ALGORITMOS EVOLUCIONÁRIOS APLICADOS AO PLANEJAMENTO FLORESTAL COM OBJETIVOS MÚLTIPLOS

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1 A pesquisa Operacional e os Recursos Renováveis 4 a 7 de novembro de 2003, Natal-RN ALGORITMOS EVOLUCIONÁRIOS APLICADOS AO PLANEJAMENTO FLORESTAL COM OBJETIVOS MÚLTIPLOS Alessandro de Freitas Teixeira Departamento de Informática - UFV Viçosa-MG - aft@cientec.net Heleno do Nascimento Santos Departamento de Informática - UFV Viçosa-MG - hns@dpi.ufv.br Gilson Fernandes da Silva Centro de Ciências Agrárias - UFES Alegre-ES - gfsilva2000@yahoo.com Paulo Márcio de Freitas Cientec Ltda. Av. P. H. Rolfs, 305/ Viçosa-MG - paulo@cientec.net RESUMO O presente trabalho teve como propósito examinar a aplicabilidade de algoritmos evolucionários em otimização sob múltiplos objetivos, como uma ferramenta auxiliar no processo de tomada de decisão associado ao planejamento do manejo de áreas florestais. Para tanto, foi elaborado um modelo de otimização, sob objetivos múltiplos, para a tomada de decisão no planejamento florestal e implementado o algoritmo evolucionário SPEA (Strength Pareto Evolutionary Algorithm) para a solução heurística deste modelo. Foram realizados diversos testes para a resolução de problemas de otimização de diferentes tamanhos, utilizando-se o algoritmo evolucionário implementado, tendo este mostrado boa performance. Como forma de avaliar a eficiência e a eficácia do algoritmo foram realizadas comparações dos resultados por ele obtidos com os resultados obtidos pelo software comercial LINGO, que utiliza um algoritmo exato para resolução de problemas de Programação Inteira 0-1. Para o melhor caso, o resultado apresentado pelo SPEA chegou a 99,69% de uma solução Pareto-ótima apresentada pelo LINGO e, para o pior caso, este resultado chegou a 96,21%. Com isto, conclui-se pela aplicabilidade e pela eficiência da metaheurística algoritmos evolucionários na solução de problemas de planejamento florestal multiobjetivo e, portanto, sua aplicação, e do SPEA em particular, é uma boa alternativa para o tratamento de problemas de planejamento florestal. Sua performance mostrou-se satisfatória sobre o conjunto de problemas-teste, onde vários parâmetros foram definidos por meio de dados reais associados a uma empresa da área florestal. Palavras-chave: Planejamento Florestal Algoritmo Evolucionário Otimização Multiobjetivo. ABSTRACT The present work had the purpose of examining the applicability of evolutionary algorithms in optimization under multiple goals, specifically as an auxiliary tool in the process of decision making associated to forestry planning. A model was built to describe the problem and its context, and the evolutionary algorithm SPEA (Strength Pareto Evolutionary Algorithm) was implemented and used as a heuristic solution for this model. Several tests were carried on, in order to test the techniques for many different problem sizes. The results have shown good performance of SPEA for this kind of problem. The evaluation of the algorithm s effectiveness and efficiency was carried on by comparing its outcomes with those obtained using the same sets of data running under the commercial software LINGO. That software package is based in an exact integer programming 0-1 algorithm. The best case was reached by SPEA at 99,69% of a Pareto-optimal solution obtained by using LINGO. The worst case was reached at 96,21%. So it can be concluded that the use of the SPEA algorithm in this kind of problem leaded to satisfactory results. Its performance was shown to be satisfactory on the test-problems group.

2 Keywords: Forest Planning Evoluctionary Algorithm Multiobjetive Optimization. 1. Introdução Muitos problemas do mundo real envolvem dois tipos de dificuldades: objetivos múltiplos e conflitantes e um espaço de busca altamente complexo (Zitzler, 1999; Fonseca e Fleming, 1995). Ao invés de uma única solução ótima, como na otimização de objetivo único, os objetivos que estão sendo buscados dão origem a um conjunto de soluções de compromisso, geralmente denotadas como Pareto ótimas. À medida que aumenta o número de objetivos que competem entre si e, também, consideramos objetivos menos bem comportados, o problema de buscar uma solução de compromisso satisfatória torna-se complexa de forma rápida e progressiva (Fonseca e Fleming, 1995). Tradicionalmente, as técnicas de Programação Linear (PL) constituem o instrumental analítico mais utilizado no processo de tomada de decisão no planejamento florestal. Entretanto, apesar da inegável contribuição destas técnicas, tanto para o planejamento florestal, quanto para a solução de problemas nas mais diversas áreas, deve-se reconhecer que esta metodologia apresenta algumas limitações, como, por exemplo, trabalha-se apenas com uma função-objetivo e assume-se que as restrições devem ser rigorosamente respeitadas. A seguir são apresentadas algumas das características inerentes aos problemas de planejamento do manejo florestal que demonstram o grau de dificuldade dos modelos e as limitações do uso de PL: a) a natureza combinatorial, onde o número de variáveis cresce rapidamente com o aumento do número de unidades de produção a serem utilizadas no planejamento e com o horizonte de planejamento almejado, além de outras variáveis como, por exemplo, a idade de corte e opções de manejo da floresta; b) por questões práticas de manejo e operacionalização das unidades de produção, é conveniente que estas se mantenham sempre com a mesma área, de forma que o planejamento deva ser feito garantindo a identidade das unidades, o que introduz variáveis binárias ao modelo; c) normalmente, estes são problemas de grande porte, onde a empresa florestal deseja o planejamento de centenas de unidades de produção, gerando alguns milhares de variáveis a serem utilizadas nas funções que se deseja otimizar; d) os objetivos são múltiplos e, na maioria das vezes, competitivos. Assim, por exemplo, uma empresa pode estar interessada em manter os lucros estáveis, aumentar sua fatia do mercado, diversificar produtos, melhorar a qualidade de vida dos trabalhadores e aumentar o prestígio da companhia. 2. Objetivos Este trabalho teve como objetivo geral examinar a aplicabilidade de algoritmos evolucionários em otimização sob múltiplos objetivos como uma ferramenta auxiliar no processo de tomada de decisão, associado ao planejamento do manejo de áreas florestais. Como objetivos específicos: a) apresentar um modelo de otimização sob objetivos múltiplos como uma alternativa viável e interessante para tomada de decisão na empresa florestal; b) mostrar a potencialidade de aplicação de algoritmos evolucionários na busca de soluções heurísticas para o modelo apresentado; c) implementar e testar um algoritmo evolucionário multiobjetivo para solução heurística do modelo de planejamento florestal, supra mencionado. 3. Metodologia 3.1 O Modelo Proposto Devido ao grande número de variáveis e informações envolvidas e à complexidade de elaboração dos modelos de otimização relativos a problemas de planejamento florestal, foi necessário o desenvolvimento de um protótipo de software onde as informações de entrada do 54

3 problema fossem cadastradas e, a partir delas, fossem gerados, automaticamente, os modelos a serem otimizados. Faz-se necessária aqui uma explanação da estrutura dos problemas de manejo florestal para um melhor entendimento do funcionamento do protótipo desenvolvido e dos modelos de otimização utilizados como entrada para o algoritmo evolucionário implementado. Isto será feito ao mesmo tempo em que se detalha a arquitetura do protótipo desenvolvido. Um plano de manejo florestal tem como objetivo especificar as diversas intervenções silviculturais que deverão ocorrer na floresta para o atendimento de demandas e outras restrições dentro de um certo período de tempo (horizonte de planejamento). Estas intervenções, incluindo colheitas e plantios, devem necessariamente atender às limitações operacionais e resultar em um fluxo adequado e sustentável de produção. Portanto, a função básica do manejo florestal é conduzir o recurso florestal para atender aos objetivos da empresa (Nobre, 1999). Uma floresta é, normalmente, dividida em talhões ou unidades de produção. Desta forma, o planejamento florestal implicará na otimização do manejo simultâneo de todos as unidades de produção que constituem a floresta. Estas unidades de produção caracterizam-se pela uniformidade em termos de produtividade e pela homogeneidade de idade e material genético de que são compostas. Um conjunto de unidades de produção constitui o projeto florestal, para o qual se pretende definir uma programação de atividades que atenda ao objetivo global do projeto. Para cada uma das unidades de produção podem existir centenas de regimes de manejo diferentes. As várias alternativas são obtidas combinando idades de corte, opções de reforma da floresta, desbastes ou condução de brotação e quaisquer outras características que se queira. Cada alternativa é, geralmente, chamada de prescrição. As prescrições representam seqüências preestabelecidas de ações que ocorrerão ao longo do período de planejamento, numa dada unidade de produção. As prescrições podem se referir, por exemplo, às idades de colheita de uma área, seguidas de regeneração. Uma vez que, para uma dada unidade de produção, seja assinalada uma dada prescrição de manejo, ela permanecerá sobre tal prescrição durante todo o horizonte de planejamento. O horizonte de planejamento é subdividido em períodos e as ações ocorrem no início dos mesmos (Nobre, 1999; Rodriguez et al., 1996). É importante salientar que, devido ao grande esforço de cálculo necessário para gerar todas as prescrições, quando se trabalha em nível de uma empresa florestal, faz-se necessário o uso de um software gerador de prescrições. A escolha da melhor prescrição em cada unidade de produção irá basear-se na melhor alternativa que atenda os objetivos, as limitações e as condições de produção impostas ao projeto. Portanto, para se atender os objetivos de produção de todo o sistema florestal, a escolha de prescrições para cada unidade de produção deve ser realizada de forma conjunta, ou seja, escolhe-se para cada unidade uma prescrição tal que, no conjunto, estejam sendo atendidos os objetivos de produção e as limitações operacionais do sistema florestal. Dentro deste contexto, elaborou-se um protótipo de software que reunisse todas estas informações e gerasse as prescrições possíveis para cada unidade de produção. De posse destas informações, foi possível elaborar os modelos a serem otimizados e neles aplicar o algoritmo de otimização implementado. O protótipo possui três módulos básicos: Dados, Gerador de Prescrições e Otimizador. No módulo Dados é possível fornecer todas as informações relativas ao projeto. Estas informações estão divididas em: Informações gerais do modelo: horizonte de planejamento almejado, idades máxima e mínima de cortes possíveis para as florestas, alternativas de manejo utilizadas (reforma, uma ou duas conduções de brotação) e taxa de desconto anual para a atualização presente dos valores de custos e receitas. Cadastro das unidades de produção: para cada unidade de produção devem-se cadastrar a idade, a área, os valores de custos das atividades realizadas na unidade, aqui resumidos em implantação, manutenção anual média, exploração, reforma e condução de brotação, e os valores de produção de madeira esperados em diferentes idades. 55

4 O valor da madeira a ser utilizado para o cálculo do retorno econômico da produção. As demandas anuais mínimas a serem atendidas e as capacidades máximas de reformas anuais da empresa florestal. Estas informações serão utilizadas para geração das restrições dos problemas. No segundo módulo, foi implementado o algoritmo gerador de prescrições para as unidades de produção. Este algoritmo faz a combinação de todas as possibilidades de manejo possíveis para a unidade de produção, levando em consideração o horizonte de planejamento, as idades máxima e mínima de cortes e as formas de condução da floresta, sendo que, neste protótipo, foram implementadas as opções de reforma, de uma e de duas conduções de brotação. O gerador de prescrições trabalha em cima de uma estrutura matricial onde, para as colunas, tem-se a linha do tempo, que vai do período de plantio da unidade de produção, passando pela época atual até o último período do horizonte de planejamento almejado e, para cada linha, uma prescrição. Cada célula pode assumir um dos seguintes estados: vazio quando houver apenas atividades de manutenção; x para a atividade de implantação da floresta; r para a atividade de exploração, imediatamente seguida de reforma; e c para a atividade de exploração, imediatamente seguida de condução da brotação. O algoritmo calcula, também, para cada prescrição gerada, o volume total de madeira produzido a cada período, o custo e o valor presente líquido (VPL) total da prescrição. O valor do custo total da prescrição é dado pela soma dos custos totais de cada período, descontados a uma taxa determinada. Assim, o custo total pode ser calculado de acordo com a seguinte expressão: CT = n j= 0 C j ( 1+ i) j onde: CT = Custo Total C j = custo no final do período de tempo (j) considerado; i = taxa de desconto; n = duração do projeto em número de períodos de tempo; e j = período de tempo. O Valor Presente Líquido (VPL) total da prescrição é dado pela diferença dos valores de receitas e custos, descontados a uma taxa determinada. Assim, o VPL pode ser calculado de acordo com a seguinte expressão: VPL = n j= 0 R ( 1+ i) j j n j= 0 C (1 + i) onde: C j = custo no final do período de tempo (j) considerado; R j = receita no final do período de tempo (j) considerado; j j De acordo com essa expressão, valores positivos de VPL indicam a viabilidade econômica da prescrição, enquanto valores negativos indicam o contrário. Foram implementadas, ao nível do protótipo, as seguintes possibilidades de funções de otimização: Maximização do Valor Presente Líquido (VPL) global da floresta, sendo dada pela seguinte função: M N Max VPL = L W ij ij i= 1 j= 1 em que: VPL = valor presente líquido (VPL) global; L ij = valor presente líquido (VPL) da unidade de produção i, manejada sob a prescrição j; 56

5 W ij = variável binária, onde 1 significa cortar a unidade de produção i assinalada a prescrição j, e 0 significa o contrário; M = número total de unidades de produção; e N = número total de prescrições da i-ésima unidade de produção. Minimização do custo global da floresta, sendo dado pela seguinte função: M N Min Custo = C W ij ij i= 1 j= 1 em que: Custo = custo global de produção da floresta; C ij = custo da unidade de produção i, manejada sob a prescrição j; W ij = variável binária, onde 1 significa cortar a unidade de produção i assinalada a prescrição j, e 0 significa o contrário. Minimização do excesso de produção global da floresta, sendo dado pela seguinte função: H M N Min EP = VijkWij Vk k = 1 i= 1 j= 1 em que: EP = excesso de produção global da floresta; V ijk = volume total produzido pela unidade de produção i, manejada sob a prescrição j, no k- ésimo período do horizonte de planejamento conforme a idade de corte naquele período; V k = volume total da demanda a ser atendida no período k; W ij = variável binária, onde 1 significa cortar a unidade de produção i assinalada a prescrição j, e 0 significa o contrário; H = número de períodos do horizonte de planejamento. W ij = variável binária, onde 1 significa cortar a unidade de produção i assinalada a prescrição j, e 0 significa o contrário. No modelo aqui proposto, para esta opção (minimização do excesso de produção), foi considerado que todo o excedente da produção é vendido sem a imposição de nenhuma restrição ou depreciação do valor da madeira. Maximização da mão-de-obra global empregada pela empresa florestal na exploração da floresta, sendo dado pela seguinte função: Max H M MO = 1T W ijk ij 1 1 N k = i= j= em que: MO = mão-de-obra global empregada na exploração da floresta; T ijk = mão-de-obra empregada na unidade de produção i, manejada sob a prescrição j, no k- ésimo período do horizonte de planejamento; W ij = variável binária, onde 1 significa cortar a unidade de produção i assinalada a prescrição j, e 0 significa o contrário. Também é necessário fazer uma ressalva com relação a esta última opção (maximização da mão-de-obra), no que diz respeito ao cálculo do total de mão-de-obra empregada. Foi considerada a utilização de uma unidade de mão-de-obra para cada hectare de floresta conduzida sob o regime de condução de brotação e duas unidades de mão-de-obra para cada hectare de floresta conduzida sob o regime de reforma. 57

6 Neste trabalho, foram estabelecidas duas restrições a serem consideradas nos modelos: atendimento de uma demanda anual mínima de produção e capacidade de reforma anual da empresa, dadas as restrições de recursos operacionais como maquinário e mão-de-obra. A primeira restrição visa estabelecer uma produção periódica de volume de madeira, de modo a atender uma demanda preestabelecida. Considerando-se V k a demanda preestabelecida para o período k, então: V k M N i= 1 j= 1 V ijk W ij {k - 0,1,...,H-2}, em que: V ijk = volume total produzido pela unidade de produção i, manejada sob a prescrição j, no k- ésimo período do horizonte de planejamento conforme a idade de corte naquele período; V k = volume total da demanda a ser atendida no período k. A segunda restrição visa estabelecer uma capacidade máxima de reforma que a empresa florestal é capaz de operacionalizar a cada período. Considerando-se CR k a capacidade de reforma preestabelecida para o período k, tem-se: CR k M N i= 1 j= 1 A ijk W ij {k - 0,1,...,H-2}, onde: A ijk = área da i-ésima unidade de produção, manejada sob a j-ésima prescrição, no início do período k e que esteja sob o regime de manejo de reforma. 3.2 O Algoritmo Evolucionário SPEA (Módulo Otimizador) Para a otimização multiobjetivo foi implementado o algoritmo proposto por Zitzler (1999), chamado Strength Pareto Evolutionary Algorithm (SPEA). Esta abordagem se encaixa nas técnicas baseadas em Pareto, ou seja, o algoritmo atribui o fitness levando em consideração a dominância dos indivíduos dentro da população. Por questões de espaço, o funcionamento do algoritmo não será descrito neste trabalho, podendo este ser encontrado com detalhes em Zitzler (1999). Para a representação das variáveis do problema na forma de indivíduos de uma população, foram feitas as seguintes considerações: cada unidade de produção é representada por um gene e cada prescrição da Unidade de Produção (UP) representada por um alelo deste gene. O conjunto de todos os genes (UP s) formam um cromossomo. O indivíduo é representado pelo seu cromossomo, acrescido da informação de fitness. Uma população é um conjunto de indivíduos. Para cada alelo (prescrição) de um gene (UP) podem-se atribuir os valores 0 ou 1. Como para cada UP somente pode ser escolhida uma prescrição, em cada gene apenas um alelo possui valor 1, ficando os demais com valor 0. Devido a esta consideração, para o operador de crossover, foi feita a ressalva de que o ponto de crossing deve ser entre genes e nunca entre alelos, dado que o cruzamento entre alelos poderia vir a causar o não cumprimento desta regra. A mesma regra foi aplicada para o operador de mutação, tomando-se o cuidado de não se atribuir a dois alelos o valor 1. A geração da população inicial foi feita de forma aleatória, ou seja, escolheu-se, aleatoriamente, para cada gene, uma prescrição e atribuiu-se a ela o valor Problemas-Teste Para se alcançar o objetivo proposto de mostrar a potencialidade de aplicação de algoritmos evolucionários na solução de problemas florestais multiobjetivos, foram gerados alguns casos de testes baseados em dados reais (adquiridos em empresas florestais) e em dados obtidos na literatura. Os problemas apresentados possuem porte suficiente para que se possam 58

7 alcançar os objetivos propostos. O Quadro 1 mostra os problemas-teste com relação aos principais parâmetros usados na definição de cada um. Quadro 1 Problemas-teste utilizados para as demonstrações propostas. Problema Número de Horizonte de Número Total UP s Planejamento de Prescrições anos anos anos anos anos anos anos 4521 Em todos os casos apresentados, foi considerada uma mesma empresa florestal hipotética, com algumas características básicas, simulando-se cenários diferentes, de forma a possibilitar a criação dos problemas-teste necessários às demonstrações propostas. As seguintes premissas devem ser consideradas para todos os problemas: uma empresa florestal deseja planejar sua produção de madeira através de um plano de manejo de florestas. As seguintes informações devem ser levadas em consideração: as possíveis opções de manejo incluem: reforma, uma ou duas conduções da brotação; as idades mínima e máxima de corte são de 5 e 8 anos, respectivamente; as operações de corte são realizadas uma vez a cada período, sempre no início do período; os sítios são homogêneos; para simplificar o problema, foi considerada, para todas as unidades de produção uma mesma classe de produtividade. Para o caso de exploração sob o regime da primeira condução da brotação foi considerada uma redução de 10% na produção e de 15% para o caso de ser a exploração sob o segundo regime de condução da brotação. foi considerada uma taxa de desconto de 5% a.a.; o preço da madeira utilizado foi de R$ 42,00/m 3 ; e os valores de custo das principais atividades da floresta são apresentados no Quadro 2. Quadro 2 Custos médios das atividades principais. Atividade Custo (R$/ha) Implantação 1040,12 Manutenção básica anual média 106,31 Reforma 871,27 Condução da brotação 40,25 Exploração (R$/m 3 ) 10,91 Os Problemas 1, 2 e 3 representam um cenário onde a empresa pretende planejar sua produção para os próximos 8 anos (horizonte de planejamento). A empresa objetiva a maximização do lucro tentando, contudo, minimizar o volume total de produção excedido em relação às demandas anuais. Este excesso pode levar a problemas relacionados à estocagem e à venda da madeira excedida. Como formas de manejo foram utilizadas as opções de reforma e uma condução de brotação. A diferença entre os Problemas 1, 2 e 3 está relacionada com os valores utilizados para se definir os níveis de demanda anual a serem considerados para cada um dos problemas. Esta 59

8 diferenciação dos valores utilizados serve como forma de exploração de cenários diferentes e influencia diretamente no desempenho das técnicas utilizadas para se resolver os problemas. Para os Problemas 4, 5 e 6 foi considerado um cenário onde a empresa pretende planejar sua produção para os próximos 9 anos (horizonte de planejamento). A empresa objetiva, neste cenário, maximizar o lucro e minimizar o excesso de produção. Foram utilizadas, para este cenário, 50 unidades de produção e, como formas de manejo, foram utilizadas as opções de reforma, uma e duas conduções de brotação. Como apresentada para os problemas anteriores (1, 2 e 3), a diferença entre os Problemas 4, 5 e 6 também está relacionada com os valores utilizados para se definir as restrições de demanda anual mínima a ser considerada para cada um dos problemas. Aqui, esta diferenciação dos valores utilizados também serve como forma de obtenção de cenários diferentes. Para estes problemas, contudo, foram consideradas demandas anuais mínimas previstas, diferenciadas para cada período de produção. Este cenário pode ocorrer quando a empresa florestal está projetando o seu crescimento ou o aumento da demanda de madeira no mercado ao longo do tempo. Para estes problemas não foi considerada a restrição de capacidade de reforma. Foi gerado para cada um destes problemas um total de 735 prescrições. Para o Problema 7 foi considerado um cenário onde a empresa pretende planejar sua produção para os próximos 14 anos (horizonte de planejamento). A empresa objetiva, neste cenário, a maximização do lucro e a minimização do excesso de produção. Foram utilizadas, para este cenário, 90 unidades de produção e, como formas de manejo, foram utilizadas as opções de reforma, uma e duas conduções de brotação. Como restrições ao problema foram consideradas somente demandas anuais mínimas previstas para o mercado de madeira. Foram geradas, para este problema, um total de 4521 prescrições. 3.4 Qualidade das Soluções Como forma de mensurar a qualidade das soluções apresentadas pelo algoritmo SPEA, utilizou-se uma comparação dos resultados deste algoritmo com os resultados do software comercial LINGO, versão 3, que utiliza um algoritmo exato para resolução de problemas de Programação Inteira. Como os problemas propostos são de natureza multiobjetivo e este software apresenta um solver apenas para problemas de objetivo único, utilizou-se o método de se transformar uma das funções-objetivo dos problemas em restrição, e parametrizar valores para esta restrição, de forma a se obter soluções ao longo da fronteira Pareto-ótima (Método da Restrição). Como medida de eficiência, foi utilizada a comparação do tempo de resolução dos problemas para as duas técnicas. Para as soluções encontradas pelo LINGO, o tempo a ser considerado é o somatório dos tempos gastos para a solução de cada problema parametrizado, multiplicado por um fator correspondente ao número de soluções encontradas pelo SPEA dividido pelo número de soluções parametrizadas no LINGO. Este último fator serve para estimar o tempo que levaria para se encontrar, no LINGO, o mesmo número de soluções encontradas pelo SPEA. Para comparar a eficácia das soluções obtidas pelo SPEA com relação às soluções obtidas pelo LINGO, fixou-se um dos objetivos e utilizou-se, para o outro objetivo, o Acerto Percentual Relativo (APR), dado pela seguinte função: So Se APR = So onde: APR Acerto percentual relativo, dada em %; S o Solução Pareto-ótima encontrada pelo LINGO; S e Solução encontrada pelo SPEA. 60

9 4. Resultados Para os testes propostos no item 3.3, primeiro é apresentada, para os Problemas 1, 2 e 3, a comparação dos resultados do algoritmo SPEA com os resultados do software comercial LINGO. Posteriormente, são discutidos os resultados obtidos pelo algoritmo SPEA para os problemas-teste de maior porte. Por fim, são apresentadas algumas considerações importantes sobre os testes realizados. A execução de todos os testes foi realizada utilizando-se um computador com as seguintes configurações: processador Pentium 3 com velocidade de 1.1 GHz e memória RAM de 256 Mb Análise Comparativa das Soluções Os resultados obtidos a partir da resolução dos Problemas 1, 2 e 3, utilizando os dois algoritmos, podem ser melhor observados através do gráfico apresentado na Figura 1. Pode-se observar claramente a fronteira Pareto-ótima através dos resultados apresentados pelo software LINGO. Observa-se, também, uma boa aproximação desta fronteira pelas soluções do algoritmo SPEA, tendo-se uma menor aproximação nas soluções que se encontram nos extremos. Esta última constatação pode ser explicada pelo fato das restrições tornarem-se mais fortes quando se aproxima dos extremos da fronteira Pareto-ótima. Esta complexidade é observada também na busca realizada pelo LINGO, onde este gasta mais tempo para encontrar as soluções. Para efeito de comparação, foram escolhidas, para cada um dos Problemas 1, 2 e 3, uma solução próxima ao extremo inferior, outra próxima ao extremo superior e outra numa posição intermediária da fronteira Pareto-ótima. Utilizando-se do APR, descrito anteriormente, obtiveram-se, para os Problemas 1, 2 e 3, os resultados apresentados no Quadro 3. Pode-se observar através destes resultados que o algoritmo SPEA apresentou uma eficácia muito boa, mesmo para o pior caso Lucro (R$) LINGO Problema 1 Problema 2 Problema Excesso de Produção (m 3 ) Figura 1 Gráfico comparativo dos resultados do SPEA e do LINGO para os Problemas 1, 2 e 3. Quadro 3 Eficácia do SPEA em relação ao LINGO para os Problemas 1, 2 e 3. Solução APR (%) Problema 1 Problema 2 Problema 3 Superior 99,65 99,60 99,51 Intermediário 99,69 99,61 99,61 Inferior 96,21 99,15 97,87 61

10 A obtenção das soluções pelo SPEA foi, em média, 3,3 vezes mais rápida do que a obtenção destas mesmas pelo LINGO. O gráfico da Figura 2 apresenta um comparativo da eficiência das duas abordagens no que diz respeito ao tempo de execução. Fez-se uma aproximação do tempo gasto para o LINGO, como discutido anteriormente, utilizando-se um fator de 10, pois o número de soluções parametrizadas no LINGO foi de 40, enquanto o número de soluções encontradas pelo SPEA foi de 400. A grande diferença observada entre o tempo de cada uma das técnicas utilizadas, pode ser explicada pelo fato do SPEA realizar busca paralela de soluções, devido à utilização de uma população de indivíduos, e do LINGO fazer a busca por uma única solução a cada execução. Outro inconveniente da busca de soluções pelo LINGO é o trabalho despendido para a parametrização do problema, elevando consideravelmente o tempo de preparação do problema para entrada no solver. Tempo 1:55:12 1:40:48 1:26:24 1:12:00 0:57:36 0:43:12 0:28:48 0:14:24 0:00: Problema LINGO SPEA Figura 2 Gráfico comparativo da eficiência do SPEA em relação ao LINGO, para os Problemas 1, 2 e 3. Vale ressaltar que, dada a natureza estocástica do algoritmo evolucionário, os APR s apresentados no Quadro 3 poderão apresentar ligeira oscilação numa segunda execução do algoritmo, sobre a mesma instância do problema. Um procedimento que pode ser adotado na prática é executar o algoritmo várias vezes e selecionar uma fronteira eficiente dentre as geradas. Este procedimento pode ser muito interessante para problemas de maior porte, onde o APR pode apresentar valores relativamente distantes do máximo (100%). Para os Problemas 4, 5 e 6 não se conseguiu gerar a fronteira Pareto-ótima com o uso do LINGO, razão pela qual não são colocados aqui os comparativos das fronteiras obtidas pelo SPEA e pelo LINGO; também, pelo mesmo motivo, não são colocados os APR s associados. A Figura 3 mostra as fronteiras eficientes obtidas pelo SPEA para os Problemas 4, 5 e 6. As observações feitas sobre a Figura 1, para os Problemas 1, 2 e 3, são válidas também aqui Lucro (R$) Problema 4 Problema 5 Problema Excesso de Produção (m3) Figura 3 Gráfico comparativo dos resultados do SPEA para os Problemas 4, 5 e 6. 62

11 A Figura 4 mostra os tempos de execução para os Problemas 4, 5 e 6. Novamente, aqui, percebe-se a influência da folga entre a capacidade de produção e a demanda agregada no horizonte de planejamento sobre o tempo de execução; quanto maior a demanda agregada, maior o tempo de execução. 01:12:00 01:04:48 00:57:36 00:50:24 00:43:12 Problema 4 Problema 5 00:36:00 Problema 6 00:28:48 00:21:36 00:14:24 00:07:12 00:00:00 1 Figura 4 Gráfico comparativo do tempo de execução do SPEA para os Problemas 4, 5 e 6. O tempo gasto pelo SPEA para gerar uma solução para o Problema 7 foi de 4h. 24m. 10s. A Figura 5 apresenta a fronteira eficiente gerada pelo SPEA para este problema. Observa-se que o tempo de execução cresceu, consideravelmente, em relação aos problemas anteriores, uma vez que o número de variáveis binárias (prescrições) é da ordem de 4521 e o tamanho da população foi ajustado para o porte deste problema. Pode-se observar também que apenas 170 indivíduos não-dominados foram encontrados para este problema, enquanto para os demais foram encontrados, pelo menos, 400 indivíduos não-dominados. Em função disto, pode-se concluir que, provavelmente, o número de gerações utilizadas (150) ainda não foi suficiente para que o SPEA evoluísse a população o suficiente para se aproximar da fronteira Pareto-ótima. Esta evolução pode ter sido prejudicada também pelo número de indivíduos na população (4000), não sendo este um número suficientemente grande para gerar uma amostra representativa do conjunto de soluções Lucro (R$) Excesso de Produção (m 3 ) Figura 5 Fronteira eficiente obtida pelo SPEA para o Problema Considerações sobre os testes realizados Devido à forma de codificação utilizada para se representar, por meio de cromossomos, as soluções viáveis do problema numa população, o número de indivíduos (soluções viáveis) nesta deve ser proporcional ao número de prescrições geradas para cada unidade de produção (UP). Isto se deve ao fato de que apenas uma prescrição (alelo) pode ser escolhida para cada UP (gene). Quando se têm muitas prescrições para a mesma UP, o número de prescrições possíveis 63

12 que não estão sendo testadas é muito grande, ou seja, é preciso que se tenha um número maior de indivíduos para uma melhor representatividade do espaço de soluções. Uma das causas da baixa performance do algoritmo para a solução de problemas com restrições fortes foi, principalmente, a geração da população inicial. Isto se prende aos fatos de ser esta população gerada aleatoriamente e do espaço de soluções tornar-se mais complexo. Como todos os indivíduos gerados devem sempre atender a todas as restrições, a busca por indivíduos que atendam sempre às restrições torna-se mais difícil. Em testes realizados, o aumento gradual da força das restrições implicou diretamente num rápido aumento do tempo gasto para se encontrar indivíduos para a população inicial. Contudo, esta influência foi menor para a geração de indivíduos durante o processo de evolução do SPEA, o que demonstra a boa performance do algoritmo em encontrar boas soluções, mesmo em espaços de soluções complexos. O bom desempenho do SPEA pode ser também percebido pelo fato de que, depois de gerada a população inicial, onde um pequeno número de indivíduos não-dominados esteja presente, este algoritmo é capaz de evoluir rapidamente em direção à fronteira Pareto-ótima. Um ponto que deve ser levado em consideração, principalmente para modelos de grande porte, é a conveniência de várias execuções do algoritmo evolucionário sobre o mesmo modelo, gerando várias aproximações da fronteira Pareto-ótima. Esta conveniência se justifica por serem os algoritmos evolucionários procedimentos de busca de natureza estocástica. Um procedimento adicional pode ser aplicado sobre estas várias aproximações, gerando-se uma única que, espera-se, aproxime melhor a fronteira Pareto-ótima. De grande importância para a solução do modelo é a construção do gerador de prescrições. Ele deve ser capaz de gerar de forma eficiente o conjunto de variáveis de decisão que irão definir o conjunto de soluções viáveis para o modelo. Além disto, sua flexibilidade deve ser suficiente para fornecer ao tomador de decisão a capacidade de fazer com que as prescrições captem o máximo possível de informações associadas ao projeto florestal. Finalmente, pretende-se, em trabalhos futuros, possibilitar a interação com o tomador de decisão no que diz respeito à geração da população inicial, fazendo com que esta seja uma amostra mais representativa do espaço de soluções. Esta interação ganha importância, também, na medida em que ela possa expressar gostos e preferências do tomador de decisão, contribuindo para a geração de uma fronteira eficiente mais interessante. Tudo isto irá refletir na eficiência e na eficácia do processo de busca. 5. Conclusões O que pode ser entendido, dos objetivos e das potencialidades das tecnologias emergentes citadas, é que a utilização das técnicas de Pesquisa Operacional no apoio ao processo de tomada de decisão nas organizações ganha novos aliados no tratamento de dados com vistas à alimentação dos modelos por elas utilizados. Os algoritmos evolucionários, que têm despontado como uma metaheurística robusta e eficiente para a resolução de problemas multiobjetivos, também se mostraram eficientes para a solução do problema de planejamento florestal multiobjetivo abordado. Dadas as suas várias qualidades técnicas, estes algoritmos parecem ser especialmente projetados para a resolução destes problemas. A utilização de algoritmos evolucionários é uma boa opção, pois além da utilização de objetivos múltiplos ser uma necessidade dentro da conjuntura atual do processo de tomada de decisão na empresa florestal, as características destes problemas são muito favoráveis à sua utilização. Assim, a aplicação de algoritmos evolucionários, e do SPEA em particular, é uma boa alternativa para a solução de problemas de planejamento florestal. Sua performance mostrou-se satisfatória sobre o conjunto de problemas-teste, onde vários parâmetros foram definidos por meio de dados reais associados a uma empresa da área florestal. Pelos resultados obtidos para os Problemas 1, 2 e 3, onde foi possível uma comparação com a fronteira Pareto-ótima gerada por procedimentos exatos, pode-se inferir sobre a qualidade 64

13 da aproximação desta fronteira obtida pelo SPEA. A exemplo do que acontece com outros problemas combinatoriais citados na literatura, a definição dos parâmetros associados ao SPEA é de suma importância para a eficiência e a eficácia da busca. Igual importância tem a definição da estrutura de dados usada na implementação do SPEA. Observa-se que existem alguns pontos que podem ser melhorados na implementação feita neste trabalho como, por exemplo, o uso de estruturas abertas que possibilitem uma maior interação com o usuário do sistema na definição de operadores genéticos. 6. Bibliografia [Fonseca e Fleming, 1995] Fonseca, C. M., Fleming, P. J., An overview of evolutionary algorithms in multiobjective optimization. Evolutionary Computation, 3(1): 1995, [Nobre, 1999] Nobre, S.R., A heurística da Razão-R aplicada a problemas de gestão florestal. Dissertação (Mestrado), Universidade Federal de Lavras, Lavras, MG, [Rodriguez et al., 1996] Rodriguez, L.C.E., Batista, J.L.F., Couto, H.T.Z., Técnicas e modelos quantitativos de suporte à decisão florestal Programa de reciclagem em métodos quantitativos. ESALQ-USP-IPEF, Piracicaba, 1996, 21p. Apostila. [Zitzler, 1999] Zitzler, E., Evolutionary algorithms for multiobjective optimization: methods and applications. Ph.D. thesis, Swiss Federal Institute of Technology Zurich,