Análise óptica de sistemas eletro-ópticos por meio do cálculo da MTF

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1 Análise óptica de sistemas eletro-ópticos por meio do cálculo da MTF Elisa Signoreto Barbarini, Evandro Luís Linhari Rodrigues Laboratório de Visão Computacional, Departamento de Engenharia Elétrica, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. Av. Trabalhador São Carlense, 400 Cep: São Carlos, SP Abstract One of the widely used methods for performance analysis of an optic system is the determination of the Modulation Transfer Function (MTF). The MTF represents a quantitative and direct measure of image quality, and, besides being an objective test, can be used on concatenated optical system. This paper presents the application of software called SMTF (software modulation transfer function), built in C++ and Open CV platforms, for MTF calculation on electro-optical system. Through this method, the performance of a digital fundus camera and an infrared sensor was analyzed. The MTF information assists the analysis of the optical system alignment, and also defines its resolution limit by the MTF graphic. The result obtained from the implemented software is compared with the theoretical MTF curve from the analyzed systems. Keywords: Modulation Transfer Function, Optical Alignment, Fourier Transform, Optical Performance. 1 Introdução Equipamentos que integram óptica, eletrônica e mecânica são cada vez mais difundidos e utilizados em diferentes aplicações como na área médica, de sensoriamento e imageadores. Como exemplo destes equipamentos tem-se o retinógrafo digital, o microscópio cirúrgico oftalmológico e o sensor infravermelho. Esses equipamentos devem possuir um bom desempenho óptico, permitindo que o sistema capture imagens com alta resolução e contraste. A Função de Transferência Óptica (OTF) tornou-se a função mais utilizada para avaliar a qualidade da imagem no design de sistemas ópticos. A OTF fornece uma avaliação da estrutura da imagem indicando o contraste de um objeto senoidal para uma gama de frequências espaciais. Portanto, a informação veiculada pela OTF pode ser utilizada para construir de forma detalhada uma imagem [10]. A OTF é uma função complexa sendo possível calcular o módulo e a fase dessa função. O valor do módulo da OTF corresponde ao valor da MTF do sistema. Como discutido por Scaduto [9] existem diferentes métodos para realizar o cálculo da MTF, dentre eles, os mais utilizados são os alvos com padrões senoidais, alvo do tipo fenda, ponto (pinhole), tipo borda (knife-edge), dentre outros. Outros testes ainda são baseados em métodos interferométricos [11]. Segundo Samei et al. [8] dentre as várias técnicas existentes para o cálculo da MTF, o alvo tipo borda é, na atualidade, o mais difundido. Uma das justificativas para a utilização do alvo tipo borda é sua simplicidade de construção, sendo que não possui dimensões críticas, como o diâmetro reduzido do ponto necessário, no caso da função de espalhamento de ponto, e como a largura de um alvo do tipo fenda. Além disso, quando comparado às outras técnicas apresenta um fluxo de energia muito superior, tornando a sua detecção mais conveniente [5]. Uma desvantagem de utilizar o degrau para cálculo da MTF é que durante o cálculo é realizada uma derivada espacial, sendo, portanto, acentuado o ruído existente na imagem [1]. O trabalho apresentado nesse artigo utiliza um alvo do tipo borda para realizar os cálculos da MTF dos sistemas eletro-ópticos analisados. É utilizado primeiramente um sensor infravermelho para fazer a validação do método proposto e posteriormente o método é aplicado ao retinógrafo. É utilizado um alvo padrão para todos os sistemas. O que muda entre um sistema e outro é a posição que o alvo é colocado devido à diferença da distância focal de cada equipamento. 2 Desempenho óptico A imagem formada por um sistema óptico ideal deveria ser uma reprodução ponto a ponto exata de um objeto. Contudo, imperfeições estão sempre presentes num sistema óptico real e podem ser causados por efeitos de difração nas bordas das lentes, aberrações e erros na construção [13]. Uma das formas mais utilizadas para verificar o desempenho óptico de um sistema é utilizar o cálculo da MTF. Para realizar esse cálculo é necessário conhecimento sobre a Transformada de Fourier (FT) e a Função de Transferência Óptica. 208

2 2.1 Transformada de Fourier A FT é uma ferramenta importante no processamento de imagens, a qual é utilizada para decompor uma imagem em componentes do tipo seno e cosseno. A FT é utilizada em uma vasta gama de aplicações, como análise de imagens, filtro para imagens, reconstrução de imagens e compressão de imagens. Como apresentado por Scaduto [9], a saída da transformada de Fourier representa a imagem no domínio da frequência, enquanto que a imagem está no domínio do espaço. No domínio da frequência, cada ponto da imagem representa uma frequência particular. Para cálculo da FT analiticamente pode ser utilizada a Equação (1). ( ).... (1) Porém pode ser aproximada numericamente pela Equação (2). [0, 1] (2) Nas Equações (1) e (2) f(x) e y n representam a função a qual será aplicada a transformada, x representa a frequência que varia no intervalo de frequências onde a função é definida, e N representa o período onde a função está definida. 2.2 Função de transferência óptica A OTF representa a capacidade de resolução de um sistema de imagem em função da frequência espacial dos objetos, demonstrando com exatidão para todas as frequências o grau de degradação que o sistema impõe no processo de produção da imagem [7], sendo a sua equação definida pela Equação (3), onde mtf(x,y) é a função de transferência de modulação do sistema, a ptf(x,y) é função de transferência de fase do sistema e x e y são as coordenadas da imagem. (, ) = (, ) (, ) (3) Utilizando a FT e o teorema da convolução, tem-se que a função de transferência óptica, para um sinal senoidal, que pode ser calculada de acordo com a Equação (4), após ser aplicada a FT em todos os termos da Equação (3). (,ƞ) = (, ƞ). (, ƞ) (4) A partir da OTF pode-se definir a MTF e a Função de Transferência de Fase (PTF), conforme as Equações (5) e (6) respectivamente. (,ƞ) = (, ƞ) (5) (, ƞ) =.. (,ƞ) (6) Sendo =1/ e ƞ =1/, onde X e Y são os períodos espaciais nas direções x e y respectivamente. Para as imagens utilizadas nesse artigo será analisada apenas a MTF dos sistemas, portanto (, ƞ) = (, ƞ) 2.3 Função de Transferência de Modulação Embora o equacionamento da MTF tenha sido apresentado na Equação (5), segundo Holst [4] e Wolfe [12], a MTF pode ser dada pela relação adimensional expressa pela Equação (7). = çã çã (7) A Figura 1 apresenta a relação entre os sinais de entrada e saída de um sistema óptico, possibilitando realizar o cálculo da MTF. Figura 1 - (A) Relação entre a distribuição de intensidade de alvos com componentes senoidais de mesma amplitude e diferentes frequências espaciais e suas respectivas imagens; (B) A correspondente função de transferência de modulação (MTF) do sistema [7]. O gráfico proporcionado pela MTF pode oferecer uma análise sobre o limite de resolução do sistema. Esse limite é dado pelo valor da frequência espacial (ciclos/mm) onde a MTF é igual a zero [6]. A resolução de um sistema óptico pode ser definida como a separação, tanto em ângulo no espaço-objeto como em distância no planoimagem, de dois pontos discretos que podem ser facilmente discernido [1]. 2.4 Métodos para o cálculo da MTF Existem diferentes métodos para o cálculo de MTF de um sistema óptico. O método que será abordado utiliza um padrão de alvo com frequência conhecida. Este tipo de alvo proporciona uma forma de medida que elimina a dependência da medida com a posição do alvo, permitindo a obtenção de uma MTF média que ocorre para uma cena natural. O teste consiste em capturar a imagem do alvo produzida pelo sistema em teste, usando um charge-coupled device (CCD), e analisar as frequências espaciais contidas na imagem detectada [3]. Esse método pode ser usado para testar apenas um arranjo de detectores como também sistemas ópticos completos [2]. 209

3 3 Materiais e métodos O trabalho aqui apresentado pode ser dividido em três etapas: a primeira apresenta a implementação do algoritmo necessário para os cálculos por meio do software desenvolvido; na segunda etapa o SMTF é testado utilizando uma imagem estática, com apenas um alvo para o sensor infravermelho e na terceira etapa a MTF é calculada utilizando cinco alvos, como o apresentado na Figura Calcula-se o valor máximo da FT; 11. É realizada a divisão do módulo da FT pelo valor calculado, normalizando, dessa forma, os valores da FT; 12. Por fim, é desenhado o gráfico do sinal de entrada e o módulo da FT, o qual caracteriza a MTF do sistema analisado. 3.2 Medidas utilizando o sistema óptico para o sensor infravermelho Após a implementação do algoritmo apresentado acima, foi colocado um alvo em um anteparo, perpendicular ao eixo óptico do sensor infravermelho, na região central da imagem capturada. Utilizando o sensor infravermelho foram adquiridas algumas imagens, como a apresentada na Figura 3, durante o alinhamento do sistema óptico do sensor. Figura 2 Alvo do tipo borda para cálculo de MTF [5] 3.1 Algoritmo do software para cálculo da MTF Abaixo é descrito o algoritmo utilizado para implementação do SMTF utilizando a linguagem de programação C++ e a biblioteca OpenCV. 1. Os vetores dos sinais de entrada, derivada dos sinais de entrada e módulo da FT, são criados; 2. A quantidade de entradas é representada pela quantidade alvos capturados pela imagem; 3. O tamanho do vetor dos sinais de entrada é definido pelo tamanho da linha do sinal sobre o alvo; 4. Os sinais de entrada são obtidos. Estes sinais são representados por linhas posicionadas sobre as áreas de transição de preto para branco nos alvos; 5. Verifica-se o valor mínimo do sinal de entrada de cada linha posicionada sobre os alvos; 6. A derivada do sinal é calculada, subtraindo o sinal deslocado de uma posição à frente do sinal original; 7. O máximo valor da derivada é calculado. Esse valor será utilizado para que apenas a transição do sinal seja considerada, zerando os pontos com baixa derivada; 8. Os valores com baixa derivada são zerados. Para isso é determinado um threshold zerando os pontos cuja derivada seja menor que 10% do máximo valor esse valor foi determinado empiricamente; 9. Possuindo, dessa forma, a derivada do degrau de entrada. Calcula-se então o módulo da FT; Figura 3 - Imagem captada pelo sensor infravermelho para cálculo da MTF Após a imagem capturada foi necessário indicar o início e o final de uma linha, posicionada na transição da parte preta para a parte branca do alvo. Uma vez determinada a linha é possível fazer o cálculo da MTF e determinar o seu gráfico a partir do SMTF como pode ser visto na Figura 4. Figura 4 - Gráfico da MTF para um alvo utilizando o sensor infravermelho. 210

4 Após os cálculos, foi feito um comparativo entre a MTF calculada e a teórica. A Figura 4 e a Figura 5 apresentam respectivamente a MTF calculada e a teórica do sensor infravermelho, após o alinhamento. A imagem capturada pelo retinógrafo está apresentada na Figura 6. Figura 5 - Gráfico teórico da MTF para o sensor infravermelho. Comparando os gráficos de MTF apresentadas pelo software com os teóricos verificou-se que a MTF do sensor ficou bem abaixo do esperado (teórico). Após essa verificação foram avaliadas a montagem e fabricação da óptica do sensor infravermelho e constatou-se que houve falha na fabricação e montagem da mesma. 3.3 Medidas utilizando o sistema óptico para o retinógrafo Foram utilizados cinco alvos, sendo um central, perpendicular ao eixo óptico do retinógrafo, e os outros quatros alvos são colocados nas laterais de forma que fiquem equidistantes do alvo central. Para o retinógrafo foi realizada uma modificação no software permitindo que ao invés da imagem ser capturada e após isso as linhas serem traçadas para o cálculo da MTF, as linhas são traçadas na imagem que está sendo adquirida e os alvos são colocados de forma que as linhas coincidam com a transição do preto para o branco. Dessa forma, uma vez que os alvos são posicionados corretamente no anteparo perpendicular ao eixo óptico do retinógrafo, é possível visualizar continuamente a mudança na MTF quando se realiza qualquer mudança no alinhamento óptico do sistema. Com isso o processo de alinhamento é otimizado. Por meio desse cálculo é possível observar que quando se tem um desalinhamento na horizontal o valor da MTF dos gráficos a direita são diferentes dos valores dos gráficos correspondentes ao lado esquerdo da imagem. Já quando se tem um desalinhamento vertical os valores da MTF dos gráficos localizados na parte de baixo estarão diferentes da parte de cima. Figura 6 - Imagem capturada pelo retinógrafo para cálculo da MTF. Na Figura 7 estão apresentados os gráficos resultantes do cálculo da MTF dos cinco alvos utilizados. Nos Gráficos de MTF do retinógrafo as linhas correspondem aos seguintes alvos: Linha 1 corresponde ao alvo superior esquerdo, a Linha 2 ao superior direito, a Linha 3 ao alvo central, a Linha 4 ao alvo inferior esquerdo e a Linha 5 ao alvo inferior direito. Figura 7 Gráfico da MTF para cinco alvos utilizando o retinógrafo digital A Figura 7 e a Figura 8 apresentam a MTF calculada e a teórica do retinógrafo, respectivamente, depois de realizado o alinhamento. 211

5 montagem do sistema, ou problemas com os filmes presentes em algumas lentes, entre outros. Dando sequência na pesquisa, serão realizados ainda testes com um microscópio cirúrgico oftalmológico, após a implementação de um sistema óptico que acople um CCD ao mesmo, extraindo as curvas de MTF pelo software implementado e comparando com o teórico. 5 Referências Bibliográficas Figura 8 Gráfico teórico da MTF do retinógrafo. A partir do gráfico teórico do retinógrafo, é possível verificar que a MTF dos gráficos localizados nas laterais são iguais e a melhor MTF apresentada pelo sistema é do alvo central. Considerando a MTF do retinógrafo é possível verificar que ocorreu uma degradação na MTF do sistema devido a um desalinhamento imposto pela mecânica do equipamento e por aberrações da óptica. 4 Conclusão Durante a implementação do sistema proposto, para o cálculo de MTF, foi verificado que a iluminação do alvo influencia de forma direta o cálculo. Desta forma, para melhor aproveitamento do sistema os alvos devem ser iluminados de forma homogênea. O software apresentou ótimo desempenho permitindo uma análise direta e objetiva do comportamento de sistemas ópticos. Com auxílio do software foi feito o alinhamento do retinógrafo digital e do sensor infravermelho. Utilizando o SMTF para uma imagem estática conseguiu-se validar o funcionamento do mesmo, porém essa forma de análise demanda mais tempo do operador, pois a cada imagem capturada as linhas que determinam os sinais a serem analisados devem ser posicionadas de forma manual. Com o software operando continuamente, uma vez que os alvos sejam posicionados de forma correta como descrito anteriormente, o cálculo da MTF é imediato. Qualquer modificação realizada no alinhamento do sistema óptico é analisada de forma rápida e direta, facilitando o alinhamento. Esse trabalho permitiu observar, de forma prática, que nem sempre uma diferença entre os valores teóricos da MTF e os calculados pelo SMTF representa falta de alinhamento do sistema. As discrepâncias entre os valores da MTF puderam auxiliar no diagnóstico de outros problemas, como por exemplo, erro na fabricação das lentes presentes no sistema óptico, problemas na [1] BOREMAN, G. D. Modulation Transfer Function in Optical and Electro-Optical Systems. Bllingham. SPIE Press, p.. [2] BOREMAN, G. D. Modulation Transfer Function measurement using spatial noise targets. Proc. SPIE, 1995, v. 2426, p [3] DANIELS, A.; BOREMAN, G. D. DUCHARME, A. D. Random targets for Modulation Transfer Function testing. Proc. SPIE, v. 1969, p [4] HOLST, G. C. Infrared imaging system testing. In: ACCETA, J. S.; SCHUMAKER, D. L. The infrared and electro-optical systems handbook. Ann Arbor: ERIM; Bellingham: SPIE, v. 5, cap. 4, p [5] MODUGNO, R. G. Uma contribuição ao projeto de retinógrafos Digitais. São Carlo, p.. [6] OLIVEIRA, P. D. JR. Esquema Computacional para Avaliação Automática de Parâmetros de Qualidade de Equipamentos Mamográficos São Carlos, p.. [7] ROSSMANN, K. Point spread function, line spread function and modulation transfer function. Radiology, v. 12. p [8] SAMEI, E.; BUHR, E.; GRANFORS, P.; VANDENBROUCKE, D.; WANG, X. Comparison of edge analysis techniques for the determination of the MTF of digital radiographic system. Physics in Medicine and Biology, v. 50. P , jul, [9] SCADUTO, L. C. N. Desenvolvimento e avaliação do desempenho de sistema óptico aplicado a sensoriamento remoto orbital. São Carlos, p.. [10] SHANNON, R.R. The Art and Science of Optical Design. Cambridge University Press, p.. [11] WILLIAMS, T. L. The OpticalTransfer Function of imaging systems. Bristol: Institute of Physics Publishing, p.. [12] WOLFE, W. L. Introduction to infrared system design. Bellingham: SPIE, [13] YASOUKA, F. M. M. Técnicas de desenho óptico e avaliação da qualidade de imagens em sistemas ópticos por medição de função de transferência óptica. São Carlos, p.. 212