns algoritmos de ordenação. Seja o vetor dado pelos elementos Conteúdo Observe que temos duas informações apresentadas acima: o índice do vetor e o conteúdo do vetor. Para nós ambas as informações são importantes pois só podemos acessar e/ou manipular a informação contida no vetor pela referência desta informação dada pelo índice. Claro que você olhou para o vetor acima e soube rapidamente qual é o maior valor mas como você faz isto? Lembre-se que você, via pseudocódigo (ou melhor, via um programa em uma linguagem de programação) vai instruir um computador (que não tem olhos) como determinar o maior valor entre os apresentados. Mas o que você faz? A resposta é bem simples: você faz comparações partindo do conhecimento que você tem dos números. Mas o computador não conhece números, apenas os manipula segundo regras que foram colocados na elaboração de seu hardware e seu software, que é constituído pelo sistema operacional, convenções industriais e as linguagens de programação que elaboram, por sua vez, vários aplicativos. Os comandos do pseudocódigo representam estruturas pré-desenvolvidas pelos criadores das linguagens de programação e são feitos como são para facilitar a implementação de algoritmos. Mas nos voltemos ao nosso problema. Uma forma de determinar o maior valor é eleger que um seja o maior e, partindo disto, comparar com os demais até termos o maior valor. No entanto, vimos que no pseudocódigo existem comandos que permitem gerarmos números sequencialmente e que isto é fácil de se fazer. Para aproveitarmos esta facilidade diremos que inicialmente o valor contido no primeiro elemento do vetor é o maior e chamaremos a variável que a contem de maior. É claro que não é no nosso exemplo mas isto permite que façamos comparações. Observe que não tem muito sentido compararmos com a partir do primeiro elemento, já que esta comparação não nos leva a nada, embora computacionalmente não faça a muita diferença: apenas faremos uma comparação a mais e desnecessária. Se comparamos maior com o o conteúdo da segunda posição do vetor, observe que em comparação com este elemento, o valor em maior não tem que ser trocado. No entanto o compararmos com o conteúdo da terceira posição teremos de trocar o valor de maior pelo conteúdo desta posição pois ela vale 4. A ideia é seguir sequencialmente pelo vetor de forma que ao final teremos o maior valor na variável maior. Claro, temos que ter uma referência, ou seja, uma variável, que indique o tamanho do vetor para que possamos parar o algoritmo. No caso chamaremos de n esta variável. Claramente necessitaremos de um contador e faremos uso do comando do pseudocódigo FAÇA. Para facilitar a compreensão colocaremos os valores dos vetores diretamente e não por meio de alguma leitura. O pseudocódigo abaixo materializa esta ideia

5 PROGRAMA Maior INTEIROS i, n, v(9), maior n 8 v(1) 3 v(2) 1 v(3) -4 v(4) 1 v(5) -7 v(6) 8 v(7) -5 v(8) 2 maior v(1) FAÇA i 2 ATÉ n SE (v(i) > maior) ENTÃO maior v(i) FIM SE IMPRIMA O maior elemento do vetor =, maior PARE FIM Algumas observações: Observe que foi alocado 9 espaços de memória para inteiros para o vetor v enquanto o vetor tem n = 8 posições. A priori, não há problema em alocar mais espaço que o usado, principalmente nestes programas que usam pouquíssima memória. No entanto, devemos tomar cuidado com este procedimento quando usamos quantidades próximas ao limite da máquina na qual estivermos trabalhando. Enunciado do problema: Dado um vetor de inteiros de n posições ordene-o em ordem decrescente. Descrição do problema: O que faremos aqui será novamente o reuso de um conhecimento recémadquirido. No caso usaremos o que vimos logo acima quando criamos o pseudocódigo para determinar o maior valor de um vetor. A ideia aqui está em sistematizar o procedimento de achar o maior para uma nova função. Observe que se determinamos o maior elemento do vetor, este seria o primeiro elemento num processo de ordenação decrescente. Mas se apenas colocamos o maior valor na primeira posição, destruímos o valor que estava lá. E não queremos isto, queremos ordenar os elementos do vetor. É claro que existe uma maneira de fazer isto: basta trocar o conteúdo dos elementos. Mas como faremos isto num computador? Para ilustrar, suporemos que queremos trocar o conteúdo de duas variáveis a e b. Para isto usaremos uma variável auxiliar que denominaremos aux. Abaixo vai um fragmento de um pseudocódigo

6 ... a 3 b 4 aux a a b b aux Observe que ao final do procedimento a terá o valor 4 enquanto b terá o valor 3. Voltado ao nosso problema, sabemos determinar o maior elemento e sabemos agora trocar os valores de duas variáveis. Mas para colocar o maior valor na primeira posição e colocar o valor que estava contido na primeira posição na posição que era do maior valor, é necessário que guardemos também a posição anterior do maior valor. Feito isto, conseguimos colocar o maior valor na primeira posição. E agora? Parece que a solução é fácil: basta achar qual é o maior valor dos elementos restantes e trocar este valor com o contido na segunda posição. Feito isto, partimos para o restante dos elementos até que acabe todos eles. Assim, nosso pseudocódigo fica como abaixo onde reaproveitaremos o pseudocódigo anterior.

7 PROGRAMA Ordena INTEIROS i, j, n, v(9), maior, imaior, aux n 8 v(1) 3 v(2) 1 v(3) -4 v(4) 1 v(5) -7 v(6) 8 v(7) -5 v(8) 2 FAÇA j 1 ATÉ n-1 maior v(j) imaior j FAÇA i j+1 ATÉ n SE (v(i) > maior) ENTÃO imaior i maior v(i) FIM SE aux v(j) v(j) v(imaior) v(imaior) aux FAÇA i 1 ATÉ n IMPRIMA v(i) PARE FIM Algumas observações: Qual é o custo computacional deste algoritmo? Observe que as operações que fazemos são de duas naturezas: comparação e troca. O número de comparações é fácil de estimar. Na determinação do primeiro elemento fazemos n 1 comparações, na determinação do segundo elemento n 2 e assim até ao final fazermos 1 única comparação. Assim, o número de comparações será mas sabemos que (n 1)+(n 2)+( n 3) n= n(n+1) 2 então como no nosso caso o último elemento da soma de operações é n 1, termos o resultado de número de operações

8 n 1= (n 1)n 2 ou seja, o número de operações cresce com o quadrado do número de elementos comparados. Pode ser demonstrado que no pior caso o número de trocas também será proporcional ao quadrado do número de elementos do vetor. Na notação O grande escreveríamos que este algoritmo tem custo computacional O(n 2 ). Repare que se o vetor inicial estiver ordenado ele fará todas as comparações! Ou seja, o algoritmo é insensível ao estado de ordenação do vetor dado. Claramente este não é um algoritmo muito inteligente. No entanto, é um bom exemplo de reaproveitamento de código e é bom didaticamente. Observe ainda como foi feita a impressão dos valores finais do vetor ordenado.

9 Enunciado do problema: Dado um vetor de inteiros de n posições ordene-o em ordem decrescente usando o algoritmo da bolha. No endereço há uma animação que ilustra o algoritmo. Como está em inglês, o nome é Bubble Sort. Para ilustrar aqui, olhe o vetor abaixo que chamaremos de v(i) Conteúdo Este é uma versão encurtada do vetor que estamos usando em nossos exemplos sobre vetores. A ideia consiste em você ir varrendo (ou seja, ir do primeiro elemento até o último) o vetor comparando os elementos colocados em sequência. No nosso caso, estamos ordenando em ordem decrescente e toda a vez que encontrarmos que o elemento de índice i+1 for maior que o elemento de índice i, trocamos o conteúdo do vetor. Observe a sequência abaixo i) comparamos v(1) com v(2). Como v(1) é maior que v(2), nada faremos Conteúdo ii) comparamos agora v(2) com v(3). Como v(3) é maior que v(2), trocamos os conteúdos do vetor Conteúdo iii) comparamos v(3) com v(4). Como v(4) é igual a v(3), nada faremos. Conteúdo É óbvio que o vetor não está ordenado. Novamente varreremos o vetor recomeçando as comparações. i) comparamos v(1) com v(2). Como v(2) é maior que v(1), trocamos os conteúdos do vetor Conteúdo ii) comparamos agora v(2) com v(3). Como v(3) é maior que v(2), nada faremos Conteúdo

10 iii) comparamos v(3) com v(4). Como v(4) é igual a v(3), nada faremos. Conteúdo Agora o vetor está ordenado. Pode ser demonstrado que no pior caso seria necessário mais uma varredura do vetor para termos a ordenação. Ou seja, para um vetor de tamanho n teremos que fazer no pior caso n-1 varreduras(por simplicidade faremos o pseudocódigo para o pior caso e depois mostraremos como torná-lo mais eficiente. ). Creio quer você já percebeu que serão necessários dos laços de repetição e um teste para conseguirmos escrever o pseudocódigo que queremos. PROGRAMA Ordena INTEIROS i, j, n, v(9), aux n 8 v(1) 3 v(2) 1 v(3) -4 v(4) 1 v(5) -7 v(6) 8 v(7) -5 v(8) 2 FAÇA j 1 ATÉ n-1 FAÇA i j+1 ATÉ n - 1 SE (v(i+1) > v(i)) ENTÃO aux v(i) v(i) v(i+1) v(i+1) aux FIM SE PARE FIM O curioso é que este método de ordenação tem um pseudocódigo mais simples que o anterior, embora seja um pouco mais difícil de entender como funciona. O custo computacional deste algoritmo tem particularidades. O pior caso é O(n 2 ) como o anterior mas este algoritmo é sensível ao estado de ordenação do vetor inicial, coisa que o anterior não é quanto ao número de comparações. No melhor caso o algoritmo é O(n), ou seja, ele pode ser consideravelmente mais rápido que o anterior em circunstâncias especiais. Mesmo assim, este não é um bom algoritmo se a quantidade de dados é muito grande (da ordem de bilhões de itens, o que é bem comum em algumas aplicações).